les lois Physiques Pour l'Électronique

8/10/2019 les lois Physiques Pour l'lectronique

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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

BASES SCIENTIFIQUES

(Lois physiques pour l'lectronique, l'lectrotechnique,

l'automatisme)

A0

Cours 26049

-------------------------

Didier LE RUYET

Fvrier 2003

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TABLE DES MATIERES

1 RAPPELS DELECTROCINETIQUE...................................................4

1.1 Introduction ............................................................................................................................... 41.2 Matriaux en lectricit ............................................................................................................. 41.3 Champ lectrique et diffrence de potentiel ............................................................................. 41.4 Courant lectrique..................................................................................................................... 41.5 Lois fondamentales................................................................................................................... 5

1.5.1 Loi des mailles ....................................................... .................................................................. ....... 51.5.2 Loi des nuds .............................................................. ............................................................ ....... 6

1.6 Gnrateurs idaux................................................................................................................... 71.6.1 Gnrateur de tension idal ............................................................ ................................................. 71.6.2 Gnrateur de courant idal................................................. ............................................................ 7

2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES........................................8

2.1 Introduction ............................................................................................................................... 82.2 Caractristique dun dipole ....................................................................................................... 82.3 Les diples passifs lmentaires.............................................................................................. 8

2.3.1 Rsistance......................................................... ........................................................... .................... 82.3.2 Bobine dinduction.................................................................. ........................................................ 92.3.3 Condensateur............................. ................................................................ ...................................... 9

2.4 Lois gnrales des diples passifs ........................................................................................... 92.5 Association de diples de mme nature................................................................................. 112.6 Lois des diples en rgime sinusodal .................................................................................... 112.7 Diagrammes de Fresnel.......................................................................................................... 122.8 Notation complexe et impdance complexe ........................................................................... 15

3 PUISSANCE ET ENERGIE...............................................................19

3.1 Dfinitions ............................................................................................................................... 193.2 Cas particuliers ....................................................................................................................... 20

3.2.1 Energie consomme dans une rsistance......................................................... .............................. 203.2.2 Energie dans une bobine ...................................................... ......................................................... 213.2.3 Energie dans un condensateur .................................................................. ..................................... 22

3.3 Puissance active, ractive et complexe dans un dipole quelconque...................................... 243.4 Force lectromotrice et force contre lectromotrice ............................................................... 25

3.4.1 Gnrateur et force lectromotrice ................................................................. ............................... 253.4.2 Rcepteur et force contre lectromotrice................................ ....................................................... 26

3.5 Adaptation dimpdance ......................................................................................................... 27

4 METHODES DANALYSE DES RESEAUX ......................................30

4.1 Introduction ............................................................................................................................. 304.2 Mthode des courants des mailles ......................................................................................... 314.3 Thorme de Millman ............................................................................................................. 324.4 Thorme de superposition .................................................................................................... 334.5 Thorme de Thvenin et de Norton...................................................................................... 35

4.5.1 Grandeurs caractristiques dun diple .............................................................. ........................... 354.5.2 Thorme de Thvenin.......................... ................................................................ ........................ 354.5.3 Thorme de Norton...................................................................... ................................................ 35

4.6 Thorme de Kennely............................................................................................................. 36

5 FACTEUR DE QUALITE ET CIRCUIT RESONNANT ......................38

5.1 Oscillations libres dans un circuit LC ...................................................................................... 385.2 Facteur de qualit dun circuit ................................................................................................. 39

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5.2.1 Dfinition ......................................................... .............................................................. ............... 395.2.2 Facteur de qualit dun lment ractif rel ................................................................. ................. 395.2.3 Gnralisation du facteur de qualit ................................................................... ........................... 41

5.3 Le circuit rsonnant srie........................................................................................................ 41

6 LES QUADRIPOLES.........................................................................47

6.1 Dfinitions ............................................................................................................................... 476.2 Description matricielle du quadriple...................................................................................... 47

6.2.1 Matrices impdances............................................................... ...................................................... 476.2.2 Matrices admittances........................................ ................................................................ ............. 526.2.3 Matrices hybrides ................................................................ .......................................................... 546.2.4 Matrice de transfert ou matrice chane ........................................................... ............................... 55

6.3 Schmas quivalents du quadriple....................................................................................... 556.3.1 Reprsentation matricielle impdance........................................................... ................................ 566.3.2 Reprsentation matricielle admittance ...................................................................... .................... 566.3.3 Reprsentation matricielle hybride................................... ............................................................. 56

6.4 Association de quadriples..................................................................................................... 566.4.1 Association srie ............................................................ ............................................................... 566.4.2 Association parallle ........................................................ ............................................................. 576.4.3 Association en cascade......................... ................................................................ ......................... 58

6.5 Fonctions de transfert dun quadriple.................................................................................... 59

7 FILTRAGE, DIAGRAMMES DE BODE.............................................63

7.1 Introduction au filtrage ............................................................................................................ 637.1.1 Dfinitions................................. ........................................................... ......................................... 63

7.2 Echelle logarithmique et diagramme de Bode........................................................................ 657.3 Fonctions de transfert de base ............................................................................................... 67

7.3.1 Intgrateur ...................................................... ................................................................ ............... 677.3.2 Drivateur................................................................. ............................................................... ...... 677.3.3 Intgrateur rel ou filtre passe bas du premier ordre .................................................................. .. 687.3.4 Drivateur rel.................................... ........................................................... ............................... 70

7.3.5 Filtre passe-haut du premier ordre................................................................................................. 717.3.6 filtre passe bas du second ordre....................................... .............................................................. 737.3.7 Fonctions de transfert quelconques ........................................................... .................................... 77

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1 RAPPELS DELECTROCINETIQUE

1.1 Introduction

Llectrocintique tudie la circulation des courants lectriques dans les circuits lectriques composs dunensemble dlments appels composants comme les gnrateurs (piles, ), les composants passifs (rsistance,bobine dinduction, condensateur) et les composants passifs (transistor, amplificateur oprationnel, ). Ces

lments sont relis entre eux par des fils conducteurs.

1.2 Matriaux en lectricit

Les lectrons se dplacent dans les solides plus ou moins facilement selon le matriaux. La charge dun lectronest gale 1,6.10-19Coulomb. On distingue 3 types de matriaux :

Les conducteurs : matriaux dans lesquels un champ trs faible suffit fournir une nergie permettant

le dplacement des lectrons libres (porteurs de charges arrachs chaque atome). On a un deuxlectrons libres en moyenne par atome. La concentration en lectrons dpend du matriau ; parexemple pour le cuivre, on a 10

28lectrons par m

3.

Les isolants : pas dlectron libre. La qualit de lisolant dpend de la puret du matriau

Les semi-conducteurs : la concentration en lectrons dpend du matriau et de la temprature. Leslectrons sont disposs dans des bandes permises spares par des bandes dites interdites. Une certaine

quantit dnergie permet de faire passer des lectrons dune bande permise pleine (bande de valence)vers la bande vide (bande de conduction) gnrant ainsi des trous lectriquement quivalents des

charges positives dans la bande de valence. Les semi-conducteurs sont utiliss dans la plupart descircuits actifs.

1.3 Champ lectrique et diffrence de potentiel

Si on applique une diffrence de potentiel BAAB VVV = entre deux points A et B, les charges se dplacent

cause du champ lectrique Er

. Le champ est dirig vers les potentiels dcroissants (potentiel lev vers potentielfaible). On a la relation :

==B

A

BAAB rdEVVV r

r

Les diffrences de potentiel sexprime en volt et le champ lectrique Er

sexprime en volt par mtre.

1.4 Courant lectrique

Le dbit de charge ou courant lectrique est donn par la relation :

dt

dqI=

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I sexprime en ampre.

Les lois du courant lectrique ont t tudie par Ampre ( 1755-1836) au dbut du 19ime

sicle.Par convention le sens du courant est le sens contraire du dplacement des lectrons.

1.5 Lois fondamentales

Un rseau ou circuit lectrique est un ensemble de conducteurs reliant entre eux des lments appelscomposants : rsistance, condensateur, bobine de self-induction, diode, transistor,

Dans un rseau lectrique, on distingue :- le nud : point de raccordement entre au moins deux conducteurs- la branche : portion du rseau compris entre deux nuds- la maille : partie du rseau qui se referme sur elle mme

1.5.1 Loi des mailles

Soit le rseau suivant :

A CB

EF D

VA

VB

VC

VF

VE

VD

VA

-VB

VE

-VF

VF

-VA

VB

-VE

noeuds : A-B-C-D-E-F

mailles :

ABEFAABCDEFA

BCDEB

branches : AB-BC-CD-

DE-BE-EF-FA

M

Soit une charge q se dplaant le long dune maille ; chaque nud de la maille se trouve un potentiel biendfini par rapport un nud dorigine ou de rfrence commune M dont le potentiel est appele masse.

q se dplace le long de la maille ABEFA et subit des variations dnergie potentielle le long du parcours. On a :

0)0()( ==+++ qVVVVVVVVq AFFEEBBA

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car la charge q est revenue au point initial.

