Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluß der Kristalloptik)

VON

WOLDEMAR VOIGT

Mit 213 Figuren und 1 Tafel

Reproduktion des 1928 mit einer späteren Arbeit des Verfassers

und einem Geleitwort von Professor M. v. Laue

erschienenen Nachdrucks der ersten Auflage von 1910

1966

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

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ISBN 978-3-663-15316-0 ISBN 978-3-663-15884-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-15884-4

Alle Ra-hte, auch die der Ohersetzung, des auszugsweisen Nachdruckes

und der fotomechanischen Wiedergahe, vorhehalten

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1966 Ursprtlnglich erschienen bei B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1966.

Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1966

DEM ANDENKEN

FRANZ NEUMANNS

VORWORT. Die nachstehende Darstellung der Kristallphysik mit Ausschluß

der Kristalloptik beruht auf Vorlesungen, die ich zu wiederholten Malen über diesen Gegenstand an der Göttinger Universität gehalten habe. Daß bei denselben die Kristalloptik ausgeschieden wurde, lag zu einem Teil an dem geg~nüber dem ungemein reichen Stoff knappen Raum, den eine vierstündige Vorlesung bietet. Zum anderen Teil wirkte ein innerer Grund bestimmend. So eng in sich geschlossen die Kristalloptik erscheint, und so systematisch sich die andern Gebiete der Kristallphysik , für sich allein betrachtet, aufbauen, so grenzen beide Bereiche sich gegeneinander doch sehr deutlich ab. Die Kristall­optik wird demgemäß von mir auch regelmäßig in der einleitenden Vorlesung über allgemeine Optik skizziert und in einer eigenen Spezialvorlesung ausführlicher entwickelt. Hier konnte ich auf ihre Angliederung um so eher verzichten, als eine erschöpfende Bearbeitung des ganzen Gebietes von Fr. Pockels 1) in dem gleichen Verlage erschienen ist, welcher diese Darstellung herausgibt.

Auch bei Ausschluß der Kristalloptik ist der in einer Vorlesung über Kristallphysik zu bewältigende Stoff so groß, daB die Probleme des Gebietes dort zumeist nur angedeu tet werden können. Indem dann bei der Ausarbeitung fUr die Veröffentlichung diese Andeutungen ausgeführt werden mußten, erhielt das Ganze von selbst Umfang und Form, die einigermaßen von denen der Vorlesung abweichen. Dennoch sind die Grundzüge der ursprünglichen Entwickelungen genau bei­behalten.

Eine größere Einschaltung ist der Theorie der Elastizität von Kristallplatten gewidmet. Dieselbe schien schon allein durch Sym­metrierücksichten geboten. Wo die Theorie der Stäbe wegen funda­mentaler, darauf beruhender Beobachtungsmethoden sehr ausführlich behandelt werden mußte, durfte diejenige der Platten nicht ganz über­gangen werden. Überdies bezieht sich eine merkwiirdige Beobachtungs­reihe Savat'ts auf die Schwingungen von Kristallplatten, und ich fühlte mich durch eine Art Verpflichtung zu dem Versuch gedrängt, die l{,esul­tate dieser ersten großen und doch fast vergessenen Experimentalunter­Buchung aus dem Gebiete der Kristallphysik mit der Theorie in Beziehung

1) I/I'. Pockels, Lehrbuch der Kristalloptik, Leipzig, 1906.

VI Vorwort.

zu setzen. Da dem Problem mit der strengen Theorie bis jetzt nicht beizukommen ist, mußte eine Annäherungsbetrachtung benutzt werden, die aber genügen dürfte, um die Savartschen, im allgemeinen nur qualitativen Resultate theoretisch verständlich zu machen.

Kleinere Einschaltungen betreffen die Theorie mehrerer Probleme der Piezoelektrizität und der elektrischen Deformation, die wegen der Einfachheit und Eleganz der Lösungen Interesse zu verdienen schienen.

Weil der Mehrzahl der Hörer physikalischel· Vorlesungen die Elemente der Kristallographie nicht geläufig zu sein pflegen, habe ich dieselben in einer für die phYflikalische Verwendung geeigneten Form im Eingang der Vorlesung kurz und anschaulich entwickelt und diese Darstellung in der Bearbeitung noch etwas erweitert; es ist dadurch eine Grundlage geschaffen, auf der im weiteren bequem gebaut werden kann. Ähnlich verhält es sich mit einem zweiten einleitenden Kapitel über gerichtete Größen verschiedener Ordnung. Ein drittes über Grundgesetze der allgemeinen Physik hätte eher entbehrt werden können; ich habe dasselbe wesentlich deshalb aufgenommen, um oft zu benutzende Formeln in einer bestimmten erwünschten .Form und an einer Stelle vereint leicht auffindbar beisammen zu haben.

Die Wahl der Symbole für die vorkommenden physikalischen Größen bereitete, da mit Ausnahme der Optik alle Gebiete der Physik von der Darstellung betreten wurden, einige Schwierigkeiten. Ich habe mich bemüht, dabei von dem anderweitigen Gebrauch möglichst wenig abzuweichen.

Da die Kristallphysik mit gerichteten Größen sehr verschiedener Ordnungen operiert, und idr diese eine allgemeiner anerkannte Symbolik nicht existiert, so würden die Symbole der Vektoranalysis fremdartig und isoliert aufgetreten sein; ich habe dieselben daher nicht benutzt.

Vektorkomponenten nach den Koordinatenachsen sind überall da, wo es auf die Betonung ihres Charakters ankommt, durch die Indizes 1, 2, 3 charakterisiert, Tensorkomponenten durch Doppelindizes 11, 22, 33, 23, 31, 12. Wo Verwechslungen nicht zu befürchten sind, werden statt der letzteren mitunter auch einfache Indizes 1, 2, .. 6 angewendet. Die Konstituenten der Tensortripel sind durch die Indizes I, II, III von Vektorkomponenten unterschieden.

Von einzelnen konsequent benutzten Symbolen seien die folgenden hervorgehoben:

Gesamtenergie E, elektrische und magnetische Energie n und T. Zugeführte Arbeit und (mechanisch gemessene) Wärme d'A und

h'.Q,j bei Beziehung auf die Volumeneinheit tJ'a. und tJ'w. Erstes und zweites thermodynamisches Potential g und b·

Vorwort. VII

Verrfickungs- und Drehungskomponenten u, VI w und l, m, n. Deformationsgrößen x." YIl' S" Y., s." x,; kürzer gelegentlich auch

:tu xs, .. x6 • Lineäre Dilatation LI, räumliche b. Druckkomponenten X .. , Y" Z., y., Z." Xy ; kürzer gelegentlich

auch Xu Xs,· . Xe· Absolute Temperatur .ft, relative, z. B. nach Celsius, -r. Thermische

Leitfähigkeit 1. Wärmeströmung W. Spezifische Wärme (in mechanischem Maße) der Volumeneinheit r,

der Masseneinheit r. Thermische Dilatationen und Drucke .A und Qj bei kleiner Tempe­

raturänderung a-r und g-r. Elektrische und magnetische Feldstärken E und H, Momente P

und M, Induktionen J und B, Potentialfunktionen tp, Potentiale «P. Elektrische und magnetische Permeabilitäten 8 und 11-, Suszep­

tibilitäten '1 und x, Raum- und Flächendichten ~ und 6.

Elektrische Leitfähigkeitskonstanten l, Widerstandskonstanten k, Strömung U.

Isothermische Elastizitätskonstanten und -moduln c und s, adiaba­tische c und ß. Konstanten der inneren Reibung b, Moduln r.

Pyroelektrisches und -magnetisches Moment Fund Gj wahres pyroelektrisches Moment K.

Piezoelektrische Konstanten und Moduln e und a. Von den (im I. Kapitel speziell definierten) kristallographischen

Symmetrieelementen ist eine in die Richtung ,. fallende n-zählige Symmetrieachse mit Ar(n) , eine gleich gerichtete Spiegelachse mit Sr

bezeichnet, eine zu r normale Symmetriebene mit Er' ein Symmetrie­zentrum mit o.

Die Formeln sind in jedem Kapitel fortlaufend gezählt. Bei Be­zugnahme auf frühere Formeln ist dann nur deren Nummer an­gegeben, wenn es sich um Formeln desselben Kapitels handelt; im andern Falle ist auch Seite oder Paragraph ihres Auftretens angeführt.

Was schließlich die allgemeinen mit der Publikation dieser Vor­lesungen verfolgten Ziele angeht, so wünschte ich zum ersten, damit auf den Wert der Symmetriebetrachtungen für den Unterricht in der Physik aufmerksam zu machen. Ich glaube in der Tat, daß Vorlesungen ähnlichen Inhalts, in gleichviel wie bescheidenem Umfange, jedem theoretisch-physikalischen Kursus eingegliedert werden sollten. Von dem verstorbenen Professor P. CU1·ie weiß ich durch persönliche Mitteilung, daß er auf dergleichen Vorträge Wert, legte, und das neue Buch von Bouasse (Cours de Physique, VI. Partie, Etudes des Symetries,

vm Vorwort.

Paris 1909) beweist, daß man anderwärts in derselben Richtung syste­matisch vorgeht.

Zum zweiten wünschte ich durch die Publikation dem Forscher behilflich zu sein, kristallphysikalische Probleme richtig zu stellen. Viele mühsame Beobachtungsarbeit ist im Gebiet der Kristallphysik vergeblich aufgewendet worden, weil sie nicht von der genügenden Einsicht in die Symmetriegesetze der betreffenden Vorgänge geleitet wurde. Auf einzelne derartige Fälle wird im Laufe der Darstellung einzugehen sein.

Zum dritten leitete mich das Bedürfnis, das große und herrliche Gebiet, zu dessen Bearbeitung ich seit 36 Jahren immer wieder zurück­gekehrt bin, nun, wo sich meine Arbeit vielleicht ihrem Ende nähert, noch einmal eingehend und im Zusammenhange darzustellen, dabei auch hervortreten zu lassen, wie meine eigenen zerstreuten und vielleicht dem Anschein nach mitunter zusammenhangslosen Untersuchungen doch von einem einheitlichen Bestreben geleitet gewesen sind.

Den Herren Professor Dr. Pockels und Dr. FörstfJfling, die eine Korrektur des Werkes gelesen haben, sage ich für ihre treuen Be­mühungen, dem Herrn Verleger fdr sein stets freundliches Eingehen auf meine Wünsche herzlichen Dank.

Göttingen, am 1. August 1910. w. VOIGT.

BEGLEITWORT ZUM NACHDRUCK DER ERSTEN AUFLAGE.

