Les Maths en Stage

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ues 2010-2012

Clément BOULONNE

Les Maths en Stage

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Licence Creative Commons BY:© $\© C©

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les maths en stageclément BOULONNE

S O M M A I R E

I Stage au collège Albert Debeyre (Loos, novembre 2010) 9

1 Quadrilatères particuliers (5ème) 13

1.1 L’activité TICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Annexes de l’activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Problème ouvert : Plus court et plus long chemin (5ème) 23

3 Théorème de Pythagore (en 4ème) 25

3.1 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Correction des exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Stage au lycée Beaupré (Haubourdin, 2011) 31

4 Équations d’un cercle (1re S) 35

4.1 Détermination de l’équation cartésienne du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Etude de l’équation x2 + y2 + ax+ by + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Inéquations (2nde) 43

5.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Étude des variations de suites (1re S) 49


7 Liens-Inéquations 53


8 Problèmes ouverts pour les 2nde 61

8.1 Problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.2 Solutions des problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9 Problèmes ouverts pour les Premières S 65

9.1 Problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.2 Solutions des problèmes ouverts pour les Premières S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5

III Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 5e 69

10Parallélogramme 73

10.1 Introduction du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.2 À la découverte des propriétés du parallélogramme (TICE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.3 Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11Nombres relatifs (addition et soustraction) 81

11.1 Additionner deux nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.2 Soustraire deux nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411.3 Séance d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12Quadrilatères particuliers 89

12.1 Parallélogrammes particuliers I (TICE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.2 Parallélogrammes particuliers II (TICE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.3 Le losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.4 Introduction du carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.5 Le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13Statistiques 101

13.1 Activités TICE : Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.2 Tutorial OpenOffice.org Calc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10313.3 Tableaux et graphiques II (TICE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

14Aires 105

14.1 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15Séances de soutien 111

15.1 11 mai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11215.2 25 mai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

16Évaluations 117

16.1 DM no 12 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11816.2 Correction - DM no 12 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11916.3 DS no 9 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12216.4 Correction - DS no 9 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12316.5 Évaluation du professeur en 5e-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

IV Stage au collège Voltaire (Wattignies, 2012) - Activités en 3e 129

17Fonctions linéaires 133

17.1 Propriétés des fonctions linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

18Probabilités 137

18.1 Introduction des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13818.2 Feuille d’exercices : Des probabilités au brevet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14018.3 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

19Fonctions affines 145

19.1 Introduction des fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14619.2 Image et antécédent d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14819.3 Représentation graphique d’une fonction affiine I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6

19.4 Représentation graphique d’une fonction affine II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15219.5 Proportionnalité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

20PGCD 15720.1 Division euclidienne, diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15820.2 À la découverte du PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

21Évaluations 16321.1 DM no 13 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16421.2 Brevet blanc février 2012 - Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16521.3 Brevet blanc février 2012 - Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16921.4 Brevet blanc avril 2012 - Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17521.5 Brevet blanc avril 2012 - Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18121.6 Annales du brevet 1997 : Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18721.7 Annales du brevet 1997 : Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18921.8 Évaluation du professeur en 3e-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7

8

IStage au collège Albert Debeyre

(Loos, novembre 2010)

D E S C R I P T I F D U S TA G E

Mon premier stage de ma première année de Master Enseignement des Mathématiquess’est déroulé au collège Albert Debeyre à Loos (59) sous la direction de Mme C. DESMETS.J’ai dû prendre en charge une classe de cinquième pendant deux heures, une première activités’est passé en salle pupitre et avait pour thème « Les quadrilatères particuliers » et la secondeétait un problème ouvert sur les graphes (recherche de plus court et plus long chemin) que lesélèves ont apprécié et ont « dévoré » l’activité en moins de 20 minutes.

Je devais aussi rédiger des exercices supplémentaires pour une des deux classes de qua-trième sur le théorème de Pythagore suite à un DS du même thème. Cette feuille a été distri-buée pendant la correction du DS ; pour les élèves qui ont eu plus de 16 et ceux-ci devaienttravailler en autonomie. A la fin de la correction du DS, j’ai distribué la solution des exercicesaux élèves concernés.

11

12

1Quadrilatèresparticuliers (5ème)

S É A N C E

L’activité TICE1

1 0 Avant de commencer. . .

– Ouvrer votre session.– Si ce n’est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans « Mes documents ».– Ouvrer Geogebra pour l’activité.– Bien lire les fichiers de prérequis : « Parallélogramme et quadrilatères particuliers » et

« Coordonnées d’un point ».– Pour chaque activité, créer un nouveau fichier sur Geogebra. (Fichier -> Nouveau

à chaque fois que vous finissez une activité).– Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra.– Pour vous aider, vous pouvez faire apparaître le quadrillage dans le cadre de construc-

tion de figure (Affichage -> Grille).– Si vous n’avez pas terminé l’activité à la fin de l’heure, vous pouvez la terminer chez

vous. Vous pouvez télécharger Geogebra à l’adresse suivante :

http://www.geogebra.org/cms/fr/installers (Version Windows).

1 1 Un parallélogramme avec un angle droit

Vous enregistrerez votre travail sous un fichier nommé QUADP_1_Nom_Prenom.ggb.

1) Construire les points : A(0; 0), B(0; 2), C(3; 2).2) Que peut-on dire de l’angle ABC ? Faire apparaître la mesure de l’angle ABC sur

l’écran.

3) Où faut-il placer le point D pour que ABCD soit un parallélogramme ? Placer le pointD sur votre figure.

4) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le faire apparaître sur l’écran de votreordinateur.

Quelle donnée de l’énoncé permet de l’affirmer ? Justifier.

5) Que peut-on dire des angles du parallélogramme ? Faire apparaître les mesures d’anglesur l’écran d’ordinateur

6) En déduire la nature de ABCD. Justifier.

14 SÉANCE 1. QUADRILATÈRES PARTICULIERS (5ÈME)

http://www.geogebra.org/cms/fr/installers

7) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a un angle droit

1 2 Diagonales d’un parallélogramme de même longueur


1) Placer les pointsA(0; 0),B(0; 3),C(4; 3) etD(4; 0). Tracer le parallélogrammeABCD.

2) Tracer les segments [AC] et [BD] et vérifier qu’ils ont la même longueur.

3) Placer le point O, centre du parallélogramme.

4) Construire le symétrique E du point A par rapport à B. Construire le point P , inter-section des segments [BC] et [DE]. Que peut-on dire du point P d’intersection dessegments [BC] et [DE] ?

5) En déduire la nature du quadrilatère BDCE.

6) Que peut-on dire sur la longueur des segments

– [DB] et [CE] ? :– [AC] et [DB] ? :

En déduire queAC = CE.

7) Montrer que C et B appartiennent à la médiatrice de la droite (AE). Que peut-on diredes droites (BC) et (AE) ?

8) En se servant de ce qui a été fait à la première activité, en déduire la nature du quadri-latère ABCD.

9) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur

Activité 1 et 2–

–Conclusion

1.1. L’ACTIVITÉ TICE 15

1 3 Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur


1) Placer les points A(0; 0), B(5; 0), D(4; 3).

2) Placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

3) Montrer sur l’écran que AB = DC et BC = AD. Justifier pourquoi on a ces égalités.

4) En déduire que AB = DC = BC = AD.

5) Quelle est la nature de ABCD ? Justifier.

6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même lon-gueur

1 4 Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires


1) Placer les pointsA(3; 0),B(6; 2),C(3; 4),D(0; 2). Tracer le parallélogrammeABCD.

2) Montrer sur l’écran que les diagonales sont perpendiculaires.

3) Construire le point E symétrique de B par rapport à l’axe (AC). Qu’observe-t-on ?

Construire le point E symétrique de B par rapport à l’axe (AC). Qu’observe-t-on ?Justifier.

4) Que peut-on dire du symétrique de [BA] par rapport à l’axe (AC) ?

Comme la symétrie conserve les , BA =

5) En déduire la nature de ABCD. Justifier (on pourra, pour cela, utiliser le résultat del’activité no 3)

6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires

Activité 3 et 4–

–Conclusion


Annexes de l’activité2

2 1 Coordonnées d’un point

Dans la figure suivante, on considère le repère cartésien. Le point A a pour abscisse 3 etpour ordonnée 2. Les coordonnées du point A sont (3, 2). On notera A = (3, 2).

1

2

3

4

y

1 2 3 4

x

A

0

Exercice 1.1. Placer, sur le repère cartésien, les points B = (1, 1), C = (2, 3), D = (4, 1),E = (5, 2).

2 2 Parallélogrammes particuliers

ParallélogrammeUn parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles deux

à deux.Définition 1.2

RectangleUn rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits.Définition 1.3

LosangeUn losange est un quadrilatère ayant quatre côtés égaux.Définition 1.4

CarréUn carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et ses quatre côtés égaux.Définition 1.5

FIGURE 1.1 – Le parallélogramme, le rectangle, le losange et le carré

Remarque 1.6. Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Propriétés du parallélogrammeUn parallélogramme a

1. ses côtés opposés deux à deux égaux ;

2. sesa ngles opposés deux à deux égaux ;

3. ses diagonales se coupent en leur milieu ;

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers.

Propriétés 1.7

1.2. ANNEXES DE L’ACTIVITÉ 17

2 3 Tutorial Geogebra

1. Téléchargement du logiciel GeogebraLe logiciel Geogebra peut être téléchargé à l’adresse suivante :

http://www.geogebra.org/cms/fr/installers (Version Windows)

2. Interface du logiciel Geogebra

3. Pour gagner du temps. . .Pour gagner du temps, il est vivement conseillé d’utiliser le champ de saisie plutôt que les

constructions géométriques à la souris. Pendant l’activité en salle pupitre, il vous sera tout demême demandé une construction géométrique à la souris.

4. Placer un point

Construction géométrique

– Icône : (Nouveau point - cadre 2) ;– Déplacer le point sur le cadre « Graphique » ;– Cliquer sur le point quand il est aux coordonnées voulues.– Dans la fenêtre Algèbre, les points apparaissent en bleu ou en noir

ou

Dans le champ de saisieA = (0,0) pour placer le point A de coordonnées (0, 0).

5. Distance entre deux points


– Icône : (Distance ou longueur - cadre 8) ;– Cliquer sur les deux points dont vous voulez connaître la distance.– Dans la fenêtre Algèbre, la distance apparaît en noir.



ou

Dans le champ de saisieDistance[A,B] si A et B sont deux points définis sur la figure.

6. Redéfinir un objet (point, droite, segment. . .)

Construction géométrique– Clic droit sur l’objet à renommer -> Renommer.– Donner un nouveau nom à l’objet (nom différent de tous les objets définis dans la

figure Geogebra).

ou

Dans le champ de saisiePas d’action !

7. Construire le symétrique d’un point par rapport à un autre


– Icône : (Symétrie centrale - cadre 9) ;– Sélectionner d’abord l’objet dont vous voulez créer le symétrie.– Ensuite cliquez sur le point qui sera le centre de cette symétrie.– Dans la fenêtre Algèbre, le point symétrique apparaîtra en noir.

ou

Dans le champ de saisieSymétrie[A,B] construit le symétrique du point A par rapport au point B si A

et B sont des points définis sur Geogebra.

8. Construire un segment


– Icône : (Segment entre deux points - cadre 3) ;– Cliquer sur les deux points dans la fenêtre Algèbre qui constitue le segment.– Dans la fenêtre Algèbre, les segments apparaissent en noir.

ou

Dans le champ de saisieSegment[A,B] si A et B sont des points définis sur Geogebra.

9. Milieu d’un segment


– Icône : (Milieu ou centre - cadre 2) ;– Cliquer sur le segment dont vous voulez construire le centre.– Dans la fenêtre Algèbre, les coordonnées du milieu du segment apparaît en noir.

ou


Dans le champ de saisieCentre[s] si s est un segment défini sur Geogebra.

10. Construire une médiatrice


– Icône : (Médiatrice - cadre 4) ;– Cliquer sur les deux points (ou le segment) dont vous voulez construire sa médiatrice.– Dans la fenêtre Algèbre, l’équation de la droite médiatrice apparaît en noir.

ou

Dans le champ de saisieMédiatrice[A,B] construit la médiatrice du segment passant par A et B (si A

et B sont deux points définis sur Geogebra).

11. Construire une droite


– Icône : (Droite passant par deux points - cadre 3) ;– Cliquer sur les points dans la fenêtre Algèbre qui constitue la droite.– Dans la fenêtre Algèbre, l’équation de la droite apparaît en noir.

ou

Dans le champ de saisieDroite[A,B] si A et B sont des points définis sur Geogebra.

12. Construire une droite parallèle à une autre


– Icône : (Droite parallèle - cadre 3) ;– Sélectionner une droite d,– Sélectionner un point A,– Geogebra vous donne la droite passant par A et parallèle à d.

ou

Dans le champ de saisieDroite[A,d] pour construire la droite passant par A et parallèle à d (si d est une

droite et A un point).

13. Intersection entre deux objets


– Icône : (Intersection entre deux objets - cadre 2) ;– Cliquer sur les deux objets (dans la fenêtre Algèbre ou la fenêtre Graphique) dont

vous cherchez l’intersection.

ou


Dans le champ de saisiePar exemple, Intersection[d,e] si d et e sont des droites définies sur Geo-gebra.

14. Construire un angle


– Icône : (Angle - cadre 8) ;– Soient A, B et C trois points définis sur Geogebra. Si on veut tracer l’angle ABC, on

clique d’abord sur le point A, ensuite sur le point B et enfin sur le point C.– Attention ! Les angles sont crées dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Si vous trouvez un angle supérieur à 180°, supprimez l’angle (clic droit ->Supprimer) et le reconstruire en cliquant sur les points dans l’ordre inverse dela première tentative.

– Dans la fenêtre Algèbre, la valeur de l’angle apparaît en vert.

ou

Dans le champ de saisieAngle[A,B,C] pour tracer l’angle ABC si A, B et C sont trois points définis

sur Geogebra.

15. Construire un quadrilatère


– Icône : (Polygone - cadre 5) ;– Cliquer dans l’ordre sur les points dont vous voulez construire le polygone. (si, par

exemple, vous voulez construire un quadrilatère, cliquer sur les quatre points quiconstituent le quadrilatère).

– Pour refermer le polygone, cliquer sur le premier point qui forme la figure.– Dans la fenêtre Algèbre, l’aire du polygone est affichée en orange foncé.

ou

Dans le champ de saisiePolygone[A,B,C,D] pour tracer le quadrilatère ABCD si A, B et C et D sont

quatre points définis sur Geogebra.



2Problème ouvert :Plus court et plus longchemin (5ème)

S É A N C E

Activité A.Plus court et plus long chemin (5ème)

Les villes A, B, C, D, E, F , G et H sont reliées par des routes représentées par des flèches. La longueur (enkilomètres) de la route est représentée par le nombre qui borde la flèche. Vous habitez à la ville A et vous devezvous rendre à votre collège dans la ville H .

1. Vous avez vraiment envie d’aller en cours. Quel est le chemin le plus court pour vous rendre de votremaison au collège ?

2. Aujourd’hui, vous ne voulez pas aller en cours mais vous y êtes obligé. Quel est le chemin le plus long pourvous rendre de votre maison au collège ?

3. Vous prenez votre vélo et vous roulez constamment à 20 km/h. Quel est le temps de trajet du plus courtchemin. Et du plus long chemin ?

A B C D

E F G H

12

79

8

95

4

107

13

10

15

117

8

12

FIGURE 2.1 – Le réseau routier reliant les villes A, B, C, D, E, F , G, H

24 SÉANCE 2. PROBLÈME OUVERT : PLUS COURT ET PLUS LONG CHEMIN (5ÈME)

3Théorème dePythagore (en 4ème)

S É A N C E

Exercices supplémentaires

Indications : L’utilisation de la calculatrice est autorisée. Utilisez une copie de DS (copie double) pour faire lesexercices supplémentaires.

1 Un petit échauffementSur la figure, on donne AB = 6cm et BH = 3cm. Le segment [AH] est la hauteur relative à l’hypoténuse

[BC].

B H C

A

1. Calculer la longueur AH et donner une valeur approchée au dixième.2. Sachant que H est le triple de BH , calculer la longueur BC.3. Calculer une valeur approchée au dixième de la longueur AC.4. Calculer une valeur approchée au dixième de l’aire du triangle ABC.5. Reproduire la figure en vraie grandeur. On appelera O le milieu du segment [BC] et A′ le symétrique de A

par rapport au point O.6. On admettra que A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon [OB]. Calculer OH .7. Quelle est la nature du quadrilatère ABA′C ? Justifier la réponse. (Indications : montrer que le quadrilatère

ABA′C a trois angles droits).

2 Symétries et théorème de Pythagore

1. Construire un triangle ABO rectangle en O tel que AB = 5cm et AO = 4cm.2. Calculer BO.3. Soit C le symétrique du point A par rapport à O et P le symétrique de O par rapport à l’axe (BC). Montrer

que PBC est un triangle rectangle en P .

3 Pour les plus rapides d’entre vous

La figure représente un triangle qu’on a découpé en quatre morceaux.

Les morceaux sont placés d’une nouvelle façon dans le triangle initial. Et. . . Oh ! Surprise ! Il manque maintenantun carré pour en occuper totalement la surface. Est-ce que vous seriez expliquer pourquoi ?

(Indications : Utiliser le– Triangle orange : 8 de longueur, 3 de hauteur,– Triangle violet : 5 de longueur, 2 de hauteur.

)

26 SÉANCE 3. THÉORÈME DE PYTHAGORE (EN 4ÈME)

Correction des exercices supplémentaires

1

1. Comme (AH) est la hauteur relative à l’hypoténuse [BC], (AH) est perpendiculaire à (BC) et comme Happartient à (BC), (BH) correspond à la droite (BC). D’où (AH) est perpendiculaire à (BH) donc AHBest rectangle en H .Si le triangle ABH est un triangle rectangle en H alors d’après le théorème de Pythagore :

AB2 = BH2 + AH2

AH2 = AB2 −BH2

AH2 = 62 − 32 = 36− 9 = 27AH =

√27 = 3

√3 ≈ 5, 2

Donc : AH ≈ 5, 2 cm.

2. On traduit mathématiquement la phrase «HC est le triple deBH » par «HC = 3HB ». Or,BC = HC+HBet HB = 3cm.

BC = HC +HB = 3HB +HB

= 4HB = 4× 3 = 12cm.

Donc : BC = 12 cm.

3. D’après la figure 1 de la feuille d’énoncé, le triangle ABC est rectangle en A.Si le triangle ABC est rectangle en A, alors d’après le théorème de Pythagore :

BC2 = AB2 + AC2

AC2 = BC2 − AB2 = 122 − 62 = 108AC =

√108 ≈ 10, 4 cm.

Donc : AC = 10, 4 cm.

4. L’aire du triangle ABC est :

Aire ABC = b× h2 = AB × AC

2= 6

2 × 10, 4 = 3× 10, 4 = 31, 2cm2.

L’aire du triangle ABC est 31, 2 cm2.

5.

B H C

A

A′

O

3.2. CORRECTION DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 27

6. On admet que A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon [OB]. On a donc : OA = OB =OC = 6 cm.Si le triangle OHA est rectangle en H alors, d’après le théorème de Pythagore :

OA2 = OH2 + AH2

AH2 = OA2 −OH2 = 62 − 27 = 36− 27 = 9AH =

√9 = 3 cm.

Donc : OH = 3 cm.

7. On veut montrer que ABA′C est un quadrilatère avec trois angles droits.– On sait que BAC = 90°.– La symétrie centrale préserve les mesures d’angles. A′ est le symétrique de A par rapport à O, B est le

symétrique de C par rapport à O et C est le symétrique de B par rapport à O. Donc : BAC = CA′B = 90°.– On montre maintenant que le triangle ABA′ est un triangle rectangle.

Avant cela, on calcule la longueur AA′. Comme A′ est le symétrique de A par rapport à O, O est le milieude [AA′]. Donc : AA′ = 2OA = 2× 6 = 12 cm.On a besoin aussi de la longueur de BA′. Comme B est le symétrique de C par rapport à O, A′ est lesymétrique de A par rapport à O et la symétrie centrale préserve les longueurs, alors AC = BA′ =

√108

cm .On a :

AA′ = 12 cm ; AB = 6 cm ; BA′ =√

108 cm.

Donc :

AA′2 = 122 = 144,AB2 +BA′2 = 62 + (

√108)2 = 36 + 108 = 144.

D’oùAA′2 = AB2 +BA′2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleABA′ est rectangleen A et donc ABA′ = 90°.

On a alors : ABA′ = CA′B = CAB = 90°. D’où le quadrilatère ABA′C a trois angles droits, c’est donc unrectangle.

2

1.

A O

B

2. Si le triangle OAB est rectangle en O alors d’après le théorème de Pythagore :

AB2 = OA2 + OB2

OB2 = AB2 −OA2 = 52 − 42 = 25− 16 = 9OB =

√9 = 3 cm.

Donc : OB = 3 cm.

3. Il y a deux méthodes pour montrer que PBC est un triangle rectangle.


A O

B

C

P

Première méthode – B est le symétrique de B par rapport à l’axe (BC) (car B appartient à [BC]).– P est le symétrique de O par rapport à l’axe (BC).– C est le symétrique de C par rapport à l’axe (BC) car C appartient à (BC).Donc : (PC) est le symétrique de (OC) par rapport à (BC) et (PB) est le symétrique de (OB) parrapport à (BC).

L’angle BOC est le symétrique de BPC par rapport à (BC). Comme la symétrie centrale conserveles mesures d’angles, BOC = BPC = 90° car (OB) est perpendiculaire à (AC). D’où BPC est untriangle rectangle en P .

Seconde méthode On calcule les longueurs BC, PC et PB. O est le milieu de [AC] donc OA = OC. Si letriangle OAC est un triangle rectangle en O alors d’après le théorème de Pythagore :

BC2 = OA2 +OB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25BC =

√25 = 5 cm.

(PC) est le symétrique de (OC) par rapport à (BC) et (PB) est le symétrique de (OB) par rapport à(BC). Comme la symétrie centrale conserve les longueurs, PC = OC = 4 cm et PB = OB = 3 cm.On a :

BC2 = 52 = 25.PB2 + PC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

On a bien : PB2 + PC2 = BC2. Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, PBC est untriangle rectangle en P .

3

Quand on déplace les pièces, l’aire du triangle ne devrait pas augmenter ou diminuer. Mais est-ce vraiment untriangle qui est dessiné sur la figure ? En réalité, non ! En effet, la pente du petit triangle rectangle violet (celui qui a2 cases de hauteur et 5 de largueur)est 2

5 = 0, 4 alors que celle du petit triangle orangé est de 38 = 0, 375 ; les deux

hypoténuses ne s’alignent pas l’une avec l’autre. Dans le premier dessin, le « pseudo-triangle » est légèrementcreusé, alors que le second « pseudo-triangle » est légèrement gonflé (ce qui explique qu’on puisse y loger uncarré blanc de plus).

3.2. CORRECTION DES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 29


IIStage au lycée Beaupré (Haubourdin, 2011)

D E S C R I P T I F D E S TA G E

Mon second stage de ma première année de Master Enseignement des Mathématiques s’est déroulé au LycéeBeaupré à Haubourdin (59) sous la direction de M. G. GUILON. Les stages se sont essentiellement déroulés leslundis, je n’ai pu observé que deux de ses classes, une Seconde et une Première S. Le travail qui était demandépendant ce stage était, à partir des préparations du maître de stage, préparer la séance de cours avec anticipationdes demandes des élèves et préparation des questions à poser pour faire avancer le cours. Le but de ces prépara-tions était de rendre le cours plus vivant au niveau de l’élève car faire participer un élève est primordial pour lefaire progresser dans ses acquis.

Pour mon mémoire de stage, je me suis mis à la recherche de quelques énigmes pour les lycéens. Donnéessous forme de devoir non surveillé (non noté !), il était d’une difficulté moyenne. Globalement, les élèves ontbien répondu à la question même si j’attendais un peu plus de travail de la part d’autres élèves. Le maître destage a aussi organisé une séance de problèmes ouverts pendant son heure de cours. J’ai pu ainsi comparer lesdifférentes mises en œuvre des séances de problèmes ouverts vu au premier (graphes en cinquième) et au secondstage (problème d’optimisation, remplissage de récipients et aire de triangles inchangée)

33

34

4Équations d’un cercle(1re S)

S É A N C E

Détermination de l’équation cartésienne du cercle1

Activité A.Soit (O, #»ı , #» ) un repère orthonormé. Soit (C) le cercle de centre Ω = (a, b) et de rayon R > 0. On cherche àdéterminer l’équation cartésienne du cercle C.

On se donne un point M de coordonnées (x, y) et on rappelle que la distance ΩM estdonnée par la formule suivante :

ΩM =√

(x− a)2 + (y − b)2. (4.1)

AinsiM(x, y) ∈ (C)⇔ ΩM = R⇔ ΩM2 = R2.

