27

LECCIÓN 2: SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

JUSTIFICACIÓN:

Ya que uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones

Diferenciales es el de hallar las funciones desconocidas que satisfacen la

ecuación diferencial, se procederá a definir lo que significa que una función sea

solución de una ecuación diferencial, así como mostrar los diversos tipos de

soluciones que hay.

A menudo se plantean problemas en donde debe resolverse una ecuación

diferencial sujeta a condiciones impuestas a la función solución o a sus

derivadas. Es por ello que aquí también se estudiarán los problemas de valor

inicial y los problemas de valor de frontera, por medio de los cuales se

obtienen soluciones particulares a una ecuación diferencial.

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1- Comprobar si una función dada es solución de una ecuación diferencial.

2- Identificar si una función dada es una solución general, una solución

particular o una solución singular de una ecuación diferencial dada.

3- Obtener a partir de la solución general soluciones particulares a

problemas de valor inicial y a problemas de valor de frontera.

28

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

INTRODUCCIÓN:

¿Qué estudiamos en la lección pasada?

♦ La ecuación diferencial

♦ La diferencia entre ecuación diferencial ordinaria y ecuación diferencial

parcial.

¿En qué consiste esta diferencia?

♦ La ecuación diferencial ordinaria involucra una función desconocida o

variable dependiente y sus derivadas respecto de una sola variable

independiente.

♦ La ecuación diferencial en derivadas parciales involucra una función

desconocida o variable dependiente y sus derivadas respecto de dos o más

variables independientes.

Muy bien. ¿Que otro aspecto estudiamos en la clase pasada?

♦ También estudiamos el orden y el grado de una ecuación diferencial

¿Cuál es la diferencia entre estos dos términos?

29

♦ El orden de la ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que

aparece en la ecuación diferencial, mientras que el grado de la ecuación

diferencial es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden en la

ecuación diferencial.

Exactamente. ¿Qué otro punto tratamos en la clase pasada?

♦ Hablamos de las características de una ecuación diferencial lineal

¿Cuáles son esas características?

♦ La función desconocida o variable dependiente y sus derivadas deben ser

de grado uno; además los coeficientes, es decir, lo que multiplica a la función

desconocida y a sus derivadas debe depender solo de la o las variables

independientes.

Correcto. Hoy continuaremos estudiando algunas definiciones básicas

relacionadas con las ecuaciones diferenciales.

Solución de una Ecuación Diferencial:

Cuándo se da la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 y se pide obtener las

soluciones ¿qué entienden ustedes por solución de esa ecuación?

♦ Los valores de x que satisfacen la ecuación.

En este caso ¿cuántos valores puede tomar x?

30

♦ Si se resuelve la ecuación se consiguen dos valores para x, estos son: x

= 2 y x = 3

Muy bien. Si ahora se les pidiera obtener las soluciones de la ecuación

cosx = 0 ¿cuántos valores de x satisfacen la ecuación?

♦ Infinitos, ya que cualquier múltiplo de π/2 servirá como solución. Es

decir, todo x = (2k-1) π/2 con k tomando cualquier valor entero es tal que cos

x = 0.

Revisemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1:

Determinar la curva ς del plano que pase por el punto (1, 1) y tal que la

pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos sea igual a la abscisa

del punto correspondiente.

Según vimos en la Lección 1, la ecuación diferencial asociada a este

problema es:

xdx

)x(yd=

donde y = y(x) es la ecuación de la curva ς a determinar.

¿Qué pasos sugieren ustedes que sigamos para determinar la función

y(x) que satisface la ecuación diferencial?

♦ Debemos despejar dy(x) y luego integrar.

31

Muy bien, hagámoslo. Despejando dy(x) se tiene

d y(x) = x dx

Integrando a ambos lados

∫ ∫= dxx)x(dy

Resolviendo las integrales ¿qué obtienen?

♦ Se obtiene la función y(x)

y(x) = 2

2x + C

Correcto. Hemos obtenido la ecuación de la curva ς y decimos que y(x)

= 2

2x + C es una solución de la ecuación diferencial xdx

)x(yd= ¿saben por

qué?

♦ Porque al derivar la función y(x) respecto de x y sustituir en la ecuación

diferencial se obtiene una igualdad.

Exacto. ¿Cuántas curvas se han obtenido que satisfacen la ecuación

diferencial?

♦ Infinitas, una por cada valor real que se le asigne a la constante C de

integración.

