Lectures in Applied Econometrics 04

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 04

1/39

4. Οικονομετρικά προβλήματα

Κ εφάλαιο 4.Οικονομετρικά

Προβλήματα

Μια απλή προσέγγιση στα προβλήματα της εφαρμοσμένηςοικονομετρίας

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

t t t xβ = × +y u , για κάθε 1, ,t n= L .

Στο υπόδειγμα αυτό ερμνευτική μεταβλτή ε!ναι μ στοχαστικήγια λόγους απλόττας και μόν υπόθεσ που κάνουμε για τα

σ"άλματα ε!ναι ότι έχουν αναμενόμεν τιμή μδέν, δλαδή ( ) 0t =uE ,

για κάθε 1, ,t n= L . # ακόλουθ σειρά πρά$ε%ν μας ε!ναι ήδ γν%στή.Ο εκτιμτής &' ε!ναι:

( )1 1 1

2 2 2

1 1 1

ˆ = = =

n n n

t t t t t t t

t t t

n n n

t t t

t t t

x x x x

x x x

β

β = = =

= = =

× × + ×+

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

y u u

β .

(!ναι οπ%σδήποτε σμαντικό το γεγονός ότι μπορο)με να

αποδε!$ουμε τν αμερολ*!α του εκτιμτή, δλαδή ( )ˆ β =βE με τμοναδική υπόεση ότι ( ) 0t =uE , για κάθε 1, ,t n= L .

!υσικά" η συ#ήτηση σ$ετικά με την κατανομήδειγματολη%ίας του εκτιμητή δεν μπορεί να ε&αντληεί στημέση τιμή του. 'α πρέπει να &έρουμε τη διακ(μανση τηςκατανομής και αν είναι δυνατόν την ακριβή συναρτησιακήτης μορφή )είναι π$ μια κανονική κατανομή*+.

100


2/39


# αυτοσυσ$έτιση σε ένα γραμμικό υπόδειγμα σμα!νει ότι τασ"άλματα δεν ε!ναι ασυσχέτιστα μετα$) τους.

Ας θε%ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

t t t xβ = × +y u , για κάθε 1, ,t n= L .

+α σ"άλματα έχουν αναμενόμεν τιμή ( ) 0t =uE και επομέν%ς συνδιακ)μανσ δυο οποι%νδήποτε σ"αλμάτ%ν ε!ναι απλά:

( ) ( ),t s t sov = ×u u u uC E , για t s≠ .

Αν συνδιακ)μανσ αυτή δια"έρει από το μδέν για κάποια ήκάποιες τιμές τ%ν t και s , τότε έχουμε αυτοσυσχέτισ.

να απλό σχήμα αυτοσυσχέτισς ε!ναι το λεγόμενο αυτοπαλ!νδρομο-autoregressive σχήμα πρ/του βαθμο) σ)μ"%να με το οπο!ο έχουμε:

1t t t ρ −= × +u uε ,

δλαδή το σ"άλμα ε!ναι γραμμική συνάρτσ τς προγο)μενςτιμής του. Αν υποθέσουμε ότι 0 ρ > , αυτό σμα!νει ότι τα σ"άλματαδυο διαδοχικ/ν περιόδ%ν συσχετ!0ονται. Αν το 1t u − πχ ε!ναι θετικό

τότε και το t u θα ε!ναι πιθανότατα θετικό -αν το t ε δεν ε!ναι πολ)

μεγάλο. Αν 0 ρ < , τότε ένα θετικό σ"άλμα σε μια χρονική περ!οδοακολουθε!ται από αρντικό σ"άλμα στν επόμεν περ!οδο.

Στα επόμενα διαγράμματα δ!νουμε περιπτ/σεις θετικής καιαρντικής αυτοσυσχέτισς.

101


3/39


,τεροσκεδαστικότητα, σμα!νει ότι διακ)μανσ τ%νσ"αλμάτ%ν δεν ε!ναι !δια.

+α σ"άλματα έχουν αναμενόμεν τιμή: ( ) 0t =uE και επομέν%ς

διακ)μανσ ε!ναι: ( ) ( )2 2t t t ar σ = =u uV E , δλαδή δια"έρει απόπαρατήρσ σε παρατήρσ ε"όσον υπάρχει ο δε!κτς t .

102


4/39


Αν διακ)μανσ, για παράδειγμα, τε!νει να αυ$άνει με τον χρόνο,

αυτό σμα!νει ότι τα t u παράγονται από μια κατανομή που έχει μεν

μέσο μδέν, αλλά οι τιμές τους θα τε!νουν να ε!ναι κατ1 απόλυτ τιμήμεγαλ)τερες από τις τιμές που παρατρήσαμε σε προγο)μενες

περιόδους.

2ια παράδειγμα, αν διακ)μανσ στν περ!οδο 3 ε!ναι ,3 και στνπερ!οδο 5 ε!ναι 3, αυτό σμα!νει ότι με πιθανόττα 678, το σ"άλμαθα ε!ναι μετα$) 9,5 και ,5 στν περ!οδο 3 και μετα$) 95 και 5 στνπερ!οδο 5.

Στο επόμενο διάγραμμα έχουμε μια γραμμική παλινδρόμσ μεετεροσκεδαστικόττα στα σ"άλματα.

# ετεροσκεδαστικότητα σμα!νει, όπ%ς έχουμε πει, ότι διακ)μανσ τ%ν σ"αλμάτ%ν δεν παραμένει σταθερή. Ας υποθέσουμε

ότι έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

=t t t β × +y x u και ( )2~ 0,t t N σ u .

ια ισοδ)ναμ διατ)π%σ, ε!ναι να έχουμε:

103


5/39


( ) ( )2| ,~t t t t t x N xβ σ =y x .

(πομέν%ς τα t y παράγονται από μια κατανομή που έχει δια"ορετικό

μέσο αλλά και δια"ορετική διακ)μανσ σε κάθε παρατήρσ.

# διακεκομμέν ευθε!α που συνδέει τα σμε!α με ε!ναι ευθε!α τς

παλινδρόμσς οπο!α δεν ε!ναι παρά οι μέσες τιμές του t y σε κάθε

δεδομέν τιμή του t x . Οι τιμές του t x μετρ/νται στον ορι0όντιο

ά$ονα. +ο γεγονός ότι εδ/ υπάρχει ετεροσκεδαστικόττα "α!νεταιαπ1 το ότι οι κατανομές δεν έχουν τν !δια διακ)μανσ.

Σαν παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι οι τυπικές αποκλ!σεις t σ σε τρεις

χρονικές περιόδους ε!ναι ,3, 3 και 3. Αυτό σμα!νει ότι με

πιθανόττα 678 τα σ"άλματα θα ε!ναι στο διάστμα ± ,5 στνπρ/τ περ!οδο, 2± στν δε)τερ και 20± στν τρ!τ. (πομέν%ς, θαπρέπει να περιμένουμε διαχρονικά να έχουμε μεγαλ)τερες τιμές τ%ν

σ"αλμάτ%ν. ;υσικά, δεν υπάρχει λόγος για τον οπο!ο τα t σ πρέπει

να ακολουθο)ν μια ορισμέν διάτα$. Αρκε! να ε!ναι δια"ορετικάμετα$) τους. (τεροσκεδαστικόττα επ!σς θα έχουμε όταν με 3

104


6/39


παρατρήσεις οι 66 έχουν τν !δια διακ)μανσ, έστ% 3, και τοσ"άλμα τς 3ς παρατήρσς έχει διακ)μανσ ,7.

- περίπτση της αυτοσυσ$έτισης, ε!ναι δια"ορετική. (δ/,

έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα t t t xβ = × +y u και τα σ"άλματα

ακολουθο)ν μια διαδικασ!α τς μορ"ής ( )1 2, ,t t t t f − −= +u u u vL , όπου f ε!ναι μια ορισμέν συνάρτσ και t v ε!ναι ένας στοχαστικός όρος

που ικανοποιε! όλες τις κλασσικές υποθέσεις. ;υσικά, στ

συνάρτσ μπορε! να υπάρχουν και άλλες μεταβλτές -έστ% t z αλλά

το βασικό ε!ναι ότι υπάρχουν οι χρονικές υστερήσεις τς t u .

Ας θε%ρήσουμε το απλό αυτοπαλ!νδρομο σχήμα πρ/του βαθμο) τς

μορ"ής 1t t t ρ −= +u u v στο οπο!ο ( )2

~ 0,t v N σ v με 0,1vσ = . # διακ)μανσ

του t u αποδεικν)εται ότι ε!ναι

22

21

σ

σ ρ = −v

u .