En utilisant la formule (4.1), on obtient :

(x− a)2 + (y − b)2 = R2.

x

y

O −→ı

−→

Ω(a, b)

M(x, y)

Dans un repère orthonormé (O, #»ı , #» ), une équation du cercle de centre Ω(a, b) et derayon R (R > 0) est

(x− a)2 + (y − b)2 = R2.Propriété 4.1

Exemple 4.2. Soit (C) le cercle de centre Ω(2, 3) passant parA(1, 1). On cherche son équationcartésienne.

1

2

3

4

5

y

1 2 3 4x

−→ı

−→

Ω(2, 3)

A(1, 1)

O

36 SÉANCE 4. ÉQUATIONS D’UN CERCLE (1RE S)

Méthode 1 On calcule tout d’abord le rayon du cercle C grâce à la formule (4.1) :

ΩA =√

(1− 2)2 + (1− 3)2 =√

(−1)2 + (−2)2

=√

1 + 4 =√

5

donc le rayon R =√

5. Ainsi, d’après la propriété 4.1, (C) a pour équation :

(x− 2)2 + (y − 3)2 = 5. (4.2)

Méthode 2 On a l’équation cartésienne du cercle (C) et on considère que la valeur R estinconnue :

(x− 2)2 + (y − 3)2 = R2.

Comme A ∈ (C)

A ∈ (C)⇔ ΩA = R⇔ ΩA2 = R2 ⇔ (1− 2)2 + (1− 3)2 = R2 ⇔ 5 = R2.

Ainsi, on obtient l’équation (4.2). On peut développer l’équation (4.2) :

(x− 2)2 + (y − 3)2 = 5⇔ x2 − 4x+ 4 + y2 − 6y + 9 = 5⇔ x2 + y2 − 4x− 6y + 8 = 0.

Remarque 4.3. Si (C) est un cercle alors (C) admet une équation du type x2+y2+ax+by+c =0.

Etude de l’équation x2 + y2 + ax + by + c = 02

Activité B.Est-ce que les équations suivantes sont des équations cartésiennes de cercle ?

1. x2 + y2 + 2x− 4y = 02. x2 + y2 + 6x+ 12y + 47 = 03. x2 + y2 + 6x− 4y + 13 = 0

Pour traiter les questions, il faut réduire les équations proposées en des équations de laforme :

(x− α)2 + (y − β)2 = γ.

1.

x2 + y2 − 2x− 4y = 0⇔ x2 + 2x+ y2 − 4y = 0⇔ x2 − 2x+ 1− 1 + y2 − 4y + 4− 4 = 0⇔ (x+ 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 = 0⇔ (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 5.

Cette équation correspond à une équation d’un cercle car 5 > 0, ce cercle a pour centreΩ(−1, 2) et rayon

√5.

2.

x2 + y2 + 6x+ 12y + 47 = 0⇔ x2 + 6x+ y2 + 12y + 47 = 0⇔ x2 + 6x+ 9− 9 + y2 + 12y + 36− 36 + 47 = 0⇔ (x+ 3)2 − 9 + (y + 6)2 − 36 + 47 = 0⇔ (x+ 3)2 + (y + 6)2 = −2

Il n’y a aucun couple solution de l’équation car la somme de deux carrés est toujourspositive. Ce n’est donc pas une équation cartésienne d’un cercle.

4.2. ETUDE DE L’ÉQUATION X2 + Y 2 +AX +BY + C = 0 37

3.

x2 + y2 + 6x− 4y + 13 = 0⇔ x2 + 6x+ y2 − 4y + 13 = 0⇔ (x+ 3)2 − 9 + (y − 2)2 − 4 + 13 = 0⇔ (x+ 3)2 + (y − 2)2 = 0

Le couple (−3, 2) est l’unique solution de l’équation donc ce n’est pas une équationcartésienne d’un cercle.

Remarque 4.4. Toute équation du type x2 + y2 + ax + by + c = 0 n’est pas forcémentl’équation d’un cercle.

Une équation du type x2 +y2 +ax+ by+ c = 0 peut toujours se mettre sous la forme

(x− α)2 + (y − β)2 = γ. (4.3)

Si γ > 0, l’équation (4.3) est l’équation cartésienne d’un cercle de centre Ω(α, β) et derayon

√γ.

Propriété 4.5

Exercices3

Exercices d’applications

1 Soit (O, #»ı , #» ) un repère orthonormé. Déterminer une équation du cercle (Γ) répondant aux conditionssuivantes.

1. (Γ) a pour centre A(2, 2) et pour rayon 2√

2.

2. (Γ) a pour centre A(0,−2) et pour rayon 2OA.

2 Les équations suivantes sont-elles celles d’un cercle ? Si oui, précisez le centre et le rayon du cercle.

1. x2 + y2 − 2x+ 3y = 02. x2 + y2 − 3x− 3y + 2 = 03. x2 + y2 + x+ y + 2 = 04. x2 + y2 − 5x+ y + 4 = 05. x2 + y2 + 3x+ 2y − 3 = 0

3 Étudier l’intersection de la droite (D) et du cercle (C) admettant pour équation :

1.

(D) : x+ y − 2 = 0(C) : x2 + y2 − 6x− 4y + 8 = 0

2.

(D) : x− y = 0(C) : x2 + y2 − 6x+ 2y + 5 = 0

4 Tracer un triangle ABC. Déterminer et construire :

(E1) =M ∈ P, # »

MA · ( # »

MB + # »

MC) = 0.


Correction

1

1.

1

2

3

4

5

y

1 2 3 4

x

A(2, 2)

R = 2√2

−→ı

−→

O

L’équation cartésienne du cercle (Γ) est

(x− 2)2 + (y − 2)2 = (2√

2)2

ou(x− 2)2 + (y − 2)2 = 8

2.

−4

−3

−2

−1

1

y

−2 −1 1 2

x

A(0,−2)

R = 2OA

−→ı

−→

O

Dans un repère cartésien, l’origineO a pour coordonnées(0, 0). On calcule numériquement le rayon du cercle (Γ) :

2OA = 2√

(0− 0)2 + (0 + 2)2 = 2√

4 = 2× 2 = 4.

D’où (Γ) est le cercle d’équation cartésienne

(x− 0)2 + (y + 2)2 = 42

oux2 + (y + 2)2 = 16

21.

x2 + y2 − 2x+ 3y = 0⇔ x2 − 2x+ y2 + 3y = 0

⇔ (x− 1)2 − 1 +(y + 3

2

)2− 9

4 = 0⇔ (x− 1)2 +(y + 3

2

)2= 13

4 .

C’est l’équation cartésienne du cercle de centre Ω(1,−32) et de rayon R =

√134 =

√132 .

2.

x2 + y2 − 3x− 3y + 2 = 0⇔ x2 − 3x+ y2 − 3y + 2 = 0

⇔(x− 3

2

)2− 9

4 +(y − 3

2

)2− 9

4 = 0⇔(x− 3

2

)2+(y − 3

2

)2= 10

4 .

C’est l’équation cartésienne du cercle de centre Ω(32 ,

32) et de rayon R =

√104 =

√102 .

3.

x2 + y2 + x+ y + 2 = 0⇔ x2 + x+ y2 + y + 2 = 0

⇔(x+ 1

2

)2− 1

4 +(y + 1

2

)2− 1

4 + 2 = 0

⇔(x+ 1

2

)2+(y + 1

2

)2= −3

2

4.4. CORRECTION 39

Ce n’est pas l’équation cartésienne d’un cercle car −32 < 0.

4.

x2 + y2 − 5x+ y + 4 = 0⇔ x2 − 5x+ y2 + y + 4 = 0

⇔(x− 5

2

)2− 25

4 +(y + 1

2

)2− 1

4 + 4 = 0

⇔(x− 5

2

)2+(y + 1

2

)2= 9

4 .

C’est l’équation cartésienne du cercle de centre Ω(52 ,−

12) et R = 3

2 .

5.

x2 + y2 + 3x+ 2y − 3 = 0⇔ x2 + 3x+ y2 + 2y − 3 = 0(x+ 3

2

)2− 9

4 + (y + 1)2 − 1− 3 = 0⇔(x+ 3

2

)2+ (y + 1)2 = 25

4 .

C’est l’équation du cercle de centre Ω(−32 ,−1) et R = 5

2 .

3

1. Géométrique On se donne (O, #»ı , #» ) un repère orthonormé. On cherche deux points de la droite (D) :

−1

1

2

3

4

y

−1 1 2 3 4 5 6

x

Ω(3, 2)

R =√5

−→ı

−→O

– Pour x = 0, y − 2 = 0⇒ y = 2 donc (0, 2) ∈ (D).– Pour x = 1, y − 1 = 0⇒ y = 1 donc (1, 1) ∈ (D).On cherche ensuite le centre et le rayon du cercle (C) :

x2 + y2 − 6x− 4y + 8 = 0⇔ x2 − 6x+ y2 − 4y + 8 = 0⇔ (x− 3)2 − 9 + (y − 2)2 − 4 + 8 = 0⇔ (x− 3)2 + (y − 2)2 = 5.

Le cercle (C) a donc pour centre Ω(3, 2) et R =√

5. On remarque sur la figure qu’il y a deux pointsd’intersection.

Analytique Pour trouver les coordonnées des points d’intersection de (C) et (D), on résout le systèmed’équations suivant :x+ y − 2 = 0

x2 + y2 − 6x− 4y + 8 = 0⇔

y = −x+ 2(x− 3)2 + (y − 2)2 = 5

⇔

y = −x+ 2x2 − 6x+ 9 + (−x)2 = 5

⇔

y = −x+ 22x2 − 6x+ 4 = 0

On résout l’équation 2x2 − 6x+ 4. Son discriminant est ∆ = 62 − 4× 2× 4 = 36− 32 = 4 et ainsi onobtient les racines :

x1 = 6− 24 = 4

4 = 1 et x2 = 6 + 24 = 8

4 = 2.


On a donc y = −x+ 22x2 − 6x+ 4 = 0

⇔

y = −2 + 2 = 0x = 2

et

y = −1 + 2 = 1x = 1

Conclusion : les coordonnées des points d’intersection de la droite (D) et le cercle (C) sont (2, 0) et (1, 1).

2. Géométrique On se donne (O, #»ı , #» ) un repère orthonormé. On cherche deux points de la droite (D) :

−3

−2

−1

1

2

3

4

y

−1 1 2 3 4 5

x

Ω(3,−1)R =√5

−→ı

−→

O

– Pour x = 0, y − 0 = 0⇒ y = 0 donc (0, 0) ∈ (D).– Pour x = 1, y − 1 = 0⇒ y = 1 donc (1, 1) ∈ (D).On cherche ensuite le centre et le rayon du cercle (C) :

x2 + y2 − 6x+ 2y + 5 = 0⇔ (x− 3)2 − 9 + (y + 1)2 − 1 + 5 = 0⇔ (x− 3)2 + (y + 1)2 = 5

Le cercle (C) a donc pour centre Ω(3,−1) et R =√

5. On remarque sur la figure qu’il n’y a pas de pointd’intersection entre (C) et (D).

Analytique On va montrer qu’il n’y a pas de point d’intersection entre (C) et (D) analytiquement. On résoutle système d’équation suivantx− y = 0

x2 + y2 − 6x+ 2y + 5 = 0⇔

x = y

2x2 − 4x+ 5 = 0

On résout l’équation 2x2 − 4x+ 5. Son discriminant est ∆ = 42 − 4× 5× 2 = 16− 40 < 0 L’équationn’admet pas de solution réelle.

Conclusion : Il n’y a pas de point d’intersection entre le cercle (C) et la droite (D).

4 On utilise la propriété suivante :

Soient A,B ∈ P et (C) un cercle de diamètre [AB]. M appartient à (C) si et seule-ment si

# »

MA · # »

MB = 0.Propriété 4.6

Ce qui nous embête dans le produit scalaire suivant :# »

MA · ( # »

MB + # »

MC) = 0, (4.4)

c’est le somme vectoriel# »

MB + # »

MC. On introduit I le barycentre de (B, 1), (C, 1) (c’est-à-dire I est le milieude [BC] ou encore

# »

IB + # »

IC = # »

II = #»0 .). Ainsi :

# »

MB + # »

MC = # »

MI

4.4. CORRECTION 41

et l’équation (4.4) devient :# »

MA+ # »

MI = 0.

(E1) est donc l’ensemble suivant :

(E1) =M ∈ P, # »

MA · # »

MI = 0,

(E1) est donc, d’après la propriété précédente, le cercle de diamètre [AI] où I est le milieu de [BC]. Une figurepour finir l’exercice.

B C

A

I

(E1)


5Inéquations (2nde)

S É A N C E

Exercices

1 Résoudre :1. (2x+ 5)(x+ 3)2 < 02. (2x+ 5)(x+ 3)2 ≥ 03. (x− 3)(5 + 2x) ≤ (x− 3)(x− 6)4. (2x+ 8)2 ≤ (x− 2)2

5. (2x− 4)(x− 1) < 4

2 On donne la hauteur d’un projectile en fonction dutemps : h(t) = −5t2 + 100t

1. A quel instant le projectile retombe-t-il au sol ?

2. Tracer (Ch) à la calculatrice sur [0, 20]

3. Déterminer graphiquement la période pendant la-quelle l’altitude du projectile est ≥ 320 m.

4. a. Vérifier que h(t)− 320 = −5(t− 16)(t− 4)

b. Répondre à la question 3 par le calcul.

Correction

1

1. On développe l’expression :

(2x+ 5)(x+ 3)2 = (2x+ 5)(x+ 3)(x+ 3).

Pour trouver le signe du produit, on fait un tableau de signe. On remarque que :

2x+ 5 = 0⇔ x = −52 , x+ 3 = 0⇔ x = −3.

Ainsi, on peut construire le tableau de signe suivant :

x

2x + 5

x + 3

x + 3

(2x + 5)(x + 3)(x + 3)

−∞ −3 −52 +∞

− − 0 +

− 0 + +

− 0 + +

− 0 − 0 +

d’où(2x+ 5)(x+ 3)2 < 0⇔ x ∈]−∞, 3[∪]− 3,−5

2 [.

2. On reprend le tableau de signe de la question 1 et on remarque que :

(2x+ 5)(x+ 3)2 ≥ 0⇔ x ∈ −3∪]− 52 ,+∞[.

3. Soit (x−3)(5+2x) ≤ (x−3)(x−6), on se ramène à une équation du type A(x) ≤ 0. Pour cela, on transposele membre de droite de l’inégalité :

(x− 3)(5 + 2x) ≤ (x− 3)(x− 6)⇔ (x− 3)(5 + 2x)− (x− 3)(x− 6) ≤ 0.

On peut factoriser le membre de gauche par (x− 3) :

(x− 3)(5 + 2x− x+ 6) ≤ 0⇔ (x− 3)(11 + x) ≤ 0.

44 SÉANCE 5. INÉQUATIONS (2NDE)

On veut maintenant construire la tableau de signe :

(x− 3) = 0⇔ x = 3 et x+ 11 = 0⇔ x = −11,

d’où :

x

x − 3

x + 11

(x − 3)(x + 11)

−∞ −11 3 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

Ainsi :(x− 3)(5 + 2x) ≤ (x− 3)(x− 6)⇔ (x− 3)(x+ 11) ≤ 0⇔ x ∈ [−11, 3].

4. Soit (2x+ 8)2 ≤ (x−2)2 et on essaie de se ramener à une équation du type A(x) ≤ 0. Pour cela, on transposele membre de droite de l’inégalité :

(2x+ 8)2 − (x− 2)2 ≤ 0.On remarque l’identité remarquable A2 −B2 = (A−B)(A+B), d’où :

(2x+ 8)2 − (x− 2)2 ≤ 0⇔ (2x+ 8 + x− 2)(2x+ 8− x+ 2) ≤ 0⇔ (3x+ 6)(x+ 10) ≤ 0.

On fait un tableau de signe :

3x+ 6 = 0⇔ x = −63 ⇔ x = −2 et x+ 10 = 0⇔ x = −10.

d’où :

x

3x + 6

x + 10

(3x + 6)(x + 10)

−∞ −10 −2 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

Ainsi :(2x+ 8)2 ≤ (x− 2)2 ⇔ (x− 3)(x+ 11) ≤ 0⇔ x ∈ [−10,−2].

5. On transpose le membre de droite de l’inégalité :

(2x− 4)(x− 1) < 4⇔ (2x− 4)(x− 1)− 4 < 0.

Ce n’est pas un produit de termes, ni une identité remarquable donc il faut développer le membre de gauchede l’inégalité :

(2x− 4)(x− 1)− 4 < 0⇔ 2x2 − 2x− 4x+ 4− 4 < 0⇔ 2x2 − 6x < 0.

x est facteur commun dans le membre de gauche donc on peut factoriser :

2x2 − 6x < 0⇔ x(2x− 6) < 0.

On peut donc construire un tableau de signe :

x = 0 et 2x− 6 = 0⇔ x = 62 = 3,

d’où :

5.2. CORRECTION 45

x

x

2x − 6

x(2x − 6)

−∞ 0 3 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

Ainsi :(2x− 4)(x− 1) < 4⇔ x(2x− 6) < 0⇔ x ∈]0, 3[.

2

1. Le projectile retombe sur le sol si h(t) = 0. Il faut donc résoudre l’équation h(t) = 0 :

h(t) = 0⇔ −5t2 + 100t = 0⇔ t(−5t+ 100) = 0⇔ t = 0 et − 5t+ 100 = 0⇔ −5t = −100⇔ t = 20.

Le projectile retombe sur le sol à t = 20 (et non à t = 0 car c’est le moment où on a lancé le projectile).2. Avant de tracer la courbe représentative (Ch) de h, on va décider des valeurs de Ymin et Ymax. Pour cela, on

va faire un tableau de valeurs de la fonction h.

t 0 5 10 15 20

h(t) 0 375 500 375 0

Ainsi, on peut prendre Ymin = 0 et Ymax = 500. On trace ensuite la fonction sur la calculatrice.

[f(x)]\Y_1 = -5X^2+100Xw[fenetre]Xmin=0Xmax=20Xgrad=1Ymin=0Ymax=500Ygrad=50[graphe]

3. Pour déterminer la période pendant laquelle le projectile est à plus de 320 mètres d’hauteur, on trace la courbereprésentative de la fonction g(x) = 320 et on regarde quand est-ce que (Ch) est au-dessus de (Cg). Sur lacalculatrice,

[f(x)]\Y_2= 320[graphe][2nde]+[trace]5:intersectDéplacer les points à gauche vers x=4 et regarder le point d’

intersection[2nde]+[trace]5:intersectDéplacer les points à droite vers x=16 et regarder le point d’

intersection


Graphiquement, (Cg) est au dessus de (Ch) quand 4 ≤ t ≤ 16.

4. Le but étant maintenant de le démontrer analytiquement.

a. On remarque que :

−5(t− 4)(t− 16) = (−5t+ 20)(t− 16) = −5t2 + 80t+ 20t− 320 = −5t2 + 100t− 320 = h(t)− 320.

b. On résout donc h(t) ≥ 320 grâce à la question 4(a) :

h(t) ≥ 320⇔ h(t)− 320 ≥ 0⇔ −5(t− 4)(t− 16) ≥ 0.

On fait un tableau de signes :

t− 4 = 0⇔ t = 4 et t− 16 = 0⇔ t = 16,

d’où

t

t − 4

t − 16

−5(t − 4)(t − 16)

−∞ 4 16 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

Ainsi :h(t) ≥ 320⇔ −5(t− 4)(t− 16) ≥ 0⇔ t ∈ [4, 16].

Le projectile atteint une altitude supérieure à 320 mètres entre l’instant t = 4 et l’instant t = 16.

5.2. CORRECTION 47


6Étude des variationsde suites (1re S)

S É A N C E

Exercices

Sens de variations de suites numériques

Rappel de cours. Pour déterminer le sens de va-riation d’une suite :– Regarder le signe de un+1 − un

– Si pour tout n > 0 alors on peut comparer un+1un

à 1 (en cherchant éventuellement le signe de ladifférence si nécessaire) ;

– Si un = f(n), on étudie les variations de f eton regarde si elle est monotone sur un intervalledu type [n0,+∞[

1 Déterminer le sens de variation des suites numé-riques suivantes :

1.

w0 = 1wn+1 = wn(1− wn)

2. un = 3n − n+ 1.

2 Soit un = 3n−2n+1 . Déterminer le sens de variation de

la suite (un).

3 Déterminer le sens de variation des suites numé-riques suivantes :

1. un = 83n+1

2. un = 3n

(n+ 1) (Indication : il faudra chercher un+1−un − 1).

En plus : suite arithmétique

Vu en cours. La définition d’une suite arithmétique(par la définition récurrente) et les formules donnant un

en fonction de u0, u1 et up ont été vues mais pas encoreappliquées.

4 Préciser si la suite (un) est arithmétique :

1. un = 2n+ 3,

2. un+1 = −2 + un,

3. un = n2 − n.

Correction

1

1. On calcule les trois premiers termes de la suite :

w0 = 1, w1 = 1(1− 1) = 0, w2 = 0(1− 0) = 0.

A partir du rang 1, la suite est constante égale à 0. On peut le justifier par le fait que :

wn+1 − wn = −w2n.

Cette formule, étant valable pour tout n ∈ N, et w1 = 0, on a ainsi que la suite (un) est constante égale à 0.

2. On calcule les trois premiers termes de la suite :

u0 = 1− 0 + 1 = 2, u1 = 3− 1 + 1 = 3, u2 = 9− 2 + 1 = 8.

On peut conjecturer que la suite est croissante. On le montre par la méthode des différences :

un+1 − un = 3n+1 − (n+ 1) + 1− (3n − n+ 1) = 3n × 2− n+ n− 1 = 2 · 3n − 1 > 0.

car 2 · 3n > 1 pour tout n ∈ N.

2 Soit un = 3n−2n+1 . On calcule les trois premiers termes de la suite :

u0 = −21 = −2, u1 = 1

2 , u2 = 43 .

On conjecture que la suite est croissante.

50 SÉANCE 6. ÉTUDE DES VARIATIONS DE SUITES (1RE S)

On pose la fonction f : x 7→ f(x) = 3x−2x+1 et ainsi un = f(n). On va étudier le sens de variation de f sur

[0,+∞[ et, pour cela, on calcule f ′ :

f ′(x) = 3(x+ 1)− 1(3x− 2)(x+ 1)2 = 3x+ 3− 3x− 2

(x+ 1)2 = 1(x+ 1)2 ≥ 0

Comme f ′(x) > 0, pour tout x ≥ 0, f est croissante sur [0,+∞[, on peut donc en déduire que la suite (un) estcroissante pour tout n ∈ N.

3

1. Soit un = 83n+1 . On calcule les trois premiers termes de la suite :

u0 = 8, u1 = 83 , u2 = 8

32 = 89 .

On conjecture que la suite (un) est décroissante.Comme, pour tout n ∈ N, un > 0, on peut utiliser la méthode des quotients :

un+1

un

= 83n+1 ·

3n

8 = 13 < 1.

La suite (un) est donc décroissante.

2. Soit un = 3n

n+1 . On calcule les trois premiers termes de la suite :

u0 = 30

1 = 1, u1 = 32 = 3

2 , u2 = 32

2 = 3.

On conjecture que la suite (un) est croissante, pour tout n ∈ N.Comme un > 0, on peut utiliser la méthode des quotients :

un+1

un

= 3n+1

n+ 2 ·n+ 1

3n= 3 · n+ 1

n+ 2 .

On ne peut pas conclure directement. On compare :

Tn = 3 · n+ 1n+ 2 − 1 = 3(n+ 1)− (n+ 2)

n+ 2 = 2n− 1n+ 2

On construit un tableau de signes, on voit que :

2x+ 1 = 0⇒ x = −12 , x+ 2 = 0⇒ x = −2.

x

2x − 1

x + 2

2x−1x+2

−∞ −2 −12 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ − 0 +

Donc pour n > −12 , Tn > 0. Or n > 0 donc pour tout n ∈ N, Tn > 0, c’est-à-dire un+1

un> 1 et ainsi, la suite

(un) est croissante pour tout n ∈ N.

4

6.2. CORRECTION 51

1. La suite (un) est arithmétique car de la forme un = an + b avec a = 2 et b = 3. Pour le démontrer rigoureu-sement, on fait :

un+1 − un = 2(n+ 1) + 3− (2n+ 3) = 2n− 2n+ 2 + 3− 3 = 2.

La différence un+1 − un étant constante, la suite (un) est arithmétique de raison 2.

2. On montre que (un) est une suite arithmétique.

un+1 − un = −2 + un − un = −2.

La différence un+1 − un étant constante, la suite (un) est arithmétique de raison −2.

3. Si la suite (un) était arithmétique alors elle serait de la forme an+b. Or, elle ne l’est pas ! En effet, on remarqueque :

un+1 − un = (n+ 1)2 − (n+ 1)− [n2 − n] = n2 + 2n+ 1− n+ 1− [n2 − n] = 2n+ 1

qui n’est pas indépendant de n.

52 SÉANCE 6. ÉTUDE DES VARIATIONS DE SUITES (1RE S)

7Lien entre résolutionalgébrique etgéométrique pour lesinéquations (2nde)

S É A N C E

Exercices

11. a. Construire la courbe (C) représentant la fonc-

tion x 7→ 1x

et la droite (∆) d’équation y =3x+ 2.

b. Conjecturer les abscisses des points d’intersec-tion de (C) et (∆).

c. Conjecturer les valeurs de x pour lesquelles (C)est au-dessus de (∆).