BC

DA

V2

EF

V1

V3

V4

V5

V6

Dfinition: La somme des diffrences de potentiel le long dune maille est nulle. Cette loi est baptise loi

des mailles ou premire loi de Kirschhoff.

Mathmatiquement on a : 0=i

iv

1.5.2 Loi des nuds

Le mouvement des charges, crant le courant est soumis aux lois de la physique : conservation de lnergie, de la

quantit de mouvement et de la charge (de la matire).

N

i1

i5

i2

i3i

4

Dfinition: La somme des courants entrant est gale la somme des courants sortant. Cette loi estbaptise loi des nuds ou seconde loi de Kirschhoff.

Mathmatiquement on a : 0=i

ii

On choisit un sens arbitraire de parcours surla maille : par exemple le sens des aiguillesdune montre.Les diffrences de potentiel sont desgrandeurs algbriques et ont des orientations

arbitraires.Par convention, les diffrences de potentiel

iv des flches parcourues dans le mme sens

que le parcours seront comptespositivement .

BA VVv =1

On a ici : 0654321 =++ vvvvvv

On choisit un sens arbitraire pour chaque

courant. Par convention, les courantsii se

dirigeant dans le mme sens que les flchesseront comptes positivement .Soit le nud N un point de raccordement deplusieurs conducteurs traverss par descourants.En un nud, il ne peut y avoir accumulation de

charges.On a donc ici :

32541 iiiii +=++

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1.6 Gnrateurs idaux

1.6.1 Gnrateur de tension idal

Un gnrateur de tension idal dlivre une diffrence de potentiel indpendante du courant quil dlivre.

On reprsente ce gnrateur par les symboles suivants :

ancienne

reprsentation

E

nouvelle

reprsentation

E

Ce gnrateur de tension nexiste pas et en pratique, la diffrence de potentiel en sortie dun gnrateur de

tension dcroit en fonction du courant de sortie.

1.6.2 Gnrateur de courant idal

Un gnrateur de courant idal dlivre un courant indpendamment de la diffrence de potentiel entre sesbornes.On reprsente ce gnrateur par les symboles suivants :

ancienne

reprsentation

nouvelle

reprsentation

I I

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2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES

2.1 Introduction

Les composants utiliss en lectronique prsentent des bornes lectriques ou ples permettant leur connexiondans un rseau. On distingue :

- les diples ( 2 ples) comme les rsistances, les condensateurs, les bobines, les piles, les diodes,

- les quadriples (4 ples) comme par exemple les transformateurs, les filtres.

2.2 Caractristique dun dipole

Soit un dipole travers par un courant lectrique I et dont la diffrence de potentiel entre ses bornes est U. Lacaractristique de ce dipole est la courbe I=f(U). Suivant lallure de cette courbe, on peut distinguer diffrentesfamilles de dipole.

Dipole linaire: la caractristique I=f(U) est une droite dquation I=aU+b. Par exemple, les rsistances et les

gnrateurs de tension et de courant idaux sont des dipoles linaires. Si la caractristique I=f(U) nest pas unedroite le dipole est non linaire

Dipole passif: un diple est passif si son intensit de court-circuit est nulle et si la diffrence de potentiel sesbornes est nulle en circuit ouvert. Dit autrement, pour un dipole passif, on a I=0 si U=0.Les trois circuits passifsprincipaux sont la rsistance, la bobine dinduction et la capacit.

Dans les autres cas, on dit que le dipole est actif.

Exemple :

I

U

(1)

(3)

(2)

2.3 Les diples passifs lmentaires

2.3.1 Rsistance1

1Certains auteurs utilisent la terminologie rsistor pour bien distinguer le nom du diple. Dans ce document,

nous utiliserons le mot rsistance pour dsigner le diple et sa valeur.

Le dipole 1 est linaire et passif (il sagit dunersistance)Le dipole 2 est non linaire et passif (diode)Le dipole 3 est linaire et actif (gnrateur detension non parfait)

Le dipole 4 est linaire et actif (gnrateur de

tension parfait)

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Une rsistance est un diple constitu par un matriau conducteur et caractris par sa rsistance R exprime enohm ( )La rsistance sobtient comme suit :

s

lR =

O est la rsistivit en m , lest la longueur et s est la section du conducteur.

Pratiquement varie entre 810 et m610 .

Il existe galement des rsistances dont la rsistance varie en fonction dun paramtre comme la temprature(thermistance).

2.3.2 Bobine dinduction

La bobine dinduction est un diple constitu dun conducteur mtallique enroul autour dun support

cylindrique. Lorsquun courant traverse celle-ci, elle produit un champ magntique dans lespace environnant

Le coefficient dinduction ou inductance qui sexprime en henry (H) est le suivant :

l

sNL 2=

Nest le nombre de spires.sest la section du conducteur mtallique en m2 et lest la longueur du support

cylindrique.7104 = H/m dans le vide

Une bobine pure nexiste pas. En pratique, elle est toujours en srie avec une petite rsistance.

2.3.3 Condensateur

Le condensateur est form de deux plaques mtalliques spares par un isolant. La rpartition de charge sur une

plaque influe sur la rpartition des charges sur lautre plaque. Le condensateur est caractris par sa capacit Cqui sexprime en farad (F):

e

SC =

S est la surface de larmature du condensateur et e est la distance entre les deux armatures.

est la permittivit en F/m. Elle dpend du milieu et de la permittivit du vide 120 10.84,8 = F/m

Comme 1 farad reprsente une trs grande capacit, on utilise gnralement les sous-multiples comme le F,

nF et pF.

2.4 Lois gnrales des diples passifs

Il existe deux choix pour lorientation du courant i et de la diffrence de potentiel v

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v

iDIPOLE

v

DIPOLEi

Convention rcepteur

Convention gnrateur

Nous allons maintenant rappeler les lois gnrales des 3 types de diples passifs lmentaires : rsistance, bobineet condensateur :

remarques :

Dans une bobine, le courant ne peut pas subir une variation brutale : +=

dt

diimpliquerait une diffrence de

potentiel +=v .De la mme faon, la diffrence de potentiel aux bornes dun condensateur ne peut pas varier brutalement

instantanment : +=dt

dvimpliquerait un courant +=i .

En continu, la bobine est un court-circuit et le condensateur est un circuit ouvert.

v

i i

v v

iR

CL

Riv= dtdiLv= = idtCv 1

GvvR

i ==1

= vdtLi

1

dt

dvCi=

R en ohms () L en henry C en farad

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2.5 Association de diples de mme nature

en srie :

v

i

R

R2R1i

v1 v2

21

21

21

RRR

iRiRRi

vvv

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i

iRR

v

i

i

v1

v2

L2

L

L1

21

21

21

LLL

dt

diL

dt

diL

dt

diL

vvv

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i

iLL

v

i

i

v1 v2

C

C1

C2

21

21

21

111

111

CCC

idtC

idtC

idtC

vvv

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i iCC

11

en parallle :

v

iR

R2

R1

i

v

i1

i2

21

21

21

111

RRR

R

v

R

v

R

v

iii

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i iRR

11

v

i

i

i2

L2

L

L1

v

i1

21

21

21

111

111

LLL

vdtL

vdtL

vdtL

iii

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i iLL

11

v

i

i

i1

i2

C

C1

C2

v

21

21

21

CCC

dt

dvC

dt

dvC

dt

dvC

iii

+=

+=

+=

Gnralisation :

=i

iCC

2.6 Lois des diples en rgime sinusodal

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Aprs avoir rappel les lois gnrales, nous allons nous intresser au rgime sinusodal qui est le rgime defonctionnement le plus souvent utilis en lectronique.

Soit un courant variant en fonction du temps selon la loi sinusodale suivante :

)sin()( 0 += tIti

0I est lamplitude maximum du signal en ampre.

t

0

i(t)

T

sin0I0I

0I

Soit += tt)( la phase du courant fonction linaire en fonction du temps en radian.

est la phase lorigine : )0(= En drivant par rapport au temps on obtient la pulsation w :

dt

d= en radian/seconde

La frquence f est le nombre de priodes par seconde. f sobtient en divisant la pulsation par 2

2

1

2

1=

=

dt

df en seconde-1 ou Hertz

Pour viter des calculs fastidieux lors de ltude des associations de dipoles en srie et en parallle on utilise

deux mthodes pratiques:- le diagramme de Fresnel- la notation complexe

2.7 Diagrammes de Fresnel

Les diagrammes de Fresnel permettent de reprsenter graphiquement i et v par des vecteurs ir

et vr

dans une

base orthonorme.