Σκοπός μας ε!ναι να ε$ετάσουμε, διαγραμματικά, τρεις χρονολογικέςσειρές. # πρ/τ, έχει 0,9 ρ = , δε)τερ έχει 0,9 ρ = − και τρ!τ έχει

0 ρ = . Αν θέλουμε, για σκοπο)ς διαγραμματικής σ)γκρισς, οι σειρέςμας να έχουν τν !δια διακ)μανσ, ε"όσον οι δυο πρ/τες έχουνδιακ)μανσ 3


7/39


=εν ε!ναι δ)σκολο να διακρ!νει κανε!ς μια τυχα!α σειρά από μιασειρά με θετική αυτοσυσχέτισ. (νδεχόμενα, μπορε! κανε!ς να μνε!ναι σε θέσ να κάνει το !διο όταν σειρά έχει αρντικήαυτοσυσχέτισ. >στόσο, στν περ!πτ%σ τς αρντικής

αυτοσυσχέτισς, οι μεταβολές τς σειράς ε!ναι πλήρ%ς προβλέ*ιμες,κάτι που δεν συμβα!νει με τυχα!ες σειρές. Σε μια τυχα!α σειρά, πιθανόττα να έχει μια μεγαλ)τερ μικρότερ τιμή στν επόμενπερ!οδο ε!ναι απλά ?. Σε μια σειρά με αρντική αυτοσυσχέτισ,σχεδόν βεβα!%ς, τιμή τς σειράς θα ε!ναι στν αντ!θετκατε)θυνσ -%ς προς τον μέσο σε σχέσ με τν τρέχουσα τιμή τςσειράς.

2ια να λυθε! κάθε αμ"ιβολ!α, στο επόμενο διάγραμμα παρουσιά0ουμετις δυο σειρές μας. (!ναι "ανερό ότι με βάσ τ μια χρονολογικήσειρά, δεν μπορο)με να πο)με τ!ποτε α$ιόλογο για τν άλλ.

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

-.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6

random series

n e g a t i v e a

u t o c o r r e l a t i o n

# αυτοσυσχέτισ και ετεροσκεδαστικόττα ε!ναι τεχνικές έννοιες.Σε κάποιες περιπτ/σεις έχουν μια ειδική σμασ!α σταχρματοοικονομικά -ιδ!%ς ετεροσκεδαστικόττα και σε άλλες δενέχουν.

106

χει, οπ%σδήποτε, μεγάλ σμασ!α ότι ο εκτιμτής ελαχ!στ%ντετραγ/ν%ν ε$ακολουθε! να παραμένει αμερόλπτος και

συνεπής ακόμ και όταν έχουμε αυτοσυσχέτισ ήετεροσκεδαστικόττα στα σ"άλματα. Αυτό σμα!νει ότι ο

εκτιμτής ελαχ!στ%ν τετραγ/ν%ν ε$ακολουθε! να παραμένει

$ρήσιμος και @α&ιόπιστοςA ακόμ κι1 όταν υπάρχουν αυτάτα τεχνικά προβλήματα.


8/39


Μια ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι μπορεί ναπροκ(%ει αυτοσυσ$έτιση όταν η συναρτησιακή μορφή τηςπαλινδρόμησης έ$ει ε&ειδικευεί λανασμένα. Ας υποθέσουμεότι έχουμε τα δεδομένα στο ακόλουθο διάγραμμα τα οπο!α προ"αν/ςπεριγρά"ονται καλά από μια δευτεροβάθμια ε$!σ%σ. Αν εμε!ς

λανθασμένα εκτιμήσουμε μια γραμμική ε$!σ%σ, τα κατάλοιπα θαπρέπει να εμ"αν!σουν αυτοσυσχέτισ.

Σε τέτοιες περιπτ/σεις, πρέπει να ε!ναι "ανερό ότι αυτοσυσχέτισπα)ει να ε!ναι ένα τεχνικό πρόβλμα και μας δε!χνει ότι έχουμελανθασμέν ε$ειδ!κευσ τς ε$!σ%σής μας, δλαδή έχουμε πλέον ένασμαντικό πρόβλμα.

(δ/ θα ασχολθο)με κυρ!%ς με το πρόβλμα τς διακ)μανσς του

εκτιμτή &'. Ο λόγος ε!ναι ότι στατιστικές του τ)που( )

ˆ

ˆar

β

βV θα

πρέπει να ε!ναι ( )0, 1 N , τουλάχιστον σε μεγάλα δε!γματα και έτσι

ε)ρεσ τς διακ)μανσς έχει μεγάλ σμασ!α, σε ότι α"ορά τονέλεγχο υποθέσε%ν ανα"ορικά με το αν τιμή τς παραμέτρου ε!ναιμδέν.

(!ναι "ανερό από τα μέχρι τ/ρα συ0ήτσή μας, ότι θα πρέπει νακάνουμε ορισμένες υποθέσεις σχετικά με τα σ"άλματα, αν πρόκειταινα καταλή$ουμε σε μια χρήσιμ έκ"ρασ για τ διακ)μανσ αυτή.

107


9/39


2ια απλόττα, θα υποθέσουμε ότι έχουμε μόνο 2n = παρατρήσεις.(!ναι "ανερό ότι θα έχουμε:

1 1 2 2

2 2

1 2

ˆ = x x

x x

β × + ×

++

u uβ .

("όσον έχουμε ( )ˆ β =βE , προκ)πτει ότι:

( )( )

22 2 2 22

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

22 22 2

1 21 2

2ˆ = = x x x x x x

x x x xβ

× + × × + × + × ×− ÷+ +

u u u u u uβ .

("όσον διακ)μανσ του εκτιμτή &' ε!ναι, από τον ορισμό τς:

( ) ( )2ˆ ˆ ar E β = −β βV ,

θα πρέπει να έχουμε:

( )( )

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

22 2

1 2

2ˆ x x x x

ar x x

+ + = +

u u u uβV E ,

("όσον τα X ε!ναι μ στοχαστικά θα έχουμε:

( ) ( )

( )

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

22 2

1 2

2ˆ

x x x xar

x x

+ +=

+

u u u uβ

EV

και από γν%στή ιδιόττα τς αναμενόμενς τιμής έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

22 2

1 2

2ˆ

x x x xar

x x

× + × + ×=

+

u u u uβ

E E EV .

=εδομένου ότι οι αναμενόμενες τιμές τ%ν σ"αλμάτ%ν ε!ναι μδέν θαέχουμε:

( ) ( )2 21 1 1ar σ = ≡u uE V ,

( ) ( )2 22 2 2ar σ = ≡u uE V ,

108


10/39


( ) ( )1 2 1 2 12,ov σ = ≡u u u uE C .

(πομέν%ς ε!ναι προ"ανές ότι:

( )( )

2 2 2 21 1 2 2 1 2 12

22 2

1 2

2ˆ x x x x

ar x x

σ σ σ + +=+

βV . -3

Αυτή θα ε!ναι η διακ(μανση του εκτιμητή /0 κάτ απόοποιεσδήποτε υποέσεις αναφορικά με τηνετεροσκεδαστικότητα ή την αυτοσυσ$έτιση.

;υσικά για να ε!ναι ο εκτιμτής &' ένας εκτιμτής B&CD θα πρέπεινα έχουμε:

2 2

1 2

σ σ = -ομοσκεδαστικόττα και12

0σ = -έλλει* αυτοσυσχέτισς.

Αν οι υποθέσεις τς ομοσκεδαστικόττας ή έλλει*ς αυτοσυσχέτισςδεν ισχ)ουν, $έρουμε ότι ο εκτιμτής &' δεν ε!ναι πλέον B&CD. Αυτόόμ%ς δεν συμβα!νει γιατ! πα)ει να ε!ναι αμερόλπτος, αλλά γιατ!απλά δεν έχει πλέον τν ελά$ιστη δυνατή διακ)μανσ σε σχέσ μεόλους τους άλλους αμερόλπτους -και γραμμικο)ς εκτιμτές.

>στόσο, δεν υπάρχει καμιά αμ"ιβολ!α ότι παράστασ -3 μας δ!νειτν γενική έκ"ρασ τς διακ)μανσς του εκτιμτή ακόμ και ότανέχουμε ετεροσκεδαστικόττα και < ή αυτοσυσχέτισ.

Αν πχ έχουμε ομοσκεδαστικόττα, δλαδή 2 2 21 2σ σ σ = ≡ και

αυτοσυσχέτισ διότι 12 0σ ≠ , τότε μπορο)με να ε"αρμόσουμε τμέθοδο &' και θα $έρουμε ότι ο εκτιμτής &' ε!ναι αμερόλπτος.

(π!σς θα έχουμε:

( ) ( )

( )

2 2 2

1 2 1 2 12

22 2

1 2

2ˆ

x x x xar

x x

σ σ + +=

+βV .

