Lezione 2 · Lezione 2 . L’inizio: trasmutazioni nucleari Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2 • Osservazione di Bequerel della

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Le masse dei nuclei

Lezione 2

L’inizio: trasmutazioni nucleari

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17 2

•  Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi.

•  Osservazione di radiazione con energia dell’ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione. –  Energia per atomo 106 volte maggiore

delle reazioni chimiche. –  Cambio di natura degli stessi atomi.

www.treccani.it

Masse e dimensioni dei nuclei (Das-Ferbel, capp. 2 e 3)

•  L’esperimento di Rutherford dimostra che la carica positiva dell’atomo è contentrata in un nucleo. –  Dimensioni del nucleo << dimensioni atomiche (10-10 m) –  Gli elettroni occupano lo spazio restante, ma costituiscono una

frazione piccola della massa atomica: me = 9.10938291×10-31 kg << Matomi 10-27—10-25 kg

–  Dimensioni dei nuclei stimabili da considerazioni quantistiche (vedremo più avanti la misura diretta con gli esperimenti di Hofstadter)

•  Determinazione sperimentale delle masse di nuclei permette di formulare le basi della struttura nucleare: –  nuclei sono costituiti da protoni e neutroni, e mp~mn

–  la massa nucleare è minore di quella dei costituenti osservazione diretta equivalenza massa-energia

–  Lo studio dell’energia di legame fornisce importanti informazioni qualitative sulle interazioni nucleari: modello a goccia


SISTEMA DI UNITÀ NATURALI

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2016/17

Costanti fondamentali

•  Prima di iniziare la discussione sulle masse e dimensioni dei nuclei consideriamo due costanti fondamentali della natura.

•  La relatività ristretta introduce come costante la velocità della luce: –  permette di collegare tra di loro le unità di misura di:

•  massa [M] ⇔ momento [P]=[Mc] ⇔ energia [E]=[Mc2] •  lunghezza [L] ⇔ tempo [T]=[L/c]

•  La meccanica quantistica introduce la costante di Planck, come unità fondamentale dell’azione (area nello spazio delle fasi):

–  permette di collegare tra di loro le unità di misura di: •  energia [E] ⇔ tempo [T]=[ħ/E] •  lunghezza [L] ⇔ momento [P]=[ħ/L]


! = h2π

= 1.054571726 ×10−34 Js

c = 2.99792458×108 m/s

Sistema di unità naturali

•  In pratica possiamo definire una sola unità di misura fondamentale.

•  Tutte le altre possono venire derivate da questa attraverso ħ e c.

•  Un sistema che useremo spesso durante il corso: –  Unità di misura dell’energia: eV –  Unità di misura della massa: eV/c2

–  Unità di misura della quantità di moto: eV/c –  Unità di misura del tempo: eV-1ħ –  Unità di misura della lunghezza: eV-1ħc –  Unità di misura della velocità: c –  Unità di misura del momento angolare: ħ

•  Numericamente è come usare un sistema di unità in cui: ħ = c = 1


Sistema di unità naturali

•  Un sistema di unità in cui ħ = c = 1 viene spesso chiamato sistema naturale –  calcoli e formule sono spesso molto semplificati in un sistema

naturale –  per trasformare i risultati in unità SI si tratta di moltiplicarli

per i corretti fattori di conversione:


c = 2.99792458×108 m/s ≈ 3×108 m/s

! = 6.58211928×10−22 MeVs ≈23×10−21 MeVs

!c = 197.3269718 MeVfm ≈ 200 MeVfm

Costante di struttura fine

•  La quantità che compare nell’energia potenziale elettrostatica:

•  ha le dimensioni di Energia×Lunghezza = [ħc] •  Il suo valore in sistema di unità naturali è:

–  indipendente dall’unità fondamentale scelta

•  in questi sistemi la carica elettrica elementare è un numero adimensionale:

•  Il coefficiente che compare in molte espressioni dell’elettromagnetismo: prende il nome di costante di struttura fine.

•  Ad esempio, la sezione d’urto di Rutherford:


e2

ε0

e2

4πε01!c

= α =1

137.035999074

e2

ε0!c= 0.09170123392

dσdΩ

=ZZα4α

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1sin4θ 2

!cE

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

=1.602176565×10−19C( )2

8.854187817×10−12 F/m= 2.899158908×10−27 Jm = 18.09512739 MeVfm

e2

ε0!c= 0.3028221209

Termine adimensionale

Superfice

Dimensioni dei nuclei

•  Nell’esperimento di Rutherford non si riusciva a distinguere la dimensione del nucleo

•  Una prima stima può venire dai decadimenti α –  Se prendiamo un’energia tipica dei decadimenti α: –  Corrisponde ad un momento: –  Assumiamo che la particella α sia inizialmente confinata nel nucleo:

•  Quando è confinata il suo momento varia di ±pα:

•  Dal principio di indeterminazione:

•  Una misura sistematica si ottiene dalla studio della sezione d’urto elettrone-nucleo: –  se parametro d’impatto < dimensione nucleare la sezione d’urto

differisce dalla sezione d’urto coulombiana –  si ottiene:


R ~ r0A1/3 r0 = 1.2 fmVolume: V∝A

Tα = 5MeVpα = 2mαTα ≈ 200 MeV

Δp = 2pαΔxΔp ≈ 1

Δx ≈ 1 / Δp ≈ 0.0025MeV−1 ≈ 0.5 fm

Unità naturali

I Nobel di oggi


Stessi elementi chimici possono

avere nuclei diversi. Misura precisa

delle masse atomiche.

