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Le funzioni generalizzate causalinella modellisticageofisica ed ambientale
Fabio Cavallini
Istituto Nazionale di Oceanografia e di
Geofisica Sperimentale – OGS
Borgo Grotta Gigante 42/C
I-34010 Sgonico (Trieste) TS
E-mail: [email protected]
1
Sommario
1. Matematica
(a) Distribuzione di Gelfand-Shilov
(b) Integrale iterato e frazionario
(c) Derivate frazionarie
2. Geofisica
(a) Radar geologico (Elettromagnetismo)
(b) Prospezioni sismiche(Viscoelasticita’)
(c) Ingegneria dei giacimenti(Poro-viscoelasticita’)
(d) Meteorologia e oceanografia(Fluidodinamica geofisica)
(e) Idrologia (Idrogramma unitario)
(f) Ecologia e climatologia(CO2 e foreste)
2
Distribuzione di Gelfand-Shilov
Def.:
G0 = δ G1 = θ G2 = ramp G−1 = δ′
Gn = ∗n θ = rampn−1/(n− 1)! n = 2, 3, . . .
G−n = δ(n) n = 2, 3, . . .
Gν = rampν−1/Γ[ν] ν > 0
G−ν = ∂n Gε ν = n− ε , n ∈ IN\{0} , 0 < ε < 1
Es.:
G1/2 = 1√πramp−1/2
G−1/2 = ∂ G1/2
Teor.:
Gα ∗Gβ = Gα+β α, β ∈ IR
N.B.: gruppo a 1 param. risp. ∗
Teor.:
∗n (δ′ − a δ)← = Gn exp[a#]
3
Integrale iterato e frazionario
Integrale iterato:(∫ nf
)[t] :=
∫ t
−∞dt1
∫ t1
−∞dt2 . . .
∫ tn−1
−∞dtn f [tn]
∫ n= Gn∗
Integrale frazionario (ν > 0):
Gelfand-Shilov:
–∫ ν
GS:= Gν∗
Classico:(–∫cl
νf
)[t] :=
1
Γ[ν]
∫ t
0dτ (t− τ)ν−1 f [τ ]
–∫ ν
GS(f θ) = θ –
∫cl
νf
Es.:
–∫ ν
GSGα = Gν+α
4
Derivate frazionarie
Def.:
Gelfand-Shilov:
∂νGS := G−ν ∗
Liouville-Riemann:
∂νLR := ∂n –
∫cl
n−ν0 ≤ n− 1 < ν < n
Caputo-Mainardi:
∂νCM := –
∫cl
n−ν∂n 0 ≤ n− 1 < ν < n
Teor.:
∂εGS(f θ) = θ ∂ε
LR f = θ ∂εCMf + f [0]G1−ε
Teor.:
∂n+εGS =
∂n+1 ramp−ε
Γ[1− ε]∗ (n ∈ IN, 0 ≤ ε < 1)
Es.:
∂νGS Gα = Gα−ν
Teor.:
∂αGS◦∂
βGS = ∂
α+βGS ∂ν
GS◦–∫ ν
GS= –
∫ ν
GS◦∂ν
GS = I
Def.:. (calculator):∫ ν∂ = Gν ∗ ν ∈ IR
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Radar geologico
(Equazioni di Maxwell)
rot E = −∂t Brot H = +∂t D + Jdiv B = 0div D = ρ
D = ∂t ε ∗ EB = ∂t µ ∗H
(Faraday)(Ampere)
(ε = ε>)(µ = µ>)
Es.:
µ = θ µ0
ε = ε0 G1 + σ G2 + η G2−ε
m 0 < ε < 1
∂tD = ε0 ∂tE + σ E + η ∂εtE
Casi particolari:
D = ε0 E
∂t D = σ E
∂1−εt D = η E
(dielettrico)(conduttore)
(geo-materiale)
7
Radar geologico (Leggi costitutive)
Debye anisotropo:
(α0 + α1 ∂t)D = (β0+ β
1∂t)E
i.e. {D = M E
M = (α0 − iω α1)−1 (β
0− iω β
1)
i.e.D = ∂t ε ∗ E
∂t ε = δ α−11 β
1+ θ exp[−#α−1
1 α0]α−11 (β
0− α0 α−1
1 β1)
Cole-Cole anisotropo:
(α0 + α1 ∂αt )D = (β
0+ β
1∂
βt )E (α = β)
i.e.{D = M E
M = (α0 + (−iω)α α1)−1 (β
0+ (−iω)β β
1)
i.e.
