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BenjaminMoubêche
1
Le succès paradoxal du Modus Ponensde Mamdani
Benjamin MOUBÊCHE
ENS Cachan
Directeur de Stage : Marcin DETYNIECKI
BenjaminMoubêche
2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
BenjaminMoubêche
2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
BenjaminMoubêche
2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
BenjaminMoubêche
2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
BenjaminMoubêche
6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
BenjaminMoubêche
6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
BenjaminMoubêche
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Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
BenjaminMoubêche
6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
BenjaminMoubêche
7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
BenjaminMoubêche
8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
BenjaminMoubêche
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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9
Implications
En logique classique : A⇒ B ←→ ¬A ∨ B
En logique floue : choix de l’implication
BenjaminMoubêche
10
Implications
L(x, y) = min(1− x + y, 1) KD(x, y) = max(1− x, y) M(x, y) = min(x, y)
W (x, y) = max(1− x, min(x, y)) BG(x, y) = 1 si x ≤ y, y sinon
BenjaminMoubêche
12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
BenjaminMoubêche
12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
BenjaminMoubêche
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Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
BenjaminMoubêche
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Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
BenjaminMoubêche
13
Illustration en fonction du choix effectué
⇒
trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
BenjaminMoubêche
13
Illustration en fonction du choix effectué
⇒
trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
BenjaminMoubêche
13
Illustration en fonction du choix effectué
⇒
trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
BenjaminMoubêche
14
Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
BenjaminMoubêche
14
Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
BenjaminMoubêche
14
Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
BenjaminMoubêche
16
Notre formule
Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation
fB′(y) = supx∈X
T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))
(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′
Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications
BenjaminMoubêche
16
Notre formule
Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation
fB′(y) = supx∈X
T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))
(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′
Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications