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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10
PROBABILITA’ E VARIABILI ALEATORIE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.1
SEGNALI DETERMINISTICI : NOTI IN OGNI ISTANTE TRASF. DI FOURIER
SEGNALI ALEATORI : NON NOTI IN OGNI t (ES.VOCE) PROBAB. (STATIST.)
PROBABILITA’ EVENTO= LIM. FREQUENZA RELATIVA =
DEF. ASSIOMATICA
USCITE ESPERIMENTO=S SPAZIO EVENTI
SPAZIO EVENTI ANCHE UNIONE, INTERSEZIONE, NEGAZIONI USCITE
ELEMENTARI.
ES. : DADO
lim
.N
n
N
nr. eventi favnr. prove
Zi
S Z F F F F F F Fi 1 2 6 1 2 1 2, ,...., , ,..., ,... etc spazio
PROBABILITA’
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.2
DEFINIZIONE ASSIOMATICA
ASSEGNO AD OGNI EVENTO UN NUMERO A T.C.
MUTUAMENTE ESCLUSIVI
ES : DADO
SPAZIO EVENTI PUO’ ESSERE CONTNUO ES. PTO. SU SEGMENTO 0-T
1 0
2 1
3 01 2 1 2 1 2
1 2
P Z A Z S
P S
P Z Z P Z P Z A B se Z Z
Z e Z
i i
Zi
0 1 2 t t T
P F P P Si 1
60 0 1 2 3
1
6
1
6 Pr oppure
(prob. tra e Funz.Dens.prob.)
t t t dt t t t tt
t
1 2 1 2
1
2
Pr
0= INSIEME VUOTO
P Z1
P Z2 =B
=A
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.3
RAPPRESENTAZIONE EVENTI
EVENTI NON MUTUAMENTE ESCLUSIVI :
ES. A= PERSONE CON AUTO
B= PERSONE CON BARCA
C= PERSONE CON BARCA E AUTO
DIM :
ES. P(FACCIA PARI FACCIA 4) DADO.
A B AB A B A B,
P A B P A B P A P B P AB
A B
C
A A C B B C
P A C P A P C
A A C B B C
' '' '
' '
P A B P A P B P C P A C P B C P C P A P B P C ' '
VENN DIAGRAMS
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.4
EVENTI CONDIZIONATI
DIM :
ES : PROBABILITA’ SU UN DADO DI AVERE 2 AVENDO IN USCITA UNA FACCIA PARI
MEGLIO
P A B A B
P A B
P B/
, prob. di avere dato
A B
P F
P F
P
P F2
2 2
12
1
62
1
3/ faccia pari
pari
pari
P F f. /disp 4
F F F F2 2 4 6
16
12
1 13 , ,
Evento favorevole3 Eventi possibili
P A B B
P AB
P B/ prob. che avendo cada nella zona tratteggiata =
Area eventi favorevoliArea eventi possibili
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.5
TEOREMA DI BAYES
ES. CANALE DI COMUNICAZIONE
P B AP B P A B
P AP B A
P AB
P A
P A B P A P B A
P A B P B P A B
//
dim: /
, /
, /
a P C A
b P C B
P A CP A P C A
P C
P B CP B P C B
P C
i i
i i
ii
i
ii
i
/
/
//
//
A
B
C1
C2
C3
a3
a2
a1
b1
b2
b3
CRITERIO MAP
: RICEVITORE (LATO CI ) DECIDE A O B SE :
P A CA
BP B Ci i/ /
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.6
TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE
SIA S SPAZIO EVENTI,
EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI
B B B S B Bn i j1 2 0 ...
B1 B2
Bn
P A P A S P A B P AB P AB
P A B P B P A
ii
ii
ii
ii
i
/ TEOREMA PROBABILITA’ TOTALE
P B A
P B P A B
P B P A Bi ii
//
/ TEOREMA DI BAYES
(B1,….., Bn E’ UNA PARTIZIONE DI S)
A
S
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.7
ESEMPIO (1) :
3 SCATOLE 500-800-1000 COMPONENTI
(8%-10%-5% PROB. COMP. DIFETTOSO)
P P P
PP P
P
Ocomp.difettoso scat difettoso / 1 scat
prov.2 scatola / comp.difettoso2 scat dif./2 scat
difetto
O
OO O
1
1
30 08 01 0 05
0 23
31
3 01
0 23
3
0 43
. . ....
. . ..
. . .
..
PESCO UN COMPONENTE DA UNA DELLE 3 SCATOLE A CASO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.8
ESEMPIO (2) : ROULETTE RUSSA
I) TAMBURO GIRATO DOPO OGNI COLPO (FINO 3 VOLTE A TESTA)
A secco A seccoA secco
B seccoB seccoB secco
A 1/6
1/61/61/6
1/6 1/65/65/65/65/6 5/6
P A
P B
P B P A
secco con 3 prove
secco con 3 prove
secco secco MEGLIO ESSERE SECONDI
1
6
5
6
5
6
1
6
5
6
1
60 363
5
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
60 323
4
3 5
.
.
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.9
II) ROTAZIONE TAMBURO NON
EVENTI INDIPENDENTI :
STARE ATTENTI : SPESSO EVENTI CHE SEMBRANO INDIPENDENTI NON LO SONO.
