Laudkertaus 001 086 · 2016-06-13 · Osoita laskemalla, ett ... missä a on kolmion mielivaltainen sivu ja α sen vastainen kulma. Funktion ääriarvot 10. ... tämä pienin arvo

www.otava.fiOtava K51Tno 451LISBN 951-1-21116-1

Tarmo Hautajärvi

Jukka Ottelin

Leena Wallin-Jaakkola

Laudatur

Lukion pitkän matematiikan kertaustaylioppilastehtävien avulla Otava

,!7IJ5B1-cbbbgh!

Laudatur

–

Ylioppilastehtävät vuosittain 1

Matematiikan koe 26.03.2003 Pitkä oppimäärä

Perustaitoja 1. Sievennä lausekkeet

a) 3 34

1 23

, b) xy

yx

xy

yx

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 .

Geometria 2. Tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrä, joka kulkee

kolmion kärkipisteiden kautta. Kolmion sisään asetetaan toi-nen ympyrä siten, että se sivuaa kolmion sivuja. Kuinka monta prosenttia edellisen ympyrän ala on suurempi kuin jälkimmäisen ympyrän ala?

Geometria 3. Laudan leveys on 95 mm ja pituus 1,6 m. Siitä sahataan saman-

pituisia paloja, jotka asetetaan rinnakkain siten, että muodostuu neliön muotoinen levy. Miten pitkä voi neliön sivu enintään olla?

Todennäköisyyslaskenta 4. Tilastojen mukaan eräässä pääsykuulustelussa 25 % pyrkijöistä

epäonnistuu matematiikan ja 17 % fysiikan kokeessa. Pyrkijöistä 10 % epäonnistuu kummassakin kokeessa. Laske todennäköi-syys, että fysiikan kokeessa epäonnistunut pyrkijä epäonnistuu myös matematiikan kokeessa. Millä todennäköisyydellä pyrkijä epäonnistuu ainakin toisessa kokeessa?

Eksponentti ja logaritmi

5. a) Ratkaise yhtälöryhmä x y

x y

+ =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 4

2 8 .

b) Piirrä funktioiden lg⏐x⏐ ja 1/x2 kuvaajat samaan kuvioon ja ratkaise tämän perusteella epäyhtälö lg⏐x⏐ ≥ x−2. Etsi vastaus kahden desimaalin tarkkuudella. (lg = log10)

Trigonometria 6. Kolmion kulmille α, β ja γ pätee sinαsinβ = cosγ. Osoita, että

kolmio on suorakulmainen.

Vektorit 7. Suora on vektorin 3 3i j k+ + suuntainen ja kulkee pisteen

(2, 3, 7) kautta. Määritä sen ja tason x + 2y + z = 1 leikkauspiste.

2 Ylioppilastehtävät vuosittain

Sanalliset ääriarvosovellukset 8. Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman

suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.

Derivaatan sovellus

9. Määritä funktion f x xx

x( ) ,= +−

>23

3 , käänteisfunktio f −1. Millä

välillä tämä on määritelty? Osoita laskemalla, että f f x x− ( ) =1 ( ) , kun x > 3.

Määrätty integraali 10. Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f : [0,1] → r, jolla on omi-

naisuudet f(0) = f(1) = 0 ja 1

0100∫ =( )f x dx .

Analyyttinen geometria/käyrät

11. Olkoon x y02

02 1+ = . Osoita, että x0x + y0y = 1 on ympyrän

x2 + y2 = 1 tangentti. Mitkä ovat sivuamispisteen koordinaatit?

Lukujonot ja sarjat 12. Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 3 ja

kuuden ensimmäisen termin summa 12. Laske yhdeksän ensim-mäisen termin summa. Suppeneeko vastaava geometrinen sarja?

Raja-arvo ja jatkuvuus 13. Piste on r-säteisen pallon ulkopuolella etäisyydellä d pallon pin-

nasta. Kuinka monta prosenttia p = p(r, d) pallon pinnasta näkyy pisteestä? Määritä limd→∞ p(r, d). Kuinka suuri osa maapallon pinnasta näkyy 500 kilometrin korkeudella olevasta satelliitista? Maapallon säde on 6 370 km.

Differentiaaliyhtälöt, analyysin jatko 14. Määritä alkuarvotehtävän y ′ = y2, y(0) = a (a ∈ r) ratkaisu ya(x).

Laske lima→0 ya(1).

Kompleksiluvut 15. Piirrä kompleksitasoon pisteet z k i k

k= ( ) + ( )cos sinπ π

4 4, kun

k = 0, 1, 2, 3, 4. Laske näiden pisteiden kuvapisteet, kun ne kuva-taan funktioilla f : c → c, f(z) = z2 (c = kompleksitaso). Piirrä toinen kuva kompleksitasosta ja sijoita siihen kuvapisteet.

Kevät 2003



Derivaatta 1. Olkoon f(x) = x2 − 3x − 5. a) Ratkaise yhtälö f(x) = 0. b) Millä

x:n arvoilla on f ′(x) = 1? c) Piirrä derivaattafunktion f ′ kuvaaja.

Geometria 2. Neljäkkään sivu on tasan 5 cm, ja lävistäjien pituuksien suhde on

2:1. Laske neljäkkään ala.

Käyrän tangentti ja normaali 3. a) Derivoi funktio f(x) = e2x − 2 + x3 − 1. b) Määritä käyrän

y = e2x − 2 + x3 − 1 pisteeseen (1, 1) piirretyn tangentin yhtälö. c) Määritä sen janan pituus, jonka koordinaattiakselit erottavat edellisen kohdan tangentista.

Vektorit 4. Mistä xy-tason pisteestä pisteisiin A = (−1, 1), B = (1, −2),

C = (2, 1), D = (2, 3) ja E = (−2, −2) piirrettyjen vektoreiden sum-ma on nollavektori?

Prosenttilasku 5. Päärynämehusta ja omenamehusta tehdyn sekamehun sokeripi-

toisuus on 11 %. Määritä mehujen sekoitussuhde, kun päärynä-mehun sokeripitoisuus on 14 % ja omenamehun 7 %.

Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt

6. Määritä sin(x − y), kun sin , / /x x= − ≤ ≤14

2 2π π , ja

cos ,y y= − ≤ ≤13

2π π . Tarkka arvo ja kaksidesimaalinen liki-arvo.

Geometria 7. Tasasivuinen kolmio T0 kiertyy tasossa keskipisteensä ympäri

kulman α verran, jolloin se muuttuu kolmioksi Tα. Laske sen alueen ala, jonka kolmiot T0 ja Tα yhteensä peittävät (ts. unioni T0 ∪ Tα peittää), kun kolmion sivu on a ja kulma α on a) 60°, b) 120°, c) 180°. Piirrä kuviot.


Todennäköisyyslaskenta 8. Erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on

f x

x

x( )

, ,

,=

<0 0

15

kun

kun

kun

0 2

215

23

2 5

0

≤ <

− + ≤ <

x

x x

,

, ,

, kun x ≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ 5.

a) Piirrä tiheysfunktion kuvaaja. b) Laske todennäköisyydet P(x ≤ 1), P(1 < x ≤ 3) ja P(x > 3).

Trigonometria 9. Osoita, että kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on

R a=2sinα ,

missä a on kolmion mielivaltainen sivu ja α sen vastainen kulma.

Funktion ääriarvot 10. Piirrä funktion f(x) = ⏐ln⏐x − 2⏐⏐ kuvaaja. Millä väleillä funktio

kasvaa ja millä se vähenee? Esitä funktio kullakin välillä siten, että lausekkeissa ei esiinny itseisarvoja. Millä x:n arvoilla funktio saa pienimmän arvonsa?

Lukujonot ja sarjat

11. Osoita, että lauseke ( )x akk

n −=∑ 2

1, missä ak:t ovat annettuja

reaalilukuja, saa pienimmän arvonsa, kun xn

akk

n==∑1

1. Lausu

tämä pienin arvo lukujen ak avulla mahdollisimman yksinkertai-

sessa muodossa.

Talousmatematiikka 12. Isä tallettaa poikansa tilille joka kuukauden alussa 200 € vuoden-

vaihteessa tapahtuneesta syntymästä alkaen. Tilille maksetaan 1,5 % vuotuista korkoa, joka liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. a) Kuinka paljon rahaa tilillä on, kun poika täyttää 18 vuotta? b) Kuinka kauan isän olisi talletettava, jotta tilillä olisi rahaa kaksiota varten, kun kaksion hinnaksi oletetaan 135 000 €?

Integraalilaskennan sovellus 13. Käyrän y = lnx välillä 1 ≤ x ≤ e oleva osa pyörähtää x-akselin

ympäri. Määritä muodostuneen kappaleen tilavuus.

Syksy 2003


Määrätty integraali 14. Jatkuvan funktion f : [0, ∞[ → r keskiarvo välillä [0, x] (x > 0)

määritellään seuraavasti: G xx

f t dtx

( ) ( )= ∫10

. Määritä keskiarvo-

funktion derivaatta G′(x) ja lausu se funktionarvojen f(x) ja G(x) avulla. Osoita, että G(x) ≤ f(x), jos f on kasvava. Osoita edelleen, että tällöin myös G on kasvava.

Numeeriset menetelmät 15. a) Totea, että differentiaaliyhtälön y′ + 2sinx = y ratkaisu alku-

ehdolla y(0) = 1 on y(x) = sinx + cosx. b) Määritä Eulerin mene -telmällä kyseisen ratkaisun likiarvot yi (≈ y(xi)) välillä [0, 2] askelpituudella h = 0,5 sekä laadi taulukko, jossa esiintyvät xi, y(xi), yi ja virhe yi − y(xi).

Syksy 2003


Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Olkoon f(x) = x3 + 3x2 + x + 1 ja g(x) = x3 + x2 − 2x + 3.

a) Laske f(−2). b) Laske g 12( ). c) Ratkaise yhtälö f(x) = g(x).

Määrätty integraali

2. Määritä a siten, että ( )2 3 12

1

x dxa

a

+ =+

∫ .

Prosenttilaskut 3. Perheen vuokramenot olivat 25 % tuloista. Vuokramenot nou-

sivat 15 %. Montako prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen?

Vektorit 4. Pisteestä P = (1, −1) lähtevät vektorit a i j= + 4 ja

b i j= − +2 5 ovat suunnikkaan sivuina. Suunnikkaan lävistä jien leikkauspiste olkoon Q. Määritä vektori PQ

� �� sekä pisteen Q

koordinaatit.

Käyrän tangentti ja normaali 5. Määritä se paraabelin y = x2 − 2x − 3 piste, jossa paraabelin tan-

gentin suuntakulma on +45°.


Trigonometria 6. Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu

näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus 0,1 metrin tarkkuudella.

Geometria 7. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle piirretty korkeusjana

jakaa hypotenuusan suhteessa 3:7. Määritä kateettien pituuksien suhde.

Geometria 8. a) Millä parametrin a arvoilla yhtälö

x2 + y2 − 2x − 4ay + 5a2 + 2a = 0 esittää ympyrää? b) Mikä on tällöin ympyrän alan suurin mahdollinen arvo?

Todennäköisyyslaskenta 9. Leirikoulun hyväksi järjestetyissä arpajaisissa ilmoitettiin, että

joka 20:s arpa voittaa. Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyys ainakin yhteen voittoon olisi yli 50 %?

Integraalifunktio 10. Muodosta funktio f : ]−∞, 0[ → r, jonka kuvaaja sivuaa suoraa

y = 2 ja jonka derivaatta on f ′(x) = 1 + 1x

.

Funktion ääriarvot 11. Olkoon x ≥ 1. Osoita, että xx − ex − 1 ≥ 0. Millä x:n arvoilla pätee

yhtäsuuruus?

Määrätty integraali 12. Funktio f : r → r määritellään seuraavasti:

f(x) = 2−n, kun nπ ≤ x < (n + 1)π, n ∈ z. Laske integraali

I k f x x dxk

( ) ( )sin= ∫0π

, kun k = 1, 2, 3, ….

Määritä tämän jälkeen raja-arvo limk→∞I(k).

Lukuteoria 13. Kokonaisluku m on kokonaisluvun n tekijä, jos on olemassa

kokonais luku k siten, että n = km. Osoita: a) Jos m on n:n tekijä ja n on m:n tekijä, niin m = ±n. b) Jos m on n:n tekijä ja n on p:n tekijä, niin m on p:n tekijä.

Kevät 2004


Lukujonot ja sarjat 14. Anna esimerkki sellaisesta suppenevasta lukujonosta x1, x2, x3, …,

että vastaava sarja xnn=

∞∑ 1 hajaantuu. Voiko lukujono hajaantua

ja vastaava sarja supeta?

Differentiaaliyhtälöt 15. Suoran ympyrälieriön muotoisen astian pohjassa on reikä, josta

astias sa oleva vesi valuu ulos. Astiassa oleva vesimäärä ajanhet-kellä t on V(t) = πr2h(t), missä r = 10 cm on astian pohjan säde ja h(t) pinnan korkeus hetkellä t; aika t on ilmaistu sekunteina. Vettä valuu ulos nopeudella V ′(t), joka on suoraan verrannolli-nen pinnan korkeuden neliöjuureen. Muodosta differentiaaliyh-tälö vesimäärän tilavuudelle V(t) ja ratkaise se. Laske, kauanko astian tyhjeneminen kestää, kun tiedetään, että vettä oli aluksi 10 litraa ja 30 sekunnissa vesimäärä oli vähentynyt puoleen.


Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Ratkaise epäyhtälöt a) 2x − 3 < 3 − 2x, b) (x + 1)2 ≤ 1, c) x3 < x2.

Trigonometria 2. Kolmion sivujen pituudet ovat a − 1, a ja a + 1. Määritä a siten,

että kolmio on suorakulmainen. Määritä kolmion ympäri piirre-tyn ympyrän säde.

Geometria 3. Kuutio pienennetään toiseksi kuutioksi siten, että sen kokonais-

pinta-ala pienenee 36 %. Kuinka monta prosenttia tilavuus pienenee?

Vektorit 4. Origosta O alkava vektori OP

� �� on vektorin 3 i j+ suuntainen,

ja sen kärki P on pisteiden A = (1, 2) ja B = (7, 1) yhdysjanalla. Missä suhteessa piste P jakaa janan AB?