32

Observen que en el enunciado del problema dicen que la curva ς que se

está buscando, pasa por el punto (1, 1) ¿qué significa esto para ustedes?

♦ Significa que las coordenadas del punto (1, 1) satisfacen la ecuación de

la curva ς es decir, si x = 1, y = 1 se sustituyen en la ecuación de la curva se

satisface la igualdad.

Muy bien. Hagamos la sustitución a ver que resulta.

1 = C2

21+

De aquí resulta que C = 21

¿Qué se hace con el valor que se obtuvo para la constante de integración

C?

♦ Se sustituye en la ecuación de la curva ς

Correcto, escribamos lo que resulta

y (x) = 21

2

2x+

La función y(x) = 2

2x + C se denomina solución general de la

ecuación diferencial xdx

)x(yd= ; la función y (x) =

21

2

2x+ se denomina

solución particular.

33

Abran sus guías en la página 8 y leamos las definiciones de solución,

solución general y solución particular que allí aparecen.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es toda función que sustituida

en la ecuación diferencial la reduce a la identidad.

La

qu

a) b)

c)

E

v

d

guía

minu

PRO

arbit

SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

solución general para una ecuación diferencial es una toda función

e satisface las condiciones siguientes:

Es independiente de las derivadas.

Tiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación

diferencial.

Verifica o satisface la ecuación diferencial.

SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

s toda solución que se obtiene de la solución general asignándole

alores numéricos a las constantes arbitrarias según ciertas condiciones

adas sobre la variable dependiente y/o sus derivadas.

Procedan ahora a resolver los Problemas 1, 2, 3 y 4 que aparecen en su

en las páginas 7 y 8. Reúnanse en grupos de tres personas. Tienen cinco

tos para resolverlos.

BLEMA 1:

Verifique que la función y = A senx + B cosx, siendo A y B constantes

rarias, es solución para la ecuación diferencial y'' + y = 0

34

PROBLEMA 2:

Verifique que la función y = 5 senx - 3 cosx, es solución para la

ecuación diferencial y'' + y = 0

PROBLEMA 3:

Verifique que la función y = Cx - C2, siendo C una constante

arbitraria, es solución para la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0

PROBLEMA 4:

Verifique que la función y = 2x - 4, es solución para la ecuación

diferencial (y')2 - xy' + y = 0

Veamos que pasos siguieron para realizar cada uno de los problemas.

♦ Calculamos las derivadas de las funciones dadas, las sustituimos en la

ecuación diferencial y verificamos que la igualdad se satisface.

Observen los Problemas 1 y 2. Si ustedes hacen una comparación ¿qué

semejanzas obtienen?

♦ En ambos aparece la misma ecuación diferencial y'' + y = 0

Muy bien. ¿Podrían establecer alguna relación entre la solución

propuesta en el Problema 1 y la solución propuesta en el Problema 2?

35

♦ La solución del Problema 2, y = 5 senx - 3 cosx, se obtiene a partir de

la solución del Problema 1, y = A senx + B cosx, asignándole a la constante

arbitraria A, el valor 5 (A = 5) y a la constante arbitraria B, el valor -3 (B = -3).

¿Que nombre recibe la solución y = A senx + B cosx (siendo A una

constante arbitraria) de la ecuación diferencial y'' + y = 0?

♦ Recibe el nombre de solución general de la ecuación diferencial

¿Qué nombre recibe la solución y = 5 senx - 3 cosx, de la ecuación

diferencial y'' + y = 0?

♦ Recibe el nombre de solución particular de la ecuación diferencial

Realicemos el mismo análisis para los Problemas 3 y 4. Observen los

Problemas 3 y 4. Si ustedes hacen una comparación ¿qué semejanzas

obtienen?

♦ En ambos aparece la misma ecuación diferencial

(y')2 - xy' + y = 0

Muy bien. ¿Podrían establecer alguna relación entre la solución

propuesta en el Problema 3 y la solución propuesta en el Problema 4?

♦ La solución del Problema 4, y = 2x - 4, se obtiene a partir de la solución

del Problema 3, y = Cx - C2, asignándole a la constante arbitraria C, el valor

2 (C = 2).

36

¿Que nombre recibe la solución y = Cx - C2 (siendo C una constante

arbitraria) de la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?

♦ Recibe el nombre de solución general de la ecuación diferencial

¿Qué nombre recibe la solución y = 2x - 4, de la ecuación diferencial

(y')2 - xy' + y = 0?

