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Lecture 14
コンピュータその141
1. 常微分方程式の数値解法
2. 偏微分方程式の数値解法
Tuesday, January 24, 17
Lotka-Volterra8><
>:
x
0 = x(a� by)
y
0 = �y(c� dx)
x(0) = 1/10, y(0) = 3 a, b, c, d は正の定数である．
常微分方程式の数値解法 1. 次の Lotka-Volterra 方程式を考える。二種の生物が捕食-被食関
係にある場合の個体数の変化を表す方程式である。
Euler 法により Lotka-Volterra 方程式の数値解を計算し、(t, x(t)),
(t, y(t)) 及び (x(t), y(t)) のグラフを確認せよ。
a = b = c = d = 1 h = 0.01
t > 0
Tuesday, January 24, 17
常微分方程式の数値解法ヒント：グラフの描画複数の列からなるデータファイル中の任意の列を表示したい場合、plot の際にオプショ ン using を使う。例えば 3 列からなるデータが書き込まれているファイルから 2 列目の数値を x 軸、三列目の数値を y 軸にとりたいときには
gnuplot> plot "data.dat" using 2:3
複数のグラフを描く場合には，カンマで繋げる。
gnuplot> plot "data.dat" using 1:2, "data.dat" using 1:3
2. 修正 Euler 法で計算と可視化せよ．x
pn+1 = xn + hf(tn, xn)
xn+1 = xn + h2 (f(tn, xn) + f(tn+1, x
pn+1))
Tuesday, January 24, 17
Euler法は上の積分の項を矩形で近似して計算したものである．
dx
dt
= f(t, x)
x(t+ h) = x(t) +R t+ht f(s, x(s))ds
常微分方程式の数値解法（修正Euler法とは）
修正Euler法は台形で近似を行う．
xn+1 = xn + h2 (f(tn, xn) + f(tn+1, xn+1))
上の公式は が含まれているために，このままで計算ができない．そこで，Euler法で近似した値 を求め，その値を用いて計算する．
xn+1
x
pn+1
x
pn+1 = xn + hf(tn, xn)
xn+1 = xn + h2 (f(tn, xn) + f(tn+1, x
pn+1))
Tuesday, January 24, 17
van der Pole方程式
常微分方程式の数値解法 3.
x
00(t) = a(1� x(t)2)x0(t)� x(t)
の数値解を求め，(x(t), xʹ′(t)) を描写せよ．初期値を変えて x(t) および xʹ′(t)
の変化を観察せよ．例：
x
00(t) ⇡ x(t+�t)� 2x(t) + x(t��t)
�t
2
ヒント：
x
0(0) ⇡ x(0)� x(��t)
�t
x(0) = 1, x0(0) = 0
Tuesday, January 24, 17
ローレンツ方程式 (Lorenz equation) 4.
常微分方程式の数値解法
は大気の状態の変化を記述する偏微分方程式に由来する 3 変数の常微分方程 式である．σ = 10，ρ = 28，β = 8/3 とし，適当な初期値からの解曲線 X(t) = (x(t), y(t), z(t)) を修正 Euler 法で計算し，gnuplot で3次元表示せよ．時間刻み は 0.001，t = 0 から 100 の範囲で計算する．ま
た，初期値からわずかに (< 10−8) 離れた別の初期値からの解 Xˆ(t) と元の解との距離 |X (t) − Xˆ(t)| は，t とともにどの ように広がっていくかを計算し，gnuplot で表示せよ．
8><
>:
x
0 = �(y � x)
y
0 = x(⇢� z)� y
z
0 = xy � �z
gnuplot> splot "butterfly.dat" using 2:3:4 w lTuesday, January 24, 17
偏微分方程式の数値解法熱方程式 ポアソン方程式
波動方程式 自由境界問題
Tuesday, January 24, 17
u(t, x) : (0, T )⇥ [0, L] ! R
x
t
�x
�t
u(t = 0, x)u(t = �t, x)
x = 0
x = L
偏微分方程式の数値解法
8><
>:
ut = �u in (0,�t)⇥ ⌦
@u@⌫ = 0 on (0,�t)⇥ @⌦
u(t = 0, x) = u0 in ⌦
8
⌦
Tuesday, January 24, 17
拡散方程式の導出d
dt
Z
Vudx = �
Z
@VF · ⌫dS
ut = �divF
F / ru F = �aru (a > 0)
ut = adiv(ru) = a�u
Z
Vutdx = �
Z
VdivFdx
ut
= uxx
=)1次元
発散定理
=)
=)
=)formally
9
変化率 平均フラックス
=)
Tuesday, January 24, 17
時間発展の問題
拡散方程式8><
>:
u
t
= u
xx
(t, x) 2 (0, T )⇥ (0, L)
u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0
u(t = 0, x) = u0 x 2 ⌦
u0
uxx
0
uxx
� 0
10
Tuesday, January 24, 17
差分法における時間発展問題の近似解法
u(t+�t, x) = u(t, x) + ut(t, x)�t+ utt(t, x)�t
2
2+ ...
ut(t, x) ⇡u(t+�t, x)� u(t, x)
�t
8><
>:
u
t
= u
xx
(t, x) 2 (0, T )⇥ (0, L)
u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0
u(t = 0, x) = u0 x 2 ⌦
u
xx
(t, x) ⇡ u(t, x+�x)� 2u(t, x) + u(t, x��x)
�x
2
=)
テイラー展開
11
Tuesday, January 24, 17
差分法における拡散方程式の近似解法
5.8><
>:
u
t
= u
xx
(t, x) 2 (0, T )⇥ (0,⇡)
u(t, 0) = 0, u(t,⇡) = 0
u(t = 0, x) = sin(x) x 2 [0,⇡]
差分法を用いて上記の問題における数値解を計算せよ．
dt =�x
2
6ヒント：
u(t+�t, x) = u(t, x) +�t
u(t, x+�x)� 2u(t, x) + u(t, x��x)
�x
2
12
splot ‘heat_sol.dat’ w d0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.080554 0.0803800.000000 0.161107 0.1602380.000000 0.241661 0.2390570.000000 0.322215 0.316326
heat_sol.datt x u
�x = L/99 [0, L] L = ⇡
Tuesday, January 24, 17
誤差解析
6.
解：u(t, x) = sin(x)e�t
8><
>:
u
t
= u
xx
(t, x) 2 (0, T )⇥ (0,⇡)
u(t, 0) = 0, u(t,⇡) = 0
u(t = 0, x) = sin(x) x 2 [0,⇡]
数値解の誤差を計算せよ．
t ヒント：
誤差：E(t) = ||u(t, x)� sin(x)e�t||2 =
✓Z ⇡
0(u(t, x)� sin(x)e�t)2dx
◆1/2
E(t)
13
dt =�x
2
6[0, L] L = ⇡�x = L/39
Tuesday, January 24, 17
14
Be careful, the explicit method is unstable
�t = 0.0009
�x = 0.04
8><
>:
u
t
= u
xx
(t, x) 2 (0, T )⇥ (0,⇡)
u(t, 0) = 0, u(t,⇡) = 0
u(t = 0, x) = sin(x) x 2 [0,⇡]
7.
差分法を用いて上記の問題における数値解を計算せよ．
“N =40”
Tuesday, January 24, 17