Kevät 2004


Todennäköisyys 5. Laite koostuu kolmesta toiminnallisesti riippumattomasta

komponentista A, B ja C, joiden vikaantumistodennäköisyydet takuuaikana ovat pA = 0,01, pB = 0,007 ja pC = 0,05. Laite ei toimi, jos yksikin komponenteista on viallinen. Mikä on laitteen vikaantumistoden näköisyys takuuaikana? Luotettavuuden paran-tamiseksi komponentti C kahdennetaan, ts. laite varustetaan kahdella rinnakkaisella, toisistaan riippumattomalla komponen-tilla C, ja riittää, että ainakin toinen näistä toimii. Mikä on tällöin vikaantumistodennäköisyys takuuaikana?

Funktion ääriarvot 6. Etsi funktion ln(x3 − x) määrittelyalue ja ääriarvot.

Integraalilaskennan sovelluksia: tilavuus 7. Laske sen kappaleen tilavuus, joka syntyy ympyrän

x2 + y2 + 6x + 5 = 0 ja suoran y = −x − 1 muodostaman pienem-män segmentin pyörähtäessä x-akselin ympäri.

Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt 8. Olkoon annettuna trigonometrian kaavat sin2α + cos2α = 1,

sin2α = 2sinα cosα, cos2α = cos2α − sin2α ja tanα = sinα / cosα. Osoita pelkästään näiden perusteella oikeiksi seuraavat kaavat:

sintan

tanx

x

x=

+

22

12

2, cos

tan

tanx

x

x=

−

+

12

12

2

2.

Ilmoita, mitä kaavaa olet missäkin laskun vaiheessa käyttänyt.

Derivaatan määritelmä 9. Funktion f : r → r jakso on 2, toisin sanoen f(x + 2) = f(x) kai-

killa reaaliluvuilla x. Lisäksi on

f xx x

x x( )

, ,

, .=

+ − ≤ <− ≤ ≤

⎧⎨⎩

1 1 0

1 0 1

kun

kun Piirrä funktion f kuvaaja. Missä pisteissä f ei ole derivoituva?

Piirrä funktioiden g ja h kuvaajat, kun g(x) = f(x + 1) ja h(x) = f(x) + f(x + 1). Missä pisteissä nämä eivät ole derivoituvia?

Derivaatan määritelmä 10. Määritä funktion f(x) = 1/x derivaatta pisteessä x = 2 laskemalla

erotusosamäärän raja-arvo.

Syksy 2004


Analyysin jatkokurssi 11. Laske integraali

f x dx( )−∞

∞

∫ , kun f xx x x x

x( )

, / ,

/ ,=

= ≤4 4 4

4

0 1

1

jos tai

joos 1 4 4/ .x x≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

Lukujonot ja sarjat 12. Mikä on sarjan

an

i=

∞

∑ = + + + +1

13

25

37

49

...

yleisen termin an lauseke? Tutki suppeneeko sarja.

Käyrän tangentti ja normaali 13. Mikä käyrän y = x4 − 7x2 pisteistä on lähinnä suoraa y = 4x − 21?

Mikä on kyseinen lyhin etäisyys? Piirrä kuvio.

Differentiaaliyhtälöt

14. Ratkaise differentiaaliyhtälö y ′ =+y

x x4 2.

Lukuteoria 15. Esitä Fermat’n pieni lause ja osoita sen avulla, että

n2003 ≡ n(mod 2003) kaikilla luonnollisilla luvuilla n.


Murtoyhtälö ja -epäyhtälö

1. a) Sievennä lauseke xx

xx1 1−

++ .

b) Ratkaise x yhtälöstä x2 − ax − a2 = 0.

Trigonometriset lausekkeet ja yhtälöt 2. a) Ratkaise yhtälöryhmä x + y = a, x − y = 2a. b) Tiedetään, että

sin x = − 15

ja 180°< x < 270°. Määritä cosx ja tanx (tarkat arvot).

Prosenttilaskut 3. Asuinrakennuksesta saadut vuokrat ovat 12 % pienemmät kuin

ylläpitokustannukset. Kuinka monta prosenttia vuokria olisi korotettava, jotta ne tulisivat 10 % suuremmiksi kuin ylläpito-kustannukset, jotka samanaikaisesti kohoavat 4 %?

Syksy 2004


Vektorit 4. Olkoon OA i j

� ��= +7 9 tason vektori. Määritä kaikki sellaiset

vektorit OB� ��

, että kulma OAB on suora ja vektorin AB� ��

pituus on puolet vektorin OA

� �� pituudesta.

Analyyttinen geometria 5. Määritä paraabelin y = 2x2 + bx + 3 huippu ja totea, että se ker-

toimen b arvosta riippumatta sijaitsee paraabelilla y = −2x2 + 3.

Trigonometria 6. Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio

hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: AD = BC = a. Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella.

A B

C

a

a D

Geometria 7. Luvulle π saadaan karkea likiarvo sijoittamalla ympyrän sisään

a) säännöllinen kuusikulmio tai b) säännöllinen kahdeksan-kulmio ja rinnastamalla tämän α) piirin pituus tai β) pinta-ala ympyrän kehän pituuteen tai vastaavasti ympyrän alaan. Laske tällä tavoin neljä eri likiarvoa luvulle π. Anna vastaukset tarkkoi-na arvoina (trigonometrisia funktioita käyttämättä) ja kolmidesi-maalisina likiarvoina.

Määrätty integraali 8. Anna esimerkki sellaisesta jatkuvasta funktiosta f : [0, 1] → r,

että f saa arvon 6 jossakin pisteessä ja f x dx( ) =∫ 00

1

. Saako nämä

ehdot täyttävä funktio aina arvon 0 jossakin pisteessä?

Kevät 2005


Todennäköisyyslaskenta 9. Tikkataulun säde on 20 cm, ja taulu jakautuu kymmeneen sa-

mankeskiseen renkaaseen, jotka on numeroitu ulkoa sisäänpäin 1:stä 10:een. Gabrielin heittämät tikat osuvat tauluun siten, että niiden etäisyys r taulun keskipisteestä noudattaa todennäköisyys-jakaumaa, jonka tiheys funktio on

f rr r

( )( ),

=− ≤ ≤⎧

⎨3

16000400 0 20

0

2 kun

muulloin.

⎪⎪

⎩⎪

Tässä r on ilmaistu senttimetreinä.

10 99 8 7 6 5 4 3 2 1

a) Laske todennäköisyys, että Gabrielin heittämä tikka osuu 9:ään tai 10:een. b) Laske todennäköisyys, että Gabrielin heittä-mistä viidestä tikasta ainakin kolme osuu 9:ään tai 10:een.

Käyrän tangentti ja normaali 10. Neljännen asteen polynomilla on paikallinen maksimi 16, kun

x = −1. Origossa polynomi saa arvon 11. Polynomin kuvaajan pis-teeseen (1, 11) piirretyn tangentin kulmakerroin on 0. Muodosta yhtälöryhmä, josta polynomin kertoimet voidaan ratkaista. Rat-kaise tämä laskinta käyttämättä. Mikä on kyseinen polynomi?

Integraalilaskennan sovellus 11. Rasian pohja on suorakulmio, jonka sivujenpituudet ovat 7 cm ja

15 cm. Rasian laidat kallistuvat ulospäin kaikki samassa kalte-vuudessa siten, että laitojen yläreunat muodostavat suorakulmi-on, jonka sivujen pituudet ovat 11 cm ja 19 cm. Rasian korkeus (pystysuoraan mitattuna) on 8 cm. Laske pinta-ala rasian vaaka-suoralle poikkileikkaukselle korkeudella z (0 ≤ z ≤ 8, z sentti-metreinä). Laske myös rasian tilavuus.

