Lezione 15 Ponti (Modello Di Engesser)

8/19/2019 Lezione 15 Ponti (Modello Di Engesser)

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Il

comportamento

degli

impalcati

da

ponte

2


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Ponti

a

travataModellazione

3

Il modello d’analisi dovrebbe :

Ⱶ includere quanto più elementi strutturali possibile

(telai trasversali, irrigidimenti, appoggi…)

Ⱶ riflettere la risposta strutturale in termini di deformazioni, resistenze e stabilità locale e globale.

Ⱶ considerare tutti gli stadi di costruzione e i casi di carico

Ⱶ considerare carichi facilmente applicabili

Ⱶ consentire il comportamento dinamico e includere i più significativi modi di vibrazione

Ⱶ essere facilmente implementabile

Ⱶ determinare risultati che consentono facilmente la verifica di normativa

Ⱶ essere supportato da programmi di analisi in commercio


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Ponti

a

travataModellazione

4

Il ponte, che è un sistema spaziale, può essere ricondotto a :

Ⱶ modello di calcolo bidimensionale

Ⱶ modello monodimensionale

− piastra equivalente

− graticcio di travi

Ⱶ modello di calcolo tridimensionale


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modello monodimensionale

5


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Ponti

a

travataModellazione

monodimensionale

6

Pregi

Ⱶ I modelli monodimensionali ben si adeguano al progetto per carichi verticali. Tuttavia, essi non considerano tutti gli elementi strutturali (ad esempio le travi trasversali, i controventi orizzontali). Pertanto, alcune verifiche (ad esempio l’instabilità laterale) vanno eseguite a parte.

Ⱶ I modelli monodimensionali sono supportati da programmi commerciali di analisi strutturale che considerano le fasi di costruzione, l’influenza della temperatura, viscosità e ritiro ed eseguono automaticamente le verifiche strutturali di normativa.

Difetti

Ⱶ I modelli monodimensionali non sono accurati per ponti curvi o sbiechi.


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Ponti

a

travataModellazione

monodimensionale

7

La soluzione del problema di De S. Venant può essere considerata

se esiste un piano , detto piano di sistema, che contiene :

• l’asse geometrico della trave

• uno degli assi principali di inerzia

della sezione retta

• gli enti sollecitanti

a λ1 λ2 a

y

x

z

s

L

B


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Ponti

a

travataModellazione

monodimensionale

8

• La conservazione della forma può non essere garantita visto che la sezione è a pareti sottili.

Problemi :

• Gli enti sollecitanti non sono spesso concentrati

in corrispondenza del piano di sistema.

La garanzia della conservazione della forma consentirebbe di sostituire i carichi distribuiti con le loro risultanti.

Alla conservazione della forma tende il progettista mediante l’uso di nervature trasversali.


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Ponti

a

travataModellazione

monodimensionale

9

1. Caso della sezione indeformabile (traversi rigidi)

L’unico elemento trascurato nella utilizzazione dei risultati della trave è l’eccentricità che il carico risultante distribuito o le forze risultanti concentrate hanno rispetto al piano del sistema

Il carico risultante Q totè caratterizzato da :

tot iQ Q

i i

tot

Q eeQ

( intensità )

( posizione )

Problema da risolvere :

Ⱶ eccentricità del carico

Q 1

y

e

e2

Q 2Q 3


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Ponti

a

travataModellazione

monodimensionale

10

2. Caso della sezione deformabile (traversi non rigidi)

Lo stato di sollecitazione e di deformazione del singolo elemento della sezione non dipende solo dalle caratteristiche del carico risultante ma anche dalle caratteristiche (intensità e posizione) dei singoli carichi

Problema da risolvere :

Ⱶ eccentricità del carico

Ⱶ ripartizione trasversale del carico

Q 1

y

e

e2

Q 2Q 3


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11

Ponti

a

travataModellazione

della

sezione

trasversale

Occorre definire preventivamente la zona collaborante della soletta


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12

Ponti

a

travataModellazione

delle

travi

a

cassone

Travi a cassone semplice possono essere modellate mediante una

sola asta se le pareti del cassone sono sufficientemente irrigidite da diaframmi (travi trasversali piene o controventate) alquanto ravvicinati da evitare la distorsione della sezione trasversale.

Questa condizione è usualmente soddisfatta se la spaziatura degli elementi trasversali è tra 3.5 e 5m, in funzione delle dimensioni del cassone.


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13

Ponti

a

travataModellazione

degli

appoggi

nei

ponti

a

cassone

Occorre porre attenzione nel posizionamento del vincolo

alle pile al fine di determinare correttamente le reazioni degli appoggi.