W Voigts Lehrbuch der Kristallphysik gehört einer älteren Epoche der Kristallforschung an und hat sie wohl abgeschlossen. Die neueren, nach 1910 gewonnenen Erkenntnisse über die Molekularstruktur der Kri­stalle enthält es selbstverständlich nicht, und was es statt dessen an Molekulartheorie bringt, darf man wohl als überholt bezeichnen. Aber jene ganze Epoche beschäftigte sich überhaupt weniger mit der Molekular­theorie, als mit der Phänomenologie der Kristalle. Und was sie darin geschaffen hat und was deshalb den überwiegenden Teil dieses Buches bildet, hat gerade wegen seines rein formalen Charakters, den man ihr manchmal zum Vorwurf gemacht hat, einen bleibenden Wert. Jetzt be­kommt es wieder neues Interesse, seit man in der Kristallzüchtung er­hebliche Fortschritte gemacht sowie mittels Hertzscher Wellen elastische Schwingungen an piezoelektrischen Kristallen zu erregen gelernt hat und so eine große Zahl interessanter Versuche und Messungen machen kann, welche früher völlig außerhalb des Erreichbaren lagen.

Freilich soll nicht gesagt sein, daß das Gewand, welches das Buch der phänomenologischen Theorie gibt, nun für alle Zeiten seinen Schnitt behalten müßte. Seit die allgemeine Relativitätstheorie die Tensoren höheren Ranges in die Physik eingeführt hat, läge es z. B. nahe, die elastischen, die piezoelektrischen Koeffizienten und andere als Tensor­komponenten zu schreiben, und dadurch ihre Transformationsformeln zu vereinfachen. Aber es erscheint kaum möglich, Voigts Buch darauf­hin umzuarbeiten. Es ist in seiner konsequenten Durcharbeitung, in den Beziehungen, die von einem Kapitel zum anderen führen, ein Meisterwerk, das man durch Veränderungen im einzelnen nur zerstörte. Will man hier etwas verbessern, so muß man ein ganz neues Buch schreiben. Und wer unter den heutigen Physikern versenkte sich wohl mit so viel Liebe in den Gegenstand, wie Woldemar Voigt es getan? Ohnedem aber wird sicher nichts Gleichwertiges geschaffen.

So bleibt also nur der unveränderte Wiederabdruck des Werkes übrig; und der Verlag, der ihn unternimmt, verdient sich damit den Dank vieler Physiker, die sich in den letzten Jahren nur schwer ein Exemplar des Werkes zu verschaffen wußten. Der einzige wesentliche Zusatz - von der Verbesserung einiger Druckfehler an Hand von Voigts eigenem Exemplar brauchen wir nicht zu reden - besteht in der Auf­nahme einer Arbeit von Voigt aus dem Jahre 1915 (Ann. d. Phys. 48, S. 433), welche als Anhang abgedruckt ist. Voigt selbst hätte ihren In­halt zweifellos auch irgend wie in das Buch übernommen, wenn er selbst dessen Wiederabdruck hätte besorgen können.

Berlin, Mai 1928. M. v. LAUE.

INHALTSVERZEICHNIS. Einleitung. Seil ..

§ 1. Allgemeine historische Übersicht. . . . . . . . . . . . . . . 1 § 2. Die ästhetisohe Seite der Kristallphysik . . . . . . . . . . . . 8 § 8. Beziehungen zu den allgemeinen Problemen der Molekularphysik , § 4. Beziehungen zu der Physik isotroper Körper. . . . . . 6 § 6. Verschiedene Arten von Isotropie. . . . . . . . . . . . . . . 7 § 6. Beschaffung von Beobachtungsmo.terial; Kristallzüchtung . . . . 9 § 7. Das Verhä.ltnis der Kristallphysik zur Kristallographie und Mineralogie 10 § 8. Frühere Darstellungen der Kristallphysik . . . . . . . . . . . . . 13

1 Kapitel. Die Symmetrieeigenschaften der Kristalle.

I. A bschni tt. Fundamentale Tatsachen und Definitionen.

§ 9. Isotropie und Aeolotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11) § 10. Gleichwertige Richtungen. Physikalische Symmetrie. . . . . . . . 16 § 11. Flüssige Kristalle. Materie mit erzwungen kristallinischer Struktur. 17 § 12. Die Rolle der Kristallform in der Kristallphysik. Das Prinzip von

:Fr. Neumann . • . • . . . . . • . . . . . . . . . . 19 § 13. Grenzen der Anwendbarkeit des Ne'umanltschen Prinzipes 20 § U. Ergänzende Methoden. Ätzfiguren . . . . . . . . . . . 23

II. Abschnitt. Allgemeine Theorie der Deckbewegungen.

§ 15. Die Konstanz der Kristallwinkel . . . . . . . . . . . . 21) § 16. Normale Polyeder; Polfiguren . . . . . . . . . . . . . 26 § 17. Definition der Symmetrie eines Polyeders; Deckbewegungen 28 § 18. Vergleichung der Symmetrien verschiedener spezieller Polyeder. 80 § 19. Ana.lytische Da.rstellung der a.llgemeinsten Deckbewegung. 32 § 20. Analytische Formulierung . . . . . . . . . 33 § 21. Zusammensetzung mehrerer Deckbewegungen . . 84 § 22. Der Eulersche Satz. . . . . . . . . . . . . . 35 § 28. Zerlegung von Deckbewegungen in Komponenten 36 § 24. Allgemeines über die Methode der Konstruktion von Symmetrietypen 37 § 25. Bildung der Polyeder, welche gegebenen Deckbewegungen entsprechen 89

III. Abschnitt.

Deckbewegungen erster Art, einzeln und miteinander kombiniert.

§ 26. Sätze über einzelne Symmetrieachsen . . . . . . . . . 40 § 27. Allgemeine Prinzipien für die Darstellung der Kristalltypen. Typen

mit nur einer Symmetrieachse. . . . . . . . . . . . . 42

XII Inhaltsverzeichnis.

Seite

§ 28. Sätze über Ketten von Symmetrieachsen. . . . . . . . .7 § 29. Eine Kette zweizähliger Achsen. . . . . . . . . . . . .8 § 30. Kristalltypen mit Ketten zweizil.hliger Symmetrieachsen. 61 § 31. Kristalltypen mit Ketten dreizähliger Achsen . 63 § 32. Ketten vier- und sechszähliger Achsen. Weitere Kristalltypen . 06

IV. Abschnitt.

Deckbewegungen zweiter Art, allein oder mit solchen erster Art verbunden.

§ 83. Reine Inversion. Symmetriezentrum . . . . . . . . • . . . . .. 69 § 8.. Sätze über einzelne Inversionsdrehungen . . .. ...•.... 68 § 86. Verschiedene geometrische Bedeutung der vorkommenden Zähligkeiten 6. § 36. Einführung von Symmetrieebenen in die erste Obergruppe . . •. 66 § 37. Einführung von Symmetrieebenen in die zweite Obergruppe . .. 69 § 88. Einführung von Symmetrieebenen in die Obergruppen III bis VI . 72 § 39. Koexistenz mehrerer unabhängiger Symmetrieebenen . . . . . 78 § .0. Kristalltypen mit einer oder mehreren Spiegelachsen . . . . . 73 § .1. Koexistenz von Spiegelachsen mit andern Symmetrieelementen . 76 § 42. Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . • 76

V. Abschnitt.

Die Beschränkung der Zähligkeiten der Symmetrie- und Inversions-achsen durch das Prinzip der rationalen Indizes.

§ 43. Allgemeines über die anzuwendende Methode. . . . . . . 78 § U. Das Prinzip der rationalen Indizes mit sich selbst im Einklang .• 79 § 45. Gewinnung der Polyederflä.chen aus dem Prinzip der rationalen Indizes 81 § 46. Anwendung des Prinzipes zur Beschränkung der Zil.hligkeiten n und m 82

VI. Abschnitt. De:flnitive Gruppierung der Kristalltypen.

§ 47. Rekapitulation der früheren Resultate . . . . . . . . • 84 § 48. Gesichtspunkte für die Bildung von Kristallsystemen . . 86 § 49. Holoedrie, Hemiedrie, Tetartoedrie . . . . . . . . . . 89 § 60. Spezielle Betrachtung der trigonalen, tetragonalen und hexagonalen

Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 90 § 51. Spezielle Betrachtung des regulären Systems . . . . . . • . . .. 94 § 62. Definitive Anordnung und Benennung der Typen. Hauptachsensysteme 96 § 63. Vereinfachtes Schema. für zentrisch-symmetrische Vorgänge . . 100 ~ 64. Folgerungen für azentrische Vorgänge. ...... . . . 101 § 66. Vorbemerkungen über die Verwertung der Symmetrieformeln der

Kristallgruppen in der Kristallphysik .. . . . . . . . 103

VII. Abschnitt. Die Symmetrieverhältnisse der Xristallflächen und ihre Verwendung.

§ 56. Allgemeines über Flächensymmetrie . . . . . . .. . . . . . 104 § 67. Kontrolle der Einheitlichkeit von Kristallindividuen mit Hilfe von

Ätzfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lOG § 58. Kontrolle der Symmetrieformeln einfacher Individuen . . . . . . . 108

Inhaltsverzeichnis. XTII

VTII. Abschnitt.

Strukturtheorien. Seite

§ 69. Allgemeines über Ziele und Leistungen der Strukturtheorien . 110 § 60. Die Bravaisschen Raumgitter. . 111 § 61. Die Bravaissche Strukturtheorie 116 § 62. Neuere Strukturtheorien 119

11. Kapitel. Physikalische Funktionen als gerichtete Größen.

I. Abschnitt.

Systematik. der geriohteten Größen.

§ 63. Einwirkungen und Effekte; Reziprozitll.ten . . . . . . 122 § 64. Skalare Grllßen und skalare Felder . . . . . . . . . 123 § 66. Verschiebungavektoren, Vektorkomponenten . . . . . 124 § 66. Koordinatentransformationen von Vektorkomponenten . 126 § 67. Drehungavektoren • . . . . . . . . . . . . . . . . 127 § 68. Kriterien fiIr polare und axiale Vektoren . . . . .. ... 129 § 69. Wechselbeziehungen zwischen skalaren und vektoriellen Feldern. 131 § 7.0. Polare und axiale Tensoren. . 182 § 71. Tensorkomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134 § 72. Tensortripel und Tensorflll.che. . . . . . . • . . . . . . . . .. 136 § 78. Transformationseigenschaften der Tensorkomponenten. Spezielle Sym-

metrien. . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 136 § 74. Orthogonale Tensorkomponten. Schiefwinklige Tensortripel . 139 § 76, Spezielle Arten von Tensoren. . . . . . . . . lU § 76. Gerichtete Größen dritter Ordnung. Trivektoren 141 § 77. Gerichtete Größen vierter Ordnung. Bitensoren. 143

II. Abschnitt. Kombination mehrerer geriohteter Grllßen.

§ 78. Zwei Vektoren. . 144 § 79. Drei Vektoren. . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 146 § 80. Vier Vektoren ....................... " 147 § 81. Sitze über skalare Funktionen von Komponenten gerichteter Größen 149 § 82. Kriterien für die zentrische oder azentrische Symmetrie eines physi-

kalischen Vorgangs. . . . . 152 § 83. Vektorielle und tensorielle Addition. . . . . . . . . . . . . . . 164

111. Kapitel. Allgemeine phYSikalische Hllfssiltze.

Vorbemerkung.

1. Abschnitt.

Sitze aus der Meohanik starrer und deformierbarer Körper. § 84. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen. § 86. Die Gleichung der Energie . . . . . . . § 86. Gleichgewicht einea starren Körpers. . .