♦ Recibe el nombre de solución particular de la ecuación diferencial

Hemos visto en el Problema 3 que la solución general de la ecuación

diferencial

(y')2 - xy' + y = 0

es la función y = Cx - C2 (siendo C una constante arbitraria). De acuerdo

con el Problema 4 una solución particular para dicha ecuación diferencial, es la

función y = 2x - 4, la cual se obtiene de la solución general asignándole a la

constante arbitraria C el valor 2 (C = 2).

Consideremos ahora la función 2x41y = ¿será esta función solución de

la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?

¿Qué deben hacer para comprobarlo?

♦ Debemos calcular la derivada de la función y sustituirla en la ecuación

diferencial a ver si se satisface.

37

Correcto, comprobémoslo. Calculando la derivada de la función

2x41y = , se obtiene x

21'y = . Sustituyendo en la ecuación diferencial

(y')2 - xy' + y = 0

resulta:

02x212x

212x

412x

212x

412x

41x

21x

2x

21

=−=+−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Es decir, la función 2x41y = satisface la ecuación diferencial

Muy bien. Recordando la definición de solución particular para una

ecuación diferencial ¿Podrían decir que la función 2x41y = es una solución

particular para la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?

♦ No, ya que la función 2x41y = no puede obtenerse de la solución

general y = Cx - C2, asignándole a la constante arbitraria C un valor real.

Más aún, ¿Saben ustedes que tipo de curvas representa la solución

general?

♦ Son rectas paralelas.

Correcto. ¿Qué tipo de curva representa la función 2x41y = ?

♦ Es una parábola.

38

Muy bien. A este tipo de solución que no se obtiene de la solución

general se le denomina solución singular.

Abran su guía en la página 9 y leamos la definición de solución

singular que allí aparece.

l

m

P

a

d

b

SOLUCIÓN SINGULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución singular de una ecuación diferencial es aquella solución

que no puede obtenerse de la solución general dándole valores

específicos a las constantes arbitrarias.

Realicen el Problema 5 que aparece en sus guías en la página 9 luego de

a definición de solución singular. Trabajen en forma individual. Tienen dos

inutos.

ROBLEMA 5:

Dada la ecuación diferencial y' - xy1/2 = 0

) Compruebe que cada una de las funciones dadas a continuación es solución

e la ecuación diferencial dada

0y;16

2xy;2

C4

2xy ==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

) Identifique que tipo de solución es cada una de ellas.

¿Qué pasos siguieron para responder la parte a)?

39

♦ Calcular la derivada de la función, sustituir la función y su derivada en la

ecuación diferencial y luego verificar que se satisface la igualdad.

Muy bien. ¿Qué pasos siguieron para identificar que tipo de solución es

cada una de las funciones dadas?

♦ Observamos cada función y determinamos las características de cada una

de ellas. La primera solución tiene constantes arbitrarias, por lo tanto es la

solución general. La segunda solución se obtiene de la solución general,

asignándole a la constante arbitraria C el valor cero (C = 0), por lo tanto es la

solución particular. La tercera solución no puede obtenerse de la solución

general ya que no existe ningún valor real que se asigne a la constante arbitraria

C en la solución general y que de allí resulte dicha solución, por la tanto, esa es

la solución singular

El problema 6 les queda como asignación, a fin de que consoliden los

aspectos tratados hasta el momento.

PROBLEMA 6:

Dada la ecuación diferencial 2y1'y −=

a) Compruebe que cada una de las funciones dadas a continuación es solución

de la ecuación diferencial dada

y = sen (x + C); y = cosx; y = 1; y = - 1

c) Identifique que tipo de solución es cada una de ellas.

40

Problemas de Valor Inicial y Problemas de Valor de Frontera:

Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una

ecuación diferencial se resuelve sujeta a condiciones dadas que la función

desconocida debe satisfacer. Analicemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2:

Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su

aceleración en cualquier tiempo t ≥ 0 está dad por a = 16 - 24t. Encuentre la

posición x de la partícula P medida del origen O a cualquier tiempo t > 0 ,

asumiendo que inicialmente, esto es t = 0, está localizada en x = 2 y está

viajando a una velocidad v = -5.

¿Qué representa la variable x?

♦ La variable x representa desplazamiento.

Muy bien. ¿Qué representa la variable t?