E’ opportuno realizzare dei tratti rigidi per rappresentare

i punti di contatto tra la trave e le pile.

elementi

rigidi

asse trave


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modello

monodimensionale:comportamento flessionale

14


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15

Ponti

a

travataComportamento

flessionale

Le caratteristiche della sollecitazione M e V

provocano tensioni normali e tangenziali :

y I

0V

b S

I

( formula di Jourawsky )


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16

Ponti

a


flessionale

Lo spostamento verticale

è indipendente dalla coordinata x ,v z x v z

( , ) ' yw y z v

Lo spostamento assiale nasce per effetto della rotazione flessionale ed è indipendente dalla coordinata x :

a λ1 λ2 ay

x

z

s

L

B


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17

Ponti

a


flessionale

Per derivazione delle precedenti equazioni si ottiene :

''w

v y y

''v

EI

e per successiva derivazione ………………………… ''' V v EI

a λ1 λ2 ay

x

z

s

L

B


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18

Ponti

a

travataDeformazioni

a

taglio

Nella maggior parte dei casi, le deformazioni a taglio sono alquanto

piccole e pertanto la loro influenza può essere trascurata.

χ è il fattore di taglio

' M V

v dz C EI GA

In tal caso, se si aggiunge il contributo della deformazione da taglio, si ha :

dove

L’influenza delle deformazioni a taglio deve essere considerata nei ponti di piccola luce


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modello

monodimensionale:comportamento torsionale

19


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20

Ponti

a

travataEquilibrio

torsionale

Oggetto :

elemento di travata lungo dze soggetto a momento torcente.

z z z 0T dT m dz T

zdT dz m

zT m dz

Da questa relazione si ottiene ……………….

zT

z zT dT

x

y

O

m

dz z

(+)

Equazione di equilibrio alla

rotazione intorno a z

Ipotesi:

La sezione trasversale è rigida nel proprio piano


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21

Ponti

a

travataEquilibrio

torsionale

Per detto elemento di travata vale :

(1)

z 'T GJ GJ

Derivando questa relazione, si ottiene :

''GJ m

dove :

(1) angolo unitario di torsione (rotazione relativa tra due sezioni a distanza unitaria)J rigidità torsionale primariaG modulo di elasticità tangenziale

Questa relazione può ritenersi valida

se la sezione è compatta

zdT dz m


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22

Ponti

a

travataRipartizione

del

carico

torcente

Alla rotazione (z) della sezione

corrispondono spostamenti verticali,

i iv x

F

m=Q

tot

e

e

0 1 3

0 1 32

v0v1

v2v3

valutabili tramite la relazione :

x0

C

La torsione globale della trave è fronteggiata attraverso :

Ⱶ torsione della sezione

Ⱶ flessione delle nervature

longitudinali

m=Q

tot

e

Q

tot


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23

Ponti

a

travataRipartizione

del

carico

torcente

Di questa inflessione delle nervature è possibile tener conto :

1. trascurando la continuità rotazionale tra soletta e nervature(teoria di Engesser)

2. considerando la continuità rotazionale tra soletta e nervature(teoria della torsione non uniforme)


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24

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Ⱶ la sezione è schematizzata come un insieme di travi longitudinali di eguale lunghezza

'''' ''''

i i i i i R EI v EI x

Il carico torcente è fronteggiato dall’inflessione delle singole travi

Ⱶ la rigidità torsionale primaria dei vari elementi è trascurata

v0v1

v2v3

R0 R1 R2 R3

x0

x1

C

Le travi si oppongono allo

spostamento con un carico reattivo :

Ai fini della ripartizione del carico torcente :

m=Q

tot

e


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25

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

''''

i i i

i i

0 R EI x '''' 2

i i i i

i i

R x EI x m

Da queste relazioni deriva :

'''' tot

2 2i i i i

i i

m Q e

EI x EI x

I carichi reattivi devono :

verificare l’equilibrio alla traslazione verticale (risultante complessivamente nulla)

verificare l’equilibrio alla rotazione torsionale

ovvero ……………………


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26

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Per effetto del carico torcente per unità di lunghezza Q tot∙e,

il carico reattivo sulla generica trave è :

i ii i i tot2

i i

i

''''

EI x R EI x Q e

EI x

Per effetto del carico centrato Q tot, il carico reattivo sulla generica trave è :

ii tot

i

EI R Q

EI

(carico torcente)

(carico centrato)

P i


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27

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Complessivamente, il carico reattivo della generica trave è :

i i i itot,i tot tot tot i tot2 2

i i i i

i i

i i

EI EI x EI EI x R Q Q e e Q Q

EI EI x EI EI x

… dato il carico di intensità Qtot ed eccentricità e, il coefficiente di ripartizione τifornisce la quota di carico che compete alla generica trave.

dove τi è un coefficiente di ripartizione

ovvero …

Per Qtot

=1 ed eccentricità e variabile, la relazione precedente fornisce la linea di influenza della reazione della trave i‐esima

P ti t t


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28

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Se …

le travi sono tutte uguali,ma con luci qualsiasi,

tot,i tot i tot2

1

1

i

i

x

R e Q Qn x

essendo :

(n+1) il numero di nervature longitudinali

F

e

C

x

i

0 1 3

x

il carico reattivo della generica trave è :

P ti t t


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29

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Se…

le luci delle travi sono eguali :

essendo

22 22 2 2 2

0 0

1 2 1 14 4 4 1 4

4 4 6 2

n n

i

i i

n n n n n x i n in n n

i 22

x i n

Inoltre :