# έκ"ρασ αυτή μας δ!νει τ σστή διακ)μανσ του εκτιμτή &'όταν υπάρχει αυτοσυσχέτισ. Αν ε!χαμε αγνοήσει τν αυτοσυσχέτισ,

δλαδή αν λανθασμένα ε!χαμε υποθέσει ότι 12 0σ = , τότε θα ε!χαμε μιαδια"ορετική, λανασμένη διακ(μανση, οπο!α θα ήταν:

109


11/39


( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 21 2

2 22 2 2 2

1 2 1 2

ˆ x x

x x x x

σ σ += =

+ +βV ,

οπο!α ε!ναι μικρότερ από τν αλθινή αν 1 2 12 0 x x σ < ή μεγαλ)τεραπό τν αλθινή αν 1 2 12 0 x x σ > . Αν, για παράδειγμα, οι τιμές τς xε!ναι όλες θετικές, τότε λανθασμέν διακ)μανσ θα ε!ναιμικρότερ από τν πραγματική όταν έχουμε αρντική αυτοσυσχέτισ,

δλαδή όταν 12 0σ < .

Α$!0ει να σμει/σουμε το ε$ής: EF γεγονός ότι ( ) ( )ˆ ˆar


12/39


1 t t

t t

β σ σ

= × +y

v ,

όπουt

t

t

σ =

uv και βέβαια ( )

( )2

1t

t

t

ar ar

σ = =

uv

VV . Ο εκτιμτής H&', ε!ναι:

21

21

ˆ 1

nt

t t GLS n

t t

σ

σ

=

=

=∑

∑

y

β

και θα έχει διακ)μανσ:

( )2

1

1ˆ 1

GLS n

t t

ar

σ =

=

∑βV

.

;υσικά ο εκτιμτής H&' ε!ναι B&CD στν περ!πτ%σ αυτή, εν/ οεκτιμτής &' ε!ναι απλά αμερόλπτος.

να λογικό ερ/τμα ε!ναι πόσο κερδ!0ουμε στν πρά$ ανε"αρμόσουμε τ μέθοδο H&' και ε!ναι γν%στές οι διακυμάνσεις τ%νσ"αλμάτ%νI

2ια απλόττα ας υποθέσουμε ότι 2 2 21 2 1 1nσ σ σ −= = = =L και2 1nσ = + ∆ ,

όπου 1∆ ≠ − .

+ότε θα έχουμε:

( ) ( )2ˆar n n−= + ∆βV και ( ) ( ) ( )2

1

1 1 1ˆ11 1 1 1

11

GLS n

t t

ar n

nσ =

+ ∆= = =

− + ∆ +− ++ ∆∑

βV.

Ο λόγος τ%ν δυο διακυμάνσε%ν, ε!ναι:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )2

ˆ 1 1 1

ˆ 1GLS

ar n n

nar

+ ∆ × − + ∆ +

= + ∆

β

β

V

V .

Α"ήνεται σαν άσκσ, να αποδε!$ετε ότι καθ/ς n → ∞ , για σταθερό ∆, παραπάν% παράστασ τε!νει στ μονάδα και ότι ε!ναι πάντοτεμεγαλ)τερ από τ μονάδα. Gχ αν 2∆ = και έχουμε δε!γμα μεγέθους

20n = , ο παραπάν% λόγος ε!ναι 3,JK. +ο συμπέρασμα ε!ναι ότι αν

111


13/39


χρσιμοποιήσουμε τον εκτιμτή &' με τ σ%στή διακ)μανσ οιαπ/λειες σε όρους αποτελεσματικόττας δεν θα ε!ναι πολ) μεγάλεςγια λογικές τιμές τ%ν n και ∆ . ;υσικά, αν ε!χαμε 20n = και 100∆ = ,τότε ο λόγος θα ήταν 7,L.

+ο αποτέλεσμα αυτό, σμα!νει ότι καταρ$ήν η μέοδος /0 δενείναι αναγκαστικά μια κακή μέοδος εκτίμησης ότανπαραβιά#ονται οι κλασσικές υποέσεις. +ο συμπέρασμα αυτό,%στόσο, θα πρέπει να το δεχθο)με συντρτικά, δεδομένου ότι βγήκεαπό μια ανάλυσ στν οπο!α υποθέτουμε ότι γν%ρ!0ουμε τιςδιακυμάνσεις τ%ν σ"αλμάτ%ν. Αν δεν τις γν%ρ!0ουμε, τότε δενε!μαστε σε θέσ να υπολογ!σουμε τν πραγματική διακ)μανσ τουεκτιμτή &'.

2ν αγνοήσουμε την ετεροσκεδαστικότητα και εφαρμόσουμετη μέοδο εκτίμησης /0, λανθασμέν διακ)μανσ θα ε!ναι:

( )2

ˆ S

n=βV , όπου ( ) ( ) ( )

21 12 2

1 1

ˆ 1 1n n

t t

t t

S n y n yβ − −

= =

= − − = −∑ ∑ .

=εν θα αναλ)σουμε εδ/ τν έκ"ρασ αυτή περισσότερο, αλλά πρέπεινα ε!ναι "ανερό ότι οι στατιστικές τς ιδιόττες θα μας ήταν

απαρα!ττες, αν έπρεπε να συγκρ!νουμε τις ποσόττες ( )β̂V και

( )ˆar βV .

112


14/39


/0 με 35 διόρση τν τυπικ1ν σφαλμάτν

“If something is too good to be true, it probably isn’t” MNOPOFQO

Ακόμ κι1 αν υπάρχει ετεροσκεδαστικόττα ή αυτοσυσχέτισ,

μέθοδος &' ε$ακολουθε! να ε!ναι αμερόλπτ και συνεπής. Στνπραγματικόττα πολλο! οικονομετρικο! έλεγχοι στρ!0ονται στνε"αρμογή τς μεθόδου &' και τ χρήσ τ%ν καταλο!π%ν τς. =λαδή,στρ!0ονται ακριβ/ς στν ε"αρμογή τς βασικής αυτής ιδέας.

Στν περ!πτ%σ που υπάρχει μόνο ετεροσκεδαστικόττα, έχουμε:

( )( )

2 2

2 2 2 2

11 1 2 2

2 22 2

21 2

1

ˆ

n

t t

t

n

t

t

x x x

ar x x

x

σ σ σ =

=

+ += =

+ ÷

∑

∑β

LV .

(πομέν%ς αν γν%ρ!0ουμε τις διακυμάνσεις 2t σ , μπορο)με να

υπολογ!σουμε πολ) απλά τν παραπάν% σχέσ και έτσι ναγν%ρ!0ουμε τν πραγματική διακ)μανσ του εκτιμτή &'. ;υσικά, περ!πτ%σ αυτή δεν ε!ναι πολ) ενδια"έρουσα, διότι αν γν%ρ!0αμε τιςδιακυμάνσεις αυτές θα μπορο)σαμε να ε"αρμόσουμε τ μέθοδο H&'και να έχουμε τον B&CD εκτιμτή.

Ο White -36R5 πρότεινε τον ε$ής απλό εκτιμτή τς παραπάν%διακ)μανσς:

· ( )( )

2 2

2 2 2 2

11 1 2 2

2 22 2

21 2

1

ˆˆ

n

t t

t

n

t

t

x u x x

ar x x

x

σ σ =

=

+ +=

+ ÷

≈∑

∑β

LV ,

όπου ˆt u ε!ναι τα &' κατάλοιπα και απέδει$ε ότι ε!ναι συνεπής.

2ια τν περ!πτ%σ τς ταυτόχρονς )παρ$ς ετεροσκεδαστικόττας

και αυτοσυσχέτισς, έχουμε:

( ) ( )

( )

( )2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 12 1

2 22 2

21 2

1

22

ˆ

n

t t t s t s

t t s

n

t

t

x x x x x x x

ar x x

x

σ σ σ σ = >

=

+ ×+ + + += =

+ ÷

∑ ∑

∑

u u

βL L

E

V .

113


15/39


Οι Newey και West -36RL πρότειναν τον εκτιμτή:

· ( )

2 2

1 ,

2

2

1

ˆ ˆ ˆ2ˆ

n

t t t s t s

t t s t L

n

t

t

u x x x u u

ar

x

= > ≤

=

+=

÷

∑ ∑

∑

βV ,

όπου L ε!ναι μέγιστ τά$ αυτοσυσχέτισς που θε%ρο)με ότιμπορε! να υπάρχει στα σ"άλματα. ;υσικά πρέπει το L να ε!ναιαρκετά μικρότερο από το μέγεθος του δε!γματος, n και οπ%σδήποτεε$αρτάται από τ ")σ τ%ν στοιχε!%ν μας.3

(!ναι προ"ανές ότι χρήσ τς μεθόδου &' με διορθ%μένα τυπικάσ"άλματα -γν%στά και σαν 35 από τον όρο heteroskedasticity andautocorrelation consistent γ!νεται όταν δεν ε!μαστε βέβαιοι για τν

)παρ$ αυτοσυσχέτισς ή ετεροσκεδαστικόττας και δεν ε!μαστεδιατεθειμένοι να κάνουμε παραμετρικές υποθέσεις για τ μορ"ή τους.

# σ%στή μήτρα συνδιακ)μανσς μπορε! να υπολογισθε! πολ) ε)κολαμε βάσ τα κατάλοιπα τς μεθόδου &' και λέγεται μήτρασυνδιακ(μανσης του White.