Supposons pour simplifier que la phase lorigine 0= . On a donc tIti sin)( 0=

Appliquons les lois dohm aux diples rsistance, bobine et condensateur.Cas de la rsistance :

Riv= tVtRIv sinsin 00 == avec 00 RIV =

Les deux vecteurs ir

et vr

sont en phase

00 RIV = 0I

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13

Cas de la bobine :

)sin( 0 tIdt

dL

dt

diLv ==

)2

sin(cos 00

+== tVtLIv avec 00 LIV =

Pour la bobine, le vecteur vr

est en avance de2

sur le vecteur i

r

.

00 LIV =

0I

Cas du condensateur :

ttdIC

idtC

v == sin11

0

)2

sin(cos 00

== tVtC

Iv avec

C

IV 00=

Pour le condensateur, le vecteur vr

est en retard de2

sur le vecteur i

r

.

0I

C

IV 00=

Pour les units, R , L etC

1sont homognes des ohms ().

Lorsque 0 , 0L , la bobine se comporte comme un court-circuit. et C

1, le

condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Lorsque , L , la bobine se comporte comme un circuit ouvert et 01

C

, le

condensateur se comporte comme un court circuit.

Nous allons maintenant nous interesser lassociation de dipoles de nature diffrentes.

Cas de lassociation dune rsistance et dune capacit en srie :

i

vR

vC

CR

tIi sin0=

tRIvR sin0=

)2

sin(cos1 00

=== tC

It

C

Iidt

CvC

)sin(0 +=+= tVvvv CR

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14

0I

Cw

I0

0RI

vr

Rvr

Cvr

le vecteur v

r

est la somme des vecteurs Rvr

et Cvr

est langle entre les vecteurs vr

et ir

On a :

22

2

022

2

02

0

2

0

1

CRI

C

IIRV +=+=

==

RCRC

1arctan

1tan

Cas de lassociation dune rsistance et dune bobine en srie :

i

vR

vL

LR

tIi sin0=

tRIvR sin0=

)2

sin(cos 0000

+=== tILtILdt

diLvL

)sin(0 +=+= tVvvv LR

0I

LI0

0RI

vr

Rvr

Lvr

le vecteur vr

est la somme des vecteurs Lvr

et Cvr

est langle entre les vecteurs vr

et ir

On a :

222

0

2

0

222

0

2

0 LRIILIRV +=+=

==

R

L

R

L

arctantan

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15

2.8 Notation complexe et impdance complexe

Dans le cas du rgime sinusoidal, on utilise les nombres complexes pour simplifier les calculs des diples denature diffrente.Une grandeur sinusoidale (courant ou diffrence de potentiel) est caractris par deux nombres : lamplitude et la

phase += tt)( .Il est donc naturel de reprsenter une grandeur sinusoidale par un nombre complexe lorsque le circuit est linaireet que les oprations effectuer sont aussi linaires.

Dfinition: un circuit est linaire si :

soumis un courant tIti cos)( 01 = , la diffrence de potentiel est )cos()( 01 += tVtv

soumis un courant tIti sin)( 02 = , la diffrence de potentiel est )sin()( 02 += tVtv

alors soumis la combinaison linaire )()( 21 titi + , la diffrence de potentiel est de la forme

)()( 21 tvtv +

i1

i2

v2

v1

21 vv +

21 ii +

Posons 1= et j= . La diffrence de potentiel associe la combinaison linaire

)exp()sin(cos)()()( 0021 tjItjtItjititi =+=+= est la suivante :

)exp()sin()cos()()()( 0021 +=+++=+= tjVtjtVtjvtvtv

Dans le reste de ce document, on se limitera ltude des circuits linaires avec des oprateurs linaires(addition, multiplication par constante, drivation, intgration).

Si le courant est de la forme ))((cos)( 01 titIti == partie relle de )(ti , la diffrence de potentiel

))(()(cos)( 01 tvtVtv =+= partie relle de )(tv .

De mme la diffrence de potentiel )(2 tv associ au courant ))((sin)( 02 titIti == est

))(()(sin)( 02 tvtVtv =+=

On dfinit limpdance complexe Zdun diple comme suit :

i

vZ=

avec )exp(0

tjIi = et )exp(0

+= tjVv

Cas de la rsistance :

Nous avons vu que

Riv= On a :

)exp(0 tjRIv=

Limpdance complexe de la rsistance est donc : RZ=

Cas de la bobine :

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dt

diLv=

calculonsdt

id:

+= )sin()cos(0 t

dt

djt

dt

dI

dt

id

= )cos()sin(0 tjtI +

=

)sin(

1)cos(0 t

jtjI

= ijtjtjI =+ )sin()cos(0

driver revient donc multiplier par j

On a :

)exp(0 tjIjLijLdt

idLv ===

Limpdance complexe de la bobine est donc : jLZ=

Cas du condensateur :

=

idtCv

1

calculons dti :

+= dttIjdttIdti )sin()cos( 00

= )cos()sin( 00 tI

jtI

=

)sin(

1)cos(0 t

jt

jI

= [ ] ij

tjtj

I

1)sin()cos(0 =+

intgrer revient donc diviser par j

On a :

)exp(111

0 tjIjC

ijC

dtiC

v

===

Limpdance complexe du condensateur est donc : jCZ

1=

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Comme dans le paragraphe prcdent sur le diagramme de Fresnel, nous allons maintenant tudier lassociationde dipoles de nature diffrentes en utilisant les impdances complexes.

Cas de lassociation dune rsistance et dune capacit en srie :

i

vR

vC

CR

i sinusoidal => )exp(0 tjIi=

Rv => iRvR=

Cv =>jC

ivC=

iZijC

Rvvv CR .1

=

+=+=

On retrouve le module et largument de )exp( jZZ= :

22

2 1

CRZ += et

RC

1tan =

Cas de lassociation dune rsistance et dune bobine en srie :

i

vR vL

LR

i sinusoidal => )exp(0 tjIi=

Rv => iRvR=

Lv => ijLvL =

[ ] iZijLRvvv LR .=+=+=

On retrouve le module et largument de )exp( jZZ= :

222 LRZ += et RL=tan

On retrouve avec les impdances complexes les mme lois que celles tablies pour lassociation de diples demme nature :

i

v v

i

21 ZZZ +=2Z1Z Z

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18

i

v

i

2Z

1ZZ

21

111

ZZZ+=

v

On a ainsi vu que lutilisation de limpdance complexe permet de remplacer les quations diffrentielles pardes quations algbriques ce qui simplifie grandement ltude de lassociation de circuits de nature diffrente enrgime sinusoidal.

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19

3 PUISSANCE ET ENERGIE

3.1 Dfinitions

Si on applique une diffrence de potentiel BA vvv = entre deux points A et B, les charges se dplaant de Bvers A subissent une variation dnergie potentielle2

Pour une charge lmentaire dq se dplaant de B vers A, le travail ou lnergie potentielle dWsexprime

comme suit :

vdqdW= pendant le temps dt

Le dplacement de la charge lmentaire dq sous leffet du champ lectrique induit par la diffrence de potentiel

entre les points A et B en un temps dtinduit un courantdtdqi= .

Dou lnergie potentielle : vidtdW=

Le travail fourni (cas dun gnrateur) ou reu (cas dun rcepteur) par llment du circuit entre A et B entre lesinstants t1 et t2 est :

vidtW

t

t

=2

1

Wen Joules

Dfinition: la puissance instantane )(tpi fournie ou reue par le dipole entre A et B est la drive de Wpar

rapport au temps.

dt

dWpi =

ip peut donc aussi tre dfinie comme suit :

vipi=

La puissance instantane ip est le produit de la diffrence de potentiel )(tv par le courant )(ti .

