Lezione 1_Introduzione. Le Piastre

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

Introduzione al corso

Le Piastre

� Teoria delle piastre

� Piastre in calcestruzzo armato

� Piastre post tese

� Realizzazione di elaborati esecutivi di solette armate epareti ecantierizzazione

PROGRAMMA DEL CORSO

pareti ecantierizzazione

� Teoria dei tubi e dei serbatoi

Esercitazione: Progetto di piastre e setti in c.a.

Metodo di esame.L’esame sarà generalmente orale e volto adaccertare la conoscenza degli argomenti teorici trattati, nonché lacapacità di applicare tali concetti a problemi applicative

Le PIASTRE / LASTRE sono una tipologia di elementistrutturali aventi sviluppo bidimensionale il cui impiego èindicato in una vasta casistica

Le lastre sono caratterizzate da un comportamento di tipoprevalentemente membranale ovvero sono sollecitate nel propriopianomedio

CONSIDERAZIONI GENERALI

pianomedio

Per quanto riguarda le lastre è ovviamente possibile impiegareanche altre tipologie di materiali in virtù del tipo di struttura eduso (es. teli)

I materiali costituenti possono essere vari (c.a. – acciaio, c.alegno, c.a.) ma le piastre in c.a. sono senz’altro le più utilizzategrazie alla semplicità di realizzazione e libertà di progettazione

La geometria di unaPIASTRA / LASTRA è determinata dal suopiano medio e dal suo spessore

In funzione dello spessore si individuano differenticomportamentiequindidifferenti tipologie


comportamentiequindidifferenti tipologie

TRAVE ALTA (taglio)

TRAVE A SVILUPPOMONODIMENSIONALE (Flessione)

Le ipotesi alla base della trattazione delle piastre sonoconseguenza di tali caratteristiche

Scelta del tipo di piastra


Metodi di calcolo

Le PIASTRE / LASTRE sono strutture superficiali a SuperficieMedia piana

Sono solidi bidimensionali delimitati da due facce piane paralleleposte ad una distanza molto piccola rispetto alle altre duedimensioni


Le lastre sono sostanzialmente un caso particolare della piastre

Nelle lastre la direzione dei carichi giace sul piano medio e ledeformazioni sono prevalentemente membranali

Nelle piastre invece i carichi sono disposti ortogonalmente alpiano medio, conseguentemente le deformazioni sonoprevalentemente flessionali

LE PIASTRE

In tale ambito, rientrano tutte le strutture dell’ingegneria civile,comunemente indicate comesolette, caratterizzate dall’averemomenti sollecitanti molto più piccoli in una direzione rispettoall’altra


Per tale ragione le solette sono studiate generalmente come uninsieme di travi tra loro affiancate trascurando le interazionireciproche

Tale assunzione è generalmente valida anche per il modo in cuisono costruite normalmente tali solette

Una elemento piastra di lunghezza infinita, cioè vincolata lungodue soli lati paralleli, si comporta come una serie di traviaffiancate che si aiutano con la sola contrazione trasversaleimpedita. Per questo contributo trasversale la rigidezza passa daltermine

EJ al termine EJ/(1- νννν2)


maggiore diEJ

La massima frecciaw diminuisce di una quantità rappresentatadal rapporto1/(1- νννν2)

Quando invece la piastra, assunta di forma rettangolare, siavincolata lungo tutti e quattro i lati, essa può essere consideratacostituita da due serie di strisce ortogonali collaboranti. Le striscein una direzione sostengono quelle in direzione perpendicolare

Piastra rettangolare appoggiata su due lati paralleli, libera suglialtri due lati con una direzione prevalente sull’altra in terminidimensionali

Carico uniformemente distribuitop

È correttoverificarlaperun’azioneflettente?


8

2lpM x

⋅=È correttoverificarlaperun’azioneflettente?8

M x =

l

p

y

x

Nella direzione ortogonale esiste comunque una sollecitazioneche a rigore non può essere trascurata


8

2lpMM xy

⋅⋅=⋅= νν ν coefficiente di Poissondel materiale

l

p

y

x

Nelle strutture in c.a. ordinarie in genereMy e molto più piccolodi Mx e quindi viene generalmente trascurato


xy MM ⋅≤ 12.0

Nel caso del c.a. il problema si risolve disponendo, in generesenza alcuna valutazione numerica ulteriore, unaARMATURADI RIPARTIZIONE

Allo stesso modo la deformazionereale è influenzata dallageometria della piastra

Se le strisce di piastra che si considerano normalmentenell’analisi delle solette fossero davvero indipendenti ladeformazione massima avrebbe il valore:


JE

lp

⋅⋅⋅⋅=

3845

4

δ12

3sJ =

JE ⋅⋅384 12

Nella realtà l’interazione tra le striscereali della piastra dannoluogo ad una differente deformazione

)1( 2νδδ −=

In sostanza nei casi comuni la differenza ètrascurabile ecomunque a vantaggio di sicurezza

%1≤−δ

δδ

Nel caso di elementi che si comportano come dellepiastre vere eproprie la realtà è differente e le approssimazioni non sonoaccettabili


Consideriamo unagenericapiastradi latigenericapiastradi lati

lx edly

appoggiata sui quattrolati e caricatauniformemente sideforma secondo unasuperficie concava


Nascono quindi dei momenti sia in direzionex che in direzioney

Può quindi esserestudiata la piastrasuddividendola instrisce nelle duedirezioni principali x edirezioni principali x ey

Tali strisceassorbiranno una quotaparte del carico esterno

La flessione delle strisce AB costringe le strisce CDa torcersi equeste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti eviceversa


Questi momenti, denominatimomenti di sostentamento, sono diversi opposti sulle due metà

Le stesse considerazioni valgonoconsiderando due strisce contigue.La striscia CD, più prossima al latovincolato, s’inflette meno dellastriscia AB, ad essa adiacente


Le configurazioni deformateassunte dalle due strisce sonoquindi diverse


Se le strisce fossero indipendenti leloro facce comuni scorrerebberol’una rispetto all’altra

Essendo tra loro collegate, sullefacce comuni si generanodeformazioni di scorrimento edeformazioni di scorrimento etensioni tangenziali

τxy e τyx

le cui risultanti sono rappresentatedai momenti torcenti

Mxy eMyx


Ogni striscia AB riceve dalla striscia EF momenti che ladeprimono e dalla striscia CDmomenti che la sostengono

Poiché tali momentiMyx crescono dalla mezzeria della piastra,dove sono nulli, verso gli appoggi prevalgono i momenti disostentamento il cui verso è rappresentato sulla strisciadenominata CD


Ogni striscia è sostenuta dalla porzione di piastra compresa fraessa e l’appoggio più prossimo, mediante i momenti torcenti

Questi momenti sono successivamente trasmessi alle altre strisce,fino a scaricarsi sull’appoggio sotto forma di un incremento dellareazione


La flessione delle strisce AB costringe le strisce CDa torcersi equeste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti eviceversa. Questi momenti, denominati momenti disostentamento, sono di versi opposti sulle due metà

I benefici dei due tipi di collaborazione sono massimi per lapiastra quadrata (a = b) e diminuiscono al crescere del rapportob/a per le piastre rettangolari, diventando trascurabili per b/a > 2.

SPESSORE DELLE PIASTRE

Con riferimento allo spessore può essere fatta una distinzionefondamentale in tre classi; si definiscono così tre comportamentidistinti in funzione dello spessore riferito alla deformazionemassima:

STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE

• piastra spessa: si applica la teoria classica tenendo conto delcontributo di deformazione a taglio (teoria di Lagrange)

Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta primadell’insorgere di tensioni membranali non trascurabili

Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoriadella linea di snervamento


• piastra (molto) sottile: si applica la teoria delle membrane diFöppl. Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta in regimemembranale. Si consideranoin genere grandi spostamenti

• piastra sottile (spessorepiccolo/medio): è la più comunemente


• piastra sottile (spessorepiccolo/medio): è la più comunementeimpiegata nella progettazione delle strutture

Si applica la teoria classica diKirchhoff – Love

Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta quando letensioni membranali non sono più trascurabili


• piastra di grande spessore:si applica la teoria classica tenendoconto del contributo di deformazione a taglio (teoria diLagrange)

Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta prima


Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta primadell’insorgere di tensioni membranali non trascurabili

Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoriadella linea di snervamento

Comunemente col terminePIASTRA SOTTILE intendiamo unsolido che ha una dimensione molto più piccola delle altre due

Chiamiamo spessore questa dimensione minore delle altre, cheindicheremoh e che riterremo per lo più costante

Per esempio,una lamiera può essereassimilataad una piastra


Per esempio,una lamiera può essereassimilataad una piastrasottile

De finiamo la super ficie media della piastra come il luogo deipunti medi dello spessore

La trattazione si base su alcune ipotesi semplificative

Per lo studio della piastra inflessa esistono fondamentalmente dueformulazioni analitiche distinte