2. a. Vérifier que, pour tout x 6= 0,1x− (3x+ 2) = (1− 3x)(x+ 1)

x.

b. Étudier le signe de (1−3x)(x+1)x

.c. Est-ce en accord avec les conjectures émises

aux questions 1b et 1c ?

2 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = −x2 +4x+21 et on donne ci-dessous (Cf ) sa courbe représen-tative.

−12−10−8−6−4−2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

x

(Cf )

1. Démontrer que f(x) = (7− x)(x+ 3).

2. Répondre à chacune des questions suivantes par uncalcul algébrique (en choisissant la forme de f laplus adaptée), puis vérifier graphiquement votre ré-sultat :

a. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x.

b. Résoudre f(x) ≥ 21.

c. i. Résoudre f(x) ≥ 2x+ 6.

ii. Construire la représentation graphique dela fonction g définie sur R par g(x) =2x+ 6.

iii. Interpréter graphiquement le résultat de laquestion 2b-i.

d. Déterminer les abscisses des points pour les-quels (Cf ) est en dessous de (Ch), courbe re-présentative de la fonction définie sur R parh(x) = 7− x.

e. Démontrer que f(x) = 25− (x− 2)2.Déterminer graphiquement si la fonction f ad-met un maximum ? Si oui, quel est sa valeur eten quel point est-il atteint ?En utilisant l’expression ci-dessus, le démontreralgébriquement.

Correction

1

1. a. La fonction x 7→ 1/x est impaire donc on peut calculer f(x) pour x > 0 et faire f(−x) = −f(x) pourtrouver les points symétriques. On a :

f(1) = 1, f(−1) = −1, f(1/2) = 2, f(−1/2) = −2, f(2) = 1/2, f(−2) = −1/2.

Calculons les coordonnées de deux points de la droite (∆). Soit g : x 7→ 3x+ 2 :

g(0) = 2 et g(1) = 3 + 2 = 5.

On peut ainsi construire (C) et (∆) comme en dessous.

54 SÉANCE 7. LIENS-INÉQUATIONS

−2

2

y

−2 −1 1 2

x

(C)

(∆)

b. On conjecture que la courbe (C) et la droite (∆) se rencontrent aux points d’abscisses −1 et 13 . Voir la

figure suivante.

−2

2

y

−2 −1 1 2

x

(C)

(∆)

c. On conjecture que la courbe (C) est au-dessus de la droite (∆) quand x < 1 et 0 ≤ x ≤ 13 .

−2

2

y

−2 −1 1 2

x

(C)

(∆)

7.2. CORRECTION 55

2. a. Pour x > 0, on a :

(1− 3x)(x+ 1)x

= x+ 1− 3x2 − 3xx

= −2x− 3x2 + 1x

= x(−3− 2x) + 1x

= 1− x(2x+ 3)x

= 1x− (2x+ 3).

b. (1−3x)(x+1)x

est le quotient de facteurs de premier degré donc on peut dresser le tableau de signe avec aupréalable, la détermination des valeurs charnières :

(1− 3x)(x+ 1) = 0⇔ (1− 3x) = 0 ou (x+ 1) = 0⇔ x = 13 ou x = −1

Il y a aussi comme valeur interdite : x = 0. Donc :

x

1 − 3x

x + 1

x

(1−3x)(x+1)x

−∞ −1 0 13 +∞

+ + + 0 −

− 0 + + +

− − 0 + +

+ 0 − + −

c. En lisant le tableau de signe,– on remarque que

1x

= (2x+ 3)⇔ 1x− (2x+ 3) = 0⇔ (1− 3x)(x+ 1)

x= 0

et :(1− 3x)(x+ 1)

x= 0⇔ x = 1

3 et x = −1– on remarque que :

1x≥ (2x+ 3)⇔ 1

x− (2x+ 3) ≥ 0⇔ (1− 3x)(x+ 1)

x≥ 0

et :(1− 3x)(x+ 1)

x≥ 0⇔ x ∈]−∞,−1] ∪ [0, 1/3].

2

1. On développe :(7− x)(x+ 3) = 7x− x2 + 21− 3x = −x2 + 4x+ 21 = f(x).

2. a. On choisit la forme de la question 1 car c’est un produit de facteur de premier degré.

(7− x)(x+ 3) = 0⇔ (7− x) = 0 ou (x+ 3) = 0⇔ x = 7 ou x = −3.

On peut maintenant dresser le tableau de signe :

x

7 − x

x + 3

(7 − x)(x + 3)

−∞ −3 7 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −


Donc :– f(x) > 0 si x ∈]− 3, 7[,– f(x) = 0 si x ∈ −3 ∪ 7,– f(x) < 0 si x ∈]−∞,−3[∪]7,+∞[.

b. Pour résoudre f(x) ≥ 21, on préfère l’expression donnée par l’énoncé :

f(x) ≥ 21⇔ f(x)− 21 ≥ 0⇔ −x2 + 4x+ 21− 21 ≥ 0⇔ −x2 + 4x ≥ 0⇔ x(4− x) ≥ 0.

On cherche les valeurs charnières :

x(4− x) = 0⇔ x = 0 ou 4− x = 0⇔ x = 0 ou x = 4.

D’où

x

4 − x

x

x(4 − x)

−∞ 0 4 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

Donc :f(x) ≥ 21⇔ x(4− x) ≥ 0⇔ x ∈ [0, 4].

c. i. Pour résoudre f(x) ≥ 2x+6, on prend la forme factorisée de f en remarquant que f(x) = 2(x+3) :

(7− x)(x+ 3) ≥ 2(x+ 3)⇔ (7− x)(x+ 3)− 2(x+ 3) ≥ 0⇔ (7− 2− x)(x+ 3) ≥ 0⇔ (5− x)(x+ 3) ≥ 0⇔ −(x− 5)(x+ 3) ≥ 0

On cherche ainsi les valeurs charnières :

−(x− 5)(x+ 3) = 0⇔ (x− 5) = 0 ou (x+ 3) = 0⇔ x = 5 ou x = −3.

Ainsi, on peut dresser le tableau de signes :

x

x − 5

x + 3

−1

−(x − 5)(x + 3)

−∞ −3 5 +∞

− − 0 +

− 0 + +

− − −

− 0 + 0 −

Donc :f(x) ≥ 2x+ 6⇔ −(x− 5)(x+ 3) ≥ 0⇔ x ∈ [−3, 5].

ii. Pour construire la courbe représentative de g, on a besoin des coordonnées de deux points :

g(0) = 6 et g(1) = 2 + 6 = 8.

La courbe représentative est construite sur la figure suivante :

7.2. CORRECTION 57

−12−10−8−6−4−2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

x

(Cf )

(Cg)

iii. Graphiquement, « f(x) ≥ 2x+ 6 » correspond à (Cf ) est au-dessus de (Cg), c’est la partie délimitéepar les deux courbes (Cf ) et (Cg) entre x = −3 et x = 7.

−12−10−8−6−4−2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

x

(Cf )

(Cg)

d. On voudrait résoudre f(x) ≤ (7− x). Pour cela, on prend la forme factorisée de f :

(7−x)(x+3) ≤ 7−x⇔ (7−x)(x+3)− (7−x) ≤ 0⇔ (7−x)(x+3−1) ≤ 0⇔ (7−x)(x+2) ≤ 0.

On cherche ensuite les valeurs charnières :

(7− x)(x+ 2) = 0⇔ (7− x) = 0 ou (x+ 2) = 0⇔ x = 7 ou x = −2.

D’où :

x

7 − x

x + 2

(7 − x)(x + 2)

−∞ −2 7 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

Donc (Cf ) est en-dessous de (Ch) si et seulement si :

(7− x)(x+ 3) ≤ 7− x⇔ (7− x)(x+ 2) ≤ 0⇔ x ∈]−∞,−2] ∪ [7,+∞[.


−12−10−8−6−4−2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

x

(Cf )

(Ch)

e. On développe :

25− (x− 2)2 = 25− (x2 − 4x+ 4) = −x2 + 4x+ 25− 4 = −x2 + 4x+ 21 = f(x).

Graphiquement, on voit que f admet un maximum en x = 2 et f(2) = 25.

−12−10−8−6−4−2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

x

(Cf )

Algébriquement, il faut résoudre :

25− (x− 2)2 = 25⇔ −(x− 2)2 = 0⇔ x = 2.

D’où le maximum de f est atteint en x = 2 et vaut 25.

7.2. CORRECTION 59


8Problèmes ouvertspour les 2nde

S É A N C E

Problèmes ouverts

1 Histoire de récipients

1. J’ai besoin de cinq litres d’eau et pour cela je merapproche d’une fontaine (on suppose que la fon-taine donne de l’eau en continu) et je dispose d’unrécipient de 10 litres, un de 4 litres et un de 3 litres.Comment dois-je faire pour parvenir à mes fins ?

2. J’ai besoin de quatre litres d’eau et pour cela je merapproche d’une fontaine (on suppose que la fon-taine donne de l’eau en continu) et je dispose d’ unrécipient de 5 litres et un de 3 litres. Comment dois-je faire pour parvenir à mes fins ?

2 Multiplication chinoise (non rendu)Cette énigme vous permettra d’utiliser une tech-

nique de multiplication découverte dans l’Empire du

Milieu. Vous pouvez, pour répondre aux questions sui-vantes, regarder la vidéo qui se trouve à l’URL :

http://www.youtube.com/watch?v=cOiwL0CTYsg

(si le lien ne fonctionne pas, recherchez sur Youtube, lavidéo « multiplication chinoise » et normalement, c’estla première vidéo qui dure 2 min 30).

1. Faire les multiplications chinoises suivantes : 22×13et 131× 251.

2. Comment faire les multiplications chinoises sui-vantes : 10× 12 et 124× 102 ? Faites un dessin quiillustre les multiplications données.

Note : Ce qui est attendu dans les réponses, c’est ledessin de la méthode expliquée dans la vidéo. Les résul-tats des opérations peuvent être vérifiés à la calculatrice.

Solutions des problèmes ouverts

1

1. Il y a beaucoup de solutions pour résoudre ce problème. En voici une : Tout d’abord, je remplis le récipient de4 litres et une fois rempli, je le transvase sur le récipient de 3 litres. Il me reste donc 1 litre dans le récipientde 4 litres. On transvase ensuite le récipient de 4 litres dans celui de 10 litres. Il y a donc 1 litre d’eau dans lerécipient de 10 litres, 3 dans celui de 3 litres et le récipient de 4 litres est vide. On remplit encore le récipientde 4 litres qu’on transvase ensuite dans le récipient de 10 litres et ainsi, on obtient un récipient qui contient 5litres.

2. Encore une fois, il y a beaucoup de solutions. En voici une d’entre elles : Pour commencer, on remplit lerécipient de 5 litres qu’on transvase ensuite dans celui de 3 litres. Ainsi, il y a 3 litres dans le récipient de 3litres et 2 dans le récipient de 5 litres. On vide le récipient de 3 litres et on transvase ensuite le contenu decelui de 5 litres dans celui de 3 litres. Le récipient de 5 litres est donc vide et celui de 3 litres contient juste 2litres d’eau. On remplit enfin le récipient de 5 litres et on transvase pour remplir le récipient de 3 litres. Ainsi,il y a donc 4 litres d’eau dans le récipient de 5 litres et 3 dans celui de 3 litres.

2

1. a. Voici la multiplication 22× 13 faite par les chinois :

62 SÉANCE 8. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES 2NDE

2

8

6

b. Voici la multiplication 131× 251 faite par les chinois :

8(18)8

1

2(11 + 1)

3(2 + 1)

2. Pour le chiffre 0, on peut tracer un trait en pointillés. Alors on ne compte pas les intersections avec les autresdroites.

a. Voici la multiplication 10× 12 faite par les chinois :

2

1 0

b. Voici la multiplication 124× 102 faite par les chinois :

8.2. SOLUTIONS DES PROBLÈMES OUVERTS 63

8

4

6

2

1

64 SÉANCE 8. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES 2NDE

9Problèmes ouvertspour les Premières S

S É A N C E

Problèmes ouverts

1 Aire de triangles inchangée

SoitABCD un rectangle de longueur 4 et de largeur3.

1. Montrer que, pour tout I appartenant à [CD], l’airedu triangle ABI est de 6cm2.

2. Soient I appartenant à [CD] et O milieu de [AI].Calculer l’aire du triangle ABO.

3. Pourquoi l’aire du triangle ABO reste inchangéquand on fait déplacer I sur le segment [CD] ? In-dications : quel(s) théorème(s) en géométrie permetd’affirmer cela ?.

A B

CD I

O

2 Horaires de sommeil particulièresChaque nuit, je me couche entre 22h et 23h quand

les aiguilles sont parfaitement confondus et je me ré-veille entre 4h et 5h quand les aiguilles sont parfaite-ment alignés. Combien d’heures de sommeil je m’ac-corde par jour ?

Solutions des problèmes ouverts pour les Premières S

11. Soit I ∈ [CD]. On note H le projeté orthogonal de I sur [AB]. On montre que IH = AD. Comme H est le

projeté orthogonal de I sur [AB], on a alors AHI = 90°. De plus, ABCD est un rectangle, d’où DAB = 90°et ADC = 90°. On rappelle qu’un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. D’où ADIH est unrectangle et ainsi AD = IH . On peut alors conclure que :

Aire(AIB) = B × h2 = IH × AB

2 = 4× 32 = 6 cm2.

2. Pour résoudre cette question, on utilise la propriété suivante 1 : « Une médiane partage un triangle en deuxtriangles d’aires égales ». Comme O est milieu le milieu de [AI], la médiane issue de B passe par O. Donc :

Aire(AOB) = Aire(AIB)2 = 6

2 = 3 cm2.

3. On veut montrer que pour tout I appartenant à [CD], si O est le milieu de (AI) alors en notant P le projetéorthogonal de O sur [AB], on a : OP = IH

2 = 1,5 cm, ainsi l’aire du triangle AOB reste inchangée pardéplacement du point I . Comme les droites (OP ) et (IH) sont parallèles (car elles sont perpendiculairestoutes deux à (AB)), par le théorème de Thalès appliquée dans le triangle AHI (rectangle en H), on a :

AO

AI= AP

AH= 1

2 ⇒ AP = 12AH

donc P est milieu de [AH]. On applique encore le théorème de Thalès dans le triangle AHI :

OP

IH= AO

OI= 1

2 ⇒ OP = 12IH.

Dans la question 1, on a montré que pour tout I sur [CD], IH = AD donc OP = 12IH = 1

2AD = 1,5 cm etainsi :

Aire(AOB) = OP × AB2 =

4× 32

2 = 4× 34 = 3 cm2,

l’aire du triangle AOB reste donc inchangée par déplacement du point I .

1. Si vous n’en êtes pas convaincus, faites-en la démonstration

66 SÉANCE 9. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S

Remarque finale : En répondant à la question 2, on répond indirectement à la question 3.

2 On cherche l’heure où l’on se couche et où l’on se lève. Pour cela, on a besoin de faire un peu de modélisation.Un cadran de montre fait 360 degrés et il y a 12 heures. Donc en une heure, la grande aiguille parcourt 360

12 = 30degrés. Chaque minute, la grande aiguille parcourt ainsi 30

60 = 0, 5 degrés. La petite aiguille, quant à elle, parcourtchaque minute, 360

60 = 60 degrés.Pour trouver l’heure où l’on se couche, on cherche le moment x quand les aiguilles sont confondues entre 22

heures et 23 heures :10× 30 + 0, 5x = 6× x.

La résolution de cette équation est assez simple :

300 + 0, 5x = 6x⇔ 300 = 5, 5x⇔ x = 3005, 5 ≈ 54, 54 minutes.

On se couche donc à 22 heures 54 minutes et 32 secondes.Pour trouver l’heure où l’on se réveille, on cherche le moment x quand les aiguilles sont alignés entre 4 heures

et 5 heures, c’est-à-dire quand les aiguilles forment un angle de 180 degrés. On veut donc trouver le moment xlorsque les aiguilles des heures et des minutes forment un angle de 180 degrés. Pour cela, il faut enlever la quantitéde 180 degrés dans le second membre de l’égalité :

30× 4 + 0, 5x = 6x− 180.

Là encore, la résolution de cette équation est aisée :

120 + 0, 5x = 6x− 180⇔ 300 = 5, 5x⇔ x = 3005, 5 = 54, 54 minutes.

On se lève donc à 4 heures 54 minutes et 32 secondes.Pour conclure le problème, il nous faut trouver le temps de sommeil qu’on s’est accordé :

24× 60 + 4× 60− 54, 5− 22× 60 + 54, 5 = 120 + 4× 60 = 360 minutes.

On s’est accordé 6 heures de sommeil.

9.2. SOLUTIONS DES PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S 67

68 SÉANCE 9. PROBLÈMES OUVERTS POUR LES PREMIÈRES S

IIIStage au collège Voltaire (Wattignies, 2012)

- Activités en 5e


Mon stage en responsabilité, dans le cadre de ma seconde année de Master Enseignementde Mathématiques, s’est déroulé au collège Voltaire à Wattignies (59), sous la direction deMme D. LAHAYE. Le but avoué de ce stage est de poursuivre le travail fait en classe de lycéesur les problèmes ouverts et énigmes. Je proposerai de faire au sein même d’un devoir maison,quelques énoncés d’énigmes. Le travail sur l’énigme sera facultatif mais valorisera sûrementune copie moyenne. . .

71

72

10Parallélogramme

S É A N C E

Introduction du parallélogramme1

Date 17 février 2012

Classe 5e-1

Déroulé INTRODUCTION DU PARALLELOGRAMMEActivités :A la recherche de nomsUn parallélogramme fait de bandes de papiersCours : Introduction du parallélogrammeDéfinition d’un parallélogrammeConstruction du parallélogramme par tracé de paires de parallèlesJustificationExercices d’application : à finirno 1 p 148 no 3 p 148 no 4 p 148

Contenu du cours

1 1 Activités : Rappels sur les quadrilatères et introduction du parallélo-gramme

Activité A.À la recherche de noms

1. Utiliser les lettres des sommets pour nommer les quadrilatères ci-dessous.

a. B

O

N

D

b. T

E

C

H

c. R E

CT

d.A R

CS

2. Reproduire, à main levée, ces quadrilatère sur le cahier. Tracer leurs diagonales puis écrire le nom de cesdiagonales.

3. Cite deux côtés opposés du quadrilatère a., du quadrilatère b.4. Cite deux angles opposés du quadrilatère c., du quadrilatère d.5. Avez-vous reconnu un quadrilatère particulier dans les quatre quadrilatères proposés ?

Activité B.Un quadrilatère fait de bande de papiers

Vous disposez d’une bande de papier chacun.1. Avec votre voisin, croisez les deux bandes de papiers afin que la croisement obtenu soit un quadrilatère (il ne

faut pas que les deux bandes soient parallèles ou perpendiculaires).2. Dessinez à main levé le croisement obtenu.3. Décrivez les particularités géométriques du quadrilatère obtenu.

1 2 Le cours : Définition d’un parallélogramme

ParallélogrammeUn parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèlesDéfinition 10.1

74 SÉANCE 10. PARALLÉLOGRAMME

Comme (AB)//(DC) et (AD)//(DC),ABCD est un parallélogramme.

A

B

C

D

1 3 Exercices d’application


1 no 1 p. 148Nommer les quadrilatères qui semblent être des parallélogrammes.

A

B

C

D

E

F

H

G

I

J

K

L

M

2 no 3 p 148Sur la figure ci-dessous, on a :

– (AC)//(GI) ;– (DF )//(GI) ;– (AG)//(CI) ;– (BH)//(CI).

G

H

I

D

A

B

C

F

Nomme tous les parallélogrammes de cette figure ayant pour sommets les points indiqués. Combien y ena-t-il ?

3 no 4 p 148ABCD est un parallélogramme.

1. Nomme deux côtés de ce prallélogramme qui sont opposés.2. Nomme les deux diagonales de ce parallélogramme.

10.1. INTRODUCTION DU PARALLÉLOGRAMME 75

À la découverte des propriétés du parallélogramme (TICE)2


Classe 5e-1

Déroulé A LA DECOUVERTE DES PROPRIETES DU PARALLELOGRAMMEActivité TICE : A la découverte des propriétés du parallélogramme1. Avant toute chose2. Un centre de symétrie3. Démonstration de la conjecture4. Diagonales et milieux5. Longueur des côtés opposés6. Mesure des angles opposés

Contenu du cours

2 1 Avant toute chose

– Ouvrer votre session.– Si ce n’est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans « Mes documents ».– Ouvrer Geogebra pour l’activité.– Déasctiver les axes (pour cela, il faut cliquer sur (Affichage > Axes)– Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra.– Ce symbole + signifie qu’il faut lever le doigt pour faire valider votre figure et vos

réponses par le professeur.– Les cadres « Conclusion » seront intégrés au fur et à mesure dans le cahier de cours.

2 2 Un centre de symétrie

1. Placer trois points A, B et O non alignés au hasard sur votre fenêtre de tracé.

2. Tracer le point A′ symétrique du point A par rapport à O.

3. Tracer le point B′ symétrique du point B par rapport à O.

4. Tracer le quadrilatère ABA′B′.

5. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère ABA′B′ ? +

2 3 Démonstration de la conjecture

1. Construire les droites (AB) et (A′B′). Que peut-on dre des droites (AB) et (A′B′) parrapport au point O ? Conclure avec une propriété du cours.

2. Construire les droites (AB′) et (BA′). Que peut-on dire des droites (AB′) et (BA′) parrapport au point O ? Conclure avec une propriete du cours.

3. D’après les questions précédentes, que peut-on en conclure de la nature du quadrilatèreABA′B′ ? +


Propriété sur le centre de symétrieSi un quadrilatère est un parallélogramme alorsConclusion

2 4 Diagonales et milieux

1. Tracer les diagonales du quadrilatère ABA′B′.

2. Tracer le milieu de la diagonale [AA′].

3. Tracer le milieu de la diagonale [BB′].

4. Que peut-on conjecturer sur les milieux des diagonales du quadrilatère ABA′B′ ? +

5. On va démontrer que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

a. Quel est le symétrique de A par rapport à O ?

b. Quel est le symétrique de la droite (AB) par rapport à O ?

c. Quel est le symétrique de la droite (BA′) par rapport à O ?

d. Quel est le symétrique du point A′ par rapport à O ?

e. Que peut-on en déduire du point O par rapport au segment [AA′] ?

f. Les longueurs AO et OA′ sont-elles égales ? Pourquoi ?

g. Les longueurs BO et OB′ sont-elles égales ? Pourquoi ?

h. Conclure.+

10.2. À LA DÉCOUVERTE DES PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLOGRAMME (TICE) 77

Propriété sur les diagonalesSi un quadrilatère est un parallélogramme alorsConclusion

2 5 Longueur des côtés opposés

1. Afficher la longueur des côtés du quadrilatère ABA′B′.

2. Que peut-on conjecturer sur les longueurs des côtés opposés du quadrilatère ABA′B′ ?+

3. On va démontrer qu’un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur.

a. Rappeler (sans justifier) les images des segments [AB] et [A′B] par rapport à O.

b. Comme une symétrie centrale conserve les , les longueurs AB etsont .

c. Comme une symétrie centrale conserve les , les longueurs AB′ etsont . +

Propriété sur les côtés opposésSi un quadrilatère est un parallélogramme alorsConclusion

2 6 Mesure des angles opposés

1. Afficher les angles et la mesure des angles du quadrilatère ABA′B′.

2. Que peut-on conjecturer sur la mesure des angles opposés du quadrilatère ABA′B′ ? +

3. On va démontrer qu’un parallélogramme a ses angles opposés de même longueur.

a. Quel est le symétrique de l’angle B′AB par rapport au point O ?

b. Quel est le symétrique de l’angle ABA′ par rapport au point O ?

c. Comme une symétrie centrale conserve les d’angle, les angles B′ABet sont .

d. Comme une symétrie centrale conserve les d’angle, les angles ABA′

et sont . +


Propriété sur les angles opposésSi un quadrilatère est un parallélogramme alorsConclusion

10.2. À LA DÉCOUVERTE DES PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLOGRAMME (TICE) 79

Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme3

Date 12 mars 2012

Classe 5e-1

Déroulé DEMONTRER QU’UN QUADRILATERE EST UN PARALLELO-GRAMMERappel sur les propriétés du parallélogrammeActivités :Vrai ou faux ?Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Contenu du cours

Activité C.Vrai ou faux ?

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Pour cela, on pourra s’aider d’un dessin fait à mainlevé.

1. Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme.

2. Un quadrilatère qui a un angle droit et deux côtés de même longueur est un parallélogramme.

3. Un quadrilatère qui a ses diagonales qui ont le même milieu est un parallélogramme.

4. Un quadrilatère qui a deux angles de 60° est un parallélogramme.

5. Un quadrilatère croisé qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme.

6. Un quadrilatère non croisé qui a ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme.

7. Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

8. Un quadrilatère non croisé qui a ses angles opposés de même mesure est un parallélogramme.

Activité D.Sur la figure ci-dessous, trouver tous les quadrilatères dont on peut affirmer qu’ils sont des parallélogrammes.Pour chacun, énoncer une propriété qui permet de justifier la réponse.


