Ley de Darcy. Conductividad hidrulica

Experiencia de Darcy

En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado delestudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que tambin deba disear filtros dearena para purificar el agua, as que se interes por los factores que influan en el flujo delagua a travs de los materiales arenosos, y present el resultado de sus trabajos como unapndice a su informe de la red de distribucin. Ese pequeo anexo ha sido la base de todoslos estudios fsicomatemticos posteriores sobre el flujo del agua subterrnea.En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utiliz Darcy, y que se denominan permemetros de carga constante1 (Figura 1)

Figura 1.- Permemetro de carga constante.

Q = Caudalh = Diferencia de Potencial entre A y B

l = Distancia entre A y BhGradiente hidrulico=l

Bsicamente un permemetro es un recipiente de seccin constante por el que se hacecircular agua conectando a uno de sus extremos un depsito elevado de nivel constante. En elotro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimentomantiene el caudal tambin constante. Finalmente, se mide la altura de la columna de aguaen varios puntos (como mnimo en dos, como en la Figura 1).

Gradiente es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relacin con la distancia entre esos dos puntos. Si la variable considerada fuera la altitud de cada punto, elgradiente sera la pendiente entre los dos puntos considerados. O bien, si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de 8C, diremos que hay entre ellos un gradiente trmico de 4C/metro. Cuantomayor sea ese gradiente trmico, mayor ser el flujo de caloras de un punto a otro. Anlogamente la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos se puede expresar como un gradiente que produce el flujo elctrico entre esos puntos, etc..Darcy encontr que el caudal que atravesaba el permemetro era linealmente proporcional a la seccin y al gradiente hidrulico

1 En laboratorio, el permemetro se sita verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuacindel aire contenido inicialmente en el material poroso

http://hidrologia.usal.es Pg. 13F. Javier Snchez San RomnDpto. GeologaUniv. Salamanca (Espaa)[Julio2014]Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depsito elevado, los niveles del agua en los tubos varan. Podemos probar tambin con permemetros de distintos dimetros y midiendo la altura de la columna de agua en puntos ms o menos prximos. Pues bien: cambiando todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:

Q K Seccin

hl

(1)(K =constante. Ver Figura 1 para el significado de las otras variables)Si utilizamos otra arena (ms gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuacin anterior, pero la constante de proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluy, por tanto, que esa constante era propia y caracterstica de cada arena. Esta constante se llam permeabilidad (K) aunque su denominacin correcta actual es conductividad hidrulica.Como las unidades del caudal Q son L3/T, la seccin es L2, e h e l son longitudes, se comprueba que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).La expresin correcta de la Ley de Darcy es la siguiente:

dh q K

(2) dl

donde: q = Q /seccin (es decir: caudal que circula por m2 de seccin)K = Conductividad Hidrulicadh/dl = gradiente hidrulico expresado en incrementos infinitesimales(el signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya direccines hacia los h decrecientes; es decir, que h o dh es negativo y, por tanto, elcaudal ser positivo)

Velocidad real y velocidad de Darcy

Sabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que: Caudal = Seccin x Velocidad (3)L3/T = L2 x L/TSi aplicamos esta consideracin al cilindro del permemetro de Darcy, y calculamos la velocidad a partir del caudal y de la seccin, que son conocidos, obtendremos una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la seccin del permemetro, sino solamente por una pequea parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevara el agua si circulara por toda la seccin del medio poroso) se denomina velocidad Darcy o velocidad de flujo:Velocidad Darcy = Caudal / Seccin total (4)La parte de la seccin total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz2; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estara circulando por el 10% de la seccin

2 Efectivamente, como explicbamos en el tema anterior, el agua no puede fluir por toda la porosidad, ya queel agua adherida a los granos es relativamente inmvil. Reproducimos una figura del tema anterior.total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una seccin 10 veces menor, su velocidad ser 10 veces mayor. Por tanto, se cumplir que:Velocidad lineal media = Velocidad Darcy / me (5) (me = porosidad eficaz)

El resultado de la expresin (5) tambin se denomina velocidad real (es realmente la velocidad de las partculas en una seccin cualquiera del medio poroso, por ejemplo, en la mostrada en la figura 2 ). Pero no es la velocidad que observaramos desde el

exterior del medio poroso al cronometrar el tiempo de recorrido entre dos puntos.En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L1 lleno de arena

Figura 2.- La parte de la seccin utilizable por el flujo es la porosidad eficazpor el que se hace circular agua. Evaluaremos la velocidad del agua por dos procedimientos:1) Calculamos la velocidad mediante la expresin (5).2) Medimos experimentalmente el tiempo de recorridoaadiendo un colorante al agua. Con ese tiempo calculamos lavelocidad as:

Velocidad observada = Distancia / tiempo = L1 /tiempo (6)

Figura 3.- Tortuosidad del recorridoEsta velocidad observada sera inferior a la calculada mediante (5), ya que el agua ha tenido que recorrer una distancia mayor (ha recorrido L2 y no L1) por lo que aparentemente ha circulado a una velocidad menor. Por tanto, el tiempo real de recorrido entre dos puntos puede ser ligeramente mayor al predicho mediante la expresin (5). La relacin entre la velocidad observada desde el exterior del medio poroso y la calculada a partir de Darcy y de la porosidad eficaz ser as:Velocidad observada = Velocidad lineal media / coeficiente (7)Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y aproximadamente puede ser de 1,0 a1,18 en arenas (Freeze y Cherry, p. 71).En la prctica, habitualmente se utiliza la expresin (5) refirindose al resultado como velocidad real, y se aplica esta velocidad para calcular el tiempo de recorrido del agua subterrnea, pero debemos ser conscientes del error que se podemos cometer al despreciar la tortuosidad del recorrido.

Flujo a travs de varias capas: Permeabilidad equivalente

En un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a travs de varias capas, ydeseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos mssencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujoperpendicular a las capas. Suponemos que cada una de las capas es homognea e istropa.Permeabilidad (o conductividad hidrulica) equivalente es un valor global que podemos asignar al conjunto de capas considerado como una unidad. Y hablaremos de K equivalente horizontal (Kh) o K equivalente vertical (Kv) refirindonos respectivamente a los dos casos citados (suponiendo las capas horizontales, el flujo paralelo a las capas es horizontal, y el flujo perpendicular a las capas es vertical).(La deduccin de las frmulas se encuentra en el Apndice II).Si el flujo es paralelo a las capas (los dos sondeos, que suponemos abiertos en todas las capas, indican el gradiente que provoca el flujo), la permeabilidad equivalente (Kh) se calcula con esta expresin: K b

siendo:

K i i (8)h BKh = conductividad hidrulica horizontal equivalenteKi = conductividad hidrulica de cada una de las capasbi = espesor de cada una de las capasB = espesor total, suma de todos losespesoresTeniendo en cuenta que: K espesor = T (transmisividad), la frmula obtenida equivale a decir que la transmisividad equivalente del conjunto (Kh B) es igual a la suma de las transmisividades de todas las capas (Ki bi).Si el flujo es perpendicular a las capas (los dos sondeos, que suponemos abiertos en sus extremos, indican el gradiente que provoca el flujo), la permeabilidad equivalente (Kv)es igual a:

siendo:

K v

B bi K i

(9)Kv = conductividad hidrulica vertical equivalenteKi = conductividad hidrulica de cada una de las capasbi = espesor de cada una de las capasB = espesor total, suma de todos losespesores

Ejemplo: Consideramos tres capas: dos capas de arenas gruesas con una intercalacin de limos, con los espesores y permeabilidades que se indican en la figura:Con las dos expresiones de Kh y Kv obtenemos:En flujo horizontal: Kh = 136 m/da, la fina capa intermedia es irrelevante, la conductividad hidrulica equivalente se aproxima a la media de las dos capas muy permeables. La capa impermeable apenas influye.En el flujo vertical: Kv = 1,09 m/da. Un metro de material poco permeable influye ms en el valor global que 10 metros de materiales muy permeables.

" #$ % && #' $ %&) #' #$(% && #' " #$ % )&, #'

$ % (*)+" #' Anisotropa

Con frecuencia la K vertical de una formacin detrtica es menor que la K horizontal, debido a la forma y disposicin de losgranos (en la figura, a la izquierda), o a la presencia delminas intercaladas de menor $ permeabilidad (a la derecha).Para una descripcin matemtica del medio permeable, puede ser necesario asignar tres valores Kx, Ky y Kz. Por ejemplo, en el programa

$

-$ .

$ / $

-$ .MODFLOW debemos introducir los valores de la conductividad hidrulica en las direcciones, aunque generalmente se utiliza Kx = Ky.Generalmente no se dispone de un conocimiento del medio poroso suficiente para poder especificar el valor de la conductividad hidrulica (K) en las tres direcciones del espacio: X, Y (horizontales) y Z (vertical) y con frecuencia debemos limitarnos a asignar a una formacin geolgica un valor de K suponindolo vlido para cualquier direccin (medio istropo).