# σμασ!α τς μήτρας αυτής ε!ναι ότι μπορε! να χρσιμοποιθε! γιανα κάνουμε σ%στή στατιστική επαγ%γή με βάσ τον εκτιμτή &'. +ατυπικά σ"άλματα τ%ν εκτιμήσε%ν που προκ)πτουν από τ μήτρααυτή, λέγονται White heteroskedasticityconsistent standard errors.

+α αποτελέσματα για τη συνάρτηση κατανάλσης της,λληνικής οικονομίας δ!νονται παρακάτ%.

Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ample: 1&60 1&&'(ncluded observations: 38)"ite *eteros+edasticit,-onsistent $tandard rrors ovariance

Variable oe//icient $td. rror t-$tatistic rob.

-0.0'22&' 0.020&&6 -3.443304 0.0015 0.'6'464 0.02&60' 25.&214& 0.0000

-s%uared 0.&2&633 !ean dependent var 0.5143&3 dusted -s%uared 0.&2'6'8 $.D. dependent var 0.1'4'33

$.. o/ regression 0.046&&0 +ai+e in/o criterion -3.226548$um s%uared resid 0.0'&4&2 $c"ar criterion -3.14035&#og li+eli"ood 63.30441 7-statistic 4'5.6040Durbin-)atson stat 0.1082'6 rob7-statistic9 0.000000

1 Αν τα στοιχεία είναι ετήσια τιμές του !"#ς 1 $αι 2 είναι συν%&ισμένο να χ'%σιμο"οιο(νται στ%ν

"')*%+ ε %με'ήσια στοιχεία, εν-εχ!μενα μ"ο'εί $ανείς να υ"ο&έσει !τι οι -υναμι$ές ε"ι-')σειςε*αντ.ο(νται στ% -ι)'$εια τ%ς ε/-ομ)-ας $ι έτσι είναι .οι$! να έχουμε =5 ή 7 αν).οα με το αν

υ")'χουν 5 ή 7 χ'ήσιμες %μέ'ες στ%ν ε/-ομ)-α+

114


16/39


;υσικά δεν θα πρέπει να δμιουργθε! λανθασμέν εντ)π%σ ότιοποτεδήποτε υπο*ια0όμαστε τν )παρ$ αυτοσυσχέτισς ήετεροσκεδαστικόττας, μεθοδολογ!α αυτή μπορε! να μας δ/σεισ%στά τυπικά σ"άλματα. Gχ $έρουμε ότι μπορε! να υπάρχει

αυτοσυσχέτισ στα κατάλοιπα αν ε$ειδικε)σουμε λανθασμένα τσυναρτσιακή μορ"ή.Παραμετρική μορφή αυτοσυσ$έτισης.

Στν περ!πτ%σ αυτή έχουμε το υπόδειγμα:

t t t xβ ′= +y u ,

1t t t ρ −= +u u e ,2~ 0, t iid σ e ,

για κάθε 1, ,t n= L .(!ναι προ"ανές ότι θα έχουμε:

1 1t t t t t x x ρ β ρβ − −′= + − +y y e , για κάθε 2, ,t n= L .

ια απλή μέθοδος ε!ναι να εκτιμήσουμε το ρ όπ%ς στ σχέσ -K

χρσιμοποι/ντας όμ%ς σαν ˆt u τα κατάλοιπα τς μεθόδου &'. Ο

εκτιμτής αυτός θα ε!ναι συνεπής.

(!ναι "ανερό ότι S& εκτ!μσ του β πρέπει να ελαχιστοποιε! τσυνάρτσ:

( ) ( ) ( )2

1

2

ˆ ˆ =T

t t

t

RSS u u ρ ρ ρ ρ −=

− ∑ ,

όπου ( ) ( )ˆˆt t t u y x ρ β ρ ′= − και ( ) [ ]

1

ˆ x x x yβ ρ ρ ρ ρ ρ

−′ ′= .

(πομέν%ς, μπορο)με να δ/σουμε δια"ορετικές τιμές στο ρ -έστ% 3τιμές στο διάστμα από 9,6 έ%ς ,6 και να επιλέ$ουμε εκε!ν που

δ!νει τ μικρότερ τιμή στο ( )S ρ . Ο υπολογισμός αυτός μπορε! να

γ!νει %ς ε$ής:

115


17/39


ια γρα"ική παράστασ του ( ) RSS ρ θα προσδιορ!σει το ˆ ρ . +ο β̂ μπορε! να προσδιορισθε! ε)κολα από τ σχέσ -3.

116

;< =>?@ A;<


18/39


,μπειρική εφαρμογή παλινδρόμησης με 6 )7+ σφάλματα

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχε!α.

8 9

2 14 23 32 45 5

+ο υπόδειγμα που θα εκτιμήσουμε, ε!ναι:

=t t t y x uβ + , 1 =t t t u u e ρ − + .

# απλή &' παλινδρόμσ μας δ!νει τν εκτ!μσ 0,945b = με τυπικό

σ"άλμα 0,200 . Από τα &' κατάλοιπα, έχουμε τν εκτ!μσ του ρ, ναε!ναι 0,204r = . ε βάσ αυτή τν εκτ!μσ του ρ , έχουμε 0,925b = μετυπικό σ"άλμα 0,251.

# τιμή του ρ, που ελαχιστοποιε! το T'', ε!ναι ˆ 0,3 ρ = και εκτ!μστς μεθόδου H&' ε!ναι ˆ 0,924β = , με τυπικό σ"άλμα ,5LJ. Οι τιμέςτου T'' σε σχέσ με τις 3 τιμές του ρ στο διάστμα από 9,6 έ%ς,6 "α!νονται στο επόμενο διάγραμμα:

117


19/39


+α αποτελέσματα με τ μέθοδο μέγιστς πιθανο"άνειας "α!νονταιπαρακάτ%:

Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 2 5

(ncluded observations: 4 a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter 4 iterations


Y 0.&25486 0.30'563 3.00&08& 0.0&50 19 0.20356' 0.650108 0.31312& 0.'838

-s%uared -0.4684'6 !ean dependent var 3.500000 dusted -s%uared -1.202'14 $.D. dependent var 1.2&0&&4$.. o/ regression 1.&16035 +ai+e in/o criterion 4.445246$um s%uared resid '.3423'& $c"ar criterion 4.1383&3#og li+eli"ood -6.8&04&1 Durbin-)atson stat 1.''5024

2ια τα στοι$εία της συνάρτησης κατανάλσης στην ,λλάδαέχουμε τις παρακάτ% εκτιμήσεις:

Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 1&61 1&&'(ncluded observations: 3' a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter 1043 iterations


1&3'.8&' '083288. 0.0002'4 0.&&&8 0.31&62' 0.0658&4 4.850620 0.0000

19 0.&&&&&5 0.01681& 5&.45610 0.0000

-s%uared 0.&&6823 !ean dependent var 0.52268& dusted -s%uared 0.&&663' $.D. dependent var 0.16&388$.. o/ regression 0.00&824 +ai+e in/o criterion -6.33044'$um s%uared resid 0.003281 $c"ar criterion -6.1&&832#og li+eli"ood 120.1133 7-statistic 5334.'02Durbin-)atson stat 1.44152' rob7-statistic9 0.000000

(ναλλακτικά, αν εισάγουμε μια γραμμική τάσ στν ε$!σ%σ, τααποτελέσματα δια"οροποιο)νται όπ%ς "α!νεται στα επόμενα:

118


20/39


Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 1&61 1&&'(ncluded observations: 3' a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter 6 iterations


-0.502&&3 0.0463&6 -10.84124 0.0000 0.344'&1 0.0510&1 6.'4861& 0.0000Z 0.00&554 0.0008&' 10.651&' 0.0000

19 0.'24543 0.11424& 6.341812 0.0000

-s%uared 0.&&'343 !ean dependent var 0.52268& dusted -s%uared 0.&&'101 $.D. dependent var 0.16&388$.. o/ regression 0.00&11& +ai+e in/o criterion -6.455006$um s%uared resid 0.002'44 $c"ar criterion -6.280853#og li+eli"ood 123.41'6 7-statistic 412&.05&Durbin-)atson stat 1.36&416 rob7-statistic9 0.000000

(π!σς μπορο)με να εκτιμήσουμε υποδε!γματα με αυτοπαλ!νδρομασχήματα αν/τερου βαθμο) στα σ"άλματα όπ%ς "α!νεται παρακάτ%:

Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 1&62 1&&'(ncluded observations: 36 a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter ' iterations


-0.511218 0.036'2' -13.&1&28 0.0000 0.300151 0.042306 '.0&4815 0.0000Z 0.010130 0.000'88 12.85&33 0.0000

19 1.08111' 0.166414 6.4&6545 0.0000 29 -0.452313 0.1684'4 -2.684''1 0.0115

-s%uared 0.&&'645 !ean dependent var 0.531103 dusted -s%uared 0.&&'341 $.D. dependent var 0.163'61

