Leopoldo Angrisani - GMEE Angrisani...Il problema della Propagazione delle Incertezze Leopoldo Angrisani DIS, Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università degli Studi di

Il problema della Propagazione

delle Incertezze

Leopoldo Angrisani

DIS, Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università degli Studi di Napoli Federico II

Uso della Trasformata Unscented

per la valutazione dell’incertezza

nelle misurazioni indirette

Giornata della Misurazione – Roma, 4-5/06/2012

Indice

Scenario normativo attuale

JCGM 100:2008 - GUM

JCGM 101:2008 – Supplemento 1

Trasformata Unscented

Soluzione proposta

Esempi applicativi

Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012


Scenario normativo attuale

JCGM 100:2008 - GUM


Noto il modello della misurazione indiretta,

la stima sia del valore, y, sia dell’incertezza standard, uc(y), del misurando Y è ottenuta dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine della funzione f (…).

NXXXfY ,..,, 21

Nxxxfy ,..,, 21

1

1 11

2

2

2 ,2N

i

N

ij

ji

ji

N

i

i

i

c xxux

f

x

fxu

x

fyu


JCGM 100:2008 - GUM

Problematiche principali

Approssimazioni eccessive introdotte dal troncamento al primo ordine, soprattutto in presenza di significative non linearità della funzione di misura.

Difficoltà o impossibilità di calcolo delle derivate in caso di funzione di misura non espressa analiticamente, ovvero espressa mediante algoritmo numerico (spesso complesso).



Soluzione proposta

Propagazione delle distribuzioni associate alle grandezze di ingresso, come base per la stima sia del valore sia dell’incertezza standard del misurando nelle misurazioni indirette.

Utilizzo di metodi numerici, in particolare simulazioni Monte Carlo, per raggiungere lo scopo descritto.

Possibilità di stimare tutti i momenti (statistiche) associati alla variabile che modella il misurando.



Problematiche principali

Notevole numero di simulazioni per conferire attendibilità alle stime.

Tempi di elaborazione elevati e risorse computazionali significative, per eseguire le simulazioni nel numero richiesto.


GUM vs Supplemento 1


Perché ?

Si consideri lo sviluppo in serie di Taylor della funzione di misura in un intorno del valore atteso x

443322 !4

1

!3

1

!2

1 )(

)()(

XfXfXfXfxf

XxfXfY

Il valore atteso y di Y assume la forma

] !3

1

!2

1 [)(

3322 XfXfXfxfy





Principio ispiratore

È più semplice approssimare una distribuzione di probabilità che approssimare un’arbitraria trasformazione o funzione non lineare.



Idea chiave

Definire un limitato e deterministico insieme di punti, sigma points, nel dominio della funzione di misura f(.), capaci di “catturare” i momenti centrali delle variabili di ingresso.

Elaborare i sigma points trasformati tramite la f(.), per stimare il valore e l’incertezza standard associati al misurando.




Perché funziona?

Il termine i-esimo del valore atteso y, proveniente dallo sviluppo in serie di Taylor della f(.) in un intorno di x

21

1

1

12...111...1

1

!

1

)(X!

1

!

XX

fm

X

fm

i

XfXi

Ei

XfE

i

i

i

i

X

iN

j j

j

ii x

x

dipende dai momenti centrali i-esimi delle variabili di ingresso

]X....XX[ 21...12 iim


Soluzione proposta


Passi procedurali

, , , 32

NNNx

, , , 32

222 x

, , , 32NNNx

)(i

f ... , , , 32

yyy

Valutazione dei momenti centrali delle variabili di ingresso fino al G-esimo ordine.

Determinazione di GN+1 sigma points.

Propagazione dei sigma points tramite f(.).

Stima del valore e dell’incertezza standard del misurando.


Valutazione momenti centrali

, , , 32NNNx

, , , 32

222 x

, , , 32NNNx

)(i

f ... , , , 32

yyy

Diversamente dalle simulazioni Monte Carlo, occorre stimare solo la media e i momenti centrali fino al G-esimo ordine delle variabili di ingresso.

