Lecture Notes in PhysicsNew Series m: Monographs

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R. K. Zeytounian

Mecanique des fluidesfondamentale

Springer-VerlagBerlin Heidelberg New YorkLondon Paris TokyoHong Kong BarcelonaBudapest

Auteur

Radyadour K. ZeytounianUniversite de Lille I, Laboratoire de Mecanique de LilleF-59655 Villeneuve d' Ascq Cedex, France

ISBN 3-540-54441-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New YorkISBN 0-387-54441-0 Springer-Verlag New York Berlin HeidelbergISBN 2-287-00355-X Springer-Verlag Paris Berlin Heidelberg

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© Springer-Verlag BerlIn Heidelberg 1991Printed In Germany

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AVANT PROPOS

La mecanique des fluides newtoniens constitue une disciplineparticulierement remarquable de la mecanique des milieuxcontinus et, historiquement, c'est l'une des premieres a avoirete elaboree.

En particulier, et ceci est essentiel du point de vue quenous adoptons ici, on sait que les lois de comportement liantles contraintes aux deformations peuvent s'exprimer de fa~on

relativement simple, sans qu'il soit vraiment necessaire defaire appel a une thermodynamique elaboree*.

A l'heure actuelle, trois grands modeles mathematiques sontintensivement exploites en mecanique des fluides newtoniens.II s'agit tout d'abord du modele complet de Navier-Stokes pourles fluides compressibles visqueux et conducteurs de chaleur,puis du modele dit de Navier pour les fluides incompressibleset visqueux, et enfin du modele classique d'Euler pour lesfluides non visqueux en evolution adiabatique (fluides ditparfaits).

Ce Cours de mecanique des fluides fondamentale (M.F.F.)comprend six chapitres, et traite des questions essentiellesqui se posent lors de l'analyse theorique des ecoulements defluides newtoniens. Ce Cours est done avant tout un Courstheorique, mais non mathematique au sens des mathematiquespures.

L'une des questions theoriques fondamentales de la mecaniquedes fluides newtoniens est de savoir : quelles sont les~onnees qui, jointes aux equations, sont propres a determinerles solutions de ces equations en relation avec le problemed'ecoulements de fluides considere ?

On sait bien que Ie choix de ces donnees est avant touttributaire de l'exigence suivante les problemesd'ecoulements de fluides doivent etre bien poses (oucorrectement poses).

Ceci implique les trois proprietes suivantes de la solution:1) Elle existe, 2) elle est unique et 3) elle depend

continument des donnees, c'est a dire qu'elle doit etrestable.

* Pour tout ce qui concerne la mecanique des milieux continus, Ielecteur est invite a consulter Ie livre de P. Germain et P. Muller

(Introduction a la Mecanique des Milieux Continus, Masson, Paris 1980).

VI

Tout ce qui a ete dit ci-dessus concerne les ecoulements ditlaminaires. Malheureusement, dans la realite, les ecoulementsde fluides sont presque toujours turbulents. Dans ce cas,l'ecoulement peut evoluer tres differernrnent a partir de deuxsituations de depart "presque" identiques, ce qui explique soncaractere a la fois detenniniste et imprevisible. Ainsi sepose Ie probleme de deceler les conditions d'apparition de laturbulence (sa genese 1) et de decrire Ie phenomene crucial dela transition, c'est a dire du passage du regime larninaire auregime turbulent. On sait que cette transition debute engeneral par une phase dite d'instabilite, et la theorie duchaos apporte un eclairage nouveau, via Ie conceptd'attracteur etrange, sur les mecanismes fondamentaux de1 'apparition de la turbulence.

Naturellement, l'etat turbulent d'un fluide n'est pas, entoute generalite (surtout dans sa phase developpee), decrit aumoyen d'un systeme dynamique dissipatif de dimension finie ;cependant, cela est bien Ie cas dans la phase d'instabilite,lors de la transition vers la turbulence, ou seulement unnornbre fini de modes instables sont excites.

