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Les nombres réels au lycée
Observa(onsetperspec(ves
Viviane Durand-Guerrier et Martine Vergnac IREM de Montpellier
Uneétudeenseconde:‐ Méthodeadoptée‐ Résultatsdesentre(ensavecdesenseignantsdelycée.‐ Analysedesques(onnairesseconde.
Aperçudesconcep(onsenterminaleS:‐Classifica(ondesconcep(onsiden(fiées.‐Évolu(onsparrapportàlaseconde.
Perspec(vespourlatransi(on:‐Étatdeslieux.‐LesnombresréelsetleprogrammedeterminaleS.‐Uneobserva(ond’uneséancesurlethéorèmedesvaleursintermédiaires.
Leconstatenseconde
Atraversuneétudedecasmenéedansl’académiedeMontpellier,nousavonstentédedéterminercommentlesélèvesdesecondeinterrogésconcevaientlesnombresréels.
La démarche.• 7entre(ensmenésauprèsd’enseignantsdelycéeenchargedeclassesdesecondeetdeclassesscien(fiques.
• Analysedesréponsesàunques(onnairedistribuédansleursclassesdeseconde:
8classes,252élèves.
Entretiens Ladispari(onduchapitresurlesensemblesdenombres:Quellesconséquences?
‐Moinsdetravailexplicitesurlesnombres.
‐Lesnombresréelsnesontabordésquelorsdel’introduc(ondesintervallesdanslecadredutravailsurlesfonc(ons.
‐Dispari(onduconceptdenombrera(onnelaulycée.
Entretiens • ‐«[...]audébutsurlesfonc?ons,...estarrivéelano?ond'intervalledoncj'aicommencéàparlerdesnombres[...]»
• ‐«[...]ducoupj'aiintroduitlesnota?ons,dansd'autreschapitres;onvadire,unpeuenacte[...]»
• «[...]maisnon,laprobléma?quera?onnelleadisparu,etducouponn'enparleplus.»
Entretiens Commentlesenseignantsinterviewésperçoivent‐ilslaconcep(onqu’ontleursélèvesdesnombresréels?
‐Lesélèvesneconnaissentquedeuxtypesdenombres:lesen(ersetles«autres».
‐Assimila(ondunombreàsonaffichage surlacalculatrice.
Entretiens • ‐«...unefrac?onc'estpastrèsclair;ilyenaquelques‐unsquivontdirequec'estunevaleurexactemaispourlaplupartontape2divisépar3,çamet0,66666c'estpareil...».
• ‐«...maintenantjetrouvequeçaachangétrèsviteaveclesnouveauxprogrammes,jepensequ'ilyenaunepar?equipenseque1/3c'estpasunnombre...1/3c'estunefrac?on...».
Questionnaires seconde AucoursdeceXeétudenousavonsobservéquelesconcep(onsquelesélèvesontdesnombres,étaientliéesàleurécriture.
‐Poureux,unefrac(onesttoujoursunnombredécimalcarellepeuts’écrireavecunevirgule.
‐Uneracinecarréen’estpasunnombreetneledevientquelorsqu’ilestapproximéaveclacalculatrice.
‐Pasdesyntaxeassociéeauxnombresréels:difficultéàlesdéfinir.
Questionnaires seconde
67,9 % Oui
26,6 % non
5,6 % Ne sait pas
5/3 est-il un nombre décimal? Pourplusdedeux(ersdesélèvesinterrogés,5/3n’estpasunnombrera(onnelmaisunnombredécimal:Parmilesnombresra(onnels,ilsnesontpascapablesdedis(nguerceuxquisontdécimauxdesautres.
Celasembleindiquerquelenombren’estpasdis?nguédesonécriture…
Questionnaires seconde
49,6
39,7
10,7
Oui
Non
NR
est‐ilunnombre? Seulementlamoi(édesélèvesinterrogés,considèrentexplicitementqueestunnombre.
Parmieux,un(ersselereprésentecommeundécimal;etunemoi(éneselereprésentepas.
Quandunnombrenepeutpasêtreexpriméparuneécrituredécimale,cen’estpasunnombre…
Questionnaires seconde Alaques(on:«Commentpeuxtudéfinirunnombreréel?»,ilyaeudesréponsesrécurrentestellesque…
Questionnaires seconde CeXedernièreques(onillustrebienlesdifficultésqu’ontlesélèvesdesecondeàexprimercequ’estunnombreréel.Cedésarroipeuts’observernotammentdanslefaitquepresqueun(ersdesélèvesn’apasréponduàceXeques(on.
Nousavonseudesdifficultésàclasserlesréponsestrèsdiversesquiontétéproposéesetquisemblaientexprimerdesconcep(onspersonnellespastoujoursliéesàlaculturescolaire.Onpeutdégagerlestroisprincipauxtypesdeconcep(ons:
‐ Uneconcep(onensembledetouslesnombres:ellecorrespondàunehabitudedutravail,uneapprochepra(quedesnombres.