♦ La variable t representa tiempo.

Correcto. Según lo visto en el curso de Física I ¿recuerdan cómo se

puede expresar la aceleración en términos de la derivada?

♦ La aceleración en términos de la derivada se puede expresar como

2dt

x2d)t(a =

41

Muy bien. Entonces de acuerdo a la primera frase del enunciado del

problema se tiene que

t24162dt

x2d)t(a −==

Esta es la ecuación diferencial asociada al problema que estamos

resolviendo.

¿Qué otros datos podemos extraer del enunciado del problema?

♦ Los datos que tenemos, según el enunciado del problema son que para el

tiempo t = 0, el desplazamiento es x = 2 y la velocidad es v = -5.

Recuerdan ¿cómo se expresa la velocidad en términos de la derivada?

♦ La velocidad en términos de la derivada se expresa

dtdx)t(v =

Observen que tenemos como datos, condiciones sobre la función x y su

derivada, esto es, x (0) = 2 y x' (0) = -5.

¿Saben qué significa el signo menos en la velocidad?

♦ El signo menos significa que la partícula P no viaja hacia la derecha sino

hacia la izquierda.

42

¿Qué procedimiento sugieren que sigamos para obtener el

desplazamiento x en función del tiempo, a partir de la ecuación diferencial

asociada al problema?

♦ El procedimiento que se debe seguir es integrar dos veces respecto de t,

la ecuación diferencial asociada al problema

t24162dt

x2d−=

Correcto. Si integramos una vez, ¿qué resulta?

♦ Resulta que

( )∫ ∫ −==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dtt2416

dtdx

dtdxd 1C2t12t16 +−=

¿Qué se obtiene al relacionar las ecuaciones dtdx)t(v = y

1C2t12t16dtdx

+−= ?

♦ Se obtiene que la velocidad viene expresada por la función

1C2t12t16)t(v +−=

¿Cómo determinan el valor de la constante C1?

♦ El valor de la constante arbitraria C1 se determina despejando C1 de la

ecuación y usando la condición dada t = 0, v

= -5

1C2t12t16)t(v +−=

43

Muy bien. Entonces ¿cuánto vale C1?

♦ C1 = v (t) - 16 t + 12 t2 = -5 -16 (0) + 12 (0)2 = -5

¿Qué se hace con el valor obtenido de C1 = -5?

♦ Se sustituye en la ecuación 1C2t12t16dtdx)t(v +−== y resulta que

52t12t16dtdx)t(v −−==

Integrando por segunda vez ¿qué se obtiene?

♦ x (t) = ∫∫ +−−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 2Ct53t42t8dt52t12t16dx

es decir, 2Ct53t42t8)t(x +−−=

¿Cómo determinan el valor de C2?

♦ El valor de C2 se obtiene despejando C2 de la ecuación

y usando la condición dada x = 2 para t = 0 2Ct53t42t8)t(x +−−=

Correcto. Entonces ¿cuánto vale C2?

♦ C2 = x(t) - 8t2 + 4t3 + 5t = 2 -8 (0)2 + 4 (0)3 + 5 (0) = 2

¿Qué se hace con el valor obtenido de C2 = 2?

44

♦ Se sustituye en la ecuación y resulta que

2Ct53t42t8)t(x +−−=

2t53t42t8)t(x +−−=

La función es la ley de variación del

desplazamiento x de la partícula P en función del tiempo t.

2t53t42t8)t(x +−−=

Si en el enunciado se cambian las condiciones dadas, es decir si se

cambian las condiciones x (0) = 2 y x' (0) = -5 ¿La ley de variación del

desplazamiento x en función del tiempo dará la misma ecuación?

♦ No.

¿Podrían explicar por qué?

♦ Porque al cambiar las condiciones iniciales los valores de las constantes

arbitrarias serían otros.

Exactamente. Entonces debemos decir que la función

es la solución particular de la ecuación

diferencial

2t53t42t8)t(x +−−=

t24162dt

x2d−= , según las condiciones dadas x(0) = 2 y

x' (0) = -5.

Analicemos otro ejemplo

45

EJEMPLO 3:

Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su

aceleración en cualquier tiempo t ≥ 0 está dada por a (t) = 16 - 24t.

Encuentre la posición x de la partícula P medida del origen O a cualquier

tiempo t > 0, asumiendo que inicialmente, esto es t = 0, está localizada en x =

2 y que para t = 1 está localizada en x = 7.