A secco A seccoA secco
B seccoB seccoB secco
A 1
1/21/41/6
1/5 1/32/33/44/55/6 1/2
P A e lo stesso secco 1
6
5
6
4
5
1
4
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
1
2'
P AB P A P B
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.10
RIASSUNTO EVENTI
• EVENTI INDIPENDENTI :
• EVENTI CONDIZIONATI :
• MUTUAMENTE ESCLUSIVI :
ESEMPIO : 2 TRENI A E B IN ARRIVO
SPAZIO EVENTI
P AB P A P B
P A B P A
/
P A B P AB P B/ /
P A B P A P B
0
0
a T a
b T b
fermo perfermo per
t3
t2t1
t4
T
T
a
b
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.11
1)
2)
P t a t t b tt t
T
t t
T1 2 3 42 1 4 3
,
P A B =arrivi dopoarea triangoloarea quadrato
1
2T
Tb
a
P a b
P a b
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.12
3)
DUE CONDIZIONI :
(1)
(2)
a
b b b
a a a
b
a
b b b
a a a
b
bbab
:se incontro
P A e B incontro
(1) ARRIVA PRIMA B:
A DEVE ARRIVARE PRIMA CHE B RIPARTA
incontro se: a< b < a+a
(2) ARRIVA PRIMA A:
B DEVE ARRIVARE PRIMA CHE A RIPARTA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.13
a
b
a
b
b a a +
a b b
T
T
a
22
=
222
bTaTT
P
tratt Area
quadrato. areatratt. area
incontro
b
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.14
PROVE RIPETUTE (BERNOULLI) INDIPENDENTI
ES. n=9, p=0.3
P K n P K nn
Kp p
n
K n Kp p
p q p
K n K
K n K
Evento si verifichi volte su prove su
prob. evento
1
1
1
!
! !
0 1 2 3 9 K
~0.3
P K n su
MAX PER K=INTERO MINIMO t.c. K np
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.15
APPROSSIMAZIONI n>>1
a) GAUSSIANA: INTORNO A np DELL’ ORDINE E
b) POISSON:
n
Kp q
npqeK n K
K npnpq
1
2
2
2
K npq npq 1
np n p 1 1 1,
n
Kp q e
np
KK n K np
K
!VALE PER (K PICCOLO)K np
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.16
GAUSSIANA NORMALIZZATA
E’ TABULATA
G X e
G X dX
erf X e d
norm
X
norm
X
1
2
1
1
2
2
2
2
0
2
erf X erf X funzione dispari
-1 +1
G Xn 1
21
2 eMAX0 6.
X
erf X 1/2
X
x
f Xx
v.a
densita' di probabilita'
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.17
GAUSSIANA QUALSIASI
G x eX x
,
2
22
1
2
2
2
EFFETTO DI E
CAMBIO DI VARIABILI :
x
YX x
edX
dYY
1
2 22
2
G x dX G dY erf Y erf YX
X
Y
Y
, , 22 1
1
2
1
2
0 1
YX x
YX x
11
22
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.18
APPROSSIMAZIONE GAUSSIANA :
CURVA DISCRETA CONTINUA.
P K K K nn
Kp q
n
npK K
KK n K
1 21
2 1
1
=
su prove se
1
2
2
1
2
22 1
npqe d erf erf
npnpq
K
K
22
11
K np
npq
K np
npq
SE K1 E K2 NELLA ZONA IN CUI L’ APPROX. E’ VALIDA!
G x G np npq
npq
, ,
2 =
np npq np npq
np K
ZONA VALIDA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.19
1oFORMULAZIONE LEGGE GRANDI NUMERI
LEGA FREQUENZA E PROBABILITA’
DIM :
PK
np
n
1 ATTENZIONE ! : LIMITE PROBABILISTICO
NON MATEMATICO
K np n K np n
P K K K P np n K np n P pK
np
PK
np erf
n
pqerf
n
pqerf
n
pqse n
1 2
1 2
2 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.20
APPLICAZIONI :FISSO TROVO n0 TALE CHE n> n0 . LA FREQ. E LA PROBABILITA’ DI EVENTO SONO
MOLTO VICINE A MENO DI CON PROBABILITA’ MOLTO ELEVATE.
ES. ES. PK
np
= 0.9
= 0.01
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.21
POISSON
HYP :
n
Kn
K n K
n n n n K
K n K
n
K
K
!
! !
!
! ! !
1 2POICHE’ n GRANDE
q p e p 1 (SVILUPPO SERIE DI TAYLOR DELL’ ESPONENZIALE) p PICCOLO
n
Kp q
n
Kp e e
np
K
e n p pK
K n KK
K np pK np
K
pK
! !
1 0POICHE’ EVENTI RARI
np n p K 1 1 1 , PICCOLO. np K
P(K SU n)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.22
ESEMPIO : PUNTO LANCIATO A CASO SU INTERVALLO 0-T
PROB. CADA IN T.
SI DIMOSTRA : (V. Papoulis) SE T E COSTANTE E INTERVALLI DISGIUNTI
CIOE’ GLI EVENTI DIVENTANO INDIPENDENTI .
pt
TP K n t
n
Kp q e
np
Ke
n tT
K
et
K
n
T
K n K np
Kn
t
T
K
tK
1 =
=
pti. su lanci in
! !
!
=DENSITA’ MEDIA PUNTI SU T.
P K t K t P K t P K t1 1 2 2 1 2 2 pti. in e pti. in in in1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.23
VARIABILI ALEATORIEDATO L’ ESPERIMENTO E{S,P} DEFINISCO V.A. x UNA FUNZIONE CHE ASSOCIA A
OGNI USCITA E UN VALORE x . IN PRATICA SEMPRE UN LIMITE SUPERIORE
DELLA V.A.
ES. : DADO ASSOCIO VALORE 1,2,…,6
SE X=7 ; X=4.5
FUNZIONE DISTRIBUZIONE
Z F F Fi 1 2 6, , ...,
P x X 1 P x X 4
6
F X P x Xx
NOTO NOTA V.A. F Xx
1
F Xx
X6
DADO
x E’ LA v.a
X SONO I VALORI RELATIVI
1/6
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.24
PROPRIETA’ F Xx
5
1
2 1
3 0
4 2 1 1 2
2 1 2 1
F X F X
F
F
F X F X P X x X
X X F X F X
x x
x
x
x x
x x
se
F X x Xx
Pr
F Xx MONOTONA CRESCENTE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.25
FUNZIONE DENSITA’ PROBABILITA’ (d.d.p.)