11Nombres relatifs(addition etsoustraction)

S É A N C E

Additionner deux nombres relatifs1

Date 19 mars 2012

Classe 5e-1

Déroulé ADDITIONNER DEUX NOMBRES RELATIFSRappel sur les nombres relatifsActivités : Gains et pertesCours : Additionner des nombres relatifsExercices (à faire) :no 20 p 73 no 23 p 73

Contenu du cours

1 1 L’activité

Activité A.Gains et perte

Quatre amis de longue date, Thomas, Jennifer, Julien et Marion, ont décidé de jouer au casino deux soiréesde suite :a. Thomas : « J’ai gagné 20e le premier jour et gagné 50e le second jour ».b. Jennifer : « J’ai perdu 20 e le premier jour et perdu 50e le second jour ».c. Julien : « J’ai gagné 20e le premier jour et perdu 50e le second jour ».d. Marion : « J’ai perdu 20e le premier jour et gagné de 50e le second jour ».

1. Associer les additions suivantes aux joueurs de casino :a. (−20) + (+50) ;b. (+20) + (−50) ;c. (−20) + (−50) ;d. (+20) + (+50).

2. Qui a gagné de l’argent au bout de ces deux soirées ? Qui en a perdu ?3. Illustrer chaque opération par une phrase du style « Le premier jour, j’ai gagné . . . e et le second jour, j’ai

perdu . . .e » et dites si vous avez gagné de l’argent au final ou non.a. 8 + (−5) ;b. (−9) + 4 ;c. (−14) + (−4) ;d. 17 + (−9) ;e. (−21) + 11 ;f. (−15) + 15.

1 2 Cours : Addition de deux nombres relatifs

Rappel. La distance à zéro d’un nombre relatif est la distance entre l’origine et le point ayantce nombre pour abscisse.

Si les deux nombres ont le même signe, on ajoute les distances à zéro et le résultatest de même signe.Définition 11.1

Exemples 11.2.

82 SÉANCE 11. NOMBRES RELATIFS (ADDITION ET SOUSTRACTION)

a. (+5) + (+3) = (+8)b. (−6) + (−3) = (−9)

Si les deux nombres ont des signes différents, on soustrait leurs distances à zéro et lerésultat est du signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.Définition 11.3

Exemples 11.4.a. (+6) + (−11) = (−5)b. (−3) + (+5) = (+2)

La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.Définition 11.5

Exemple 11.6. (+2) + (−2) = 0.



1 no 20 p 73Calculer :

1. (+3) + (+7) ;

2. (−4) + (−7) ;

3. (+8) + (−5) ;

4. (−3) + (−6) ;

5. (−15) + (−12) ;

6. (−4) + (+11) ;

7. (+15) + (−24) ;

8. (−36) + (+42).

2 no 23 p 73Calculer :

1. (−9,4) + (+65) ;

2. (−82) + (−3,6) ;

3. 10,6 + (+236) ;

4. (+3,76) + (−4,18) ;

5. 7,04 + (−7,4) ;

6. (−3,05) + (+30,5) ;

7. (−12,36) + (−15,7) ;

8. (−45,5) + (−1,38).

11.1. ADDITIONNER DEUX NOMBRES RELATIFS 83

Soustraire deux nombres relatifs2

Date 23 mars 2012

Classe 5e-1

Déroulé SOUSTRAIRE DEUX NOMBRES RELATIFSActivités :Des + qui se transforment en – ? ! ! ?Ecarts de températureCours : Soustraire des nombres relatifsExercices :no 24 p 73 no 26 p 73 no 27 p 73

Contenu du cours

2 1 Activités : Soustraire des nombres relatifs

Activité B.Des + qui se transforment en - ? ! ! ?

1. Effectuer les calculs suivants à la main en vous inspirant de ce qu’on a fait lundi.a. (+12) + (+28) ;b. (+12) + (−28) ;c. (−12) + (−28) ;d. (−12) + (+28).

2. Effectuer les calculs suivants à la calculatrice et associer les soustractions avec les additions de la question 1.a. (+12)− (+28) ;b. (+12)− (−28) ;c. (−12)− (−28) ;d. (−12)− (+28).

3. Recopier et compléter les deux phrases suivantes :a. « (+28) et (−28) sont des nombres . . .. . . ».b. « Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on . . .son . . ..

4. Pour vous entrainer, calculer :a. 5− (+9) ;b. (−3)− (−8).

Activité C.Ecart de température

Le tableau ci-contre donne les températures maximales et minimales (en degré Celsius ou °C) observées aumois de décembre dans huit villes du monde.

Ville Pays max. min. EcartAthènes Grèce 11 6Chicago États-Unis 8 -2Genève Suisse 7 1Moscou Russie -3 -9

Oslo Norvège 0 -6Paris France 10 -1

Tokyo Japon 1 -3Québec Canada -5 -10


On appelle écart de température, la différence de la température maximale avec la température minimale.

1. Écrire l’opération d’écart de température pour Athènes et pour Chicago ?

2. Compléter la dernière colonne du tableau ci-dessus (à compléter sur la feuille).

2 2 Cours : soustraire des nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.Définition 11.7

Exemples 11.8.

a.

3− 8=3 + (−8)=− 5

b.

10− (−7)=10 + (+7)=17

c.

− 5− 4=− 5 + (−4)=− 9

11.2. SOUSTRAIRE DEUX NOMBRES RELATIFS 85

Séance d’approfondissement

Date 2 avril 2012

Classe 5e-1

Déroulé SEANCE D’APPRONFONDISSEMENTActivités : Une activité de calcul mental ludiqueExercices : Feuille d’exercices distribuée par Mme Lahaye (exo 16-17-18)

Contenu du cours

Une activité amusante de calcul mental

– Prenez un nombre de deux chiffres.– Multipler ce nombre par 5.– On rajoute à ce résultat 50.– On multiplie ensuite le résultat par 20.– On rajoute ensuite 1012.– Soustrayez votre résultat par votre année de naissance.– Enoncez à haute voix le nombre calculé.– Je peux vous dire ainsi le nombre de deux chiffres choisi et votre âge au début de l’année.

Feuille d’exercices proposée par D. Lahaye

1

1. Calcule :

A = −5− 7− 9 + 10C = 7 + 3− 9− 36N = −3− 4− 8− 6O = 3− 8− 6 + 11R = 8− 4− 6− 2 + 10T = 1 + 2− 3 + 4− 5

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom d’un mathématicien allemand du 19e

siècle.

2

1. Calcule :

B = −8 + 5− 7 + 2I = 12− 15 + 7− 17 + 4M = 5 + 8− 7− 2O = −4 + 6− 7 + 5S = −10− 5− 8− 1U = 12− 15− 17 + 6

2. Range les résultats obtenus dans l’ordre décroissant.Tu obtiendras le nom d’un mathématicien et astro-nome allemand du 19e siècle.

3 Arthur et Jospeh ont lancé cinq flèchettes sur lacible ci-dessous.

5

−4

−10

Arthur a obtenu : 2 impacts sur le disque blanc, 1imapct sur la couronne grise et 2 impacts sur la cou-ronne noire.

Joseph a obtenu : 1 impact sur le disque blanc, 3 im-pacts sur la couronne grise et 1 impact sur la couronnenoire.

Qui a gagné ?

4


1. Calcule :

E = 5− 2− 1 + 3− 7I = 8 + 3− 10 + 2− 7L = −1− 2 + 3− 4− 5 + 6S = −1 + 2− 3 + 4− 5 + 6W = −7 + 8− 10− 2 + 3

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom d’un mathématicien anglais né en 1953.

5

1. Calcule :

A = −4− 8C = −7 + 3E = 2− 14 + 3− 3 + 10H = 5− 8I = 14− 8− 10 + 7 + 8 + 14M = −7 + 8− 5− 20N = −5 + 10O = −6 + 6R = −1 + 3− 4− 5 + 6S = −8− 7 + 10

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu ob-tiendras le nom du mathématicien italien qui initial’Empereur Napoléon 1er aux subtilités de la géomé-trie.

6

1. Calcule :

A = −7 + 8− 9− 5 + 1C = −1− 2− 3− 4− 5− 6D = 8− 4− 3 + 2− 5E = −5 + 4− 6 + 5− 3H = 20− 30 + 40− 50I = −1 + 10− 5 + 7− 10L = 1− 3 + 5− 7 + 9− 11N = 10 + 9 + 8 + 7P = 10 + 5− 7− 9 + 1R = −9 + 8− 10 + 6− 12 + 8S = 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + 7− 8U = −10 + 8 + 9− 5− 3

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu ob-tiendras le nom du mathématicien français (1784 -1873) qui créa les services statistiques français.

7

1. Ecris sans parenthèses les nombres suivants :

A = −(+12)E = −(−4)G = +(−7)I = −(−11)N = −(+3)S = +(+7)

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom d’une mathématicienne et philosophedu 18e siècle.

8

1. Simplifie puis calcule les expressions numériquessuivantes :

E = 3 + (+7)G = 7 + (−9)H = −2 + (−5)N = 7− (−4)S = −2− (−17)U = −1− (+6)Y = −6− (−3)

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom du mathématicien et astronome néerlan-dais qui inventa l’horloge à balancier.

9


I = 6− (−3)S = −7− (+7)T = −2 + (−3)E = 7− (−5) + (−8)N = 9 + (+8)− (−3)V = −2− (−9)

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom d’un mathématicien qui s’intéressa auxfractions décimales.

10

11.3. SÉANCE D’APPROFONDISSEMENT 87


A = −3 + (−2)G = −1 + (+7)I = −4− (−5)T = 6− (+8)F = −2 + (−7)− 9L = 4 + (−9)− (−1)N = −1− (+7)− (−10)S = 1− (−7) + 3− 4

2. Range les résultats dans l’ordre croissant. Tu obtien-dras le nom du mathématicien allemand né en 1954qui reçut la Médaille Fields en 1986.

11

1. Sur une droite graduée (unité 1 cm ou 1 grand car-reau), place les pointsA(−2),B(3), F (−7) etE(5).

2. Calcule AB, AF , AE, BF , BE et EF .

12

1. Sur une droite graduée, place les points A(−4) etB(6).

2. E est le point d’abscisse xA+xB

2 . Calculer l’abscissede E, puis place E.

3. Calcule AE et BE.

4. Que représente le point E pour le segment [AB].Justifie la réponse.

13 Monsieur Donetrodexo a donné à ses élèves l’exer-cice suivant :

ExerciceSur une droite graduée (unité le cm), le point A apour abscisse −2.J est un point tel que AJ = 3 cm.Donne l’abscisse de J .


12Quadrilatèresparticuliers

S É A N C E

Parallélogrammes particuliers I (TICE)1

Date 6 avril 2012

Classe 5e-1

Déroulé PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS I (TICE)1. Un parallélogramme avec un angle droit2. Diagonales d’un parallélogramme de même longueurLe travail de certains élèves était ramassé

Contenu du cours

1 0 Avant de commencer. . .

– Ouvrer votre session.– Si ce n’est pas déjà fait, créer un dossier Mathématiques dans « Mes documents ».– Ouvrer Geogebra pour l’activité.– Bien lire les fichiers de prérequis : « Parallélogramme et quadrilatères particuliers » et

« Coordonnées d’un point ».– Pour chaque activité, créer un nouveau fichier sur Geogebra. (Fichier -> Nouveau

à chaque fois que vous finissez une activité).– Tout ce qui est en italique est à faire sur Geogebra.– Pour vous aider, vous pouvez faire apparaître le quadrillage dans le cadre de construc-

tion de figure (Affichage -> Grille).– Si vous n’avez pas terminé l’activité à la fin de l’heure, vous pouvez la terminer chez

vous. Vous pouvez télécharger Geogebra à l’adresse suivante :

http://www.geogebra.org/cms/fr/installers (Version Windows).

1 1 Un parallélogramme avec un angle droit


1) Construire les points : A(0, 0), B(0, 2), C(3, 2).

2) Que peut-on dire de l’angle ABC ? Faire apparaître la mesure de l’angle ABC surl’écran.

3) Où faut-il placer le point D pour que ABCD soit un parallélogramme ? Placer le pointD sur votre figure.

4) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le faire apparaître sur l’écran de votreordinateur.

Quelle donnée de l’énoncé permet de l’affirmer ? Justifier.

90 SÉANCE 12. QUADRILATÈRES PARTICULIERS


5) Que peut-on dire des angles du parallélogramme ? Faire apparaître les mesures d’anglesur l’écran d’ordinateur

6) En déduire la nature de ABCD. Justifier.

7) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a un angle droit

1 2 Diagonales d’un parallélogramme de même longueur


1) Placer les points A(0, 0), B = (0, 3), C = (4, 3) et D = (4, 0). Tracer le parallélo-gramme ABCD.

2) Tracer les segments [AC] et [BD] et vérifier qu’ils ont la même longueur.

3) Placer le point O, centre du parallélogramme.

4) Construire le symétrique E du point A par rapport à B. Construire le point P , inter-section des segments [BC] et [DE]. Que peut-on dire du point P d’intersection dessegments [BC] et [DE] ?

5) En déduire la nature du quadrilatère BDCE.

6) Que peut-on dire sur la longueur des segments

– [DB] et [CE] ? :– [AC] et [DB] ? :

En déduire queAC = CE.

7) Montrer que C et B appartiennent à la médiatrice de la droite (AE). Que peut-on diredes droites (BC) et (AE) ?

8) En se servant de ce qui a été fait à la première activité, en déduire la nature du quadri-latère ABCD.

9) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur

12.1. PARALLÉLOGRAMMES PARTICULIERS I (TICE) 91

–

–Conclusion


Parallélogrammes particuliers II (TICE)2

Date 13 avril 2012

Classe 5e-1

Déroulé PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS II (TICE)1. Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur2. Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires

Contenu du cours

2 1 Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur


1) Placer les points A(0, 0), B(5, 0), D(4, 3).

2) Placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

3) Montrer sur l’écran que AB = DC et BC = AD. Justifier pourquoi on a ces égalités.

4) En déduire queAB = DC = BC = AD.

5) Quelle est la nature deABCD ? Justifier.

6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même lon-gueur

2 2 Un parallélogramme avec ses diagonales perpendiculaires


1) Placer les points A = (3, 0), B = (6, 2), C = (3, 4), D = (0, 2). Tracer le parallélo-gramme ABCD.

2) Montrer sur l’écran que les diagonales sont perpendiculaires.

3) Construire le point E symétrique de B par rapport à l’axe (AC). Qu’observe-t-on ?

Justifier.

4) Que peut-on dire du symétrique de [BA] par rapport à l’axe (AC) ?

Comme la symétrie conserve les ,BA =

5) En déduire la nature de ABCD. Justifier (on pourra, pour cela, utiliser le résultat del’activité no 3)

12.2. PARALLÉLOGRAMMES PARTICULIERS II (TICE) 93

6) Compléter la phrase : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires

–

–Conclusion


Le losange3

Date 16 avril 2012

Classe 5e-1

Déroulé LE LOSANGEConclusion de l’activité TICE : Parallélogrammes particuliers IICours : Le losangeDéfinitionConstruction du losangePropriétésComment reconnaitre un losange ?Exercices :3 p 166 (Losanges) 9 p 167 13 p 167

Contenu du cours

3 1 Cours sur le losange

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux.Définition 12.1

A

B

C

D

• les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (cesont les deux axes de symétrie).• il a toutes les propriétés du parallélogramme.

Propriété 12.2

A

B

C

D

12.3. LE LOSANGE 95

Comment reconnaitre un losange

Avec les diagonales : → Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieuet sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange.→ Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires alors ce parallé-

logramme est un lonsage.

Avec les côtés : → Si les quatre côtés d’un quadrilatère sont de même longueur alors cequadrilatère est un losange.→ Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors ce parallélo-

gramme est un losnage.

Méthode 12.3

3 2 Exercices sur le losange


1 3 p 166Reproduis à main levée les six quadrilatères. Dans chaque cas, complète au minimum le codage correspondant

à la nature du quadrilatère indiquée. Faire que les losanges !

2 9 p 166Voici quatre losanges. Reproduis-les en vraie grandeur en tenant compte des indications.

3 13 p 166Après avoir fait une figure à main levée, construis les losanges suivants.

1. AV EC tel que AE = 12 cm ; CV = 8 cm.

2. BLEU tel que : BL = 7 cm ; LU = 5 cm.

3. AMIS tel que : AI = 10 cm ; MAI = 30°.


Introduction du carré4

Date 20 avril 2012

Classe 5e-1

Déroulé INTRODUCTION DU CARRECorrectionExercice 9 p 167 Exercice 13 p 167 (c)Séance d’exercicesExercice 24 p 168 (+ correction au tableau) Exercice 31 p 169 (pour les plus ra-pides)Activité : Introduction du carréActivité 12 p 161Intervention de la CPE

Contenu du cours

4 1 Exercices supplémentaires sur le losange


1 21 p 168

1. Reproduis sur ta feuille la figure, ci-dessous.

(d)

E

G

2. Construis le losange EFGH tel que F soit sur ladroite (d).

2 22 p 168Construis un losange TAPE de centre O tel que

ATO = 60° ; AE = 10 cm.Explique la construction en citant la (les) pro-

priété(s) que tu as utilisée(s).

3 24 p 168Voici une figure non réalisée en vraie grandeur où

ABCD est un losange.

4, 5 cmA

B

C

D

4 31 p 169Les cercles C1 et C2 de centres respectives A et C

ont le même rayon AC.

AC

B

D

E

1. Reproduis cette figure avec AC = 5 cm.

2. Écris des propriétés de la figure. Justifie-les en citantles propriétés que tu as utilisées.

4 2 Activités sur le carré

Activité A.

12.4. INTRODUCTION DU CARRÉ 97

Le carré, 12 p 161Construis un carré ABCD de côté 10 cm.

1. Explique pourquoi un carré est à la fois un rectangle et un losange.

2. Trace ses axes de symétrie et son centre de symétrie. Liste toutes les propriétés du carré que tu peux justifier.


Le carré5

Date 7 mai 2012

Classe 5e-1

Déroulé LE CARREActivité : no 13 p 161Cours : le carréDéfinitionPropriétésComment reconnaître un carré ?Exercices (à faire pour jeudi 10 mai) :no 3 p 166 no 10 p 167

Contenu du cours

5 1 Activité de découverte

Activité B.Voici deux programmes de construction.Programme 1 1. Tracer un triangle EOF rectangle isocèle en O tel que OF = 4 cm.

2. Construis les points G et H symétriques respectifs des points E et F par rapport au point O.3. Trace en couleur le quadrilatère EFGH .

Programme 2 1. Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Place un point E sur ce cercle.2. Construis le point G symétrique du point E par rapport au point O.

3. Construis le point F du cercle C tel que GEF = 45°. Construis le point H du cercle C tel que [EG)soit la bissectrice de l’angle FEH .

4. Trace en couleur le quadrilatère EFGH .

1. Construis une figure pour chaque programme.2. Quelles remarques peux-tu faire pour les deux figures en couleur ?3. Rédige un troisième programme de construction du quadrilatère EFGH .

5 2 Cours : Le carré

1. Définition

Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre anglesdroits.

Définition 12.4

12.5. LE CARRÉ 99

2. Propriétés

Remarques 12.5.a. Un carré est un parallélogramme particulier. Il est à la fois un rectangle et un losange.b. Il a donc 4 axes de symétrie et un centre de symétrie.c. Ses côtés et ses diagonales ont les mêmes propriétés que celles du rectangle et du lo-

sange.

A

C

O

B

D

3. Comment reconnaitre un carré ?

Reconnaitre un carré

À partir d’un rectangle – Si un rectangle a ses diagonales qui sont perpendiculairesalors c’est un carré.

– Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.

À partir d’un losange – Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c’estun carré.

– Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires alors c’est un carré.

Méthode 12.6

5 3 Exercices d’entrainement


1 3 p 166Reproduis à main levée les six quadrilatères. Dans chaque cas, complète au minimum le codage correspondant

à la nature du quadrilatère indiquée. (Faire seulement les carrés)

2 10 p 167Voici deux carrés. Reproduis-les en vraie grandeur en tenant compte des indications.

3 23 p 168Construit un carré FAIT de centre G tel que FI = 8 cm.Explique ta construction en citant la (les) propriété(s) que tu as utilisée(s).


13Statistiques

S É A N C E

Activités TICE : Statistiques1

Date 21 mai 2012

Classe 5e-1

Déroulé STATISTIQUES (TICE)Activité TICE : Statistiques1. Correction d’un DS de Mathématiques2. Fréquentation d’un cinéma3. Saut en hauteur+ Tutorial OpenOffice.org CALC1. Mettre un titre au document2. Mettre en forme un tableau3. Pourcentages dans un tableau4. Construire un graphique

Contenu du cours

Dans les 3 activités proposés, nous allons utiliser le logiciel OpenOffice.org Calc.Chaque activité doit se travailler sur un seul fichier portant un nom bien défini. Onn’hésitera pas à enregistrer autant que possible l’avancement du travail.

1 1 Correction d’un DS de Mathématiques

Nom du fichier : Correction_NOM_PREMON.odsM. Boulonne a corrigé les copies du DS de Mathématiques des 28 élèves de la classe de

5ème-1 du collège Voltaire de Wattignies. Les voici :

12,7,5,1,18,10,8,11,16,17,2,2,18,7,1,18,1,15,9,16,14,5,4,3,18,13,14,7

1. Mettre un titre à votre document.2. Quel est l’effectif total ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) :

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TotalEffectifs

4. Tracer un diagramme en bâtons des résultats du DS de Mathématiques.

1 2 Fréquentation d’un cinéma

Nom du fichier : Cinema_NOM_PRENOM.odsSamedi, au cinéma, il y a eu 200 personnes qui ont regardé un film. 70% de ces 200 per-

sonnes ont regardé un film comique, 10% de ces 200 personnes ont regardé un film d’horreuret 20% de ces 200 personnes ont regardé un film d’action.

1. Mettre un titre à votre document.2. Quel est l’effectif total ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Combien de personnes ont vu un film d’horreur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) :

Films comique horreur action TotalEffectif

Pourcentage 70% 10% 20% 100%

5. Tracer un diagramme circulaire de la fréquentation du cinéma.

102 SÉANCE 13. STATISTIQUES

1 3 Saut en hauteur

Nom du fichier : Saut_NOM_PRENOM.odsDans un concours de saut en hauteur, voici les résultats en cm des 16 participants :

125 - 155 - 120 - 150 - 120 - 160 - 105 - 130 - 120 - 130 - 125- 150 -120 -120 -120 - 165

1. Mettre un titre à votre document.

2. Quel est l’effectif total ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Combien de personnes ont sauté entre 120 cm et 135 cm ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Tracer et compléter le tableau suivant (la première cellule du tableau doit être en B3) :

Hauteur du saut (en cm) [105, 120[ [120, 135[ [135, 150[ [150, 165[ TotalEffectif

5. Tracer un histogramme des résultats du concours de saut en hauteur.

Tutorial OpenOffice.org Calc

Mettre un titre au document

– On se place sur la cellule C1.– On écrit le titre du document.– On le met en valeur, c’est-à-dire :

– On choisit une belle police d’écriture avec lepremier menu déroulant (troisième ligne demenu).

– On met une taille de 18 pour la policed’écriture (deuxième menu déroulant, troi-sième ligne de menu).

– On met le titre en gras (on appuie sur le boutonB).

Mettre en forme un tableau

Un beau tableau est un tableau avec du contenu etde la forme (c’est-à-dire avec traçage des lignes de cel-lules).

Un exemple de beau tableau :

1 2 34 5 67 8 9

Un exemple de mauvais tableau :

1 2 34 5 67 8 9

– On constitue son tableau avec les données del’énoncé.

– On sélectionne les cellules de son tableau.– On va dans Format > Cellules....– puis on clique sur l’onglet Bordures

– On sélectionne le bouton avec toutes les lignesnoires.

Pourcentages dans un tableau

Pour mettre en forme un pourcentage dans une cel-lule, on procède de la manière suivante :

– On sélectionne la (ou les) cellule(s) quicontiennent un pourcentage.

– On va dans Format > Cellulles....– On clique sur l’onglet Nombres– et on sélectionne « Pourcentages ».

Construire un graphique

On crée un graphique de la manière suivante :

1. On sélectionne la première colonne (colonne detype de données) et la deuxième colonne (la co-lonne effectif) du tableau.

2. On va dans Insertion > Diagramme

3. On sélectionne dans un premier temps le type degraphique :– « Colonne » pour un diagramme en batons et

un histogramme.– « Secteur » pour un diagramme circulaire.

4. Dans « Plage de données », on sélectionne « Sé-ries de données en ligne » et on coche « Premièreligne comme étiquette » et « Première colonnecomme étiquette ».

5. Dans « Éléments du diagramme », on met un titreà son graphique et on nomme les axes X (abs-cisses) et les axes Y (ordonnées).