En prenant comme fil conducteur les diverses notionsintroduites ci-dessus, nous avons construit ce Cours de M.F.F.de fa~on telle que Ie contenu des six chapitres qui Iecomposent apporte des elements de reponse aux questionstheoriques posees.

On trouvera aux Chapitres I et II un expose relativementcomplet sur les equations de la mecanique des fluidesnewtoniens. Le Chapitre III est entierement consacre a laformulation des problemes mathematiques correspondants auxequations de Navier-Stokes, de Navier ~t d'Euler. On trouveradans ce Chapitre III divers resultats concernant l'existence,l'unicit~ et la regularite des solutions. Le Chapitre IV sepresente comme une courte introduction a la theorie desmodeles de la mecanique des fluides newtoniens (il s'agitessentiellernent de modeles asymptotiques). On trouvera dans ceChapitre IV les premiers elements de la methode desdeveloppements asymptotiques raccordes et de celIe dite desechelles multiples*.

Tout Ie Chapi tre Vest cons acre a la stabilite desecoulements laminaires. II s'agit principalement de lastabilite des ecoulements presque paralleles, de l'instabiliteconvective de Rayleigh-Benard et des phenomenes d'instabilitedans les ecoulements de fluides parfaits.

* On trouvera dans nos onze le~ons, publiees sous Ie titre: Les

mode1es asymptotiques de 1a mecanique des f1uides (vol.245 [1986] etvol.276 [1987] de la serie : Lecture Notes in Physics, chez Springer­

Verlag), un inventaire relativernent cornplet des rnodeles asyrnptotiques dela rnecanique des fluides newtoniens.

VII

Enfin, au Chapitre VI, on traite des problemes lies auxbifurcations e t instabilites et on donne une theoriephenomenologique des comportements chaotiques dans lesfluides. On trouvera en particulier dans ce Chapitre VI unexpose "qualitatif" sur les attracteurs etranges et les diversscenarios de transition vers Ie chaos.

Ainsi, les six chapitres dans leur ensemble donnent unevision globale des questions fondamentales traitees enmecanique des fluides, qui sont a la base de toute recherchescientifique dans ce domaine. On pourra peut-etre regretterl'absence, d'une part, de toute indication concernant lesmethodes numeriques indispensables a l'heure actuelle pourmener a bien la resolution pratique des problemes que pose lamecanique des fluidep et, d'autre part, des premiers elementsd'une "theorie" de la turbulence. Cependant, nous pensons queces methodes numeriques se presentent plutot comme un "outil"qui doit etre expose dans un Cours de Mathematiques Appliqueesa la Mecanique (des Fluides) et c'est pour cette raison quenous n'avons pas juge bon d'inserer un chapitre supplementaireconsacre a ces methodes numeriques.

En ce qui concerne la turbulence (developpee), il aurait eteeffectivement interessant d'ecrire un Chapitre VII base surles approches analytiques recentes*, mais cela aurait debordelargement du cadre initial fixe lors de la redaction de ceCours de M.F.F.

Le sommaire qui suit cet Avant-Propos donne une idee exactedes questions traitees dans ce Cours et l'index alphabetiquedes matieres situe a la fin devrait permettre aux lecteurs des'orienter aisement lors de la recherche d'une reponse a unequestion precise.

II nous reste a esperer que ce Cours sera utile auxetudiants et aux eleves des Ecoles d'Ingenieurs, ainsi qu'auxjeunes chercheurs s'interessant plus particulierement auxproblemes theoriques poses par l'analyse des ecoulements desfluides newtoniens.

si tel etait Ie cas, ce Cours aurait atteint l'un de sesbuts et Ie temps consacre a Ie rediger, avec un certainenthousiasme, n'aurait pas ete "perdu" en vain I

* Citons, pour exemple, la Note aux C.R.A.S., Paris, t.302, serie II,N· 7, 1986, 383-386, ainsi que les trois articles sur la mQdelisation desecoulements turbulents, dans Ie Numero Special 1986 du J.M.T.A., pages 73

a 140. On trouvera diverses approches asymptotiques dans Ie"minisymposium 3" publie dans Ie ZAMM, 69, 6, 1989, pages T 552 a T 563.

VIII

Pour pouvoir lire ce Cours avec profit, il est necessaireavant tout de posseder une bonne connaissance des milieuxcontinus et les premiers elements de la mecanique des fluidesnewtoniens. Naturellement, si l'on veut assimilerconvenablement les resultats mathematiques concernant1 'existence, l'unicite et la regularite des solutions desequations de la mecanique des fluides, ainsi que ceux relatifsaux chaos, il est egalement necessaire d'avoir une preparationsuffisante en analyse fonctionnelle moderne. En ce quiconcerne l'analyse mathematique des equations de Navier­Stokes, citons Ie livre de R.Teman (Navier-Stokes equations,theory and numarical analysis, North-Holland Publ. Company,Amsterdam, 1979) et Ie volume 1431 de la serie Lecture Notesin Mathematics (The Navier-Stokes Equations [Theory andNumerical Methods); J.G.Heywood, K.Masuda, R.Rautman etV.A.Solonnikov Editeurs ; Springer-Verlag, 1990). Enfin, unebonne introduction mathematique au chaos et aux attracteursetranges est Ie petit livre de D.Rue11e (Chaotic evolution etStrange attractors, Cambridge university Press, 1989).

Nos remerciements vont tout d'abord a Mme Petiaux qui s'est,comme toujours, chargee avec competence de la frappe de ceCours tel qu'il est presente aux lecteurs sous la forme dupresent volume, ainsi qu'a notre fille Christine qui a bienvoulu nous aider pour la realisation de certaines figures.

Nous remercions aussi les nombreux Collegues qui durant lesannees d'elaboration de ce Cours l'ont lu et emis diverscommentaires, remarques et critiques sur Ie contenu desdifferents chapitres. Nous avons, dans la mesure du possible,tenu compte de ces remarques et critiques dans la versionfinale.

Enfin, notre reconnaissance va, une fois de plus, auProf.Dr.W.Beiglbock et a la Maison d'Edition Springer-Verlag,a Heidelberg, pour avoir bien voulu assurer l'edition de ceCours.

villeneuve d'AscqMars 1991

R. ZeytounianLaboratoire de Mecanique de LilleC.N.R.S.- U.R.A. 1441Universite de Lille I

SOMMAlRE

CHAPITRE I. LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES............... 11. L'EQUATION DE BOLTZMANN ET LES EQUATIONS

DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3

1,1. La description statistique(ou microscopique) • • . • . • . . • • . • • • • • • • . • . . • • • • • 3

1,2. L'equation de Botzmann....................... 61,3. Les equations de Navier-Stokes pour un gaz

parfait a cp et Cv constants avec uncoefficient de viscosite volurninique nul..... 8

1,4. Domaine de validite de la descriptionmacroscopique de Navier-Stokes ••.•.•..••••••• 11

2. FLUIDE NEWTONIEN ET EQUATIONS DE NAVIER-STOKES.... 14

2,1. Les trois lois de conservation de lamecanique du milieu continu••..•••••••••••••. 14

2,2. Les lois de comportement des fluidesnewtoniens-. . . • • • . . • • . . . . • . . • • • • • • • • • • . • • • . • . • 17

2,3. Les equations de Navier-Stokes (cas del'aero-thermodynamique) •••..•.•••••••••••••.. 22

2,4. Les equations de Navier-Stokes pour lesecoulements atmospheriques ••..••••••••••••••. 23

3. FORME ADIMENSIONNELLE DES EQUATIONS

DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 293,1. Forme adimensionnel1e des equations de

Navier-Stokes pour un gaz parfaita cp et Cv constants......................... 29

