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L’éprEuvE dE matHématIquEs du dNB

LES SujETS Cette partie est consacrée aux sujets qui pourraient être proposés en épreuves finales du diplôme national du brevet à partir de juin 2013. Leurs structure, contenu et objectifs respectent donc cette nouvelle maquette.

DEScRipTioN• Ces sujets doivent permettre d’évaluer les acquis des élèves, ceux-ci relevant de l’intégralité du programme de la classe de 3e pour les élèves de la voie générale et exclusivement sur les points relevant du socle pour les élèves de la voie professionnelle.

• Ils sont constitués de six à dix exercices indépendants à réaliser dans l’ordre de son choix.

• Pour chacun d’entre eux, un équilibre est recherché entre :

– les différentes parties du programme et leurs attendus en fin de collège ;

– les quatre premiers items de la compétence 3 du socle commun appliqués à la résolution d’un problème mathématique (voir ci-contre).

Résoudre des problèmesRechercher, extraire et organiser l’information utile.Mesurer, calculer, appliquer des consignes ; Modéliser, conjecturer, raisonner et démontrerArgumenter et présenter les résultats à l’aide d’un langage adapté.

• Un des exercices au moins, a pour objet une tâche non guidée exigeant donc une prise d’initiative de sa part.

• Le tableau de la page 72 atteste de cette répartition sur les 4 sujets proposés en indiquant quels exercices :

– traitent de chacun des attendus du programme en fin de collège ;

– nécessitent de prendre des initiatives ;

– mettent en œuvre l’un des quatre items de la compétence 3.

Le dernier item de la compétence 3 du socle concernant la plupart des exercices, sa ligne est ouverte.

QuELQuES coNSEiLS, iNDicATioNS DESTiNéS à L’éLèvE • Des temps de réalisation ont été indiqués afin de vous apprendre à vous organiser le jour de l’épreuve.

• 8 points Le barème est donné à titre indicatif mais peut être modifié, il n’est pas une base du choix.

• Les exercices sont à réaliser dans l’ordre qui vous convient, qui vous permet surtout de valoriser ce que vous savez faire, et pour cela, vous devez commencer par lire le sujet intégralement. Ensuite, vous devez garder à l’esprit que, si l’évaluation doit certes prendre en compte la clarté et la précision des raisonnements, elle prendra également en compte les essais et les démarches engagées même non abouties.

• En conséquence, vous devez prendre l’habitude de limiter votre brouillon et rédiger au fur et à mesure sur votre copie, le brouillon servant plus pour l’esquisse d’une figure, la dernière mise au point d’un raisonnement, ou un calcul intermédiaire. Donc, un va et vient entre les deux supports doit s’instaurer.

• Vous devez vous exprimer dans une langue correcte puisque quatre points seront éventuellement réservés à l’évaluation de votre maîtrise de celle-ci et vous relire au fur et à mesure car la fin de l’épreuve peut être précipitée.

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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point, l’absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.

Réponse A Réponse B Réponse C

ABCD est un carré de côté 2 2 cm. Le périmètre de ABCD est égal à 2 8 cm

Le périmètre de ABCD est égal à 8 2 cm

Le périmètre de ABCD est égal à 8 8 cm 1

L’aire de ABCD est égale à 8 cm2

L’aire de ABCD est égale à 16 cm2

L’aire de ABCD est égale à 4 cm2 2

AC = 4 cm AC = 4 2 cm AC = 16 cm 3

(IJ) et (KL) sont parallèles HI = 3,2 cm ; HL = 2,4 cm ; HK = 1,5 cm et IJ = 2,8 cm.

KL = 2,1 cm KL ≈ 3,7 cm KL ≈ 2,7 cm 4

HJ ≈ 1,1 cm HJ ≈ 5,1 cm HJ = 2 cm5

A, B, C et D sont 4 points d’un cercle de diamètre 5 cm ; le triangle ABD est rectangle en D et BAD = 73°.

Le triangle ABC est rectangle

Le triangle ABC est isocèle

Le triangle ABC est équilatéral 6

BD ≈ 5,2 cm BD ≈ 1,5 cm BD ≈ 4,8 cm 7

BCD = 36,5° BCD = 73° BCD = 146°

8

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A

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73°

ExERcicE 1 8 points

Pour une personne, le cocktail Délices des îles se prépare en mélangeant : 6 cL de jus de maracuja ; 4 cL de jus de goyave ; 3 cL de jus de kiwi ; 2 cL de jus d’ananas.

1. Quels sont les ingrédients nécessaires à la préparation de 3 litres de ce cocktail ?

2. On verse 15 cL de ce cocktail dans un verre cylindrique de 5 cm de diamètre. Jusqu’à quelle hauteur le cocktail monte-t-il dans le verre (on donnera un arrondi au mm) ?

ExERcicE 2 4 points

Luxiang a reçu un collier formé de 150 petites perles en métal de 3 mm de diamètre. Les perles sont toutes du même métal. Elle se demande si le collier est en or ou en argent, et décide de le peser. Elle trouve environ 22 g.Sachant que la masse volumique de l’argent est de 10,5 g/cm3, et celle de l’or de 19,3 g/cm3, son collier est-il en or ou en argent ?Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

ExERcicE 3 4 points

On considère l’expression A(n) = (n + 1)2 − (n − 1)2.

1. Développer et réduire A(n).

2. En déduire 3 0012 − 2 9992.

3. Quels sont les nombres n tels que (n + 1)2 − (n − 1)2 = 100.

ExERcicE 4 3 points

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ExERcicE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Les couples de réponses sont : (1, B) ; (2, A) ; (3, A) ; (4, A) ; (5, C) ; (6, A) ; (7, C) ; (8, B).

1. Pour une personne, on obtient 6 + 4 + 3 + 2 = 15 cL de cocktail. On veut obtenir 3 L soit 300 cL

de cocktail, c’est à dire 20 fois plus. Les quantités de chaque ingrédient, exprimées en centilitres,

s’obtiennent en les multipliant chacune par 20. On a donc besoin de 120 cL de jus de maracuja, 80 cL

de jus de goyave, 60 cL de jus de kiwi et 40 cL de jus d’ananas.

2. Le cocktail dans le verre épouse la forme d’un cylindre de 5 cm de diamètre soit 2,5 cm de rayon

dont le volume est de 15 cL. 15 cL = 0,15 L = 0,15 dm3 = 150 cm3.