Derivaatan määritelmä 12. Olkoon funktio f jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän

avulla funktion g(x) = xf(x) derivaatta origossa. Voidaanko tulos-ta soveltaa funktioon f(x) = ⏐x⏐ + 1?

Kevät 2005


Lukujonot ja sarjat 13. Geometrisen sarjan ensimmäinen termi on x2 + 1 ja toinen

x2 + 3x. Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee.

Differentiaaliyhtälöt 14. Etsi ratkaisut differentiaaliyhtälölle y′2 − xy′ + y = 0 derivoimalla

se kerran ja ratkaisemalla tällöin syntynyt uusi differentiaaliyhtä-lö. Ovatko tämän ratkaisut myös alkuperäisen differentiaaliyhtä-lön ratkaisuja? Piirrä alkuperäisen yhtälön ratkaisujen kuvaajia.

Numeeriset menetelmät 15. Määritä funktion f(x) = xsinx pienin positiivinen ääriarvokohta

ja vastaava ääriarvo ratkaisemalla derivaatan nollakohta Newtonin menetelmällä. Anna vastaukset viiden desimaalin tarkkuudella. Hahmottele kuvaaja välillä [0, 2π].


Polynomiyhtälö ja -epäyhtälö 1. Ratkaise reaalilukualueella yhtälöt

a) 2(x − 1) + 3(x + 1) = −x, b) xx

+ =−

2 12

, c) x16 = 256.

Trigonometria 2. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 4 ja 6.

a) Laske hypotenuusan pituus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksi-desimaalinen likiarvo. b) Määritä kolmion kulmat 0,01 asteen tarkkuudella. c) Määritä kolmion ala.

Vektorit 3. Vektorien AB CD

� �� ja päätepisteet ovat A = (3, l), B = (7, 3),

C = (1, 4) ja D = (−3, −2). Laske vektorien välisen kulman suuruus 0,1 asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio.

Funktio 4. Millä a:n arvoilla funktio f(x) = −x2 + ax + a − 3 saa vain negatii-

visia arvoja?

Kevät 2005


Geometria 5. Puun rungon halkaisija tyvestä mitattuna kasvaa 20 vuoden ai-

kana kolmasosan alkuperäisestä mitastaan. Samaan aikaan puun korkeus kasvaa kuudesosan alkuperäisestä korkeudestaan. Kuin-ka monta prosenttia kasvaa puun rungon tilavuus tuona aikana? Oletetaan, että runko on kartion muotoinen.

Analyyttinen geometria 6. Suora x − y − a = 0, a ≠ 0, jakaa ympyrän x2 + y2 = a2 rajoittaman

alueen kahteen osaan. Määritä pienemmän alueen alan suhde suuremman alueen alaan. Ilmoita tarkka arvo ja kolmidesimaali-nen likiarvo. Piirrä kuvio, kun a) a > 0, b) a < 0.

Derivaatan sovellus 7. Olkoon

f x xx x

( ) =+ +

2

4 2 1.

Kumpi on suurempi, f(a) vai f(b), kun a = l + l0–1500 ja b = l + 2 · l0–1500?

Todennäköisyyslaskenta 8. Laatikossa on 2 ruskeaa, 6 mustaa ja 8 sinistä matkapuhelimen

kuorta. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi kuorta. Millä todennäköisyydellä kuoret ovat samanväriset?

Derivaatan sovellus 9. Laskeva suora kulkee pisteen (3, 4) kautta siten, että sen ja

koordi naattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisim-man pieni. Määritä suoran kulmakerroin ja vastaava pienin ala.

Lukujonot ja sarjat 10. Määritä päättymättömän lukujonon

12

43

74

105

136

, , , , ,...

n:s jäsen ja lukujonon raja-arvo. Mistä luvun n arvosta alkaen jonon jäsenen poikkeama tästä raja-arvosta on itseisarvoltaan pienempi kuin 0,001?

Derivaatta, funktion suurin ja pienin arvo 11. Osoita, että yhtälöllä x − 2 ln x = 0 ei ole reaalijuuria.

Syksy 2005


Integraalilaskennan sovellus: pinta-ala

12. Suorat y x= 12

ja y = 2x sekä hyperbeli xy = l rajaavat kaksiosai-

sen alueen. Laske sen ala. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaali-nen liki arvo.

Numeeriset menetelmät 13. Tarkastellaan lauseketta

L x x

x( ) tan= −

−3

3π

a) Laske lauseketta muokkaamatta sille laskimella likiarvo, kun x n= + −π

310 3 , n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Määritä limx→π/3L(x)

tulkitsemalla lauseke sopivan funktion erotusosamääräksi. Mitä voidaan sanoa a-kohdassa lasketuista likiarvoista?

Differentiaaliyhtälöt, analyysin jatko 14. Määritä niiden käyrien yhtälöt, joilla on sellainen ominaisuus,

että koordinaattiakselien väliin jäävän käyrän tangentin osa puo-littuu sivuamispisteessä.

Lukuteoria 15. Etsi jakojäännös, kun a) 2345 jaetaan luvulla 5, b) 34567 jaetaan luvulla 6.

Syksy 2005

15Vastaukset

1. a) 3 34

1 23

15453

94

32

= = =

b) xy

yx

xy

yx

x y xyxy

x yxy

x y xyx

+ −

−=

+ −

−= + −2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 −−= −

+ −

= −+

yx y

x y x y

x yx y

2

2( )( )( )

2. Kolmion sivu a

Tasasivuisen kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde R a= 33

Tasasivuisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde r a= 36

Ympyröiden alojen suhde A

ARr

a

aympäri

sisään

= =

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= =ππ

2

2

23

33

6

4 4000 %

eli 300 % suurempi Vastaus: 300 % suurempi

3. Paloja n kpl, jolloin neliön sivu on 95n (mm) ja palojen yhteis-pituus on

n n

n

n

⋅ ≤

≤

≤ ≈

95 1 600

95 1 600

1 60095

4 10

2

,

Joten paloja on enintään 4 ja neliön sivun suurin mahdollinen pituus on 4 · 95 mm = 380 mm

Vastaus: 380 mm

4. Pyrkijöiden kokonaismäärä 100a A = ”Fysiikassa epäonnistunut epäonnistuu myös matematiikassa” B = ”Epäonnistuu ainakin toisessa kokeessa” = ”Epäonnistuu

vain matematiikassa tai vain fysiikassa tai molemmissa”

25a Fys Mat

10a 17a

Kevät 2003

16 Vastaukset

P A aa

( ) ,= = ≈1017

1017

0 59 ja

P B a a a a aa

( ) ( ) ( ) ,= − + − + = =25 10 17 10 10100

32100

0 32

Vastaus: 0,59 ja 0,32

5. a) x y

x yx y x y

+ =

= = =

2 4

2 8 2 2 33eli , josta saadaan jja sijoitetaan ylempään

⎧⎨⎪

⎩⎪

3y + 2y = 4, josta saadaan y = 45

ja edelleen x = 125

b)

Kuvaajista nähdään, että funktion lg⏐x⏐ kuvaaja kulkee funktion

12x

kuvaajan yläpuolella, kun x < −1,9 tai x > 1,9. Haarukoidaan

tarkempi kuvaajien leikkauspisteen x-koordinaatin arvo tutki-

malla funktion lg⏐ ⏐xx

− 12 merkin vaihtumista.

x lg⏐ ⏐xx

− 12

1,89 −0,0034… < 0

1,90 0,0017… > 0 eli nollakohta on välillä ]1,89; 1,90[

1,895 −0,00086… < 0 eli nollakohta on välillä ]1,895; 1,90[

Kahden desimaalin tarkkuudella kuvaajien leikkauspisteen x-koordinaatti on 1,90 tai −1,90. Ja lg(x) ≥ x−2, kun x ≤ −1,90 taix ≥ 1,90.

Vastaus: a) x = 125

ja y = 45

b) x ≤ −1,90 tai x ≥ 1,90

Kevät 2003

17Vastaukset

6. α + β + γ = 180° eli γ = 180° − (α + β)sijoitetaan annettuun yhtälöön

sinα sinβ = cosγ sinα sinβ = cos(180° − (α + β)) sinα sinβ = −cos(α + β)

käytetään kosinin summakaavaa taulukkokirjasta sinα sinβ = −(cosα cosβ − sinα sinβ) sinα sinβ = sinα sinβ − cosα cosβ cosα cosβ = 0 cosα = 0 tai cosβ = 0 eli α = 90° tai β = 90°, joten kummassakin

tapauksessa kolmio on suorakulmainen.

7. Suoran vektorimuotoinen yhtälö r i j k s i j k1

2 3 7 3 3= + + + + +( ) Lasketaan tasolta kolme pistettä ja määritetään tason vektori-

muotoinen yhtälö. Sijoitetaan tason yhtälöön x = y = 0, jolloin z = 1 ja yksi tason

piste on A(0, 0, 1). Sijoittamalla x = z = 0 saadaan piste B 0 12

0, ,( ) . Sijoittamalla y = z = 0 saadaan piste C(1, 0, 0). Muodostetaan tason virittäjävektorit

AB i j k j k= − + −( ) + − = −( ) ( )0 0 12

0 0 1 12

ja

AC i j k i k= − + − + − = −( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 1 ,

jolloin tason vektorimuotoinen yhtälö on

r k t j k u i k2

12

= + −( ) + −( )

Suoran ja tason leikkauspiste on kohdassa, jossa r r1 2

= .

r r

i j k s i j k k t j k u i k

1 2

2 3 7 3 3 12

=

+ + + + + = + −( ) + −( ) ( )

(22 3 3 7 3 12

1+ + + + + = + + − −s i s j s k ui t j t u k) ( ) ( ) ( )

Vektoreiden komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella

2 3

3 12

7

+ =

+ =

s u

s t

sijoitetaan alimpaan yhtälöön

++ = − −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ 3 1s t u

Kevät 2003

18 Vastaukset

3 12

7 3 1 2 3

+ =

+ = − − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

s t

s t s( )

s

t

= −

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 34

2 12

Sijoittamalla s suoran yhtälöön saadaan suoran ja tason leikkaus-pisteen paikkavektori.

r i j k i j k i j k1

2 3 7 1 34

3 3 3 14

1 14

1 34

= + + − + + = − + +( ) ,

joten leikkauspiste on −( )3 14

1 14

1 34

, , .

Vastaus: leikkauspiste on −( )3 14

1 14

1 34

, ,

8.

r

1 h1–2

Lieriön korkeus h (0 ≤ h ≤ 2) ja pohjan säde r. Suorakulmaisesta

kolmiosta, jonka kateetit ovat 12

h ja r, saadaan Pythagoraan

lauseella 12

12

2 2h r⎛⎝

⎞⎠ + = eli r h2 21 1

4= − .

Lieriön tilavuus V h r h h h h h( ) = = −⎛⎝

⎞⎠ = −π π π π2 2 31 1

414

V ′(h) = π − 34

πh2.

Derivaatan nollakohdat π π− = =34

0 23

2h h, josta .

Tilavuuden suurin arvo saadaan määrittelyvälin

päätepisteissä (h = 0 tai h = 2) tai välillä olevassa

derivaatan nollakohdassa h = 23

.

Kevät 2003

19Vastaukset

V( )0 0 14

0 03= ⋅ − ⋅ =π π ja V( )2 2 14

2 03= ⋅ − ⋅ =π π ja

V 23

23

14

23

43 3

03⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⋅ − ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= >π π π , suurin

Pohjaympyrän säde r = − ⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 14

23

23

2

Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde V

Vlieriö

pallo

= =

43 343

13

π

π

Vastaus: Lieriön korkeus on 23

ja pohjaympyrän säde 23

.

Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde on 13

.

9. Koska ′ = − ⋅ − + ⋅−

= −−

<f xx x

x x( )

( ) ( )

( ) ( )

3 1 2 1

353

02 2

, kun x > 3,

on f(x) aidosti vähenevä ja f −1 on olemassa. y xx

= +−

23

,

josta yx − 3y = x + 2 ja edelleen x yy

= +−

3 21

ja f y yy

− = +−

1 3 21

( ) .

Funktion f määrittelyjoukko A = ]3, ∞[.

Koska limx

xx→

+−

= = ∞3

23

50

ja lim limx x

xx

x

x→∞ →∞

+−

=+

−=2

3

1 2

1 31 ,

on funktion f kuvajoukko f(A) = ]1, ∞[ ja käänteis funktion f −1

määrittelyjoukko B = f(A) = ]1, ∞[.

f f x

xx

xx

x xx

x− =

+− +

+− −

=+ + −

−+

13 2

32

23

1

3 6 2 63

2( ( ))

−− −−

= =( )x

x

x x3

3

55

, kun x > 3.

Vastaus: f y yy

− = +−

1 3 21

( ) ja se on määritelty välillä ]1, ∞[.

Kevät 2003

20 Vastaukset

10. Määritetään sellaisen alaspäin aukeavan paraabelin yhtälö, joka leikkaa x-akselin kohdissa x = 0 ja x = 1 ja joka rajaa x-akselin kanssa alueen, jonka pinta-ala on 100.

Origon kautta kulkevan paraabelin yhtälö on muotoa y = ax2 + bx. Sijoittamalla pisteen (1, 0) koordinaatit paraabelin yhtälöön saadaan 0 = a · 12 + b · 1 ja edelleen b = −a eli paraabelin yhtälö on muotoa y = ax2 − ax.

Paraabelin ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala

( )

/

ax ax

ax ax

a a

2

0

1

0

13 2

100

13

12

100

13

12

− =

−( ) =

− =

∫

1100

600a = −

Joten haettu funktio on f(x) = −600x2 + 600x, kun 0 ≤ x ≤ 1 Tarkistus f(0) = −600 · 02 + 600 · 0 = 0 f(1) = −600 · 12 + 600 · 1 = 0

( )− + =∫ 600 600 1002

0

1

x x

Vastaus: f(x) = −600x2 + 600x, kun 0 ≤ x ≤ 1

11. Suora on ympyrän tangentti, jos suoran etäisyys ympyrän keski-pisteestä (0, 0) on ympyrän säteen 1 suuruinen.

Suoran x0x + y0y − 1 = 0 etäisyys origosta.

dx y

x y=

⋅ + ⋅ −

+= − =

⏐ ⏐ ⏐ ⏐0 0

02

02

0 0 1 11

1 , joten suora on ympyrän

tangentti.

Piste (x0, y0) on ympyrällä, koska koordinaatit toteuttavat ympy-

rän yhtälön x02 + y0

2 = 1.

