Embed Size (px)
Citation preview
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 1/28
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 2/28
! " #
$
%
% $
% "
! " & ! ! !
& ' ( !
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 3/28
#
$
%
&
'
( )
#
$
%
&
'
(
)*
#*
%
*&
*'
*$
+'
+#
+$
+&
+%
#
'
(
$
%
&
)
,
,!
-
.
#
'
(
$
%
&
) -
.
!
.!
-!
!
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 4/28
"
) /01 ) /12 1
# ! 3
!
" # $ %
% &
'
' (% (% (% ()% (* +,
- . /% 0% 1 ( 2 3'% &% 45 '% &%
4% ( 6 2 %
( +7%%%)%*- ' $ +, - !
8/////8/
/
/
*
=++++=
=
80000080
0
0
*
=++++=
=
81111181
1
1
*
=++++=
=
# /% 0% 1% 9 ' 3'%&%45 :
/% 0% 1 9 ' :
( ' '% & 4 ' :
: 6 !
=+
=+
=+
8
8
8
44
&&
''
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 5/28
#
' ; " +, - <
= =
( > %
' . %
,
. ? '% ? & ? 4% , . '+,-% &+,-
4+,- 9 = , @ !
( )
( )
( )
=+
=+
=+
=+
=+
=+
8,
8,
8,
8? 1
8? 0
8? /
44
&&
''
4
&
'
.
, ? '% ? & ? 4 '+,-% &+,-
4+,-% @ !
( )( )( )
=+
=+
=+
=+
=+
=+
8,
8,
8,
8? 1
8? 0
8? /
44
&&
''
4
&
'
' :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' ' ' '
& & & &
4 44 4
' :
' :
8 , ,8? ?
8 8? ? , ,
8? ? 8 , ,
+ = + =
+ = + =
+ = + =
+-
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 6/28
$
% &
'
& (
' & )
*)
(
' ) &
!
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 7/28
+
$
%
&
'
#
'
#
#
'
#
'
#
,#
,#
(((( )))), #
#
$
%
&
##
−−−−
, #
−−−−
, #
−−−−
(((( )))), #
−−−−
&
'
'
'
, '
,'
#
(((( )))), '
$
%
&
'
'
−−−−(((( )))), '
−−−−
, '
−−−− , '
−−−−
, ) -
./ 0 .&0 /
, 0 .0 / ,
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 8/28
1
) 1 )
# " 4 5
( 2
%
=
")"* !
* + ")"* ! )
"
+, -
+ - A 2 +- ' :
!
( ) ( )
( ) ( ),,
,,
−=−
−=−
#
' '
= 6
=
' 6
'
+, - '
' :
!
. 8
,B B B
.→
= = +
+-
' = B
B B
=
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 9/28
2
B B+(%- = = σ
+-
σ
$
&
'
#
(((( )))), #
(((( )))), #
−−−−
$
%
&
'
#
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
&
% 3
&
σ +-
σ : ( @
% +- !
( )
=
σσσ
σσσ
σσσ
=σ⇔σ=
B
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 10/28
4
!
( )
σ+σ+σ
σ+σ+σ
σ+σ+σ
=
=
B
B
B
B
( )( )( )
B
σ+σ+σ+
σ+σ+σ+
σ+σ+σ=
'
%
+- !
=
=
=
σσσ
σσσ
σσσ
=σ
8
8
8
8
8
8
( ) ( ) BB
σ+σ+σ=σ=
( ) ( ) BB
σ+σ+σ=σ=
( ) ( ) BB
σ+σ+σ=σ=
) ' 2 ) =
= ' ) = = '
σ % σ σ '
σ % σ % σ % σ % σ σ =
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 11/28
'
#
&
%
$
#
'
&
(((( )))) '
'' '
σσσσ
'# #
σσσσ
'& &
σσσσ
&' '
σσσσ
'
#
%
&& &
σσσσ
&
$
&' '
σσσσ&# #
σσσσ
'
#
&
(((( )))) &
&
" )
)1 1
# 3
"2 %
6 '% &%
4 + * - * 2
= *
' !