Si la hauteur de cocktail est nommée h, le volume du cocktail s’écrit p × r2 × h = p × 2,52 × h.

Ce qui donne : p × 2,52 × h = 150, donc h = π ×150

2,52 soit h ≈ 7,6.

Le cocktail monte à 7,6 cm environ dans le verre.

Le diamètre de chaque perle étant de 3 mm, le rayon est de 1,5 mm. Le volume d’une perle est donc : π =

π ×43

4 1,53

3 3r mm3.

D’où, le volume des 150 perles vaut π ×

×4 1,5

3150

3 soit environ 2 120 mm3 = 2,12 cm3.

Le poids du collier s’obtient en multipliant ce volume qui vaut approximativement 2, par la masse

volumique du métal employé. 19,3 ne peut convenir car la masse du collier excéderait largement 22 g

mais en multipliant ce volume par 10,5 on retrouve le poids approximatif du collier.

Le collier de Luxiang est donc en argent.

1. A(n) = (n + 1)2 − (n − 1)2 = n2 + 2n + 1 − (n2 − 2n + 1) = n2 + 2n + 1 − n2 + 2n − 1 = 4n.

2. 3 0012 − 2 9992 = 4 × 3 000 = 12 000 (n = 3000 dans la formule réduite obtenue).

3. (n + 1)2 − (n − 1)2 = 100 revient à 4n = 100 qui donne une seule solution : n = 25.

On peut aussi penser à la différence de deux carrés et faire : (n + 1)2 − (n − 1) = [(n + 1) + (n − 1)][(n + 1) − (n − 1)]

= (2n)(2) = 4n.

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1Une galette des rois a un diamètre de 28 cm. Elle a été fabriquée avec 180 g de beurre. Une fève est cachée au hasard dans la galette. Nicolas y découpe des parts. 1. Il sert à Sarah une part dont l’angle au centre est de 30°. Quelle est la probabilité que Sarah découvre la fève dans sa part ?2. Sébastien dit à Nicolas : « donne-moi une part de galette, mais je veux avoir une chance sur huit d’y trouver la fève ». Comment Nicolas va-t-il découper la part demandée ?

3. Alexandra mange les 215

de la galette. Sachant que 100 g de beurre apportent 760 kilocalories

à l’organisme, quel est l’apport en kilocalories provenant du beurre qu’Alexandra absorbe en mangeant sa part de galette ?

ExERcicE 5 5 points

Tracer en vert le symétrique de la figure par rapport à la droite D, et en rouge le symétrique de la figure par rapport au point O.

D

O

ExERcicE 6 3 points

La somme de deux nombres multiples de 7 est-elle un multiple de 7 ? Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

ExERcicE 7 3 points

Rose souhaite passer quelques jours à Londres. Elle se rend dans une agence qui propose les formules suivantes pour la location d’une chambre dans la capitale anglaise :Formule A : un prix de location de 30 £ à la journée (£ = livre sterling, monnaie officielle du Royaume-Uni).Formule B : l’achat de la carte privilège au prix de 120 £, et un prix de 20 £ à la journée au titulaire de cette carte. Formule C : un prix de location au mois de 600 £. 1. Compléter le tableau suivant :2. Quelle formule choisit Rose si elle veut louer ce studio 3 jours, 14 jours, un mois au prix le plus avantageux ? 3. On a représenté dans un repère les 3 formules de location ; avec en abscisse, le nombre de jours de location, et en ordonnée, le prix à payer.

Par lecture graphique, répondre aux questions sui-vantes en faisant apparaître les tracés nécessaires :Quel est le prix à payer avec la formule A pour 10 jours de location ?Quel est le prix à payer avec la formule B pour 4 jours de location ?Pour combien de jours la formule A et la for-mule B reviennent-elles au même prix ?À partir de combien de jours de location la formule C devient-elle la plus intéressante ?

Nombre de journées de location 3 7 14 30Formule AFormule BFormule C

0

200

0

400

600

Prix à payer

Formule C

Formule A

Formule B

Nombre de joursde location

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

ExERcicE 8 6 points

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O

Nombre de journées de location 3 7 14 30Formule AFormule BFormule C

0

200

0

400

600

Prix à payer

Formule C

Formule A

Formule B

Nombre de joursde location

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

1. Puisque un angle plein mesure 360°, une part de 30° représente =30360

112

ième de la galette

entière. La probabilité que Sarah ait la fève est donc de 112

.

2. Il faut découper la galette en huit parts. Pour cela, on marque deux diamètres

perpendiculaires, puis les deux bissectrices de ces diamètres. Il suffit de découper

l’un des secteurs comme part.

3. La galette a été fabriquée avec 180 g de beurre, donc la quantité de beurre contenu dans la part

d’Alexandra vaut : 215

× 180 = 24 g.

Sachant que 100 g de beurre apporte 760 kcal, le beurre contenu dans la part d’Alexandra apporte ×760 24

100 = 182,4 kcal.

Les traits pointillés correspondent

aux traits verts et les traits

continus aux traits rouges

demandés.

2. Pour bénéficier à chaque fois

de la formule la plus avantageuse :

si Rose veut louer ce studio 3 jours,

elle choisit la formule A ;

si Rose veut louer ce studio

14 jours, elle choisit la formule B ;

si Rose veut louer ce studio un

mois, elle choisit la formule C.

3. Le prix à payer avec la formule A

pour 10 jours de location est de

300 £. Le prix à payer avec la

formule B pour 4 jours de

location est de 200 £.

Le nombre de jours de location pour lequel la formule A et la formule B reviennent au même prix est

égal à 12 jours. La formule C devient la plus intéressante à partir de 24 jours de location.

Soient m et n deux nombres entiers multiples de 7. Cela signifie qu’il existe deux nombres entiers

k et l tels que m = 7k et n = 7l. Alors, m + n = 7k + 7l = 7(k + l). Puisque k et l sont des nombres entiers

k + l est multiple de 7.

Avant de vouloir démontrer, on peut faire des essais en sommant deux

multiples de 7. Ainsi, 14 et 21 sont des multiples de 7 et 14 + 21 = 35 est aussi un multiple de 7. Le faire ensuite avec 21 + 35 et 35 + 56 pour constater

qu’on obtient des multiples de 7.