Si 0>ip , le diple est gnrateur ; si 0


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20

La puissance moyenne Pest lnergie fournie ou reue sur lintervalle de temps 12 tt

vidttt

dWtt

P

t

t

t

t

=

=

2

1

2

11212

11

Si v et i sont sinusoidaux de priode T, le calcul de la puissance moyennePse fait sur lintervalle de temps T

vidtT

dWT

P

TT

==00

11 Pen watts

Dfinition: la valeur efficace dune fonction priodique )(tx de priode T est :

dttxT

x

T

EFF )(1 2

0

2

=

Si la fonction )(tx est sinusoidale, on a : tXtx sin)( 0=

22)2cos1(1sin1

2

02

0

0

22

0

0

2 XdttXT

tdtXT

x

TT

EFF ===

Do2

0XxEFF=

3.2 Cas particuliers

3.2.1 Energie consomme dans une rsistance

Cas V et Icontinus :

RIV= La puissance moyenne est gale la puissance instantane P:

R

VRIVIVIdt

ttP

t

t

22

12

2

1

1===

=

Lnergie dissipe thermiquement sur lintervalle de temps 12 tt est :

)( 12

2

1

ttVIVIdtW

t

t

==

Cas v et i sinusoidaux :

tIi sin0= et tRItVRiv sinsin 00 ===

==

2

2cos1sin

2

0

22

0

tRItRIpi

Lnergie dissipe Wpendant une priode T est :

dtpW i

T

= 0= dt

t

RI

T

22cos1

2

00

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21

TRI

W2

2

0= et22

00

2

0 IVRIP ==

t

0 T

0I

2

20RI

)(tpi

0RI )(tu

)(ti

En rgime sinusoidal, puisque2

0IIEFF

= et2

0VVEFF

= , on a la relation entre P,EFF

V ,EFF

I

EFFEFFIVP=

3.2.2 Energie dans une bobine


)sin(0 tIi= et

+===

2sin)cos( 000

tILtIL

dt

diLv

)cos()sin(2

0 ttILpi =

dtpW i

t

t

=2

1

= dttIL

dtttIL

t

t

t

t

=2

1

2

1

)2sin(2

)cos()sin(

2

02

0

car cossin22sin =

[ ] [ ])2cos()2cos(4

)2cos(2

1

221

2

0

2

0 2

1

ttLI

tIL

W t

t

==

Calculons lnergie stocke puis restitue par la bobine pendant une priode T

Entre 0 et4

T, laire soutendue par )(tpi est positive ; la bobine stocke de lnergie. Elle se comporte en

rcepteur.

Calculons lnergie stocke pendant cette phase. On a :

[ ]24

.2

.2cos)0cos(4

)2cos(4

)2sin(4

2

0

2

04

0

2

04

0

2

0 LIT

T

LIt

LIdtt

LIW

T

T

stockee =

===

Entre4

Tet

2

T, laire soutendue par )(tpi est ngative ; la bobine restitue de lnergie. Elle se comporte en

gnrateur.

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22

Calculons lnergie restitue pendant cette phase. On a :

[ ]22

.2

.2cos4

.2

.2cos4

)2cos(4

)2sin(4

2

0

2

02

4

2

02

4

2

0 LIT

T

T

T

LIt

LIdtt

LIW

T

T

T

T

restitue =

===

Pendant la dure2T , lnergie dpense par la bobine est nulle. On dit que le diple est purement ractif.

Lnergie stocke (sous forme magntique) pendant4

Test restitue intgralement pendant le quart de priode

suivant.

3.2.3 Energie dans un condensateur


)sin(0 tIi= et

=== 2

sin)cos(1 00 t

Cw

It

Cw

Iidt

Cv

)cos()sin(

2

0 ttC

Ipi

=

dtpW i

t

t

=2

1

= dttC

Idttt

C

I t

t

t

t

=2

1

2

1

)2sin(2

)cos()sin(

2

0

2

0

car cossin22sin =

[ ] [ ] [ ])2cos()2cos(4

)2cos()2cos(4

)2cos(4

122

20

212

20

2

20 2

1

ttC

Itt

C

It

C

IW

t

t

===

Calculons lnergie stocke puis restitue par la bobine pendant une priode T

Entre 0 et4

T, laire soutendue par )(tpi est ngative ; le condensateur restitue de lnergie. Il se comporte en

gnrateur.

t

0 T

0I

2

0RI

)(tpi

)(tu

)(ti

T/2T/4

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23

Calculons lnergie restitue pendant cette phase. On a :

[ ]2

2

0

2

2

04

02

2

04

0

2

0

2)0cos(

4.

2.2cos

4)2cos(

4)2sin(

2

C

IT

TC

It

C

Idtt

C

IW

T

T

stockee =

===

Entre4

Tet

2

T, laire soutendue par )(tpi est ngative ; le condensateur stocke de lnergie. Il se comporte en

rcepteur.

Calculons lnergie stocke pendant cette phase. On a :

[ ]24

2

2

02

4

2

0 )2cos(4

)2sin(2

T

T

T

T

restitue tC

Idtt

C

IW

==

2

2

0

2

2

0

24.2.2cos

2.2.2cos

4

CIT

TT

TCI =

=

Pendant la dure2

T, lnergie dpense par le condensateur est nulle. Comme la bobine, le condensateur est un

diple purement ractif. Lnergie restitue pendant4

Test stocke (sous forme lectrique) intgralement

pendant le quart de priode suivant.

En rsum :

phase Bobine L condensateur

0 4

T La bobine stocke

2

2

0LI(magntique) Le condensateur restitue

2

2

0

2 C

I

4

T

2

T La bobine restitue

2

2

0LI Le condensateur stocke

2

2

0

2 C

I(lectrique)

t

0 T

0I

)(tpi

)(tu

)(ti

T/2T/4

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24

Cas de lassociation dune bobine et dun condensateur :

Lassociation dune bobine et dun condensateur parfait est tel que pendant chaque phase, lnergie stocke dansla bobine est gale lnergie restitue par le condensateur et vice versa.

Cette change implique la relation :

2

2

0LI=

2

2

0

2C

I soit

LC

1= pulsation de rsonance

Lchange dnergie se fait donc au rythme de la pulsation de rsonance. Nous reviendrons sur les circuitsrsonnants dans un prochain chapitre .

3.3 Puissance active, ractive et complexe dans un dipole quelconque

tIi cos0= et )cos(0 += tVv

La puissance active est la puissance moyenne. On a :

vidtT

P

T

=0

1

dtttIV

T

T

+=0

00 )cos()cos(1

dttT

IV T

))cos()2(cos(2

0

00 ++=

Comme

0)2cos(0

=+ dttT

et coscos)cos(00

Tdtdt

TT

==

On obtient :

cos

2

00IVP= en Watt (W)

cos est le facteur de puissance du dipole.

On dfinit galement la puissance ractive Q :

sin2

00IVQ= en VoltAmpre (VA)

Il est noter que la puissance ractive Q est nulle pour une rsistance car on a 0=

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25

Exprimons la puissance active P et la puissance ractiveQ en fonction du courant i et de la diffrence de

potentiel u .

Soit tIi cos0= et )cos(0 += tVv

)exp(0 tjIi= )exp(0*

tjIi =

)exp()exp(0 jtjVv= )exp()exp(0*

jtjVv =

)exp()exp()exp()exp( 0000*

jIVjtjtjIViv ==

)exp()exp()exp()exp( 0000* jIVjtjtjIViv ==

cos2))exp()(exp( 0000**

IVjjIViviv =++=+

Ainsi, on a donc la relation suivante :

( )**4

1ivivP +=

En utilisant le mme raisonnement, on obtient

( )**4

1ivivQ =

La puissance ractive provient des lments ractifs du circuit.

Finalement nous pouvons dfinir la puissance complexe dun circuit par :

( ) *00002

1)exp(

2sincos

2ivj

IVj

IVjQPP ==+=+=

3.4 Force lectromotrice et force contre lectromotrice

3.4.1 Gnrateur et force lectromotrice

Un gnrateur convertit une nergie (mcanique, chimique,lumineuse,) en une nergie lectrique.

Soit vidtdtpdW i == lnergie fournie par le gnrateur au circuit

1dW lnergie dissipe par effet Joule dans le gnrateur

dtRidW 21=

2dW lnergie reue de lextrieur par le gnrateur. En appliquant la loi de conservation de lnergie, on a la

relation suivante :

12 dWdWdW +=

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26

12 dWdWdW = dtRidWvidt2

2=

Divisons lexpression par idt:

Riidt

dWv =2

Soitidt

dWe 2= la force lectromotrice du gnrateur .

On a alors la relation :

Riev =

On dfinit le rendement du gnrateur comme le rapport de lnergie fournie par le gnrateur sur lnergie

reue :

e

Ri

dW

dW

dW

dWdW

dW

dW

reueenergie

fournieenergie

==

=== 112

1

2

12

2

Si les pertes sont faibles ( )eRi


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27

Soitidt

dWe 2= la force contre lectromotrice du gnrateur .

On a alors la relation :

eRiv +=

On dfinit le rendement du rcepteur comme le rapport de lnergie transforme (mcanique, chimique,) sur

lnergie reue par le rcepteur :

Rie

e

dWdW

dW

dW

dW

reueenergie

etransformenergie

+=

+===

21

22

Si les pertes sont faibles ( )eRi


28/78

28

Avec jXRZ += et CCC jXRZ +=

Dterminons la relation entre Zet CZ pour avoir le maximum de puissance transmise.