Observen este enunciado y el del Ejemplo 2 ¿qué semejanza hay?

♦ Que es el enunciado es prácticamente el mismo. Se refiere a la misma

familia de curvas.

Exactamente. Entonces ¿cuál será la ecuación diferencial asociada?

♦ La ecuación diferencial asociada es la misma que la del Ejemplo

anterior: t24162dt

x2d−=

¿En qué se diferencia el enunciado de este Ejemplo 2 con el del Ejemplo

3?

♦ Se diferencian en que las condiciones son otras. Aquí x (0) = 2

y x (1) = 7

¿Cómo obtienen la ley de variación del desplazamiento x en función del

tiempo t?

46

♦ Integrando dos veces, respecto de t, la ecuación diferencial asociada al

problema.

Correcto. Integrando una vez ¿Qué se obtiene?

♦ Se obtiene (∫ ∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dtt2416

dtdxd ) , o equivalentemente

1C2t12t16dtdx

+−=

¿Se puede hallar el valor de C1?

♦ No

¿Por qué?

♦ Porque no se conoce ninguna condición sobre x'

Si integra nuevamente ¿Qué resulta?

♦ Resulta ∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= dt1C2t12t16)t(xd o equivalentemente

x (t) = 8t2 - 4t3 + C1 t + C2

¿Qué deben hacer ahora para obtener los valores de las constantes

arbitraria C1 y C2?

♦ Utilizar de las condiciones dadas x (0) = 2, x (1) = 7

47

¿Cuáles son entonces los valores de C1 y C2?

♦ Usando la primera condición x(0) = 2 se obtiene que C2 = 2. Luego

usando la condición x (1) = 7 y el valor de C2 = 2 resulta que C1 = 1

¿Cómo queda la ley de variación del desplazamiento x en función del

tiempo t?

♦ Queda que x (t) = 8t2 - 4t3 + t + 2

Si en el enunciado se cambian las condiciones dadas, es decir si se

cambian las condiciones x (0) = 2 y x (1) = 7 ¿la ley de variación del

desplazamiento x en función del tiempo dará la misma ecuación?

♦ No.

¿Podrían explicar por qué?

♦ Porque al cambiar las condiciones los valores de las constantes

arbitrarias serían otros.

Exactamente. Entonces debemos decir que la función

es una solución particular de la ecuación

diferencial

2t3t42t8)t(x ++−=

t24162dt

x2d−= , según las condiciones x(0) = 2 y x (1) = 7

¿Qué diferencia hay entre las condiciones dadas para el Ejemplo 2 y las

condiciones dadas para el Ejemplo 3?

48

♦ En el Ejemplo 2 se dan condiciones sobre la función desconocida "x(t)"

y su derivada en un mismo valor de t, mientras que en el Ejemplo 3 se dan

condiciones solo sobre la función desconocida "x(t)" en dos valores distintos de

la variable independiente "t".

Excelente. Abran sus guías en la página 10 y leamos las definiciones de

problema de valor inicial y problema de valor de frontera que allí aparecen

Un problema de v

solución particul

sujeta a condici

especificadas en u

se conocen como

Un problema

una solución

sujeta a cond

más valores d

como condicio

Realicen el

en grupos de tres. D

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

alor inicial es un problema que busca determinar una

ar de la ecuación diferencial asociada al problema,

ones sobre la función desconocida y sus derivadas

n valor de la variable independiente. Tales condiciones

condiciones iniciales.

PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA

de valor de frontera es un problema que busca determinar

particular, de la ecuación diferencial asociada al problema,

iciones sobre la función desconocida especificadas en dos o

e la variable independiente. Tales condiciones se conocen

nes de frontera.

Problema 7 que está en la página 11 de sus guías. Reúnanse

isponen de cinco minutos para ello.

49

PROBLEMA 7:

Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en

cualquier punto (x, y) de ella, es igual a 2x. Halle la ecuación de la curva ς sí

esta pasa por el punto (2, 5).

Revisemos como resolvieron el Problema 7.

Si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar y (x, y(x)) es un

punto cualquiera de la curva ς ¿cómo se escribe la pendiente de la recta

tangente a la curva ς en el punto (x, y(x)), en términos de la derivada?

♦ Se escribe dx

)x(yd

Correcto, la pendiente de la recta tangente a la curva ς en un punto

cualquiera (x, y(x)) de la curva es igual a la derivada de la ecuación de la curva

evaluada en el punto. De acuerdo al enunciado del problema ¿ A quién es igual

esa pendiente?