‐ ‐Uneconcep(onréaliste:l’écrituredunombreestliéeàsadénomina(on,elleestdéconnectéeduconceptdunombre.
‐ Touteslesconcep(onsquiiden2fientl’ensembledesnombresréelsàundesessous‐ensemblesouàunepar((onerronéedel’ensembleR
Aperçu des conceptions en Terminale S
Afind’observers’ilyauneévolu(ondesconcep(onsdunombreréeldelasecondeàlaterminaleS,nousavonssoumisàdeuxclassesdeterminaleS(soit55élèves)unques(onnaire,quiaégalementétéproposéàquelquesétudiantsdeLicence.
Mêmesil’échan(llonobservéestmoindrequepourlesélèvesdeseconde,ilpermetdedégagerunpaysagedesconcep(onssurlesnombresàl’entréedel’université.
Aperçu des conceptions en Terminale S Voicilaclassifica(onquenousproposons:
Aperçu des conceptions en Terminale S
Quellesévolu:ons?
‐Ilyabeaucoupmoinsdenonréponses:celasemble signifierquelesélèvesdeterminaleSexprimentplus aisémentleursconcep(onsd’unnombreréel. ‐Lesconcep(ons«Ensembledetouslesnombres»et «réaliste»prévalentmoinsqu’enseconde.
Denouvellesconcep(onsémergent: ‐«Complexesnonimaginaires». ‐«Visiongéométrique»:onpeutpenserquelamanipula(on desgraphiquesenanalysefavoriselaconstruc(ondeceXe concep(on.
Laconcep(on«intervalle»restesolidementancrée probablementparcequ’elleestlaseuleàêtretravailléeexplicitementenpar(culierdanslarésolu(ond’inéqua(ons.
Perspec(vespourlatransi(on
Quelsélémentspeuventfaireobstacleàuneconstruc(ondel’analyseàl’université? ‐Beaucoupd’élèvesnedis(nguentpaslenombredesonécriture. ‐Mêmeparmiceuxquilesécriventformellement,peud’élèves comprennentlesinclusions«successives»dessous‐ensemblesdeR. ‐Lano(ondedensitéleurestcomplètementétrangère.
Lesilencedesprogrammessurlesnombresapourconséquenceunequasi‐absencedetravailsurlesnombresréelsaulycée.
Lesconstruc(onshistoriquesparDedekindetCantordel’ensembleRmontrentquelesconceptsdelimiteetdecon(nuitédansRsontindissociablementliésàlastructuredecorpsordonnécompletdeR.Lesconceptsdelimiteetdecon(nuitémeXentenjeulaconstruc(ondeR«sanssautsnitrous»!
QuelsendroitsdansleprogrammedeterminaleSpourraientpermeUredefaireémergeretévoluerlesconcep?onsdesnombresréels?
Perspec(vespourlatransi(on
Surlessuites:Desac?vitéalgorithmiquessontmenéesdanscecadre.Approxima?onsderéels(π,e,nombred’or,…)
Surlacon(nuité:Con?nuitésurunintervalle,théorèmedesvaleursintermédiaires.
Loiàdensitésurunintervalle:OndéfinitalorsunevariablealéatoireX,fonc?ondeΩdansR,quiassocieàchaqueissueunnombreréeld’unintervalleIdeR.
Perspec(vespourlatransi(onUnepremièreobserva?ond’uneséanceenterminaleSd’introduc?onauthéorèmedesvaleursintermédiaires:
Leproblèmeposé:aetbsontdeuxnombres;soitunefonc?onftellequef(a)<0etf(b)>0.Peut‐ontoujourstrouverunnombrecentreaetbtelquef(c)=0?
Lesconcep(onsexprimées:‐Unefonc(onesttoujoursdéfiniesurRousurunintervalledeR:lanaturedel’ensemblededéfini(ondefn’estpasprésente.‐Unefonc(onn’estdéfiniequesiellepeutêtreexpriméeparuneformuleexplicite.‐Lemotcon2nuémergespontanémentdesdébatsdanslesgroupes.
Perspec(vespourlatransi(on
RestbienpourlesélèvesobservésdansceXeclassel’ensemblesurlequellapropriétédelavaleurintermédiaireestvraie.
Mais:‐lacon(nuitédeRn’estpasques(onnée.‐Pourlamajoritédesgroupesobservés,ilyéquivalenceentrelacon(nuitédelafonc(onetl’existencedesolu(ons.
CommentmeUreenques?oncesdeuxpointsprécédents?
‐proposerdesac(vitésquiamènentdelasecondeàlaterminaleàtravailleravecdesfonc(onsdéfiniesavecunevariablequiestunra(onnelouundécimal.