ES. : DADO PROPRIETA’ :
f XdF X
dXF X f d
P X x X F X F X f X dX
xx
x x
X
x x xX
X
1 2 2 1
1
2
f Xx
X1 2 6
1/6
1 0
2 1
f X
f X dX
x
x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.26
d.d.p. TIPICHE
1) UNIFORME
2) GAUSSIANA
f Xx
XX1 X 2
1
2 1X X
F Xx
XX1 X 2
1
f X ex
x x
1
2 22
2
2
f Xx F Xx
x x x
1
emax
max1/2
1
X X
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.27
3) POISSON P x K ea
Ka
K
!
f Xx
X
F Xx
X0 1 2
1
K=1 2 3
d.d.p. E’ 0 SOLO PER X=K DISCRETA (ASIMMETRICA)
x K v.a. discreta 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.28
V.A. CONDIZIONATE
P A B P A B P B P x X M
P x X M
P MF X Mx/ , / /
,/
f X MdF X M
dXMx
x//
X = EVENTO CONDIZIONATO
EVENTO CONDIZIONANTE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.29
ES. 1)
F X MP x X x a
P x a
X a
F X
F aX a
xx
x
/,
1
se
se
f X MX a
f XF a X a
x x
x
/
0
M x a
f Xx
F Xx
1
XXa a
f X Mx /
F X Mx /
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.30
ES. 2)
F X M
P x X a x b
F b F a
X bF X F a
F b F aa X b
X a
xx x
x x
x x
/,
1
0
M a x b
f X Mf X
F b F a a X bx
x
x x/
0 altrove
a b
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.31
ES. : TROVARE Pr CHE UN COMPONENTE SI ROMPA TRA t0 E t1 DATO CHE FINO
A t0 NON SI E’ ROTTO.
f X d d p xe
P t x tP t x t
f X dX
F t F t
F t
xx
xx
t
x x
x
. .
/
rottura
rottura
1 0
0 1 1 0
0
0
1
X=PARTICOLARE VALORE V.A. x =INSIEME VALORI POSSIBILI
P X t P X t F t P t x t f X dXx xt
t
0 0 0 0 11 10
1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.32
F X x t
F X F t
F tX tx
x x
x
/
0
0
001
f Xx
X
f X x tf X
F tx
x
x
/ 0
01
t0
AREA TRATTEGGIATA=DENOMINATORE<1
EFFETTO ” LIEVITATORE”
AREA UNITARIA
Xt0
1 F X x tx / 0
F Xx
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.33
FUNZIONE DI UNA V.A.
DATA UNA V.A. x NOTO O , ASSEGNATA
( y E’ UN’ ALTRA V.A.) ? O ?
APPROCCIO GRAFICO
SE GRAFICA O DISCONTINUA
ES. :
F X f Xx x y g x
g x
y g x
x
f Xx
X
f Yy
Y
-1
+1
-1 +1
a
b
F Y f Yy y
a+b=1
b f X dX Fx x
00
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.34
P y P x f X dX
P y P x f X dX
x
x
1 0
1 0
0
0
a
b
(AREA 1O DELTA A +1)
(AREA 2O DELTA A -1)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.35
ES. :
Y
X
X Y0 0
Y X0 0
X 0
X 0
X Y0 0
X 0 X 0 Y X
f Xx
f Yy
g x
Y Y0 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.36
APPROCCIO ANALITICO
NON ESISTONO DISCONTINUITA’ E DELTA SULLA g(x).
dx3X
g X Y
Y dYY
P Y y Y dY f Y dY
g X Y
X
X
X
y
1
2
3
(VEDI FIGURA)
Y y Y dY X X dXi i i
P Y y Y dY f X dX f X dX f X dXx x xi i i 1 1 2 2 ...
EVENTO E’ L’ UNIONE DI 3 INTERVALLINI
dY E’ SEMPRE UGUALE; I dXi SONO DIVERSI E DIPENDONO DALLA PENDENZA IN Xi
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.37
APPROCCIO ANALITICO (CONT.)
IN MODULO PERCHE’ OVE DERIVATA E’ NEGATIVA SAREBBE NEGATIVO.dX i
y g x dy g x dx dXdY
g X
f Y dY f XdY
g Xf Y
f X
g Xy x y
x i
ii
''
' '...1
1
X y g xi SOLUZIONI EQUAZIONE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.38
ES. : 1)
2)
y ax b Y aX b XY b
ag x a
f Ya
fY b
ay x
'
1
y x Y X X Y Y g x x
f Yf Y
Y
f Y
Yf Y Yy
x x
y
2 2 0 2
2 20 0
'
per
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.39
ASSEGNATA
1)
f XX X
X X Xx
1
2 11 2
f Ya X Xy
1 1
2 1
f Yy
Y Y1 2
1 1
2 1a X X
Y aX b
Y aX b1 1
2 2
Y1
Y2
X 2X1
/////////////
/////////////////
Y
X
y g x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.40
2) f XX Xx 1
2 1
f Y
X X X X
Y X X YY Y X
X X YX Y Xy
1 1
2
10
2
2 1 2 1
2 1
1 12
2 1
12
22
1
0
per dove ho 2 rami
altrove
f Yy E’ ORA DISCONTINUA.