Tali stime possono essere ricavate da pdf, se note, da informazioni disponibili, ovvero tramite misurazioni ripetute.

L’attendibilità delle stime di y e uc(y) aumenta con l’ordine G.


Determinazione dei sigma points

, , , 32

NNNx

, , , 32

222 x

, , , 32NNNx

)(i

f ... , , , 32

yyy

Sono capaci di “catturare” i momenti di interesse in presenza di variabili di ingresso :

incorrelate, distribuite sia simmetricamente sia asimmetricamente;

correlate, distribuite simmetricamente.



Possibili sigma points sono le colonne della

matrice

xxxx G ...21

NN xx

xx

x

...

.........

... 11

iN

i

i

s

s

...0

.........

0...1



0 0.5 1 1.5

x 10-4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

G

GG

GG

GG

GG

G

WWW

WWW

WWW

WWWNW

..

...

..

..0

)..(1

2211

G

22

22

2

11

2

2211

210

dxpdf

dpdfx

ii

ji

i



Variabili di ingresso incorrelate e distribuite

simmetricamente :

momenti centrali fino all’ottavo ordine.

Variabili di ingresso incorrelate e distribuite asimmetricamente :

momenti centrali fino al quarto ordine.

Variabili di ingresso correlate e distribuite simmetricamente :

momenti centrali fino al quarto ordine.


Trasformazione dei sigma points

I sigma points vengono trasformati attraverso la funzione di misura.

, , , 32NNNx

, , , 32

222 x

, , , 32NNNx

)(i

f ... , , , 32

yyy

1,..,1,

GNjf

jj

j

é la j-esima colonna della matrice


Stima dei momenti di uscita

L’ultimo passo consiste nella stima dei momenti di Y.

, , , 32NNNx

, , , 32

222 x

, , , 32NNNx

)(i

f ... , , , 32

yyy

10

11

2

1

2

1

1 ..

GN

GN

NGj

jG

N

Nj

j

N

j

j WWWWy

i

GN

GN

NGj

i

jG

N

Nj

i

j

N

j

i

j

i

y yWyWyWyW

10

11

2

1

2

1

1 ..


Stima dei momenti di uscita

Esplicitando i sigma points nella stima di y

e applicando un’espansione in serie di Taylor al generico sigma point trasformato


Esempi applicativi


Componenti impedenza capacitiva

Modulo m ~ N(1000 W, 1 W)

Fase j ~ N(-p/2, p/40)

j

j

sinIm

cosRe

mZ

mZ


Componenti impedenza capacitiva

Marcata compatibilità tra le stime fornite dalla

soluzione proposta e quelle ottenute da 106 simulazioni Monte Carlo.

(W) (W)

y uc y uc

UT 0.000 78.29 -996.920 4.46

MC -0.03 78.22 -996.927 4.44

ZRe ZIm


Potenza dissipata su carico resistivo

2IRP

Resistenza R ~ N (10 W, 1 W)

Intensità di corrente I ~ N (5 A, 0.6 A)

r =0.77


FFT su 16 campioni

• Segnale sinusoidale con fx = 100 kHz

• Frequenza di campionamento fc = 1MS/s

• Risoluzione nominale A/D = 8 bit

Pdf uniforme per ciascun campione

Per ciascuna riga spettrale (bin), le stime di media e incertezza standard sono state confrontate con quelle fornite da 106 simulazioni Monte Carlo


FFT su 16 campioni

ANGRISANI et al.: UNSCENTED TRANSFORM: A POWERFUL TOOL FOR MEASUREMENT UNCERTAINTY EVALUATION 741

TABLE IVRESULTS OBTAINED IN TESTS ON THE CONSIDERED NONLINEAR MEASUREMENT MODEL WITH X 1 AND X 2 MODELED AS

SYMMETRICALLY DISTRIBUTED VARIATES. ∆ y AND ∆ uc ARE EXPRESSED IN PERCENTAGE RELATIVE TERMS

TABLE VRESULTS OBTAINED IN TESTS ON THE CONSIDERED NONLINEAR MEASUREMENT MODEL WITH X 1 AND X 2 MODELED RESPECTIVELY AS

SYMMETRICALLY AND ASYMMETRICALLY DISTRIBUTED VARIATES. ∆ y AND ∆ uc ARE EXPRESSED IN PERCENTAGE RELATIVE TERMS

As expected, both the proposed approach and the LPU have

shown similar performances.