Limitaciones de la Ley de Darcy

La Ley de Darcy puede no cumplirse por las siguientes razones:1). La constante de proporcionalidad K no es propia y caracterstica del medio poroso, sino que tambin depende del fluidoEl factor K puede descomponerse as: K k

donde: K = conductividad hidrulicak = Permeabilidad intrnseca (depende slo del medio poroso) 3= peso especfico del fluido = viscosidad dinmica del fluidoPodemos modificar la expresin (10), teniendo en cuenta que:Viscosidad dinmica () = viscosidad cinemtica () . densidad ()Peso especfico () = densidad () . gravedad (g)gResultando: K = k .

(10)

(11)donde: g = aceleracin de la gravedad = viscosidad cinemtica del fluido

3 Esta k tambin se denomina absolute permability o coefficient of permeability o simplemente permeability Ladenominacin de k como permeabilidad (sin adjetivos) puede generar confusin ya que tambin se utiliza en ellenguaje comn para referimos a la K (conductividad hidrulica).Esta cuestin es fundamental en geologa del petrleo o en el flujo de contaminantes, donde se estudian fluidos de diferentes caractersticas. En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso especfico ni la viscosidad. Solamente habra que considerar la variacin de la viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 C, con lo que se la permeabilidad de Darcy (K) sera la mitad y tambin se reducira en la misma proporcin el caudal circulante por la seccin considerada del medio poroso. Las aguas subterrneas presentan mnimas diferencias de temperatura a lo largo del ao en un mismo acufero, pero en otros entornos s pueden producirse diferencias de temperatura notables.Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterrneas a efectos prcticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidrulica es una caracterstica del medio poroso.(Ver Apndice I)

2). La relacin entre el caudal y el gradiente hidrulico no es lineal en algunas circunstancias. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades del flujo son muy altas.En el primer caso, por ejemplo, si aplicamos la Ley de Darcy para calcular el flujo a travs de una formacin arcillosa, el caudal que obtendramos sera bajsimo, pero en la realidad, si no se aplican unos gradiente muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0.En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es directamente proporcional a la seccin y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la funcin sera potencial:

dl nq K dh

(12)

donde el exponente n es distinto de 1.Para estudiar este lmite de validez de la ley de Darcy se aplica el nmero de Reynolds. Este coeficiente se cre para canales abiertos o tuberas, y en general valores altos indican rgimen turbulento y valores bajos indican rgimen laminar. Para medios porosos se aplica la frmula utilizada para canales o tubos, pero sustituyendo el dimetro de la conduccin por el dimetro medio del medio poroso y considerando la velocidad Darcy:R v d

Donde: = densidad del fluido (Kg/m3)v =velocidad de Darcy (m/s)

v d

(13)d = dimetro medio de los granos (m) = viscosidad dinmica (Pascalm = Kg/(m2 s) )= viscosidad cinemtica (=m2/sEs imposible conocer el grado de turbulencia del flujo a travs de un medio poroso, pero experimentalmente se ha observado que deja de cumplirse la Ley de Darcy (el caudal deja de ser linealmente proporcional al gradiente) cuando R alcanza un valor que vara entre 1 y 10. (Es decir: R10, no se cumple Darcy; R entre 1 y 10, puede cumplirse o no).Esa falta de precisin del valor lmite ser debida a otros factores diferentes del dimetro medio de los granos: heterometra, forma, etc.En el flujo subterrneo las velocidades son muy lentas, los valores de R muy bajos, y prcticamente siempre la relacin es lineal, salvo en las proximidades de algunas captaciones bombeando caudales elevados.

Apndice I. Variacin de la conductividad hidrulica con el fluido

Aplicando la frmula (11) a dos fluidos de viscosidades cinemticas 1y 2 respectivamente, y dividiendo miembro a miembro, obtenemos: K1 2

; siendo: K1 = conductividad hidrulica circulando el fluido de viscosidad 1K2 1

K2, = conductividad hidrulica circulando el fluido de viscosidad 2

temp(C)Densidad(103 Kg/m3)Viscosidad dinmica (103.Kg/(m.s))Viscosidad cinemtica (centistokes=106 m2/s)200,998291,0031,005210,998080,9790,981220,997860,9550,957230,997620,9330,935240,997380,9110,913250,997130,8910,894260,996860,8710,874270,996590,8520,855280,996310,8330,836290,996020,8150,818300,995710,7980,801310,995410,7810,785320,995090,7650,769330,994760,7490,753340,994430,7340,738350,994080,7200,724360,993730,7050,709370,993370,6920,697380,993000,6780,683390,992630,6660,671Si en ambos casos el fluido es el agua, la viscosidad vara con la temperatura, de modo que los valores de pueden obtenerse de la tabla siguiente:

temp(C)