90 210 420 900180 260 400 720600 600 600 600

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2Voici une esquisse de la constellation de Cassiopée sur laquelle sont indiquées les longueurs en centimètres et les mesures d’angles en degrés d’une représentation qui serait correcte. Faire cette représentation. 120°

119°

2,72,5

2,5

ε

γβ

α

δ

2

80°

ExERcicE 1 2 points


Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D

1 + + =2 2 2 ... ×3 2. +2 2. 3 2. 2 2.

2 × × =2 2 2 ... 2 2. ×2 3. 2 × 4. ( 2 ) 2.

3 × × × =3 3 3 3 ... +2 3 2 3. ×27 3. la solution positive de x2 = 9. ( 3 ) 2 + ( 3 ) 3.

4 La représentation graphique de g : x 2x − 10 passe par le point M ( 2 ; −10 ).

passe par le point N ( −5 ; 0 ).

passe par le point P ( 3 ; −4 ).

passe par le point R ( −5 ; −10 ).

5 Soit f : x 7x − 5. L’antécédent de 30 par f est : 0. 10. 205. 5.

6

Un magasin propose du lait sous différents formats :• brique de 1 L à 0,85 € ;• bouteille de 1,5 L à 1,44 € ;• pack de 6 petite bouteilles de 50 cL à 4,44 €.

Avec ces trois formats, le prix est proportionnel à la

quantité de lait.

Le format le plus intéressant

est la brique de 1 L.


est la bouteille de 1,5 L.


est celui des petites bouteilles.

7

On lit les valeurs nutritionnelles moyennes pour 100 mL de lait.• Protéines : 3,2 g. • Glucides : 4,8 g.• Lipides : 1,6 g. Valeur énergétique : 192 kJ (46 kcal).

La proportion de protéines par rapport à l’ensemble des nutriments égale

3,2.3, 28

.13 . 3,20 %.

8Le nombre de kilocalories dans un verre de 25 cL égale

115. 11,5. 184. 238.

On considère que les protéines, les glucides et les lipides forment l’ensemble des nutriments.

ExERcicE 2 8 points

On considère deux quadrilatères non croisés JUAS et SAIL tels que :– les droites ( SL ) et ( AI ) sont parallèles ;– SL = AI ; – le point d’intersection O des droites ( JA ) et ( US ) vérifie OJ = OA = OU = OS.1. Tracer une figure qui réponde aux conditions décrites ci-dessus.2. Montrer que les droites ( SA ) et ( LI ) sont parallèles.3. Montrer que les droites ( UA ) et ( LI ) sont perpendiculaires.

ExERcicE 3 4 points

Anna note sur une feuille la durée, en minutes et secondes, des morceaux d’un album de musique rock : 06 min 02 s 04 min 36 s 04 min 48 s 02 min 48 s 04 min 12 s 05 min 14 s 02 min 06 s 02 min 31s 04 min 07 s 03 min 23 s 05 min 13 s 23 min 43 s. 1. Quelle est l’étendue de cette série ?2. Quelle est la durée moyennet d’un morceau de cet album ?3. Quelle est la durée médiane d’un morceau de cet album ? Interpréter le résultat.4. Comparer la moyenne et la médiane de cette série. Comment expliquer ?

ExERcicE 4 5 points

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ExERcicE 3

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On trace à la règle et

au rapporteur :

Les couples de réponses sont : (1, C) ; (2, A) ; (3, B) ; (4, C) ; (5, D) ; (6, B) ; (7, C) ; (8, A).

1. J U

O

S A

IL

2. Le quadrilatère SAIL possède deux côtés, [SL] et [AI], parallèles et de même longueur, SAIL est

donc un parallélogramme. Par conséquent, les droites (SA) et (LI) sont parallèles.

3. Les diagonales du quadrilatère JUAS se coupent en leur milieu et sont de même longueur

puisqu’elles ont même demi-longueur : le quadrilatère JUAS est donc un rectangle et ainsi les droites

(UA) et (SA) sont perpendiculaires. Les droites (SA) et (LI) étant parallèles d’après 2., la droite (UA)

est également perpendiculaire à la droite (LI).

1. On calcule la différence des termes extrêmes : 23 min 43 s − 2 min 06 s = 21 min 37 s.

L’étendue est de 21 min 37 s.

2. On peut ne pas convertir. En additionnant séparément minutes et secondes, la durée totale est de

64 min 283 s mais 283 = 4 × 60 + 43 donc 283 s = 4 min + 43 s donc durée totale : 68 min 43 s.

Que l’on divise par 12 pour obtenir la moyenne : 68 = 5 × 12 + 8 qui donne 5 min mais reste

8 min = 480 s à ajouter à 43 avant de diviser par 12. 523 = 43 × 12 + 7, le quotient est plus proche de 44.

Donc, t− ≈ 5 min 44 s.

3. On range les données dans l’ordre croissant : 2 min 06 s ; 2 min 31 s ; 2 min 48 s ; 3 min 23 s ;

4 min 07 s ; 4 min 12 s ; 4 min 36 s ; 4 min 48 s ; 5 min 13 s ; 5 min 14 s ; 6 min 02 s ; 23 min 43 s.

L’effectif total est 12. On s’intéresse à la sixième et la septième donnée, soit 4 min 12 s et 4 min 36 s.

(12 + 36) : 2 = 24. La médiane égale 4 min 24 s. Il y a autant de morceaux d’une durée inférieure

à 4 min 24 s que de morceaux d’une durée supérieure à 4 min 24 s.

4. La moyenne est supérieure à la médiane de plus d’une minute. En effet, la moyenne, contrairement

à la médiane, est sensible aux valeurs extrêmes et notamment à la durée du dernier morceau.

120°

119°

2,72,5

2,5

ε

γβ

α

δ 2

80°

On peut convertir les durées des morceaux en secondes : 362, 276, 288, 168, 252, 314, 126, 151, 247, 203, 313,

1 423. Il y a 12 morceaux donct = (362 + 276 + 288 + 168 + 252

+ 314 + 126 + 151 + 247 + 203 + 313 + 1 423)/12 d’où

4 12312

=t qui s’arrondit à 344 s.

Or, 344 = 5 × 60 + 44 donc 344 s = 5 min 44 s.

La durée moyenne d’un morceau de l’album est donc de 5 min 44 s.Sp

écim

en e

nsei

gnan

t

Vidé

opro

ject

ion

inte

rdite


suJEt

21. Sophie a tracé deux droites dans le repère ci-dessous.

0 1 x

y

1

(d1)

(d2)

Peut-elle en déduire une résolution graphique du système x y

x y− =− =

2 03 5

? Si oui, en donner le couple solution.

