LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ · Prof.ssa Giorgia Farina 2/13 Esistono funzioni, dette FUNZIONI DEFINITE PER CASI , date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori

Prof.ssa Giorgia Farina

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LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

COSA SONO LE FUNZIONI Sia Ax ∈ e By ∈ ; se yxf a: , cioè se ( ) yxf = , y si chiama IMMAGINE di x mediante f A è il DOMINIO della funzione e si indica con D. Il CODOMINIO della funzione è invece l’insieme BC ⊂ delle immagini degli elementi di A.

x si chiama VARIABILE INDIPENDENTE y si chiama VARIABILE DIPENDENTE (dipende dalla x scelta)

La funzione può essere assegnata con un’espressione analitica, ovvero con una formula matematica, per es.

32

3)( +−= xxf analoga a

32

3 +−= xy analoga a

32

3 +− xx a

Una funzione si può esprimere in due modi:

1. forma IMPLICITA se 0);( =yxf per es. 0623 =−+ yx

2. forma ESPLICITA se ( )xfy = per es. 32

3 +−= xy

Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale di A (x ) uno e un solo numero reale di B (y ).

BAf →: e si legge “f è una funzione da A a B”

N. B. Se parlo della funzione come relazione tra insiemi uso nella simbologia matematica un freccia semplice: BAf →: ;

se invece parlo di una funzione come relazione tra elementi di un insieme allora uso una freccia diversa: yxf a:


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Esistono funzioni, dette FUNZIONI DEFINITE PER CASI , date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente. Esempi significativi:

1. funzione VALORE ASSOLUTO

<−≥

==0

0

xx

xxxy

2. funzione SEGNO

<−≥

==01

01)(

x

xxsigny

3. funzione PARTE INTERA

[ ]

−≤≤+−+−+≤≤

==nxnn

nxnnxy

)1()1(

1

tradotto: la funzione parte intera associa ad ogni numero reale x il più grande numero intero minore o uguale a x .


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Come abbiamo visto nella pagina precedente, di una funzione si può anche disegnare il GRAFICO , cioè l’insieme dei punti del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f . Possiamo inoltre cercare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani (ponendo a sistema la funzione una volta con 0=x e una volta con 0=y ).

FUNZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI. Una funzione si dice ALGEBRICA se contiene, nella variabile x , solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice. Tra le funzioni algebriche troviamo

� le razionali intere (funzioni espresse mediante polinomio), che a loro volta possono essere lineari (se di primo grado rispetto alla x ) o quadratiche (se di secondo grado rispetto alla x ).

� le razionali fratte (funzioni espresse mediante quoziente di polinomi) � le irrazionali (funzioni in cui la x compare sotto il segno di radice)

Tutte le altre funzioni sono TRASCENDENTI . Riassumendo:

LINEARE QUADRATICA

RAZIONALEINTERA

RAZIONALEFRATTA

IRRAZIONALE

ALGEBRICA TRASCENDENTE

FUNZIONE

Per una funzione algebrica, il GRADO della funzione è il grado del polinomio.

CAMPO DI ESISTENZA E SEGNO DI UNA FUNZIONE Il CAMPO DI ESISTENZA (C.E.) di una funzione è il sottoinsieme più ampio di R in cui la funzione può essere definita. Spesso lo si fa coincidere con il dominio. Di seguito, una tabella riassuntiva delle principali funzioni e dei relativi campi di esistenza:

senxy = xey =

1+= xy23

12

+−=

x

xy

232 +−= xxy75 += xy


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Funzione Campo di esistenza Esempio

Funzioni razionali intere

nnn axaxay +++= − ...1

10 R

2743 23 −+−= xxxy RD =

Funzioni razionali fratte

)(

)(

xQ

xPy =

(P e Q polinomi)

{ }kxxxR ,..., 10−

con 0)(...)()( 10 ==== kxQxQxQ

53

12

+−=

x

xy

053 ≠+x 3

5−≠x

−−=

3

5RD

n xfy )(= con n pari

{ }0)(| ≥∈ xfRx

6 63 −= xy

063 ≥−x 2≥x

)[ ∞+= ;2D

n xfy )(= con n dispari Campo di esistenza di )(xf 3

1

3

−=

x

xy

01≠−x 1≠x { }1−= RD

[ ]α)(xfy = con 0>α e irrazionale

{ }0)(| ≥∈ xfRx

( ) 312 += xy 012 ≥+x

2

1−≥x

)

∞+−= ;2

1D

[ ] )()( xgxfy = { } )(..0)(| xgECxfRx ∩>∈

1)2( += xxy

)[ ∞+,0 R∩

)[ ∞+= ;0D

)(log xfy a= 0>a

1≠a { }0)(| >∈ xfRx

)43( −= xLogy

043 >−x 3

4>x

)

∞+= ;3

4D

Funzioni irrazionali

)(xfay = 0>a 1≠a Campo di esistenza di )(xf 423 += xy

RD =

senxy = , xy cos= R )14( += xseny

RD =

Funzioni goniometriche

tgxy =

+− ππ

kR2

)3( xtgy =

+−= ππ

kRD2


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ctgxy = { }πkR − xctgy 2=

{ }πkRD −=

arcsenxy = , xy arccos= ][ 1,1− )12( −= xarcseny

[ ]1,1−=D

arctgxy = , arcctgxy = R )42( −= xarctgy

RD =

Di una funzione si può studiare anche il SEGNO, ossia si può cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, nullo o negativo. Per esempio:

62 −= xy è positiva per 3>x è nulla per 3=x è negativa per 3<x Quindi il grafico sarà nella parte non colorata del piano cartesiano.