20

1 2 1

6

n

i

n n n

i

0

1

2

n

i

n n

i

e

2 24 4

1 2 1 1 24 6 2 12

n n n n n n n n

F

e

C

x

i

0 i n

x

P ti t t


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30

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

tot

e

C

x

i

e quindi :

tot22 21

1 1 2 12

i ne Q

n n n n

tot,i tot2

1

1

i

i

x R e Q

n x

Se i=0 o n (trave di estremità) :

tot,i tot

1 61

1 2

e R Q

n n

tot6 21

11 2

i ne Q

n n n

tot,i R

0 i n

x

Se…


P ti t t


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31

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Dalle relazioni ricavate in precedenza si ha :

Data l’affinità tra la rotazione torsionale e lo spostamento verticale,lo spostamento totale della generica trave vale:

i ''''tot

2 2

i i i i

i i

''''

EI Qe e v

EI x EI x

i

tot,i m i i m2

i i

i

1

i

EI v v x e x v v

EI x

dove αi è un coefficiente di amplificazione dello spostamento medio.

'''' 2

i i i i

i i

R x EI x m

Ponti a travata


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32

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

F

e

C

dove :

Se la trave è di estremità :

0

n

61

2

e

n

6 212

i n e

n n

0 i n

x

tot,i i mv v

Se…


i 2 2 x i nxi

i 2

i i

i

1 i EI

e x EI x

essendo

22

0

1 212

n

ii

x n n n

Ponti a travata


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33

Ponti

a

travataMetodo

di

Engesser

Poiché spostamenti, caratteristiche della sollecitazione e tensioni

sono tra loro correlati da legami di proporzionalità, …

i i y

I

0 iiV

b S

I

… lo stato tensionale della singola nervatura longitudinale potrà essere dedotto da quello conseguente alla flessione retta …

… amplificato mediante il coefficiente α, ovvero :

Tensioni normali Tensioni tangenziali

Ponti a travata


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34

Ponti

a

travataInfluenza

del

numero

dei

campi

Se…

All’aumentare dei campi, le nervature estreme sono sempre più sollecitate.

n

6 31 1

2 2

e n

n n

Non vi è alcun vantaggionel creare impalcati molto larghi.

n

n

tot

e = B/2

C

x

i

0 i n

x

• le luci tra le travi sono eguali

• il carico è eccentrico con e=B/2

si ha

B=n

• la larghezza del ponte è variabile

Ponti a travata


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35

Ponti

a

travataInfluenza

del

numero

dei

campi

ed inoltre :

costi I

cost1i EI n (rigid. fless. globale)

(inerzia nervatura long.)

La scelta del numero di campi è principalmente condizionata dalla progettazione della soletta.

si nota che

•

•

e

=

n

/2

C

x

i

=B/ n+1

0 i n

x

B

n

2

i i

i 0

1n x x

n

il numero dei campi ha una scarsa influenza sulla ripartizione.

B

B

tot

Se…

• le luci tra le travi sono eguali

• il carico è eccentrico con e=B/2

• la larghezza del ponte è fissa

i

i 2

i i

i

1 i

EI e x

EI x

Ponti a travata


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36

Ponti

a

travataTorsione

primaria

e

secondaria

Con il metodo di Engesser si è mostrato come è possibile fronteggiare

un carico torcente esterno in assenza di rigidità torsionale primaria.

'''' ''

(z) (z)m E GJ

Se sono considerate entrambe le rigidità torsionali (primaria e secondaria), l’equazione fondamentale della trave soggetta a momento torcente diventa :

dove :

GJ rigidità torsionale primaria

E = EI x2

è la rigidità torsionale secondaria dell’impalcato


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torsione

primaria:

sezioni aperte e chiuse

37

Ponti a travata


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38

Ponti

a

travataRigidità

torsionale

primaria

in

sezioni

aperte

La sezione aperta del ponte risulta scomponibile

in una serie di rettangoli allungati costituiti da :

31

3

GJ G L

L lato maggiore della sezione rettangolare

Per ciascuna di queste parti la rigidità torsionale primaria si scrive :

dove :

Ψ coefficiente di forma

lato minore della sezione rettangolare

Ⱶ soletta di impalcato

Ⱶ nervatura

Ponti a travata


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39

Ponti

a

travataRigidità

torsionale

primaria

in

sezioni

aperte

51,3,5

1.92 11 tanh

2n

n L

L n

Il coefficiente Ψ si deduce dalla relazione :

Per L/ δ ≥ 2.5

è lecito effettuare la seguente approssimazione :

1 0.63 L

L /


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Ponti a travata


41/116

41

Ponti

a

travataTensioni

da

torsione

primaria

in

sezioni

aperte

Lo stato tensionale è quello della sezione rettangolare

con valori massimi agli estremi dei lati minori

i

23

T

L

dove :

3

i i i ii tot tot 3

i i i i

GJ LT T T

GJ L

Ti aliquota di momento torcente primario relativo al singolo rettangolo, ottenibile scomponendo T

totin parti proporzionali alla rigidità delle singole parti secondo la relazione :

Ponti a travata


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42

Ponti

a

travataTorsione

primaria

in

sezioni

chiuse

Nel caso di sezioni chiuse, l’elevato grado di connessione

determina una certa difficoltà di soluzione.

