Less than perfect wave functions in momentum‐space: 

How  φ(p) senses disturbances in the force*,#φ(p)

Richard Robinett (Penn State)

M B ll i (D id C ll )M. Belloni (Davidson College)

May 25, 1977 Fall 2010 

* To appear in Am. J. Phys #arxiv.org/abs/1010.4244

May 25, 1977

A pedagogical talk

Why a pedagogical talk?y p g g

• Eugene Golowich– “Most of us will make a much bigger contribution in education thanMost of us will make a much bigger contribution in education than 

in research” – maybe a  pedagogical talk?• Barry Holstein

– Am J Phys ‘guru’ for years and encyclopedic knowledge ofAm. J. Phys  guru  for years and encyclopedic knowledge of everything  ‐maybe something with some history?

– Explaining complex ideas at the ugrad level– If Barry knows that this has all been done before, please let him be y , p

silent until the end! (or until drinks tonight)• John Donoghue

– Focus on contact with experiments – maybe a nod to that?Focus on contact with experiments  maybe a nod to that?– Systematic expansions in everything

• It’s what I have time for nowadays and most recent paperIt s what I have time for nowadays, and most recent paper

After all, role models are very importantAfter all, role models are very important

Richard Feynman (1918 – 1988) Nobel prize 1965

Richard Robinett (1953 ‐ )

No Nobel prize but not dead☺Nobel prize 1965 No Nobel prize  but not dead☺

Connections between position‐ and t i QMmomentum‐space in QM

• Review of some pedagogical aspects of x‐p in QM

• Wiggles in ψ(x) depend on V(x) and show connections to p‐space– Bound state problems and free particles

• Momentum‐space φ(p) also shows semi‐classical behavior

• Wigner distribution illustrates x‐p correlations

• Are there other connections? One we hadn’t seen before!

New connections? (today’s talk)• Many of the most familiar 1D QM problems are based on potentials which are `less than perfect’

Si l δ( ) SW b i l– Single δ(x), ¶SW, quantum bouncer, etc. are singular– Finite wells are discontinuous V(X)– V(x) = F|x| has a discontinuous V’(x)V(x)   F|x| has a discontinuous V (x)

• In such potentials, ψ(x) can be `kinky’ (discontinuous d i i d )derivative at some order)

• Does that `kink’ ha e a direct impact on φ(p)?• Does that `kink’ have a direct impact on φ(p)?– Yes!– It gives φ(p) a large‐|p| power‐law `tail’ which can beIt gives φ(p) a large |p| power law  tail  which can be written down knowing only ψ(x) at the `kink’ 

Standard WKB‐like visualizations for x‐pStandard WKB like visualizations for x p

• Earliest picture I can find (Pauling and Wilson, 1935)

• Wigglier and smaller 0 ( i fnear x=0 (moving faster 

there)

• Less wiggly and bigger near x = turning pointsnear x = turning points (moving slower there) Bumper sticker:

The wigglier ψ(x), the more momentum

Works for free particles tooWorks for free particles too

More wiggly in front(fast)

Less wiggly in back(slow)

Physics GRE problem

( )

Semi‐classical ‐‐|ψ(x)|2 versus |φ(p)|2Semi classical  |ψ(x)| versus |φ(p)|

• SHO |ψ( )|2SHO |ψ(x)|2 |φ(p)|2

• ∞SW

|ψ(x)|2 |φ(p)|2 |ψ(x)|2 |φ(p)|2

• V(x) = F|x|

|ψ(x)|2 |φ(p)|2

Revived interest in the Wi Di t ib tiWigner Distribution

• Included in Physics Today review

June 2004

Included in Physics Today review article (on ‘revived classics’)

“…owe their renewed popularity topopularity to the upsurge of interest in quantum qinformation phenomena.”

How do YOU feel about h d bthe Wigner distribution

• Referee report describing his/her experience with the Wigner distribution…

“...never knowingly seen it…” (like the House Un‐American Activities Committee?)

Wigner distribution for free‐particle kGaussian wave packet

Fast components outpace the slow ones

This is still very classical

The Wigner distribution is useful forThe Wigner distribution is useful for non‐classical things, like wave packet revivals

Look at wave packet motion in the infinite well!

‘’Wigner’s eye view’’, before, during, and f h ‘ l h’after the ‘splash’

Right wall is here

+p0p0

‐p0

Smooth, classical, narrow, and going to 

the right

Smooth, classical, wider, and going to 

Full of wiggles, and very non‐positive when 

the right the leftquantum interference effects are present.