Densidad(103 Kg/m3)Viscosidad dinmica (103.Kg/(m.s))Viscosidad cinemtica (centistokes=106 m2/s)

00,999821,7921,792

10,999891,7311,731

20,999941,6741,674

30,999981,6201,620

41,000001,5691,569

51,000001,5201,520

60,999991,4731,473

70,999961,4291,429

80,999911,3861,386

90,999851,3461,346

100,999771,3081,308

110,999681,2711,271

120,999581,2361,237

130,999461,2021,203

140,999331,1701,171

150,999191,1391,140

160,999031,1091,110

170,998861,0811,082

180,998681,0541,055

190,998491,0281,030

Por ejemplo: para 19 C: visc dinmica = 1,028.103 Kg/(m.s) ; visc cinemtica = 1,030.106 m2/sEjemplo: Hemos medido la K de unas arenas circulando agua a 24C= 13,8 m/da. Calcular la K con agua a 5C. K5 24 ;

K5

13, 8 m/da . 0, 913

8, 29 m/daK24

5

1, 520Lgicamente, los caudales calculados al aplicar la Ley de Darcy variarn en la misma proporcin en que vara la K.Apndice II. Flujo a travs de varias capas: Obtencin de las frmulas de la permeabilidad equivalente

Flujo paralelo a las capas:Caudal a travs de la capa superior por metro de ancho (ver 1 m en la figura):

Q1 K1

b1

1 hl(entre corchetes [ ] figura la seccin)El caudal total ser la suma del que circula a travs de todas las capas consideradas:

Q Q

K

b hi i i lh(el gradiente l

est fuera del sumatorio ya quees comn a todas las capas; ver h e l en lafigura)Tambin podemos calcular el caudal total Qaplicando la ley de Darcy a todas las capas conjuntamente, utilizando una Kh equivalente (cuyo valor an desconocemos); llamaremos B a la suma de todos los espesores (B = bi) :

Q K

B 1 hh l

(entre corchetes [ ] figura la seccin)Igualando las dos expresiones anteriores: K

b h K

B 1 h

i i l h

l K i b i K h B

; K b

y despejando Kh obtenemos:

K h

i i Bsiendo: Kh = conductividad hidrulica horizontal equivalenteKi = conductividad hidrulica de cada una de las capasbi = espesor de cada una de las capas B = espesor total, suma de todos los espesoresFlujo es perpendicular a las capas: Consideremos el caudal vertical que atraviesauna seccin unidad (q= caudal especfico o caudalpor m2 de seccin):Caudal que atraviesa verticalmente el conjunto de capas (el h total est indicado en la figura):

! "

q K v

hB

# Caudal que atraviesa verticalmente la capa n 1:

q1 K1

h1b1

(h1 = diferencia de potencial entre los lmites superior e inferior de la capa 1)Los dos caudales anteriores son iguales, ya que es el mismo caudal q el que atraviesa la primera capa (ah lo hemos llamado q1), pasa luego a la segunda, etc.; luego igualamos las dos ltimas ecuaciones:K h Kv B

h b

h1

1

b1Y despejando h1 resulta:

h1

K v

1 B K1

Aplicando la ltima expresin a todas las capas y sumando:

h K

h bi

ii v B K

Como la diferencia de potencial hidrulico de todo el conjunto es la suma de las diferencias de potencial de cada una de las capas ( hi h ):

h K

h bi

iv B K

B K v Finalmente, despejando Kv : bi K i

siendo: Kv = conductividad hidrulica vertical equivalenteKi = conductividad hidrulica de cada una de las capasbi = espesor de cada una de las capasB = espesor total, suma de todos los espesoresApndice III. Relacin de la permeabilidad con la granulometra en materiales no consolidados

Para materiales granulares se han establecido diversas frmulas y grficos que permiten evaluar la conductividad hidrulica a partir de la granulometra y en algn caso en funcin de la porosidad. Todas estas expresiones son estimaciones, pero a veces cualquier aproximacin es mejor que nada. No hay que olvidar que todas estas frmulas se refieren a sedimentos granulares, no a rocas consolidadas, aunque se ha aplicado a areniscas (Ishaku et al., 2011).La expresin de Hazen (1911, en Weight, 2008, p.108) es la ms utilizada por su sencillez 4:

10K (m/da) = 8,64 C d 2

(III.1)

donde: d10 = dimetro (mm) que deja pasar el 10% de los granos (10% menor, 90% mayor)C = coeficiente que depende del tamao de grano y de la uniformidad (ver figura I.2). Para evaluar la uniformidad (homometra) se utiliza el coeficiente de uniformidad U:U = d60 / d10 (III.2)donde: d60 = dimetro que deja pasar el 60% de los granos (60% menor, 40% mayor)d10 = dimetro que deja pasar el