G h

xiB/2 B/2

b0s1

s2

0 1 n

Ponti a travata


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43

Ponti

a

travataTorsione

primaria

in

sezioni

chiuse

Una soluzione approssimata può essere determinata assumendo che

l’intensità dei flussi (τb0)i vari con la distanza xi dal piano di simmetria.

G h

xib/2 b/2

b0

s1

s2

0 0 ii2

b b x

b

Pertanto, detto (τb0) il valore reattivo delle nervature estreme si ha :

0b 0 ib

Ponti a travata


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44

Ponti

a

travataTorsione

primaria

in

sezioni

chiuse

I flussi nelle solette

sono esprimibili in funzione dei flussi (τb0)i , ovvero :

1 2 0 i j ji=j

2 n

s s b xb

( analogia idrodinamica )

x6

h 6b

0 1 2 4 5 6

5b

4b

h

b/2 b/2

s1

s2

6b

6 5b b 6 5 4b b b

+

+

=

Ponti a travata


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45

Ponti

a

travataTorsione

primaria

in

sezioni

chiuse

I flussi nelle solette sono esprimibili in funzione dei flussi (τb0)i ,

ovvero :

G

xiB/2 B/2

s1

s2

1 2 0 0 i j j ii=j i=j

2n ns s b b x

b

h

b0

Ponti

a

travata


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46

Torsione

primaria

in

sezioni

chiuse

L’equilibrio tra il momento torcente esterno T e quello interno

impone che valga la relazione :

20 i 0 i jii 0 j 1 i 0

4n n nh

T b hx s h b xb

T 0 i i2

2T b x h x B

S i 0 i ii

22 2T s x h b x x h

B

x6

hContributo nervatura

Contributo soletta

6b

0 1 2 4 5 6

5b

4b

Ponti

a

travata


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47

Torsione

primaria

in

sezioni

chiuse

L’equilibrio tra il momento torcente esterno T e quello interno

impone che valga la relazione :

20 i 0 i jii 0 j 1 i 0

4n n nh

T b hx s h b xb

Risolvendo rispetto a (τb0) si ottiene:

2 2

0 2 2i i2 2 2 2 2

T b T b T

b bh x x

Questa relazione può intendersi come la formula generalizzata di Bredt, a cui si torna

in assenza di nervature intermedie ponendo il coefficiente correttivo =1.


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torsione

secondaria

di

sezioni

aperte:

1a modifica del metodo di Engesser

49

Ponti

a

travata


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50

Modifiche

del

metodo

di

Engesser – sezioni

aperte

Il metodo di Engesser non permette una valutazione rigorosa della torsione secondaria.

2 2 2 i i A E EI x E x y dA

Infatti, nell’ipotesi di variabilità lineare degli spostamenti verticali si ha :

e anche le tensioni normali, a meno del valore medio del comporta‐mento a trave, assumono una variabilità lineare con la coordinata x.

i i2

i i

i

1

EI e M

x y EI x I

Ponti

a

travata


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51

Modifiche

del

metodo

di


aperte

In virtù del diverso grado di diffusione del materiale della soletta e delle nervature si ha :

• equilibrio alla traslazione longitudinale (soddisfatto)

• equilibrio alla rotazione intorno ad asse orizzontale (soddisfatto)

• equilibrio alla rotazione intorno ad asse verticale (non soddisfatto)

G2

y

x

spostamenti verticali

Ponti

a

travata


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52

Modifiche

del

metodo

di


aperte

Per soddisfare l’equilibrio alla rotazione intorno ad un asse verticale

è opportuno modificare la posizione dell’asse neutro.Se si trasla l’asse neutro verso l’alto di un segmento , si ottiene :

K x y

G

O

y

h

h

y

Ponti

a

travata


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53

Modifiche

del

metodo

di


aperte

Se si impone l’equilibrio alla rotazione intorno ad y ( ) e si

considerano separatamente l’area di soletta e l’area di nervatura, si ha :

0 xdA

2 2 2 2 2

3/ 2

2 2 20

212

s n s n

n n

i

A A A A A

B

i i

s A s s A

x y dA x y dA x y dA x y h dA x y h dA

B x dx y h dy x y h dA ydy hdy x y h dA

32

1 012

i n n

BS h s x S h A

dove :

Sn momento statico di una nervatura rispetto ad xS

1 momento statico di una striscia di soletta di larghezza unitaria rispetto ad x

Ponti

a

travataf h l


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54

Modifiche

del

metodo

di


aperte

Se aggiungiamo e sottraiamo la quantità :

2 1 12n B S n otteniamo

3 3 2 22 2

1 1 112 12 12 12i n i n n n B B B B

S h s x S x h A n S n S

2 3 2

2 211 1

12 12 12n n i n i B B Bn S BS h s A x S n x

dove :

(n+1)Sn momento statico di tutte le nervature rispetto ad x.

ovvero :

Ponti

a

travataM difi h d l d di E i i


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55

Modifiche

del

metodo

di


aperte

Pertanto, la distanza vale :