La puissance active transmise CZ est gale :

( )**4

1ivivP +=

( )***

..4

1iiZiiZ cc += comme iZv c .= et

***

.iZv c=

( ) iiZZ cc **4

1+=

iiR *

2= car RZZ cc 2

*=+

Calculons le courant complexe i et son conjugu*

i

cZZ

ei

+= et

**

**

cZZ

ei

+=

( )( )***

* ..

cc ZZZZ

eeii

++=

( ) ( )22

2

*.

cc XXRR

eii

+++=

do

( ) ( )22

2

2cc

c

XXRR

eRP

+++=

la puissance Pest fonction de R , cR , Xet cX

Pvarie de 0 pour cX allant de + . Ppasse par un maximum pour 0=cdX

dP

=dX

dP ( )( )

( ) ( )( )

222

2

2

2cc

cc

XXRR

XXeR

+++

+

e

Zi

v ZC

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29

0=cdX

dPlorsque cXX =

Pest alors gale :

( )2

2

2c

c

RR

eRP

+=

Dterminons maintenant cR pour avoir la puissance maximale transmise

Cette valeur sobtient lorsque 0=cdR

dP

=cdR

dP ( ) ( )

( )42

2

2

2c

ccc

RR

RRRRRe

+

++

0=cdR

dP ( ) ( ) 022 =++ ccc RRRRR

022 = cRR

cRR=

Ainsi, pour avoir un transfert maximal de puissance, il faut*

ZZc =

Conclusion : une charge est adapte un gnrateur dimpdance interne complexe Zlorsque son impdance

complexe cZ est gale limpdance interne conjugue du gnrateur.

Pour cette galit, on a

cR

eP

8

2

=

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30

4 METHODES DANALYSE DES RESEAUX

4.1 Introduction

Lanalyse des rseaux en rgime tabli ou permanent repose sur les lois introduites dans les chapitresprcdents :

- la loi des mailles : la somme des diffrences de potentiel le long dune maille est nulle :

0=i

iv

exemple :

BC

DA

V2

EF

V1

V3

V4

V5

V6

- loi des nuds : la somme des courants entrant est gale la somme des courants sortant

0=i

ii

exemple :

N

i1

i5

i2

i3i

4

- loi des diples passifs

iZv=

- loi dassociation de diple en parallle et en srie

0654321 =++ vvvvvv

32541 iiiii +=++

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31

i

v v

i

21 ZZZ +=2Z1Z Z

i

v

i

2Z

1ZZ

21

111ZZZ

+=

v

4.2 Mthode des courants des mailles

Cette mthode est base sur la loi des mailles.

1 on recherche le nombre de mailles indpendantes. On a la relation suivante :

)1( = NBM

avec M le nombre de mailles indpendantes, B le nombre de branches et N le nombre de nuds du rseau.

2 on attribue chaque maille un courant de maille et un sens de parcours3 on crit pour chaque maille lquation de maille dont les inconnus sont les courants en utilisant la loi desmailles

4 on rsout le systme dquations5 on calcule les courants circulant dans chaque branche partir des courants de maille

6 on en dduit la diffrence de potentiel entre deux nuds en utilisant les lois des diples

exemple : soit le rseau suivant :

1 nuds A, B, C . N=3branches (e1,z1), (z2), (z3), (z4), (e2,z5) B=5

dou M=B-(N-1)=5-(3-1)=3 mailles indpendantes :

maille m1 : compose de e1,z1 et z3maille m2 : compose de z2,z4 et z3maille m

3: compose de e

2,z

4et z

5

2 on attribue chaque maille un courant de maille et un sens de parcours

i1

e1

z1

z2

z3 z

4

z5

e2

i3

i2

i4

i5

A B

C

m1

m2

m3

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32

im1 = i1im2 = i2im3 = i5

Ainsi, chaque courant peut sexprimer partir des 3 courants de maille :i1 = im1

i2 = im2i3 = i1 - i2= im1 -im2i4 = i2 - i5= im2 -im3i5 = im3

3 quations des mailles :

e1 - z1i1- z3i3 = 0-z2i2-z4i4+ z3i3 = 0

-e2 + z4i4- z5i5 = 0

On remplace les courants i par les courants de mailles im. On obtient finalement les quationssuivantes :

e1( z1+ z3) im1- z3im2 = 0

z3im3 (z2 + z3+ z4)im2 +z4im3 = 0-e2 + z4im2- (z4 + z5)im3 = 0

Il faut noter quun signe moins signifie que le courant circule en sens inverse de celui de la figure. Comme nousavons un systme trois quations et trois inconnus, il est possible de le rsoudre en utilisant la mthode de

substitution ou la rgle de Kramer (approche matricielle).

Cette technique prsente lavantage de dterminer tous les courants dans lensemble des branches. Les calculspour un rseau compliqu sont cependant lourds.

4.3 Thorme de Millman

Le thorme snonce comme suit : le potentiel en un nud quelconque dun rseau est gal au rapport des deuxtermes suivants :

- au numrateur, la somme des produits des potentiels des nuds adjacents par les inductances reliantces nuds au nud considr

- au dnominateur, la somme de toutes les admittances connectes au nud considr.

=

i

i

i

ii

NY

Yv

v

remarque : si un gnrateur de courant est connect sur le nud, il doit bien entendu tre pris en compte.

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33

Exemple :

4.4 Thorme de superposition

Ce thorme rsulte des proprits des circuits linaires vus prcdemment.

Thorme: si un circuit est soumis plusieurs sources dexcitation, la rponse de ce circuit est gale la sommealgbrique des rponses chacune des sources dexcitation prise sparment.

Ce thorme est une consquence directe de la loi des

nuds de Kirchhoff : 0=i

ii

A

ANA

Z

vvi

=

B

BNB

Z

vvi

=

C

CNC

Z

vvi

=

D

DND

Z

vvi

=

0=+++ DCBA iiii

on a donc la relation suivante :

0=

+

+

+

D

DN

C

CN

B

BN

A

AN

Z

vv

Z

vv

Z

vv

Z

vv

en posant

I

IZ

Y1

= , on obtient :

DDCCBBAADCBAN YvYvYvYvYYYYv +++=+++ )(

DCBA

DDCCBBAAN

YYYYYvYvYvYvv

+++

+++=

zA z

B

vD

iA i

B

A B

N

zD z

C

iC

D

iD

C

vC

vB

vA

04321 =+++ iiii

et ii =4

on a la relation suivante :

0)()( 31221121 =++ iYvYvvYvv

et donc

321

2121

)(

YYY

iYYvv

++

++=

Le courant i du gnrateur de courant est compt

positivement si il se dirige vers le noeud

i4

z1

z2

z3

i1

v1

i3

i2

v2

i

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34

Exemple : soit le rseau suivant

Nous allons dcomposer ce rseau en autant de sous-rseau quil y a de gnrateurs. Dans cet exemple il y a

deux gnrateurs. Pour chaque sous-rseau, on ne garde quun seul gnrateur ; les autres gnrateurs sontremplacs par des court-circuits si ce sont des gnrateurs de tension ou par des circuits ouverts si ce sont desgnrateurs de courant.

En appliquant le thorme de superposition on obtient :

2121

122121

RRRRRR

ReReiii

++

+=+=

Application numrique : e1=10V, e2=-20V, R=5 , R1=4 , R2=6 .

Ai 81.01= , Ai 08.11 =

Aiii 27.021 =+=

remarque : dans ce cas simple, lutilisation du thorme de Millman aurait fourni directement ce rsultat.

Dans ce premier sous-rseau nous avonsremplac e2par un court-circuit.

2

21

2

2

1

RR

RRR

RR

RR

evAB

++

+=

2121

21

2

21

2

2

11RRRRRR

Re

RR

RRR

RR

R

eR

vi AB

++=

++

+==

Dans le second sous-rseau nous avonsremplac e1par un court-circuit.

1

12

1

1

2

RR

RRR

RR

RR

evAB

++

+=

2112

12

1

12

1

1

22RRRRRR

Re

RR

RRR

RR

R

eR

vi AB

++=

++

+==

R1

Re1

i

R2

e2

A

B

R1

Re1

i1

R2A

B

R1

R

i2

R2

e2

A

B

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36/78

36

T

NZ

Y1

=

4.6 Thorme de Kennely

Ce thorme permet de transformer pour un circuit triple un montage en toile en un montage en triangle.