Y1
X1
X 2
Y2
X
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.41
yx
YX
XY
g xx
f Yf Y
Yf X
Xy
x
x
1 1 1 1
1
2
2 2 2
'
Cauchy
f Y
YY Yy
2
22 2 21
1 1 ancora Cauchy
f Xx
12 max
1
max
X
3)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.42
4)
ES. :
f x
f y
X Y
Y X
i
r (v.a)+
E0
f Rr
R
1050950
1/100i
E
rI
E
R
RE
I
0 0
0
f Ii
I1
I2
I PIU’ PROBABILI VALORI BASSI DI CORRENTE
g RE
Rf I
ER
E
E I
E
II
EI
Ei
' 02
02
02
0 02
02 1
02
0
1
100 1
100 100 1050 950
RE
I 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.43
SINTESI DI UNA V.A.
HYP : MONOTONA CRESCENTE
APPROCCIO GRAFICO :
f X o F X e f Y o F Y y g xx x y y ?
g x
P y Y F Y F g X P g x g X P x X F X
F g X F X g X F F X
y y x
y x y x
1
F X Yx f Xx
1
1
f X X F X X
g X F x F g x F X X
x x
y y x
1 0 11
X
X Y g x
g X
F Yy
X
X
X
POICHE’
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.44
APPROCCIO GRAFICO CON
APPROCCIO ANALITICO : x V.A. TRA 1 UNIFORME
DEVO RICAVARE , QUINDI, PER OGNI USCITA DI x ,CALCOLARE:
X = USCITA
F Xx
F Xx
F Yy
Y g X XX Y,
1
f Y e per YyY 2 02
g x ? Fy 1
Y F F xy x 1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.45
DESCRIZIONE SINTETICA
DESCRIZIONE SINTATICA VALORE MEDIO :
VARIANZA :
f X F Xx x
x E x Xf X dX
x X P
x x x
i ii
x xE x x x x f X dX
E x xx x x x
E x xE x x
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 0
2
DESCRIZ. ESAUSTIVA O
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.46
ESEMPI ,
1) GAUSSIANA
x2 x
f X ex
x
x x
x 1
2 2
2
2
2
E x x E x x xx 2 2 misura spread attorno
E g x g X f X dXx
PROPRIETA’ GENERALE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.47
POISSON
QUI VALORE PIU’ PROBABILE
P x K ea
Ka
K
!
E x Kea
Ka xa
K
K
0 ! max
SI DIMOSTRA
x xmax media
x a2
(K INTERO 0)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.48
ES. : DADO
E x x P
E x x x P x x
x
i ii
x i ii
i
x x
1
6
2 2 2 2
2
2 2
11
62
1
635
1
61 2
91
6
91
6
7
2
35
12
3
.... .
...
E’ MOLTO DISPERSA E’ CIRCA IN TUTTO IL CAMPO
DEVIAZIONE STANDARD = varianza
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.49
DISEGUAGLIANZA CHEBYCEFF
(II LEGGE DEI GRANDI NUMERI)
DIM. :
1 1
2 1
0
02
2
legge frequenza relativa
legge
PK
np
K
n
P x x
n
x
x x xx x
xx x
x x f x dx x x f X dX f X dX2 2 2 2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.50
DIVIDO PER :
SE AGISCO SU (ES. ) ALLORA LA PROBABILITA’ DI CADERE VICINO A
E’ MOLTO ELEVATA (V. PROVE RIPETUTE).
2
f X dXxx
x x
2
2 MA L’ INTEGRALE E’ LA PROBABILITA’ DI STARE FUORI
P x x x
12
2
x2
x x
2 0
PROB. DI STARE DENTRO INTORNO
DI =1-PROB DI STARE FUORIx
ES: INTORNO DI
2 2 2
14
3
475%
2
2
x x x
x
x
x x x
P
,
VALE PE R QUALSIASI v.a x
DI STARE NELL’INTORNO DI x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.51
DISTRIBUZIONE CONGIUNTA (2 V.A.)
x y F X Y P x X y Y Pxy e v.a. quadrante, ,
F X P x X P x X y F X
F Y F Y F X Y F X F Y
x xy
y xy xy x y
, ,
, , .
;
; se INDIPEND
Y
X
y
x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.52
f X YF X Y
X Yf X
F X Y
X YdY f X Y dY
F X d f d
xy
xy
x
xy
xy
x xy
X
,, ,
,
,
2 2
P x y R X Y f X Y dXdYxyR X Y
, , ,,
Y
X
R X Y,
DENSITA’ MARGINALE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.53
GAUSSIANA BIDIMENSIONALE
z f X Yr r
X xr
X x Y y Y yxy
x y x x y y
, exp1
2 1
1
2 12
2 2
2
2
2
2
r =COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 1 1r
SE =0 (SCORRELAZIONE) (CIOE’ INDIP. )
r f X Y f X f yxy x y,
r zx y 0 cost. curve livello cerchi
r rx y 0 0
y
x
CAMPANA A SIMM. CIRCOLARE x y,
x y,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.54
r r r 0 1 1
r 0.8 FORTE CORRELAZIONE NOTO x SEGUE ~ xy.
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.55
SIGNIFICATO
PROBABILITA’ DI STARE IN UN RETTANGOLO E’ FACILE.
SE INSIEME HA FORMA MEGLIO LA d.d.p.
F X Yxy ,
F X Y P x X y Yxy , ,
P X x X Y y Y
F X Y F X Y F X Y F X Yxy xy xy xy
1 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1 1
,
, , , ,
P xy R f X Y dXdYxyR
,
X1 X 2
Y1
Y2
Y
X
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.56
AGO DI BUFFON
a<b PROBABILITA’ AGO INCROCI BARRETTA.