( )
8' ' '
8 8' ' '
8' ' '
2
→2
2
∂ ∂ ∂σ σ σ+ + = ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂σ σ σσ = + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂σ σ σ
+ + =∂ ∂ ∂
+)-
= σ9 σ9 % =
&
σ=σ B
+*-
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 12/28
$
&
'
#
% #
&
'
&
'
&
#./ , .&/ 5
σσσσ##
σσσσ'#σσσσ&#
σσσσ#'
σσσσ#&
σσσσ''
σσσσ&&
σσσσ'&
σσσσ&'
''
''''
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
''
#'#'
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
''
&'&'
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
####
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
'#'#
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
&#&#
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&&
&&&&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&
&
#&#&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&&
'&'&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ σσσσ##
σσσσ'#σσσσ&#
σσσσ#'
σσσσ#&
σσσσ''
σσσσ&&
σσσσ'&
σσσσ&'
''
''''
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
''
#'#'
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
''
&'&'
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
####
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
'#'#
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
##
&#&#
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&&
&&&&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&
&
#&#&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
&&
'&'&
∂∂∂∂
σσσσ∂∂∂∂++++σσσσ
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 13/28
' & 6
$
#77/
# 7 7 /
#
'
8#
8'
#77/
# 7 7 /
$ % -
B & &
$ . σ '
&2 ' +'% '- Cσ ' 6
&2 ' + -'%' C
C
=σ
888
8888
8888
−=σ
888
8888
8888
C
6 & 6 '
= &2 ' +'% '-
&2 ' + -'%' C
C
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 14/28
"
σ % σ σ 2 "
2 !
σ
σ
σ
=σ
88
88
88
'%
B +- =
2 D % 2
! %
+ -
σ+ + + +σ σ σ σ σ σ= − = − = +$-
& =
'
%
' @ 2
!
+ -σ = σ σ σ +E-
&
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 15/28
#
% $
<
%
!
( )
2
= σ − σ + +σ σ σ
= = −σ
+F-
# σ &
!
( )
σ+σ+σ−
σσσ
σσσ
σσσ
=σ−σ= 2
2
2
2
88
88
88
D' !
( )
σ+σ+σ
−
σ
σ
σ
=σ−σ=
88
88
88
88
88
88
( )( )
( )
σ+σ−σ
σ+σ−σ
σ+σ−σ
=
88
88
88
σ
!
( )
9 9
σ = =
+ + + + + + + +
+G-
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 16/28
$
D '% σ=σ
&
&
σ
τ
α τ
'
σ'' σ
&&σ
αα
τ αβ
6 -7 ./
8- .&/
ββ σ
9 σ σ =
77 99 σ σ =
α
αα σ
ββ σ
αβ τ
αβ τ
αα σ
&
'
β
α
ββ σ
9 σ σ =
77 99 σ σ =
α
αα σ
ββ σ
αβ τ
αβ τ
αα σ
&
'
β
α
αα σ
9 σ σ =
77 99 σ σ =
αβ τ /
1
0
α
αα σ
9 σ σ =
77 99 σ σ =
αβ τ /
1
0
α
99 σ
α
αα σ
αβ τ
&
'
α
α
α
9 σ α
π α −
99 σ
α
αα σ
αβ τ
&
'
α
α
α
9 σ α
π α −
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 17/28
+
& /4
% "
%
C
' H
+σ447σ4'7σ4&78- " C σ
τ C ' C 2
' . C C' ' α C & %
C α C'
σ C +σ%τ- '
τ'7+σ' σ-I +8-
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 18/28
1
% "
, - &
&
: !
-7
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ &
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ#
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ # Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ & Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ ' Σ ΣΣ Σ & Σ ΣΣ Σ &
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ#
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ#
Σ ΣΣ Σ#
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ'
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ&
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ #
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ '
Σ ΣΣ Σ &
Σ ΣΣ Σ &
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
,
9 :, ,
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
,
9 :, ,
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
, 9 :,
,
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ#
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ'
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
ΣΣΣΣ&
, 9 :,
,
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 19/28
2
= +, - .
%
D + -%
. + - ; ; ; = +
J
; ;
;
;
$ + - ; !
" 2 % +
- !
8 88 8
8 8
σ
Σ = =Σ
Σ
!
; ; ;
σ = ++ ΣΣ Σ
= ++
# [ ]
8 8
8 8 8 8 8 8
8 8 8 8
= =
;
; & 6
&% + -;
!
8 8
+ - 8 8
8 8
;
σ
Σ Σ = = =Σ Σ Σ Σ
+ -;
!
+ -
= = + + ++ ΣΣ Σ
; ; ;
; σ
+ - ; += + ΣΣ Σ
D + - ;
+ - * * *; = Σ
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 20/28
4
;
;
!
; + -;
+ -;
%
+ -
; ; ; ; ; ; += = + + + ΣΣ Σ
; = Σ + Σ + Σ
+ -;
+ - * *; = + Σ + =Σ Σ Σ
A + -
; !
+ - ; ; ; = +
* * ; ; + Σ + = = +Σ Σ Σ
& ;
; !
&2 !
+ Σ + = +Σ Σ
Σ + Σ + Σ =
+ + =
; ;
;
&2 %
!