166

166 167 158

XIV Inhaltsverzeichnis.

Seite § 87. Allgemeine Ausdrücke für die a.n einem Volumenelement eines de-

1'ormierbaren Körpers geleisteten Arbeiten. . .. ...... 160 § 88. Allgemeine Eigenschaften der inneren Drucke in einem deformier-

baren Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 § 89. Die Deforma.tionsgroßen. Zwei Tensortripel. . . . . . 165 § 90. Weitere allgemeine Sätze über die Druckkomponenten . 168 § 91. Die Deformati1ln ma.terieller Flächen und Kurven . . . 169 § 92. Die Dila.tation einer Strecke. . . . . . . . . . . . . . . 171 § 93. § 94.

Die Änderung eines Flächenwinkels infolge der Deforma.tion 172 Änderungen von Volumen- und Flächengrößen infolge einer De-

forma.tion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 § 95. Die Ha.uptachsen der Dilatation und des Druckes 177 § 96. Anschließende geometrische Beziehungen 178

II. Abschnitt.

Sätze aus der aJ.1gemeinen Thermodynamik.

§ 97. Die erste Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . . 183 § 98. Die zweite Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . .'. 184 § 99. Allgemeines über Energie, Entropie, spezifische W!l.rme 186 § 100. Übergang zu der Betrachtung von Volumenelementen • 187 § 101. Das erste thermodynamische Potential . . . . . . . . 188 § 102. Das zweite thermodynamische Potential. . . . . . . 190 § 103. Allgemeines über reversible und irreversil>le Vorgänge und ihre Be-

handlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192

III. Abschnitt.

SAtze aus der allgemeinen Theorie der Elektrizität und des Magnetismus.

§ 104. Potential und Potentialfunktion . . . . . . 193 § 105. Reihenentwicklung für die Potentialfunktion . . . . '. . . . . 196 § 106. Deutung der Parameter der Entwicklung . . . . . . . . . . 197 § 107. Reihenentwicklung für das Potential. . . . . . . . . . . . 199 § 108. Allgemeines über die Anwendung der vorstehenden Resultate. 201 § 109. Die Potentia.lfunktion eines vektoriell erregten Kiörpers. 202 § 110. Der Fall einer homogenen Erregung . . . . . . . 204 § 111. Die speziellen FiUle von Kugel und Ellipsoid . . . . 205 § 112. Potentialfunktion einer vektoriell erregten Lamelle. . 207 § 113. Die Feldkomponenten im Innern des erregten Körpers 207 § 114. Polare und axiale Natur der elektrischen und der magnetischen

Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 § 115. Die Potentialfunktion eines tensoriell erregten Körpers. . . . . . 211 § 116. Weitere Formen der Potentia.lfunktion . . . . . . . . . . . . . 212 § 117. Verhalten der Potentia.lfunktion in der Oberfläche uud im Innem

des tensoriell erregten Körpers. . . 213 § 118. Spezielle FiUle homogener tensorieller Erregung. . 215 § 119. Vektorielle Erregung durch Influenz . . . . . . . 218 § 120. Zweite Darstellung des Influenzproblems . . . . . 219 § 121. Berechnung der Influenzierungsarbeit. Allgemeines 221 § 122. Durchführung der Berechnung im ~'alle vektorieller Erregung. 222 § 123. Tensorielle Erregung durch Influenz . . . . . . . . . . . . 223 § 124. Prinzip der Anordnung des weiterhin zu behandelnden Stoffes 226

Inhalt.verzeichnis. xv

IV. Kapitel. Wechselbeziehungen zwischen einem Skalar und einem Vektor.

(Pyroelektrizitlt und Pyromagnetismus.)

§ 126. § 126. § 127. § 128.

§ 129. § 130. t 181. § 13t. § 133. § 1".

§ 136.

I. Abschnitt.

Beobachtungen über vektorielle Pyroelektrizität. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ältere Beobachtungen. . . .. . .......... . Die KtfMtsche Besti!.ubungsmethode . . . . . . . . . . . Vektorielle elektrische Erregung bei gleichförmiger und ungleich-

förmiger TemperaturlLnderung . . . . . . . . . . . . Falsche und wahre Pyroelektrizität. . . . . . . . . . . Plan für die theoretische Behandlung der Pyroelektrizität Tensorielle Pyroelektrizität. . . . . . . . . . . . . . . Die Beobachtungen Gaugains • . • • . . . . . Theoretische Gesichtspunkte von W. Thomson. . . . . . Quantitative Bestimmungen von E. Biecke. Das Gesetz der zeit-

lichen Änderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qualitative Bestätigung der W. ThomsDnschen Hypothese

11. Abschnitt.

Thermodynamische Theorie der vektoriellen Pyroelektrizität.

Seite

228 229 230

232 234 236 238 239 240

242 246

§ 136. Das thermodynamische Potential der pyroelektrischen Vorgä.nge. . 248 § 137. Spezialisierung des thermodynamischen Potentials auf die verschie­

denen Kristallgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 § 138. Herabsetzung der Fehlerquellen bei pyroelektrischen Me88uugen • 264 § 139. Eine Kompensationsmethode zur Beobachtung pyroelektrischer

Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 § 140. Die Entropie der pyroelektrischen Erregung und der elektrokalorische

Effekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 § 141. Der experimentelle Nachweie des elektrobIorischen Effekte. 269 § 142. Effekte höherer Ordnung . . . • . . . . . . . . . . . . 260

111. Abschnitt. Pyromagnetiache Erregung.

§ 143. Allgemeine Erwägungen. . . . . . . . . . . . 261 § 144.. Das thermodynamieche Potential pyromagnetilcher. Effekte 263 § 14.6. Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 265

V. Kapitel. Wechselbeziehungen

zwischen einem Skalar und einem Tensortripel. (Thermische Dilatation und tensorieUe Pyroelektrizitlt.)

I. Abschnitt .

.A.llgemeines über tenaorielle phyllikali8che Eigenschaften von Xriatallen. § 14.6. Ein polares Tena\lrtripel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 § 147. Ein axial88 Tensortripel. Wirkung der verschiedenen Symmetrie-

elemente . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

XVI Inhaltsverzeichnis.

Seite § 148. Ein axiaJes Tensortripel. Schemata der Komponenten für die

32 KristaJIgruppen . . . . . . .. ....... 274

H. Abschnitt.

Die thermische Dilatation.

§ 149. Allgemeine Vorbemerkungen . 276 § 150. Beobachtungen über thermische Winkeländerungen und über ther-

mische kubische Dilatation. 276 § 151. Beobachtungen lineil.rer thermischer Dilatationen. 279 § 152. Das erste thermodynamische PotentiaJ der thermischen Dilatation. 282 § 163. Das zweite thermodynamische Potential der thermischen Dilatation 285 § 154. Allgemeine Diskussion der thermischen Drucke und Dilatationen. 287 § 155. Theorie der Beobachtung lineä.rer thermischer Dilatationen. . . . 289 § 156. Numerische Resultate einiger Beobachtungen über lineä.re thermische

Dilatation 292 § 157. Diskussion der Zahlwerte 294 § '158. Anwendung der Zahlwerte zur Berechnung thermischer Winkel-

änderungen. 295 § 159. Adiabatische Zustandsänderungen. 297

1lI. Abschnitt.

Tensorielle Pyroelektrisität.

§ 160, Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 § 161. Anordnungen, welche eine beobachtbare tensorielle elektrische Er-

regung ermöglichen . . . . . . . . . . . '. . . . . 300 § 162. Die Potentialfunktion des tensoriell erregten Kristalls . 302 § 168. Beobachtungen über tensoriell-pyroelektrische Erregung. 303

VI. Kapitel.

Wechselbeziehungen zwischen zwei Vektoren. (Elektrizitäts- und Wäl'meleltung. Elektrische und

magnetische Inlluenz. Thermoelektrizität.) I. Abschnitt.

Allgemeine Gesetze.

§ 164. Die Formeln des allgemeinen Strömungsproblems . . . . . 305 § 165. Geometrische Deutung der Parameter. . . . . . . . . . . 807 § 166. Der Fall der Existenz eines thermodynamischen PotentiaJs . 309 § 167. Die Parameter der 82 Kristallgruppen bei zentrischer Symmetrie 311 § 168. Die Parameter der Kristallgruppen bei azentrischer Symmetrie. 813 § 169. Der methodische Weg zur Einführung der Symmetrieeigenschaften 316 § 170. Zerlegung des Strömungsvorganges; Eigenschaften der einzelnen

Teile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 819 § 171. Diskussion spezieller Fälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 § 172. Geometrische Beziehungen zwischen den Tensoren resp. Vektoren

der Leitfahigkeit und des Widerstandes. . . 324 § 178. Die lineare Leitfähigkeit. . . . . . . . . . . 825 § 174. Strömung unter der Wirkung eineiI PotentiaJs . 826 § 17.5. Das Potential eines Quellpunktes . . . . . . . 328

Inhaltsverzeichnis. XVII

Seite § 176. Allgemeiner Charakter der Strömung infolge eines Quellpunktes . 327 § 177. Bestimmung der Stromlinien. . . . . . . . . . . . 331 § 178. Berechnung der Hauptkonstanten aus Beobachtungen. 333 § 179. Singuläre Fälle von Beobachtungen . . . . . . 33a

H. Abschnitt.

Elektrizitätsleitung.

§ 180. Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . 337 § 181. Strömung in einem dünnen Zylinder . . . 341 § 182. Messungen der Widerstände dünner Stäbe. 343 § 183. Strömung in einer dünnen ebenen Platte . 345 § 184. Allgemeines über beobachtbare Wirkungen rotatorischer Qualitäten 350 § 185. Einfach$te spezielle Fltlle . . . . . . . . . . . . . . . . 352 § 186. Analytische Hilfsmittel zur Behandlung weiterer Fälle. . . 354 § 187. Die allgemeinen Formeln fiir den Hall-Effekt in Kristallen. 357 § 188. Anwendung auf spezielle Fälle. . . . . . . . . . . . . . 35\! § 189. Beobachtungen über den Hall-Effekt an kristallisiertem Wismut 361 § 190. Widerstandsänderungen von Kristallen im Magnetfeld . . . .. 362 § 191. Die Frage zentrisch dissymmetrischer Elektrizitätsleitung . . " 366 § 192. Elektrolytische und andere singuläre Leitungsvorgänge an Kristallen 367

III. Abschnitt.

Wärmeleitung.