2. Un aimant coûte deux fois plus cher qu’un porte-clé. Si on ajoute 5 € au prix d’un porte-clé, cela vaut le prix de trois aimants. Quel est le prix d’un aimant ? D’un porte-clé ?

ExERcicE 5 4 points

On considère une canette de soda. La base a pour rayon r = 3,5 cm et la hauteur est égale à h = 11 cm.1. Justifier que cette canette peut bien contenir 33 cL de soda.2. Une étiquette est collée sur toute la surface latérale de la canette. Calculer l’aire de cette étiquette.

ExERcicE 7 4 points

La figure fournie n’est pas en vraie grandeur. Les points I, K et M sont alignés et IK = 4,2 cm ; de même, les points J, K et L sont alignés. Les segments [ IK ] et [ KM ] sont des diamètres respectifs des cercles 1 et 2 .Le point N est le symétrique de L par rapport à la droite (KM).Le cercle 2 a pour rayon 2,5 cm. Le segment [ IJ ] mesure 1,2 cm.1. Quelle est la nature du triangle IJK? Justifier.2. Calculer la longueur ML. 3. En déduire la longueur du segment [ MN ].

I K

J

N

M

L�1

�2ExERcicE 8 5 points

Folaké dit à Jorris : « J’ai plus de 400 morceaux de musique sur mon téléphone portable, mais moins de 450. En les regroupant par 2, ou par 3, ou par 4 ou même par 5, il me reste toujours un morceau tout seul. » Combien de morceaux de musique Folaké possède-t-elle ?Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

ExERcicE 6 4 points

Spéc

imen

ens

eign

ant

Vidé

opro

ject

ion

inte

rdite


suJEt

2ExERcicE 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. On voit que Sophie a tracé les droites d’équations y = 0,5x et y = 3x − 5. y = 0,5x revient à 0 = 0,5x − y ;

x – 2y = 0 en multipliant les deux membres par 2. y = 3x − 5 revient à 5 = 3x − y. Ces deux équations

sont donc équivalentes aux deux équations qui forment le système − =− =

2 03 5x y

x y . Les coordonnées du

point d’intersection vérifient les deux équations donc le système. On lit graphiquement ses coordonnées

pour obtenir le couple solution : (2 ; 1).

2. En posant, en euros, x le prix d’un aimant et y le prix d’un porte-clé, puisque l’aimant coûte deux

fois plus cher que le porte-clé on a x = 2y et puisqu’en ajoutant 5 € au prix d’un porte-clé, on obtient

le prix de trois aimants, on a : y + 5 = 3x. Cela revient à résoudre le système =+ =

25 3

x yy x

,

soit le système − =− =2 0

3 5x y

x y

de la question 1. qui avait pour solution (2 ; 1).

Donc, le prix d’un aimant est 2 € et celui d’un porte-clé est 1 €.

Comme le reste de la division euclidienne par 2 égale 1, il y a un nombre impair de morceaux. On cherche

les nombres impairs dont la division euclidienne par 5 donne un reste égal à 1. Reste alors : 401, 411, 421,

431 et 441. Seul 421 a pour reste 1 dans la division par 3. De plus, puisque 421 = 4 × 105 + 1, il a bien 1

pour reste quand on le divise par 4. Folaké possède donc 421 morceaux de musique.

Autre méthode

Dire qu’il reste 1 quand on divise ce nombre par 2, 3, 4 ou 5, c’est dire que lorsqu’on enlève 1 à ce nombre,

il est multiple de 2, 3, 4 et 5 donc de 3 × 4 × 5 = 60 puisque tout multiple de 4 est multiple de 2.

En examinant les multiples de 60, on voit aisément qu’entre 399 et 449, il n’y a qu’un multiple de 60 :

7 × 60 = 420. Folaké a donc 420 + 1 = 421 morceaux.

1. Le volume en cm3 du cylindre de révolution qu’est la canette vaut : = pr2 × h = p × 3,52 × 11 = 134,75 p

soit 423 cm3 en arrondissant à l’unité. Or, 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3, donc 33 cL = 0,33 L = 330 cm3.

Le volume de la canette peut bien contenir 33 cL.

2. L’étiquette est un rectangle dont une dimension est h = 11 cm et l’autre est le périmètre de la base :

2pr = 2 × 3,5p = 7p. L’aire du rectangle est égale à 77p cm2 soit 242 cm2 en arrondissant à l’unité.

1. Le triangle IJK est inscrit dans le cercle 1 qui a pour diamètre le côté [IK] du triangle IJK.

Par conséquent, le triangle IJK est rectangle en J.

2. Démontrons tout d’abord que les droites (LM) et (IJ) sont parallèles. On a vu que le triangle IJK

est rectangle en J. On démontre de même que le triangle KLM est rectangle en L. Ainsi les droites (IJ)

et (LM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (LJ) et par conséquent, (IJ) et (LM) sont parallèles.

De plus, les points I, K, M sont alignés et les points J, K, L sont alignés.

D’après le théorème de Thalès, on a KI

KM=

IJML

et donc =4, 25

1, 2ML

, c’est-à-dire =×

ML5 1, 2

4, 2

c’est-à-dire = = =ML6

4, 26042

107

. Donc =ML107

cm .

3. La symétrie axiale conservant les longueurs et le segment [MN] étant le symétrique du segment

[ML] par rapport à la droite (KM) : =MN107

cm

Spéc

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3Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 0,5 point, l’absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.On considère la fonction f définie par f (x) = −3x + 5.

Réponse A Réponse B Réponse C

1 f est une fonction : linéaire. affine. constante.

2 f (x) est de la forme ax + b. La valeur de a est : −3. 5. 3.

3 L’image de 2 par la fonction f est : 1. 11. −1.

4 La droite qui représente la fonction f passe par le point : A(−1 ; 8). B(5 ; 0). C(−1 ; 2).

5 Un antécédent de −1 par la fonction f est : 8.53

. 2.

6La droite qui représente la fonction f coupe l’axe des ordonnées en : D(0 ; 5). E 5

3; 0

. F 53

; 0−

.

7La droite qui représente la fonction f coupe l’axe des abscisses en : D(0 ; 5). E 5

3; 0

. F 53

; 0−

.