2 v.a. x = DISTANZA CENTRO AGO-SBARRETTA (d.d.p. UNIFORME)
= ANGOLO CON LA VERTICALE (d.d.p. UNIFORME)
x
2b
2a
P P x a xincrocio indip. cos
f X f X fbx x, ,
2 1
f
f x
X
2/
/2
1/b
b
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.57
DEVO CERCARE DOVE VALE IN R
CERCO E TROVO REGIONE L
R POTEVA ESSERE ESTESO TRA b E /2 AVREI AVUTO UN’ AREA 4L.
x a cosa xcos
X
2
R
L
a
b
P f X dXd db
dXa
bd
a
bxL
a
incrocio
, coscos
0
2
0 0
22 2 2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.58
SE CONSIDERO x CON CAMPO DA -b A +b E /2.
f Xx
12b
b b
1
2 2
f
X
f Xb
P P x a
x , ,
cos
1
2
incrocio
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.59
X
2 2
b
b
-a
+a a xcos
x a cos
a x acos cos
P P X db
dXa
ba
a
incrocio zona tratteggiata
,cos
cos
1
2
2
2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.60
DISTRIBUZIONE DELLA FUNZIONE DI 2 V.A.
z g x y F X Y o f X Y F Zxy xy z , , , ? noto
F Z P z Z x y g x y Z L Zz pti. piano dove , ,
F Z f X Y dXdYz xyL Z
,
SE L(z) RETTANGOLARE SI PUO’ USARE DIRATTAMENTE INVECE F X Y fxy xy,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.61
ES. : z x y L Z max , ? TRACCIO RETTE Z=X E Z=Y E X=Y
SE x>y SIAMO SOTTO RETTA X=Y (TRATTEGGIO VERTICALE)
SE y>x TRATTEGGIO ORIZZONTALE
L(Z) TUTTO QUADRANTE
F Z f X Y dXdY F Z Zz xy
ZZ
xy
, ,
Z=YX=Y
Z
Y
X
FISSO Z
F Z P a Z P x y Zz max ,
Max{X,Y}=Y
Max{X,Y}=X
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.62
d.d.p. DELLA FUNZIONE 2 V.A.
1) METODO
2) METODO
PROBLEMA : TROVARE PUNTI TALI CHE :
f Zz
F Z f X Y dXdY f ZdF Z
dZxyL Z
zz ,
P Z z Z dZ f Z dZz
LZ Z g x y Z dZ ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.63
ES. : z=x+y
1) X+YZ L(Z) E’ ZONA SOTTO RETTE X+Y=Z TRATTEGGIATO.
RICORDO CHE :
F Z dX f X Y dY
f zdF
dZf X Z X dX
f X f Z X dX f X f Y
xy
Z X
zz
xy
x y x y
,
, se indipendenti
Y
X
Z
X+YZ d
dtf d f g t
dg t
dt
g t
0
z=x+y Z
Z=X+Y
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.64
2) Z<zZ+dZ E’ LA STRISCIALz
f Z dZ f X Y dXdY f X Y dYdX
dZ
f X Z X dZdX f Z dZ
z xyL
xyY Z X
Y Z dZ X
Z X
Z X dZ
xy z
z
, , (*)
(*) ,
valore funzione LzdX
Z dZX
Y
X Y Z
X Y Z dZ
dZ
Z Z dZZ
Area Rettangolo Integrale
Z
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.65
ESEMPIO : 2 RESISTENZE IN SERIE d.d.p. INDIP. UNIFORMI
r K r K d d p r r1 2 1 25 5% 1 10% . . ?
* =f1
r1 r2
1/500
4750 5250 900 1100 5650 5850
3001/500
6350=1100+5250
1/200
6150
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.66
ESEMPIO :
zx
y
X
YZ P z Z P
x
yZ
F Z dY f X Y dX dY f X Y dX
f ZdF Z
dZY f ZY Y dY
z xy
ZY
xyZY
zz
xy
0
0
, ,
,Y
X
X ZY
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.67
2) METODO X ZY
f Z dZ f X Y dXdY dYf YZ Y YdZ dYf YZ Y Y dZz xyL
xy xy
z
, , ,0
0
dX Y Z dZ YZ YdZ
Z z Z dZ Zx
yZ dZ
f X Y dX f ZY Y YdZxy xyZY
ZY YdZ
, ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.67.1
f X Y x y f Z Cauchy
z r a r
xy z
x
y
x
y
,
0
1 2
Y
XLz dX
X Y Z dZ
f Zz
Z
max
1/2 max
z a
SE E’ GAUSSIANA
X=ZY
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.68
ESEMPIO :
1)
2)
z x y X Y Z Z 2 2 2 2 0
Lz
Y
X
F Z f X Y dXdYz xyC Lz
,
Z z Z dZ Lz
Y
X
Z Z+dZ
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.69
ES. (METODO (1))
a)
CON :
f X Y e
X Yxy ,
1
2 22
2 2
2
F Z d e d e dz
Z Z
1
2
2
2200
2
22
0
2
2
2
2
2
f ZdF
dZZe Zz
zZ
1
022
22
d.d.p. RAYLEIGH
X
YdXdY d d
cos
sen
f Zz
Zd
d
d
X Y2 2 2
x y r x yx y 0 0 ( , )indip. Y
X
isolivello della f X Yxy ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.70
ES. (METODO (2))
b) GAUSS. CON MEDIA 0 f X Y exy
x y,
/ 1
2 2
22 2 2
f Z e d d
e d d
zZ
Z dZ
Z
Z dZ
1
2
1
2
2
2
0
2
22
0
2
2 2 2 2
2 2 2 2
cos sen /
sen /
dZf ZZ
e e d dZzZ Z
2 22
0
22 2 2 2
/ cos /
dZ
1
2 22 2
0
22 2 2
e d dZ
Z dZ
cos /
2 2 2
2cos cos
Y
X
x y r 0
isolivello
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.71
I x e dx0
0
21
2
