“Le Frazioni” - cittadellascienza.it · con denominatori potenze di 10, (frazioni decimali) anche scritte come 36.19, 1.2200 rispettivamente, facendo uso del punto decimale che

“Le Frazioni”

Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II”

LOGICAMENTE2014

Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II” “Le Frazioni”

Frazioni di oggetti

Frazioni di insiemi di oggetti

Frazioni di quantita


Molte informazioni che riceviamo quotidianamente contengono frazioni epercentuali:

≪ Vengo tra3

4d’ora≫

≪ Vendo tutto con il 30◦/◦ di sconto≫

frazioni e percentuali sono definite in relazione ad un “tutto” o una“quantita unitaria” dividendo il “tutto” in parti uguali.


Significato di “FRAZIONE”

Esempi:

1

4d’ora

2

3di un segmento

5

100di euro

4

3di un segmento

20

100di sconto


Questi esempi mostrano frazioni di oggetti, e quindi parti di insiemi.

In seguito tratteremo le frazioni come numeri

La frazionem

ndi un “tutto”, con m, n ∈ N = {1, 2, . . .}

1◦ Caso m = 1Se il “tutto”puo essere diviso in n parti uguali allora

1

ndel “tutto”

coincide con una di quelle parti.


La frazione

m

ndel “tutto”

e costituita da

m (di quelle parti)

cioe da

m parti ognuna delle quali e1

ndel “tutto”

Il numeratore m della frazionem

ndel “tutto”ci dice “il numero delle

parti”, mentre il denominatore n della frazione ci dice “che tipo di parti”sono state costituite (mezzi, terzi, quarti, quinti, . . .)


Frazioni:

come

numeri(singoli, anche se espressi in termini di una coppia di numeri naturali)

Frazioni:

come

punti della retta dei numeri


Cosı come si giunge al concetto di numero naturale“astraendo”da esperienze con oggetti:

5 persone, 3 automobili, . . .

o meglio

5 di persone, 3 di automobili,. . .

5, 3, . . .


si puo giungere al concetto di frazione come numeri“astraendo”da esperienze con frazioni di oggetti:

1

4d’ora,

2

3di un segmento, . . .

1

4,

2

3, . . .


Specie nel caso di “frazioni improprie”in cui puo

essere poco chiaro qual’e

“il tutto”

e utile la rappresentazione sulla retta dei numeri incui “il tutto” e sempre la lunghezza del segmentounitario [0, 1]


La parte tratteggiata rappresenta4

3o4

6?

Poco chiaro se non si precisa qual’e “il tutto”

La parte tratteggiata e4

3del rettangolo di sinistra,

ma e anche4

6del complesso dei due rettangoli, cioe

dell’unione dei due rettangoli


Per individuare4

3sulla retta dei numeri

Dividiamo il segmento in 3 parti uguali e prendiamoin considerazione il segmento di primo estremo 0,

unione di queste 4 parti. L’altro estremo e4

3


La retta

dei

numeri


Su una retta, disegnamo un punto, indicandolo con

0 (zero)

Disegniamo a destra di 0 un segmento chechiamiamo segmento unitario


L’estremo destro del segmento si indica con 1 (uno)

Spostiamo il segmento verso destra finche 1 diventiil suo estremo sinistro e indichiamo con 2 (due)l’estremo destro e cosı via, 1, 2, 3, 4, . . .


Definizione

Un numero naturale e uno dei punti indicati sullaretta dopo lo zero. La retta con l’insieme dei numeri

naturali si chiama retta dei numeri.

Un numero naturale e cosı definito in manieraconcreta ed esplicita: e uno dei punti disegnati sulla

retta dei numeri.

Osservazione

Questa definizione non e l’ideale ma e accessibile achiunque e facilita lo studio dei numeri frazionari.


Le frazioni

come

punti della retta dei numeri


Definiamo le frazioni

0

3,

1

3,

2

3,

3

3,

4

3, . . .

cioe la sequenza dei terzi

Premesse (terminologia):

1) Se a e b sono due punti sulla retta dei numeri,con a alla sinistra di b

[a, b] indica il segmento di estremi a e b.Prof. Carlo Sbordone - Universita degli Studi di Napoli“Federico II” “Le Frazioni”

2) [0, 1] e il segmento unitario e la sua lunghezzae il “tutto”, Il punto 1 e l’unita

1

3e un terzo del tutto;

La lunghezza del segmento in grassetto e l’estremodestro del segmento in grassetto.