8La droite qui représente la fonction f et la droite qui représente la fonction g définie par g(x) = 2x − 5 se coupent en : G(−1 ; 2). H(2 ; −1). O(0 ; 0).

ExERcicE 1 4 points

Sébastien souhaite mesurer la hauteur du collège Victor Hugo, représentée par [VH] sur la figure. Pour cela, il utilise un bâton de 23 cm de haut, représenté par [BA], et se place au point S situé à 28 m du collège. Il tient le bâton à bout de bras et le positionne de telle sorte que les points O, B, V soient alignés, le point O dési-gnant son œil. Sachant que OA = 70 cm et que OS = 1,6 m, déterminer la hauteur VP. En déduire la hauteur VH du collège Victor Hugo. Le schéma est indicatif, il n’est pas à l’échelle. Sol

HS A

B

PO

VExERcicE 2 4 points

ABC est un triangle. On note p son périmètre et r le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.Trouver une relation entre l’aire de ABC, p et r. Toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération.

ExERcicE 4 5 points

Dans un collège, une enquête a été menée sur le nombre de fruits et de légumes mangés la veille par les élèves. On a interrogé un échantillon de 50 élèves de ce collège ; les résultats figurent dans le tableau ci-dessous.

Nombre de fruits et légumes mangés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Effectif 1 1 2 4 2 5 11 8 8 3 5

1. Calculer l’étendue de cette série statistique.2. Déterminer la moyenne et la médiane de cette série statistique.3. Alex affirme : « Plus des trois quarts des enfants de cet échantillon ont mangé au moins 6 fruits et légumes hier ». A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.

ExERcicE 3 4 points

Spéc

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3ExERcicE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Les couples de réponses sont : (1, B) ; (2, A) ; (3, C) ; (4, A) ; (5, C) ; (6, A) ; (7, B) ; (8, B).

Les droites (VB) et (PA) sont sécantes en O. Les droites (AB) et (VP) sont parallèles, car elles sont

toutes les deux perpendiculaires au sol, c’est-à-dire à (SH).

D’après le théorème de Thalès, on a : = =OBOV

OAOP

BAVP

.

On en déduit que =0, 728

0, 23VP

, car 0A = 70 cm = 0,7 m ; BA = 23 cm = 0,23 m et SH = OP = 28 m ;

d’où VP = ×28 0, 230, 7

= 9,2 m. Donc VH = VP + PH = 9,2 + 1,6 = 10,8 m, car PH = OS = 1,6 m.

La hauteur du collège est donc de 10,80 m, soit environ 11 m.

1. Étendue de la série = 10 − 0 = 10.

2. L’effectif total est de 50, donc la moyenne de la série vaut : × + × + × + × + × + × + × + × + × + × + × = =0 1 1 1 2 2 3 4 4 2 5 5 6 11 7 8 8 8 9 3 10 5

5031350

626100

,

c’est-à-dire 6,26.

Pour calculer la médiane, on calcule les effectifs cumulés croissants jusqu’à dépasser 25, qui correspond

à la moitié de l’effectif total.

Nombre de fruits et légumes mangés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Effectifs 1 1 2 4 2 5 11 8 8 3 5Effectifs cumulés croissants 1 2 4 8 10 15 26

La médiane de cette série est donc 6.

3. En sommant les effectifs des valeurs supérieures à 6, on obtient : 11 + 8 + 8 + 3 + 5 = 35 élèves sur 50

ont mangé au moins 6 fruits et légumes la veille. Les trois quarts de 50 valent 37,5. 35 étant strictement

inférieur, Alex a tort.

Soit I le centre du cercle inscrit dans ce triangle ;

il est au point de concours des bissectrices.

Soient A’, B’ et C’ les projections orthogonales

respectives du point I sur les côtés [BC], [CA] et [AB],

c’est-à-dire les points de tangence du cercle inscrit

sur chaque côté.

Aire(ABC) = Aire(AIB) + Aire(BIC) + Aire(CIA) = × + × + ×AB IC’2

BC IA’2

CA IB’2

.

A’, B’ et C’ étant des points de tangence du cercle inscrit, on a IA’ = IB’ = IC’ = r.

On en déduit : Aire(ABC) = × + × + × =+ +

=AB2

BC2

CA2

( AB BC CA )2 2

r r r r pr

.

L’aire du triangle est donc égale au demi-produit de son périmètre par le rayon de son cercle inscrit.

A C’ B

I

CB’ A’

Spéc

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3Un flacon de parfum a la forme d’une pyramide tronquée à base carrée ; ci-contre, une vue de coupe du flacon. Sa hauteur est de 6 cm. Ce flacon peut-il contenir 100 mL de parfum ?

3 cm

6 cm

ExERcicE 5 4 points

On donne le programme de calcul ci-contre. 1. On choisit 3 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme est 16. 2. On choisit −1 comme nombre de départ. Calculer le résultat du programme. 3. On choisit 2 comme nombre de départ. Écrire le résultat du programme sous la forme 2a b+ , où a et b sont deux entiers relatifs. 4. On appelle x le nombre de départ. Écrire le résultat du programme en fonction de x. 5. Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour que le résultat du programme soit nul ?Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération.

Choisir un nombre.Lui ajouter 2.Calculer le carré de cette somme.Soustraire 9 au résultat obtenu.

ExERcicE 6 6 points

1. Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien prennent une consommation dans un bar et décident de tirer au sort celui d’entre eux qui paiera l’addition. Pour cela, ils inscrivent leur prénom sur des petits papiers et deman-dent au serveur de choisir un papier au hasard.Calculer la probabilité que le papier tiré soit marqué « Alain », la probabilité que le papier tiré soit marqué « Claude », la probabilité que le papier tiré porte le prénom d’une fille.2. À une deuxième table du même bar, les clients ont consommé 2 cafés et 3 thés. Leur addition s’élève à 9,80 €. À une troisième table du même café, l’addition s’élève à 6 € pour 1 café et 2 thés. Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien, eux, ont bu 4 cafés et 2 thés. À combien s’élève leur addition ?3. Des clients ont laissé 13,80 € sur leur table. Sachant qu’ils ont ajouté 15 % à leur addition pour le pourboire, à combien se montait l’addition ?

ExERcicE 7 5 points

Dans chacun des cas suivants, dire si le triangle ABC est rectangle, en justifiant la réponse.

Cas 1

6 cm

4,8 cm

B

A

C

3,2 cm

Cas 2

B

M

A

55°

30°C

Cas 3

B

A(AB) et (CD) sont parallèles.