3,2. Equations de Navier-Stokes adirnensionnellesproprement dites. • . . • . • • . • . . • . . . • • • • . . . • • . . . • 31

3,3. Les equations de Navier-Stokesadimensionnelles pour lesecoulements atmospheriques •...••••••••••••••• 32

3,4. Nouvelle forme adimensionnelle des equationsde Navier-Stokes proprement dites ••••..•.•••• 35

3,5. Nouvelle forme adimensionnelle des equationsde Navier-Stokes pour les ecoulementsadiabatiques de l'atmosphere •.••••.•••••••••. 36

x

CHAPITRE II. QUELQUES FORMES SIMPLIFIEES DES EQUATIONS DENAVIER-STOKES. LES EQUATIONS D'EULER ET DE NAVIER 39

4. LES EQUATIONS D'EULER POUR LE FLUIDE PARFAIT EN

EVOLUTION ADIABATIQUE••••••••••••••••••••••••••••• 40

4,1. Le fluide d'Euler barocline .•••••.••••••••••• 404,2. Le fluide d'Euler barotrope •..•...•.•••••.••• 424,3. L'equation de Steichen •••••..•..••••••••••••• 444,4. Le cas du fluide d'Euler incompressible •••••• 474,5. Les ecoulements stationnaires rotationnels

baroclines. • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • 52

5. LES EQUATIONS DE NAVIER POUR LE FLUIDE

VISQUEUX INCOMPRESSIBLE••••••••••••••••••••••••••• 56

5,1. Le fluide de Navier.......................... 565,2. L'equation regissant l'ecoulement plan

de Navier.................................... 575,3. L'equation d'energie associee ••.••.••.•.••••• 58

5,4. Le cas de MaO et l' ecoulement de Navier..... 59

5,5. Le cas de ReaO; l'equation de Stokes .••••••• 59

5,6. Le cas de Rea 00; l'equation d'Euler.......... 60

5,7. Le cas de Re» 1; l'equation de Prandtlpour la couche limite ••••••..••••.••••••••••• 61

5,8. Le cas de Re« 1; L'equation d'Oseen •.•.•••. 63

CHAPITRE III. FORMULATION DES PROBLEMES MATHEMATIQUESCORRESPONDANTS AUX EQUATIONS DENAVIER-STOKES, DE NAVIER ET D'EULER 66

6. FORMULATION DES DONNEES INITIALES, AUX FRONTIERES

ET A L'INFINI••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• 726,1. Le probleme des donnees initiales ..••...••••• 726,2. Le probleme des donnees aux frontieres •••.... 746,3. Le probleme des conditions a l'infini •••••••• 78

7. EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS

DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 80

7,1. Cas de l'ecoulement dans une enceintebornee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7,2. Cas de l'ecoulement monodimensionnel ••.••.•.• 82

XI

8. EXISTENCE, UNICITE ET REGULARITE DES SOLUTIONS DES

EQUATIONS DE NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 858,1. Le cadre fonctionne1......................... 858,2. La methode de Galerkin ...•••..•..••..•...•••. 878,3. Solutions faibles du probleme de Navier ..•••. 908,4. Solutions fortes du prob1eme de Navier ..••••. 958,5. Le cas des equations de Stokes ..•••••.••••••. 968 , 6. Complements.................................. 101

9. ELEMENTS D' UNE THEORIE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS

D' EULER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 1049,1. Surfa~es caracteristiques et hyperbolicite ••• 1049,2. Surfaces de discontinuites fortes et

faibles. . . . . • . . • . . . . . . • . • • • . . . . . . • . • • . • • • • • •. 1119,3. Bicaracteristiques et conoYde

caracteristique. . . . . . . • . . • • • • . . . • • • • • . • • • • • •• 1169,4. Le theoreme de Cauchy-Kowalewski •.•••.•.••.•• 1199,5. Quelques reflexions concernant l'unicite de

la solution des equations d'Euler •.•••..••... 1269,6. La condition de Joukowski ...•••••.••••.••.•.• 1349,7. Les nappes tourbillonnaires ••.•••.••••.•.••.• 1409,8. Les ondes de choc............................ 1459,9. Quelques resultats d'existence et de

regularite de la solution des equationsd'Euler ..•.•••...••..•..•.•.....••...•••••••. 154

