最適化数学 第 4 回［今回の項目］

1 復習：局所最適解の求め方2 問題練習

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復習：制約なし最適化問題

最小化 f(x, y) = x3 − 3xy + y3

制約 なし

x3 − 3xy + y3 のグラフ

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復習：1 次の最適性条件

［定理］ (一次の最適性条件)

f(x)：多変数関数点 x̄ が局所最適解ならば，

∇f(x̄) = 0 （零ベクトル）

が成り立つ．

［定義］点 p が，∇f(p) = 0 を満たすとき，p を f の停留点と呼ぶ．

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復習：停留点

最小化 f(x, y) = x3 − 3xy + y3

x3 − 3xy + y3 のグラフx3 − 3xy + y3 の勾配ベクトル

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復習：ヘッセ行列を用いた判定法停留点 x̄ を局所最小解とすると，

x̄ で『グラフは局所的に下に窪んでいる』←→ 点 x̄ の近くで関数 f は『局所的に凸関数である』

［定理］ ( 2 次の最適性条件)1 （必要性）x̄ が局所最小解

=⇒ ∇f(x̄) = 0 かつ ∇2f(x̄)が半正定値2 （十分性）∇f(x̄) = 0 かつ ∇2f(x̄) が正定値

=⇒ x̄ は局所最小解．3 （否定）∇2f(x̄) が不定値のとき，x̄ は局所最適解ではない．

局所最大解についても，それぞれ対応する箇所を半負定値，負定値，極大値に置き換えたものが成り立つ.

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復習：2 次の最適性条件の幾何的イメージ

（十分性）∇f(x̄) = 0 かつ ∇2f(x̄) が正定値=⇒ x̄ は局所最小解．

（否定）∇2f(x̄) が不定値のとき，x̄ は局所最適解ではない．

∇2f(x, y)

∇2f(x, y)

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例題

f(x, y) = x3 − 3xy + y3

の局所最適値を求めよ．

［補足］∇f(x̄) が正定値⇐⇒ ∇f(x̄) の固有値がすべて正f が 2 変数の場合：det

!

∇2f(x̄)"

> 0（行列式），かつ fxx(x̄) > 0 =⇒ f は正定値

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例題f(x, y) = x3 + y3 − 6x− 6y

の局所最適値を求めよ．

（解答例） ∇f(x, y) =#

3x2 − 63y2 − 6

$

, ∇2f(x, y) =

#

6x 00 6y

$

より，

連立方程式

%

3x2 − 6 = 0

3y2 − 6 = 0を解くと，停留点 (x, y) = (±

√2,±√2)

（順不同）を得る．

(x, y) (√2,√2) (−

√2,−√2) (±

√2,∓√2)

|∇2f(x, y)| + + −fxx(x, y) + −

小 大 不定f(x, y) −8

√2 8

√2

である．よって，(x, y) = (√2,√2) のとき，局所最小値 −8

√2，

(x, y) = (−√2,−√2) のとき，局所最大値 8

√2 をとる．

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練習問題

(1) f(x, y) = x3 + 8y3 − 12xy + 1

(2) f(x, y) = x3 + 3xy2 − 3x

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練習問題

(3) f(x, y) = x4 − 4x2 + 8y2 + 4x2y

(4) f(x, y, z) = x3 − y3 + z2 + 3y2 + 3xy − 3x− 3y − 3z + 2

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(1) f(x, y) = x3 + 8y3 − 12xy + 1

-2-1

0 1

2 3

4 5

-2-1

0 1

2 3

4 5-15

-10-5 0 5

10 15 20 25 30

x**3 + 8*y**3 - 12*x*y + 1

-15-10-5 0 5 10 15 20 25 30

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(2) f(x, y) = x3 + 3xy2 − 3x

-2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x**3 + 3*x*y**2 - 3*x

-3

-2

-1

0

1

2

3

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(3) f(x, y) = x4 − 4x2 + 8y2 + 4x2y

-3 -2 -1 0 1 2 3 -4-3

-2-1

0 1

2

-10

-5

0

5

10

15

20

x**4 - 4*x**2 + 8*y**2 + 4*x**2*y

x

y

-10

-5

0

5

10

15

20

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