Koordinaatit toteuttavat myös suoran yhtälön, koska x0 · x + y0 · y = x0 · x0 + y0 · y0 = x0

2 + y02 = 1 ja siis piste on myös

suoralla. Tangentilla ja ympyrällä ei voi olla kuin yksi yhteinen piste, joten (x0, y0) on sivuamispiste.

Vastaus: Sivuamispiste on (x0, y0).

Kevät 2003

21Vastaukset

12. Janan ensimmäinen termi a ja peräkkäisten termien suhde q. Ratkaistaan q yhtälöparista

a aq aq

a aq aq aq aq aq

+ + =

+ + + + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

2 3 4 5

3

12yhteinen tekijä 3q

a aq aq+ + =2 3 sijoitetaan alemppaan

a aq aq q a aq aq

q

+ + + + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

+ ⋅ =

2 3 2

3

12

3 3 12

( )

,, josta q = 33

S9 = a + aq + … + aq5 + aq6 + aq7 + aq8 = 12 + q6(a + aq + aq2)

= 12 + ( 33 )6 · 3 = 39

Koska q = 33 > 1 ei vastaava geometrinen sarja suppene.

Vastaus: S9 = 39 ja vastaava sarja ei suppene.

13.

r

dr–h

hO B

A

P

Pallokalotin korkeus h Kolmiot AOP ja BOA ovat yhdenmuotoiset (kk, suorakulma ja

yhteinen kulma O), joten saadaan verranto

rd r

r hr

r dr dh r rh

h drd r

+= −

= − + −

=+

2 2

Alojen suhde

A

Arhr

r drd rr

dd

kalotti

pallo

= =⋅ + =

+24

2

4 22 2ππ

π

π ( rrd

d rd

d r) ( )% %=

+⋅ =

+2100 50 ,

joten p r d dd r

( , ) =+

50 ja lim limd d

dd r r

d→∞ →∞+

=+

=50 50

150

Satelliitista näkyvä maapallon osa p( , ) ,6 370 500 50 500500 6 370

3 6= ⋅+

≈

Vastaus: p r d dd r

( , ) =+

50 ja lim ( , )d

p r d→∞

= 50 sekä 3,6 %

Kevät 2003

22 Vastaukset

14. dydx

y

dyy

dx

yx c

yx c

=

=

− = +

= −+

2

2

1

1

Ratkaistaan c

y a

ca

ca

a

( )0

10

1 0

=

−+

=

= − ≠ Jos a = 0 on y vakiofunktio y = 0

Alkuarvotehtävän ratkaisu

y xx

aax

a

aaxa

( ) = −−

= −−

=−

11

11 1

lim ( ) lima a a

y aa→ →

=−

=0 0

11

0

Vastaus: y x aaxa

( ) =−1

ja lim ( )a a

y→

=0

1 0

15. Lasketaan pisteet

z k i k

z i

k= ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ +

cos sin

cos si

π π

π4 4

040

nn cos sin

cos sin

04

0 0 1

14

11

⋅⎛⎝

⎞⎠ = + =

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ +

π

π

i

z i ⋅⋅⎛⎝

⎞⎠ = +

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ + ⋅⎛

⎝⎞⎠ =

π

π π4

12

12

24

242

i

z icos sin ccos sin

cos sin

π π

π2 2

34

33

⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ =

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ +

i i

z i ⋅⋅⎛⎝

⎞⎠ = − +

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ + ⋅⎛

⎝⎞⎠

π

π π4

12

12

44

444

i

z icos sin == + = −cos sinπ πi 1

Kevät 2003

23Vastaukset

Re

z0

z1

z2

z3

z4

Im

Lasketaan edellisten pisteiden kuvapisteet kuvauksessa f(z) = z2

f z z

f z z i i

( )

( )

0 02 2

1 12

2

1 1

12

12

12

= = =

= = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

= + − =

= = = −

= = −

2

2 22 2

3 32

1 2 12

1

i i

f z z i

f z z

( )

( ) 112

12

12

1 2 12

12 2

4

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − − = −i i i

f z( ) == = − =z4

2 21 1( )

Re

f(z0)f(z4)

f(z1)

f(z3)

f(z2)

Im

Kevät 2003

24 Vastaukset

1. a) x x

x

x

2

2

1

3 5 0

3 3 4 1 52 1

3 292

− − =

= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅

= −

( ) ( ) ( )

, xx2

3 292

= +

b) f ′(x) = 2x − 3 = 1, kun x = 2

c)

x y = 2x − 3

0 −3

3 3

Vastaus: a) x x1 2

3 292

3 292

= − = +, b) x = 2

2. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa. Jos toisen lävistäjän puolikas on a, on toisen lävistäjän puolikas 2a. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan

a2 + (2a)2 = 52, josta a = 5 . Neljäkäs koostuu neljästä yhtene-västä suorakulmaisesta kolmiosta, joiden yhteinen pinta-ala on

A = ⋅ ⋅ ⋅ =4 12

5 2 5 20 .

Vastaus: 20 cm2

3. a) f (x) = e2x − 2 + x3 − 1 f ′(x) = 2e2x − 2 + 3x2

b) Tangentin kulmakerroin pisteessä (1, 1) on f ′(1) = 2e2 · 1 − 2 + 3 · 12 = 5

Tangentin yhtälö y − 1 = 5(x − 1) eli y = 5x − 4

c) Tangentti leikkaa y-akselin pisteessä (0, −4). Lasketaan x-akselin leikkauspiste sijoittamalla y = 0.

Syksy 2003

25Vastaukset

5x − 4 = 0 eli x = 45

ja leikkauspiste on 45

0,⎛⎝

⎞⎠

Pisteiden (0, −4) ja 45

0,⎛⎝

⎞⎠ välisen janan pituus

45

0 0 4 4 265

22−⎛

⎝⎞⎠ + − − =( ( ))

Vastaus: a) f ′(x) = 2e2x − 2 + 3x2 b) y = 5x − 4 c) 4 265

4. Piste P(x, y). Saadaan vektoriyhtälö PA PB PC PD PE+ + + + = 0 eli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − + − + − + − − + − + −1 1 1 2 2 1x i y j x i y j x i y j ++

− + − + − − + − − =( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 0x i y j x i y j

( )

(

− − + − + − + − − − +− − − + − + − − −1 1 2 2 2

1 2 1 3 2

x x x x x i

y y y y yy j) = 0

Vektorien komponenttiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella

− − + − + − + − − − =− − − + − + − − − =1 1 2 2 2 0

1 2 1 3 2 0

x x x x x

y y y y y

⎧⎧⎨⎩

− =− =

⎧⎨⎩

=

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 5 0

1 5 0

2515

x

y

x

y

Vastaus: Pisteestä 25

15

,⎛⎝

⎞⎠

5. Päärynämehun määrä P ja omenamehun määrä O. Sokeripitoi-suuksista saadaan yhtälö

0 14 0 07 0 11

0 14 0 07 0 11 0 11

0

, , ,

, , , ,

P OP OP O P O

++

=

+ = +,, ,

: ( )

03 0 04

3 4 3

43

P O

P O O

PO

==

=

Vastaus: Sekoitussuhde on 4 osaa päärynämehua ja 3 osaa omena mehua.

Syksy 2003

26 Vastaukset

6. Käytetään muunnoskaavaa sin(x − y) = sinxcosy − cosxsiny Lasketaan cosx ja siny

sin cos sin

cos

cos

2 2 1 14

154 2 2

x x x

x x

x

+ = =

= ± − ≤ ≤π π

== 154

sin cos cos

sin

sin

2 2 1 13

2 23

2

y y y

y y

y

+ = = −

= ± ≤ ≤

=

π π

−− 2 23

sin(x − y) = sinxcosy − cosxsiny =

14

13

154

2 23

112

2 3012

1 2 30⋅ −⎛⎝

⎞⎠ − ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = − + = − +

1120 83≈ ,

Vastaus: − + ≈1 2 3012

0 83,

7. a)

Kierrossa muodostuu 6-sakarainen tähti, jonka sakarat ovat alku-peräisen kolmion kanssa yhdenmuotoisia tasasivuisia kolmioita yhdenmuotoisuussuhteena 1: 3, jolloin pinta-alojen suhde on 1: 9

ja kysytty ala on A a a a= + ⋅ ⋅ =2 2 234

3 19

34

33

b)

Kierrossa muodostuu alkuperäinen kolmio, joten ala on A a=2 34

c) Kierrossa muodostuu sama kuvio kuin a)-kohdassa eli

A a=2 33

Syksy 2003

27Vastaukset

8. a)

1–1

1

2 3 4 5 6

y

x

b) Lasketaan todennäköisyydet kolmioiden ja puolisuunnikkai-den pinta-alojen avulla.

P(x ≤ 1) on sen kolmion ala, jonka kanta on 1 ja korkeus 15

eli

P(x ≤ 1) = 12

1 15

110

⋅ ⋅ =

P(1 < x ≤ 3) muodostuu kahdesta puolisuunnikkaasta, joista en-

simmäisen yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 15

ja 25

sekä

korkeus 1 ja ala 1

15

25

23

10⋅

+= .

Toisen puolisuunnikkaan ala on 125

215

3 23

213

⋅+ − ⋅ +( )

= eli

P(1 < x ≤ 3) = 310

13

1930

+ =

P(x > 3) on sen kolmion ala, jonka kanta on 2 ja korkeus

− ⋅ +215

3 23

= 415

eli P(x > 3) = 12

2 415

415

⋅ ⋅ =

Vastaus: b) P(x ≤ 1) = 110

, P(1 < x ≤ 3) = 1930

, P(x > 3) = 415

9.

R

R αα

α

1– a2

1– a2

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteessä.

Kolmion sivu a on kolmion ympäri piirretyn ympyrän jänne ja sivun a vastainen kulma α on ympyrän kehäkulma. Kehäkulmaa α vastaavan keskuskulman 2α puolikas on suorakulmaisen kol-mion kulma α ja kyseisestä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan

sinα =12

a

R, josta R a=

2sinα.

Syksy 2003

28 Vastaukset

10.

1–1–1

1

2

3

4

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

f(x) = ⏐ln⏐x – 2⏐⏐

⏐ ⏐ln

ln ,

ln ,y

y y

y y=

≥− < <

⎧⎨⎩⎪

kun

kun

1

0 1

Nyt y = ⏐x − 2⏐ ⏐x − 2⏐ ≥ 1, kun x ≥ 3 tai x ≤ 1

0 < ⏐x − 2⏐ < 1, kun 1 < x < 2 tai 2 < x < 3

Joten

⏐ ⏐ ⏐⏐

⏐ ⏐⏐ ⏐

ln

ln ,

ln ,x

x x

x x− =

− ≤− − <

2

2 1

2

kun

kun 1 <<− − < <

− ≥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

2

2 3

2 3

ln ,

ln ,

⏐ ⏐⏐ ⏐

x x

x x

kun 2

kun⎪⎪⎪

Poistetaan vielä sisimmät itseisarvomerkit huomioimalla, että

⏐ ⏐x

x x

x x x− =

− ≥− − = − + <

⎧⎨⎩⎪

22 2

2 2 2

,

( ) ,

kun

kun

⏐ ⏐ ⏐⏐ln

ln( ),

ln( ),x

x x

x− =

− + ≤− − +

2

2 1

2

kun

kun 1 << <− − < <

− ≥

⎧

⎨⎪

x

x x

x x

2

2 3

2 3

ln( ),

ln( ),

kun 2

kun

⎪⎪

⎩⎪⎪

Funktion kulku

D xx

D xx

D x

ln( ) , ( ln( )) ,

( ln(

− + = −− +

− − + =− +

−

2 12

2 12

−− = −−

− =−

2 12

2 12

)) , ln( )x

D xx

+x

+1

–2

f’(x)

f(x)

3

–

′ <

′ ⎛⎝⎞⎠ >

′ ⎛⎝⎞⎠ <

′ >

f

f

f

f

( )

( )

0 0

32

0

2 12

0

4 0

Syksy 2003

29Vastaukset

Funktio saa vain ei-negatiivisia arvoja, joten sen pienin arvo on nolla, jonka se saa kohdissa x = 1 ja x = 3.

Vastaus: Funktio kasvaa väleillä 1 < x < 2 ja x > 3 ja vähenee väleillä x < 1 ja 2 < x < 3. Funktio saa pienimmän arvonsa koh-dissa x = 1 ja x = 3 ja funktion lauseke on

⏐ ⏐ ⏐⏐ln

ln( ),

ln( ),x

x x

x− =

− + ≤− − +

2

2 1

2

kun

kun 1 << <− − < <

− ≥

⎧

⎨⎪

x

x x

x x

2

2 3

2 3

ln( ),

ln( ),

kun 2

kun

⎪⎪

⎩⎪⎪

11. f x x a x a x a x ak

k

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= − = − + − + − +=

∑ 2

11

22

23

2 ... ( )+ −x an

2

f ′(x) = − + − + − + + −2 2 2 21 2 3

( ) ( ) ( ) ... ( )x a x a x a x an

Derivaatan nollakohta

2 2 2 2 0 21 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) :x a x a x a x an

− + − + − + … + − =

:nx a a a nn

= + + … +1 2

xn

ak

k

n

==

∑1

1

Funktion f kuvaaja

f x x a x xa a nx x ak

k

n

k k kk

( ) ( ) ( )= − = − + = −= =

∑ 2

1

2 2 2

1

2 2nn

k

n

kk

n

a∑∑ ∑= =

+1

2

1

Havaitaan, että funktio on toisen asteen polynomifunktio ja sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion ainoa ääriarvo-kohta on minimikohta, joten se saa pienimmän arvonsa kohdassa

xn

ak

k

n

==

∑1

1

.