♦ La pendiente de la recta tangente es igual a 2x

Muy bien. Entonces podemos escribir dx

)x(yd = 2x

¿Qué procedimiento se debe seguir para hallar la función y(x)?

♦ Se debe integrar respecto de x

50

¿Qué queda cuando se integra?

♦ Queda∫ ∫= dxx2)x(yd o equivalentemente y (x) = x2 + C

¿Qué tipo de solución es y(x) = x2 + C?

♦ Es la solución general

¿Cuántas constantes arbitrarias involucra la solución general?

♦ Una sola constante arbitraria

¿Cuántas condiciones nos están dando en el enunciado del problema?

♦ Nos están dando una sola condición

¿Cómo hacen para obtener la curva que pasa por el punto (2, 5)?

♦ Se deben sustituir x = 2, y = 5 en la solución general

Hagámoslo y veamos que resulta: 5 = 4 + C, esto es, C = 1

¿Qué hacen con el valor que obtuvieron de C = 1?

♦ Se sustituye en la solución general y resulta que y (x) = x2 + 1

¿Qué tipo de solución es y (x) = x2 + 1?

51

♦ Es una solución particular

Diremos entonces que y(x) = x2 + 1 es la solución particular del

problema de valor inicial ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

5)2(y

x2dxdy

Los Problemas 8, 9 y 10 quedan como asignación.

PROBLEMA 8:

Compruebe que la función y = C1 x + C2 x lnx es la solución general

de la ecuación diferencial x2 y'' - xy' + y = 0.

Luego obtenga la solución del problema de valor inicial

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

=+−

1)1('y3)1(y

0y'xy''y2x

PROBLEMA 9:

Compruebe que la función y = C1 + C2 cosx + C3 senx es la solución

general de la ecuación diferencial y''' + y' = 0.

Luego obtenga la solución del problema de valor inicial

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=π=π=π

=+

1)(''y2)('y

0)(y0'y'''y

52

PROBLEMA 10:

Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su derivada tercera

en cualquier punto (x, y) de ella es igual a senx Determine la ecuación de la

curva que pasa por los puntos (0,2), (π, π) y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π 1,

2

Realicen el Problema 11 de la página 12 de sus guías. Continúen

trabajando en grupos de tres. Tienen cinco minutos.

PROBLEMA 11:

Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su derivada segunda

en cualquier punto (x, y) de ella es igual a3x

1 . Halle la ecuación de la curva sí

esta pasa por los puntos (1, 2) y (-1, 2).

Revisemos que hicieron para resolver el Problema 11.

Si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar, de acuerdo con

el enunciado del problema ¿cuál es la ecuación diferencial asociada al

problema?

♦ La ecuación diferencial asociada al problema es 2

2

dxyd = 3x

1

Bien. ¿Qué procedimiento deben seguir ahora para hallar la función

y(x)?

53

♦ Se debe integrar indefinidamente dos veces, respecto de x, la ecuación

diferencial asociada.

Correcto. ¿Que se obtiene al integrar la primera vez?

♦ Se obtiene ∫ ∫=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dx

3x

1dxdyd o equivalentemente

1C2x2

1dxdy

+−=

¿Será posible en este paso conseguir el valor de la constante arbitraria

C1?

♦ No, ya que no conocemos ninguna condición sobre la derivada y'

¿Qué obtienen al integrar por segunda vez?

♦ Se obtiene ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= dx1C

2x2

1dy o equivalentemente

y (x) = 2Cx1Cx2

1++

¿Qué tipo de solución es esta?

♦ Es la solución general

¿Cuántas constantes arbitrarias tiene la solución general?

54

♦ Tiene dos constantes arbitrarias.

¿Cuántas condiciones nos están dando en el enunciado del problema?

♦ Nos están dando dos condiciones

¿Qué deben hacer ahora para obtener la ecuación de la curva que pasa

por los puntos (1, 2) y (-1, 2)?

♦ Para el punto (1, 2) se sustituye, en la solución general,

x = 1, y = 2; así se obtiene: 2 = 2C1C21

++ o equivalentemente C1 +

C2 =23 . De forma similar se procede con el punto (-1, 2), se sustituye en la

ecuación general x = -1, y = 2; así se obtiene

2 = 2C1C21

+−− o equivalentemente C2 - C1 = 25

¿Cómo proseguimos ahora para obtener los valores de las constantes

arbitrarias C1 y C2?