13.2. TUTORIAL OPENOFFICE.ORG CALC 103

Tableaux et graphiques II (TICE)3

Date 25 mai 2012

Classe 5e-1

Déroulé STATISTIQUES (TICE)Fin de l’activité TICE : Statistiques3. Saut en hauteurUtilisation du tableau : personnalisation des graphiques (couleurs des barres,arrière-plan, 3D)Correction de l’exercice 21 p 226

Contenu du cours

3 1 L’exercice à corriger


1 21 p 226Quelques élèves d’un collège rural ont évalué la distance entre leur domicile et le collège. Les distances sont

arrondies à 0, 1 km.

2, 8 ; 0, 6 ; 3, 4 ; 0, 9 ; 2, 8 ; 2, 4 ; 2, 8 ; 6, 4 ; 2, 8 ;0, 3 ; 3, 2 ; 3 ; 0, 3 ; 2, 1 ; 1, 6 ; 1; 6, 5 ; 2, 1 ; 0, 63, 2 ; 0, 5 ; 0, 7 ; 0, 8 ; 1, 8 ; 4, 3 ; 0, 5 ; 5, 4 ; 1, 2.

1. Regroupe ces données par classes de 1 km : moins de 1 km ; entre 1 km et 2 km (2 km non compris) ; . . .

2. Représente cette répartition par un histogramme.

3. Les élèves habitant à moins de 2 km ne reçoivent pas d’aide pour payer le transport scolaire. Combien d’élèvessont dans ce cas ?

104 SÉANCE 13. STATISTIQUES

14Aires

S É A N C E

Aires1

Date 1er juin 2012

Classe 5e-1

Déroulé AIRESActivité :L’aire d’un triangle rectangleL’aire d’un triangle quelconqueFormulaire : AiresFeuille d’exercices : Exercices 1 et 2 à faire pour lundi 4 juinActivité :L’aire d’un parallélogramme (à faire pour lundi 4 juin)

Contenu du cours

1 1 L’activité de découverte

Activité A.

A - RappelsCalculer l’aire et le périmètre de chacune des figures suivantes (les unités sont en centimètres) :

1

A B

CD2

2

R E

2R E

CT

3

2

C

3

O

R

2

AB = 2AG = 4

4

A B

CD2

E F

G

2

1

B - L’aire d’un triangle rectangle

1. Tracer un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et BC = 3 cm.

2. Tracer le point D tel que ABCD forme un rectangle.

3. Quel est l’aire du rectangle ABCD ?

4. Que peut-on dire de l’aire du triangle ABC par rapport à l’aire du rectangle ABCD ?

5. Calculer l’aire du triangle ABC.

C - L’aire d’un triangle quelconqueNous allons montrer dans cette activité que l’aire du triangle est :

AT = b× h2

où h est la longueur d’une des hauteurs du triangle et b la longueur de la base associée. Pour cela, nous allonsutiliser la méthode vue en partie B.

106 SÉANCE 14. AIRES

1. Tracer ABC un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 3 cm et BC = 2 cm.

2. Tracer H la hauteur du triangle ABC issue du point C. On notera H l’intersection de la hauteur H avec lecôté [AB].

3. On va tracer le rectangle d’aire minimale qui englobe totalement le triangle ABC.

a. Tracer (d) la perpendiculaire au côté [AB] passant par A.

b. Tracer (d′) la perpendiculaire au côté [AB] passant par B.

c. Tracer (d′′) tel que (d′′) soit parallèle à (AB) et passe par le point C.

d. On note D l’intersection de la droite (d′) et (d′′) et E l’intersection (d) et (d′).

4. Montrer que ABDE est un rectangle. (On montrera de même que AHCE et BHCD sont des rectangles).

5. On donne CH = 1,45 cm. En vous inspirant de ce qui a été fait en partie B, calculer l’aire du triangle ABC.

D - L’aire d’un parallélogrammeSauriez-vous calculer l’aire du parallélogramme ABCD ? (les unités sont en centimètres)

A B

CD

3

E

2

2

1 2 Formulaire sur les aires

Les unités d’aires sont : km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2.

Carré : c = côté Acarré = côté× côté = c× c

Rectangle : L = longueurl = largueur Arectangle = longueur× largeur = L× l

Losange : d = petite diagonaleD = grande diagonale

Alosange = petite diagonale×grande diagonale2

Alosange = d×D2

Parallélogramme :b

h b = baseh = hauteur

Aparallélogramme = base× hauteur = b× h

Triangle rectangle :a

bab

côtés de l’angle droit Atriangle rectangle = a×b

2

Triangle :b

h b = baseh = hauteur

Atriangle = b×h2

14.1. AIRES 107

Cercle :r

r = rayon Acercle = π × r × r


1 3 Feuille d’exercices sur l’aire d’un triangle


1 Voici 10 triangles. Pour chacun d’eux, nous avons choisi un côté pour base (b). Pour les deux premierstriangles, nous avons tracé la hauteur associée à la base choisie. Faire de même pour les huit autres triangles.

b b

b

b

b

b

b

b b

b

2 Le quadrillage proposé est constitué de carrés de 1 cm de côté. Pour chaque triangle :

1. Tracer en couleur la hauteur associée à la base choisie.

2. En déduire l’aire de chaque triangle.

b

b

b

b

3

1. Sur une feuille de papier milimétré, tracer deux axes de coordonnées perpendiculaires (unité sur chaque axe :le cm) puis placer les points : A(3; 0), B(3;−3), C(−4;−3), D(−3,−3).

2. a. Calculer l’aire des triangles DAB et DCB puis celle du quadrilatère ABCD.

b. Calculer l’aire du triangle ABC ; en déduire celle du triangle CAD.

14.1. AIRES 109

4 Classer les 4 triangles par ordre décroissant des aires.

d

d′

5 ABC est un triangle quelconque.

C A

B

I

H

J

À partir de la formule de l’aire d’un triangle, donner trois expressions différentes de l’aire du triangle ABC.


15Séances de soutien

S É A N C E

11 mai 2012

Date 11 mai 2012

Classe 5e-1

Déroulé THEMES ABORDES :1. Nombres relatifs et opérations (1 exercice)2. Parallélogrammes particuliers (4 exercices)

Contenu du cours

Nombres relatifs et opérations

1 Un peu de calculCalculer :

A = (+6) + (−4)− (+9)− (−2) + (−7)B = (−6, 5) + (−4, 5)− (−5)− (+9) + (+13)C = 14− 7 + 3− 14 + 10− 5D = 24, 5− 14, 2− 35, 8− 24, 5E = −3− (4− 5) + (6− 10)F = −(3− 4)− (5 + 6− 10)

Parallélogrammes particuliers

2 Reconnaitre les quadrilatèresNommer les quadrilatères particuliers :

1. Je suis un quadrilatère qui a ses côtés opposés deuxà deux parallèles.

2. Je suis un quadrilatère qui a quatre angle droit.

3. Je suis un quadrilatère qui a ses diagonales qui secoupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

4. Je suis un quadrilatère qui a pour axes de symétries,ses diagonales.

5. Je suis un quadirlatère qui a pour axes de symétries,les médianes des côtés.

6. Je suis un quadrilatère qui a ses côtés oppoés paral-lèles et de même longueur.

7. Je suis un quadrilatère qui a ses quatre angles droitset ses quatre côtés de même longueur.

3 Nature des quadrilatèresDans la figure ci-dessous, préciser, en justifiant les

réponses, la nature des quadrilatères suivants :

ABCD ; DEGH ; CDEF ; ABDH ; AIDH ; ADEH.

I BD

A

CF

E

G H

J

4 CodageTracer à main levée :

a. un parallélogramme

b. un rectangle

c. un losange

d. un carré

et renseigner les figures à l’aide de codage sur les côtés,les angles (droits ?) et les diagonales.

5 Construire. . .Construire :

1. un losange dont les diagonales mesurent 6 cm et 4cm ;

2. un rectangle dont les diagonales mesurent 8 cm etfont un angle de 70 ° ;

3. un carré dont les diagonales mesurent 8 cm.

112 SÉANCE 15. SÉANCES DE SOUTIEN

25 mai 2012

Date 25 mai 2012

Classe 5e-1

Déroulé THEMES ABORDES : STATISTIQUES1. Lire des données dans un tableau (2 exercices)2. Lire des données dans un graphique (1 exercice)3. Construire un graphique (2 exercices)

Contenu du cours

Lire des données dans un tableau

1 Le club de tennis

Un club de tennis a établi un tableau récapitulatif de ses membres selon leur catégorie.

Catégorie Benjamins Pupilles Minimes JuniorsEffectif 67 88 110 129

1. Quel est l’effectif des benjamins ?

2. Quel est l’effectif de ceux qui ne jouent pas dans la catégorie pupilles ?

3. Quel est l’effectif total du club ?

2 Durée d’écoute quotidienne télévisuelleVoici un tableau indiquant l’évolution de la durée d’écoute quotidienne de la télévision selon l’âge d’après le

CNC (centre national de la cinématographie).

Nombred’heures

Âge4-10 ans 11-14 ans 15-24 ans 25-59 ans

En 2000 2 h 05 2 h 21 2 h 05 3 h 14En 2004 2 h 10 2 h 17 2 h 07 3 h 29En 2008 2 h 13 2 h 09 1 h 53 3 h 27

1. Quelle est la durée d’écoute

a. en 2004 pour les 15-24 ans ?

b. en 2008 pour les 4-10 ans ?

2. Quelle catégorie d’âge a subi la plus grande augmentation entre 2000 et 2008 ?

Lire des données dans un graphique

3 Structure de la population françaiseLe graphique suivant illustre la structure de la population française de plus de 15 ans selon l’état matrimonial

en pourcentage en 2009 (source INSEE). Les questions sont sur l’autre page !

15.2. 25 MAI 2012 113

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

État matrimonial en pourcentageCélibataires Mariés Veufs Divorcés

HommesFemmes

2. Colorier en bleu la case du tableau qui correspond au pourcentage d’hommes mariés.

Construire un diagramme

4 Les jours fériés !

Voici le nombre de jours fériés par pays. (voir tableau)

Pays Jours fériésAllemagne 13Danemark 10Espagne 14Finlande 14France 11Grèce 12Irlande 9

Royaume-Uni 8

Représenter (sur cette feuille) ces données par un diagramme en barres.


5 Dans une maison de 90 m2, la superficie des pièces est donnée dans le tableau ci-dessous.

Chambres Bains + WC Salon-Séjour Cuisine Dégagement TotalSuperficie 32 8 35 10 5Angle en ° 360°

Compléter le tableau et le diagramme circulaire ci-dessous (sachant que le disque est gradué de 10°en 10° 1).Utilisez une couleur pour chaque pièce de la maison et préciser une légende pour le diagramme ciruclaire.

1. pour vous aider à tracer le diagramme, utilisez les pointillés. Toutefois, quand vous tracez le diagramme circulaire, RIEN ne doitdépasser du cercle.

15.2. 25 MAI 2012 115


16Évaluations

S É A N C E

DM no 12 de Mathématiques

Énigme du DML’énigme n’entre pas en compte dans la notation du DM mais valorisera la copie si elle est traitée convenablement.

Tracer une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à la droite (d). Donner une méthode de constructionqui permettrait de construire les points B et C sur la droite (d) tels que ABC soit un triangle équilatéral.

1 Calcul fractionnaireCalculer et donner le résultat sous la forme d’une

fraction la plus simple possible.

a)115 −

(53 + 2

15

); b)

13 + 1

3 ×43 ; c)

25 ×

73 −

35 ×

12 .

2 C’est quoi ce cirque ?

1. Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant :

N = 3,2 ; C = −2,3 ; S = 4,5 ; W = 2,1 ; L = −1,2

2. Sur un axe gradué d’origine O et d’unité 1 cm, pla-cer les nombres rangés en question 1. En associantles nombres aux lettres (et en considérant l’origine),retrouver le mot mystère.

3 Vingt milieux sous la mer

1. Dans un repère d’origine O et d’unité 1 cm, placerles points :

A(2;−3) ; B(−5; 3) ; C(−2;−4) ; D(0;−2) ; E(6,5; 0).

2. a. Placer le point I , milieu du segment [AB], lepoint J , milieu du segment [CD] et le point K,milieu du segment [AC].

b. Quelles sont les coordonnées des points I , J etK ?

4 De la géométrie pour finir

Dans la figure ci-contre, on sait que FGE = 32°,BFE = 100° et BCE = 48°. De plus, les droites(BG) et (CD) sont parallèles.

C D

A

GB F

E

100

48

32

1. Donner, en justifiant, la mesure de ECD.

2. Que peut-on dire des angles BCE et ECD ? Don-ner la mesure de ACD.

3. Donner, en justifiant, la mesure de AFB.

4. Donner, en justifiant, la mesure de EDC.

5. Que peut-on en déduire pour le triangle ACD ? Jus-tifier.

6. Donner, en justifiant, la mesure de l’angle CAD.

7. En calculant préalablement la mesure d’un autreangle, donne, en justifiant, la mesure de FEG.

118 SÉANCE 16. ÉVALUATIONS

Correction - DM no 12 de Mathématiques

Enigme du DMIl y avait deux façons de faire :

1.

A

X

60˚

B

C

60 60˚

On trace (d′) la droite parallèle à (d) passant par le point A. On place un point X distinct de A sur la droite(d′). On trace le pointB sur la droite (d) tel que XAB = 60° puis le point C tel que CAB = 60°. On a en plusCBA = 60° car les angles CBA et BAX sont alernes-internes et que les droites (d) et (d′) sont parallèles.Ainsi, ABC est bien un triangle équilatéral.

2.

A

H

30˚30˚

B

C

On trace (d′) la droite perpendiculaire à la droite (d) et passant par A. On note H le point d’intersection de(d) et (d′). On place le point B sur la droite (d) tel que HAB = 30° puis le point C sur la droite (d) tel queCAH = 30° (B et C sont deux points distincts). Les angles CBA et BCA mesurent 60° car AHB et AHCsont deux triangles rectangles et CBA = 180− 90− 30 = 60°.Ainsi, ABC est un triangle équilatéral.

1 A = 115 −

(53 + 2

15

)A = 33

15 −(25

15 + 215

)A = 33

15 −2715

A = 615 = 2

5

B = 13 + 1

3 ×43

B = 13 + 4

9B = 3

9 + 49

B = 79

C = 25 ×

73 −

35 ×

12

C = 1415 −

310

C = 2830 −

930

C = 1930

16.2. CORRECTION - DM NO 12 DE MATHÉMATIQUES 119

2

1. −2, 3 < −1, 2 < 2, 1 < 3, 2 < 4, 5.

2.

OC L W N S

Le mot mystère est CLOWNS.

3

1.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0

A

B

C

D

EI

J

K

2. Voir dans le repère orthonormé ci-dessus.

3. I(0; 1, 5), J(−1,−3), K(0,−3, 5).

4

1. Je sais que : – les droites (BG) et (ED) sont parallèles ;– les angles BGC et GCD sont alternes-internes ;– (GC) est la sécante des droites (BG) et (CD).

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupés par une sécante alors ces droites forment des anglesalternes-internes de même mesure.

Calcul : BGC = ECD = 32° .

Donc : l’angle ECD mesure 32°.

2. Les angles BEC et ECD sont adjacents.

Calcul : ACD = ACE + ECD = 48 + 32 = 80°.Donc : l’angle ACD mesure 80°.

3. Je sais que : – A,F,E sont alignés dans cet ordre donc AFE = 180°.– BFE et BFA sont supplémentaires.

Calcul :

AFE = BFE + AFB

AFB = 180− 100 = 80° .


Donc : l’angle AFB mesure 32°.

4. Je sais que : – les droites (BG) et (ED) sont parallèles ;– les angles BFA et GDC sont correspondants ;– (AD) est la sécante des droites (BG) et (CD).

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupés par une sécante alors ces droites forment des angles cor-respondants de même mesure.

Calcul : BFA = EDC = 80° .

Donc : l’angle EDD mesure 80°.

5. Je sais que : – ACD = 80° ;– CDE = 80°.

Propriété : Si un triangle a ses deux angles adjacents au troisième côté de même mesure alors ce triangle estisocèle.

Donc : le triangle ACD est un triangle isocèle en A.

6. Je sais que : – ACD est un triangle isocèle en A ;– ACD = 80° ;– CDE = 80°.

Propriété : La somme des angles d’un triangle est de 180°.

Calcul :

ACD + CDE + CAD = 180°

CAD = 180− 80− 80 = 20° .

Donc : l’angle CAD mesure 20°.

7. Je sais que : – BFE et BFG sont deux angles supplémentaires ;– BFE = 100°.

Calcul : EFG = 180− 100 = 80° .

Donc : l’angle EFG mesure 80°.

Je sais que : – EFG = 80° ;– FGE = 32°.

Propriété : La somme des angles d’un triangle est de 180°.

Calcul :

FEG+ EFG+ FGE = 180°

FEG = 180− 80− 32 = 68° .

Donc : l’angle FEG mesure 68°.

16.2. CORRECTION - DM NO 12 DE MATHÉMATIQUES 121

DS no 9 de Mathématiques

SUJET PROPOSÉ PAR MME LAHAYE

1 Barème : 1,5 pointsCalculer et donner le résultat sous forme d’une fraction la plus simple possible :

1 + 79 ×

32 + 2

3 .

2 Barème : 2 pointsLe salaire mensuel de Paul est 2300e. Il en a dépensé deux-cinquièmes la première semaine.

1. Quelle somme a-t-il dépensé ?2. Quelle somme lui reste-il ?

3 Barème : 2 pointsUn article valant 34 euros bénéficie d’une remise de 25%. Combien va-t-on payer cet article ?

4 Barème : 1,5 pointsTransforme cette différence en un produit puis calcule :

413× 64− 54× 413.

5 Barème : 5 pointsCalculer :

A = −5 + (−2) ; B = 5− (−2) : C = 1− 5 + 3 + 7− 4D = (2, 5− 3, 5) + (−5, 2 + 3, 2) ; E = (15− 25)− (−31 + 47)

F = 1− 3× (9, 2− 5)− (6− 7)− (8− 9)

6 Barème : 5 pointsABC est un triangle isocèle en A ; on note M le milieu du segment [BC] et D le symétrique de A par rapport

à M .1. Faire une figure.2. Prouver que ABDC est un parallélogramme.3. Pourquoi ABDC est-il un losange ? Justifier.

7 Barème : 3 pointsOn considère la figure ci-dessous. O est un point du segment [NP ] tel que les droites (OL) et (NP ) sont

perpendiculaires, on a OL = OP et LNP = 68°.

N

L

PO

1. Quelle est la nature du triangle LOP ?

2. Expliquer pourquoi l’angle OPL vaut 45°.

3. En déduire la mesure de l’angle NLP . Justifier.


Correction - DS no 9 de Mathématiques

1 Barème : 1,5 points

1 + 79 ×

32 + 2

3=1 + 7× 3

9× 2 + 23

=1 + 2118 + 2

3=18

18 + 2118 + 14

21=18 + 21 + 14

21

= 5321

2 Barème : 2 points

1. Calcul :

2300× 25 = 4600

5 = 920 e .

Paul a depensé 920 e.

2. Calcul :2300− 920 = 1380 e

Il lui reste 1380 e.

3 Barème : 2 pointsCalcul :

34×(

1− 25100

)= 34× 75

100 = 17×7550 = 1275

50 = 25, 5 e .

Après remise, l’article vaut 25, 5 e.

4 Barème : 1,5 pointsOn transforme cette différence en un produit :

413× 64− 54× 413=413× (64− 54)= 413× 10

puis on calcule

413× 10 = 4130 .


A = −5 + (−2)A = −5− 2A = −7

B = 5− (−2)B = 5 + 2B = 7

C = 1− 5 + 3 + 7− 4C = −4 + 3 + 7− 4C = −1 + 7− 4C = 6− 4C = 2

D = (2, 5− 3, 5) + (−5, 2 + 3, 2)D = 0 + (−2, 4)D = −2, 4

E = (15− 25)− (−31 + 47)E = (−10)− (16)E = −10− 16E = −26

F = 1− 3× (9, 2− 5)− (6− 7)− (8− 9)F = 1− 3× 4, 2− (−1)− (−1)F = 1− 12, 6 + 1 + 1F = −11, 6 + 1 + 1F = −10, 6 + 1F = −9, 6

16.4. CORRECTION - DS NO 9 DE MATHÉMATIQUES 123


1.

B

C

A

M

D

2. Je sais que :– M est le milieu du segment [BC]– D est le symétrique de A par rapport à M donc M est le milieu du segment [AD].Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est unparallélogramme.Donc : ABDC est un parallélogramme.

3. Je sais que :– ABDC est un parallélogramme,– ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC.Propriété : Si un quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur alors ce quadrilatère est un losange.Donc : ABDC est un losange.


1. Je sais que :– (OL) et (NP ) sont perpendiculaires ;– OL = OPDonc : LOP est un triangle isocèle et rectangle.

2. Je sais que : LOP est un triangle isocèle et rectangle.Propriétés :

(a) Dans un triangle, la somme des angles est de 180°.

(b) Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

Calculs :OPL = 180− 90

2 = 902 = 45° .

Donc : OPL = 45°.

3. Je sais que :– LNP = 68° ;– NOL = 90°.Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est de 180°.Calcul :

OLN = 180− 68− 90 = 22° .

Donc : OLN = 22°.


4. Je sais que :– OLN = 22° ;– OLP = 45°.– Les angles OLN et OLP sont supplémentaires.Calcul :

NLP = NLO + OLP = 22 + 45 = 67° .

Donc : NLP = 67°.

16.4. CORRECTION - DS NO 9 DE MATHÉMATIQUES 125

Évaluation du professeur en 5e-15

Les qualités :

– Explications (17)– Sympathique (4)– Activités en salle d’info (4)– Correction au bureau des exos (3)– Bonne ambiance (2)– Leçons compréhensibles (2)– Attentif envers les élèves (2)– Cours (2)– Cours rapidement assimilés (2)– Peu d’exercices (1)– Leçons courtes (1)– Cours sur les parallélogrammes (1)– Temps de réfléxion en exercice (1)– Ludique (1)– Impression de temps passé en cours (1)– Participation des élèves (1)– Déroulement des cours sans problème (1)– Apprentissage rapide des cours (1)– Exercices faits en cours (1)– Méthodes très pédagogiques (1)– Suivi du cours par l’explication (1)– Détails des explications (1)– Rectification des erreurs (1)– Cours intéressants (1)– Cours bien détaillés (1)– Aide aux élèves (1)

Les défauts :– Hésiation de parole (7)– Peu d’autorité (5)– Lanque de confiance en lui (3)– Stressé (3)– Ecriture au tableau (2)– Compréhension des explications (2)– Interrogation de mêmes élèves (2)– Chemises, habillement (1)– Ambiance bruyante (1)– Eplications trop rapides (1)– Absence de regard sur l’élève (1)– Explications trop rapides (1)– Absence de regard sur l’élève (1)– Rythme trop lent (1)– Suivi du cours (1)– Cours + pseronnels (1)– Begaiments (1)– Répétition de la phrase trop fréquente (1)– Liberté de bavardage (1)– Cours sur les parallélogrammes (1)


– Rythme trop rapide (1)– Cours sur les nombres relatifs (1)– Explications collcetives moins bien comprises (1)– Débit de parole trop rapide (1)

16.5. ÉVALUATION DU PROFESSEUR EN 5E-1 127


IVStage au collège Voltaire

(Wattignies, 2012) - Activités en 3e


Mon stage en responsabilité, dans le cadre de ma seconde année de Master Enseignementde Mathématiques, s’est déroulé au collège Voltaire à Wattignies (59), sous la direction deMme D. LAHAYE. Le but avoué de ce stage est de poursuivre le travail fait en classe de lycéesur les problèmes ouverts et énigmes. Je proposerai de faire au sein même d’un devoir maison,quelques énoncés d’énigmes. Le travail sur l’énigme sera facultatif mais valorisera sûrementune copie moyenne. . .

131

132

17Fonctions linéaires

S É A N C E

Propriétés des fonctions linéaires1

Date : 13 février 2012

Classe : 3e-1 ; 3e-4

Déroulé : PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS LINÉAIRESActivité : Je démontre les propriétés des fonctions linéairesCours : Les propriétés des fonctions linéairesImage d’une somme Image d’un produit par un nombreExercices d’application :no 49 p 152 no 50 p 152 no 51 p 152Travail à finir :no 50 p 152 no 51 p 152

Contenu du cours

1 1 Activités d’introduction

Activité A.Activité 3 page 143 - Je démontre des propriétés des fonctions linéaires

A - Propriétés de la proportionnaitéOn veut faire des crêpes. Dans le tableau suivant, on indique la masse de farine (en g) nécessaire pour réaliser

un certain nombre de crêpes.

Nombres de crêpes 20 30 50Masse de farine (en g) 250 375 ?

La masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. On note f la fonction qui, à un nombre de crêpes,associe la masse de farine nécessaire à leur fabrication. Paul a cherché sur sa copie la quantité de farine nécessairepour faire 50 crêpes.

Copie de Paul :

20 + 30 = 50et 250 + 375 = 625Donc, pour 50 crêpe, il faut625 g de farine

1. La fonction f est-elle linéaire ? Justifier la réponse.2. Déterminer f(20) et f(30).3. a. Comment Paul a-t-il calculé f(50) ?

b. Le résultat de Paul est-il correct ? Justifier la réponse.4. Déterminer f(90) en utilisant le tableau.