Dividiamo in tre parti di uguale lunghezza tutti i segmenti[0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . e cosı otteniamo la sequenza dei terzi

Ogni punto della sequenza misura la sua distanza da zero

7

3e la lunghezza di [0,

7

3]

7

3e 7 volte la lunghezza di [0,

1

3]

7

3e la settima frazione, nella sequenza dei terzi, a destra di zero.

I numerim

3sono i multipli di

1

3al variare di m ∈ N


IN GENERALE, dati i numeri naturali m ed n, dividiamo i segmenti[0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . in n parti uguali e otteniamo la sequenza deglin-simi

1

n,2

n,3

n, . . .

Per definizione, la frazione

m

n

rappresenta l’m-sima frazione, nella sequenza degli n-simi, a destra dizero.Fissato n ∈ N, al variare di m ∈ N, si ottengono tutti i multipli interi

m

n

di1

n.

Esattamente come per n = 1 al variare di m ∈ N, si ottengono tutti gliinteri m


OsservazioneUno dei vantaggi di avere una definizione precisa di frazione e che si puofacilmente introdurre una definizione di ordine (stretto).

Definizione

La frazionem

ne minore di

m′

n′, se e solo se,

m

ne a sinistra di

m′

n′sulla

retta dei numeri

Si noti che tradizionalmente si dice che, per decidere sem

n<

m′

n′, si deve

calcolare un comune denominatore.

EsempioPer provare che

2

3<

3

4uso

8

12<

9

12


Particolari frazioni:

3619

102,

12200

104, . . .

con denominatori potenze di 10, (frazioni decimali) anche scritte come

36.19, 1.2200

rispettivamente, facendo uso del punto decimale che tiene conto dellapotenza di 10 che figura a denominatore.Nel numero 1.2200 si possono eliminare gli zeri finali pervenendo ascrivere

1.2200 = 1.22

Ma cio equivale a verificare che

12200

104=

122

102

e cio richiede una dimostrazione.


Teorema (sulla semplificazione di frazioni)Per m, n, l ∈ N

m

n=

lm

ln

Dim.(caso particolare numeri)

3

2=

4× 3

4× 2

dividiamo in 4 parti ciascun segmento tra punti consecutivi dellasequenza dei mezzi.


Da cui, ognuno dei segmenti [0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . e cosı ripartito in 8parti uguali

ottenendo la sequenza degli ottavi. La frazione3

2che e il terzo punto

nella sequenza dei mezzi e ora il dodicesimo punto nella sequenza degli

ottavi =12

8=

4× 3

4× 2�


Mediante il Teorema sulla semplificazione di frazioni si puo giustificarel’uguaglianza:

1.2200 = 1.22

Ricordando che per definizione

1.2200 =12200

104

si ha

1.2200 =122 · 102

102 · 102=

122

102= 1.22

Pertanto si possono aggiungere o togliere zeri all’estrema destra delpunto decimale, lasciando inalterato il numero decimale.


Osservazione 1Questa definizione di frazione, confrontata con quella tradizionale che sibasa su un pezzo di pizza o una fetta di torta e piu facile da applicare:abbiamo scelto di ripartire un segmento in 3 parti di uguale lunghezzapiuttosto che un cerchio in 3 parti congruenti.

Osservazione 2Abbiamo preso atto del fatto che l’uguaglianza (l 6= 0)

(∗)ml

nl=

m

n

equivale a dire che le due frazioni a 1◦ e 2◦ membro corrispondono allostesso punto della retta dei numeri.

Quindi, mentre di solito si caratterizza (*) dicendo cheml

nlem

nsono

frazioni equivalenti, per noi esse sono uguali.


Applicazioni (del Teorema sulla semplificazione di frazioni)

1) gli zeri finali dopo il punto decimale si possono sopprimere gia visto!

2) due frazionia

b

c

d

possono essere ridotte allo stesso denominatore bd

a

b=

ad

bd,

c

d=

bc

bd

Cio vuol dire, posto

n = b · d

che le due frazioni

a

b=

ad

n,

c

d=

bc

n

fanno parte della sequenza degli n-simi, rispettivamente nella

posizione ad-sima e bc-sima.