Matomi ~multipli

interi di Midrogeno

(entro 1%)

E=Mc2

Energia di

legame e massa misurata dei

nuclei.

Classificazione dei nuclei

•  I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni. •  La carica del nucleo è data dal numero di protoni:

–  numero atomico Z –  determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante –  di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento

chimico •  La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di

nucleoni: –  numero di massa A –  somma di Z e del numero di neutroni N


9Be Berillio: Z=4

Numero di massa A=9 Neutroni N=A-Z=5

N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:

AZX

Classificazione dei nuclei

•  Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.

•  Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.

•  Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.

•  Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o risonanze, da cui solitamente decade nello stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)


N→ Z→

BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

Carta dei Nuclidi


BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/

20983Bi

Masse dei nuclei

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:


M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn

B.E. / c2 =M (A,Z )− Zmp − (A− Z )mn

mp = 938.27 MeV / c2

mn = 939.57 MeV / c2

BA= −

B.E.A

=Zmp + (A− Z )mn −M (A,Z )"# $%c

2

A

Masse dei nuclei (sottintendendo unità naturali)

•  La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:

•  La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:

–  Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.

•  Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:


M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn

B.E. = M (A,Z )− Zmp − (A − Z )mn

mp = 938.27 MeVmn = 939.57 MeV

BA= −

B.E.A

=Zmp + (A − Z )mn −M (A,Z )

A

Spettrometro di massa


•  Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa •  Il principio di funzionamento è il seguente

–  una sorgente di ioni •  gli atomi sono ionizzati e accelerati

–  un selettore di velocità •  solo le particelle che viaggiano in linea retta

attraversano i collimatori •  La forza elettrica e la forza magnetica

si bilanciano

–  uno spettrometro magnetico •  masse diverse hanno raggi diversi

sorgente di ioni selettore v

!v

!FE = q

!Ev

!FB = q

!v ×!Bv

!FE = −

!FB

spettrometro magnetico

qvB = mv2 R

mv = qBR

m = q BvEvBR

collimatori

v = EvBv

!Bv

!Ev

R

Spettrometro di massa


•  Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV. –  ~10-6 per atomi con A~100

•  Per poter determinare la massa con precisione occorre –  misurare con precisione R –  misurare con precisione Ev, Bv, B

•  stabilità ed uniformità

•  Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse –  si utilizzano due molecole che hanno

circa la stessa massa; ad esempio: –  si possono utilizzare le stesse regolazioni

di E e B per le due molecole –  Le molecole passano attraverso le stesse

regioni dell’apparato

•  Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:

•  Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.

m = q BvEvBR

160Gd ≈ C12H16 AC12H16 = 12 ×12 +16 ×1

m1 = qBvEvBR1

m2 = qBvEvBR2 C12H16

160Gd

m1 m2 = R1 R2

Masse atomiche

•  Normalmente viene tabulato il peso atomico:

–  include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame Be: –  espresso in unified atomic mass unit (u):

1/12 della massa di un atomo di 12C –  1 u = 931.49 MeV/c2 = 1.6605 × 10-27 kg –  NA = 6.022142×1023 mol-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12C

•  Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:


Mass excess =m(A,Z )− A u

m(A,Z ) =M (A,Z )+ Zme −Be(Z ) / c2

Mass excess [keV/c2] Atomic mass [µu]

Isotopi e pesi atomici

•  Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi. –  sia come analisi di composizione –  che come produzione di specifici nuclidi

•  I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica. –  Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, –  eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con

abbondanza comparabile.


Energia di legame per nucleone


Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.




•  Osservazione: –  l’energia media di legame è

approssimativamente costante: B/A ~ 8 MeV

–  l’interazione nucleare deve essere a corto range.

Interazioni a lungo e corto range

•  Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana): –  una particella interagisce con tutte le altre

particelle presenti –  energia della particella: A+1∝A –  energia totale proporzionale al numero di

coppie: E∝A(A-1)/2

•  Interazioni a breve range (es. legami molecolari)

–  una particella interagisce solo con le particelle più vicine

–  energia della particella: A+1~costante –  energia totale proporzionale al numero di

particelle: E∝A





•  Osservazione: –  esiste un massimo in corrispondenza del 56Fe. –  Sotto tale A, è energeticamente conveniente

combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante: •  fusione nucleare •  processo di nucleosintesi primordiale e stellare.

–  Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:

•  esplosioni di supernovae.