B - DémonstrationOn considère une fonction linéaire f : x 7→ ax. x1 et x2 désignent deux nombres relatifs et k désigne un

nombre relatif donné. Recopier et compléter :

134 SÉANCE 17. FONCTIONS LINÉAIRES

1. f(x1 + x2) = · · · × (x1 + x2) = . . .× x1 + . . .× x2 = f(. . .) + f(. . .).2. f(kx1) = . . .× kx1 = k × . . .× x1 = k × f(. . .).

1 2 Le cours - Propriétés d’une fonction linéaire

1. Image d’une somme

On considère f une fonction linéaire et x et y deux nombres. On a :

f(x+ y) = f(x) + f(y)Propriété 17.1

Remarque 17.2. Par une fonction linéaire, l’image d’une somme est égale à la somme desimages.

Exemple 17.3. On considère g la fonction linéaire telle que g(2) = 4 et g(3) = 6 alors

g(5) = g(3) + g(2) = 4 + 6 = 10, g(7) = 14, g(12) = 24.

2. Image d’un produit

On considère f une fonction linéaire, x un nombre et k un nombre donné. On a :

f(kx) = kf(x).Propriété 17.4

Remarque 17.5. On considère f une fonction linéaire, x et y deux nombres et k un nombredonné. En combinant les deux propriétés précédentes, on obtient :

f(kx+ y) = kf(x) + f(y)

Exemple 17.6. La fonction linéaire h est telle que h(5) = 11. Donc :

h(15) = h(3× 5) = 3× h(5) = 3× 11 = 33.



1 no 49 p. 152On considère la fonction linéaire f telle que f(−2,5) = −7,2. Sans calculer le coefficient de la fonction,

calculer :1. f(−5) ;2. f(10) ;3. f(25).

2 no 50 p. 152On considère la fonction linéaire h telle que h(4) = −0,3 et h(9) = −0,675.

1. Sans calculer le coefficient de la fonction, calculer h(13) puis h(5).2. Calculer de deux façons différentes h(18).

3 no 51 p. 152Un producteur vend des cerises. Monica achète 3,4 kg de ces cerises et paye 7,65 e, tandis que Samira achète

2,8 kg pour 6,30 e.1. Sans déterminer le prix d’un kilogramme de cerises, calculer le prix de 6,2 kg de cerises.2. Sofiane a payé 1,35 e. Quelle quantité de cerises a-t-il acheté ?

17.1. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS LINÉAIRES 135

136 SÉANCE 17. FONCTIONS LINÉAIRES

18Probabilités

S É A N C E

Introduction des probabilités1

Date : 12 mars 2012

Classe : 3e-1 ; 3e-4

Déroulé : INTRODUCTION DES PROBABILITESActivité TICE : Simulation de lancers de dés1. On lance un dé2. On lance un dé 100 ( ! ! !) fois3. On lance un dé 200 ( ! ! ! ! ! ! ! ! !) fois4. Vers les probabilités

Contenu du cours

1 1 On lance un dé

1. Chacun votre tour, lancez le dé et énoncez à haute voix le nombre de points sur la facesupérieure.

2. À partir des données récoltées, comptez le nombre de . . . sorti lors de l’expérience.

3. Donner la fréquence d’apparition du nombre . . .

4. Que remarquez-vous ?

1 2 On lance un dé 100 ( ! ! !) fois

On veut calculer la fréquence d’appartition d’une face sur 100 lancers de dés. Bien sûr,si l’on veut faire ça dans le réel, cela nous prendrait du temps. Ainsi, pour en gagner, nousallons utiliser un logiciel de tableur sur ordinateur.

1. Ouvrez votre tableur favori sur votre ordinateur.

2. Sur une première colonne, vous allez numéroter le nombre de lancés. Pour cela, on place1 sur une cellule du tableur et on fait glisser pour obtenir le nombre de jets nécessaire pourréaliser l’expérience. (Une démonstration vous sera proposée !)

3. Sur une seconde colonne, on va simuler 100 lancers de dés. Pour cela, on tape à côté de lacellule « Jet no 1 », =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) et on fait glisser la colonne jusqu’aujet no 100. (Une démonstration vous sera proposée !)

4. Attendez que le professeur vous ait donné la face dont vous devez compter le nombred’apparition.Votre face à compter :

5. Compter le nombre d’apparition de votre face.

6. Compter la fréquence d’apparition de votre face.

7. Comparer le résultat avec votre voisin (s’il a terminé !).

1 3 On lance un dé 200 ( ! ! ! ! ! ! ! ! !) fois

On va maintenant simuler 200 lancers de dés sur ordinateur. Pour gagner du temps, ongardera les 100 premiers lancers de dés et les résultats de la partie 2.

1. Faire glisser la première colonne pour obtenir un nombre de jets égal à 200.

2. Faire glisser la seconde colonne pour simuler 200 jets de dés.

3. Calculer le nombre d’apparition de votre face.

4. Calculer la fréquence d’apparition de votre face.

138 SÉANCE 18. PROBABILITÉS

5. Comparer le résultat avec votre voisin (s’il a terminé !)

6. Que peut-on remarquer par rapport à la partie 2 ?

1 4 Vers les probabilités

1. Le professeur va vous faire une simulation de lancers de 1000 dés et 2000 dés. Il calculerala fréquence d’apparition de la face 3.

2. Que peut-on dire des fréquences d’apparition de la face 3 ?

3. Pour un grand nombre de lancers, la fréquence d’apparition de la face 3 se rapproche d’unevaleur théorique que l’on appelle probabilité.

4. Que semble être la probabilité d’obtenir en un lancer de dé la face 3 ?

5. D’après les remarques formulées en partie 2 et 3, que semble être la probabilité d’obteniren un lancer de dé la face 6 ?

18.1. INTRODUCTION DES PROBABILITÉS 139

Feuille d’exercices : Des probabilités au brevet

Date 19 mars 2012

Classe 3e-1 ; 3e-4

Déroulé 3e-1 SEANCE D’EXERCICES SUR LES PROBABILITESCorrectionno 31 p 207 no 32 p 207Feuille d’exercices : Des probabilités au brevetde no 1 jusqu’à no 5 inclus

Déroulé 3e-4 SEANCE D’EXERCICES SUR LES PROBABILITESCorrectionno 24 p 206 no 25 p 206 no 26 p 206Exercicesno 31 p 206 no 32 p 206Feuille d’exercices : Des probabilités au brevetde no 1 jusqu’à no 5 inclus

Contenu du cours

1 Un jeu de 32 cartes est composé de quatre couleurs : trèfle, carreau, cœur et pique. Chaque couleur estcomposée de huit cartes : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi et as. Chaque carte possède la même probabilitéd’être tirée.

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 et on la remet dans le jeu avant d’effectuer tout autre tirage.Répondre aux cinq questions posées dans le tableau ci-après.Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte.

Questions Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponsechoisie

1. La probabilité detirer un cœur estégale à :

14

18

132

2. La probabilitéde tirer un neuf estégale à :

14

132

18

3. La probabilité detirer un trèfle ou unpique est égale à :

0,5 116 0,25

4. La probabilitéde tirer un valet ouune dame ou un roi(c’est-à-dire unefigure) est égale à :

14 0,375 On ne peut le

savoir

5. La probabilité detirer l’as de carreauest égale à :

0 18

132

2 Un sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d’être tirée. Ces 20 boules sont numérotées de1 à 20.

On tire une boule au hasard et on la remet dans le sac avant d’effectuer un autre tirage.


1. Quelle est la probabilité de tirer la boule numérotée 13 ?

2. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair ?

3. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro multiple de 3 ?

4. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier ?

3 Un jeu de construction est composé de 4 cubes bleus, 5 cubes rouges, 6 cubes verts et 10 cubes blancs. Tousles cubes sont de dimensions identiques. Il est donc impossible de les différencier « les yeux fermés ».

Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.Le barème est le suivant :– 1 point pour une bonne réponse ;– 0 point s’il n’y a pas de réponse ;– −0,5 point si la réponse est fausse.

Si le total des points pour l’exercice est négatif, l’exercice est noté 0 point.

Questions Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponsechoisie

1. On tire un cubeau hasard. La pro-babilité d’obtenir uncube rouge est égaleà :

0,05 1 0,2

2. On tire un cubeau hasard. La pro-babilité d’obtenir uncube est égale à :

0 0,5 1

3. On tire un cubeau hasard. La pro-babilité d’obtenir uncube rouge ou blancest égale à :

0,6 0,4 0,08

4. On tire un cubeau hasard. La pro-babilité d’obtenir uncube jaune est égaleà :

1 0 0, 5

5. On tire un cubeau hasard. La pro-babilité d’obtenir uncube dont la cou-leur est l’une descouleurs du drapeaufrançais est égale à :

0,4 0,012 8 0,76

4 On effectue le tirage au sort des rencontres de la coupe du monde de « Chasse aux Papillons ». Dans une urne,on met 32 papiers portant chacun le nom d’un des pays qualifiés pour cette coupe. Parmi ces 32 pays, figurent despays européens. La probabilité pour que le pays tiré en premier soit européen est égale à 0,375. Combien de paysnon européens participent à cette coupe ? Vous expliquerez très clairement la démarche effectuée pour résoudrecet exercice.

5 Une classe de troisième est composée de 14 graçons et 11 filles.Un professeur envoie au tableau un élève choisi au hasard pour corriger un exercice.

1. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?

18.2. FEUILLE D’EXERCICES : DES PROBABILITÉS AU BREVET 141

2. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit un garçon ?

3. Calculer la somme des deux probabilités obtenues aux deux questions précédentes. Interpréter le résultatobtenu.

6 On considère deux dés cubiques, l’un rouge et l’autre vert. Chaque face de chaque dé est numérotée de 1 à6. On lance simultanément les deux dés.

1. a. Élaborer un tableau indiquant tous les couples de chiffres qu’il est possible d’obtenir lors d’un lancer.

b. Combien en existe-t-il ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir un couple composé des mêmes chiffres ?

3. On s’intéresse maintenant à la somme des chiffres apparus lors d’un lancer.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 2 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 7 ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 11 ?

d. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme au moins égale à 3 ?

7 On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Si un lancer donne « Pile », on note P le résultat obtenu.Si un lancer donne « Face », on note F le résultat obtenu.

Par exemple (P, F, P ) désigne le résultat suivant :

« Pile » au premier lancer, « Face » au deuxième lancer et « Pile » au troisième lancer.

1. a. Tracer un arbre permettant de visualiser toutes les issues possibles.

b. Combien existe-t-il d’issues possibles ?

2. Lorsqu’on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’obtenir :

a. Trois fois « Face » ?

b. Exactement deux fois « Pile » ?

c. Au moins une fois « Face » ?

8 Le tableau ci-dessous donne la répartition, selon la surface en m2, des magasins d’un centre commercial.L’effectif total est de 67.Surface d’un magasin en m2 65 66 69 74 81Effectif 13 22 17 6Fréquence1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

On donnera les fréquences en pourcentages arrondi au dixième près.

2. Quel est le pourcentage de magasins dont la superficie est inférieure ou égale à 69 m2 ?

3. Dans cette partie, les résultats seront données sous forme de fraction.Un client se rend au hasard dans l’un de ces magasins.

a. Quelle est la probabilité que la surface du magasin soit de 81 mètres carrés ?

b. En déduire la probabilité que la surface du magasin soit inférieure à 81 mètres carrés.


Arbres3

Date 23 mars 2012

Classe 3e-4

Déroulé ARBRES EN PROBABILITESCorrection : Des probabilités au brevetno 1 no 4 no 5Activités :Lancers simultanés de deux pièces de monnaie ; Lancers sucessifs de deux piècesde monnaie (introduction des arbres)Exercices : Des probabilités au brevetno 6 no 7

Contenu du cours

Activité A.Lancers simultanés de deux pièces de monnaie

On effectue l’expérience suivante :– On lance deux pièces de monnaies– On note le nom de la face des deux pièces (indifférement des deux lancers) : « PP » si les deux pièces

montrent la face « Pile », «PF », si l’une des pièces montre « Pile » et l’autre « Face » et «FF » si les deuxpièces montrent la face « Face ».

On a lancé 10 000 fois les deux pièces de monnaie (simulation sur ordinateur). On a obtenu 2 508 fois PP et 2 476fois FF .1. Calculer le nombre de fois qu’on a obtenu PF .

Calculer la fréquence PP , celle de FF , puis celle de PF .Présenter vos résultats sous la forme d’un tableau (premier ligne : Résultats, deuxième ligne : Effectif, troi-sième ligne : Fréquence).

2. a. Est-on dans un cas d’équiprobabilité ?b. Quelle semble être la probabilité de l’événement :

– « on a obtenu deux piles »– « on a obtenu deux faces »– « on a obtenu une pile et une face »

Activité B.Lancers successifs d’une pièce de monnaie

On effectue l’expérience suivante :– on lance une pièce de monanie, on note son résultat : P pour pile et F pour face ;– on lance la pièce une seconde fois et on note son résultat.

1. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous qui permet de déterminer tous les événements élémentaires.

P

. . .

1er lancerF

. . .

. . .

. . .

2nd lancer

« on a obtenu . . ., puis . . . »

« on a obtenu P , puis F »

« on a obtenu . . ., puis . . . »

« on a obtenu . . ., puis . . . »

18.3. ARBRES 143

2. a. Expliquer pourquoi il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

b. En déduire la probabilité de chacun des événements élémentaires. Mettre ces probabilités sur les branchesdes arbres.

3. Déterminer la probabilité de l’événement « on a obtenu une seule fois pile ».


19Fonctions affines

S É A N C E

Introduction des fonctions affines1

Date 2 avril 2012 (3e-1) et 9 avril 2012 (3e-4)

Classe 3e-1 ; 3e-4

Déroulé INTRODUCTION DES FONCTIONS AFFINESActivité : A la découverte d’une nouvelle fonctionCours : Définition d’une fonction affineExercices :no 44 p 170 no 49 p 170 no 51 p 170

Contenu du cours

1 1 Activité : À la découverte d’une nouvelle fonction

Activité A.Un opérateur de téléphonie propose un forfait de 2 heures de communication à 40 e.

Au delà de ce forfait, chaque communication est facturée 0,30 e la minute.

1. a. Combien paiera-t-on de supplément si on dépasse le forfait de 10 min ?

b. Quel sera le montant total de la facture ?


Temps de dépassement (en min) 0 1 10 30 60 90 xSupplément payé (en e)Montant de la facture (en e)

3. a. Le supplément payé est-il proportionnel au temps de dépassement ? Justifier la réponse.

b. Le motant de la facture est-il proportionnel au temps de dépassement ? Justifier la réponse.

4. On note s la fonction qui, à un dépassement de x min, associe le supplément payé en euros.Déterminer la fonction s. Quelle est la nature de la fonction s ?Justifier la réponse.

5. On note f la fonction qui, à un dépassement de x min, associe le montant total de la facture en euros.

a. Déterminer la fonction f .

b. Cette fonction est-elle linéaire ? Justifier la réponse.

c. a et b sont des nombres fixés, une fonctionqui, à tout nombre x, associe le nombre ax + b est appeléefonction affine.La fonction f est-elle une fonction affine ? Justifier la réponse.

1 2 Cours : Définition d’une fonction affine

Soient a et b deux nombres donnés.Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax+ b.Si f désigne cette fonction, on la note f : x→ ax+ b.On dit que ax+ b est l’image de x et on note f(x) = ax+ b.

Définition 19.1

Remarques 19.2.

146 SÉANCE 19. FONCTIONS AFFINES

a. Pour calculer l’image du nombre x par la fonction f , on multiple x par a, puis on ajouteb.

b. f(0) = a× 0 + b = b. Le nombre b est l’image de 0 par la fonction affine f .

Exemple 19.3. La fonction f qui, à tout nombre x, associe son double augmenté de 5 se notef : x→ 2x+ 5.

– f est une fonction affine car elle est de la forme f : x→ ax+ b avec a = 2 et b = 5.– On a f(−3) = 2× (−3) + 5 = −6 + 5 = −1. L’image du nombre −3 par la fonctionf est −1.Un antécédent du nombre −1 par la fonction f est le nombre −3.



1 no 44 p 170On considère les fonctions suivantes :

f : x→ −3x+ 7, g : x→ 7x− 3,

h : x→ 7x+ 3, i : x→ −7x+ 3.

1. À quelle fonction correspond le processus « Je multiplie par 7 puis j’ajoute −3 » ?

2. Trouver le processus associé à chacune des autres fonctions.

2 no 49 p 170On considère la fonction f : x→ −x+ 8. Recopier et compléter le tableau suivant :

x −5 0 4f(x) 0 −7

3 no 51 p 170On considère uen fonction affine f telle que f(0) = 0.Justifier que la fonction f est linéaire.

19.1. INTRODUCTION DES FONCTIONS AFFINES 147

Image et antécédent d’une fonction affine2

Date 7 mai 2012

Classe 3e-1

Déroulé IMAGE ET ANTECEDENT D’UNE FONCTION AFFINEActivité : no 2 p 162 – Je recherche une image ou un antécédentCours : Définition d’une fonction affineCas particuliers (fonctions constantes et linéaires) Antécédent d’une fonction affinenon constante + exemples Antécédent d’une fonction constanteExercices (à faire pour jeudi 10 mai) :no 45 p 170 no 46 p 170 no 47 p 170 no 48 p 170

Contenu du cours

2 1 Activité de découverte

Activité B.no 2 p 162 - Je recherche une image ou un antécédent

A - On considère la fonction affine f : x 7→ −3x+ 71. a. Calculer l’image du nombre 4 par la fonction f , puis l’image du nombre −5 par la fonction f .

b. Récopier et compléter : « Pour calculer l’image d’un nombre par la fonction f , on cenombre par −3, puis on 7. »

2. Le nombre x est un antécédent du nombre 2 par la fonction f .

a. Quelle égalité vérifie ce nombre x ? En déduire une équation dont x est solution.

b. Résoudre cette équation.

c. En déduire les antécédents du nombre 2 par la fonction f . Combien le nombre 2 a-t-il d’antécédents parla fonction f ?

B - On considère la fonction g : x 7→ 81. Cette fonction est-elle affine ? linéaire ? constante ?

2. Déterminer l’image par la fonction g de chacun des nombres 4, 8 et −5.

3. a. Déterminer les antécédents du nombre 8 par la fonction g.

b. Déterminer les antécédents du nombre 3 par la fonction g.

2 2 Cours : Définition d’une fonction affine

Remarques 19.4. Cas particuliers : Soit f : x 7→ ax+ b.– Si b = 0 alors on dit que f est une fonction linéaire.– Si a = 0 alors on dit que f est une fonction constante.– Dans les deux cas, f est une fonction affine.

AntécédentSi f est une fonction affine non constante, alors tout nombre admet un antécédent par

la fonction f et cet antécédent est unique.Propriété 19.5


Exemple 19.6. La fonction f : x 7→ −4x+ 9 est de la forme x 7→ ax+ b avec b 6= 0. Ainsi, fest une fonction affine non constante. Par la fonction f , tout nombre a un antécédent unique.

Par exemple, le nombre −11 admet un unique antécédent par la fonction f , la solution del’équation f(x) = −11. L’unique solution de l’équation −4x+ 9 = −11 est le nombre 5.

L’antécédent du nombre (−11) par la fonction f est donc le nombre 5.

Remarque 19.7. Si f est une fonction constante définie par f : x 7→ b, alors le nombre b apour antécédents tous les nombres. Un nombre différent de b n’a pas d’antécédent.


Exercices d’applicationsPour les exercices 45 à 48, on considère las six fonctions suivantes :

f : x 7→ −4x+ 7 ; g : x 7→ −4 ;h : x 7→ 4− x ; i : x 7→ 4x ;j : x 7→ 4

x; k : x 7→ x

4 .

1 45 p 170Décrire le processus associé à chacune de ces fonctions.

2 46 p 170Parmi ces fonctions, déterminer en justifiant chaque réponse :

1. celles qui sont affines ;

2. celles qui sont linéaires ;

3. celles qui sont constantes ;

4. celles qui ne sont pas affines.

3 47 p 170Pour chacune de ces fonctions calculer :

1. l’image du nombre −10 ;

2. l’image du nombre 38 .

4 48 p 170Pour chacune de ces fonctions déterminer les antécédents du nombre −4.

19.2. IMAGE ET ANTÉCÉDENT D’UNE FONCTION AFFINE 149

Représentation graphique d’une fonction affiine I3

Date 14 mai 2012

Classe 3e-1 ; 3e-4

Déroulé REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE ICorrection de l’activité : le fournisseur d’accès WebsurfCours : Représentation graphique d’une fonction affineExercices (à faire pour vendredi 18 mai) : 52-53 p 170

Contenu du cours


Activité C.Le fournisseur d’accès Internet WEBSURF propose divers tarifs :

Tarif 1 : une formule sans abonnement à 0, 05 e la minute de connexion, soit e par heure.

Tarif 2 : un abonnement mensuel de 10 e et 0,03e la minute de connexion, soit e par heure.

Tarif 3 : un forfait illimité à 40e pour le mois.

On note f1, f2 et f3 les fonctions qui font correspondre au temps x de connexion en heure le prix de revientmensuel selon les trois tarifs.

Compléter :

x 0 5 9 14 20f1(x)

x 0 5 9 14 20f2(x)

f1 : x 7→ f2 : x 7→ f3 : x 7→

Dans un repère, placer les points correspondants aux trois tableaux précédents en reliant ceux d’un mêmetarif.

Les unités graphiques sont les suivantes :– 1 cm pour 2 h en abscisses.– 1 cm pour 8 e en ordonnées

3 2 Le cours : Représentation graphique des fonctions affines

AdmiseDans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f : x 7→ ax + b est

la droite d’équation y = ax+ b.Propriété 19.8

La droite coupe l’axe des ordonnées en y = b (quand x = 0). b est alors appelél’ordonnée à l’origine. a est, quant à lui, appelé le coefficient directeur de la droite.Propriété 19.9

Exemples 19.10.a. Soit f : x 7→ 3x− 5. f est une fonction affine (a = 3 et b = −5) donc sa représentation

graphique est la droite d’équation y = 3x− 5. Pour tracer la droite, nous avons besoinde deux points :

x 0 4y −5 7


b. Soit g : x 7→ 3x. g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est la droitepassant par l’origine du repère et d’équation y = 3x.

x 0 2y −5 6

c. Soit h : x 7→ 4. h est une fonction constante. Sa représentation graphique est la droiteparallèle à l’axe des abscisses d’équation y = 4.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

0

y = 3x− 5y = 3x

y = 4

3 3 Exercices d’entraînement


1 52 p 170Soit f la fonction telle que f(x) = 3x− 2.

1. Quelle est la nature de sa représentation graphique ? Justifier la réponse.

2. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1f(x)

b. En déduire les coordonnés de deux points appartenant à cette représentation graphique.

c. Tracer la représentation graphique de la fonction f .

2 53 p 170Soit f la fonction telle que f(x) = −2x+ 4.


2. Tracer la représentation graphique de la fonction f .

19.3. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFIINE I 151

Représentation graphique d’une fonction affine II4

Date 18 mai 2012

Classe 3e-4

Déroulé REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE IICorrection des exercices52 p 170 53 p 170Exercice : 55 p 170 (a et c)Activité : A la découverte d’une nouvelle propriété des fonctions affines (à terminerpour lundi 21 mai)

Contenu du cours

4 1 Exercices à corriger


1 52 p 170Soit f la fonction telle que f(x) = 3x− 2.


2. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1f(x)

b. En déduire les coordonnés de deux points appartenant à cette représentation graphique.

c. Tracer la représentation graphique de la fonction f .

2 53 p 170Soit f la fonction telle que f(x) = −2x+ 4.


2. Tracer la représentation graphique de la fonction f .

4 2 Exercice d’entraînement


3 55 p 170Dans un même repère orthogonal, tracer la représentation graphique de chacune des fonctions :

1. f : x 7→ 7x− 1 ;

2. h : x 7→ −3 + 2x.

Pour les plus rapides :

1. g : x 7→ −9x ;

2. i : x 7→ −8.



Activité D.À la découverte d’une nouvelle propriété des fonctions affines

On considère la fonction f : x 7→ −3x+ 4.

A - Représentation graphique de la fonction

1. f est-elle affine ? linéaire ? constante ?

2. Quelle est la nature de la représentation graphique ?

3. Tracer dans un repère orthogonal d’origine O et d’unité un carreau, la représentation graphique Cf de lafonction f .

B - Un rapport surprenant


x1 x2 f(x1) f(x2) x2 − x1 f(x2)− f(x1) f(x2)−f(x1)x2−x1

0 11 32 33 10 42 0

(on appelle accroissements des x, la différence de x2 par x1, accroissements des f(x), la différence de f(x2)par f(x1) et quotient des accroissements, le nombre f(x2)−f(x1)

x2−x1).

2. Que constatez-vous ?

3. À quoi correspond le quotient des accroissements pour la fonction f ?