Si puo dire che, se e ad < bc , alloraad

ne a sinistra di

bc

ncioe

a

b<

c

d


Frazioni ridotte ai minimi termini (NON DARE TROPPO SPAZIO)

Teorema<< Per ogni frazione, ne esiste un’unica, ad essa uguale, che sia ridottaai minimi termini >>Dim (non banale, si basa sull’Algoritmo di Euclide)

4

3e meglio di

16

12?

e una questione di gusti e non una necessita matematica


Addizione di frazioniCoerenza con le addizioni di interi, considerati come punti sulla retta deinumeri

Esempio 3 + 5

e la lunghezza dell’unione (concatenazione) dei due segmenti adiacenti dilunghezza 3 e 5


Analogamente date le frazioni

m

ne

k

lla loro somma

m

n+

k

le la lunghezza della concatenazione dei due segmenti adiacenti di

lunghezzam

ne

k

l


Teorema :m

n+

k

l=

kn+ lm

ln

Dim.

Dalla definizione di somma di due frazionik

lem

nsegue che vale la

proprieta associativa:

(k

l+

m

n) +

p

q=

k

l+ (

m

n+

p

q)


e la proprieta commutativa

Dalla definizione di addizione segue

k

l=

1

l+ . . .+

1

l︸︷︷︸

k − volte


e quindi nel caso particolare (l = n)

(∗)k

l+

m

l=

k +m

l

Allora per la proprieta della “semplificazione di frazioni”e per (*), si ha

k

l+

m

l=

kl +ml

l · l


In generale, se le due unita1

le1

nsono diverse, entrambe le frazioni

k

le

m

nsi esprimono in termini della nuova unita

1

ln�

Ad esempio:

5

6+

3

4=

5 · 4

6 · 4+

6 · 3

6 · 4=

5 · 4 + 6 · 3

6 · 4=

38

24


Moltiplicazione di frazioni

Coerenza con le moltiplicazioni di interi ≥ 0

Esempio 3× 5 = 5 + 5 + 5

sulla retta dei numeri

3× 5 e il punto 3 sulla retta con unita di misura uguale a 5 e cioe:

3× 5 = 15


Considerare 5 come unita di misura 1 e possibile se pensiamo ad

una mano con le sue 5 ditaun’auto a 5 postiuna costellazione di 5 stelle

Con tale tipo di scelta per l’unita il punto 3 rappresenta, sulla retta deinumeri, i seguenti 3 gruppi di oggetti


Nel caso di frazioni la moltiplicazione non e addizione ripetuta

3

5×

1

4

non vuol dire “addizionare1

4a se stesso

3

5volte”


Definendo3

5di un numero a

3

5di a

come la totalita di 3 parti, quando a e diviso in 5 parti uguali, allora

3

5di

1

4

si ottiene dividendo il segmento [0, 1

4] in 5 parti uguali e prendendo la

lunghezza dell’unione di 3 di tali parti

3

5di

1

4e

3

20di 1


Definizione

3

5×

1

4=

3

5di

1

4

m

n×

k

l=

m

ndi

k

l= la totalita di m parti, quando il segmento [0, k

l] e

diviso in n parti uguali.

Si dimostra che vale il seguente Teorema


Teorema

m

n×

k

l=

mk

nl

Dim. Per il Teorema sulla “semplificazione di frazioni”

m

n=

lm

ln=

m + . . .+m

ln=

m

ln+ . . .+

m

ln︸︷︷︸

l

m

ne la lunghezza dell’unione di l parti ciascuna lunga

m

ln

Allora, la lunghezza dell’unione di k di quelle parti ekm

ln


Corollario

L’area di un rettangolo i cui lati hanno lunghezza frazionariam

nek

le il

prodotto delle lunghezze.(2◦ interpretazione del prodotto di numeri interi o frazionari)

Dim. Prima nel caso m = k = 1

1

l×

1

n

e poi in generale


La divisione di frazioni

Talvolta la definizione viene data utilizzando il Teorema sullasemplificazione di frazioni

klmn

=kl× ln

mn× ln

=klnl

mlnn

=kn

lm=

k

l·n

m

(INVERTI E MOLTIPLICA)


Tale modo di procedere per definire

klmn

non e corretto, perche si basa su operazioni su enti non ancora definiti.