Teoria classica di Lagrange (small deflection, nella validitàdelle ipotesiKirchhoff – Love)

Teoria di Von Kármán (large deflection)


In funzione delle ipotesi su cui si basa ciascuna trattazioneoccorre individuarela schematizzazione che meglio si adeguaallo studio del comportamento della struttura reale, nonnecessariamente legata al grado di complessità matematica adessa connessa

Per le piastre sottili si utilizzano in genere, nell’ipotesi di piccolispostamenti, le ipotesi della teoria diKirchhoff – Love

Tali ipotesi sono molto simili a quelle di de Saint Venant per letravi

1. La superficie media (piano medio) è neutra e come


1. La superficie media (piano medio) è neutra e comeconseguenza le tensioni normali si annullano a metà dellospessore. Tale ipotesi è tanto più verificata quanto più glispostamenti sono piccoli rispetto allo spessore della piastra

2. Le sezioni piane e normali al piano medio per effetto delleazioni esterne e delle conseguenti deformazioni rimangonopiane e normali al piano medio

3. Lo sforzo normale al piano medio e trascurabile

Le diverse teorie possono essere applicate a piastre caratterizzateda differenti rapporti dimensionali, o alla stessa struttura indiverse fasi dello stato di sollecitazione e di tensione (ad esempioin funzione dell’intensità del carico)

Poiché l’obbiettivo finale del progetto consiste nello stabilire ilmassimo carico (a parità di distribuzione) che può essere


massimo carico (a parità di distribuzione) che può esseresopportato dalla struttura prima del collasso, il perseguimento ditale obbiettivo ha portato a sviluppare anche teorie applicabili incampo plastico

Si consideri ad esempio una piastra di medio spessore, dimateriale perfettamente elastico ed isotropo

Per carichi di modesta intensità il comportamento potrà esserecorrettamente studiato mediante la teoria classica di Lagrange

All’aumentare della deformazione si svilupperanno anchetensioni di tipo membranale che renderanno il comportamento piùprossimo a quello descritto della teoria dei grandi spostamenti

Supponendo che, al crescere del carico, il materiale continui amantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie della


mantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie dellamembrana (Föppl)

Se, al contrario, si verificassero fenomeni plastici occorrerà farericorso alla teoria elasto – plastica

STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE

l

pz

y

x

pzpx

pybz

bz Forza per unità di Area

pz Forza per unità di Lunghezza

px , py Coppia per unità di Lunghezza

[ ]2−⋅ LF

[ ]1−⋅ LF

[ ] [ ]FLLF =⋅⋅ −1

xz

Considerazioni generali e ipotesi semplificative (Kirchhoff –Love)

�spostamenti infinitesimi: gli spostamenti sono tanto piccoli(insieme alle loro derivate) da poter essere trattati comeinfinitesimi (si trascurano le potenze superiori alla prima, inquantoinfinitesimi di ordinesuperiore);


quantoinfinitesimi di ordinesuperiore);

�σz=0

� tutti i punti che sono su un segmento perpendicolare al pianomedio hanno lo stesso spostamentow

�un segmento piano si mantiene tale dopo la deformazione (latangente è uguale alla derivata diw rispetto a x): lo stato dispostamento è espresso in funzione diw

� i punti sul piano medio della piastra subiscono spostamenti nellasola direzionez. Lo spessore deve essere piccolo per rispettarel’ipotesi della conservazione del segmento piano. Ciò equivale aconsiderare trascurabili gli scorrimenti xz e yz. Lo spessore nondeve essere piccolissimo affinché le tensioni membranali sianotrascurabili


La trattazione delle piastre è basata sul classico metodo deglispostamenti. Le incognite del problema sono soltanto gli sforziinterni

Nelle equazioni di equilibrio si introducono le equazioni dicongruenza ed i legami costitutivi dei materiali ottenendo unaequazionenellasolaincognitadi spostamentow


equazionenellasolaincognitadi spostamentow

l

pz

y

x

pzpx

pybz


w ≠ 0 u , v ≡ 0 sulla Superficie Media

εz = 0

xz

w(x, y, z) = w(x, y)

ε , σ lineari sullo spessore

Considerando un elemento infinitesimodx dy appartenente ad unapiastra


La distribuzione delle tensioni sullo spessore, in analogia aquanto avviene per le travi, è di tipo lineare per le tensioniσx , σy

e τxy mentre per le tensioniτxz e τyz è di tipo parabolico


È evidente che se non fossero presenti le tensioniτxy , la piastrapotrebbe essere assimilata ad una doppia serie di travi disposteortogonalmente tra loro

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