$.. o/ regression 0.008444 +ai+e in/o criterion -6.582468$um s%uared resid 0.002210 $c"ar criterion -6.362535#og li+eli"ood 123.4844 7-statistic 3283.2'&Durbin-)atson stat 2.166315 rob7-statistic9 0.000000

119


21/39


Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 1&63 1&&'(ncluded observations: 35 a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter 6 iterations


-0.510''1 0.030&32 -16.51261 0.0000 0.3100&2 0.03&146 '.&214&3 0.0000Z 0.010025 0.000'03 14.25331 0.0000

19 0.&'65&1 0.181205 5.38&42& 0.0000 29 -0.23'351 0.24&&21 -0.&4&'02 0.3501 39 -0.210'00 0.1'&'15 -1.1'2412 0.2506

-s%uared 0.&&'562 !ean dependent var 0.53&'81 dusted -s%uared 0.&&'141 $.D. dependent var 0.15'530$.. o/ regression 0.008423 +ai+e in/o criterion -6.560&04$um s%uared resid 0.00205' $c"ar criterion -6.2&42'3#og li+eli"ood 120.8158 7-statistic 23'2.'25Durbin-)atson stat 1.&46548 rob7-statistic9 0.000000

πορο)με επ!σς να υποθέσουμε UTSU -autoregressive ! movingaverage υποδε!γματα:

120


22/39


Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ampleadusted9: 1&61 1&&'(ncluded observations: 3' a/ter adusting endpointsonvergence ac"ieved a/ter 11 iterations[ac+cast: 1&60

Variable oe//icient $td. rror t-$tatistic rob. -0.50566' 0.0432&6 -11.6'&18 0.0000 0.321355 0.048336 6.648321 0.0000Z 0.00&836 0.000883 11.13810 0.0000

19 0.608122 0.168640 3.606040 0.0010!19 0.351543 0.210382 1.6'0&'2 0.1045

-s%uared 0.&&'644 !ean dependent var 0.52268& dusted -s%uared 0.&&'350 $.D. dependent var 0.16&388$.. o/ regression 0.008'20 +ai+e in/o criterion -6.5211&&$um s%uared resid 0.002433 $c"ar criterion -6.30350'#og li+eli"ood 125.6422 7-statistic 338'.6''Durbin-)atson stat 1.854326 rob7-statistic9 0.000000

# γενική μορ"ή ενός υποδε!γματος UTSU-V,W ε!ναι ακόλουθ:

1 1

= p q

t i t i t j t j

i j

u u ρ ε ϕ ε − −= =

+ +∑ ∑ ,

όπου ( )2~ 0,t iid N ε σ . 2ια παράδειγμα, το υπόδειγμα UTSU-3,3 θαέχει τ μορ"ή:

1 1 =t t t t u u ρ ε ϕε − −+ + .

# σμασ!α τ%ν υποδειγμάτ%ν αυτ/ν μπορε! να γ!νει κατανοτή ανθε%ρήσουμε το υπόδειγμα UTSU-,3 το οπο!ο έχει 0 ρ = .

Στν περ!πτ%σ αυτή, αν ορ!σουμε ψ ϕ = − θα έχουμε( )1 1t t t t u Lε ψε ψ ε −= − = − , όπου L ε!ναι ο λεγόμενος τελεστής χρονικής

υστέρσς -lag operator που ικανοποιε! 1t t Lx x −= ,2

2t t L x x −= κτλ., για

κάθε χρονολογική σειρά t x .

(πομέν%ς θα έχουμε:

( ) ( )11 2 2 2

1 21 1t t t t t t L u L L u u u uε ψ ψ ψ ψ ψ −−

− −= − = + + + = + + +L L ,

με τν υπόθεσ ότι 1ψ < .

# σχέσ αυτή μπορε! να γρα"ε! σε όρους του t u με τ μορ"ή:

121


23/39


2 3

1 2 3t t t t t u u u uϕ ϕ ϕ ε − − −= − + + +L

από τν οπο!α ε!ναι "ανερό ότι σειρά t u τελικά ακολουθε! ένα

σχήμα UT-∞ . +έτοια σχήματα μπορε! να ε!ναι χρήσιμα όταν υπάρχεισμαντική ε$άρτσ στ χρονολογική σειρά που ε$ετά0ουμε.

# εκτίμηση τν υποδειγμάτν 6: , μπορε! να γ!νει ε)κολα μετ μ γραμμική μέθοδο τ%ν ελαχ!στ%ν τετραγ/ν%ν. Gραγματικά,

ε"όσον έχουμε t t t u y x β ′= − , προκ)πτει ότι:

1 1t t t t u uε ρ ϕε − −= − − , για κάθε 2, ,t n= L .

ε δεδομέν μια αρχική τιμή για το 1ε , που συνήθ%ς τ!θεται !σ με

τν αναμενόμεν τιμή τς, δλαδή μδέν, κατασκευή τ%ν t ε ε!ναι

απλή. Στ συνέχεια, απλά ελαχιστοποιο)με τν αντικειμενικήσυνάρτσ

2

2

T

t

t

ε =∑ %ς προς τις παραμέτρους , ,β ρ ϕ με αριθμτικές

μεθόδους.

Σε μεγάλα δε!γματα, μέθοδος αυτή ε!ναι ισοδ)ναμ με τ μέθοδομέγιστς πιθανο"άνειας.

Στο πρόγραμμα "#iews, εκτ!μσ γραμμικ/ν υποδειγμάτ%ν μεαυτοσυσχέτισ τ)που UTSU στα σ"άλματα ε!ναι πολ) απλή καιγ!νεται με τν εντολή:

/0 ; 5


24/39


?λεγ$ος για ετεροσκεδαστικότητα

Xα θε%ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα με παραμετρικήετεροσκεδαστικόττα:

t t t xβ ′= +y u ,( )2 0,~t t σ u ε!ναι ανε$άρττα,

( )2 1 2 2 1 , 1 1 1 11 1 1 1

567 +++ 567 567t t m t m t t mm m m

z z z z σ γ γ γ γ γ γ + +× +× × + ×

′ ′= + + + = + =

,

για κάθε 1, ,t n= L .

Σκοπός μας ε!ναι να ελέγ$ουμε τν υπόθεσ τς

ομοσκεδαστικόττας, δλαδή τ μδενική υπόθεσ 0 18 0 m H γ ×= .

Στν ουσ!α του ο έλεγχος προτε!νει τν ε$ής απλή διαδικασ!α.

# διαδικασ!α αυτή, ε!ναι πολ) ε)κολο να γ!νει με τ βοήθεια τουυπολογιστή, α"ο) δεν απαιτε! παρά μόνο τν εκτ!μσ δυοπαλινδρομήσε%ν, με τ μέθοδο &'. Ο έλεγχος αυτός, με τ χρήσ τουπακέτου "#iews και τα στοι$εία για τη συνάρτησηκατανάλσης στην ,λλάδα, "α!νονται στα επόμενα.

123

1. \=;AGWA@ A@ R AF?GTG #$ G HBCT@;OA


25/39


)"ite *eteros+edasticit, Zest:

7-statistic 1.&14'80 robabilit, 0.1624&8_bs`-s%uared 3.'4''46 robabilit, 0.153528

Zest %uation:Dependent Variable: $(D2!et"od: #east $%uares$ample: 1&60 1&&'(ncluded observations: 38


-0.000528 0.004082 -0.12&246 0.8&'& 0.004038 0.013440 0.300456 0.'656

2 -0.000'41 0.010004 -0.0'4034 0.&414

-s%uared 0.0&8625 !ean dependent var 0.0020&2 dusted -s%uared 0.04'118 $.D. dependent var 0.002133$.. o/ regression 0.002083 +ai+e in/o criterion -&.434'64$um s%uared resid 0.000152 $c"ar criterion -&.305481#og li+eli"ood 182.2605 7-statistic 1.&14'80Durbin-)atson stat 0.518'61 rob7-statistic9 0.1624&8

Στ βιβλιογρα"!α έχουν προταθε! πολλο! έλεγχοι που βασ!0ονταιστν ιδέα ότι τα τετράγ%να τ%ν καταλο!π%ν -ή οι απόλυτες τιμέςτους μπορο)ν να χρσιμοποιθο)ν για τον έλεγχο τςετεροσκεδαστικόττας.

Οι έλεγχοι αυτο!, ανα"έρονται παρακάτ%.

Breusch-Pagan )7@A@+: 2ˆt t t u z a ξ ′= + .

Harvey )7@AB+: 2ˆ: t t t u z a ξ ′= + .

Glejser )7@B@+: ˆt t t u z a ξ ′= + .

White )7@CD+: 2ˆt t t t u x a w b ξ ′= + + , όπου t w ε!ναι τα τετράγ%να και οι

αλλλεπιδράσεις τ%ν μεταβλτ/ν t x . 2ια παράδειγμα, με δυο

ερμνευτικές μεταβλτές, θα έχουμε2 2 21 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2

ˆt t t t t t t t u a x a x b x b x b x x ξ = + + + + + .