§ 193. Historisches. Die fundamentalen Ansätze. 369 § 194. Hauptgleichung und Grenzbedingungen . . 371 § 195. Wärmeleitung in einem dünnen Zylinder . 374. § 196. Bestimmungen von relativen Leitfähigkeiten mit Hilfe von trans-

versaler Strömung in Platten. . . . . . . . . . . . . . . . . 376 § 197. Beobachtungen zur Ableitung a.bsoluter Zahlwerte . . . . . . . . 379 § 198. Flächenhafte Strömung in einer dünnen unbegrenzten Platte. Der

Fall einer punktförmigen Quelle . . . . . . . . . . . . . . . 384 § 190. Berücksichtigung resp. Elimination der Wirkung einer seitlichen Be-

grenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 § 200. Die Isothermenmethode von De SenaNnont . • • . . . . . . • . 388 § 201. Modifikationen der Methode von De Senal'1nont. Numerische Re-

sultate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 § 202. Methode der Zwillingsplatten. Allgemeine Darstellung. . . . 392 § 203. Methode der Zwillingsplatten; Spezielles zur Anwendung. . . 395 § 204. Aufsuchung rota.torischer Effekte. Methode des Hall-Effekts. 397 § 205. Aufsuchung rotatorischer Effekte. Dissymmetrie der Isothermen

auf' Kristallflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 § 206. Aufsuchung rotatorischer Effekte. Methode der Zwillingsplatten . 402 § 20i. Brechung der IsothermenHächen und der Wiirmeströmung in Zwischen-

grenzen . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 404 § 208. Die Frage zentrisch dissymmetrischer Wärmeleitung . . . . . . . 407

IV. Abschnitt.

Dielektrische Influenz.

§ 209. Ältere Beobachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 § 210. Elimination der störenden Leitungseffekte . . . . . . . . . 411 -§ 211. Das thermodynamische Potential der dielektrischen Influenz 413

XVIII Inhaltsverzeichnis.

Beite § 212. Diskussion der Ausdrucke für die dielektrischen Momente 415 § 213. Die Gl'Undgleichungen des Influenzproblemes in ihrer ersten Form U 7 § 2U. Um die Figurenachse drehbare Rotationsellipsoide und Kreisscheiben

im elektrischen Felde. . . . . . . . . . . . 418 § 215. Influenzierung einer Kugel im homogenen Feld . . . . . . . 420 § 216. Einführung eines beliebigen Koordinatensystems. . . . . . . 423 ~ 217. Allgemeines über die Kräfte und Drehungsmomente, welche die

Kugel im Felde erfährt . . . . . . . . . . 424 § 218. Berechnung der wirkenden Drehungsmomente . 425 § 219. Diskussion der Resultate. . . . . . . . . . . 427 § 220. Translatorische Kräfte im inhomogenen Felde . 429 § 221. Boltzmanns Methode zur Bestimmung von Elektrisierungszahlen. 480 § 222. Die Methode von Graetz uud Jiblllm . . • . . . . . . . . .. 488 § 228. Die zweite Form des Influenzproblems. Die dielektrische Induktion 486 § 224. Dielektrizitä.tskonstanten und Brechungsindizes . . . . . . . • . 488 § 226. Diskussion der allgemeinen Gesetze der dielektrischen Induktionen 489 § 226. Ein Kristall innerhalb einer dielektrischen Flüssigkeit . . . 442 § 227. Die elektrische Energie eines dielektrisch erregten Systems. . . . 445 § 228. Energie und Arbeit. . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . 446 § 229. Eine Schicht eines dielektrischeu Kristalls zwischen zwei Kondensator-

platten. Beobachtungen von J. OU1'Ie • • • • • • . • • • .• 460 § 280. Der Kondensa.tor in der WheatBtone schen Brückenkombination .. 468 § 231. Beobachtung von Dielektrizitätskonstanten mit schnellsten elek­

trischen Schwingungen • . . . . . . . . . . . . • . . . . . 466 § 232. Molekulartheorie der dielektrischen Influenz. Möglichkeit "zentrischer

Erregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 § 288. Eine prinzipielle Schwierigkeit bei der Messung von Dielektrizitäts-

konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 § 284. Die Entropie eines dielektrisch influenzierten Kristalls. . . . . . 467

V. Abschnitt.

Kagnetiaohe Inllu8nz.

1. Teil. Para- und Diamagnetismus.

§ 235. Allgemeines 468 § 286. Die ersten Beobachtungen über Kristallmagnetismu8 470 § 237. Das thermodynamische Potential der magnetischen Influenz. 471 § 288. Die erste Form des Influenzproblems. Eine Kugel in I'!inem homo-

genen Felde 475 § 239. Drehungsmomente und Translationskriifte, welche die Kugel im

homogenen Felde erf'ährt 476 § 240. Die zweite Form des Influenzproblems 478 § 241. Ein Kristall innerhalb einer magnetisierbaren Flüssigkeit. 480 § 242. Energie und Arbeit . 482 § 248. Qualitative Beobachtungen über orientierte Einstellung im Magnet-

felde. 484 § 244. Qualitative Beobachtungen über Translationswirkungen im Magnet-

feld . 488 § 245. Methoden zur Bestimmung relativer Werte von Magnetisierungs­

zahlen. Ableitung absoluter Werte durch Kombination . . . . 490 § 246. Benutzung von Drehungsmomenten zur Ableitung absoluter Para-

meterwerte . 494

Inhaltsverzeichnis. XIX

Seite

§ 247. Benutzung translatorischer Krll.fte zur Ableitung absoluter Werte 496 § 248. Beobachtungsresultate . . . . . . . . . . . . . . . 499 § 249. über die Molekularlheorie der magnetischen Influenz. 602 § 260. Die Entropie eines magnetisch infiuenzierten Kristalls 6040

2. Teil. Ferromagnetismus.

§ 261. Allgemeines über ferromagnetische Erregung . . . . . . . . . . 606 § 262. Theorie der Beobachtung magnetischer Erregung nach der Induk-

tionsmethode . . . . . . . . 607 § 263. Beobachtung an Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 § 264. Beobachtung an Kreisscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 § 266. Beobachtungsresultate an Magnetit. . . . . . . . . . . . . . . 614 § 266. Höhere Glieder im thermodynamischen Potential der magnetischen

Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 § 257. Spezialisierung auf den Fall des regulären Systems . . . . . . . 617 § 268. Anwendung der Theorie auf die Beobachtungen. . . . . . . . . 620 § 269. Spezielle Ergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 § 260. Azentrische Erregung bei der Anwesenheit einer dreizähligen Achse 626 § 261. Bestimmung der Transversalerregung nach der Methode der Drehungs-

momente . . . . . . . . . . 626 § 262. Beobachtungen an Maguetkies. . . . . . 629 § 263. Theoretische Gesichtspunkte . . . . . . . 633

VI. Abschnitt.

ThermoelektrizitAt.

§ 264. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 § 265. Methoden zur Beobachtung thermoelektrischer Kräfte. Die Theorie

von W. Thomson . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . • 686 § 266. Erweiterung der Grundgleichungen der Thermodynamik für den

Fall stationirer thermoelektrischer Wirkungen. . . . . . . . . 587 § 267. Das thermodynamische Potential der thermoelektrischen Vorgänge 640 § 268. Die Hauptgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 § 269. Anwendung auf einen lineären Leiter. Das Gesetz der thermo-

elektrischen Kraft. . . . . . . . . . . 643 § 270. Beobachtungsresultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 § 2'11. Thomson- und Peltie,.-Wärme in Kristallen . . . . . . . . . . . 649 § 272. Die thermomagneto-elektrischen und galvanomagneto-thermischen

Effekte sind nicht reversibel. . . . . 651 § 2'18. Der vektorielle Ansatz für diese Effekte. 668 § 274. Der tensorielle Ansatz. . . 556 § 275. Die longitudinalen Effekte. . . . . . . 657

VII. Kapitel. Wechselbeziehungen zwischen zwei Tensortrlpeln.

(Elastizität und innere Reibung.) 1. Abschnitt.

Die allgemeinen AnsAtze für isothermische elastisohe Veränderungen.

§ 2'16. Historisches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 § 2'1'1. Das thermodynamische Potential für isothermische Deformationen 662

xx Inhaltsverzeichnis.

Belte

§ 278. Die allgemeinen Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 564 § 279. Ein parallel den Koordinatenachsen orientiertes Parallelepiped bei

einfachen Deformationen. • . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 § 280. Ein parallel den Koordinatenachsen orientiertes Parallelepiped bei

einfachen Oberflächendrucken . . . . . . . . . . . . . . . . 568 § 281. Allseitig gleicher normaler Druck. Zwei Hauptachsensysteme . . . 570 § 282. Weiteres übel' Deformationen bei allseitig gleichem normalen Druck 574 § 283. Der Bettische Sa.tz . . . . . . . . . . . . . '" 576 § 284. Die geometrische Natur der Elastizitätskonstanten . . . . . . . . 677 § 286. Die geometrische Natur der Elastizitätsmoduln . . . . . . . . . 679 § 286. Bedingungen für die EIlLstizitätskonstanten bei Existenz einer kri-

stallographischen Symmetrieachse. . . . . . . . . . . . . .. 681 § 287. Spezialisierung der ElastizitätskonIitanten auf die verschiedenen

Kristallgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 § 288. Spezialisierung der Elastizitätsmoduln auf die verschiedenen Kristall·

gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 § 289. Transformation der Elastizitätsmoduln auf beliebige Koordinaten-

systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 689 § 290. Spezielle Fälle der Transformation und deren Verwertung. . . . . 692 § 291. Transformation der Elastizitätskonstanten auf beliebige Koordinaten-

systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

H. ~Uschnitt.

Eine molekula.re Theorie der Krista.llelastizitit.

§ 292. Grundannahmen ............. . § 293. Gesetze der molekularen Wechselwirkungen . . . . . § 294. Einführung eines beweglichen Achsensystems . . . . § 296. Verallgemeinerte Kräfte in deformierbaren Kristallen . § 296. Allgemeine Resultate über die Flächenkräfte. § 297. Berechnung der Druckkomponenten . . . . . § 298. Der Fall gewöhnlicher Zentralkräfte . . . . § 299. Verallgemeinerte Gleichgewichtsbedingungen . § 800. Verallgemeinerte Potentiale . . . . . . . . § 301. Beziehungen zwischen den Parametern der Potentiale § 302. Spezielle FiI.lle . . §- 303. Weitere Ausblicke ................ .

III. Abschnitt.

596 597 699 600 602 604 607 609 610 612 618 616

Ein durch Einwirkungen a.uf seine Grund1liohen lings der Aohse gleichförmig gespannter Zylinder.

§ S04. Allgemeine Vorbemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . • 617 § 305. Festlegung der duroh das Problem zugelassenen äußeren Einwirkungen 618 § S06. Integralsätze für die Druckkomponenten . . . . • . . . . 620 § S07. Allgemeinste mit den Bedingungen vereinbare Gesetze der Ver-

rückungen . . . .. . . . . . . . . . . . 621 § 308. Einführung der Befestigungsbedingungen . . . 623 § 309. Deutung der Parameter der Deformation . . . 623 § 310. Anwendung der Integralsätze für die Druckkomponenten . 626 § 311. Allgemeine Bestimmung einiger Parameter der Deformation. 628 § 812. Wirkung ausschließlich normaler Drucke auf die Endflächen 680 § 313. Gleichförmige Lil.ngsdehnung. . . . . . . . . . . . . . . 631

Inhaltsverzeichnis. m Seite

§ 814. Gleichförmige Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 § 316. Wirkung ausschließlich tangentialer Drucke gegen die Endflächen 636 § 316. Drillung eines Zylinders von elliptischem Querschnitt . . . . . . 636 § 317. Freie uud reine Drillung resp. Biegung eines elliptischen Zylinders 638 § 318. Allgemeine Untersuchung über andere als elliptische Querschnitts-

formen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 § 319. Differentialgleichungen des allgemeinen Drillungsproblems . . . . 641 § 320. Folgerungen für einen prismatischen Stab. . . . . . . . . . . . 644 § 321. Vereinfachungen, wenn die Prismenachse in eine kristallographische

Symmetrieachse fällt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 § 322. Durchführung des Drillungsproblems, wenn zwei Prismenkanten in

elastische Symmetrieachsen faUen . . . .. ...... 648 § 323. Die Prismenachse liegt in einer zweizähligen Symmetrieachse. 649 § 824. Das De Saint Venantsche Prinzip . . . . . . . . 660

IV. Abschnitt.

Ungleichförmige Deformationen zylindriSCher StAbe.