cos
f ZZ
IZ
ezZ
2 0 2
22 2 2/
= FUNZIONE DI BESSEL MODIFICATA ORDINE ZERO
(RICE)
=0 RITROVO RAYLEIGH
f Zz
Z
0
2 12
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.72
IN UN CANALE AWGN (V.POI) (RICE)LA d.d.p. RAYLEIGH CARATTERIZZA INVILUPPO RUMORE
LA d.d.p. RICE CARATTERIZZA INVILUPPO SEGNALE
ES. : Z min(X,Y)
LE RELAZIONI Z=min(X,Y) , Z=max(X,Y) E Z=(X+Y) POSSONO ESSERE VISTE
COME TEMPO DI VITA GLOBALE Z DEI SISTEMI (Es. 2 LAMPADINE)
Y
X
Z
Z
Lz = PIANO (X,Y) -
max min Z=X+Y
A B A B BAS1S2
S2
S2S1S1
Z=min(x,y) X<Z
X<ZY<Z
Y<Z
X>ZY>Z
Se uno dei 2 funziona il tutto funziona
Devono funzionare entrambi
Mettono in funzione quando si guasta
S1
S2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.73
MOMENTI
SE HO “TUTTI” MOMENTI
MOMENTO ASSOLUTO ORDINE k+n
MOMENTO CENTRALE
f X Yxy ,
x E x E x x x xx
2 2 2 2
m E x y X Y f X Y dXdYk nk n k n
xy, ,
k n
k n
x yE x x y y. 202
022
11
xy
E x x y y E xy x y covarianza = PUO’ ESSERE <0
(MOMENTI DI ORDINE)
E g x y g X Y f X Y dXdYxy, , ,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.74
SE V.A. ORTOGONALI (OLTRE DI SOLITO NON SI VA)
SE SONO INDIPENDENTI SCORRELATE
COEFFICIENTE CORRELAZIONE
DIM. :
EQUAZIONE IN a SEMPRE >0 . DISCRIMINANTE <0
m mxy11 0 xy
E xy x y xy ; 0
r rxy
x y
1
E a x x y y a ax y xy 2 2 2 20 2 0
xy y x2 2 2 0 c.v.d.
E xy
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.75
d.d.p. CONDIZIONATE : SEVONO PER CAPIRE IL LEGAME TRA 2 V.A.
ES. : M LEGATO ALLE V.A. X E Y.
ES. M
NUM. DIPENDE DA X CHE DIPENDE DA DOVE SI COLLOCA RISPETTO
SE PER ES. ALLORA
f Y X
F X Y M P x X y Y MP x X y Y M
P M
yx
xy M
/
, / , /, ,
/
X x X P M F X F Xx x1 2 2 1
X X1 2 x X 2
P x X y Y X x X
P X x X y Y F X Y F X Yxy xy
, ,
, , ,
1 2
1 2 2 1
Y
XX1 X 2
Y
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.76
f Y X
f X Y
f Xy x
xy
x/ /
,
f xy CONTIENE LE INFORMAZIONI DELLA d.d.p. CONDIZIONATE
E y x X Yf Y X dYy x/ //
CURVA DI AL VARIARE DI x CURVA DI REGRESSIONEy
( )f f fxy x xy
Y
XX
X
E y X/
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.77
ES. : x,y v.a. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.
TROVO CHE :
f X Yr
exy
x y
r
xr
xy y
x x y y,
1
2 1 2
1
2 1 2
2
2
2
2
f X e
f Y X G r X r
E y X r X
x
x
x
y xx
yy
x
y
x
1
2
1
2
2
2 2
22
/ / ,
/
RETTA DI REGRESSIONE
SVILUPPO I CALCOLI E TROVO CHE E’ GAUSSIANA
x y 0
X
E y X/
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.78
STIMA MEQM
STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO
E y y y x v a . .min
2 VALORE STIMATO OSSERVABILE
ES. X= PESO Y= ALTEZZA
1 0 0
2
2
miny c E y c
E
cE y c c E y y
y ax b
faccio
STIMA CON UNA COSTANTE
STIMA LINEARE STIMA DI Y
X
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.79
E y ax b b y ax b y ax 2
min EQUIVALE A STIMARE CON
E y y a x xE
aE y y a x x x x
a a r a
y y r x x y y r x x
xy x
xy
x
xy
x y
x
y
y
x
y
x
2
22
0
0
min
RICORDO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.80
3
2 2
2
,
/
minmin
/
min
y g x
E y g x Y g x f X Y dXdY
f X dX Y g X f Y X dY
xy
x y x
POICHE’ , MIN SI HA CON LA g(x) CHE
RENDE MINIMO IL SECONDO INTEGRALE : DERIVO RISPETTO g(x)
Y g X f Y X dY
Yf Y X dY g x E y x X
y x
y x
/
/
/
/ /
0
STIMA CON UNA FUNZIONE QUALSIASI (OTTIMA MEQM)
f X Xx E' 0
Yf Y X dY g X f Y X dYyx
yx
/ /
1
CURVA DI REGRESSIONE (v. 10.76)
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.81
PER V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE STIMA OTTIMA E’ STIMA LINEARE.
CIOE’ CURVA REGRESSIONE RETTA REGRESSIONE v.pag. 10.77
E Y X/ Y
X
CASO NON GAUSSIANO
E Y X/
Y
X
CASO GAUSSIANO
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.82
STIMA LINEARE (MEQM)
SE X Y E y ax E y ax xE
a 0 0
2
min
STIMA LINEARE SODDISFA IL PRINCIPIO DI ORTOGONALITA’ TRA ERRORE STIMA
E OSSERVAZIONE x y ax
y ax
ax
y
x OSSERVAZIONE
E{x,y}=0 x,y SONO ORTOGONALI (v. MOMENTI).