:EFG HIGJKLKIGFM: 2ˆ ˆt t t u y a ξ = + .5

0NOFPEJ QEFG HIGJKLKIGFM: 2 2ˆ ˆt t t u y a ξ = + .

2 ;ια τους ε"!μενους τ'εις ε.έχους, /.+ Mitte!ammer" $ud%e and Mier , 2000, + 537+

124


26/39


/IR QEFG HIGJKLKIGFM: ( )2 2ˆ ˆ:t t t u y a ξ = + .

OLIPERPESSKTE HIGJKLKIGFM UELEPISHEJFSLKHKL8 )653" Engle"7@C=+:

2 2 2

1 1ˆ ˆ ˆ

t t p t p t u a u a u ξ − −= + + +L .

VWVXWΟYZ2!WΚ,[ 2\2!ΟZ,[

BYZN[\], E.'., Ô_ U.T. `âÔ, 36L6, U [bcVdZ eZ[e fFY]ZeZYF[PZ_^[eb\beg Ô_ YÔ_Fc \FZhb\bZOe i^YbêbFO, D\FOFcZeYb\^ 4L,35RL964. $%& '(%)*+, ))*+-&*%/ 0&(1)2&)+ *1 345671 89 6%&3*3(1)3:&)*%;*+*&.

BYZN[\], E. '., Ô_ U. T. `âÔ, 36R, E]Z &âYÔaZ cNdebVdbZY eZ[eÔ_ be[ ^VVdb\êbFO[ eF cF_Zd [VZ\bj\êbFO bO Z\FOFcZeYb\[, TZibZQ Ff D\FOFcb\ 'eN_bZ[ 4L, 5K697K. $%& '(%)*+, ))*+-&*%/ 0&(1)2&)+5 89 34567=>.

DOadZ, T.k., 36R5, U aZOZY^d ^VVYF^\] eF &âYÔaZ cNdebVdbZY cF_Zd_bâOF[eb\[, lFNYO^d Ff D\FOFcZeYb\[ 5, RK934.

HdZm[ZY, n., 36J6, U OZQ eZ[e fFY ]ZeZYF[PZ_^[eb\beg, lFNYO d̂ Ff e]Z UcZYb\Ô 'eêb[eb\^d U[[F\bêbFO J4, K3J95K.

n^YiZg U. o., 36LJ, D[ebcêbOa YZaYZ[[bFO cF_Zd[ Qbe] cNdebVdb\êbiZ]ZeZYF[PZ_^[eb\beg, D\FOFcZeYb\^ 44, 4J397.

SbeeZd]^ccZY, T.o., H. H. lN_aZ, Ô_ p. l. SbddZY, 5, D\FOFcZeYb\kFNO_êbFO[, o^cqYb_aZ, o^cqYb_aZ CObiZY[beg `YZ[[. ?4. )73*%' 3@. AB.

rZQZg, s. t., Ô_ t. p. sZ[e, 36RL, rFeZ: U [bcVdZ, VF[bebiZ [Zcb9_ZjObeZ ]ZeZYF[PZ_^[eb\beg Ô_ ^NeF\FYYZdêbFO \FO[b[eZOe \Fi^YbÔ\ZcêYbu, D\FOFcZeYb\^ 77, LK9LR.

s]beZ, n., 36R, U ]ZeZYF[PZ_^[eb\9\FO[b[eZOe \Fi^YbÔ\Z cêYbu Ô_ ^_bYZ\e eZ[e fFY ]ZeZYF[PZ_^[eb\beg, D\FOFcZeYb\^ 4R, 45395R.

125


27/39


?λεγ$ος για αυτοσυσ$έτιση

Xα θε%ρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα με σ"άλματα UT-3 τςμορ"ής:

t t t xβ ′= +y u ,1t t t ρ −= +u u e ,

2~ 0, t iid N σ e ,

για κάθε 1, ,t T = L .

(πομέν%ς, στ πρά$ μπορο)με να ε"αρμόσουμε τν ακόλουθ απλήδιαδικασ!α αν θέλουμε να ελέγ$ουμε για αυτοσυσχέτισ που δ!νεταιαπό το σχήμα UT- m :

Ας

θε%ρήσουμε στ συνέχεια το !διο γραμμικό υπόδειγμα όπ%ς καιπρογο)μενα:

t t t xβ ′= +y u ,

1t t t ρ −= +u u e ,2~ 0, t iid N σ e ,

για κάθε 1, ,t T = L .

Αντικαθιστ/ντας τον ορισμό του t u στν ε$!σ%σ παλινδρόμσς

έχουμε:

1t t t t t t x xβ β ρ −′ ′= + = + +y u u e .

(πομέν%ς θα μπορο)σαμε να κάνουμε τον έλεγχο για αυτοσυσχέτισχρσιμοποι/ντας τν παλινδρόμσ:

1ˆ

t t t t b x r −′= + +y uε

126

1. \=;AGWA@ A@ R AF?GTG #$J G HBCT@;OA


28/39


και κάνοντας τον έλεγχο ότι 0r = . ια εναλλακτική μορ"ή,προκ)πτει να α"αιρέσουμε το t xβ ′ από τα δυο μέλ, /στε να έχουμε:

1ˆ ˆ

t t t t & x r −′= + +u uξ .

Ο έλεγχος του 0r = , ε!ναι γν%στός σαν έλεγ$ος Breusch - Godfrey .

Στν ουσ!α, αυτός δεν ε!ναι παρά μια μορ"ή του ελέγχου &S για

αυτοσυσχέτισ και μόν δια"ορά ε!ναι ότι τα t x εισάγονται στ

βοθτική παλινδρόμσ του ελέγχου CreuschDodfrey , εν/ δενεισάγονται στ βοθτική παλινδρόμσ του ελέγχου &S.

(!ναι προ"ανές ότι ο έλεγχος CreuschDodfrey , μπορε! να γενικευθε!στν περ!πτ%σ ενός σχήματος UT- p .

Στν περ!πτ%σ, αυτή, βοθτική παλινδρόμσ θα ε!ναι ακόλουθ:

1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ

t t t t p t p t & x r r r − − −′= + + + + +u u u uξL , για κάθε 1, ,t p T = + L .

;υσικά, θα πρέπει να ελέγ$ουμε τ μδενική υπόθεσ

0 1 28 0

p H r r r = = = =L , με τ χρήσ τς ' 9στατιστικής.

Ο έλεγχος αυτός, με τ χρήσ του πακέτου "#iews και τα στοιχε!αγια τ συνάρτηση κατανάλσης στην ,λλάδα, "α!νονταιπαρακάτ%.

[reusc"-od/re, $erial orrelation #! Zest:

7-statistic 111.4'3& robabilit, 0.000000_bs`-s%uared 32.&'1'4 robabilit, 0.000000

Zest %uation:Dependent Variable: $(D!et"od: #east $%uaresresample missing value lagged residuals set to ero.


-0.004&&2 0.01054& -0.4'3225 0.63&1 0.0083&2 0.013351 0.628588 0.5338$(D-19 0.&&1128 0.1'1'83 5.'6&640 0.0000$(D-29 -0.040'&2 0.1''&15 -0.22&2'' 0.8200

-s%uared 0.86'6'' !ean dependent var 2.08-16 dusted -s%uared 0.856002 $.D. dependent var 0.046351$.. o/ regression 0.01'58& +ai+e in/o criterion -5.143'&'$um s%uared resid 0.01051& $c"ar criterion -4.&'1420#og li+eli"ood 101.'321 7-statistic '4.315&1Durbin-)atson stat 1.803&82 rob7-statistic9 0.000000

127


29/39


Ο διάσμος έλεγ$ος Durbin και Watson, για σχήμα UT-3αποκλειστικά και μόνο, στρ!0εται στ στατιστική:

( )2

1

2

2

1

ˆ ˆ

ˆ

T

t t

t

T

t

t

u u

()

u

−=

=

−= ∑

∑.

# στατιστική αυτή μπορε! να γρα"ε! στ μορ"ή:

( )2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

2 2

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ

T T T T

t t t t t t

t t t t

T T

t t

t t

u u u u u u

()

u u

− − −= = = =

= =

− + −= =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑.

Οι δυο πρ/τοι όροι του λόγου τε!νουν στ μονάδα σε μεγάλαδε!γματα και επομέν%ς στατιστική μπορε! να γρα"ε! προσεγγιστικά

σαν ( )ˆ2 1 () r = × − , όπου r̂ ε!ναι &' εκτ!μσ του r στν

παλινδρόμσ 1ˆ ˆt t t u ru ξ − = + .