§ 326. Die Grundgleichungen für einen Zylinder, in dem die Spannungen längs der Achse lineär variieren . . . . . . . . . . . . . . . 652

§ 326. Integralsiltze für die Druckkomponenten . . . . . . . . . . . . 664 § 327. Die allgemeinen Gesetze der mit den V orau8setzungen vereinbaren

Verriickungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 § 328. Einführung der Beziehungen zwischen Drucken und Deformations-

größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 § 829. Ein allgemeiner Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 § 830. Deformation des Zylinders durch eine konstante körperliche Kraft

parallel seiner Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 § 881. Diskussion der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 § 882. Deformation des Zylinders durch transversale Kräfte am freien Ende 663 § 333. Die Gesetze der Biegung und Drillung . . . . . . . . . . . . . 665 § 33.. übergang zu beliebigen Deformationen eines un('ndlich dünnen

Zylinders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 § 836. Berechnung der an dem unendlich dünnen Zylinder geleisteten

Arbeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 § 386. Die Grundgleichungen für das Gleichgewieht des dünnen Zylinders 670 § 83i. Biegung durch eine am freien Ende wirkende transversale Kraft 672 § 838. Differentialgleichungen der Schwingungen dünner kristallinischer

Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

V. Abschnitt.

Deformationen kristallinisoher Platten.

§ 8~9. Die &llgeme.inen Gesetze des Druckes in einer gleichförmig ge­spannten Platte. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 676

§ 340. Die allgemeinen Gesetze der Verrückungen in der gleichförmig ge­spannten Platte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

§ 841. Einführung der Beziehungen zwischen Drucken und Verrückungen 679 § 842. Die an den Elementen einer beliebig deformierten dünnen Platte

geleisteten Arbeiten. . . . . . • . . . . . . . • . 681 § 848. Gleichgewichtsbedingungen für eine diinne Platte . . . 684 § 844. Die elastischen Parameter einer kr1str.llinischen Platte . 686 § 345. Flächenhafte Verriickungen in einer Kristallplatte . . . 687

XXII Inbaltsverzeicbnis.

Seite § 34.6. Ein spezieller Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 689 § 347. Transversale Verrückungen einer Kristallplatte. Eine zweifach-

hyperbolische Biegung. . . . . . . . . . . . . . 691 § 348. Zwei spezielle Fälle. . . . . . . . . . . . . . . . 694 § 34.9. Die Arbeit zur Erzeugung der beiden einfach-hyperbolischen Bie-

gungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 § 360. über die elastischen Parameter der hyperbolischen Biegungen . . 697 § 861. Differentialgleichungen der Schwingungen dünner kristallinischer

Platten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

VI. Abschnitt.

Q.ualitative Beobachtungen über Xristallela.stwtit.

I 362. Ziel und Methode der Versuche von F. SatJart. 699 § 868. Die formale Symmetrie des Bergkristalls . . . . . . . . . . 701 § 864.. Die allgemeinen Beobachtungsl'esultate Savarts . . . . . . . 702 § 366. Grundgedanken für eine Verwertung der SatJartschen Resultate . 705 § 366. Die zur Verwertung der Savartschen Beobachtungsresultate nötigen

Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 § 867. Diskussion del' ersten Savartachen Beoba.chtungsreihe an Berg­

kristallplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 § 868. Diskussion der zweiten und dritten Savartschen Beobachtungsreihe

an BergkriBtallplatten. . . . . . . . . . . 718 § 869. Beobachtungen an Kalkspat- und Gipsplatten . . . . . . . . . . 716

VII. Abschnitt.

Q.uantitative Bestimmungen.

§ 360. Allgemeines über die Beobachtung der Kompressibilitll.t bei allseitig gleichem Druck. 716

§ 861. Theorie der Kompressibilitil.tsmessungen. 718 § 862. Beobachtungsresultate . 720 § 868. LlLngen- und Winkelil.nderungen bei allseitigem und einseitigem

Druck. 722 § 884. Allgemeines liber die Bestimmung von Elaatizitll.tamoduln durch

Biegungsbeobachtungen . 7211 § 886. Erste Beobachtungen von Biegungamoduln 726 § 386. Modifikationen der Beobachtungsmethode . 727 § 1167. Allgemeines zur Bestimmung von Elastizitätsmoduln durch Drillungs-

beobachtungen 730 § 368. Spezielles über die zur Bestimmung vollstll.ndiger Parametersysteme

benutzten Hilfsmittel . . . . . 731 § 369. Grundformein für die Berechnung der Elaatizitil.tsmoduln und -kon-

stanten aus Biegungs- und Drillungsbeobachtungen . . . . . . 733 § 870. Geometrische Darstellungen der Elastizitätsverhältnisse eines Kristalls 738 § 371. Spezielle Formeln für Kristalle des regulll.ren Systems . 788 § 372. Beobachtungsresultate. . .. . 74.1 § 878. Geometrische Veranschaulichungen. 744 § 374. Spezielle Formeln für Kristalle des hexagonalen Systems. 746 § 876. Beobachtungaresultate. . . . . . . 748 § 878. Spezielle Formeln für Kristalle des trigonalen Systems. (I. Abteilung.) 749 § 377. Beobachtungsreaultate. 768

Inhaltsverzeichnis. XXIII

Seite

§ 378. Nachweis der spezifischen elastischen Symmetrien für Kristalle des trigonalen Systems (II. Abteilung) . . . . . .. . . . 766

§ 379. Spezielle Formeln für Kristalle des rhombischen Systems. 768 § 880. Beobachtungsresultate . . . . . . . . . . . . . . . . • 761

VIII. Abschnitt.

Thermoela.stizitit. § 881. Das erste thermodynamische Potential für thermoelastische U m-

wandlungen 768 § 382. Das zweite thermodynamische Potential. 766 § 383. Die allgemeinen Gleichgewichtshedingungen für thermisch-elasti-

sche Deformationen. 767 § 884. Die allgemeinste spannungsfreie thermische Dilatation. 768 § 886. Thermische Drucke bei verhinderter Deformation 770 § 386. Zahlwerte für die Parameter des thermischen Druckes . . . . . . 772 § 387. Zahlwerte für die Differenz der spezifi;chen Wärmen bei konstanten

Drucken und bei konstanten Deformationen. 774 § 888. Die Spannungen in einer Kreisplatte bei konzentrischer Temperatur-

verteilung . . . . . . . . . . . . 776 § 889. Die Gesetze adiabatischer Ä.nderungen 779 § 890. Anwendung auf spezielle Fälle. 781 § 391. Zwei Sätze über das Verhältnis der spezifischen Wärmen bei kon-

stanten Drucken und bei konstanten Deformationen . 782 § 892. Adiabatische Elastizitätskonstanten und -moduln 781> § 398. Zahlwerte für die Differenzen adiabatischer und isothermischer

Elastizitätskonstanten und -moduln. 788 § 394. Die korrigierten Wärmeleitungsgleichungen 790

§ 396. § 896. § 397.

§ 898.

IX. Abschnitt.

Innere Reibung. Fundamentale Ansätze. Reziproke Beziehungen Grundformeln für gleichförmige Biegung uud Drillung

linders. Gedil.mpfte Biegungs- und Drillungsschwingungen

Vill. Kapitel Wechselbeziehuugen

792 794

eines Zy-796 798

zwischen einem Vektor und einem Tensortripel. (piezoelektrizität, Piezomagnetismus und ihre Reziproken.)

I. Abschnitt.

Erste Beoba.chtungen über pieBoelektrisohe Erregung und elektrische Deforma.tion.

§ 399. Erste qualitative Resultate über piezoelektrische Erregung. . 801 § 400. Empirische Gesetze für den Fall einfacher gleichförmiger Kompression 803 § 401. Erste absolute Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 § 402. EinlluB der Orientierung der Druckrichtung gegen den Kristall. . 806 § 408. Erste Beobachtungen über elektrische Wirkungen ungleichförmiger

Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

XXIV Inhaltsverzeichnis.

Seite § 404. Der elementare reziproke Effekt . . . . . . . . . . 809 § 406. Experimenteller Nachweis des longitudinalen Effektes 810 § 406. Experimenteller Nachweis des transversalen Effektes. • 811 § 40'1. Spätere Beobachtungen bei ungleichförmigen Deformationen 813

II. Abschnitt.

Entwicklung der Grundgleichungen der Theorie der Piezoelektrizität. § 408. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 § 409. Das erate thermodynamische Potential der piezoelektrischen Effekte 816 § 410. Physikalische Deutung der piezoelektrischen Konstanten und Moduln 81S § 411. Piezoelektrische Hauptachsen . • . . . . . . . . . . . . . . . 819 § 412. Die geometrische Natur der piezoelektriHchen Konstanteu . . . . 820 § 418. Die geometrische Natur der piezoelektrischen Moduln. . . . . . 823 § 414. Spezialisierung der Konstanten- und Modulsysteme !irr den Fall des

Vorkommens einzelner Symmetrieachsen . . . . . . . . . . . 826 § 416. Spezialisierung der Parametersysteme fiir den Fall des Auftretens

eines Symmetriezentrnms, einer Symmetrieebene oder einer Spiegelachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

§ 416. Schemata der piezoelektrischen Parameter für sämtliche kristallo­graphische Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

§ 417. Zusammenstellung der charakteristischen gerichteten Größen für die. 82 Kristallgrnppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

§ 418. Allgemeine Transformationsformeln filr die piezoelektrischen Kon­stanten und Moduln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 886

§ 419. Spezielle FllJle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 § 420. fiber die Rolle der permanenten molekularen Momente bei den

piezoelektrischen Vorgängen. . . . . . . . . . . . . . . 842 § 421. über die moleknlare Theorie der piezoelektrischen Erregung . 846

m. Abschnitt. Quantitative Bestimmungen bei homogener Deformation.

