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Les systèmes linéaires
•
1)PRESENTATION
• avec x , y, z les inconnues
g z c"y b" x a"f z c'y b'x ' ae z c y b x a
2)RESOLUTION PAR LA METHODE DE GAUSS
Principe
• rendre triangulaire le système
q z p m z y h e z c y b x a
k
Propriétés:N°1
• On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot
Propriétés:N°2
• On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
Exemple
(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y
(L1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot• Cela permet d’avoir un 1 devant la variable choisie.
(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y
(L1) 0 z y - x
(L3) 1 - z -y x 2 (L2) 1 z 2 -y
(L1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle• On divise la ligne L1 par 1
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle• On divise la ligne L1 par 1
ligne pivot L’1
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L1) 0 z y - x
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
• On va supprimer les x dans les autres lignes :
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
• On supprime les x dans la 2ème ligne
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
• On supprime les x dans la 2ème ligne
• Pour cela on fait:L2+0*L’1 L’2
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne
• pour cela on fait:
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne
• pour cela on fait:
• L3+(-2)L’1 L’3
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne
• -2x+2y-2z=-2*0
• pour cela on fait:
• L3+(-2)L’1 L’3
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne
• -2x+2y-2z=-2*0
• pour cela on fait:
• L3+(-2)L’1 L’3
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
• On recommence au niveau des y.
(L'3) 1 - z 3 -y 3 (L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot• Cela permet d’avoir un 1 devant la 2ème variable choisie.
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot• On divise la ligne L’2 par 1
(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot• On divise la ligne L’2 par 1
ligne pivot L’’2.
(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les y dans la 3ème ligne
• pour cela on fait :
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
• On supprime les y dans la 3ème ligne
• pour cela on fait :
• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
• On supprime les y dans la 3ème ligne
• -3y+6z=-3
• pour cela on fait :
• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
• On supprime les y dans la 3ème ligne
• -3y+6z=-3
• pour cela on fait :
• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
'2)(L' 1 z 2 -y
'1)(L' 0 z y - x
• On supprime les y dans la 3ème ligne
• -3y+6z=-3
• pour cela on fait :
• L’3 +(-3)L’’2 L’’3.
(L'3) 1 - z 3-y 3 '2)(L' 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y
'1)(L' 0 z y - x
'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y
'1)(L' 0 z y - x
• On en déduit z = -4/3 • puis en reportant dans (L’’2) y = -5/3
• puis en reportant dans (L’’l) x = -1/3
'3)(L' 4 - z 3 '2)(L' 1 z 2 -y
'1)(L' 0 z y - x
3)ECRITURE MATRICIELLE D’UN SYSTEME
• soit ( A X = Y )
g z c"y b" x a"f z c'y b'x ' ae z c y b x a
g f e
z
y x
c" b" a" c' b' a' c b a
Remarque
• ( A X = Y ) ( X = A-1 Y )• • Cette relation permet de calculer la matrice A-1 .
fin
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.• On supprime les x dans la 3ème ligne
• pour cela on fait:
• L3+(-2)L’1 L’3
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L'3) 1 - z 3-y 3 (L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut ajouter à une ligne un multiple de la ligne pivot.
• On supprime les x dans la 2ème ligne
• Pour cela on fait:L2+0*L’1 L’2
(L3) 1 - z -y x 2(L2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
(L3) 1 - z -y x 2(L'2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x
On peut multiplier ou diviser une ligne par une constante non nulle ligne pivot • On divise la ligne L’2 par 1
ligne pivot L’’2.
(L'3) 1 - z 3 -y 3 (L"2) 1 z 2 -y
(L'1) 0 z y - x