‐U(liserl’algorithmiquepourconstruiredesencadrements d’irra(onnelspardessuitesdera(onnels.
Perspec(vespourlatransi(onUnedeuxièmeobserva(ond’uneséanceenterminaleSfaisantsuiteàlaprécédente.
Leproblèmeposé:
Soitflafonc?ondéfiniesurRparf(x)=x3‐7.1.Montrerenappliquantlethéorèmeénoncéquel’équa?onf(x)=0admetunesolu?onuniquecdans]1;2[.Quelleestlanaturedelasolu?oncobtenue2.ProposeruneméthodequipermeUededéterminerunencadrementdecavecuneamplitude«aussipe?tequel’onveut»?
Lesconcep(onsexpriméesetlespra(quesproduites:
‐Lemotnaturedunombren’estpascomprisparlesélèves.‐Pourunegrandemajoritédesélèves,cétaitunnombredécimal.‐ Leprocédédichotomiquen’estpasspontanémentmobilisé.‐ L’habitudedemanipulerlesracinescubiquesdanslaclassedephysiquerendladeuxièmeques(onsansobjetpourlesélèves.‐ Lamajoritédesélèvesassocientl’ensembleRàl’axedesabscisses,maisl’iden(fica(onàceluidesordonnéesn’estpasimmédiate.
En guise de conclusion provisoire…LesconnaissancesdesélèvessurlesnombressontuniquementopératoiresetneleurpermeXentpasd’accéderàlacompréhensiondesnombresréels.‐Desac(vitéssurlesregistresd’écritured’unnombrepourraientaideràdissocierlanaturedunombredesonécriture.‐ L’accentdanslesprogrammesestmissurlarésolu(ondeproblèmes:celadevraitinciteràtravailleravecdesvariablesquisoientdesen(ers,desdécimauxoudesra(onnels.
‐ Uneconstruc(onduconceptdenombreréelpeutêtreamorcéeaulycéemaisellenepeutsefairequedanslelongtermeetnepeutfairel’économiedemomentsd’ins(tu(onnalisa(on.Laconnaissanceopératoirenepeutêtredétachéedesaconceptualisa(on.‐ Lesac(vitésquifavorisentceXeconstruc(onsontcomplètementlaisséesàlachargedesenseignants.Ilestàcraindreque,sansuneincita(ondel’ins(tu(on,lescontrainteshorairesetleshétérogénéitésdesparcoursnedissuadentdenombreuxenseignantsdelesproposer.
En guise de conclusion provisoire…
Les observa(ons empiriques meXent en évidence des difficultés récurrentesdansl’appropria(onparlesétudiantsdesconceptsfondamentauxdel’analyse.DansleurstravauxderechercheBloch&Ghedamsi(2005)ontmisenévidencedesraisons liéesauxdifférencesentre letravailenanalysedans lesecondaireetdanslesupérieur.
Au moment de la transi(on lycée ‐ post bac, on passe d’un travail de typealgébrique en analyse, reposant sur une approche intui(ve du con(nu (lesnombres réels sont tous les nombres qu’on connaît sauf les complexes) à unpoint de vue théorique (axioma?que) sans prise en compte explicite deschangementsconceptuelsquecelareprésente.
En guise de conclusion provisoire…
Onpeutfairel’hypothèsequelesétudiantsquineconstruisentpasdemanièreadéquatelasignifica(ondesnombresréelsendébutdeforma(onrisquentderencontrer des difficultés dans l’appren(ssage des concepts de l’analyse, ceciétant étroitement relié aux difficultés déjà bien repérées en analyse à latransi(onLycée‐Université(Chellougui,2003,Bloch&Ghedamsi,2005).
Onpeutégalementfaire l’hypothèseque lafragilitédesconnaissancessur lesliensentreaspectspra(quesetaspectsthéoriquesenAnalyseauradeseffetssurl’applica(ondesou(lsdel’Analyseàd’autresdomaines.
Etpourtant,certainsélèvessontintéressés…
Ques(onposéeparunélèvedeterminaleSspécialitémathéma(quesenmai2013:
«Sionchoisitunnombreauhasarddansl’intervalle[0;1],quelleestlaprobabilitéd’obtenirunnombrera?onnel?»
«‐AUends,regarde,là,onaditf(a)inférieurà0,f(b)supérieurà0;donc,silacourbeestcon?nue,ellevanécessairement,...Onpeutfairecequ'onveut,...onpeutfairelecheminqu'onveut,vousêtesd'accordqu'elleestobligéedepasserpar0.‐Oui‐Ellepassed'untrucnéga?fàuntrucposi?f;voilà,enfait,t'asdeuxpointsettusaisquetafonc?onc'estuneligne;ben,lafonc?on,sic'estunelignequirelielesdeuxpointstupourrasluifairefairelescheminsquetuveux...ça,...ça,commelàilyalabarredes0,elleestobligéedepasserparlabarredes0»
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