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.83
N. V.A. STIMA LINEARE OTTIMA (MEQM)
DEVO CONOSCERE I LEGAMI (COVARIANZE) TRA LE V.A. OSSSERVABILI E
E LA COVARIANZA TRA LA V.A. INCOGNITA E LE OSSERVABILI.
x y y a x E y a x
E
aE y a x x j N
i i ii
N
i i
ji i j
0
0 1
1
2
,2,...,
min
xi x j yx j
E x x
E yx
i j x x
j yx
i j
j
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.84
TEOREMA LIMITE CENTRALE
V.A. INDIPENDENTI
SE IN GENERALE
y xii
N
1
y x x f Y f X f Xy 1 2 1 2
f Y f X f X f X f Xy N 1 2 3 ....
SIANO LE , PER N SUFFICIENTEMENTE GRANDE (CRESCENTE) LA
CONVOLUZIONE FINALE PORTA AD AVERE UNA CHE TENDE A DIVENTARE
GAUSSIANA (TEOREMA LIMITE CENTRALE).
(ES. VEDI CON DI TIPO UNIFORME TGR PARABOLICA).
FENOMENI CON TANTE CAUSE FRA LORO INDIPENDENTI TENDONO AD ESSERE
GAUSSIANI.
f X i
f Yy
f X i
N x i Ni , ,...., ;1
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.85
STIMA V.A. y DA N MISURE INDIPENDENTI xi
(o anche solo scorrelate)
yx
Ny
Nx E y
Nx
Ex x
N NE x x x x
N
ii y i
i
N
i ii
i i j jji
ijji
1 1
1 1
22
1
2
2 2
SE E V.A. SCORRELATEx x i i ji i x ij
ij x xi j
2 2 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.86
y x
Nyx
2
2NUOVA V.A. STESSO VALOR MEDIO MA N VOLTE PIU’ PICCOLA
y2
DIS. CEBYCHEFF : INVECE DI x OSSERVO y
ESEGUENDO GRUPPI DI N MISURE DIVERSE.
P x x x
12
2
P y xN
x
12
2
ARRIVO, CON N >>, VICINO AL VALORE MEDIO QUANTO VOGLIO.
ES. APPLICAZIONE AD UNA MISURA CHE MI DA’ RISULTATO ALEATORIO: Y MI CONSENTE DI AVVICINARMI AD QUANTO VOGLIO, IN PROBABILITA’.x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.87
STIMA DELLA MEDIA DI UNA V.A. CON LA
“MEDIA CAMPIONE
xx
n
ii
n
1 = MEDIA CAMPIONE
NON VOGLIO STIMARE LA V.A. x MA LA SUA MEDIA . OGNI VOLTA CHE RIPETO
L’ ESPERIMENTO USANDO SEMPRE n CAMPIONI . CIOE’ OTTENGO L’ USCITA
DELLA v.a.
E x x
n x
lim
2 0
STIMA NON POLARIZZATA
STIMA ASINTOTICAMENTE STABILE
AL CRESCERE DI n LA STIMA SI STRINGE SEMPRE PIU’ ATTORNO AL VALOR MEDIO VERO.
x
x
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.88
VARIANZA CAMPIONE
VOGLIO STIAMARE VARIANZA CAMPIONE
DOVRO’ AVERE :
x
ii
n
x x
n2
2
1
1
LA VARIANZA DI UNA V.A.
E
E
x x
x xn
2 2
2 2 20
NON POLARIZZATA (OCCORRE n-1)
STABILITA’ ASINTOTICA
x2
(SE CONOSCESSI DI UN v.a. x E DOVESSI STIMARE ) x
x xix x
n2 2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.89
COSTRUZIONE d.d.p.
SI CREA UN ISTOGRAMMA CON PASSO E Nr. LETTURA DELLA V.A. MOLTO
ELEVATO. SE 0 L’ ISTOGRAMMA NORMALIZZATO (AREA=1) TENDE A DIVENTARE d.d.p.
ORDINATA ISTOGRAMMA AL Nr. VOLTE CHE x CADE NELL’ INTERVALLO . Frequenza relativa
xn (n+1)
K
Ni N=NUM. OSSERVAZIONI DI x
Ki=NUM. DI VOLTE CHE TROVO i<x (i+1) .
Pr n x n pK
Npi
N
1 (1 FORMULAZIONE LEGGE DEI GRANDI NUMERI)a
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.90
STIMA DEL PARAMETRO
• TEORIA DECISIONE : SCELTA TRA N STATI POSSIBILI (N FINITO).• TEORIA STIMA : SCELTA TRA N POSSIBILI.
a) STIMA MAX PROB. A POSTERIORI (MAP)
b) MEQM
P R /max
RP R dR P R P / /
max max
SE =COST. P P R MV /max
E E R P R E R d R 2 2 2 2
/ /
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.91
2
2 0
E R E R P R d / / /
P R /
''
'
MEQM (V.MEDIO)
MAP
'' '
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.92
CANALE AWGN
ES. : PARAMETRO CONTINUO
a) MV
s t f t r t s t n t, ,
P R P R e e
e
e
R s
ni i n
i
M
T
n
T
r s
r t s t dt
hr t s t dt
/ //
,
,
max
2
2
2 2
1
2
02
2
0
2
2
2
2
1
SE Rh h
n n 2 2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.93
P R
hr t s t
s tdt MV
T
/,
,
20
0
b) MAP
P e P e
R S
n n
2
22
22 21
2 SE HO :
2
0
20
hr t s t
s tdt MAP
T
,,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.94
(a) PAM CONTINUA
(a1)
(a2)
s t f t,
r t f t f t dt r t f t dt f t dt f t dtTT T T
0 100
2
0
2
0
SE
' r t f t dt MVT
0
P gaussiana G P R P
0 2, /max
''
2
2
2
20 0h
r t f t dt r t f t dtT T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.95
CIRCUITO :
OPPURE CON FILTRO ADATTATO :
''
r t
f t
0
T
'
'
''
r t h t f T t
t T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.96
STIMA PIU’ PARAMETRI
1 2, , .., M
( ES. FREQUENZE, AMPIEZZE DI UN IMPULSO :
CANALE AWGN :
s t t, sen 1 0 2
P e P e
Ph
r t s t dt
R s
h h
T
i
r t s t dtT
22
0
1 2
0
,
ln
ln , HO M EQUAZIONI
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.97
SE
SI OTTENGONO EQUAZIONI DEL TIPO :
P P P P M 1 2 ....