D

C

ExERcicE 8 4 points

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3ExERcicE 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Pour calculer le volume du flacon, on doit commencer par calculer le volume d’une pyramide à base

carrée de 6 cm de côté. Il nous faut connaître sa hauteur. Or, on sait que le côté du carré de section est

3 cm, soit la moitié du côté de carré de base qui est de 6 cm. On a donc fait une réduction de rapport 12

et sectionné la pyramide à la moitié de sa hauteur.

Donc, la hauteur de la pyramide complète serait de 12 cm, car la hauteur du flacon est de 6 cm.

Volume de la pyramide à base carrée (6 cm de côté, 12 cm de hauteur) : 13

6 6 12 144× × × = cm3.

Volume de la pyramide à base carrée (3 cm de côté, 6 cm de hauteur) : 12

3 × 144 = 18 cm3.

Volume du flacon = 144 − 18 = 126 cm3 = 126 mL. Le flacon peut donc contenir 100 mL de parfum.

1. 3 → 5 → 25 → 16

2. −1 → 1 → 1 → −8

3. 2 → 2 + 2 → ( 2 + 2)2 → ( 2 + 2)2 − 9 = 2 2 + 4 2 + 2 − 9 = −3 + 4 2

4. x → x + 2 → (x + 2)2 → (x + 2)2 − 9

5. On veut que (x + 2)2 − 9 = 0, ce qui revient à (x + 2)2 = 9 ; donc x + 2 = 3 ou x + 2 = −3, c’est-à-dire x = 1

ou x = −5. Pour que le résultat du programme soit nul, il faut choisir 1 ou −5 comme nombre de départ.

1. Le serveur tirant au hasard, chaque papier a la même chance d’être tiré et il y en a 6.

Donc, la probabilité que le papier tiré soit marqué « Alain » est de 16

. La probabilité que le papier tiré

soit marqué « Claude » vaut 0 car il n’y a pas de papier marqué « Claude ».

La probabilité que le papier porte le prénom d’une fille vaut 26

13

= , car il y a 2 prénoms de fille.

2. Soit a le prix d’un café et b celui d’un thé. « 2 cafés et 3 thés coûtent 9,80 € » donne 2a + 3b = 9,8

et « 1 café et 2 thés coûtent 6 € » donne a + 2b = 6.

On a donc 2 3 9,80

2 6a b

a b+ =

+ =

. On en déduit 2 3 9,802 4 12

a ba b+ =+ =

, d’où b = 12 − 9,8 = 2,2 en soustrayant

membre à membre, et a = 6 − 2 × 2,2 = 1,6. On vérifie que ces valeurs satisfont les deux égalités

initiales et on en conclut qu’un café vaut 1,60 € et un thé 2,20 €.

Alain, Benoît, Claire, Denis, Esther et Fabien vont payer 4 × 1,60 + 2 × 2,20 = 10,80 €.

3. Soit x le montant de l’addition ; les clients ont payé : 15100

115

1001,15x x x x+ = +

=

. Sachant qu’ils

ont laissé 13,80 €, on a 1,15x = 13,8, donc 13,81,15

x = , soit x = 12. L’addition se montait à 12 €.

Cas 1 : BC étant la plus grande valeur, le triangle ne peut être rectangle qu’en A. Il suffit donc de calculer

BC2 et AB2 + AC2. BC2 = 62 = 36 ; AB2 + AC2 = 4,82 + 3,22 = 23,04 + 10,24 = 33,28 ; BC2 ≠ AB2 + AC2,

d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

Il n’est donc pas rectangle.

Cas 2 : ABC est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte l’arc �AB, tout comme AMC ;

ils ont donc la même mesure d’où ABC = 55 °. Dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180 °.

Donc, dans le triangle ABC, BAC = 180 − 55 − 30 = 95 °. Le triangle ABC n’est pas rectangle.

Cas 3 : les droites (AB) et (CD) sont parallèles et (CD) est perpendiculaire à (AC) ; on en déduit

que (AB) est aussi perpendiculaire à (AC). Autrement dit, le triangle ABC est rectangle en A.

Spéc

imen

ens

eign

ant

Vidé

opro

ject

ion

inte

rdite


suJEt

4On veut installer un billard de 2 m sur 4 m dans une salle. La température de cette salle doit toujours être de 18 °C et la table chauffée à 30 °C. 1. Sachant que l’on a besoin de 1,75 m pour pouvoir évoluer autour de cette table :a. Quelles doivent être les dimensions minimales de la salle sachant qu’elle a une forme rectangulaire ? b. Quelle fraction de l’aire de la salle représente l’aire de la table ?2. On peut assimiler le billard à un rectangle ABCD, [AB] étant sa longueur. Lors d’un choc avec une bande, la boule repart symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la bande au point de choc. Une boule est lan-cée du centre du billard en direction du côté [AB] tel que le point de contact M soit à 1 m de B.

a. Représenter le billard à l’échelle

150

.

b. Tracer le trajet de la boule après un rebond.c. Que se passe-t-il après trois rebonds ?

ExERcicE 1 6 points

Pierre quitte Paris en direction de Rennes à 15 h. Au même moment, Sandra part de Rennes vers Paris.

0 30

Temps(en min)

Distance (en km)

60 90 120 150 180 210 240

50

100

150

200

250

300

350

400PierreSandra

1. Que représente l’origine du repère ?2. Quel temps met chaque personne pour parcourir son trajet ?3. Que fait Pierre au bout d’une heure et demie ?4. Quelle est la vitesse moyenne de chaque conducteur ?5. Sandra a dépensé 69 €, carburant et péages compris. Sachant que le coût des péages est de 27 €, que le carburant coûte 1,5 €/L, quelle est la consommation moyenne de Sandra pour 100 km sur ce trajet ?

ExERcicE 2 6 points

ABCDE est une pyramide régulière de sommet E et de base carrée ABCD.Le carré ABCD a pour centre H. On donne EH = 270 et on pose AB = x. 1. Exprimer le volume de la pyramide en fonction de x.2. Le volume de la pyramide est-il proportionnel à la mesure du côté x ?3. Dans un vieux manuel, il est écrit que la pyramide de Gizeh était une pyramide régulière à base carrée d’une hauteur de 270 coudées royales et de … coudées royales de base. La mesure de la base est effacée mais on connaît le volume de la pyramide 17 424 000 (coudées royales)3. Retrouver la dimension manquante. 4. Sachant qu’une coudée royale mesurait 52,4 cm, quelles étaient les dimensions de la pyramide en mètres ?

A B

CD

H

E

ExERcicE 3 6 points

Spéc

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ant

Vidé

opro

ject

ion

inte

rdite


suJEt

4ExERcicE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. a. Il faut augmenter les dimensions d’au moins 1,75 de part et d’autre du billard. Or, 2 + 2 × 1,75 = 5,5

et 4 + 2 × 1,75 = 7,5. Les dimensions minimales de la pièce sont donc 5,5 m et 7,5 m.

b. L’aire de la table est de 8 m2, l’aire de la salle est de 5,5 × 7,5 soit 41,25 m2. L’aire de la table représente 8

41, 25 , soit 32

165 de l’aire de la salle.

2. a. et b. À cette échelle, le rectangle

a pour mesures 4 cm sur 8 cm.

On nomme M1 le point de rebond

sur la bande [BC], M2 sur [CD]

et H le pied de la perpendiculaire

à (AB) issue de A. O étant le centre

du rectangle ABCD, OH = 1 et H

est le milieu de [AB], donc HB = 2.

Puisque BM = 1, M est le milieu de [BH], donc OHM est un triangle isocèle rectangle en H.

L’angle d’arrivée au premier rebond vérifie donc HOM = 45 ° et la symétrie conservant les angles,

BMM1 = 45 °. L’angle OMM1 est donc droit. Puisque l’angle MBM1 est droit, le triangle MBM1

est isocèle rectangle en B. Donc, BM1 = 1 et M1 est le milieu de [BC].

c. En recommençant deux fois le procédé, on arrive à O milieu de [HH’]. La boule est revenue

au point de départ et a décrit un carré puisque chaque angle est droit et MO = MM1.

M

O

A H B

CD M2

M1

1. L’origine du repère correspond au départ de Pierre de Paris à 15 h.

2. Graphiquement, on lit, en abscisse, que Sandra met 220 min, soit 3 h 40 min et Pierre, 190 min,

soit 3 h 10 min.

3. La distance parcourue par Pierre n’augmente pas de 90 à 120 min. On peut donc dire qu’au bout

de 90 min, c’est-à-dire 1 h 30 min, il s’arrête 30 min.

4. La vitesse moyenne sur un trajet correspond au quotient de la distance parcourue par la durée

de ce trajet. On lit graphiquement en ordonnée, que tous deux parcourent 350 km. Donc :

• la vitesse moyenne par heure de Pierre vaut 350190

60× , soit 111 km/h en arrondissant à l’unité.

• la vitesse moyenne par heure de Sandra vaut 350220

60× , soit 95 km/h en arrondissant à l’unité.

5. La dépense en carburant est de 69 − 27, soit 42 €. Le carburant coûtant 1,50 €/L, sa consommation

est de 421,5

28= L. Cela représente une consommation de 28 L sur l’ensemble du trajet, ce qui donne,

pour 100 km : 28 100

3504 100

508

× = × = . Sa consommation est donc de 8 L/100 km.

1. (x) = AB HE3

2703

90x

x× = × =

2 22

.

2. Puisque (x) = 90x2 , n’est pas une fonction linéaire donc (x) n’est pas proportionnel à x.

3. On sait que (x) = 90x2 et on veut que (x) = 17 424 000 . On résout 17 424 000 = 90x2, ce qui donne

x2 = 193 600. La solution x cherchée étant une longueur, elle est positive. Donc, la solution x est le nombre

positif dont le carré vaut 193 600, soit la racine carrée de ce nombre qui vaut 440.

La base de la pyramide est de 440 coudées royales.

4. AB = 440 × 52,4 = 23 056, soit 230,56 m. EH = 270 × 52,4 = 14 148, soit 141,48 m.

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4Voici le bilan de l’été 2011 des sauveteurs embarqués. Ces derniers interviennent en mer au-delà de la zone de proximité immédiate du littoral.

Juin Juillet Août Septembre Total

Nombre d’interventions 384 586 742 340 2 052

Nombre de flotteurs impliqués 311 479 572 265 1 627

Nombre de personnes impliquées 927 1 415 1 811 643 4 796


Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D

1En pourcentage, l’augmentation du nombre d’interventions de juin à août est de : 358. 1,93. 193. 93.

2En pourcentage, l’augmentation du nombre de personnes impliquées de juin à août est de : 1,83. 83. 95. 1,95.

3L’augmentation du nombre de flotteurs impliqués de juin à juillet est de 54 %, celle de juillet à août, de 19 % et celle de juin à août, de :

84. 73. 36,5. On ne peut le déterminer.

4Si le nombre d’interventions augmente l’été 2012 de 10 % par rapport aux résultats de l’été 2011, il sera de :

2 062. 205. 2 257. 422.

5Si l’année suivante, il baisse de 10 %, il sera en 2013 de : 2 031. 2 042. 226. 2 052.

ExERcicE 4 5 points

Une boîte contient 100 jetons indiscernables au toucher, numérotés 1 ; 2 ; …… ; 100. On tire un jeton au hasard et on note son numéro. 1. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré soit pair ? 2. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré soit divisible par 5 ? 3. Quelle est la probabilité que le numéro du jeton tiré contienne au moins une fois le chiffre 3 ?

ExERcicE 5 4 points

Deux tours, l’une haute de 40 pas, l’autre de 30 pas, sont distantes de 50 pas. Entre les deux tours se trouve une fontaine sur laquelle deux oiseaux, partant chacun d’une des tours et volant à la même vitesse, arrivent en même temps. Sur du papier quadrillé sur lequel la situation sera représentée, construire l’emplacement de la fontaine par rapport aux deux tours. À quelle distance des deux tours se trouve-t-elle ?Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en considération.

ExERcicE 6 5 points

On a répertorié les principaux loisirs de 116 élèves d’un même collège. On les a classés dans le tableau ci-dessous.

Loisirs Sport Télévision Lecture Musique Ordinateur Total

Effectifs 38 29 10 6 33 116

Fréquence (en %) 100

Angles (en °) 180

1. Compléter ce tableau. Les fréquences seront arrondies à l’unité près et les mesures d’angle au degré près.2. Construire un diagramme semi-circulaire représentant la situation.