Montage toile Montage triangle

Cette transformation aussi utile dans ltude des quadripoles comme les filtres en T et en

Thormes :

Transformation triangle toile

231312

12131

ZZZ

ZZZ

++=

Transformation toile triangle

321

21

12

121

YYYYY

ZY

++==

Dmonstration du thorme de Kennely triangle vers toile :

Appliquons la rgle dassociation des diples en srie et en parallle aprs avoir dbranch le pole 2 du circuitextrieur. On obtient la relation :

231312

23121331

)(

ZZZ

ZZZZZ

++

+=+ (1)

En dbranchant le pole 3 du circuit extrieur, on obtient :

z1 z

2

1 2

Nv

13

3

v23

v12

z3

z13

z12

1 2

v13

3

v23

v12

z23

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37

231312

23131221

)(

ZZZ

ZZZZZ

++

+=+ (2)

En dbranchant le pole 1 du circuit extrieur, on obtient :

231312

121323

32

)(

ZZZ

ZZZ

ZZ ++

+=+ (3)

En sommant les quations (1), (2) et (3), on obtient :

231312

231323121312321

)(2)(2

ZZZ

ZZZZZZZZZ

++

++=++

231312

231323121312321

ZZZ

ZZZZZZZZZ

++

++=++ (4)

En calculant (4)-(3) on a :

231312

12131

ZZZ

ZZZ++

=


231312

23122

ZZZ

ZZZ

++=


231312

23133

ZZZ

ZZZ

++=

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38

5 FACTEUR DE QUALITE ET CIRCUIT RESONNANT

5.1 Oscillations libres dans un circuit LC

Soit le circuit compos dune bobine et dun condensateur parfait :

L

i 2 1

C

V0

v

Considrons que linterrupteur est dans la position 1 et que le condensateur est compltement charg

2

0sin2

1CVW eemmaga =

A linstant t=0, on commute linterrupteur dans la position 2

On a la relation suivante :

dt

dvCvdt

Li ==

1

01

2

2

=+ vLCdt

vd

Une solution cette quation est de la forme

)cos( += tVv

LC

1= est la pulsation propre du circuit LC

A linstant t=0, on a 0)0( Vtv ==

et 0)0( ==

ti

)sin( +== tVCdt

dvCi

00)0( === ti

00)0( VVVtv === Ainsi, on a donc les expressions suivantes :

)cos(0 tVv= et )sin(0 tVCi =

Comme dans le cas du circuit LC srie, le circuit LC parallle parfait entretient donc les oscillations sansamortissement.

En pratique, les bobines rels contiennent une faible rsistance en srie et les oscillations sont amorties causedes pertes par effet Joules.

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39

5.2 Facteur de qualit dun circuit

5.2.1 Dfinition

En pratique, les bobines rels contiennent une faible rsistance en srie (rsistance du fil bobin)

Les condensateurs rels possde galement une rsistance parallle de forte valeur qui caractrise les pertes

dilectriques (courants de fuites)

Plus faibles seront les pertes meilleur sera llment.

On dfinit le facteur de qualit dun lment Q comme suit :

periodepardissipeenergie

emmagasinemaximaleenergie2=Q

Le facteur de qualit est sans unit. Lnergie est emmagasine dans les lments ractifs (bobine oucondensateur) et lnergie est dissipe par effet Joule (rsistance).

5.2.2 Facteur de qualit dun lment ractif rel

Cas de la bobine relle :Une bobine relle est compose dune bobine pure en srie avec une rsistance de faible valeur.

soit le courant )cos()( 0 tIti = circulant dans ce circuit.

L

i r

v

C

i

R

v

L

i r

v

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40

Nous avons vu dans le chapitre Puissance et Energie que la quantit maximale dnergie que peutemmagasiner une bobine est :

2

2

0LIWL =

Lnergie dissipe dans la rsistance par effet Joules pendant une priode T ( avec T/2= ) est gale :

TrIWD2

02

1=

On a donc :

r

L

rT

L

TrI

LI

W

WQ

D

LL

====

22.

222

2

0

2

0

Plus la rsistance rest petite, plus le facteur de qualit LQ de la bobine relle est grand.

Cas du condensateur rel :Un condensateur rel est compose dun condensateur parfait en parallle avec une rsistance de forte valeur.

soit la diffrence de potentiel )cos()( 0 tVtv = aux bornes de ce circuit.

Nous avons vu dans le chapitre Puissance et Energie que la quantit maximale dnergie que peutemmagasiner un condensateur est :

2

2

0

2 C

IWC=

Comme on aC

IV 00= , lnergie CW peut aussi scrire :

2

2

0CVWC=

Lnergie dissipe dans la rsistance par effet Joules pendant une priode T ( avec T/2= ) est gale :

TR

VTRIWD

2

02

02

1

2

1==

On a donc :

RCT

CR

TV

RCV

W

WQ

D

C

C

====22

.2

222

0

2

0

C

i

R

v

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41

Plus la rsistanceRest grande, plus le facteur de qualit CQ du condensateur rel est grand.

La notion de facteur de qualit peut tre tendue tout type de circuit associant une rsistance et une bobine ouun condensateur

5.2.3 Gnralisation du facteur de qualit

Soit un circuit srie dont limpdance est de la forme ss jXRZ +=

Rs jXs

Le facteur de qualit de ce circuit est :

s

s

R

XQ=

Soit un circuit parallle dont ladmittance est de la forme

PP jXRY

11+=

Rp

j Xp

le facteur de qualit de cette impdance est :

P

P

X

RQ=

On peut vrifier que les expressions obtenues prcdemment se dduisent directement de ces deux formulesgnrales.

Exemple : association dune bobine dinductance L et dune rsistance R en srie

On a : RRs

= et LXs

= , le facteur de qualit est gal R

L

R

XQ

s

s ==

5.3 Le circuit rsonnant srie

Soit lassociation en srie dune bobine dun condensateur et dune rsistance :

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42

L

v(t)

C

vR

R

vL vC

i(t)

Le gnrateur v(t) impose la pulsation du circuit.

Limpdance complexe est la suivante :

Son module est gal :

2

0

0

201

+=

QRZ

Sa phase est la suivante :

=

0

0

0arctan)arg( QZ

A la pulsation de rsonance 0 , le courant est maximum et donc le module de limpdance complexe est le

plus faible possible. Cette pulsation sobtient pour

LCLC

CL

110

100

0

0 ===

On a alors, RZ= .i et v sont donc en phase.

Nous avons vu que le facteur de qualit dune bobine en srie avec une rsistance R est gal R

LQ 00

=

C

L

RRCR

LQ

11

0

00 ===

Cherchons exprimer Zen fonction de R,, 0 et 0Q :

+=

+=

CL

RjR

CLjRZ

111

1

+=

2

0

0

0

01LCR

LjR

+=

0

0

01 jQRZ car0

0

1

LC=

+=++==

CLjR

jCjLR

i

vZ

11

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43

2)arg(,0

+ ZZ

0)arg(,0 === ZRZ

2

)arg(,

+++ ZZ

|Z|

R

0

2

0

1

0 QQ >

1

0Q2

0Q

0

)arg(Z

2

2

+

0

Ltude dun tel circuit est intressante lorsque la pulsation est proche de la pulsation de la rsonnance 0

+= 0 (avec trs petit devant 0 )

Calculons alors le terme

0

0

0

2

0

2

0

0

= =

00

00 .2))(( +

On a donc

+=

0

0

21

jQRZ lorsque proche de 0

0

est le dsaccord relatif (cart de pulsation par rapport la pulsation 0 )

2

0

0

2

01

+=

QRZ

=

0

0

0arctan)arg( QZ

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44

Si le facteur de qualitR

LQ 00

= est trs lev ( cest dire 0LR


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45

0

0 +0

0P

2

0P

P

est appele bande passante ou largeur de bande 3 dB. Cest lintervalle de pulsation pour lequel la

puissance est suprieure P0/2.

Phnomne de surtension :

Lorsque 0= , les diffrences de potentiel aux bornes de la bobine et du condensateur peuvent tre trsgrandes :

0= on a RZ=

et donc )exp()( 00 tj

R

V

Z

vti ==

)exp( 00

00 tj

R

VjLijLvL == = vjQtjVjQ 0000 )exp( =

vjQtjQjVtjjRC

V

jC

ivC 00000

0

0

0

)exp()exp( ====

viRvR ==

On a bien : CLR vvvv ++=

Lv et Cv sont de mme amplitude 00QV et en opposition de phase la pulsation de rsonnance. Si le facteur de

qualit est grand, lamplitude 00QV peut aussi tre leve dou risque de claquage du condensateur !

Application numrique :

= 5R , L=1mH et C=1nF. 100=V V

On a srdLC

/101 6

0 ==

kHzf 1592

00 ==

===

0

0

0

1

RCR

LQ 200

1=

C

L

R

== 00

001

2Q

+=+=0

0

0

022Q

20

012 ===

Q

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46

srdQ

/50000

0 ==

Hzf 7952

=

=

00VQVV Lc == =2000V !!