§ 422. Erregung eines beliebig orientierten Parallelepipeds durch ein-seitigen normalen Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

§ 428. Drei Fundamentalfiächen zweiten Grades . . . . . . . . . . . . 860 § 424. Die Fliiche des Gesamtmomentes, speziell für reguläre Kristalle. . 863 § 426. Betrachtung der dem reguliiren System nächstverwandten Gruppen 865 § 426. Betrachtung einiger Gruppen des trigonalen Systems. 85'1 § 42'1. l1tere Bestätigungen der Theorie. . . . . . . . . . 859 § 428. Ausführlichere Beobachtungen an Quarz. . . . . . . 860 § 429. Ausführlichere Beobachtungen an Turmalin . . . . . 864 § 430. Bestimmung der Moduln und Konstanten in absolutem Maße. 868 § 431. Beobachtungen an regulären und an rhombischen Kristallen . 8'11 § 482. Beobachtungen an monoklinen Kristallen . . . . . . . . . . 8'13 § 433. Beobachtungen über Erregung durch allseitig gleichen normalen

Druck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8'1'1

IV. Abschnitt. Piezoelektrische Erregung zylindrischer StAbe bei IAngs der Achse

gleichförmiger Spannung. § 434. Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 8'19 § 435. Die piezoelektrischen Momente innerhalb des axial gleichßSrmig

gespannten Zylinders . . . . . . . . . . . . . . • .. 880

Inhaltsverzeichnis. xxv Seite

§ 436. Die Potentialfunktion und das Feld eines sehr langen längs der Achse gleichförmig erregten Kreiszylinders 882

§ 437. Der Fall konstanter Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 § 438. In den Querkoordinaten lineäre Momente. . . . . . . . . . . . 886 § 439. Diskussion der für den gebogenen Kreillzylinder gültigen Formeln 887 § 440. Diskussion der für den gedrillten Kreiuylinder gültigen Formeln. 889 § 441. Die Potentialfunktion eines längs der Achse gleichförmig gespannten

Zylinders auf Punkte in größerer Entfernung . . . . . . . . . 891

V.Abschnitt.

Piezoelektrisohe Erregung dünner Platten duroh ebene Deformationen.

§ 442. Die elektrischen Grundformein . . . . . . . . . . . . . . . . . 894 § 443. Die elastischen Grundformein . . . . . .. ......... 896 § 444. Deformation der unendlichen Platte durch ihr parallele Kräfte, die

an einzelnen Punkten angreifen . . . . . • . . . . . . . . . 897 § 446. Entwicklung der Formeln für den Fall zweier entgegengesetzter

KriU"te. . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 898 § 446. Vergleichung der Resultate mit den Beobachtungen . . . . . . . 900

§ 447. § 448. § 449. § 460.

§ 451. § 452.

§ 453.

VI. Abschnitt.

Elektrisohe Deformation azentrisoher Kristalle.

Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . • Homogene Deformation im homogenen Feld. . . . . . . . Theorie des CUNeschen Zwillingsstreifens . . . . . . . . . Biegung und Drillung eines Kristallzylinders durch entgegengesetzte

elektrische Ladungen der Quadranten seines Umfanges ..... Diskussion der Resultate der Theorie . . . . . . . . . . . . . . Berücksichtigung der Effekte höherer Ordnung, Eine Kristallplatte

ohne Belegungen . • . . . . • . . . Eine Platte mit metallischen Belegungen

VII. Abschnitt.

"Piezoelektrisohe Vorginge bei weohselnder Temperatur.

901 903 906

910 913

915 917

§ 464. Das verallgemeinerte thermodynamische Potential . . . . . .. 920 § 466. Erregung bei homogener Temperaturinderung. Die Frage der

wahren Pyroelektrizitll.t . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 922 § 466. Nachweis wahrer Pyroelektrizität bei Turmalin . . . . . . . . . 924 § 457. Ein dlinner Zylinder bei längs seiner Achse variie~nder Temperatur 928 § 468. Eine dünne Kreisschreibe mit in konzentrischen Ringen konstanter

Temperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 928 § 469. Erregung durch oberftächliche Erwärmung oder Abkühlung lil.ngs

einer begrenzenden Ebene . . . . . . 932 § 460. Anwendung der theoretischen Resultate. . . . . . . . . . . . . 934

VIII. Abschnitt.

Piezomagnetismus.

§ 461. Das thermodynamische Pot,ential piezomaguetischer Vorgänge. 938 § 462. Parameterschemata für die verschiedenen Kristallgruppen . . . 939

XXVI Iuhaltsverzeichnis.

§ 468. Spezielle FlLlle piezomagnetischer Erregung . § 464. BeobaehtllDgen . . . . . . . . . . . . . .

Seite 942 948

Schlu8b emerlrung über tensorielle Erregungen durch Deforma.tion 9U

Anhang 1

Erscheinungen der Festigkeit. § 466. Spa.ltbarkeit I 466. Zenei8ungafeatigkeit. § 467. Hirte • . . . § 468. Gleitungen . • . . .

Anhang 11.

Beziehungen zwisehen Kristallen und quasilsotropen Körpern. § 469. Allgemeine Geaichtapunkte . § 470. Mittler" Strömungen . . . § 471. Mittlere Momente ..... § 4,71. Mittlere Druckkomponenten

964 966 960 962

Allgemeine Symmetrieformeln der SI Kristallgruppen . • . . Tafel Spezielle Symmetrieformeln für zentrisch-symmetrische Vorgänge . Tafel

954 Anhang IJ. Beziehungen zwischen Kristallen und quasiisotropen Körpern.

diesem Mineral einen besonders kleinen Widerstand findet, wenn die X' Y' -Ebene in die beobachtete Gleitfläche fällt. Trotzdem ist die Größe ov' jos' - k im Moment des Eintretens der Gleitung noch außerordentlich klein (von der Ordnung 0,003) und gibt bei anderer Orientierung des X' Y' Z' -Kreuzes keinerlei Veranlassung zu singulären Vorgängen.

Anhang H.

Beziehungen zwischen Kristallen und quasiisotropen Körpern.

§ 469. Allgemeine Gesichtspunkte. Es ist bereits in der Ein­leitung (§ 4 u. f.). auf die prinzipiell so wichtige Tatsache hingewiesen ,vorde!l, daß viele gemeinhin als isotrop bezeichnete Körper in Wahrheit "quasiisotrop", d. h. Aggregate von Kristallbrocken sind, und daß demgemäß deren physikalische Konstanten mit denen der beziig­lichen Kristalle in Beziehung stehen müssen.

Diese Beziehungen sind freilich im allgemeinen außerordentlich kompliziert. Sie werden durchsichtig nur in dem schon in der Ein­leitung erwähnten Grenzfall, daß die Kristallbrocken klein sind selbst gegen die Dimensionen der Volumenelemente, die man bei der Ent­wickelung der Theorie eines Vorganges benutzt, dabei aber immer noch groß gegen die Wirkungsweise molekularer Kräfte, und daß sie außerdem den Raum lückenlos erfüllen.

Beide Annahmen sind in der Natur äußerst selten erfüllt. Die faktischen Abweichungen von der ersten sind allerdings dann meist unbedenklich, wenn die Kristallbrocken wenigstens klein gegen die der Beobachtung· unterworfenen Präparate sind, weil dann infolge der großen Zahl in Betracht kommender Volumen elemente die betreffende Erscheinung sich im ganzen merklich ebenso darstellt, als wenn jedes einzelne Volumenelement Kristallbrocken von allen möglichen Orientierungen enthielte.

Die faktischen Abweichungen von der zweiten Annahme sind ungleich wesentlicher; die Lücken, die sich bei den quasiisotropen Körpern häufig zwischen den Kristallbrocken finden, und die mitunter mit fremder Substanz ausgefüllt sind, haben der Regel nach einen be­deutenden Einfluß auf die physikalischen Eigenschaften der Körper. Infolge hiervon besitzen die unter den obigen Annahmen gewonnenen theoretischen Resultate auch meist nur eine beschränkte Anwendbar­keit auf wirkliche quasiisotrope Körper. Die absoluten Zahlwerte der

§ 469. Allgemeine Gesichtspunkte. 955

so aus den Parametern des bez. Kristalls abgeleiteten Parameterwerte sind fdr diese Körper nicht zu benutzen; allenfalls läßt sich bei V or­gängen, die von mehreren Parametern abhängen, erwarten, daß für einen und denselben Körper deren beobachtetes Verhältnis dem aus der Theorie gefolgerten gleich ist.

Setzt I;llan indessen die obigen beiden Annahmen als erfüllt voraus, so kommt die Theorie eines Vorganges in einem quasiisotropen Medium offenbar auf die Bildung eines gewissen Mittel wertes heraus über Vorgänge, die sich in dem bezüglichen homogenen Kristall abspielen, unter Voraussetzung aller möglichen Orientierungen des Kristalls gegen ein festes Achsensystem. Es ist einleuchtend, daß im allgemeinen diese Mittelwertbildung passend nicht mit dem thermodynamischen Potential (oder einer ähnlich gestalteten skalaren Funktion) vorgenommen wird, weil dasselbe in den Unabhängigen von einem höheren Grade ist, als die Funktionen, die der Beobachtung zugänglich sind, und die aus dem Potential durch Differentiationen gewonnen werden.

Als Ausgangspunkt für die Bildung des Mittelwertes werden sich nun von diesen abgeleiteten Funktionen ganz besonders solche empfehlen, die nach ihrer Definition Summen über Werte darstellen, die sich auf die einzelnen Moleküle oder Elementarmassen des Kör­pers beziehen. Bei den meisten oben behandelten Vorgängen ex 1-

stieren derartige Funktionen, die sich auf diese Weise als aus­gezeichnete darstellen.

Wir wollen im nachstehenden die wichtigsten vorkommenden Fälle im Anschluß an die Theorien der bez. Erscheinungen in homo­genen Kristallen, die in Kapitel IV bis VIII entwickelt sind, be­sprechen.

Dazu sei im voraus allgemein noch folgendes bemerkt. In jedem der zu besprechenden Fälle handelt es sich um die Berechnung von Mittelwerten, welche die Parameter kristallphysikalischer Gesetze für irgend ein festes Achsensystem XO yo ZO liefern, wenn man den bez. Kristall auf alle möglichen und zwar gleichmäßig verteilten Weisen gegen jene Achsen orientiert. Diese Orientierungen seien durch die Richtungskosinus "AI ßAI fA der Hauptachsen X, Y,Z des Kristalls gegen das Kreuz der XO, yo, ZO bestimmt, gemäß dem Schema

XO '1/ so.

x "1 ßl fl Y "il ßs f, S "3 ßs fs

und setzen wir in bekannter Weise

956 Anhang n. Beziehungen zwischen Kristallen und quasüsotropen Körpern.

"1 = - cos "" cos f cos & - sin"" sin f, fJ1 ==- - sin "" cos f cos & + cos "" sin f, r1 = + cosfsin&,

0:, ... - cos "" sin f cos & + sin"" cos f, fJl == - sin "" sin f cos & - cos "" cos f, r. = + sin f sin &,

IX8 = cos "" sin &, fJa = sin "" sin &, rs =- cos &.

(2)

Hierin bezeichnet & den Winkel zwischen Z und zo, "" den Winkel zwischen den Ebenen ZX und Zzo, f den Winkel zwischen den Ebenen ZO Xo und Zo Z.

Der Mittelwert I F i einer Funktion F ("', f, ft) für aUe möglichen Orientierungen von X, Y, Z gegen xo, yo, Zo ist dann gegeben durch

n lln 2n

IFI == sln .f.l! Fsin.ftd&dfdt/J. (3) ° 0 0

Dies ist die Grundformel für die weiterhin zu ziehenden quanti­tativen Folgerungen.