C - DémonstrationOn considère la fonction affine f définie par f : x 7→ ax+b. x1 et x2 désignent deux nomrbes relatifs distincts.

1. a. Démontrer que f(x2)− f(x1) = a(x2 − x1) en écrivant, par exemple, que f(x1) = ax1 + b.

b. En déduire la valeur de f(x2)−f(x1)x2−x1

.

2. Que peut-on dire de l’accroissement des f(x) par rapport à l’accroissement des x ?

19.4. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE II 153

Proportionnalité des accroissements5

Date 21 mai 2012

Classe 3e-1 ; 3e-4

Déroulé PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTSActivité : A la découverte d’une propriété des fonctions affinesCorrection des parties B et CCours : Proportionnalité des accroissementsExercices : 26-27 p 168 (à finir pour vendredi 25 mai)

Contenu du cours


Activité E.À la découverte d’une nouvelle propriété des fonctions affines

On considère la fonction f : x 7→ −3x+ 4.

A - Représentation graphique de la fonction

1. f est-elle affine ? linéaire ? constante ?

2. Quelle est la nature de la représentation graphique ?

3. Tracer dans un repère orthogonal d’origine O et d’unité un carreau, la représentation graphique Cf de lafonction f .

B - Un rapport surprenant


x1 x2 f(x1) f(x2) x2 − x1 f(x2)− f(x1) f(x2)−f(x1)x2−x1

0 11 32 33 10 42 0

(on appelle accroissements des x, la différence de x2 par x1, accroissements des f(x), la différence de f(x2)par f(x1) et quotient des accroissements, le nombre f(x2)−f(x1)

x2−x1).

2. Que constatez-vous ?

3. À quoi correspond le quotient des accroissements pour la fonction f ?

C - DémonstrationOn considère la fonction affine f définie par f : x 7→ ax+b. x1 et x2 désignent deux nomrbes relatifs distincts.

1. a. Démontrer que f(x2)− f(x1) = a(x2 − x1) en écrivant, par exemple, que f(x1) = ax1 + b.

b. En déduire la valeur de f(x2)−f(x1)x2−x1

.

2. Que peut-on dire de l’accroissement des f(x) par rapport à l’accroissement des x ?


5 2 Le cours : Proportionnalité des accroissements

a et b désignent des nombres relatifsz ; f est la fonction affine telle que f(x) = ax+b.Pour deux nombres distincts x1 et x2, on a :

f(x2)− f(x1) = a(x2 − x1) ou encore a = f(x2)− f(x1)x2 − x1

.

Propriété 19.11

Remarques 19.12.a. Pour une fonction affine f : x 7→ ax + b, les accroissements des valeurs de f(x) sont

proportionnels aux accroissements des valeurs de x.b. Cette propriété permet de calculer le nombre a connaissant deux nombres et leurs

images.

Exemple 19.13. f est une fonction affine telle que f(3) = 6 et f(5) = 12.

a = f(5)− f(3)5− 3 = 12− 6

2 = 62 = 3,

donc a = 2.Pour trouver b, on remplace x par une valeur connue de la foncton :

f(3) = 3× 3 + b = 69 + b = 6

b = 6− 9b = −3,

et on vérifie si f(5) = 12 :

f(5) = 3× 5− 3 = 15− 3 = 12.

5 3 Exercices d’entraînement


1 26 p 168f est une fonction affine telle que :

f(2) = 4 et f(5) = 13.

On pose f(x) = ax+ b.1. Calculer le nombre a.2. En déduire le nombre b.3. Déterminer la fonction f .

2 27 p 168g est une fonction affine telle que :

g(1) = −4 et g(3) = −10.

On pose g(x) = ax+ b.1. Calculer le nombre a.2. En déduire le nombre b.3. Déterminer la fonction g.

19.5. PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS 155


20PGCD

S É A N C E

Division euclidienne, diviseurs1

Date 25 mai 2012

Classe 3e-4

Déroulé DIVISION EUCLIDIENNE, DIVISEURSActivités : Introduction du PGCD1 p 52 2 p 52 3A p 52A faire pour le 1er juin :3B p 52 4A p 53

Contenu du cours

1 1 Une activité TICE sur le PGCD non traitée en classe (sur XCAS)

1. À la découverte du PGCD1. Aller sur le site Web suivant : http://www.xcasenligne.fr et dès que vous êtes

sur la page d’accueil, cliquez sur l’écran noir (il y ait marqué x, en haut de la page).

2. Trouver tous les diviseurs de 145. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pour cela, taper la commande L := divisors(145) (on a créé une liste L quicontient les diviseurs de 145).

3. Trouver tous les diviseurs de 464. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pour cela, taper la commande M := divisors(464) (on a créé une liste M quicontient les diviseurs de 464).

4. Quels sont les éléments en commun dans la liste L (diviseurs de 145) et la liste M(diviseurs de 464) ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour cela, on tape I := L intersect M (on a créé une liste I dont les élémentssont les éléments en commun).

5. Quel est le plus grand élément de la liste I ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On appelle cet élément le Plus grand commun diviseur (ou PGCD) des nombres 145 et464. Sur la page, vous pouvez écrire max(I)

6. Choissisez deux entiers naturels non nuls. Quel est leur PGCD ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si n et m sont les deux nombres choisis (non nuls), on peut taper gcd(m,n) pourobtenir le PGCD des nombres n et m

2. Vers la méthode des soustractions succesives1. (a) Déterminer le PGCD de 75 et 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Déterminer le PGCD de 55 et 75− 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. (a) Que remarque-t-on ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Si cette remarque est vraie, quel est son intérêt ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Trouver le PGCD de 2724 et 714 en utilisant plusieurs fois la propriété précédente. (Onélaborera une stratégie sur la feuille et on calcule les PGCD sur ordinateurs).

4. Compléter le cadre suivant par la propriété découverte dans cette activité.

158 SÉANCE 20. PGCD

http://www.xcasenligne.fr

Soient a et b deux entiers relatifs (avec a > b). Si PGCD(a, b) = d alorsPGCD(a, a− b) = et PGCD(a, a+ b) = .

1 2 Les activités faites en classe

Activité A.1 p 52 - J’effectue une division euclidienne

1. a. Éffectuer la division euclidienne de 264 par 15. Quel est le quotient entier ? Quel est le reste ?

b. Quelle égalité peut-on écrire à l’aide de ces nombres ?

2. a. Effectuer la division euclidienne de 1288 par 23. Quel est le quotient entier ? Quel est le reste ?

b. Quelle égalité peut-on écrire à l’aide de ces nombres ?

c. Recopier et compléter : « 23 est un de 1288. » et « 1288 est un de23. »

Activité B.2 p 52 - Je détermine les diviseurs d’un entier

A : Liste des diviseurs

1. On veut déterminer tous les divisuers du nombre 20.

a. Recopier et compléter les égalités :

20 = 1×20 = 2×20 = 4×

b. Déduire de chaque égalité deux diviseurs du nombre 20.

c. Pourquoi n’a-t-on pas écrit l’égalité 20 = 3× ? l’égalité 20 = 5× ?

d. Écrire la liste des diviseurs de 20.

2. Déterminer la liste des diviseurs de 90.

B : Nombres premiersUn nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs. Dans chaque cas, préciser si

le nombre est premier. Justifier la réponse.

11 ; 4 ; 2 ; 34 ; 1 ; 0.

Activité C.3 p 52 - Je découvre le PGCD de deux nombres entiers

A : Notion de PGCD

1. a. Déterminer la liste des diviseurs de 24, celle des diviseurs de 30 et celle des diviseurs de 35.

b. Écrire la liste des diviseurs communs à 24 et 30. Quel est le plus grand ?

c. Écrire la liste des diviseurs communs à 30 et 35. Quel est le plus grand ?

d. Écrire la liste des diviseurs communs à 24 et 35. Quel est le lplus grand ?

20.1. DIVISION EUCLIDIENNE, DIVISEURS 159

2. Expliquer pourquoi deux nombres entiers positifs ont au moins un diviseur commun.

3. Le plus grand des diviseurs communs à deux nombres entiers a et b s’appelle le Plus Grand Commun Diviseurde a et b et se noet PGCD(a; b).Recopier et compléter : « PGCD(24; 30) = ; PGCD(30; 35) = ; PGCD(24; 35) = . »

B : Propriétés du PGCDa et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Justifier chaque propriété :

1. PGCD(a; b) = PGCD(b; a) ;

2. PGCD(a; a) = a ;

3. Si b est un diviseur de a alors PGCD(a; b) = b.

Activité D.4 p 53 - Je calcule le PGCD de deux nombres entiers

A : Propriétésa et b désignent deux nombres entiers positifs avec a > b.

1. a. Démontrer la propriété : « Si un nombre d divise a et b, alors d divise b et a− b ».

b. Démontrer la propriété : « Si un nombre d divise b et a− b, alors d divise a et b. ».

2. Que peut-on dire des diviseurs communs à a et b et des diviseurs communs à a et a− b ?

3. Que peut-on en déduire pour PGCD(a; b) et PGCD(b; a− b) ?

B : Algorithme des soustractions successives[A faire en classe le 1er juin]


À la découverte du PGCD2

Date 01 juillet 2012

Classe 3e-4

Déroulé A LA DECOUERTE DU PGCDActivité : Introduction du PGCD3B p 52Cours :Division euclidienne Diviseurs Diviseurs communs PGCD Méthode de recherchedu PGCDExercices : Trouver le PGCD de deux nombres entiers en listant les diviseurs com-muns des deux nombres

Contenu du cours

Pas de trace écrite !

20.2. À LA DÉCOUVERTE DU PGCD 161


21Évaluations

S É A N C E

DM no 13 de Mathématiques


À rendre 12 mars 2012

Thèmes – Statistiques– Calcul littéral– Trigonométrie

Contenu du cours

Énigme du DML’énigme n’entre pas en compte dans la notation du DM mais valorisera la copie si elle est traitée convenablement.

On se donne une série statistique de trois données et on note m la moyenne.

Valeurs x1 x2 x3Effectif n1 n2 n3

Démontrer que :n1(x1 −m) + n2(x2 −m) + n3(x3 −m)

n1 + n2 + n3= 0.

1 On considère les expressions

A = 9x2 − 16 + (3x− 4)(2x− 5), B = 9x2 − 16,C = (3x− 4)(2x− 5)

1. Factoriser l’expression B.2. Développer et réduire l’expression C.3. Remarquer que A = B + C et factoriser au maxi-

mum l’expression A grâce à la question 1.4. Résoudre l’équation 9x2−16+(3x−4)(2x−5) = 0.5. On considère x =

√2. Mettre A sous la forme

a√b + c avec a, b, c sont des entiers relatifs, b étant

un nombre positif le plus petit possible.

2 Voici les notes obtenues par Louane en mathéma-tiques et en physique

Mathématiques 9; 11; 15; 14; 7; 13Physique 14; 13; 9; 16; 3; 11

1. Ranger chacune des deux séries de notes dansl’ordre croissant. Que peut-on remarquer concernantces deux séries ?

2. Pour chacune des deux séries, calculer :a. la moyenne ;b. la médiane ;c. l’étendue.

3. Commenter les résultats obtenus à la question pré-cédente.

3 Un peu de trigonométrie - Brevet MoyenOrient 2005

Le triangle AHC est rectangle en H . La droite pas-sant par le point A et perpendiculaire à la droite (AC)coupe la droite (HC) au pointB. On donne :AH = 4,8cm et HC = 6,4 cm.

C H

A

B

1. a. Justifier l’égalité : ACH = 90°− HAC.

b. Justifier l’égalité : BAH = 90°− HAC.

c. Que peut-on en déduire pour les angles ACH etBAH ?

2. a. Montrer que tan ACH = 34 .

b. En utilisant le triangle BAH , exprimertan BAH en fonction de BH .

3. Déduire des questions 1 et 2 que BH = 3,6 cm.

4. Calculer la mesure en degré, arrondie au degré del’angle ACH .


Brevet blanc février 2012 - Énoncé

Consignes générales :

1. La présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.

2. L’emploi des calculatrices est autorisé (circulaire no 99-186 du 16 novembre 1999, publiée au B.O. no 42 du25 nouvembre 1999), mais tous les calculs intermédiaires doivent être recopiés.

3. Tout prêt ou emprunt de matériel à un camarade est formellement interdit durant l’épreuve.

PREMIÈRE PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS)

N1 (2 pts)Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.

1. (1 pt) Calculer A et donner le résultat sous la forme d’un entier :

A =(

2 + 23

)÷(4

5 −23

).

2. (1 pt) Calculer B et donner le résultat en écriture scientifique :

B = 24× 10−7 × 3× (103)−2

6× 10−3 .

N2 (2 pts)Les étapes de calculs doivent figurer sur la copie.

A = (3√

2 + 5)2 et B = (√

7 + 3)(√

7− 3).

1. (1 pt) Écrire A sous la forme a+ b√

2 où a et b sont des nombres entiers.

2. (1 pt) Calculer B.

N3 (4 pts)On considère C = (1 + 4x)2 − (1 + 4x)(x− 4).

1. (1,5 pt) Développer et réduire C.

2. (1,5 pt) Factoriser C.

3. (1 pt) Résoudre l’équation (1 + 4x)(3x+ 5) = 0.

N4 (4 pts)Lors d’un contrôle, une classe de 3e a obtenu les notes suivantes :

8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 - 9 - 15 -5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 6 - 15.

1. (1,5 pt) Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.

Notes 2 4 · · ·Effectifs 1 3 · · ·

2. (0,5 pt) Quel est l’effectif total de ce groupe ?

3. (1 pt : 0,5 pt pour la formule + 0,5 pt pour l’arrondi) Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondirle résultat à 0, 1 près.

4. (1 pt) Donner la médiane de ces notes.

21.2. BREVET BLANC FÉVRIER 2012 - ÉNONCÉ 165

DEUXIÈME PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)

G1 (5 pts)Pour procéder au chargement des rochers dans les camions, une carrière utilise le dispositif par tapis roulant

représenté par le schéma simplifié ci-contre :

C A

D

S

H

On donne :– Longueur du tapis roulant : CD = 11, 70 m.– Longueur au sol : CA = 10, 80 m.– (DA) et (CA) sont perpendiculaires.Les question 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1. (1,5 pt) Calculer DA, la hauteur de laquelle tombent les matériaux.

2. a. (0,5 pt) Exprimier cos DCA.

b. (0,5 pt) En déduire à l’arrondi à 0, 1° près de l’angle que fait le tapis roulant avec l’horizontale.

c. (1,5 pt : si arrondi 1 pt) Sachant que CS = 6, 50 m et en utilisant la question 2.a., démontrer queCH = 6 M.

3. (1 pt) La vitesse du tapis est de 1, 5 m/s. Calculer la durée nécessaire en secondes, pour acheminer un rocherde C en D.

G2 (7 pts)La figure suivante n’est pas représentée en vraie grandeur. Il n’est pas demandé de la reproduire.

O

A

B

M

P

I

J

On donne :– (MP ) et (AB) sont parallèles.– MO = 4, 2 cm ; MP = 6 cm.– OA = 10, 8 cm ; OB = 6, 3 cm.

1. (2 pts) En justifiant votre démarche, calculer la longueur AB.

2. (2 pts) Sur la demi-droite [OA), on place le point I tel que OI = 8, 4 cm.Sur la demi-droite [OB), on place le point J tel que OJ = 8, 1 cm.Les droites (IB) et (AJ) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

3. (1,5 pt) On donne OP = 7, 2 cm. Le triangle MOP est-il rectangle ?

4. (1,5 pt) Montrer que les angles MPO et OAB sont égaux. Justifier soigneusement votre réponse.


PROBLÈME (12 POINTS)

Partie A (5 points)Il existe trois variétés de thon pêché en Polynésie française :– le thon Germon (variété de thon blanc)– le thon Jaune (à nageoires jaunes, variété de thon rouge)– le thon Obèse (variété de thon rouge).

1. Le graphique (sur la feuille à rendre) représente la taille du thon Germon en fonction de sa masse.a. (1 pt) Est-ce que la taille du thon Germon est proportionnelle à sa masse ? Justifier.b. (1 pt) L’équipe de Moana a capturé un thon Germon de 22 kg. Déterminer graphiquement sa taille. (On

laissera apparents les traits de construction).c. (1 pt) L’équipe de Teiki a pris un thon Germon de 70 cm. Déterminer graphiquement sa masse. (On

laissera apparents les traits de construction).2. La masse de thon Jaune représente en moyenne 17% de la masse totale des trois espèces de thon pêchées. Le

graphique 2, ci-contre, représente la masse de thon Jaune pêché par rappport à la masse totale de thon pêché.

a. (1 pt) La masse du thon Jaune est-elle proportionnelle à la masse total de thon pêché ? Justifier.b. (1 pt) L’équipe de Moana a pêché 400 kg de thon ; calculer la masse de thon jaune pêché.

Partie B (7 points)À un concours de pêche au large, les prises sont constituées de thons, d’espadons, de thazards et de mahi-mahi.

On a réparti les différentes prises des équipes de Moana et de Teiki dans les tableaux I et II (feuille à rendre).

1. (2 pts) Compléter, sur la feuille à rendre, le tableau II.2. (2 pts) Représenter, sur la feuille à rendre, les prises exprimées en fréquence de ce deuxième tableau, par un

diagramme semi-circulaire de rayon 4 cm.3. (1 pt) Quel est le poisson principalement capturé par chacune des équipes ?4. (2 pts) Quel pourcentage de la masse totale de poissons capturés par l’ensemble des deux équipes, représente

la masse totale de thon pêché par l’ensemble des deux équipes ? (Arrondir à l’unité).

21.2. BREVET BLANC FÉVRIER 2012 - ÉNONCÉ 167

Feuille à rendre

Diagramme semi-circulaire des prises de l’équipe de Teiki


Brevet blanc février 2012 - Correction


N1

A =(

2 + 23

)÷(4

5 −23

)A =

(2× 33 + 2

3

)÷(4× 3

5× 3 −2× 55× 3

)A =

(63 + 2

3

)÷(12− 10

15

)A = 6

3 ÷215

A = 63 ×

152

A = 4× 51

A = 20

B = 24× 10−7 × 3× (103)−2

6× 10−3

B = 24× 3× 107 × 10−6

6× 10−3

B = 4× 3× 10−13

10−3

B = 12× 10−10

B = 1, 2× 10−9 (Notation scientifique)

N2

A = (3√

2 + 5)2

A = 9× 2 + 2× 5× 3√

2 + 25A = 18 + 30

√2 + 25

A = 43 + 30√

2

B = (√

7− 3)(√

7 + 3)B = (

√7)2 − 32

B = 7− 9B = −2

N3 C = (1 + 4x)2 − (1 + 4x)(x− 4)1. On développe l’expression C.

C = 1 + 2× 4x+ (4x)2 − [x− 4 + 4x2 − 16x]C = 1 + 8x+ 16x2 − [4x2 − 15x− 4]

C = 5 + 23x+ 12x2 .

2. On factorise l’expression C.

C = (1 + 4x)(1 + 4x)− (1 + 4x)(x− 4)C = (1 + 4x)(1 + 4x− [x− 4])C = (1 + 4x)(5 + 3x).

3. On veut résoudre l’équation (1 + 4x)(5 + 3x) = 0. On a affaire à une équation produit (c’est-à-dire à uneéquation qui s’écrit sous la forme d’un produit de facteurs égal à zéro). Donc, il y a deux solutions à l’équation :

soit

(1 + 4x) = 04x− 1

x = −14

soit

5 + 3x = 03x = −5

x = −53

21.3. BREVET BLANC FÉVRIER 2012 - CORRECTION 169

Ainsi, les solution de l’équation (1 + 4x)(5 + 3x) sont x = −14 et x = −5

3 .

N4

1.Notes 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18 19Effectif 1 3 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 1

2. Il faut sommer les effectifs de chaque note pour obtenir l’effectif total :

1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 = 28 .

Il y a 28 élèves dans la classe de 3e étudiée.

3. On utilise la formule de la moyenne :

M= 2×1+4×3+5×1+6×2+7×2+8×2+9×2+10×1+11×2+12×2+13×4+15×2+13×4+15×2+17×1+18×2+19×128 ' 10,3 .

La moyenne de la classe est d’environ 10, 3 (arrondi à 0, 1 près).

4. Pour calculer la médiane, on range la série statistique dans l’ordre croissant :

2 - 4 - 4 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 11 - 11 - 12 - 12 -13 - 13 - 13 - 13 - 15 - 15 - 17 - 18 - 18 - 19.

De plus, l’effectif total est de 28 (effectif pair), donc pour obtenir la médiane, on fait la moyenne de la 14e

note et de la 15e note, d’où :

m = 10 + 112 = 10, 5 .

La note médiane du contrôle est donc de 10, 5.



G1

1. Les droites (DA) et (CA) sont perpendiculaires donc CAD est un triangle rectangle en A.On a : CA = 10, 80 m et CD = 11, 70 m. On cherche la longueur DA.D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle CAD en A.

CA2 + AD2 = CD2

10, 82 + AD2 = 11, 72

AD2 = 11, 72 − 10, 82

AD2 = 20, 25 (= 814 )

AD =√

20, 25

AD =√

814

AD =√

81√4

AD = 92 = 4, 5 m .

La longueur du tapis est de 4, 5 mètres.2. a. On utilise la formule du cosinus :

cos DCA = « côté adjacent »« hypothénuse »

= CA

CD= 10, 8

11, 7 = 108117 = 12

13 .

b. Comme cos DCA = 1213 , on a DCA ' 22, 6° (sur la calculatrice, on tape 2nd + cos + 12 + : + 13).

Donc : L’angle DCA vaut environ 22, 6°.

c. Comme H ∈ [CD] et S ∈ [CA], l’angle DCA = HCS et ainsi :

cos DCA = cos HCS = CH

CS= 12

13 .

On sait de plus que CS = 6, 5 m.

CH = 12× 6, 513 = 12

2 = 6 m .

La longueur du segment [CH] est de 6 mètres.3. On sait que CB = 11, 70 mètres. La vitesse est de 1, 5 m/s. Pour 1, 5 mètres, on met une seconde donc pour

11, 70 mètres, on met 7, 8 secondes.11, 70÷ 1, 5 = 7, 8 .

Le rocher est acheminé du point C au point D en 7, 8 secondes.

G2

1. Les points M , O, B et P , O, A, sont alignés dans le même ordre. De plus, les droites (MP ) et (AB) sontparallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès.

MP

AB= OM

OB= 4, 2

6, 3

AB = 6× 6, 34, 2 = 6× 63

42 = 6× 7× 97× 6 = 9 cm .

La longueur du segment [AB] est égale à 9 centimètres.


2. Les points J , B, O et A, I , O sont alignés dans le même ordre. De plus on a :

OB

OJ= 6, 3

8, 1 = 79 et

OI

OA= 8, 4

10, 8 = 79 .

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IB) et (AJ) sont parallèles.

3. On a :

OP 2 = 7, 22 = 51, 84OM2 +MP 2 = 4, 22 + 62 = 53, 64

D’où : OP 2 6= OM2 +MP 2. Le triangle MOP n’est pas rectangle (d’après le théorème de Pythagore).

4. Comme les angles MPO et OAB sont des angles alternes-internes et que les droites (AB) et (MP ) sontparallèles, les angles MPO et OAB sont des angles égaux.



Partie A (5 points)

1. a. La taille du thon de Germon n’est pas proportionnelle à la masse car la courbe représentative de la massedu thon par rapport à sa taille n’est pas une droite.

b. Il fallait indiquer les pointillés et les flèches utiles à la lecture :

Par une lecture graphique, le thon de Germon de 22 kg qu’a capturé l’équipe de Moana fait 100 centi-mètres (ou un mètre).

c. Il fallait indiquer les pointillés et les flèches utiles à la lecture :

Par une lecture graphique, le thon de Germon mesurant 68 centimètres qu’a capturé l’équipe de Teiki pèse7 kg.

2. a. La masse du thon jaune est proportionnelle à la mase totale pêché car la courbe représentative de la massedu thon jaune par rapport à la masse du thon total pêché est une droite passant par l’origine.

b. La masse de thon jaune représente 17% de la masse total de thon pêché. D’où :

400× 17100 = 4× 17 = 68 kg .

L’équipe de Moana a pêché 68 kg de thon jaune.


Partie B (7 points)

1. Le tableau II représentant le nomre de poissons pêchés par l’équipe Teiki était à compléter sur la feuille àrendre.

Espèce Thon Espadon Thazard Mahi-mahi TotalPrise en kg 144 108 36 432 720Fréquence en % 20 15 5 60 100Angle en degré 36 27 9 108 180

2. Diagramme semi-circulaire des prises de l’équipe de Teiki (à compléter sur la feuille à rendre) :

Mahi-mahi60%

Espadon15%

Thazard5%

Thon20%

3. – D’après le tableau I, le poisson principalement capturé par l’équipe de Moana est le thon.– D’après le tableau II, le poisson principalement capturé par l’équipe Teiki est le Mahi-mahi.

4. Au total :544 + 212 + 92 + 672 = 180.

1520 poissons ont été pêchés par les deux équipes. Le pourcentage de thon pêché par rapport à tous lespoissons pêchés est de :

5441520 = 0, 357× 100 ' 36% .