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47

6 LES QUADRIPOLES

6.1 Dfinitions

Dune manire gnrale, un quadriple est dcrit comme suit :

On a :

Cependant, le terme quadriple est plutt utilis pour un circuit dont les bornes sont groupes par paire.Alors le courant entrant dans le ple dune paire ressort par lautre ple de la mme paire.

Nous avons le schma quivalent suivant :

6.2 Description matricielle du quadriple

Pour relier les 4 paramtres du quadriple ( les deux courants et les deux diffrences de potentiel), il existent 4reprsentations matricielles diffrentes:

- matrices impdances- matrices admittances- matrices hybrides

- matrices de transfert

6.2.1 Matrices impdances

2 quations sont suffisantes pour dcrire le quadripleOn a :

vAB

A i

A

iB

iC

iD

B

vCD

c

D

vCA

vBD

v1

i1

i1 i2

v2

i2

0=+++ DCBA iiii

0=++ BDCDCAAB vvvv

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48

),( 211 iifv =

),( 212 iigv =

Les deux quations sont :

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv +=

Lunit des impdances ijZ sont les ohms )( . Lindice i est relatif la tension et indice j est relatif au

courant.

Sous forme matricielle nous avons :

=

2

1

2221

1211

2

1 .ii

ZZZZ

vv

Z.iv=

v est le vecteur colonne des tensions et i est le vecteur colonne des courants.

Z est la matrice impdance de dimension 2x2

Dfinition 1 : un quadripole est dit rciproque si les termes de la seconde diagonale sont gaux : 2112 ZZ = .Cette proprit est caractristique des quadriples rciproques composs dlments passifs (sans gnrateur decourant et de tension).

Dfinition 2 :

Si de plus, les termes de la premire diagonale sont gaux : 2211 ZZ = , on dit que le quadripole est symtrique.

Exemple 1: quadriple en T

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1+i

2

Z1

Z2

Z3

Nous avons les deux relations suivantes en appliquant la loi des mailles :

)( 213111 iiZiZv ++= = 23131 )( iZiZZ ++

)( 213222 iiZiZv ++= = 23213 )( iZZiZ ++

Ainsi, on a :

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49

+

+=

323

331

ZZZ

ZZZZ

Ce quadripole est rciproque. Il est symtrique la condition que 12 ZZ =

Nous allons maintenant nous interesser linterprtation physique de chacun des diffrents coefficients de lamatrice impdance.

021

111

=

=

ii

vZ

11Z est limpdance vue de lentre en laissant la sortie du quadripole en circuit ouvert ( 02=i )

012

222

=

=

iivZ

22Z est limpdance vue de la sortie en laissant lentre du quadriple en circuit ouvert ( 01=i )

012

112

=

=

ii

vZ

12Z est limpdance de transfert inverse ou transimpdance inverse obtenue avec lentre du quadriple en

circuit ouvert ( 01=i )

021

221

=

=

ii

vZ

21Z est limpdance de transfert directe ou transimpdance obtenue avec la sortie du quadriple en circuit

ouvert ( 02=i )

Ces dfinitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci.

Exemple 1: (suite) quadriple en T

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1+i

2

Z1

Z2

Z3

cas 02=i

31

2

1

111

0

ZZ

ii

vZ +=

=

=

3

2

1

221

0

Z

ii

vZ =

=

=

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50

v1

i1

i1

i1

Z1

Z3 v

2

cas 0=ii

v1

i2

v2

i2

i2

Z2

Z3

Nous retrouvons les rsultats calculs prcdemment.

Exemple 2: quadriple en pi

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv +=

Comme dans lexemple prcdent, nous allons considrer successivement les cas 02=i et 01=i .

cas 02=i

v1

i1

i1

v2

i1-i

Z1

Z2

Z3i

i

i

3

1

2

112

0

Z

ii

vZ =

=

=

32

1

2

222

0

ZZ

ii

vZ +=

=

=

)(//

0

321

2

1

1

11 ZZZ

ii

vZ +=

=

=

=

321

321 )(

ZZZ

ZZZ

++

+

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1-i

Z1

Z2

Z3i

i

i2+i

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51

021

221

=

=

ii

vZ

Pour dterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et 1i .On a :

iZZiiZv )()( 23111 +==

Soit

1

1231

Z

ZZZ

i

i ++=

Dou

123

12

2

1

2

2

1

221

00ZZZ

ZZ

ii

i

i

v

ii

vZ

++=

=

=

=

=

cas 01=i

v1

i2

v2

i2

Z1

Z2

Z3i

i

i2+i

321

312312

1

2

222

)()(//

0ZZZ

ZZZZZZ

ii

vZ

++

+=+=

=

=

012

112

=

=

i

i

vZ

Pour dterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et2i .

On a :

iZZiiZv )()( 13222 +=+=

Soit

2

1232

Z

ZZZ

i

i ++=

Dou

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52

123

12

1

2

1

1

2

112

00ZZZ

ZZ

ii

i

i

v

ii

vZ

++=

=

=

=

=

En rsum, nous avons :

++

+

++

++++

+

=

321

312

321

21

321

21

321

321

)(

)(

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

Z

Le quadripole est donc rciproque. Il est symtrique si

)()( 312321 ZZZZZZ +=+

21 ZZ =

6.2.2 Matrices admittances

On utilisent les deux quations suivantes pour dcrire le quadriple :

2121111 vYvYi +=

2221212 vYvYi +=

Lunit des admittances ijY sont les ohms-1 )( 1 . Lindice i est relatif au courant et indice j est relatif la

tension.


=

2

1

2221

1211

2

1.

v

v

YY

YY

i

i

Y.vi=

i est le vecteur colonne des courants et v est le vecteur colonne des tensions.

Y est la matrice admittance de dimension 2x2

On a la relation suivante entre Y , la matrice admittance et Z , la matrice impdance dun quadriple.

IZ.YZ.Y.vZ.iv ===

o I est la matrice identit.Ainsi, nous avons :

1= ZY La matrice Y est linverse de la matrice Z . Le passage de lune lautre implique dinverser la matrice (voircours de mathmatiques sur les matrices).

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53

On a les relations entre les lments de la matrice admittance Y et la matrice impdance Z :

[ ] .2221

1211

= ZZ

ZZZ

=

=

21122211

11

21122211

21

21122211

12

21122211

22

2221

1211 .

ZZZZ

Z

ZZZZ

ZZZZZ

Z

ZZZZ

Z

YYYYY

Nous allons maintenant nous interesser linterprtation physique de chacun des diffrents coefficients de lamatrice admittance.

021

111

=

=

vv

iY

11Y est ladmittance vue de lentre lorsque la sortie du quadriple est en court-circuit ( 02=v )

012

222

=

=

vv

iY

22Y est ladmittance vue de la sortie lorsque lentre du quadriple est en court-circuit ( 01=v )

012

112

=

=

vv

iY

12Y est ladmittance de transfert inverse obtenue avec lentre du quadriple en court-circuit ( 01=v )

021

221

=

=

vv

iY

21Y est ladmittance de transfert directe obtenue avec la sortie du quadriple en court-circuit ( 02=v )

Ces dfinitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci.

Exemple 2: (suite) quadriple en pi

Les quations associes la matrice admittance sont les suivantes :

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1-i

Z1

Z2

Z3i

i

i2+i

Soit

1

1

1

ZY = ,

2

2

1

ZY = et

3

3

1

ZY = ,

Soit i le courant circulant dans ladmittance 3Y .

On a )( 213 vvYi =

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54

23131111 )( vYvYYivYi +=+=

23213222 )( vYYvYivYi ++==

Do les lments de la matrice admittance suivants :

3111 YYY += 32112 YYY == et 3222 YYY +=

Ces lments de la matrice admittance peuvent tre vrifis en utilisant les relations entre les lments de la

matrice admittance Y et ceux de la matrice impdance Z calculs au paragraphe prcdent.

6.2.3 Matrices hybrides

On utilisent les deux quations suivantes pour dcrire le quadriple :

2121111 vhihv +=

2221212 vhihi +=


=

2

1

2221

1211

2

1.

v

i

hh

hh

i

v

=

2

1

2

1

. v

i

i

v

H

Hest la matrice hybride de dimension 2x2

Les matrices hybrides sont utilises en particulier dans ltude des transistors.