§ 470. Mittlere Strömungen. Für die Behandlung einer ersten Gruppe von Vorgängen knüpfen wir an die Formeln für die Strömung U eines imponderabeIn Fluidums unter der Wirkung einer treibenden Kraft V an, die in § 164 in der Form

Ui =- Zu Vi + Zu VI + Zu Va, ... resp.

(4)

(5)

angesetzt waren. Dabei stellten die Zu die Konstanten der Leit­fähigkeit, die khl; diejenigen des Widerstandes dar.

Denkt man sich innerhalb des quasiisotropen Mediums einen beliebigen ebenen Schnitt gelegt, der eine große Zahl beliebig orientierter Kristallbrocken durchsetzt, so ist die Strom dichte U" normal zu dem Schnitt an irgend einer Stelle definiert als die Summe der Strömungen, die alle die einzelnen homogenen Flächenelemente des Schnittes durch­dringen, bezogen auf die Flächeneinheit. Im Gegensatz dazu wird die treibende Kraft V durch den Zustand in einem einzigen Punkte definiert.

Wir schließen daraus, gemäß dem oben allgemein Gesagten, daß eine Theorie der Strömung in einem quasiisotropen Körper nicht an die Gleichungen (5), sondern an (4) wird anknüpfen müssen.

§ 470. Mittlere Strömungen. 951

Von den zwei im VI. Kapitel behandelten eigentlichen Strömungs­problemen betraf das erste·die elektrische, das zweite die WärmestrÖmung.

Bei beiden hatte (in den uns interessierenden Fällen) die treibende Kraft ein Potential, das im ersten Falle durch die elektrische Potential­funktion cp, im zweiten durch die Temperatur .f} dargestellt wurde. Beide Funktionen haben nun die Eigenschaft, durch die Grenz­flächen der KrishIlbrocken, welche den quasiisotropen Körper bilden, stetig hindurchzugehen. Wir werden hieraus schließen dürfen, daß bei hinreichender Kleinheit dieser Brocken das Potentialgefälle in allen denjenigen, welohe ein Volumenelement er­füllen, sehr nahe gleiche Größe besitzt.

Von den Strömungskomponenten gilt gleiches keineswegsjvon diesen sind nämlich nur die zu einer Zwischengrenze normalen, nicht auch die tangentialen in den Grenzen stetig. Denken wir uns z. B., um einen einfachen, leicht übersehbaren Fall zu erhalten, einen quasi­isotropen Körper aus dünnen zylinderiörmigen Kristallbrocken zu­sammengesetzt, deren Achsen parallel liegen, so wird die Strömung längs dieser Achsen von Zylinder zu Zylinder unstetig variieren können, während das longitudinale Potentialgefälle in benachbarten Zylindern merklich gleich sein muß.

Um nun zu quantitativen Beziehungen zu gelangen, betrachten wir ein nach den Koordinatenachsen orientiertes kleines Parallelepiped und schneiden dasselbe durch eine sehr große Anzahl von Schnitten normal zur X-Achse in Lamellen, deren Gesamtfläche mit Q bezeichnet werden möge. Diese Schnitte durchsetzen nach unserer Annahme eine überaus große Zahl kleiner Kristallbrocken von allen möglichen, unregelmäßig verteilten Orientierungen. Der Querschnitt irgend eines (J') dieser Brocken sei mit q, bezeichnet. Dann kann die mittlere Strömung I U1 1 nach der X-Achse innerhalb des betrachteten Volumens geschrieben werden

I U11- -~ ~ CU1)J q, = .~ ~ (111 VI + ln Vj + 118 'Vs),q" (6) j ,

wobei die Summen über alle Querschnitte q, zu erstrecken sind. Für die Ausführung dieser Summen fassen wir nun zunächst alle

,qk zusammen, die sich auf gleich orientierte Kristallbrocken beziehen; als gleich mögen dabei Orientierungen gelten. bei denen die drei Leitfähigkeitsachsen ZI, Zn' 1m innerhalb bestimmt abgegrenzter un­~ndlich feiner Elementarkegel liegen. Es zerfällt hierdurch die Summe in eine Doppelsumme nach dem Schema

I u;, I = ~ {8Zu 8c V;.)k qk + 8Zll 8eVII)kqk + 8Z18 8 (VS)k qk}' (7) I Tc i Tc i k

958 Anha.ng 11. Beziehungen zwischen Kristallen und quasiiaotropen Körpern.

wobei die zweiten Summen sich auf die einer bestimmten Orientierung (i) entsprechenden Feldkomponenten, die ersten auf alle möglichen Orientierungen beziehen.

Es ist nun bei den oben erörterten Stetigkeitsverhältnissen der Potentiale kein Grund einzusehen, warum die Summen S (V;)kqk, ... mit der Orientierung der Kristallbrocken, auf die sie sich beziehen, wechse1n sollten. Wir werden sie demgemäß ausschließlich als Funk­tionen des Ortes betrachten dürfen, an dem sich das Volumenelement befindet, und setzen

S(V;\qk= I Vi i Qu···, i

wobei I Vi I der mittlere Wert der bezüglichen Feldkomponente in dem Element ist, und Qu der Anteil von Q, der von Kristallen der Orientierung (i) bedeckt wird, für alle Orientierungen den gleichen Wert hat.

Hierdurch nimmt (7) die Form an

I Ui I = ~ {I Vi I S Zu Qi + I VJ I S Z11 Qi + I Va I S 113 Q;} , (8) i i I

und analoge Formeln gelten für I UB I und I u,,1 . Dabei stellen die

(9)

die mittlere Wert der Leitiähigkeitskonstanten lu dar, welche nun nach den am Ende des vorigen Paragraphen angegebenen Rege1n be­rechnet werden können. Die Bestimmung der bezüglichen Werte ge­lingt indessen hier ganz ohne Rechnung.

Um dies zu zeigen, wollen wir die in dem Kristall festen Haupt­achsen jetzt in die Achsen der Hauptleitfähigkeiten 1D 1m ZIII legen. Beschränken wir uns auf Kristalle ohne rotatorische Qualitäten, so sind die 1u nach S. 310 Tensorkomponenten, transformieren sich also nach dem Schema

Zu = lI a1t + lnatl+ lIIIaSt, ... ,

1t3 = lz P1 rl + 1u P2 r2 + 1m {J3 rs, ... (9)

Nun ist nach ~:ymmetrie klar, daß die Mittelwerte der Produkte ß"r", r"ah, aAß" verschwinden müssen. Die Mittelwerte der aAl, ßA" r"s hingegen müssen nach Symmetrie einander gleich sein, und da

ist, muß auch a,,2+ ß"I+ r/'= 1

§ 470. Mittlere Strömungen.

sein; d. h., es muß gelten

laA'1 = IßA'I = I r"s I = t· Dies führt dann auf

Ilu I = Iln I = Ilssl = t (Zx + Zn + lm),

Iln I = Ils1 I = Ilul = 0.

959

Unter den gemachten Voraussetzungen ergeben sich für den quasi­isotropen Körper die Strömungsformeln

I U1 I = II V1 I, I UII = II VII, I Us I = II VS I, (10)

wobei die Leitfähigkeit

(11)

sich als das Mittel der drei Hauptleitfä.higkeiten des bezüglichen Kristalls bestimmt.

Schreibt man

I V1 I = k I u;, I, I VI I = k I UII, I Vs I = k I Usl, (12)

so ist dann keineswegs zugleich auch k = i ("kr. + lcrr + km); hat der Kristall keine rotatorischen Qualitäten, so gilt vielmehr nach S. 310 k'll = I/l'll' also wegen k = I/l auch

(13)

Die Leitfä.higkeit des quasiisotropen Körpers berechnet sich also in ganz anderer Weise, als der Widerstand, aus den bezüglichen Kristallparametern.

Um hervortreten zu lassen, daß es sich dabei um recht merkliche Unterschiede handeln kann, seien die bezüglichen Zahlen für die ther­mische Leitfähigkeit von Quarz angegeben. Hier ist (wenn wir, wie im III. Abschnitt des VI. Kapitels, die Bezeichnungen 1'11 statt l'lll "'11 statt k'll' anwenden) gemäß S. 382 nach den Beobachtungen von Tuchschmidt

also

ferner

also

11 = 111 = 0,957, 1m =- 1,576,

1 = 1,163; ,,= 0,860;

"x = "11 = 1,045, "m = 0,635;

Diese Zahl weicht von der für " erhaltenen sehr beträchtlich ab.

960 Anhang n. Beziehungen zwischen Kristallen und qu&siisotropen Körpern.

Beobachtungen über elektrische und thermische Leitfähigkeiten quasiisotroper Körper, bei denen die Parameter der bezüglichen Kristalle bekannt sind, liegen meines 'Wissens noch nicht vor.

§ 471. Mittlere Momente. Von weiteren vektoriellen Funktionen haben die dielektrischen und magnetischen Mome·nte nach S. 196 u. r. die Eigenschaft, durch Summen über die den einzelnen Molekülen oder Elementarmassen individuellen Größen definiert zu werden. Wir werden demgemäß bei Vorgängen, die Momente erregen, die Mittelwertbildung an die für diese Größen gemachten Ansätze beim Kristall an­zuknOpfen haben.

Der denkbar einfachste Fall ist derjenige der Erregung von dielek­trischen oder magnetischen Momenten durch Temperaturänderung. Hier waren nach § 136 und 144 die Komponeten P,. resp. M" der Momente durch bloße Temperaturfunktionen F,. resp. GA definiert. Wegen der' Stelägkeit der Temperatur in Zwischengrenzen darf die­selbe in dem Volumenelement eines quasiisotropen Körpers als ebenso definiert gelten, wie in einem homogenen Körper. Die Bildung des Mittelwertes hat sich somit nur auf die Abhängigkeit der GA und F" von der Orientierung der Kristallbrocken gegen das feste Achsensystem xo, yo, Zo zu beziehen. '

Nun siud aber die G,. und FA Vektorkomponentenj sie trans­formieren sich durch die tX", PM 'Yh selbst, und ihre Mittelwerte I G" I I FA I verschwinden demgemäß. Ein quasüsotroper Körper kann hier­nach weder Pyroelektrizität, noch -magnetismus zeigen - was von vornherein einleuchtet. -

Die Erregung dielektrischer und magnetischer Momente durch Influenz geht den im vorigen Paragraphen behandelten Strömungs­problemen genau parallel. Die Ansätze

Pt = 'Y/11 E1 + 'Y/uEs + 'Y/18 Eu .•. , (14)

aus § 211 und 237 enthalten rechts in den praktisch interessierenden Fällen die Gefälle des elektrischen oder desmagneti.'ichen Potentiales, und an diese sind dieselben Betrachtungen anzuknl1pfen, wie im vorigen Paragraphen.

Es folgt hieraus, daß bei Erfüllung der in § 468 erörterten An­nahmen die Elektrisierungs- und Magnetisierungszahlen 'Y/ und " des quasiisotropen Körpers durch diejenigen des ihn bildenden Kristalls ausdrückbar sind gemäß den Formeln

'Y/ = ·H'Y/I + fJn + 'Y/nJ, ,,= t (XI + "n + :lern), (16)

§ 471. Mittlere Momente. 961

Gleiches gilt bezüglich der dielektrischen und der magnetischen Per­meabilitäten E und l" wegen der für diese gültigen Beziehungen von S. 437 u. 479.