iT
iih
r t s ts
dt i M20
20 1
, , ...,
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.98
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA
NELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI BASE, LUOGO DEI PUNTI AL VARIARE DI (LA
COSTELLAZIONE DIVENTA UNA CURVA ).
HYP : 1) RUMORE DEBOLE
2) CRITERIO MV :
O’R = MIN DISTANZA
PER EFFETTO DEL RUMORE OO’ CONFONDO CURVA CON TANGENTE
R s
min
2
1
s
s
s
R
O '
tg
n
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.99
ds
d
s ss s
ds
d
SEGMENTO OO’ = PROIEZIONE DI
SU tg =V.A. GAUSSIANA n n
hn
0
22,
s s
ds
d
rumore
segnale
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.100
2 2
2 2
0
2
2
E
h
Eds
d
h
s tdt
T
,
ERRORE MEDIO SULLA STIMA
SE VARIA DA IL PUNTO SI SPOSTA DA A1 2 s 1 s 2
l lunghezza curva
ds
dd
h
l
1
2
222
ALLORA
SE PER CASO = COSTANTE E SE ds
d
1 20 1
L = LUNGHEZZA TOTALE CURVA s sh
L 1 2
222
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.101
NELLA PAM SONO SU UN ASSE
IN TEORIA PER AVERE PICCOLO CURVA MOLTO DILATATA O LUNGHE.
a) BANDA DEL CANALE LIMITATA IMPONE MAX. FUNZIONI BASE
b) Ep = ENERGIA IN Tx E’ FINITA E’ UNA IPERSFERA.
ds
dL
cost . 1 2
2
h
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.102
ES. : PERCORSI A LABIRINTO
L = GRANDE . HO PUNTI PERO’ MOLTO VICINI CON
DIVERSI FORTE ERRORE ANCHE PER PICCOLO NOISE.
STIMA BUONA SE AUMENTO L CIOE’ SPAZIO SEGNALI (A PARI S/N ) AUMENTO DI
BANDA OCCUPATA DAL SEGNALE.
= ERRORE DI STIMA
0
1
1
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.103
MOD. FASE + AWGN
s t A t t T
r t s t n t P e e
hr t r t s t s t dt r t s t s t dt
s t dt A t dt AT
T
R sh
r t s t dT
h
T T T
T T
, cos
,
, , , ,
, cos
,max
max
0
2 2
0 0
2
0
2
0
2 2
00
20
0
1
2
12 2
2
1
21 2
0
SE
UNIFORME TRA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.104
r t s t dt A r t t dt
r t t dt r t tc dt tg
r t tdt
r t tdt
T T
T T
T
T
, sen
sen cos cos sen sen
cos
max00
0
00
00
00
00
0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.105
CIRCUITALMENTE :
0
T
0
T
r t sen0t
cos0t
arctg -1
22
0
2 20
0
2
22
1
2
h
s tdt
h
A t dt
h
A T
h
ET Ts, sen
= ENERGIA SEGNALE =EsA T2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.106
MODULAZIONE FREQUENZA
s t A tT
tT
Ar t t tdt A r t t tdtT
T
T
T
, sen
sen cosmax
0
2
2
0
2
2
0
2 2
0
NON E’ SVILUPPABILE ANALITICAMENTE. HO BANCO DI FILTRI ADATTATI CHE
REALIZZANO
h t A T ti i sen 0
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.107
22
0
2
0
2
2
2
2 2
2 2 2 20
2
22 3
2 2
21
2
2
12
h
s tdt
Eh
At t t dt
h
A t dt
h
A t dt A t t
h
A T
T
T
T
T
T
,
cos
cos cos
cos
diff somma
0 SE 0
1
T
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.108
STIMA RITARDO
r t s t dtT
0 max
= DURATA SEGNALE
REALIZZO CON UN FILTRO ADATTATO AL SEGNALE h t s t
r t h t u t
u t r h t d r s t d
s n s t d s s t d
T
T T
0
0 0
0
Correlazione incrociata segnale rumore
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.109
u(t) E’ MAX PER -=-t+ tmax= +
CIOE’ PRENDO u(t) ALLA ASCISSA PER LA QUALE HO IL MAX, SOTTRAGGO HO
COSI’
max t
Eh
sdt
h
s
tdt
h
S d
h
f S f df
T T
22
0
2
0
2 2
2 2
2 2 21
2
2
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.110
INFATTI POICHE’
s s
ts t
d
dtf t dt j F d f F f F f df
T
0
22 21
2 *
D durata equivalentet s t dt
s t dt
B banda equivalentef S f df
S f df
f S f df
E
Eh
E B
s
s
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
222
PRECISIONE CRESCE CON ENERGIA E BANDA
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 10.111
USO CON PICCOLO (TIPO RUMORE BIANCO).
NON CONVIENE RIDURRE PERCHE’ SI RIDUCE ANCHE
s t R Es