22

32

112

12

i

n

n i

B

n xh S B

s A x

2

11 012

n

Bn S BS

Poiché il momento statico di tutta la sezione rispetto all’asse neutro

è nullo, si ha :

h

Ponti

a

travataM difi h d l t d di E i i t


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56

Modifiche

del

metodo

di


aperte

La rigidità torsionale andrà calcolata rispetto ad un asse ≠ xe ad una distanza

≠ y , ovvero:

2 2

A

E E x y dA

y x

(prima modifica del metodo di Engesser)

Ponti

a

travataE i difi h di E

2

2112

i

Bn x

h S


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57

Esempio

su

modifiche

di

Engesser

Se…

le nervature sono uguali e ugualmente spaziate di luce λ, si ha:

2 2

2 1112 1 12

i B Bn xn

ovvero, all’aumentare delle nervature

y tende a coincidere con

1/(n+1)

n y

2

2

0 12 1

n

i

i

B xn

1n n 2n

i 22

x i n

e … e

C

x

i

0 i n

x

B

quindi :

32

12

12

n

n i

h S B

s A x

Ponti

a

travataModifiche del metodo di Engesser sezioni chiuse


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58

Modifiche

del

metodo

di


chiuse

Nel caso di sezioni chiuse :

In tal caso risulta sempre minore di quello ottenuto nel caso di sezione aperte

a causa della presenza della controsoletta.

3 3 2

1 2 i n

3 3 2

1 2 i n

1

12

1

12n

B S b S x S

h

B s b s A x S

h

h

b/2 b/2

s1

s2

B

dove :

Sn momento statico di una nervatura rispetto ad xS1 momento statico di una soletta sup. di larghezza unitaria rispetto ad xS2 momento statico di una soletta inf. di larghezza unitaria rispetto ad x


59/116

torsione

secondaria

di

sezioni

chiuse:

2a modifica del metodo di Engesser

59

Ponti

a

travataComportamento sezioni aperte


60/116

60

Comportamento

sezioni

aperte

Il comportamento torsionale di una nervatura di una sezione apertaè assimilabile a quello di un rettangolo allungato sul piano medio, dove risultano nulle le tensioni tangenziali ed i relativi scorrimenti :

' 0 zyw v w

v

y z y

' '

wv x

y

Nelle travi inflesse per effetto della torsione si ha,

introducendo la distanza al posto di y :

' 'w v y x y '' ''w

v y x y z

y

e …

Ponti

a

travataRigidità torsionale secondaria in sezioni chiuse


61/116

61

Rigidità

torsionale

secondaria

in

sezioni

chiuse

Passando alle sezioni chiuse, le non saranno più nulle nei piani medi delle nervature,

poiché …

2

0 0 i i2i

2 2

2 2 i

T bb b x x

b x b

area racchiusa dalla linea media dell’anello esterno

= b∙h

h

b/2 b/2

s1

s2

B

b0

T

b

Ponti

a


2 2

T bb x


62/116

62

Rigidità

torsionale

secondaria

in

sezioni

chiuse

avendo sostituito nel momento torcente le seguenti espressioni :

ovvero

'T GJ 2

2

2

0 1 2

4 2

2 i

h b b bGJ G

b x s s

2 2 2'

2 2 20 0

2

0 1 2

1 ' 1 4

2 2 2 22

2

zy

i i

i

GJ b b

Gb x b x h b b b

b x s s

con …

Sulle travi di estremità ( x = b/2) si ha :

2

0

2

0 0

1

2 2

zy

zy

i

b T b

G Gb Gb x

0 i2i 2 2

ib x

x b

hb/2 b/2

s1

s2

B

b0

T

b

Ponti

a



63/116

63

Rigidità

torsionale

secondaria

in

sezioni

chiuse

e (ipotesi di Engesser) :

20 1 2

2

1 2

2' ' 1 '

22 2 21

2

zyi

w b b b

x y bb s s

b h s s

'

2

0 1 2

2

1 2

21

2

zy

i

b

x bb s s

b h s s

Dopo alcune semplificazioni, sulle travi di estremità ( x = b/2) si ha :

Ponti

a



64/116

64

Rigidità

torsionale

secondaria

in

sezioni

chiuse

Per sezioni chiuse, la precedente relazione può scriversi in forma generale :

' 'w

x v y

' 'w v y x y '' ''w

v y x y z

e da questa, ricordando che alla grandezza geometrica va sostituita la grandezza ridotta ,si ha :

x y x y

Ponti

a

travataRigidità torsionale secondaria in sezioni chiuse 2 2E E dA

Sezioni aperte


65/116

65

Rigidità

torsionale

secondaria

in

sezioni

chiuse

La rigidità torsionale secondaria per sezioni chiuse vale :

Se si pone μ=1, la relazione coincide con quella ricavata per sezioni aperte. Ciò rispecchia una continuità fisica di comportamento osservando che μè direttamente legato all’ingobbamento della sezione.