9.10. Le probleme avec frontiere libre .•••.••••••. 165

CHAPITRE IV. LE CONCEPT DE MODELES EN MECANIQUE DES

FLUIDES THEORIQUE 17110. LES GRANDS MODELES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES... 174

10,1. Les modeles lies au nombre de Reynolds ....•• 17410,2. Les modeles lies au nombre de Mach •••..•.••• 17910,3. Les modeles lies aux nombres de Strouhal et

de Prandtl.................................. 18710,4. Les modeles pour les ecoulements

atmospheriques. . • • . . . • • . • . • . . . • • . . • • . • • • • • •. 188

11. LES MODELES LOCAUX ET LES MODELES SPECIFIQUES

PROPREMENT DITS ••••••••••••••••••••••••••••••••• 190

11,1. Les modeles locaux ..•..•.•...•••.••••••••••. 19011,2. Les modeles specifiques (globaux) •••.••••••• 193

XII

12. LE CONCEPT DE LINEARISATION•••••••••••••••••••••• 198

12,1. Le formalisme de la linearisation .•.•••••••• 19812,2. Le cas de l'ecoulement eulerien

stationnaire (Re a 00 et S. 0) autourd'une aile de faible epaisseur ••.•.•.•••.••. 200

12,3. Linearisation et modelisation asymptotique •• 207

13. LA MDAR •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 21113,1. Developpements asymptotiques ......••••••...• 21113,2. Raccords. Quelques exemples ••••••••••.•••••. 213

14. LA MEM•• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 22514,1. Les failles de la MDAR et la MEM.••••••.•••• 22514,2. MEM et methode des "moyennes" •••••••.•.•••.• 23214,3. MEM et technique d'homogeneisation ..•.•••••• 234

CHAPITRE V. SUR LA STABILITE DES ECOULEMENTSLAMINAIRES 238

15. LE CONCEPT DE STABILITE POUR L'ECOULEMENT DE

NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 241

15,1. Diverses definitions de la stabilite •••••••. 24115,2. L'equation de Landau et le probleme de lastabilite non lineaire............................ 24115,3. L'equation d'energie de Reynolds-Orr et

les criteres de stabilite de Serrin•.•..•..• 25315,4. Derivation d'une equation d'evolution.

Le critere de stabilite de Sattinger .•.••..• 25915,5. La decomposition de Liapounov-Schrnidt pour

Ie cas des perturbations confinees ••••••.••• 26415,6. Derivation de l'equation de Landau par

la MEM•.••..•..•..••.••.•.•......••••.•...•• 269

16. STABILITE DES ECOULEMENTS PRESQUE PARALLELES. • • •• 27316,1. Le probleme de Poiseuille ••••••••..•.•.•••.. 27316,2. Derivation de l'equation de Orr-Sommerfeld

par la technique de Bouthier .•....•••••••... 28216,3. Solution asymptotique uniformement valable

de l'equation de Orr-Sommerfeld .••••.•....•• 28516,4. Sur la formation et l'evolution non lineaire

d'un paquet d'ondes de Tollmien-Schlichting. 292

XIII

17. L' INSTABILITE CONVECTIVE DE RAYLEIGH-BENARD. • • • •• 30717,1. Derivation asymptotique des equations

de Boussinesq••...•....••...•..•.•••.••..... 30917,2. La theorie lineaire classique ....•••.•..••.• 31917,3. La theorie lineaire de l'instabilite

convective profonde ••..•.•.•••.••.••.•.••••• 33117,4. Interactions quadratiques des modes lineaires

les plus rapidement amplifies. L'equation deDe Coninck, Guiraud et Zeytounian •••.••••••. 356