# παλινδρόμσ αυτή ε!ναι προσεγγιστικά ισοδ)ναμ με τν

παλινδρόμσ: 1ˆ ˆt t t u ru e−= + και έτσι στατιστική ps σχετ!0εται στενάμε τν στατιστική &S. ;υσικά στατιστική r̂ θα ε!ναι ασυμπτ%τικά

( )0, 1 N

ακόμ και αν τα σ"άλματα του UT-3 υποδε!γματος δενκατανέμονται κανονικά.

Σε πεπερασμένα δε!γματα στατιστική ps έχει μια πολ)πλοκκατανομή, οπο!α μάλιστα ε$αρτάται και από τις ερμνευτικές

μεταβλτές t x .

Οι Eurbin και Watson -3673 πρότειναν άν% και κάτ% όρια τς

κατανομής που δεν ε$αρτ/νται από τα t x -γν%στά σαν Ld και * d και

έτσι μπορο)ν να χρσιμοποιθο)ν υπό τ μορ"ή πινάκ%ν για τονέλεγχο τς αυτοσυσχέτισς. >στόσο, χρήσ τ%ν ορ!%ν αυτ/νσυνεπάγεται τν )παρ$ μιας περιοχής στν οπο!α ο έλεγχος ps, δενδ!νει αποτελέσματα. # ακριβής κατανομή του ελέγχου ps, μπορε! ναβρεθε! με τ βοήθεια του υπολογιστή, χρσιμοποι/ντας τν τεχνικήαριθμτικής ολοκλήρ%σς του Imhof -36J3K.

3 -ίνονται αυτ!ματα α"! το "α$έτο SH+,+M +

128


30/39


τσι, μπορο)ν να βρεθο)ν αριθμτικά οι κριτικές τιμές τςστατιστικής. Ο υπολογισμός αυτός στρ!0εται %στόσο στν υπόθεστς κανονικόττας τ%ν σ"αλμάτ%ν.

Ο έλεγ$ος ]^ δεν μπορεί να $ρησιμοποιηεί αν στην

παλινδρόμηση συμπεριλαμβάνεται σαν ερμηνευτικήμεταβλητή η ε&αρτημένη μεταβλητή με $ρονική υστέρηση,

δλαδή 1t −y . Στν περ!πτ%σ αυτή, ο Eurbin πρότεινε έναν έλεγχο

που μπορε! να χρσιμοποιθε! με ασ"άλεια.

129


31/39


,κτίμηση που έπεται μιας διαδικασίας ελέγ$ου

ια συνθισμέν πρακτική στν ε"αρμοσμέν οικονομετρ!α4 ε!ναι ναεκτιμήσει κανε!ς τν παλινδρόμσ, να ελέγ$ει τν αυτοσυσχέτισκαι αν αυτή δεν απορρι"θε!, να διορθ/σει με τ μέθοδο kH&'.

2ια να κατανοήσουμε τις ιδιόττες αυτής τς διαδικασ!ας, αςθε%ρήσουμε το απλό υπόδειγμα:

=t t t xβ +y u , για κάθε 1, ,t n= L .

Ο εκτιμτής &' ε!ναι 22

2

ˆ =

n

t t

t LS n

t

t

x

x

=

=

∑

∑

y

β . Από τα κατάλοιπα, μπορο)με να

εκτιμήσουμε τν παλινδρόμσ, 1ˆ ˆt t t r −= +u u e και να έχουμε τον &'

εκτιμτή,1

2

2

1

2

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

n

t t

t

n

t

t

−=

−=

=∑

∑

u u

r

u

. +ο τυπικό σ"άλμα ε!ναι( )

2

2

1

2

ˆ

ˆn

t

t

−=

=

∑s

SE r

u, όπου

( )22

1

2

ˆ ˆˆn

t t

t

r −=

= −∑s u u . n t 9στατιστική ε!ναι: ( )ˆ

ˆr =

rt

SE r.

Ο εκτιμτής τς μεθόδου kH&', ε!ναι:

( ) ( )

( )

1 1

2

2

1

2

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

n

t t t t

t 'GLS n

t t

t

x x

x x

− −

=

−=

− −

=−

∑

∑

r y ry

β

r.

(πομέν%ς, σε μεγάλα δε!γματα, ο εκτιμτής που χρσιμοποιε!ταιέμμεσα, αν έχουμε επ!πεδο σμαντικόττας 78, ε!ναι ο ε$ής:

ˆ , αν 1,96 1,96,ˆ

ˆ , -ια?ο'ετι$)+

LS r

'GLS

− <


32/39


+έτοιοι εκτιμτές ε!ναι γν%στο! σαν προ`ελεγ$όμενοι εκτιμητές)pretest estimators+. vάτ% από τ μδενική υπόθεσ τς μ

αυτοσυσχέτισς, δλαδή 0r = , πιθανόττα ότι 1,96 1,96,r − <


33/39


σμαντικόττας κοντά στο =Da για τους ελέγχους με βάσ τις t και ' στατιστικές στο τελικό υπόδειγμα.

Xα θε%ρήσουμε ένα γραμμικό υπόδειγμα με 10n = παρατρήσεις, μιακαι μόν ερμνευτική μεταβλτή -που έχει παραχθε! σαν ( )0, 1iid N ,

β w3, ρ w,L και σ w3. +α αποτελέσματα από 3.επαναλαμβανόμενα δε!γματα, "α!νονται στο παρακάτ% διάγραμμα.+α S'D τ%ν εκτιμτ/ν &', kH&' και pretest, ε!ναι ,K6, ,3JJ και,57 αντ!στοιχα.

2ια μεγαλ)τερο μέγεθος δε!γματος, δια"ορά τ%ν κατανομ/νδειγματολ*!ας τ%ν εκτιμτ/ν kH&' και pretest ε!ναι αμελτέα.;υσικά δια"ορά με τν κατανομή δειγματολ*!ας του εκτιμτή &',ε!ναι σμαντική και εμ"ανής για σχετικά μεγάλες τιμές τςπαραμέτρου ρ -μεγαλ)τερες από περ!που ,7 στ συγκεκριμένπερ!πτ%σ.

VWVXWΟYZ2!WΚ,[ 2\2!ΟZ,[

BYZN[\], E. '., 36LR, EZ[ebOa fFY ^NeF\FYYZd̂ ebFO bO _gO^cb\ dbOZ^YcF_Zd[, UN[eY^db^O D\FOFcb\ ̀ ^VZY[ 3L, KK4977.

132


34/39


BYZN[\], E. '., Ô_ U. T. `âÔ, 36R, E]Z &âYÔaZ cNdebVdbZY eZ[eÔ_ be[ ^VVdb\êbFO[ eF cF_Zd [VZ\bj\êbFO bO Z\FOFcZeYb\[, TZibZQ Ff D\FOFcb\ 'eN_bZ[ 4L, 5K697K.

pNYqbO, l., Ô_ H. '. sê[FO, 367, EZ[ebOa fFY [ZYb^d \FYYZdêbFO bO

dZ^[e [WN^YZ[ YZaYZ[[bFO[ x, BbFcZeYbP^ KL, 4695R.

pNYqbO, l., Ô_ H. '. sê[FO, 3673, EZ[ebOa fFY [ZYb^d \FYYZdêbFO bOdZ^[e [WN^YZ[ YZaYZ[[bFO[ xx, BbFcZeYbP^ KR, 3769LR.

HF_fYZg, &. H., 36LR, EZ[ebOa fFY ]ba]ZY FY_ZY [ZYb^d \FYYZdêbFO bOYZaYZ[[bFO ZWNêbFO[ Q]ZO e]Z YZaYZ[[FY[ bO\dN_Z dâaZ_ _ZVZO_ZOe i^Yb^qdZ[, D\FOFcZeYb\^ 4J, 3KK93.

HF_fYZg, &. H., 36RR, Sb[[VZ\bj\êbFO eZ[e[ bO Z\FOFcZeYb\[,o^cqYb_aZ, o^cqYb_aZ CObiZY[beg `YZ[[, D\FOFcZeYb\ 'F\bZeg

SFOFaY^V][ rF. 3J, βλ. σελ. 3359353.

Ο 6b0bc έλεγ$ος για λανασμένη συναρτησιακή ε&ειδίκευση

FI donGt want to make the wrong mistake.F 9yFab BZYY^

Ας υποθέσουμε ένα γενικό μ γραμμικό υπόδειγμα τς μορ"ής:

( )Ct t t f x θ = +y v .

Αν συνάρτσ f ε!ναι άγν%στ και εκτιμήσουμε το γραμμικό

υπόδειγμα:

t t t xβ = × +y u ,

ε!ναι προ"ανές ότι &' εκτ!μσ θα πρέπει να ε!ναι, με κάποιαέννοια, λανθασμέν. Ο πιο προ"ανής λόγος ε!ναι ότι στο μ γραμμικόυπόδειγμα, έχουμε:

( ) ( )Ct t

t t

f x

x x

θ ∂ ∂=

∂ ∂yE

,

που δεν ε!ναι σταθερά, εν/ αντ!θετα στο γραμμικό υπόδειγμαέχουμε:

( )t

t xβ

∂=

∂yE

.