BEFOREAFTER

DURING

Fractional quantum wave packet revivals(yielding Schrödinger cat‐type states)

• At Trev/4 you get a linearAt Trev/4, you get a linear combination of two ‘mini’‐packets two ‘bumps’ perpackets … two  bumps  per classical period.

• At Trev/3, you get even i i

Wigner distribution visualization

more interesting structures.

So, new stuff (?) from old examplesSo, new stuff (?) from old examples

• Many 1D textbook problems are based on `poorly y p p ybehaved’ potentials 

• Resulting ψ(x) `less than perfect’ in some derivative • Wiggliness of ψ(x) has connections to p • What effect does a  ‘generalized kink’ in ψ(x) have on 

φ(p)φ(p)– Big kinks  φ(p) at large |p|

• Consider three simple cases to `experiment’– Single δ(x), ∞SW, and `half oscillator’

Single δ(x) potentialSingle δ(x) potential

• Single attractive delta f i i l dfunction potential and discontinuity

• Normalized wave function

• Poorly behaved ψ’’(x)

• But <p2> is OK

Both give the same result

Single δ(x) potential in p‐spaceSingle δ(x) potential in p space 

Power‐law behavior of φ(p) for large |p| φ(p) g |p|Can rewrite in very suggestive way

Infinite square well (∞SW) example• Ψ(x) has a kink at eachkink at each wall

• Ψ’’(x) is singularsingular

• But <p2> is OKOK

ISW (cont’d)ISW (cont d)• Φ(p) has same power‐law type behaviorbehavior

• <p2> still well pbehaved

• Consistent with• Consistent with simple formula!

• Contributions from each wall

More complex example: The `half‐SHO’More complex example: The  half SHO

• The `half oscillator’ is a familiar pedagogicalThe  half oscillator  is a familiar pedagogical example (see GRE examples below)

• Ψ(x) is easy to get (√2 ψ (x) for x ≥ 0 for n odd)• Ψ(x) is easy to get (√2 ψn(x) for x ≥ 0, for n odd)

• Φ(p) can be obtained numerically

`Half‐oscillator’ in p‐spaceHalf oscillator  in p space• Re[ ] and Im[ ] parts give WKB type agreement to classical momentum gdistribution

• Looky here!• For large |p|, the Im[ ] part dies exponentially, while the Re[ ] gives the power‐law behavior we’ve seen.the power law behavior we ve seen.

p >> +Qn – deeply quantum limitclassical region

Lots more examples:i f h l l ?Can we infer the general result?

• Quantum bouncer (Airy function solutions)Quantum bouncer (Airy function solutions)– Another singular case

• Finite wells step potentials of various types• Finite wells, step potentials of various types – V(x) just discontinuous

• V(x) = F|x| (Airy function solutions)– V’(x) discontinuous

• `Biharmonic oscillator’– V’’(x) discontinuous( )

General result (by example)General result (by example)• From all of these examples, we infer the 

i l l l lsimple general result, namely

Quick proof – `hold your nose’ mathQuick proof  hold your nose  math

Do the real and imaginary parts separately – nothing new here

Look at I1,2(p) separately

Assume the kink is at x = 0, split it there, and add convergence factors

e≤ex

Proof (cont’d)( )

Do the resulting integrals exactly and then take some limitDo the resulting integrals exactly, and then take some limit.

Voilà

And the imaginary part gives you all of the other differences

Real‐life example (f ll h l )(finally, phenomenology)

• H‐atomato• Singular potential in 3D

• Semi‐classicalSemi classical WKB‐like limit 

Smart people have done the H‐atom in momentum space

• Radial wave functionRadial wave function R(r)  goes like rl

Th bi th l th• The bigger the l, the smoother it goes to zero

• So we’d expect power‐law behavior for φ(p)

• And φ(p) ~ 1/pl+4

More smart people…More smart people…

H‐atom – ground state ‐ f(p) tailH atom  ground state  f(p) tail

• Ground state f(p)Ground state f(p) 

• McCarthy and• McCarthy and Weigold data for φ|(p)|2 directlyφ|(p)| directly using (e,2e) method 

• Large |p| power law tail clearly seentail clearly seen

Am. J. Phys. 51, 152‐152 (1983)A real “thought” experiment for the hydrogen atom 

ConclusionsConclusions

• It’s still fun to do physics…

• …even pedagogical stuff

• Thanks to the UMass group for everything!Thanks to the UMass group for everything!