Le thon pêché par l’ensemble des équipes représente 36% des poissons pêchés.


Brevet blanc avril 2012 - Énoncé

Consignes générales :1. La présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.2. L’emploi des calculatrices est autorisé (circulaire no 99-186 du 16 novembre 1999, publiée au B.O. no 42 du

25 nouvembre 1999), mais tous les calculs intermédiaires doivent être recopiés.3. Tout prêt ou emprunt de matériel à un camarade est formellement interdit durant l’épreuve.


N1 (3 pts)Un commerçant augmente les prix de tous les articles de 8%.Un objet coûte x euros. Après avoir subi cette augmentation, il coûte y euros.

1. Exprimer y en fonction de x.2. Un lecteur DVD coûté, avant augmentation, 329 euros. Combien coûtera-t-il après ?3. Un téléviseur coûte, après augmentation, 540 euros. Combien coûtait-il avant ?

N2 QCM (5 pts)Le barème est le suivant :– 1 point pour une bonne réponse– −0,5 point pour une mauvaise réponse– 0 point s’il n’y a pas de réponse.

1 2 3

A( 3

14 −27

)× 1

2 est

égal à :

− 128

128

114

B Pour tout nombre x,x2 − 100 est égal à :

(x−10)(x+10) (x− 10)2 (x− 50)2

C Le nombre (3−√

2)2

s’écrit encore :7 11− 6

√2 (−3

√2)2

D Les solutions de l’in-équation 4x + 1 ≥7x− 5 sont :

Tous lesnombres

inférieurs ouégaux à 2

Tous lesnombres

supérieurs ouégaux à 2

Tous lesnombres

inférieurs ouégaux à −2

E Le nombre 1 est so-lution de l’inéqua-tion :

4x− 3 > 7 −2x+ 1 ≤ −3 5x+ 3 < 9

N3 (4 pts)La roussette rousse est une espèce de chauve-souris, endémique au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle

était la mascotte officielle des XIVe Jeux du pacifique de 2011.Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES. On tire au

hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule.1. Quels sont les six résultats possibles à l’issue d’un tirage ?2. Déterminer les probabilités suivantes :

a. la lettre tirée est un R.b. la lettre tirée est un S.c. la tettre tirée n’est pas un S.

3. Julie affirme qu’elle a plus de chance d’obtenir une voyelle qu’une consonne à l’issue d’un tirage. A-t-elleraison ? Justifier votre réponse.

21.4. BREVET BLANC AVRIL 2012 - ÉNONCÉ 175


G1 (5 pts)La formule d’Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d’un triangle connaissant deux côtés et un angle.Pour un triangle ABC, on a :

BC2 = AB2 + AC2 − 2× AC × AB × cos(BAC).

On considère pour tout l’exercice AB = 6 cm, AC = 12 cm et BAC = 60°.

1. Construire un triangle ABC vérifiant les conditions précédentes.

2. Donner la valeur de cos(BAC).En déduire avec la formule d’Al-Kashi que l’on a :

BC2 = AB2 + AC2 − AC × AB.

3. Montrer que BC =√

108 cm.

4. En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.

G2 (7 pts)Le cube représenté ci-dessous est un cube d’arête 6 cm. (La figure n’est pas aux dimensions réelles.)

D

D′ C′

C

A

A′ B′

BR

M

P

N

On considère :– le point M milieu de l’arête [BB′],– le point N milieu de l’arête [CC ′],– le point P milieu de l’arête [DC],– le point R milieu de l’arête [AB].

1. Quelle est la nature du triangle BRM ?

2. Construis ce triangle en vraie grandeur.

3. Calculer la valeur exacte de RM .

4. On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l’arête [BC]. La section est le quadrilatère RMNP .Quelle est la nature de la section RMNP ? Justifier.

5. Construire RMNP en vraie grandeur.

6. Calculer l’aire du triangle RBM .

7. Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC].

Rappel : Volume d’un prisme droit V = B × h où B est l’aire de la base et h la hauteur du prisme.


PROBLÈME (12 POINTS)Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier. Ce pignon ne comporte pas

d’ouverture.

Pignon nord de l’atelier

A D

C

S

B M

On donne :– AD = 6 m, AB = 2,20 m et SM = 1,80 m– M milieu de [BC].Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

1. Montrer que l’aire du pignon ABSCD de l’atelier est de 18,6 m2.2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lots. Un lot permet de couvrir

une surface de 1,2 m2.a. Combien de lots Monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?b. Pour être sûr de ne pas manquer de bois, Monsieur Duchêne décide d’acheter 18 lots. Un lot est vendu 49e. Combien Monsieur Duchêne devrait-il payer ?

c. Monsieur Duchêne a bénéficié d’une remise de 12% sur la somme à payer. Finalement, combien MonsieurDuchêne a-t-il payé ?

Partie BDans un premier temps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur. Ensuite, il placera

les planches du bardage sur les tasseaux, comme indiqué sur la figure ci-contre :


Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le sépare du

côité [AB].

AB = 2.2m

AE = 0.5mAD = 6m

SM = 1.8m

A

B C

D

S

M

E

HF

Soit E un point du segment [AD]. La parallèle à (AB) passant par E coupe [BS] en F et [BM ] en H . Onadmet que la droite (FH) est parallèle à la droite (SM).

Le segment [EF ] représente un tasseau à fixer.

1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM .2. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF ] est placé à 0,50 m du côté [AB].

On a donc : AE = BH = 0,50 m.a. En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH .b. En déduire la longueur EF du tasseau.

3. Dans cette question, on généralise le problème et on suppose que le tasseau [EF ] est placé à une distance xdu côté [AB].On a donc : AE = BH = x (avec x variant entre 0 et 3 m).a. Montrer que FH = 0,6x.b. En déduire l’expression de EF en fonction de x.

4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l’annexe qui donne la longueur d’un tasseau en fonction dela distance x qui le sépare du côté [AB].On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.a. Quelle est la longueur d’un tasseau sachant qu’il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?b. On dispose d’un tasseau de 2,80 m de long que l’on ne veut pas couper. À quelle distance du côté [AB]

doit-il être placé ?

Partie CMonsieur Duchêne a besoin de connaître la mesure de l’angle SBM pour effectuer certaines découpes.

Pignon nord de l’atelier

A D

C

S

B M


On rappelle que :SM = 1,80 m et BC = 6 m.

Déterminer la mesure de l’angle SBM . On arrondira le résultat au degré près.


Annexe (à rendre avec votre copie)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

Distance x entre le tasseau et le côté [AB] en m

Lon

gueu

rdu

tass

eau

enm


Brevet blanc avril 2012 - Correction


N1

1. Le fait d’augmenter le prix d’un article de 8% revient à multiplier le prix initial de l’article par 1+0,08 = 1,08.Donc : y = 1,08x .

2. Après augmentation, le prix du lecteur DVD vaudra :

y = 1,08× 329 = 355,32e .

Le lecteur DVD, après augmentation, coutera 355,32 e.3. Pour trouver le prix du téléviseur après augmentation, on résoud l’équation en x suivante :

1,08x = 540

x = 5401,08

x = 500 .

Le téléviseur coûtait, avant augmentation, 500 e.

N2

A ( 314 −

27

)× 1

2 =( 3

14 −414

)× 1

2=(− 1

14

)× 1

2= − 1

28

Donc la bonne réponse est la réponse 1.B x2 − 100 est de la forme a2 − b2 (avec a = x et b = 10). D’où sa factorisation est :

(x− 10)(x+ 10).

Donc la bonne réponse est la réponse 1.C

(3−√

2)2 = (3−√

2)(3−√

2)= 32 − 2× 3×

√2 + (

√2)2

= 9− 6√

2 + 2 = 11− 6√

2 .

Donc la bonne réponse est la réponse 2.D

4x+ 1 ≥ 7x− 55 + 1 ≥ 7x− 4x

6 ≥ x

x ≤ 2 .Tous les nombres inférieurs ou égaux à 2 sont solutions de l’inéquation 4x + 1 ≥ 7x − 5. Donc la bonneréponse est la réponse 1.

21.5. BREVET BLANC AVRIL 2012 - CORRECTION 181

E a. 4× 1− 3 = 4− 3 = 1 ≯ 7 .

b. −2× 1 + 1 = −2 + 1 = −1 −3 .

c. 5× 1 + 3 = 5 + 3 = 8 < 9 .Donc la bonne réponse est la réponse 3.

N3

1. Les résultats possibles à l’issue d’un tirage sont R, O, U , S, E, T .

2. a. Soit l’évènement R = obtention du R. Il n’y a qu’une boule portant la lettre R dans l’urne donc :

p(R) = nombre de cas favorablesnombre de cas au total

= 110

Donc : la probabilité de tirer une boule portant la lettre R est de 110 .

b. Soit l’évènement S = obtention du S. Il y a trois boules portant la lettre S dans l’urne donc :

p(S) = 310 .

Donc : la probabilité de tirer une boule portant la lettre S est de 310 .

c. Soit l’évènement S = non obtention du S. S est l’événement contraire de S. Ainsi :

p(S) = 1− p(S) = 1− 310 = 7

10 .

Donc : la probabilité de ne pas tirer une boule portant la lettre S est de 710 .

3. Soient les évènements :

V = obtention d’une voyelle ;C = obtention d’une consonne .

Il y a 4 boules portant une voyelle et 6 boules portant une consonne dans l’urne. Donc :

p(V ) = 410;

p(C) = 610 >

410 = p(V ).

Donc : Julie n’a pas raison.



G1

1.

6 cm

12 cm

A B

C

2.

cos BAC = côté adj.hyp

= AB

AC= 1

2 .

La formule d’Al-Kashi nous donne :

BC2 = AB2 + AC2 − 2× AC × AB × cos(BAC).

Comme cos BAC = 12 , on a :

BC2 = AB2 + AC2 − 2× 12 × AC × AB.

Ainsi :BC2 = AB2 + AC2 − AC × AB .

3.

BC2 = 62 + 122 − 6× 12BC2 = 36 + 144− 72BC2 = 144− 36BC2 = 108

Donc : BC =√

108 cm .4. On a, dans le triangle ABC, :

AB2 +BC2 = 108 + 62 = 108 + 36 = 144 ;AC2 = 122 = 144 .

D’où, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

G2

1. Je sais que : ABB′ = 90° (car ABB′A′ est un carré), AB = BB′ = 6 cm, M milieu de [BB′] et R milieude [AB].Ainsi :

BR = AB

2 = 62 = 3 cm ;

BM = BB′

2 = 62 = 3 cm .

Donc : BRM est un triangle rectangle isocèle en B.


2.

3 cm

3 cm

RB

M

3. Je sais que : RBM est un triangle rectangle isocèleen B. BR = BM = 3 cm.On utilise : le théorème de Pythagore pour calculerRM .Calculs :

RB2 +BM2 = RM2

32 + 32 = RM2

RM2 = 18

RM =√

18 = 3√

2 cm .

Donc : la longueur du segment [RM ] est de 3√

2 cm.

4. RMNP est un rectangle car c’est la section d’un cube parallèlement à l’arête [BC].

5. Les dimensions du rectangle RNMP sont : RM = PN = 3√

2 cm, RP = MN = 6 cm.

R P

NM

6. Soit A l’aire du triangle RBM .

A = RB ×BM2 = 3× 3

2 = 92 = 4,5 cm2

L’aire du triangle RBM est de 4,5 cm2.

7. Soit V le volume du prisme droit de base RBM et de hauteur [BC].

V = A× 6 = 4,5× 6 = 27 cm3 .

Le volume du prisme droit de base RBM et de hauteur [BC] est de 27 cm3.



Partie A

1. Soient A l’aire du pignon, A′ l’aire du rectangle ADCB et A′′ l’aire du triangle BCS.

A = A′ +A′′ = 6× 2,2 + 6× 1,82

A = 6(2,2 + 0,9) = 6× 3,1 = 18,6 m2 .

L’aire du pignon est donc de 18,6 m2.

2. a. On calcule :18,61,2 = 186

12 = 312 = 15,5 .

Au minimum, Monsieur Duchêne doit acheter 16 lots de planches de bois.

b. Monsieur Duchêne devra payer 18× 48 = 882 e pour acheter 18 lots de planches de bois.

c. Une remise de 12% permet de multiplier par 0,88 le prix initial. Donc :

882× 0,88 = 776,16e .

Finalement, Monsieur Duchêne a déboursé 776,16 e.

Partie B

1. Je sais que : BC = 6 cm et M milieu de [BC].Calculs :

BM = BC

2 = 62 = 3 cm .

Donc : la longueur du segment [BM ] est de 3 cm.

2. a. Je sais que : dans le triangle BMS, (FH) est parallèle à (SM), B, F , S alignés dans cet ordre et B, H ,M alignés dans cet ordre.On applique : le théorème de Thalès dans le triangle BMS.Calculs :

FH

SM= BH

BMFH

1,8 = 0,53

FH = 0,5× 1,83 = 1,8

2× 3FH = 1,8

6 = 0,3 m .

Conclusion : le segment [FH] mesure 0,3 m.

b. Je sais que : EH = 2,2 m et FH = 0,3 m.Calculs :

EF = EH + FH = 2,2 + 0,3 = 2,5 m .

Conclusion : la longueur EF du tasseau est de 2,5 m.

3. a. Je sais que : dans le triangle BMS, (FH) est parallèle à (SM), B, F , S alignés dans cet ordre et B, H ,M alignés dans cet ordre.On applique : le théorème de Thalès dans le triangle BMS.


Calculs :

FH

SM= BH

BMFH

1,8 = x

3

FH = 1,8x3 = 0,6x .

Conclusion : le segment [FH] mesure 0,6x m.

b. Je sais que : EH = 2,2 m et FH = 0,6x m.Calculs :

EF = EH + FH = 2,2 + 0,6x .

Conclusion : la longueur EF du tasseau est de 2,2 + 0,6x m.

4.

a.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

33.13.5

4

0

La longueur du tasseau sachant qu’il a été placé à1,5 m du côté [AB] est de 3,1 m .

b.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.52.8

3

3.5

4

0

Le tasseau mesurant 2,8 mètres doit être placé à

1 m du côté [AB].

Partie CJe sais que : SM = 1,8 m, BC = 6 m, M milieu de [BC] donc BM = 3 cm.J’utilise : la définition de la tangente d’un angle.Calculs :

tan(SBM) = côté opp.côté adj.

= 1,83 = 0, 6 .

Conclusion : Comme tan(SBM) = 0,6, l’angle 1 SBM mesure environ 31° .

1. Sur la calculatrice, faire : 2nde + tan−1 .


Annales du brevet 1997 : Énoncé

D’après http://melusine.eu.org/lab/brevet1997

PREMIÈRE PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

N1 Lille, 1997Écrire sous la forme d’une fraction la plus simple possible :

A = 2− 32 B = 2

5 −32 ×

35 C = 9

24 ÷2736

N2 Caen, 1997Développer E = (

√3− 5)2.

N3 Rouen, 1997

1. Résoudre les équations :

a. (3− 4x)− (2x− 1) = 0.

b. (3− 4x)(2x− 1) = 0.

2. Résoudre l’inéquation 3− 4x > 2x− 1.Représenter l’ensemble des soltuions sur une droite graduée.

N4 Bordeaux, 1997Voici la liste des notes sur 20 obtenues par Luc et Julie aux 6 devoirs de mathématiques du dernier trimestre :

Devoir no 1 no 2 no 3 no 4 no 5 no 6 MoyenneNote de Luc 12 5 18 11 19 aNote de Julie 20 15 4 9 x y 12,5

1. a. Calculer la moyenne de Luc, si la note obtenue au sixième devoir est 13.

b. Une meilleure note au devoir no 6 aurait-elle permis à Luc d’obtenir une moyenne de 15 ?

2. La note obtenue par Julie au devoir no 6 a augmenté de 25% par rapport à celle qu’elle a obtenue au devoirno 5.

a. Exprimer y en fonction de x.

b. Calculer x et y.

DEUXIÈME PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

G1 Créteil, 1997La figure F1 est tracée ci-dessous.

A

B

C

D

1. Recopier la figure suivante sur votre copie.

21.6. ANNALES DU BREVET 1997 : ÉNONCÉ 187

http://melusine.eu.org/lab/brevet1997

2. Tracer l’image F2 de F1 par la symétrie de centre B ; préciser l’image A′ de A par cette symétrie.

3. Tracer l’image F3 de F2 par la symétrie de centre C ; préciser l’image A′′ de A′ par cette symétrie.

4. Tracer l’image F4 de F3 par la symétrie de centre D ; préciser l’image A′′′ de A′′ par cette symétrie.

5. Par quelle transformation passe-t-on de F1 à F4 ? Indiquer la position du centre O de cette transformation survotre dessin. Quelle est la nature du quadrilatère BCDO ?

G2 Bordeaux, 1997On considère un cercle de diamètre [AB]. Soit C un point de ce cercle et D le symétrique de A par rapport à

C. La parallèle à la droite (BC) passant par le point D coupe la droite (AB) en E.

1. Réaliser une figure.

2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Démontrer que B est le milieu du segment [AE].4. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ADE ?

5. Exprimer l’aire A′ du disque de diamètre [AE] en fonction de l’aire A du disque de diamètre [AB].

G3 Clermont, 1997L’unité de longueur est le centimètres. On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB],

le point S sur le segment [AC] et AB = 20 ; BC = 21 ; RB = 12 ; AS = 11,6 ; AC = 29.

A B

C

R

S

1. Montrer que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.

2. Les droites (RS) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la réponse.


Annales du brevet 1997 : Correction

PREMIÈRE PARTIE : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

N1 Lille, 1997

A = 2− 32

A = 42 −

32

A = 12

B = 25 −

32 ×

35

B = 25 −

3× 32× 5

B = 25 −

910

B = 410 −

910

B = − 510 = −1

2

C = 924 ÷

2736

C = 924 ×

3627

C = 9× 6× 4× 96× 4× 9× 3

C = 12

N2 Caen, 1997

E = (√

3− 5)2 = (√

3− 5)(√

3− 5)E = (

√3)2 − 2× 5×

√3 + 52

E = 3− 10√

3 + 25

E = 28− 10√

3

N3 Rouen, 1997

1. a.

(3− 4x)− (2x− 1) = 03− 4x− 2x+ 1 = 0

3 + 1 = 4x+ 2x4 = 6x46 = x

x = 23

La solution de l’équation (3− 4x)− (2x− 1) = 0 est 23 .

b. L’équation (3− 4x)(2x− 1) = 0 est une équation nulle de deux facteurs donc :

soit :

3− 4x = 03 = 4x34 = x

x = 34

soit :

2x− 1 = 02x = 1

x = 12

21.7. ANNALES DU BREVET 1997 : CORRECTION 189

Les solutions de l’équation (3− 4x)(2x− 1) = 0 sont 34 et 1

2 .

2.

3− 4x > 2x− 13 + 1 > 2x+ 4x

4 > 6x46 > x

x <23

Les solutions S de l’inéquation 3− 4x > 2x− 1 sont tous les nombres inférieurs strictement à 23 .

Représentation graphique des solutions :

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 50 23

S

N4 Bordeaux, 1997

1. a.12 + 5 + 18 + 11 + 19 + 13

6 = 786 = 13.

Si la note obtenue par Luc est 13, sa moyenne sera de 13.b. On essaie de voir si avec la note maximale (20), Luc atteint une moyenne de 15.

12 + 5 + 18 + 11 + 19 + 206 = 85

6 ≈ 14,2.

Avec une note de 20, la moyenne de Luc serait d’environ 14, 2 (arrondi à 0,1).Donc : une meilleure note n’aurait pas permis à Luc d’avoir une moyenne de 15.

2. a. Si la note y de Julie au devoir no 6 a augmenté de 25% par rapport à celle qu’elle a obtenue au devoir no 5(noté x) alors y = 1,25x .

b.20 + 15 + 4 + 9 + x+ y

6 = 12,5 et y = 1,25x.

On remplace la valeur de y dans la première équation :

20 + 15 + 4 + 9 + x+ 1,25x6 = 12,5

20 + 15 + 4 + 9 + 2,25x = 752,25x = 27

x = 12

ety = 1,25× 12 = 15 .

Julie a eu 12 au devoir no 5 et 15 au devoir no 6.

DEUXIÈME PARTIE : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

G1 Créteil, 1997

Voici le tracé des figures F1, F2, F3 et F4 (page suivante) :


F1 F2

F3

F4

A

B

C

D

A′A′′

A′′′

O

On passe de la figure F1 à F4 par une symétrie centrale de centre O (O est indiqué sur la figure ci-dessus).Le quadrilatère BCDO semble être un parallélogramme.

G2 Bordeaux, 1997

1.

A

B

O

C

D

E

2. On appelle C le cercle de diamètre [AB].Je sais que : [AB] est un diamètre du cercle C et C appartient au cercle C.Propriété : Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle estrectangle (le diamètre du cercle circonscrit est alors son hypoténuse).Donc : le triangle ABC est rectangle en C.

3. Je sais que : dans le triangle AED, (BC)//(DE), A, C et D alignés dans cet ordre et A, B, E alignés danscet ordre.On applique : le théorème de Thalès dans le triangle ADE.

AB

AE= AC

AD.

Or, on sait que C milieu de [AD] (car D est le symétrique de A par rapport à C) donc AC = 12AD.

AB

AE=

12AD

AD= 1

2AB = 1

2AE.

Comme B appartient à [AE), B est milieu de [AE].

21.7. ANNALES DU BREVET 1997 : CORRECTION 191

4. Je sais que : (BC)//(DE) et que ABC est un triangle rectangle en C (donc les droites (AD) et (BC) sontperpendiculaires.Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire àl’autre.Donc : les droites (AD) et (DE) sont perpendiculaires (ainsi ADE est un triangle rectangle en D).Je sais que : ADE est un triangle rectangle en D.Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.Donc : [AD] est un diamètre du cercle circonscrit.Comme : B milieu de [AE] alors B est le centre du cercle circonscrit au triangle AED.

5. Soient C ′ le cercle de diamètre [AE], A′ son aire, O le centre du cercle C et A son aire.Calculs 2 :

A′ = π × AB2

A′ = π × AB × ABA′ = π × 2× AO × 2× AOA′ = 4π × AO2

A′ = 4A .

L’aire de C ′ est quatre fois plus grande que l’aire de C.

G3 Clermont, 1997

1. Dans le triangle ABC, on a A, S, C alignés dans cet ordre et A, R, B alignés dans cet ordre. De plus :

AR

AB= AB −BR

AB= 20− 12

20 = 820 = 0,4

AS

AC= AS

AC= 11,6

29 = 0,4.

Donc : ARAB

= ASAC

. D’après la réciproque de Thalès, (RS)//(BC).

2. Deux façons de faire :

a. Dans le triangle ABC, on a :

AC2 = 292 = 841AB2 +BC2 = 202 + 212 = 841

Donc, d’après la réciproque de Pythagore, letriangle ABC est rectangle en B. De plus,(RS)//(BC) et (AB) est perpendiculaire à(BC).

Or, si deux droites sont parallèles, alors toutedroite perpendiculaire à l’une est perpendicu-laire à l’autre.

Conclusion : (SR) perpendiculaire à (AB).

b. Je sais que : AR = 8 et AS = 11,6.On applique : le théroème de Thalès dans le tri-angle ABC (voir plus en haut) :

RS

CB= 8

20RS = 8× 21

20 = 8,4.

Ainsi,

RS2 + AR2 = 8,42 + 82 = 134,56AS2 = 11,62 = 134,56.

D’oùRS2+AR2 = AS2 et d’après la réciproquede Pythagore, RSA est rectangle en R.Conclusion : (RS) est perpendiculaire à (AB).

2. En rappelant que l’aire d’un cercle de rayon r est πr2.


Évaluation du professeur en 3e-48

Les qualités :– Explications (8)– Exercices fréquents (5)– Sympathique / gentil (3)– Bonne apprentissage (3)– Compréhension des élèves en difficulté (2)– Cours compréhensibles (2)– Réponse à toutes les questions (2)– Exposés des nouvelles notions (2)– Programme respecté (2)– Correction des exercices (2)– Efforts entrepris pour s’améliorer (2)– Participation au cours (1)– Cours intéressants (1)– Cours clairs (1)– Cours de qualité (1)– Peu de devoirs donnés (1)– Avancée rapide dans le programme (1)– Bon travail (1)– Discipline (1)– Autonomie (1)– Présence de la maître de stage (1)

Les défauts :– Clarté des explications (10)– Stressé / Nerveux (6)– Hésitations (5)– Absence d’autorité / Discipline (5)– Bafouillages (4)– Rythme trop rapide (4)– Écriture incompréhensible au tableau (4)– Déplacement excessif dans la classe (3)– Absence de regard vers l’élève (2)– Énervement / Impatience (2)– Activité avant la leçon (2)– Exercices non reliés aux leçons (2)– Sévère (2)– Incompréhensible dans la parole (1)– Tenir la classe (1)– Sonnerie (1)– Manque de gestion de temps (1)– Compréhension du cours (1)– Agressivité lié au stress (1)

21.8. ÉVALUATION DU PROFESSEUR EN 3E-4 193

Documents

Les Maths en Stage