♦ Resolvemos el sistema de ecuaciones que se forma con las dos

ecuaciones que obtuvimos al sustituir las coordenadas de los puntos (1, 2) y (-

1, 2) en la solución general. Esto es, resolvemos el sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=+

25CC

23CC

21

21

55

¿Que valores se obtienen para C1 y C2 al resolver el sistema de

ecuaciones?

♦ Se obtiene C1 = - 21 y C2 = 2

¿Que hacen ahora con esos valores de C1 y C2?

♦ Los valores de C1 y C2 se deben sustituir en la solución general

y (x) = 2Cx1Cx2

1++ . Así se tiene que, y (x) = 2x

21

x21

+−

¿Qué tipo de solución es esta?

♦ Es una solución particular

Diremos entonces que y (x) = 2x21

x21

+− es la solución particular

del problema de valor de frontera

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−=

=

2)1(y2)1(yx1

dxyd

32

2

Si reflexionamos un momento acerca del número de constantes

arbitrarias que tiene la solución general, el número de condiciones dadas en el

enunciado, tanto del Problema 7 como del Problema 11, y el orden de las

ecuaciones diferenciales asociadas a cada problema ¿Qué relación podemos

extraer?

56

♦ Que el número de condiciones dadas en el enunciado de un problema de

valor inicial o de un problema de valor de frontera siempre coincide con el

número de constantes arbitrarias que tendrá la solución general; más aún

coincide con el orden de la ecuación diferencial.

Los Problemas 12, 13 y 14 quedan como asignación.

PROBLEMA 12:

Compruebe que la función y = C1 cos4x + C2 sen4x es la solución

general de la ecuación diferencial y'' + 16 y = 0.

Luego resuelva el problema de valor de frontera

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

==+

08

y

0)0(y0y16''y

PROBLEMA 13:

Compruebe que la función y = C1 x2 + C2 x4 + 3 es la solución general

de la ecuación diferencial x2 y'' - 5 x y' + 8 y = 24.

Luego resuelva el problema de valor de frontera

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=+−

152y3)1(y

24y8'yx5''y2x

57

PROBLEMA 14:

Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de modo tal que su

aceleración instantánea está dada como una función del tiempo t por

a (t) = 10 - 12t2. En los tiempos t = 2 y t = 3, la partícula está localizada en x

= 0 y x = - 40 respectivamente. Encuentre la posición x de la partícula P en

cualquier instante t

CIERRE:

¿Qué estudiamos en esta lección?

♦ Estudiamos lo que significa que una función sea solución de una

ecuación diferencial

¿Cómo chequeamos que una función es solución de una ecuación

diferencial?

♦ Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación diferencial y

viendo que se satisface la igualdad

¿Cuantos tipos de soluciones pueden obtenerse para una ecuación

diferencial?

♦ Vimos que para una ecuación diferencial se puede obtener solución

general, solución particular y / o solución singular.

¿Qué diferencia hay entre cada tipo de solución?

58

♦ La solución general contiene tantas constantes arbitrarias como orden

tenga la ecuación diferencial.

♦ La solución particular se obtiene de la solución general asignándole a las

constantes arbitrarias valores específicos según condiciones dadas sobre la

variable dependiente y / o sus derivadas.

♦ La solución singular no puede obtenerse de la solución general.

¿Qué tipo de problemas se pueden plantear que nos conduzcan también

a obtener soluciones particulares?

♦ Los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera.

¿Que semejanzas y que diferencias esenciales hay en estos problemas?

♦ En ambos se busca obtener soluciones particulares a una ecuación

diferencial. La diferencia radica en que en el problema de valor inicial las

condiciones se dan sobre la variable dependiente y sus derivadas en un valor de

la variable independiente, mientras que en el problema de valor de frontera las

condiciones se dan sobre la variable dependiente en uno, dos o más valores de

la variable independiente.

¿Que relación importante establecimos entre el número de condiciones

que se dan en un problema de valor inicial o un problema de valor de frontera,

el orden de la ecuación diferencial asociada al problema y el número de

constantes arbitrarias de la solución general a cada problema?

59

♦ Establecimos que el número de condiciones dadas en cualquiera de los

dos tipos de problemas coincide con el orden de la ecuación diferencial y con

el número de constantes arbitrarias de la solución general.