Nous avons :

021

111

=

=

vi

vh

11h est limpdance dentre lorsque la sortie du quadriple est en court-circuit ( 02=v )

012

112

=

=

iv

vh

12h est le gain en tension inverse lorsque lentre du quadriple est ouverte ( 01=i )

021

221

==

vi

ih

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56/78

56

6.3.1 Reprsentation matricielle impdance

v1

i1

v2

i2

Z11

Z12

i2 Z21i1

Z22

6.3.2 Reprsentation matricielle admittance

v1

i1

v2

i2

Y11

Y12

v2

Y21

v1

Y22

6.3.3 Reprsentation matricielle hybride

v1

i1

v2

i2

h11

h12

v2

h21

i1

h22

6.4 Association de quadriples

Suivant lassociation de quadriples, nous choisirons la matrice la plus approprie.

6.4.1 Association srie

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv +=

2121111 vYvYi +=

2221212 vYvYi +=

2121111 vhihv +=

2221212 vhihi +=

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57

v1

i'1

i'2

i''2

v2

i''1

i2

i2

i1

i1

i''1

Quadripole Q'

Quadripole Q''

i''2

v'2v'1

v''1

v''2

On a les relations suivantes :

111 "' vvv += et 222 "' vvv +=

+=

+=

2221212

2121111

'''''

'''''

iZiZv

iZiZv

+=

+=

2221212

2121111

"""""

"""""

iZiZv

iZiZv

Comme 111 "' iii == et 222 "' iii == nous pouvons crire les relations suivantes pour le quadripolequivalent :

+++=+=

+++=+=

22222121212221212

21212111112121111

)"'()"'()"'()"'(

iZZiZZiZiZviZZiZZiZiZv

Ainsi sous forme matricielle, la matrice impdance du quadripole quivalent est gal la somme des matricesimpdances :

[ ] [ ] [ ]"' ZZZ += On ajoute terme terme les lments de mme indice.

6.4.2 Association parallle

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58

v1

i'1

i'2

i''2

v2

i''1

i2

i1

i1

i''1

Quadripole Q'

Quadripole Q''

i''2

v'2v'1

v''1

v''2

i2

On a les relations suivantes :

111 "' iii += et 222 "' iii +=

+=

+=

2221212

2121111

'''''

'''''

vYvYi

vYvYi

+=

+=

2221212

2121111

"""""

"""""

vYvYi

vYvYi

Comme 111 "' vvv == et 222 "' vvv == nous pouvons crire les relations suivantes pour le quadripolequivalent :

+++=+=

+++=+=

22222121212221212

21212111112121111

)"'()"'(

)"'()"'(

vYYvYYvYvYi

vYYvYYvYvYi

Ainsi sous forme matricielle, la matrice admittance du quadripole quivalent est gal la somme des matricesadmittances :

[ ] [ ] [ ]"' YYY += On ajoute terme terme les lments de mme indice.

6.4.3 Association en cascade

v1

i'1

i'2

i''2

v2

i''1

i1

i1

i2

Quadripole Q' Quadripole Q''

i''2

v'2v'1 v''1

v''2

i'2

i''1

v2

i2

Nous allons chercher dterminer la matrice de transfert du quadriple rsultant de cette association.

Chaque quadriple est dfini par sa matrice de transfert :

Quadripole Q :

= ''

'''

DC

BAT Quadripole Q :

= ""

"""

DC

BAT

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59

Dans cette association, nous avons les relations suivantes entre les courants et entre les diffrences de potentiel :

11 'ii =

21 '" ii =

22" ii =

11

'vv =

12 "' vv =

22" vv =

On a donc les relations suivantes pour le premier quadriple :

112211 "'"'''''' iBvAiBvAvv +===

112211 "'"'''''' iDvCiDvCii +===

Pour le second quadripole, nous avons :

222212 """""""' iBvAiBvAvv ===

222212 """""""' iDvCiDvCii ===

Do :

)""""(')""""(' 22221 iDvCBiBvAAv +=

)""""(')""""(' 22221 iDvCDiBvACi +=

Ainsi on en dduit les relations entre 211 ,, viv et 2i :

221 )"'"'()"'"'( iDBBAvCBAAv ++=

221 )"'"'()"'"'( iDDBCvCDACi ++=

++++=

"'"'"'"'

"'"'"'"'

DDBCCDAC

DBBACBAAT

La matrice Tdu quadripole Q obtenu par la mise en cascade de deux quadripoles Q et Q est gale au produitmatriciel des matrices T et T :

[ ] [ ][ ]".' TTT =

Toutes ces associations de quadripoles se gnralisent un nombre nde quadripoles.

6.5 Fonctions de transfert dun quadriple

v1

i1

v2

i2

Z

gnrateur

e

ZL

ZC

charge

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60

En utilisant la matrice impdance, on a les relations suivantes :

2121111 iZiZv += equation (1)

2221212 iZiZv += equation (2)

11 viZe L += equation (3)

22 iZv C= equation (4)

Les grandeurs intressantes sont :

1

2

v

vTv = gain en tension du quadripole. Ce gain est sans dimension (rel ou complexe)

CT est toujours infrieur 1 pour un quadripole passif.

1

2

i

iTi = gain en courant

1

1

i

vZE= impdance dentre

2

2

i

vZS= impdance de sortie

Gain en courant

1

2

i

iTi =

En combinant les quations (2) et (4), on obtient : 2221212 iZiZiZC += Do :

22

21

1

2

ZZ

Z

i

iT

C

i+

== equation (5)

On peut observer que le gain en courant dpend de la charge CZ

Gain en tension

1

2

v

vTv =

On va exprimer 1v en fonction de 2v partir des quations (1),(4) et (5).

(4) =>

CZ

vi 22 =

(5) => 221

221 i

ZZZi C+= =

21

22

ZZZC+

CZv2

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(1) =>

C

C

Z

v

Z

ZZZv 2

21

22111

+= 2

12 vZ

Z

C

= [ ]2112221121

2 )( ZZZZZZZ

vC

C

+

En posant 21122211 ZZZZZ = ( Z est le dterminant de la matrice impdance Z)

On obtient finalement :

ZZZ

ZZ

v

vT

C

Cv

+==

11

21

1

2

Impdance dentre

1

1

i

vZ

E= cest limpdance vue de lentre du quadripole

(1) => 122

21121111 i

ZZ

ZZiZv

C+= = 1

22

21122211 )( iZZ

ZZZZZ

C

C

+

+

22

11

1

1

ZZ

ZZZ

i

vZ

C

CE

+

+==

Impdance de sortie

2

2

i

vZS=

Cest limpdance vue de la sortie du quadripole obtenue en annulant le gnrateur lentre du quadripole.

Pour dterminer cette impdance, il convient dannuler le gnrateur

(1) et (3) => 21211111 iZiZiZv L +==

2

11

121 i

ZZ

Zi

L+=

(2) => 211

2222111221222

11

212212221212 i

ZZ

ZZZZZZiZ

ZZ

iZZiZiZv

L

L

L

+

++=+

+=+=

L

L

S ZZ

ZZZ

i

v

Z +

+

== 11

22

2

2

v1

i1

v2

i2

ZZL

ZS

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7 FILTRAGE, DIAGRAMMES DE BODE

7.1 Introduction au filtrage

En rgime sinusodal permanent nous avons vu que les impdances des bobines et des condensateurs dpendentde la frquence. Par consquence, les coefficients des diffrentes matrices de dfinition des quadripoles (matrice

impdance Z , admittance Y , hybride H ou de transfert T ), les fonctions de transfert ( VT et IT ) et les

impdances dentre EZ et de sortie SZ sont aussi dpendantes de la frquence.Nous allons utiliser cette dpendance pour construire des filtres.

7.1.1 Dfinitions

Un filtre est un quadriple transmettant un signal sans attnuation ou avec une attnuation de valeur donne dans

une bande de frquence dtermine.

Courbe de rponse en frquence du module de la fonction de transfert

1

2

v

vV=T dun quadriple :

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2

OT

Les frquences de coupure 1Cf et 2Cf correspondent aux frquences pour lesquelles le module de la fonction

de transfert2

0TT =V

Il existe diffrentes catgories de filtres selon lallure de leur courbe de rponse en frquence :

- le filtre passe bas

f

VT

OT

Cf

2

OT

CR

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La pente de la courbe de rponse dpend de lordre du filtre.

La bande passante est gale Cf

- le filtre passe haut

f

VT

OT

Cf

2

OT

CR

- le filtre passe-bande

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2

OT

La bande passante est gale 12 CC ff

- le filtre coupe-bande

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2

OT

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7.2 Echelle logarithmique et diagramme de Bode

Ltude des filtres portent sur la fonction de transfert complexe VT qui peut se mettre sous la formesuivante :

)exp(jVV TT=

Le module VT et la phase de la fonction de transfert VT sont fonction de la pulsation f 2= On a :

1

2)(v

vV =T

et

)arg()arg()( 12 vv =

Au lieu d

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