17,5. Le modele de Lorenz ••.•.••.••..•••••..•.•••• 36317,6. Le modele de Lorenz avec effet de

profQndeur (00 ~ 0) ..•••.••..••..••••..•••••• 373

17,7. Derivation asymptotique de l'equationd'amplitude .••..••...•..•••..••.•••••.•••••• 378

18. PHENOMENES D' INSTABILITE DANS LES ECOULEMENTS

DE FLUIDES PARFAITS.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 39318,1. Un point de vue thermodynamique sur la

stabilite. . • • • . . • • • . . • . • . • • . • • • • • • . . • . . • • • .. 39318,2. Les criteres de stabilite de Arnold (1966) .. 39718,3. Les theoremes de Rayleigh et de Fj0rtoft ..•. 40118,4. Le cas de l'ecoulement isochorique pesant ..• 40318,5. Le probleme de Rayleigh-Taylor et

l'instabilite de Taylor •.•••..•••••.••.•.••. 40918,6. L'instabilite de Helmholtz ••.••••.•..•.•.••. 41218,7. L'instabilite de Kelvin-Helmholtz .•.••..•••. 41618,8. Stabilite d'un ecoulement de Couette

(non-visqueux) en fluide non homogene .....•. 42518,9. Les theoremes de Miles-Howard et du

demi-cercle de Howard .•••••.•....••••••••••• 427

18,10. Quelques resultats de stabilite nonlineaire. • . • • . • • . • • . . . . • . . • . . . . . . • • • . • • • • •. 430

19. L'ECOULEMENT DE COUETTE-TAYLOR ENTRE

CYLINDRES COAXIAUX••••••••••••••••••••••••••••••• 454

19,1. Formulation mathematique du probleme ..•..••• 45619,2. Etude de la stabilite lineaire de

l'ecou1ement de Couette •..•.•...••••.•...••• 45819,3. Apparition et developpement des cellules

de Taylor................................... 466

XIV

CHAPITRE VI. BIFURCATIONS ET COMPORTEMENTS CHAOTIQUES

DANS LES FLUIDES 47020. BIFURCATIONS ET INSTABILITES••••••••••••••••••••• 480

20,1. Les systemes hydrodynamiques a petitnombre de modes............................. 481

20,2. Les singu1arites topologiques ......•......•• 49020,3. Monodromie et structure homocline ••••..••••• 49420,4. Le concept de cycle limite •...•••..•...••... 49820,5. Bifurcations et instabilites •••.••..••...••. 504

21. STOCHASTICITE ET ATTRACTEURS ETRANGES•••••••••••• 513

21,1. Le concept de stochasticite ••••.•••.•...•••• 51421,2. Phenomenologie de l'attracteur etrange .••.•• 52221,3. La loi de Kolmogorov ••••.•......•.•.••.••••• 531

22. LES SCENARIOS DE TRANSITION VERS LE CHAOS •••••••• 534

22,1. La conjecture de Landau et Hopf ...••.••••••• 53522,2. L'idee de Ruelle et Takens (vers Ie chaos

via la quasi-periodicite) ••••••.••••••...••• 53822,3. Le modele de Feigenbaum de dedoublement

des frequences en cascade •...•••..••...••... 54322,4. Le scenario de Pomeau et Manneville de la

transition via l'intermittence ..•.••••....•• 550

23. LES ECOULEMENTS DE COUETTE-TAYLOR ET DE

RAYLEIGH-BENARD. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 555

23,1. Transition vers Ie chaos en ecoulement deCouette-Taylor •••••.••••••.••.••.••••••••••• 556

23,2. Etapes vers Ie chaos dans la convectionde Benard................................... 568

INDEX ALPHABETIQUE DES MATIERES •..•.••••••.••••••••..••.••.•••. 612