D = ∂t ε ∗ E
∂t ε = (θ expν,−α−1
1 α0) ∗ (G0 β
0+ G−α β
1)
expν, a[t] = tν−1 Eν, ν[a tν]
Eα, β[z] =∑∞
k=0zk
Γ[α k+β] (Mittag-Leffler)
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Prospezioni sismiche
(Equazioni viscoelastiche anisotrope)
divT + b = ρ ∂ttu (conservazione momento)
T = ∂t( C ∗ E) (legge costitutiva)
E = sym∇u (eq. cinematica)
dove:
T = tensore degli sforzi
b = forza di volume
ρ = densita
u = vettore di spostamento
C = tensore di rilassamento
E = tensore di deformazione
symA = (A + A>)/2
Modello di Bagley & Torvik (cf. Cole-Cole):
( α0 + α1 ∂αt )T = ( β0 + β1 ∂α
t )E
10
Ingegneria dei giacimenti
(Poro-viscoelasticita’)
Eq.i cinematiche:
E = sym∇u e = divw
Legge costitutiva anisotropa:[Tp
]=
[M MM · M
] [Ee
]
isotropo M = C iso M = α M I
poroacustico isotropo con µ = 0
Eq.i dinamiche:[ρ ∂t ρf ∂t
ρf ∂t Y ∗[∂t]
] [uw
]=
[div 00 ∇
] [Tp
]Y ∗[∂t] = η
k + m ∂νt
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Meteorologia e oceanografia
(Fluidodinamica geofisica)
Fluido newtoniano:
T = η(∇ v + (∇ v)>
)Fluido viscoelastico:
T =d
dtη ∗
(∇ v + (∇ v)>
)Es.:
T = η0 tν0 ∂ν(∇ v + (∇ v)>
)Equazione quasi-geostrofica dissipativa:
∂θ
∂t+ u · ∇θ + κ (−∆)α θ = f 0 < α < 1
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Idrologia (Idrogramma unitario)
Relazione afflussi-deflussi:
portata piogge↓ ↓q = IUI ∗ p
Esempio “classico”:
IUI =k1 k2
k2 − k1(exp[k2 t]− exp[k1 t])
Esempio “frazionario”:
IUI =k1 k2
k2 − k1(expν, k2
[t]− expν, k1[t])
Teor: (Hanyga)
0 < α < 1 =⇒ expα,−1 > 0
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Ecologia e climatologia
(CO2 e foreste)
In un bacino idrologico (Eshlemann, 2000):
azoto deforestazione↓ ↓
N = R ∗ D (in Z)
Modelli climatici (Elzen-Schaeffer, 2002):
∆T [t] = C∫ t0 Q[τ ]
∑2k=1
lkτk
exp[−t−ττk
] dτ
dove:
∆T = differenza di temperaturaC = capacita termicaQ = flusso di calorel1 + l2 = 1
14
Conclusioni
1. La convoluzione ha un grande e crescente
ruolo nella modellistica geofisica, in quanto
ogni relazione causa-effetto e descrivibi-
le con una convoluzione, se il sistema e
lineare e tempo-invariante.
2. In particolare, leggi costitutive espresse
da equazioni differenziali frazionarie sono:
• adatte a descrivere fenomeni intermedi
tra diffusione e propagazione, e
• richiedono pochi parametri fenomeno-
logici.
3. Quale ruolo per il calcolo frazionario nella
formulazione di leggi costitutive nonlineari?
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