ExERcicE 7 4 points

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4ExERcicE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ExERcicE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Loisirs Sport Télévision Lecture Musique Ordinateur Total

Effectifs 38 29 10 6 33 116

Fréquences (en %) 100

Angles (en °) 180

Les couples de réponses sont (1, D) ; (2, C) ; (3, A) ; (4, C) ; (5, A).

1. Un jeton sur deux porte un numéro pair, donc la probabilité que le numéro du jeton tiré soit pair

est égale à 12

ou 0,5.

2. Afin d’obtenir la probabilité pour que le numéro du jeton soit divisible par 5, il faut savoir combien

de jetons portent un numéro divisible par 5. Ces nombres se terminent par 0 ou par 5 : 0 ; 5 ; 10 ;

…… ; 95 et 100 ; il y en a 20. Donc, la probabilité que le numéro du jeton tiré soit divisible par 5

est de 20

1000, 2=

.

3. Il faut d’abord savoir combien de jetons portent un numéro qui contient le chiffre 3.

Les nombres contenant le chiffre 3 sont : 3 ; 13 ; 23 ; 43 ; …… ; 93 et 30 ; 31 ; 32 ; 33 ; …… ; 39.

Jusqu’à 100, ce sont les nombres dont le chiffre des unités vaut 3 et ceux dont le chiffre des dizaines

vaut 3, sans compter 33 deux fois ; il y en a 19. Donc, la probabilité que le numéro du jeton tiré

contienne le chiffre 3 est égale à 19

1000,19=

.

En respectant une échelle, représentons la première tour

par un segment vertical [AB] de 4 unités et la seconde,

par un segment vertical [CD] de 3 unités.

Les points A et C représentant la base des deux tours

sont distants de 5 unités. On nomme F la fontaine.

Puisque les oiseaux arrivent en même temps alors

qu’ils partent en même temps et volent à même vitesse,

les distances BF et DF sont égales.

Cela signifie que F est sur la médiatrice de [BD].

Mais, comme F est aussi un point de [AC], il est à l’intersection de la médiatrice de [BD] et de [AC].

Le triangle BAF est rectangle en A et DCF est rectangle en C. En appliquant le théorème de Pythagore

dans ces deux triangles, on obtient : FB2 = AB2 + AF2 et FD2 = CD2 + CF2. Mais, FB = FD,

donc FB2 = FD2, ce qui donne : 42 + AF2 = 32 + CF2. Puisque CF = AC − AF = 5 − AF, on obtient :

42 + AF2 = 32 + (5 − AF)2 ; 16 + AF2 = 9 + 25 − 10AF + AF2, ce qui donne 10AF = 18, soit AF = 1,8.

Comme CF = 5 − AF = 5 − 1,8 = 3,2. Le point F est à 1,8 unité du point A et 3,2 unités du point B.

D’où, à l’échelle, la fontaine se trouve à 18 pas de la grande tour et 32 pas de la petite tour.

1. Pour exprimer chaque

fréquence en pourcentage,

on calcule le quotient

de l’effectif par l’effectif

total, multiplié par 100.

Les valeurs des angles

s’obtiennent en multipliant

les fréquences par 1,8.

2.

33 25 9 5 28

59 45 16 9 51

A

B

C

Secondetour

Premièretour

D

E

F

Télévision

Musique

Ordinateur

51° 59°

45°

16°9°

Lecture

SportSpéc

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© Éditions Magnard – La photocopie non autorisée est un délit.

Les compétences travaillées dans les exercices de chaque sujet

Les attendus en fin de collège Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4

Dans le domaine des nombres : Maîtriser le calcul numérique

Maîtriser les premiers éléments du calcul littéral

2 ; 4

7

2 ; 4 ; 6

5

6 ; 7

6 ; 7

1 ; 2 ; 4

3 ; 6

Dans le domaine de l’organisation et la gestion des données : Maîtriser les éléments de base en statistique descriptive

Maîtriser les éléments de base en probabilités

Maîtriser les premières connaissances sur les fonctions, représenter et interpréter graphiquement

5

8

4

2 ; 5

3

7

1

7

5

2

Dans le domaine géométrique : Maîtriser les figures de base et propriétés de configurations du plan

Connaître les solides usuels de l’espace, maîtriser leurs représentations et propriétés

1 ; 5

1 ; 3 ; 8

7

2 ; 4 ; 8

5

1 ; 6

3

Dans le domaine des grandeurs et mesures : Maîtriser l’utilisation des grandeurs usuelles, des grandeurs composées et les changements d’unités

2 ; 3

4 ; 7

5

3

Prendre des initiatives 3 ; 7 6 4 6

Items de la compétence 3 du socle Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4

Rechercher, extraire, organiser l’information utile

1 ; 2 ; 3 ; 8 2 ; 4 1 ; 3 ; 6 ; 7 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7

Mesurer, calculer, appliquer des consignes

2 ; 3 ; 5 1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 2 ; 5 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7

Modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer

3 ; 4 ; 7 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 2 ; 4 ; 7 ; 8 1 ; 2 ; 3 ; 6

Argumenter et présenter les résultats à l’aide d’un langage adapté

3 - 8 4 - 8 4 - 8 1 ; 3 ; 5 ; 6

couverture : Nathalie Dudek

Maquette intérieure : SG Création

Réalisation : SG production

coordination éditoriale : Adrien Fuchs assisté d’Émeline Marx

Aux termes du code de la propriété intellectuelle, toute reproduction ou représenta-tion intégrale ou partielle de la présente publication, faite par quelque procédé que ce soit (reprographie, microfilmage, scannérisation, numérisation…), sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayant cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles L.335-2 et suivants du code de la propriété intellectuelle. L’au-torisation d’effectuer des reproductions par reprographie doit être obtenue auprès du Centre Français d’exploitation du droit de Copie (CFC), 20 rue des Grands-Augustins – 75006 Paris – Tél. : 01 44 07 47 70 – Fax : 01 46 34 67 19.

© Magnard – Paris, 20125, allée de la 2e D.B., 75015 ParisISBN : 978-2-210-21108-7

Ce manuel est imprimé sur des papiers certifiés, provenant de forêts durablement gérées, et par un imprimeur certifié Imprim’Vert.

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L’éprEuvE dE matHématIquEs du dNB LES SujETS …€¦ · • Les exercices sont à réaliser dans l ... Le poids du collier s’obtient en multipliant ce volume qui vaut approximativement