133


35/39


2ια να ελέγ$ουμε τν υπόθεσ ότι το υπόδειγμα ε!ναι μ γραμμικό,μπορο)με να θε%ρήσουμε ένα ανάπτυγμα Haylor βαθμο) M τουαλθινο) υποδε!γματος και να έχουμε:

2 3

1 2 3

M

t t t t M t t x x x xβ β β β = + + + + +y eL .

# υπόθεσ τς γραμμικόττας αντιστοιχε! στον έλεγχο τς υπόθεσς

0 2 3 0 M H β β β = = = =L , που μπορε! να γ!νει με τ χρήσ τς '

στατιστικής.

να σμαντικό ερ/τμα, ε!ναι με ποιο τρόπο μπορε! να γενικευθε! οέλεγχος αυτός όταν έχουμε περισσότερες ερμνευτικές μεταβλτές,δλαδή όταν έχουμε εκτιμήσει ένα γραμμικό υπόδειγμα τς μορ"ής:

t t t xβ ′= +y u .

(!ναι σα"ές ότι με δυο ή περισσότερες ερμνευτικές μεταβλτές, τοανάπτυγμα του Haylor βαθμο) M ε!ναι προβλματικό στ χρήσ του.πορο)με, %στόσο, να ορ!σουμε μια νέα μεταβλτή, που να ε!ναιγραμμικός συνδυασμός όλ%ν τ%ν ερμνευτικ/ν μεταβλτ/ν και νααναπτ)$ουμε %ς προς αυτή.

Οι θε%ρτικές τιμές τς παλινδρόμσς ˆˆt t

y xβ ′= είναι ασ"αλ/ς μιατέτοια μεταβλτή κι1 έτσι θε%ρο)με το υπόδειγμα:

2

2ˆ ˆ M

t t t M t t x b & y & y′= + + + +y eL ,

οπότε υπόθεσ που πρέπει να ελέγ$ουμε ε!ναι: 0 28 0 M H & &= = =L .

Ο έλεγχος αυτός λέγεται 6b0bc - RE gression pecication E rror ! est. Από πειράματα προσομοι/σε%ν, δ)ναμ του ελέγχουJ

"α!νεται να ε!ναι μέγιστ για 3 M = .

2ια να δο)με τον λόγο για τον οπο!ο το υπόδειγμα αυτό αντιστοιχε!σε ένα πολυμεταβλτό ανάπτυγμα του Haylor , ας υποθέσουμε ότιέχουμε μόνο δυο ερμνευτικές μεταβλτές. Xα έχουμε:

1 1 2 2t t t t x xβ β = + +y v .

Ο πρ/τος όρος στο TD'DE υπόδειγμα, ε!ναι:

6 D -(ναμ% εν!ς ε.έχου είναι 1E . !"ου . είναι % "ι&αν!τ%τα σ?).ματος τ("ου FF -%.α-ή % "ι&αν!τ%τα να ίνει -ε$τή μια .αν&ασμέν% υ"!&εσ%0+ G"ομέν#ς, -(ναμ% εν!ς ε.έχου είναι % "ι&αν!τ%τα α"!''ιH%ς

μιας .αν&ασμέν%ς υ"!&εσ%ς, "ου .οι$) &έ.ουμε να είναι με).%+

134


36/39


( )2

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ = = 2t t t t t t t y x x x x x xβ β β β β β + + + .

(πομέν%ς, ο όρος αυτός μας δ!νει όλους τους παράγοντες που ε!ναιαπαρα!ττοι για ένα δευτεροβάθμιο ανάπτυγμα του Haylor . +ο !διο

ισχ)ει και για τους όρους αν/τερς τά$ς.

+α αποτελέσματα του ελέγχου TD'DE -με 4 M = για τ συνάρτσκατανάλ%σς τς (λλνικής οικονομ!ας, με το πακέτο "#iews ε!ναιτα παρακάτ%:

135


37/39


Ramsey RESET Test:

7-statistic 2'.&&38' robabilit, 0.000000#og li+eli"ood ratio 48.08&35 robabilit, 0.000000

Zest %uation:Dependent Variable: !et"od: #east $%uares$ample: 1&60 1&&'(ncluded observations: 38


-0.340118 0.46'1'3 -0.'28034 0.4'1' 2.331518 2.225064 1.04'843 0.3023

7(ZZD2 -8.0&8&65 11.246'2 -0.'20118 0.4'657(ZZD3 &.668861 18.0888' 0.534520 0.5&667(ZZD4 -2.32'8&& 10.3185& -0.225602 0.822&

-s%uared 0.&80150 !ean dependent var 0.5143&3 dusted -s%uared 0.&'''44 $.D. dependent var 0.1'4'33$.. o/ regression 0.026068 +ai+e in/o criterion -4.334163$um s%uared resid 0.022424 $c"ar criterion -4.1186&1#og li+eli"ood 8'.34&0& 7-statistic 40'.362&Durbin-)atson stat 0.'85143 rob7-statistic9 0.000000

(!ναι "ανερό ότι συνάρτσ αυτή, ε!ναι λανθασμένα ε$ειδικευμέν.

\ευρνικά δίκτυα

Στ βιβλιογρα"!α, έχουν προταθε! μ γραμμικά υποδε!γματα πουε!ναι γν%στά σαν νευρ%νικά δ!κτυα -neural networks:

( )1

M

t t m m t t

m

x xβ γ ϕ δ

=

′ ′= + × +∑y u , για κάθε 1, ,t n= L ,

όπου ϕ ε!ναι μια μ γραμμική συνάρτσ, γν%στή σαν συνάρτσενεργοπο!σς -activation function που συνήθ%ς ε!ναι σιγμοειδής-επ!σς γν%στή σαν λογιστική συνάρτσ:

( )( )

( )

( )

71 = =

1 7 1 7

z z

z z ϕ

+ − +, z ∈ ¡ .

2ια παράδειγμα, αν έχουμε 2 M = , τότε το υπόδειγμα θα ε!ναι:

( ) ( )1 2

1 2

1 1 =

1 567 1 567t t t

t t

x x x

β γ γ δ δ

′ + × + × +′ ′+ − + −

y u .

+α υποδε!γματα αυτά μπορο)ν να κατανοθο)ν σαν υποδε!γματα δυοσταδ!%ν:

136


38/39


1

= M

t t m tm t t t t

m

x z x z β γ β γ =

′ ′ ′+ + ≡ + +∑y u u ,( )tm m t z xϕ δ ′= , για κάθε 1, ,m M = L .

ια διαγραμματική παρουσ!ασ "α!νεται στο παρακάτ% διάγραμμαμε 4/ = ερμνευτικές μεταβλτές -z{3, , z{4 , 3 M = @ενδιάμεσεςAμεταβλτές και τν ε$αρτμέν μεταβλτή ΟCE.

+έτοια υποδε!γματα μπορο)ν να εκτιμθο)ν ε)κολα με τ μγραμμική μέθοδο ελαχ!στ%ν τετραγ/ν%ν -r&' και ο έλεγχοςγραμμικόττας μπορε! να γ!νει με τον έλεγχο τς υπόθεσς

0 1 +++ 0 M H γ γ = = = , χρσιμοποι/ντας τν ' στατιστική.

πορε! να αποδειχθε! ότι αν το M ε!ναι επαρκ/ς μεγάλο, τονευρνικό δίκτυο μπορεί να προσεγγίσει καλά οποιαδήποτε

παραγγίσιμη συνάρτηση ( )Ct f x θ , ανε$άρττα από τν επιλογήτς -μ γραμμικής συνάρτσς ϕ . {α σμει/σουμε ότι ιδιόττα

αυτή ισχ)ει σε όλο το ε)ρος τιμ/ν του t x , εν/ τα αναπτ)γματα Haylor

έχουν αυτή τν ιδιόττα μόνο τοπικά, δλαδή σε μια περιοχή ενόςορισμένου σμε!ου x . Αυτό καθιστά τα νευρ%νικά δ!κτυα πολ)χρήσιμα στν πρά$.

Α$!0ει να παρατρήσουμε ότι αν γν%ρ!0αμε τα mδ , το υπόδειγμα του

πρ/του σταδ!ου θα ήταν γραμμικό στις παραμέτρους - β και γ καιθα μπορο)σε να εκτιμθε! με τ μέθοδο &'. (πομέν%ς, αρκε! να

βρο)με τα mδ με βάσ κάποια αριθμτική τεχνική. Gχ μπορο)με να

δοκιμάσουμε δια"ορετικές τιμές τ%ν mδ , να εκτιμήσουμε το

υπόδειγμα του πρ/του σταδ!ου με τ μέθοδο &' και να επιλέ$ουμε τις

τιμές τ%ν mδ που δ!νουν τν ελάχιστ τιμή στο άθροισμα

τετραγ/ν%ν τ%ν καταλο!π%ν,2

1

ˆn

t

t

u=

∑ .

137


39/39


Documents

Lectures in Applied Econometrics 04