•  Osservazione: –  L’energia media di legame presenta irregolarità

nella regione di basse masse: •  modelli nucleari dovranno spiegare queste

proprietà

–  In particolare 4He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:

•  assenza di nuclei stabili con A=5 e 8 •  possibilità di decadimenti α di elementi pesanti

Le barriere di massa A=5, A=8

•  Energia di separazione –  Energia minima necessaria da

fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.

–  Per protoni:

–  Per neutroni

•  Sp(5Li) e Sn(5He) sono negative: –  gli stati legati sono instabili.

•  Infine abbiamo che: m(8Be)>2m(4He)

–  tale nucleo decade immediatamente in due α


N→ Z→

A=5

A=8

Sp ZAX( ) = m Z−1

A−1X( )+m 1H( )−m ZAX( )"

#$%c

2

Sn ZAX( ) = m Z

A−1X( )+mn −m ZAX( )"

#$%c

2

Stabilità dei nuclei


Stabile

β+

β-

β- AZX→AZ+1X

β+ AZX→AZ-1X

Trasformazioni tra nuclei isobari: p→n o n→p (con emissione o cattura di e per conservare la carica)

Serie di decadimenti fino a raggiungere l’isobaro più stabile: valle di stabilità

Stabilità dei nuclei


Stabile

β+

β-

emissione di n

α AZX→A-4Z-2X+4

2He α

Fissione spontanea

emissione di p

Modello a goccia

•  Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di sistematizzare le osservazioni: –  incompressibilità della materia nucleare (R∝A1/3) –  breve range delle forze (B.E.∝A)

•  Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla forze inter-molecolari: –  descrive l’andamento generale dell’energia di legame –  necessita dell’introduzione di termini fenomenologici per

descrivere alcune caratteristiche osservate. –  formula semiempirica di Bethe-Weizsacker


B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

N − Z( )2

A± a5A

−34

La formula di Bethe-Weizsäcker


•  Il primo termine rappresenta l’energia dovuta all’interazione a corto range di tra nucleoni vicini: –  proporzionale al numero di nucleoni interagenti –  ed al volume

•  Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è proporzionale alla superficie del nucleo –  i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni –  i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con

quelli interni e quelli sulla superficie –  La correzione all’energia di legame media è più rilevante per nuclei

leggeri e spiega l’aumento di B/A per basse masse.

23~ A

~ A

B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 a1 = 15.753 MeV

a2 = 17.804 MeV



•  Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica –  è inversamente proporzionale al raggio del nucleo –  è proporzionale a Z2 e può essere calcolato –  per alti valori di A favorisce l’eccesso dei neutroni sui protoni –  descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico

•  Ordine di grandezza: –  energia potenziale di una sfera carica uniformemente:

13~A -

B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13

a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV

E =35

Ze( )2

4πε0r0A1/3

E =35

Ze( )2

4πε0R=35

e2

4πε0r0Z 2

A1/3=35α!cr0

Z 2

A1/3

a3 ≈35α!cr0

≈ 0.6 1137

200MeV ⋅ fm1.2 fm

= 0.73MeV



•  Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente.

•  Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z –  descrive la valle di stabilità

•  Il quinto descrive una sorta di pairing dei nucleoni –  è nullo per A dispari –  è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari) –  è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari)

B.E. A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

N − Z( )2

A± a5A

−34a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV a4 = 23.69 MeV a5 = 33.6 MeV

Vedremo che è collegato alla struttura quantizzata dei livelli di energia ed al

Principio di Esclusione di Pauli

Vedremo la motivazione di questo ternine nell’interazione tra i momenti

magnetici dei nucleoni

La valle di stabilità β


•  La formula dell’energia di legame presenta una evidente regione di stabilità (stabilità β) –  Per un dato valore di A l’energia di

legame è una parabola al variare di Z

•  Il punto di minimo si trova semplicemente

•  La formula ha i due valori limite:

B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

A − 2Z( )2

A± a5A

−34

∂B A,Z( )∂Z A=cost

= 2a3ZA13− 4a4

A − 2ZA

= 0

Z = 2a4Aa3A

23 + 4a4

Z →

A2

piccoliA

2a4a3

A13 grandiA

"

#$$

%$$

Z

A

B

A Z

ESERCIZI


Esercizio 2.1

•  Si consideri una particella α di energia 5 MeV con parametro di impatto rispetto ad un nucleo di 1 fm.

•  Calcolare in un sistema di unità naturali: –  quantità di moto –  velocità –  momento angolare


Esercizio 2.2

•  Si calcoli, usando la tabella delle masse atomiche: –  le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente

di protone o un neutrone ad un nucleo di 16O –  le energie di legame Sp ed Sn per l’aggiunta, rispettivamente

di protone o un neutrone ad un nucleo di 14N

•  Che conclusioni si possono trarre sul valore di a3? •  Questi dati sono consistenti con la presenza del

termine a5?


Esercizio 2.3

•  Usando le tavole, fare un grafico dell’energia di legame totale in funzione di Z per gli isobari con A=125 e A=128 in prossimità del minimo dell’energia.

•  Questo grafico dà supporto alla presenza del termine di pairing?


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