4 10% de los granos (10% menor, 90% mayor) El sedimento se considera mal clasificado

0 (poco uniforme, heteromtrico) si U >6, bienclasificado (uniforme, homomtrico) si U < 3y moderadamente clasificado para valoresde U entre 3 y 6. 5An ms simple que Hazen es la expresin del U.S. Bureau of Reclamation(en Kasenow, 2002, p.83):K = 311 d20donde:d20 = dimetro (mm) que deja pasar el 20%de los granos (20% menor, 80% mayor)K = conductividad hidrulica (m/da)

0 1 2 0 3

5

Fig. III.1.-Estimacin del coeficiente C de Hazen [dibujado a partir de valores numricos de Weight (2008)]

Actualmente (Carrier, 2003) se aboga por olvidar la expresin de Hazen y utlizar otras formulaciones. Lasexpresiones ms complejas tienen esta estructura comn (Vukovic y Soro, 1992, citado en Odong, 2007):K g Coef .uniformidad Funcin

de la

eporosidad d 2

(III.3)donde: de = dimetro efectivo, que en algunas frmulas es d10, en otras debe calcularseg = aceleracin de la gravedad = viscosidad cinemtica

4 En la expresin original de Hazen el d10 se introduce en cm y la K se obtiene en cm/s, y no incluye elcoeficiente 8,64 que se muestra aqu. Con este factor 8,64 introducimos el valor d10 en mm y obtenenemos elresultado (K) en metros/dia.5 Estos lmites de U (3 y 6) proceden de Weight (2008). Segn Bear (1972, p.39) es uniforme si U # & > -#' < .

&&)&&

&)&

&)

& &&: # ; < -## .

6 Porosidad (=vol.huecos / vol.total); Indice de vacos (=vol.huecos / vol.slido)Indice de vacos = porosidad / (1porosidad)7 Al igual que todas las curvas granulomtricas, con frecuencia este grfico aparece invertido: en el eje horizontal, grueso a la izquierda, fino a la derechaBibliografa de este Apndice III

Carrier, W.D. (2003). Goodbye, Hazen; Hello, KozenyCarman. Journal of Geotechnical andGeoenvironmental Engineering, 11: 10551056Chapuis (2003). Predicting the Coefficient of Permeability of Soils Using the KozenyCarmanEquation. Ecole Polytechnique de Montral, 35 pp.Ishaku, J. M; E.W. Gadzama y U. Kaigama (2011). Evaluation of empirical formulae for the determination of hydraulic conductivity based on grainsize analysis. Journal of Geology and Mining Researc.h. 3(4): 105113.Kasenow, M. (2002). Determination of Hydraulic Conductivity From Grain Size Analysis. WaterResources Pub. 97 pp.Odong ,J. (2007). Evaluation of Empirical Formulae for Determination of Hydraulic Conductivity based on GrainSize Analysis. Journal of American Science, 3(3): 5462.Simoes, M. (2010). Estimativa da condutividade hidrulica pela curva de distribuio granulomtrica do aqufero plioquaternrio da bacia do Baixo Tejo, em Belverde (Portugal) , Geocincias, 29, n. 3:375387.Vienken, T. y P. Dietrich (2011). Field evaluation for determining hydraulic conductivity from grain size data. Journal of Hydrology, 400: 5871Weight, W. D. (2008). Hydrogeology Field Manual. Mc GrawHill, 751 pp. Apndice IV. Curvas granulomtricas

La descripcin completa de la granulometra de un sedimento (tamao y homogeneidad) queda reflejada en su curva granulomtrica.La obtencin de una curva granulomtrica se explica muy simplificadamente a continuacin:Vemos en la figura una torre de tamices colocados de manera que sus dimetros de abertura vayan decreciendo, de modo que en cada tamiz queda retenido el que ha pasado por la superior pero no puede pasar por l. (En este ejemplo hemos mostrado un nmero reducido de tamices para mayor claridad).Se pesa el material que ha quedado en cada tamiz. Los pesos recogidos en este ejemplo se indican en el dibujo. El clculo para dibujar la curva puede realizarse as:

/ * ## +

6 1 * ## 7+

+ 1 6 ## +,

1 + ## (,

8 ## (

Dimetro(mm)Peso retenido en cada tamizPeso retenido acumulado% retenido% que pasa

16414112,3 (*)87,7 (**)

87411534,465,6

414926479,021,0

23930390,79,3