2 E E

e quindi :

2 2 2

A

E E x y dA

2 2

A

E E x y dA

(seconda modifica del metodo di Engesser)

Ponti

a

travataRigidità torsionale primaria e secondaria


66/116

66

g d tà

to s o a e

p a a

e

seco da a

I ponti a sezione trasversale costante possono essere considerati liberi da torsione secondaria se:

T 10E

GJ L

T

i i

10 i=1,2,3...segmentoE E

L

GJ GJ dL L

dove :

GJ rigidità torsionale primariaE rigidità torsionale secondariaL lunghezza della travata

I ponti a sezione trasversale non costante possono essere considerati liberi da torsione secondaria se:


67/116

integrazione

dell’equazione

fondamentale

della

trave

soggetta

a

torsione

67

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


68/116

68

g q

L’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione

essendo … 2 GJ

E

si può anche scrivere :

''''(z) ''(z) E GJ m

2''''(z) ''(z)= m

E

(equazione differenziale lineare a coefficienti costanti)

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


69/116

69

g q

L’integrale generale dell’equazione omogenea associata

è del tipo

L’equazione caratteristica è 4 2 2 0h h

che ammette le soluzioni

'''' 2 '' 0 hze

0h h h

L’integrale generale è :

1 2 3 4

z zC C z C e C e

(doppia radice)

con C1

… C4

da determinare in funzione delle condizioni ai limiti

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


70/116

70

Essendo :

l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

può anche essere scritto :

sinh

2

z ze e

z

' '

1 2 3 4cosh sinh C C z C z C z

dove :

'

3 3 4 C C C '

4 3 4 C C C

cosh

2

z ze e

z


71/116

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


72/116

72

L’integrale particolare è ………….

2

1

2k

2

22

m z

E

'' 2 m

k E

'''' 0

e le sostituiamo nell’equazione differenziale, si ha :

2 2m mk

E E

Se calcoliamo le derivate dell’angolo di rotazione torsionale

e quindi

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


73/116

73

' ' 2

1 2 3 4 2cosh sinh

2

mC C z C z C z z

E

In definitiva, l’integrale generale dell’equazione differenziale

''''(z) ''(z) E GJ m

è

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


74/116

74

Per determinare le costanti di integrazione si pone :

0

' 0

'' 0

''' ' E GJ T

''' E T

rotazione torsionale nulla ‐ vincolo ‐

ingobbamento impedito (w = 0) ‐ sezioni di simmetria o vincolo ‐

tensioni normali nulle ( )‐ sezioni di estremità ‐

momento torcente nullo, ‐ sezioni di estremità o di simmetria ‐

momento torcente nullo e ’=0

˫

˫

˫

˫

˫

………………………………...

………………………………...

………………………………...

………….

…………………….....

'' 0 E y v

Ponti

a

travataIntegrazione

dell’equazione

fondamentale


75/116

75

Nel caso di continuità di più tronchi, si pone nelle sezioni di contatto :

continuità delle rotazioni torsionalinelle sezioni di contatto

continuità degli spostamenti assialinelle sezioni di contatto

eguaglianza delle tensioni normali nelle sezioni di contatto

rotazioni torsionali nulle nelle sezioni di contatto

˫

˫

˫

˫

s d

' '

s d '' ''

s d

……………………..

……………………..

……………………..

s d 0 ……………...


76/116

la

torsione

del

traverso

76

Ponti

a

travataLa

torsione

nei

traversi i iv x


77/116

2

77

'v

x z

che rappresenta :

Gli spostamenti verticali vdefiniscono nel piano longitudinale l’angolo di rotazione :

Ⱶ una rotazione flessionale delle nervature

Ⱶ una rotazione torsionale per gli elementi trasversali.

v0 v1v2 v3

x0

z

v2(z)

v3(z)

3

z*

Ponti

a

travataLa

torsione

nei

traversi


78/116

78

' '

x x x

L’angolo unitario di torsione dei traversi vale:

se si definisce una rigidità distribuita riferita alla fascia di larghezza unitaria,

(rigidità torsionale di cortina)GJ

in una fascia di larghezza infinitesima dz, nasce il seguente momento torcente riferito ai traversi :

' zdT GJ dz

Pertanto,


79/116

Ponti

a

travataLa

torsione

nei

traversi


80/116

80

Pertanto, la presenza di una cortina resistente a torsioneequivale ad una rigidità primaria fittizia :

f GJ GJ bGJ

Il momento torcente primario assume l’espressione

mentre quello sollecitante una fascia unitaria di cortina vale

e va riportato all’interasse Δz servito dal traverso.

'

z1T GJ '

z1T GJ

Tale valore va considerato nell’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione.


81/116

calcolo

delle

tensioni

indotte

da

torsione

81

Ponti

a

travataLe

tensioni

normali


82/116

82

La conoscenza della (z) consente il calcolo delle corrispondenti tensioni normali mediante la relazione

essendo :

'' ''w

E E E v y E x y z

' 'w

x v y

' 'w v y x y

'' ''w

v y x y

z

Ponti

a

travataLe

tensioni

normali


83/116

83

La precedente relazione può essere posta in forma diversa moltiplicando e dividendo per :

'' ''

M

1

x y x y x y E E B

dove :

Se BM=0, anche μ=0 e si ricade nel problema di De S.Venant (solo torsione primaria).