B. Nonlinear Measurement Model

The nonlinear measurement model Y = X 1 cos(X 2) has

been taken into account. Input quantities X 1 and X 2 have

been modeled, respectively, as a rectangular distributed variate

(X 1 = U(1,∆ )) and as a Gaussian random variate (X 2 =

N (π,σ)). Increasing values of standard deviation σ and width

∆ have been considered; they are summarized in Table IV.

For each couple of values of σ and ∆ , estimates of output

expectation and standard uncertainty have been gained both

through the proposed approach and LPU. 106 MC simulations

have also been carried out to estimate the output cumulative dis-

tribution function. This way, it has been possible to evaluate the

CL associated to the interval [y − 2uc, y + 2uc], for both the

proposed approach and the LPU. Results presented in Table IV

clearly prove the superior performance of the proposed ap-

proach with respect to LPU, especially in critical conditions

(high values of σ and ∆ ).

Further examples have concerned asymmetrically distributed

input variates in the same nonlinear measurement model; X 2

has, in particular, been modeled as a Rayleigh distribution with

parameter σ. The obtained results are given in Table V; con-

siderations very similar to those stated above can be drawn.

C. DSP Algorithm

The proposed approach works well also in the presence of

DSP algorithms as measurement models. The given example

refers to the application of the fast Fourier transform (FFT) to

a portion (16 samples) of an actual 100-kHz sinusoidal signal

in order to gain its amplitude spectrum. Samples have been

acquired at a rate of 1 MS/s and quantized through an 8-bit

analog-to-digital converter. The same rectangular pdf has been

assumed for each sample. For each spectral line (bin), differ-

ences (∆ y and ∆ uc) between expectation and standard devi-

ation estimates provided by the proposed approach and those

granted by 106 MC simulations have been calculated. Their

values, in percentage relative terms, have never been greater

Fig. 5. Differences, for each spectral line, between expectation and standarddeviation estimates provided by the proposed approach and those granted by106 MC simulations.

than 0.2% (Fig. 5). Moreover, the time taken by the proposed

approach has been much lower (31 ms) than that required by

MC simulations (about 23 s), hardware and software resources

being equal.

IV. CONCLUSION

An original approach for estimating output expectation y

and standard uncertainty uc in indirect measurements has been

presented. It proposes the use of the UT to overcome typ-

ical problems affecting current GUM recommendations. To

assess its performance, several tests have been conducted on

a linear measurement model, a nonlinear measurement model,

and an FFT-based algorithm. Differences between obtained

estimates and those granted by 106 MC simulations have, in

particular, been evaluated; values always lower than 0.7% have

been achieved. Moreover, the effective CL associated with the

interval [y − 2uc, y + 2uc] has also been derived; CLs higher

than 90% have been experienced.

Tempo di misura

• UT = 31 ms

• MC = 23 s


Conclusioni La soluzione proposta usa la Trasformata Unscented per stimare il valore e l’incertezza standard del misurando nelle misurazioni indirette.

La soluzione opera con variabili di ingresso sia incorrelate sia correlate, quest’ultime solo se distribuite simmetricamente.

Consente di superare alcuni limiti della GUM, in termini di funzione di misura non lineare o non esprimibile analiticamente, o con derivate difficili (se non impossibili) da valutare.

Si configura come valida alternativa all’approccio suggerito dal Supplemento 1, esibendo un carico computazionale contenuto.


Grazie per l’attenzione

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