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LE FUNZIONI GONIOMETRICHE:
SENO, COSENO E TANGENTE
Prof Giovanni Ianne
PDF Compressor Pro
DEFINIZIONE
Seno e cosenoConsideriamo
la circonferenza goniometrica
Prof Giovanni Ianne
LE FUNZIONI SENO E COSENO
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
Definiamo coseno e seno di a, e
indichiamo con cos a e sen a :
cos a = xB ,
sen a = yB .
e un angolo orientato a,
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Circonferenza di raggio unitario
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LE FUNZIONI SENO E COSENO
Indichiamo con (x; y) le
coordinate di B.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
x = cos a
Indichiamo con (x'; y') le
coordinate di B'.
y = sen a
Scopriamo che:
e
e quindi sen a e cos anon dipendono dalla
particolare circonferenza
considerata,
ma solo dall’angolo a.
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Triangoli rettangoli
cos a = rapporto tra il
cateto adiacenteall’angolo e l’ipotenusa.
Il triangolo OA'B' è un
triangolo rettangolo.
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LE FUNZIONI SENO E COSENO
sen a =rapporto tra il
cateto oppostoall’angolo e l’ipotenusa.
Le proprietà del seno e
del coseno si applicano a
tutti i triangoli rettangoli.
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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI
SENO E COSENO
Costruiamo il grafico delle funzioni
y = sen x e y = cos x in [0; 2p] riportando sull’asse x i valori degli
angoli e sull’asse y le coordinate
dei punti della circonferenza
goniometrica.
PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ;–1 ≤ cos x ≤ 1 ;
cos x = cos (–x) ;
sen x = –sen (–x) .
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Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione
coseno cosinusoide.
I due grafici differiscono per una traslazione di p/2.
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sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... ,
cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … ,
SINUSOIDE E COSINUSIDE
cioè
sen (x + 2kp) = sen x ,
cos (x + 2kp) = cos x .
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2p .
p2
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mentre, se è noto sen a ,
.
Da cui, se è noto cos a ,
,
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LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Prima relazione fondamentale della goniometria
cos2 a + sen2 a = 1
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DEFINIZIONE
TangenteConsideriamo un angolo orientato a,
e sia B il punto della circonferenza
associato ad a.
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LA FUNZIONE TANGENTE
Definiamo tangente di a il rapporto,
quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:
.
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Un altro significato geometrico
Consideriamo il cerchio
goniometrico e la sua
tangente t.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
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LA FUNZIONE TANGENTE
Indichiamo con (x'; y') le
coordinate di B'.
Triangolo rettangolo
tg a = rapporto tra il
cateto oppostoall’angolo e il cateto adiacente. tg a = ordinata di T.
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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE
TANGENTE
Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse yl’ordinata del punto T.
PROPRIETÀ
In particolare si verifica
che:
tg x tende a + o –quando x si avvicina a p/2,
tg x = – tg (–x).
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Il grafico completo della
funzione tangente si
chiama tangentoide.
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tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ...
LA TANGENTOIDE
cioè
tg (a + kp) = tg a .
La funzione tangente è periodica di periodo p .
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LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
Seconda relazione fondamentale della goniometria
,
yB = sen a , xB = cos a ,
.
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ESERCIZI: SENO E COSENO
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