Die Erscheinungen der dielektrischen und der magnetischen In­fluenz haben die Eigenschaft, daß eine A.bweichung des quasiisotropen Körpers von der zweiten Annahme in § 469, d. h. von derjenigen lückenloser Raum erfüllung, bei ihnen (ferromagnetische Körper aus­genommen) viel geringere Störungen bewirkt, als dies z. B. bei den Vorgängen der elektrischen und der Wärmeströmung stattfindet. Dies ist dadurch bedingt, daß für die magnetische und dielektrische In­duktion der leere oder der Luftraum verhältnismäßig viel permeabler ist, als für die Elektrizitäts- und Wärmeströmung. Man darf hier also eine relativ große Übereinstimmung zwischen dem theoretischen Wert der Parameter für den quasiisotropen Körper und der Erfahrung erwarten.

Diese Übereinstimmung wird noch begünstigt, wenn die Lücken zwischen den Kristallbrocken nicht leer, sondern. von einem der Kristall­substanz in Hinsicht der betreffenden Erscheinung nahestehenden Med'ium erfüllt ist. Einen solchen Fall hat Schmidt 1) bei Ausdehnung der § 231 beschriebenen Methode zur Bestimmung von Dielektrizitäts­konstanten auf Kristallpulver untersucht und dabei die Beziehung E = HEl + EIl + Em ) bestätigt gefunden. -

Auch in dem Falle der piezoelektrischen und piezomagne­tischen Erregung sind die Momente die für den Übergang zu quasi­isotropen Körpern geeigneten Funktionen. Sie sind durch die An­sätze von § 409 u. 461 als lineäre Funktionen der Deformationsgrößen bestimmt, über die -nun ähnliche Überlegungen anzustellen sind, wie über die Potentialgefälle in § 470.

In der Tat liegen die Verhältnisse auch völlig analog. Die De­formationsgrößen x"" ... XII drücken sich durch die Gefälle von Funk­tionen (nämlich den Verrückungskomponenten u, Vi w) aus, die sämt­lich stetig durch die Grenzen zwischen den verschiedenen Kristallbrocken gehen, vorausgesetzt freilich, daß diese Brocken fest aneinander haften. Es sind demgemäß die Mittelwertbildungen an die A.nsätze 20 resp. 346 von S. 818 und 939 zu knüpfen. Da aber die piezo. elektrischen und piezomagnetischen Konstanten ejh resp. nu sich mit Hilfe der Produkte dritten Grades aus den aAl ßh' f" transformieren, so ergibt sich für ihre Mittelwerte N ullj quasiisotrope Körper der vorausgesetzten Art können sonach weder piezoelektrisch, noch ma­gnetisch erregt werden.

1) W. Schmidt, Ann. d. PhYB., Bd. lt, p. 114, 1903.

v 0 i 9 t, KristallphJUk. 61

962 Anhang H. Beziehungen zwischen Kristallen und quasiisotropen Körpern.

§ 472. Mittlere Dmckkomponenten. Die Definition der Druck­komponenten X"" •.• X, im Innern eines Körpers auf S. 160 und 602 iührt dieselben auf die Summe der molekularen Wirkungen aller Massen diesseits eines Flächenelementes auf die Massen jenseits des­selben zurück. Nach den in § 469 auseinandergesetztenPrinzipien wird somit der Übergang von den elastischen Grundformein für einen Kristall zu denjenigen für den entsprechenden quasiisotropen Körper mit Hilfe des Systems (20) auf S. 568 zu geschehen haben, welches lautet

(16)

Die Cu stellen dabei die (isothermischen) Elastizitätskonstanten des Kristalls dar.

Über das Verhalten der Argumente x"',. . x, ist bereits am Ende des vorigen Paragraphen gesprochen worden; man kann also in An­knüpfung an das dort Gesagte die Grundformein der Elastizität für den quasiisotropen Körper in der Gestalt ansetzen

- I X., I = I Cu I ·1 x., I + IliJ I· I x, I + ... I cul·1 Xv I , (17)

Die Berechnung der Mittelwerte 1 Cu I der Elastizitätskonstanten cu: hat dabei nach dem Schema (3) auf S. 956 l~nter Heranziebung der allgemeinen Transformationseige.nschaften der Cu aus § 291 zu ge· schehen. l ) Dabei kann man sich die Berechnung dadurch erleichtern, daß der quasiisotrope Körper diejenige elastische Symmetrie haben muß, die in dem Parameterschema auf S. 587 Ausdruck gewinnt, daß also das Resultat der Rechnung die Form

-I XX 1 =cl Xxi +cIIY, I +cllz.l, -I Y./ =c, I y, I = {-(c-c1) IY.I, (18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . haben muß. Die Berechnung ist demgemäß nur für zwei I Cu I aus­zuführen - höchstens für drei, wenn man Wert darauf legt, die Beziehung Cs = Hc - Cl) zu begründen. Man kann so etwa I Cu I ' I ~s I und I Cu I berechnen, für welche die Transformationsformeln nach § 289 und 291 sogleich angebbar sind.

Führt man die Abkürzungen

Cu + ~, + Css = 3A, c's + C,1 + C12 = 3B, CU + ~5 + C66 == 3C (19)

ein, so ergibt die Rechnung' das Resultat

1) W. Voigt, G6tt. Abh. tfl87, p. 48; Wied.Ann. Bd. 88, p. 673, 1889.

§ 472. Mittlel'e Druckkomponenten. ~63

c = ~ (3A + 2B + 40), Cl = i (A + 4B - 20),

cs =i(A-B+30), (20)

welches in dt'r Tat der Beziehung CI = t (c - Cl) entspricht. Diese Formeln gestatten also im Prinzip die Berechnung der

Elastizitätskonstanten eines quasiisotropen Körpers, der den gemachten Voraussetzungen entspricht, aus den Hauptkonstanten Chk des bez. Kristalls. Von Interesse ist dabei die Rolle, welche auch bei dem quasi isotropen Körper die Frage spielt, ob die Molekularkräfte nur Funktionen der Entfernung sind, oder aber mit der Richtung variieren. Im ersten Fane gelten nach § 299 die Beziehungen

(21)

hier gilt also B = C und infolge davon C = 3 cl> - jene von Poisson aus der molekularen Theorie geschlossene Beziehung zwischen den beiden Elastizitätskonstanten eines isotropen Körpers, welche sich im Widerspruch mit vielfältigen Erfahrungen befindet und daher der Gegenstand vieler Diskussionen gewesen ist. Diese Beziehung ergibt sich aus der molekularen Theorie auch dann, wenn man die mole­kularen Kräfte von der Richtung abhängig annimmt, falls nur die Elementarmassen völlig regellos gegeneinander orientiert sind, und die Erklärung der beobachteten Abweichungen stellte ein wichtiges Problem der molekularen EJastizitätstheorie dar.

Faßt man (in Übereinstimmung mit der Anschauung) die meisten für isotrop geltenden Körper als nur quasiisotrop, d. h. ;v';"l!j Kristall­brocken bestehend auf, so verschwindet, nachdem die Bestimmullg. der Elastizitätskonstantell für eine beträchtliche Reihe von Körpern die Nichtgültigkeit der Beziehungen (21), also das Wirken gerichteter Molekularkräfte erwiesen hat, jede Schwierigkeit. Mit dem Bestehen der Beziehungen (21) hört nämlich nach (19) und (20) zugleich die Poissonsche Beziehung C = 3cI zu gelten auf.

Das ist jene eigenartige Aufklärung, welche im Gebiete der Elastizitätstheorie das Verhalten der Kristalle über das Verhalten der isotropen Körper liefert, und auf die schon S. 8 aufmerksam gemacht worden ist. Daß übrigens unter Umständen auch Körper, die nach ihrer Konstitution nicht als quasiisotrop gelten können, Abweichnngen von der Foisson sehen Relation zeigen, und daß dieses Verhalten sich molekulartheoretisch durch die Annahme von Verrückungell erklären läßt, die sich den S. 605 gemachten und für einen ideal festen Körper charakteristischen V ol'aussetzungen nicht fügen, sei beiläufig erwähnt.I )

1) W. Voigt, Ann. d. Phys. Bd. 4, p. 187, 1901. 61*

964 Anhang H. Beziehungen 7.wischen Kristallen und quasiisotropen Körpern.

Bezüglich quantitativer Bestätigungen der Relationen (19) und (20) zwischen den Elastizitätskonstanten eines Kristalls und denjenigen des entsprechenden quasiisotropen Körpers liegen praktische Schwierig­keiten vor, darauf beruhend, daß die Voraussetzungen, auf welchen jene Relationen ruhen, bei solchen quasiisotropen Körpern, wo auch der homogene Kristall der Beoba'?htung zugänglich ist, äußerst selten erfüllt sind. Es handelt sich dabei um die Voraussetzung der lücken­losen Aneinanderschließung und des festen Zusammen­hanges der Kristallbrocken, welche den quasiisotropen Körper bilden. Diese Voraussetzungen sind vielleicht bei Metallen sehr voll­ständig erfüllt; aber hier sind die bezüglichen homogenen Kristalle nicht verfügbar. Die dichten Gesteine aus den beobachteten Kristallen (wie z. B. aus Kalkspat, Flußspat, Schwerspat) enthalten häufig die Kristalle durch ein fremdes Medium lose zusammengekittet und ergeben demgemäß elastische Widersprüche oder Konstanten, die beträchtlich kleiner sind, als diejenigen des homogenen Kristalls. Für den Quotienten ele1 ist trotzdem in einigen Fällen eine leidliche Über­einstimmung mit dem Resultat (19) und (20) gefunden worden.1)

Während bei den meisten untersuchten quasiisotropen Körpern das gefundene Verhältnis e/e1 der beiden Elastizitätskonstanten nicht gar weit von dem Poissonschen Wert 3 abweicht, liefern die Formeln (19) und (20) in Verbindung mit den beobachteten Hauptkonstanten eu für kristallisierten Quarz aus § 377 e/e1 nahe an 14. Beobachtungen an Feuerstein llnd Opal haben nun Werte e/e1 geliefert, welche diesem ganz abnr:.~en sehr nahe liegen, nämlich etwa 12 und 16. Freilich steht, nicht fest, ob man auf die Kristallbrocken, welche die letzteren dichten Minerale bilden, die Parameterwerte von Quarz anwenden darf; es ist nicht unwahrscheinlich, daß es sich hier um eine andere Mo­difikation kristallisierter Kieselsäme handelt. In jedem Falle erscheint aber die angenäherte Übereinstimmung des beobachteten mit dem be­rechneten Wert von e/e1 bedeutungsvoll.

1) W. Voigt, Wied. Ann. Bd. 38, p. 573, 1889; P. Drude und W. Voigt, ib Bel. 42, I'. 537, 1891; W. Voigt, ibo Bd. U, p. 168, 1891.

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