Σ Σ Σ + = = Σ Σ Σ = =
; ;
< &< & ;
!
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 21/28
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
− Σ − Σ + = Σ − Σ Σ − Σ
− Σ − Σ +=
Σ − Σ Σ − Σ − Σ − Σ + = Σ − Σ Σ − Σ
; ; ;
; ; ;
; ; ;
+-
+ !!
.
Σ > Σ > Σ +-
!
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
8
8
8
− Σ − Σ + >
− Σ − Σ + < − Σ − Σ + >
; ; ;
; ; ;
; ; ;
+-
' % @
;
; ' 4 '
; ' '
; . %
( )%8Σ % ( )%8Σ
( )%8Σ
+- = ( )% ; ;
;
;
+ -;
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 22/28
8
Σ − Σ Σ + Σ Σ − Σ Σ + Σ − − + − + ≥
Σ − Σ Σ + Σ Σ − Σ Σ + Σ − − + −
=
=
; ; ;
; ;
8
8
+ ≤
Σ − Σ Σ + Σ Σ − Σ Σ + Σ − − + − + ≥
=
;
; ; ;
D ? % ? %? % % %
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
8
8
8
; ; = ; =
; ; = ; =
; ; = ; =
− − + − + ≥
− − + − + ≤
− − + − + ≥
( )
( )
( )
!
!
!
− + ≥ − + ≤
+ ≥−
; : ; =
; : ; =
; : =;
+-
=
' '
+Σ Σ-% +Σ-
+Σ- '
' +Σ- +Σ-
)
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 23/28
" : 8- Σ > Σ > Σ 3 & --
+
" # ' % 2 =
#ΣΣΣΣ'ΣΣΣΣ
&ΣΣΣΣ
, τ ττ τ ====
, σ σσ σ ====
=
=
=
#ΣΣΣΣ'ΣΣΣΣ
&ΣΣΣΣ
, τ ττ τ ====
, σ σσ σ ====
=
=
=
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 24/28
"
01 ) ;
#
&
- . 5 ./
.&/
* +-
& ; σ = σ
B
*
= + .σ - =
+.? - . =
!
( ) ( )
.
= = ; ;
σ
σ +)-
. = % '
!
.=
? +*-
#
'
#
,#
,#
(((( )))), #
#
#
&
%
'
$
/ σ σσ σ
/
#
#
&
&
%
%
'
'
$
$
/ σ σσ σ
/
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 25/28
#
' ; 6
- 0 , ) -
$ = ' , σ =
Ω =
'
+ =
ρ # ρ -
+% - 6
! '
!
Ω + Ω
+ =
, ,
,
σ
ργ +$-
. , σ %
' , %
' (
%
Ω Ω
+ =
,
, ργ
#
&
%
'
$
!
γ γγ γ
#
#
&
&
%
%
'
'
$
$
!
γ γγ γ
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 26/28
$
&
!
Ω Ω
+ =
,
, σ ργ
2 ; ;AK& !
( )Ω Ω Ω
+ =
ργ σ
Ω <
6 Ω !
( ) ( ) 8 8 Ω
+ − = Ω + − = →
σ ργ σ ργ +E-
+E-
+ 8=
- + 8=
γ - (
+E- Ω
& = / ")"*
% 6
' 3
.
+
-%
= & D %
8 Ω !
8 8 8Ω Ω
∧ + ∧ = ∧
,
8 , 8 8 8 8 ργ +F-
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 27/28
+
( )
8
8
8Ω
− ∧ + − + − = −
8 8
σ σ
σ ργ σ σ
σ σ
8 8Ω
− − − = ∀Ω → − = − −
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
+G-
& 6
!
Ω
= +
; ;
,
, @ +8-
# Ω J
&
Ω
= + ,
* * , @ σ +-
2 ; +;AK&-
!
( )Ω Ω
∂= +
∂
*
*
@
σ
+ I∂ = +−∂ * * ρ γ σ - ' '2
&
8/12/2019 Les Contraintes C-mohr Mmc
http://slidepdf.com/reader/full/les-contraintes-c-mohr-mmc 28/28
1
Ω Ω Ω
+−
∂ ∂= + +
∂ ∂
* *
* *
* *
@
ρ γ σ ε
σ σ
& + = * *σ σ -
D %
9 !
∂∂ ∂= + ∂ ∂ ∂
* * * *
* *
σ σ σ
&
∂∂ ∂= + = ∂ ∂ ∂
* * * * * *
*
σ σ σ ε
< ' @
Ω Ω
= + = + * *, @ @ @ ρ γ σ ε +-
@
@
'
=
Ω
= * * @ σ ε +-
& σ ε
9 ? '