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I GRAFICI Le traslazioni Le simmetrie

a. Grafico di

( )axf − : traslo il

grafico a destra di a unità di misura (udm); se avessi dovuto

disegnare ( )axf +

avrei traslato il grafico a sinistra di a udm.

b. Grafico di ( ) bxfy += :

traslo il grafico verso l’alto di b udm; se avessi avuto

( ) bxfy −= avrei traslato

il grafico verso il basso di b udm.

a. Grafico di )(xfy −= . Simmetria rispetto all’asse x

b. Grafico di )( xfy −= . Simmetria rispetto all’asse y


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Le dilatazioni

c. Grafico di )( xfy −−= . Simmetria rispetto ad O

d. Grafico di )(xfy = . Simmetria rispetto all’asse

delle x della parte negativa del grafico.

e. Grafico di )( xfy = . Per 0≥x il grafico rimane

uguale; mentre per x negativo il grafico è il simmetrico rispetto all’asse y di 0),( >xxf .

a. Grafico di 1, >

= mm

xfy . Dilatazione

orizzontale.


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b. Grafico di 1, <

= mm

xfy . Contrazione

orizzontale.

c. Grafico di ( ) 1, >= nxnfy . Dilatazione verticale.

d. Grafico di ( ) 1, <= nxnfy . Contrazione verticale.


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LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI

LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE

LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE Per esempio:

Una funzione da A a B si dice: � INIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A � SURIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A � BIIETTIVA se è sia iniettiva che suriettiva (si dice anche biunivoca o bijettiva)

y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva perché a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biiettiva.

42 +−= xy è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che

4≤y , ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x.

Una funzione da A a B si dice: � CRESCENTE se )()( 2121 xfxfxx <⇒<∀ (si dice anche crescente in senso stretto) � CRESCENTE in senso lato se )()( 2121 xfxfxx ≤⇒<∀


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≥−<<

≤=

32

311

1

)(

xsex

xse

xsex

xf

Per esempio:

2+−= xy

LE FUNZIONI PERIODICHE Per esempio:

Una funzione da A a B si dice: � DECRESCENTE se )()( 2121 xfxfxx >⇒<∀ (si dice anche decrescente in senso

stretto) � DECRESCENTE in senso lato se )()( 2121 xfxfxx ≥⇒<∀

Crescente in senso lato in R

Una funzione da A a B si dice MONOTÒNA se è sempre crescente o sempre decrescente. Una funzione monotòna in senso stretto è sempre iniettiva.

Una funzione )(xfy = si dice PERIODICA di periodo T , con T>0, se Zk ∈∀ si ha )()( kTxfxf += .

In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.


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)(xtgy =

LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI Per esempio:

Una funzione )(xfy = si dice PARI se Dx ∈∀ si ha )()( xfxf −= . Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.

=−=yy

xx

'

'

Quindi le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle y.

12 2 −= xy è pari perché sostituendo a x il suo opposto –x si ottiene ancora y.


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Per esempio: ATTENZIONE : una funzione che non è pari non è necessariamente dispari. Per esempio:

Una funzione )(xfy = si dice DISPARI se Dx ∈∀ si ha )()( xfxf −=− . Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente dispari, allora è dispari.

−=−=

yy

xx

'

'

Quindi le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine degli assi.

33xy = è dispari perché sostituendo a x il suo opposto –x si ottiene -y.

xxy += 2 non è né pari né

dispari; lo possiamo vedere graficamente non essendoci né simmetria rispetto all’asse y né rispetto ad O. Infatti:

)()(

)()()( 22

xfxf

xxxxxf

≠∧−≠−=−+−=−


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LA FUNZIONE INVERSA

LE FUNZIONI COMPOSTE Per esempio:

2)( xxf = e 1)( += xxg

1)())(( 22 +=== xxgxfgfg o

( )21)1())(( +=+== xxfxgfgf o ATTENZIONE: Se si compone la funzione f con la sua inversa 1−f , si ottiene la FUNZIONE IDENTITÀ che associa ad ogni elementi di un insieme se stesso:

xxffxff == −− ))(())(( 11 .

Data una funzione f biiettiva da A a B, la funzione INVERSA di f è la funzione biiettiva 1−f da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che )(xfy = .

Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile . Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante.

Data due funzioni BAf →: e CBg →: indichiamo con fg o o ))(( xfgy = la funzione COMPOSTA da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g dell’immagine di x mediante f . Nella composizione di funzioni non vale la proprietà commutativa: gffg oo ≠ .

A B C

x � f(x) � y �

g(f(x))

fg o

f g

fg o si legge “g composto f”.

))(( xfg si legge “g di f di x”

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