M '' B E è il bi‐momento

Ponti

a

travataLe

tensioni

normali


84/116

84

Mtot

B y x y

I

Lo stato tensionale complessivo sarà dovuto:

comportamento trave inflessa (carico centrato) comportamento torsionale (carico eccentrico)

x

x

y

B/2

b/2

O

G

(tensioni normali dovute al bi‐momento)

Ponti

a

travataLe

tensioni

normali


85/116

85

M Mtot 1

B B I M M x y x y y

I M I I

Si noti che per h → 0 si ha :

Può definirsi ancora una volta un coefficiente di amplificazione

M ii1

B I x

M

21

i

i

i i

EI e x

EI xanalogo a …

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

aperte

σzbds dsdz

τ2bdz

b(s) zbds b dzds

z

22

( )

b

bdz dzdss


86/116

86

Le tensioni tangenziali sono dovute al contributo della torsione primaria e secondaria.

''' ''' '''

20 i i y i y z

A A A

d T b dA E x ydA E x ydA E x S x S dz

dove:

Su una generica corda di una nervatura,il contributo dovuto alla torsione secondaria è :

Sy momento statico rispetto ad x della parte della sezione trasversale della nervatura posta al di sotto della corda

A area della parte della sezione trasversale della nervatura posta al di sotto della corda

essendo '''

2 zT E

// zs


87/116

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

aperte2

B x y


88/116

88

Unendo le due relazioni si ha :

A Ad d BdA x y dAdz dz

x’

O

'' '' 21 1

z

A A

d T E xy dA E xy dA S

dz

B/2

b/2

dS x y dove …

+

++

-

1 2 30

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

chiuse


89/116

89

Si impongono delle sconnessioni ai piedi di n nervature e si applicano le stesse formule delle sezioni aperte, ovvero :

22

2 2

1d

2 4

bS x y h s x

'' '''M 21 1 1 1 1

z A A A

d B d T x y dA E xy dA E xy dA S

dz dz

In particolare, per la controsoletta si ha :

b/2

x’

y’

O

h2

La determinazione rigorosa dei flussi incogniti ai piedi delle n

nervature dove è stata eseguita la sconnessione non è semplice

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

chiuse


90/116

90

Pertanto, si adotta la formula di Bredt generalizzata :

* * * *

1 2 0i i i i

n

i

s s s b

* * i0 0i 2 b xb b

i

* *

0i 2

b

n

i

x

s b

2 2

* **

0 0

2 2

2 2

b b

n n

i i

i i

x x

T b bh b

x’

y’

O

essendo :

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

chiuse


91/116

91

L’incognita (τb0) si ottiene equilibrando le forze interne totali τdAe il momento torcente secondario T z2.

2 22

1 i i i i0

1

n zT

d dl h x S x I

2 2 21

zs

T d dl h h I

(nervature)

(controsoletta)

I contributi della sezione chiusa all’equilibrio torsionale sono :

2* zd dl d dl T (contributo

sezione aperta)(contributo

sezione chiusa)

dove d è la distanza rispetto ad un polo arbitrario, in questo caso la soletta superiore.

Ponti

a

travataLe

tensioni

tangenziali

nelle

sezioni

chiuse


92/116

92

Risolvendo l’equazione di equilibrio torsionale si ha :

**

2

11

zT T

dove

* 2 21 i i i i 2 s2 h x S x I h h I


93/116

esempi

93


94/116

EsempiTravata

appoggiata


95/116

95

Condizioni ai limiti

' 0 '''

0

Ⱶ Nella sezione di estremità (z=l/2) si ha :

0 '' 0

Ⱶ In mezzeria (z=0), per simmetria, si ha :

( tensioni normali nulle )( rotazione torsionale nulla )

( momento torcente nullo )

( ingobbamento impedito )

EsempiTravata

appoggiata


96/116

96

Dalle le prime due condizioni si ottiene :

4 2 0C C 3

4 0C 2 4 0C C

dalle altre due condizioni si ha :

4

3 4

1

cosh / 2

mLC

EI

4 2

1 4

11

8

mLC

EI

L z L Se si adimensionalizzano l’ascissa e la tensione

e quindi …

EsempiTravata

appoggiata


97/116

97

Sostituendo le costanti nell’espressione della soluzione, si ha :

4 2

2 2

1 1 cosh 1

cosh / 2 8 2

mL

EI

Le caratteristiche della sollecitazione valgono :

'

1

1 sinh

cosh / 2 zT GJ mL

'' 2

M 2

1 cosh1

cosh / 2

B EI mL'''

2

1 sinh

cosh / 2 zT EI mL

EsempiTravata

appoggiata


98/116

98

La caratteristica torcente si avrà per somma di due aliquote :

1 2 z z zT T T mL

z

T z1

T z2

mL/2

1

1 sinh

cosh / 2

zT mL

2

1 sinh

cosh / 2

zT mL

dove

EsempiCasi

limite

per

travata

appoggiata


99/116

99

Passando ai limiti, le relazioni trovate in precedenza consentono di trovare i casi di sola torsione secondaria e di sola torsione primaria.

2 GJ

EI

GJ L L

EI

2 2

1 1

EI L GJ

per σ → 0, valgono i seguenti limiti:

limsinh limcosh / 2 1 2 2 4

2 4cosh 1 5lim 1cosh / 2 8 2 384 16 24

Se si utilizzano le posizioni


100/116

EsempiTravata

a

sbalzo


101/116

101

Caso: trave a sbalzo, con carico torcente distribuito m

e coppia torcente T concentrata all’estremo.

L

z

y

m=a e

T =A e

La soluzione dell’equazione fondamentale dell’equilibrio torsionale è :

2

1 2 3 4 2cosh sinh

2

mC C z C z C z z

EI

EsempiTravata

a

sbalzo


102/116

102

'' 0 ''' '

EI GJ T

Condizioni ai limiti

Ⱶ All’estremo libero (z=0) si ha :

Ⱶ All’estremo incastrato (z=L) si ha :

' 0

0 ( rotazione torsionale nulla )

( ingobbamento impedito )

( tensioni normali nulle )

( momento torcente )

EsempiTravata

a

sbalzo


103/116

103

Per le prime due condizioni si trova:

Le altre due costanti si possono ricavare dalle altre condizioni :

4

3 4 4m mLC EI EI

4 3

1 2 2 2 2

1 sinh cosh 1 1 1sinh sinh 1

cosh 2 cosh

mL mLC

EI EI

2

2 2 2T TLC EI EI

4 3

4 2 22

1 1sinh 1

cosh cosh

mL mLC

EI EI

EsempiTravata

a

sbalzo


104/116

104

La caratteristica torcente si avrà per somma di due aliquote:

1 2 z z zT T T mL

z

Tz1

Tz2

T

m


105/116

Ponti

a

travataUlteriori

considerazioni


106/116

106

Risulta utile estendere la soluzione ottenuta imponendo GJ=0 al caso in cui non possa porsi tale condizione.

Trave appoggiata: carico ripartito m’1 4 2384 1 1 11

5 cosh 2 8

Trave a sbalzo:

carico ripartito m’

2 4 4 2

senh senh 1 cos 18

cos 2

h

h

Trave a sbalzo: carico concentrato M3 3 2

senh 13

cosh

Rapporto tra rotazione torcente corrispondente a GJ≠0 e rotazione torcente con GJ=0 :

Ponti

a

travataUlteriori

considerazioni


107/116

107

Il coefficiente di amplificazione di Engesserpuò essere calcolato nel seguente modo per tener conto

anche della rigidità torsionale primaria :

i

i 2i i

i

1

i

EI

e x EI x


108/116

EsempiTravata

a

più

luci


109/116

109

Nel caso di sola torsione primaria non si considerano gli ingobbamenti e l’unico vincolo di tipo torsionale è quello che impedisce la torsione .

m m2

L1 L2

L1 /2 L2 /2

mL2 /2

mL1 /2

Si è considerato un carico

costante a e, per e2, le possibilità indicate.

1

1

2T T mL

Ogni tratto compreso tra due vincoli torsionali si trova nella condizione di trave appoggiata, indipendentemente dai vincoli flessionali intermedi

Nel caso più generale il valore estremo del momento vale

EsempiTravata

a

più

luci


110/116

110

Considerando il caso limite di sola torsione secondaria (Engesser), l’equazione fondamentale della torsione diventa :

'''' m

EI

43 2 1

1 2 3 424

mLC C C C

EI

Il suo integrale generale, valido per ciascuno tronco, si scrive:

EsempiTravata

a

più

luci


111/116

111

Il problema è ricondotto a quello della trave inflessa con le seguenti equivalenze :

In questo caso bisognerà tener conto della continuità e la mutua influenza tra le condizioni di carico nei singoli tratti.

Carico = m (momento torcente)

Rigidità flessionale = EI (rigidità secondaria)

Abbassamento = (rotazione torsionale)Taglio = T z (momento torcente)

Momento flettente = BM (bimomento)

EsempiTravata

a

più

luci

m m


112/116

112

m m

L1 L2

T = T 2

BM

e2 = ‐e

e2 = e

e1 = ‐e

e1

= e

T = T 2

BM

e2 = ‐e

e2 = e

e1 = ‐e

e1 = e

EsempiSuggerimenti

per

le

verifiche


113/116

113

Le condizioni di carico che conducono ai valori massimi e i minimi di T e BM non coincidono in generale con quelle che forniscono i valori

massimi e minimi di V e M.

M

B y x y

I 20 y

V T b S xS

I

Ciò non semplifica la ricerca dei valori massimi delle tensioni :

EsempiSuggerimenti

per

le

verifiche


114/116

114

I valori che possono assumere T e BM sono condizionati dai valori modesti dell’eccentricità di carico. Si evince che i primi termini

saranno più condizionanti dei secondi.

Si opererà, pertanto, determinando le massime sollecitazioni di V e M e considerando per la stessa condizione di carico, con opportuna eccentricità, i valori corrispondenti di T e B

M.

Principali

riferimenti


115/116

115

Aldo Raithel. Ponti a travata. Liguori editore. 1978. ISBN 88-207-0563-X


116/116

FINE

116

Documents

Lezione 15 Ponti (Modello Di Engesser)