Se non sappiamo ancora cos’e il 1◦ membro diklmn

come possiamo

coinvolgerlo nei calcoli?Inoltre, il Teorema sulla semplificazione di frazioni afferma che

a

b=

am

bm

purche a, b,m ∈ N e non a, b frazioni


Esempio concreto

Per comprendere, nel caso della divisione

klmn

l’algoritmo “INVERTI E MOLTIPLICA”


Un ragazzo spende ogni giorno esattamente la stessa quantita di soldi(dalla sua paghetta settimanale)

Se con2

3della paghetta arriva da lunedı a venerdı, cioe sostiene i

5

7delle

spese settimanali, che frazione della paghetta spende ogni settimana?

La quantita x che si cerca e data dalla proporzione

2

3:5

7=x : 1

cioe

x=2

3

5

7

=?2

3×

7

5


Le spese per 5 giorni si coprono con2

3della paghetta, quindi le spese per

1 giorno si coprono con

1

5·2

3della paghetta

cioe con2

15della paghetta. Moltiplico per 7 e ho

2

15× 7 =

14

15


La divisione tra frazioni e resa possibile dal seguenteTeorema Date due frazioni

k

l

m

n

con l ,m, n non nulli, esiste un’unica frazione C tale chek

l=

m

n× C

Dim. Basta scegliere C =nk

ml. Se D fosse un’altra frazione t.c.

(1)k

l=

m

n× D

Moltiplicando la (1) ad ambo i membri pern

msi ha

nk

ml=

n

m×

k

l=

n

m× (

m

n× D) = (

n

m×

m

n)× D = D

da cui

D =nk

ml= C


APPROFONDIMENTO

Definizione con significato geometrico

Date due frazioni A e B con B 6= 0, il quoziente

A

B

e la lunghezza dell’altro lato di un rettangolo la cui area vale A e uno deilati ha lunghezza B

A =A

B× B


Divisione tra interi positivi

La divisione esatta tra interi positivi ha due possibili interpretazioni.Consideriamo ad esempio la divisione

15 : 5

1) E il numero di gruppi che si formano quando 15 oggetti vengonoripartiti in gruppi di 5 oggetti ciascunoDunque si tratta di ripartire 15 oggetti in gruppi di 5 oggetti ciascuno:

Alla domanda “quanti gruppi da 5 stanno in 15?” si risponde : 3


Consideriamo ora le due corrispondenti interpretazioni della divisione con

resto tra due interi positivi qualsiasi m, n ∈ N

1) m : n e il massimo numero intero di gruppi che si possono formarequando m oggetti sono ripartiti in gruppi di n oggetti ciascuno

Quanti gruppi da 5?

Ovvero


2) m:n e il massimo numero intero di oggetti che sono in ciascun gruppoquando m oggetti sono ripartiti equamente in n gruppi

16 : 5 = 3 con resto R=1


Consideriamo la divisione tra frazioni

2

3:5

7

Nel contesto Quanti in un gruppo? essa corrisponde al problema

<< Quanti oggetti in un gruppo se distribuisco2

3di oggetto equamente

fra5

7di un gruppo?>>

Si cerca di determinare la frazione di un oggetto in un gruppo sapendo

che i2

3di un oggetto riempiono i

5

7di un gruppo


Ad esempio (Supposto che un individuo abbia sempre la stessa spesa

giornaliera) Se con2

3di paga settimanale egli copre

5

7di spese setti-

manali, con quale frazione della paga ne copre i7

7, cioe copre l’intera

spesa settimanale?

Dall’ipotesi segue che le spese per1

7di settimana (per 1 giorno) si

coprono con1

5di

2

3di paga cioe con

2

15; moltiplicando per 7 giorni si

ottiene14

15


Dunque con i14

15della paga egli copre le sue spese settimanali (e gliene

resta1

15per mettere da parte!)

2

3:5

7=

14

15: 1

INVERTI E MOLTIPLICA

2

3:5

7=

2

3×

7

5=

14

15


Documents

“Le Frazioni” - cittadellascienza.it · con denominatori potenze di 10, (frazioni decimali) anche scritte come 36.19, 1.2200 rispettivamente, facendo uso del punto decimale che