Pienin arvo

f x nx x a a

fn

a

kk

n

kk

n

kk

n

( ) = − +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= =

=

∑ ∑

∑

2

1

2

1

1

2

1 ==⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− ⋅

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= = =∑ ∑n

na

na a

kk

n

kk

n

kk

n1 2 1

1

2

1 1∑∑ ∑

∑ ∑

+

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠

=

= =

a

na

na

kk

n

kk

n

kk

n

2

1

1

2

1

1 2⎟⎟ +

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=

= =

∑

∑ ∑

2

2

1

2

1 1

2

1

a

an

a

kk

n

kk

n

kk

n

Vastaus: Pienin arvo on an

ak

k

n

kk

n2

1 1

2

1

= =∑ ∑−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Syksy 2003

30 Vastaukset

12. a) Lasketaan ensimmäisen säästövuoden aikana tilille kertynyt summa. Ensimmäinen 200 euron talletus kasvaa korkoa 12 kuu-kautta, toinen 11 kuukautta ja niin edelleen. Alle vuoden talle-tuksesta saatu korkotulo r on

r = kit ⏐i = 1,5 % = 0,015, k = 200 €,

⏐t = 12, 11, 10, … 1 kk = 1212

1112

112

, , … a

Koko vuoden talletuksista kertynyt korko

r = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅200 0 015 1212

200 0 015 1112

200 0 015 1, , , 0012

200 0 015 112

200 0 015 112

12 11 1

+ …

+ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ + +

,

, ( 00 1 212 12 1

200 0 0

1

1

+ … + = ⋅+

= = =

= ⋅

),

, ,

,

S na a

n a a

nn

n

115 112

12 12 12

19 50

⋅ ⋅ ⋅ +

= ,

Talletettu pääoma vuoden lopussa koron lisäyksen jälkeen k = 12 · 200 + 19,50 = 2 419,50

Vuosittaisia talletuksia on 18. Korkotekijä q = 1,015

Pääoma talletusajan lopussa

Talletus 1. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01517

Talletus 2. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01516

Talletus 3. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,01515 . . . Talletus 17. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50 · 1,015 Talletus 18. vuoden lopussa 2 419,50 € 2 419,50

Talletukset yhteensä

S18

17 162 419 50 1 015 2 419 50 1 015 2 419 50= ⋅ + ⋅ +, , , , , ⋅⋅ + …

+ ⋅ += ⋅ −

1 015

2 419 50 1 015 2 419 501

15

1

,

, , ,S a q

n

n

112 419 50

1 015 18

2 419 50 1 1 1

1−=

= =

= ⋅ ⋅ −

qa

q n

, , ,

, ,

, ,,,

,

0151 1 015

49 574 04

18

−=

Syksy 2003

31Vastaukset

b) S a qq

a q Sn

n

n= ⋅ −

−= = ≥

1 111

2 419 50 1 015 135 000, , , , ,

2 419 50 1 1 0151 1 015

135 000

1 015 1 8369

, ,,

, ,

⋅ −−

≥

≥

n

n .... lg

lg , lg , ... : lg ,

lg ,

n

n

1 015 1 8369 1 015 0

1 8

≥ >

≥ 33691 015

40 843

...lg ,

, ...n ≥

Eli pitäisi tallettaa vähintään 41 vuotta.

Vastaus: a) Tilillä on rahaa 49 574,04 €, b) pitäisi tallettaa vähintään 41 vuotta.

13. Tilavuus V x dxe

= ∫π (ln )2

1

Osittaisintegrointi

′ = − ′ = =∫ ∫f gdx fg g fdx f x x g x xa

b

a

b

a

b

/ ( ) , ( ) (ln )

(l

2

nn ) / (ln ) ln

/

x dx x x xx

xdx

e

e e e

e

2

11

2

1

1

2 1

2

∫ ∫= − ⋅ ⋅

= − (( ln ) ( ( ))x x x e e e e− = − − − − = −2 0 1 2

Tilavuus V x dx ee

= = −∫π π(ln ) ( )2

1

2

Vastaus: π(e − 2)

14. G xx

f t dtx

F tx

F x Fx

xx

( ) ( ) / ( ) ( ( ) ( ))= = = − =∫1 1 1 0 10

0

⋅⋅ − ⋅F xx

F( ) ( )1 0

′ = − + − − ⋅ + ⋅

= −

G xx

F xx

F xx

Fx

x

( ) ( ) '( ) ( ( ) )1 1 1 0 1 0

1

2 2

22 2

2 2

1 1 0

1 1 0 1

F xx

f xx

F

xF x

xF

x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ + ⋅

= − + ⋅ + ff x

x xF x

xF

xf x

xG x

x

( )

( ) ( ) ( )

( )

= − ⋅ −( ) +

= − +

1 1 1 0 1

1 1 ff x( )

Syksy 2003

32 Vastaukset

Jos f on kasvava, on f(x) ≥ f(t), kaikilla x ≥ t

Jos f(x) ≥ f(t), niin

f x dt f t dt

x x

( ) ( )≥∫ ∫0 0

/( ( ) ) ( )0

0

x x

f x t f t dt⋅ ≥ ∫

xf x f t dt x

x

( ) ( ) : ( )≥ >∫ 00

f x

xf t dt G x

x

( ) ( ) ( )≥ =∫1

0

Koska G(x) ≤ f (x), on G ′(x) = − + >1 1 0x

G xx

f x( ) ( ) , joten myös G(x) on kasvava.

Vastaus: G ′(x) = − +1 1x

G xx

f x( ) ( )

15. a) y(x) = sinx + cosx, joten y′(x) = cosx − sinx, sijoitetaan differen-tiaaliyhtälöön y′ + 2sinx = cosx − sinx + 2sinx = cosx + sinx = y(x) eli toteuttaa yhtälön.

Tarkistetaan toteutuuko alkuehto y(0) = 1, sijoitetaan x = 0 y(0) = sin0 + cos0 = 1 eli toteutuu

b) Alkuarvoprobleeman y′ = f(x, y), y(x0) = y0 Eulerin menetel-män iteraatiokaava on

yi +1 = yi + hf(xi, yi) ja xi +1 = xi + h, missä i = 0, 1, 2, …

Muokataan alkuperäistä yhtälöä

y′ + 2sinx = y

y′ = y − 2sinx

Sovelletaan Eulerin menetelmää

yi +1 = yi + hf(xi, yi) ⏐h = 0,5, f(xi, yi) = yi − sinxi

yi +1 = yi + 0,5 · (yi − 2sinxi) = 1,5yi − sinxi

Alkuehdon mukaan x0 = 0 ja y0 = 1

xi y(xi) yi yi − y(xi)

0 1 1 0

0,5 1,3570 1,5 0,1430

1 1,3818 1,7706 0,3888

1,5 1,0682 1,8144 0,7462

2 0,4931 1,7241 1,2309

Syksy 2003

33Vastaukset

1. a) f(x) = x3 + 3x2 + x + 1 f(−2) = (−2)3 + 3 · (−2)2 − 2 + 1 = −8 + 12 − 2 + 1 = 3

b) g(x) = x3 + x2 − 2x + 3

g 1

212

12

2 12

3 18

14

1 3 2 33 2⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ − ⋅ + = + − + =

88

c) f x g x

x x x x x x

x x

x

( ) ( )=

+ + + = + − +

+ − =

= −

3 2 3 2

2

3 1 2 3

2 3 2 0

33 3 4 2 22 2

3 54

3 54

12

3 54

2

1

2

± − ⋅ ⋅ −⋅

= − ±

= − + =

= − −

( )

x

x

x == −2

Vastaus: a) f(−2) = 3 b) g 12

2 38

⎛⎝

⎞⎠ = c) x x= − =2 1

2tai .

2. ( )2 3 12

1

x dxa

a

+ =+

∫

/ ( )

( ) ( ) ( )

a

a

x x

a a a a

a

++ =

+ + + − + =

+

12

2 2

2

3 12

1 3 1 3 12

2aa a a a

a

a

a

a

+ + + − − =

+ =

= −

= −

= −

1 3 3 3 12

2 4 12

2 7274

1 34

2

Vastaus: a = −1 34

Kevät 2004

34 Vastaukset

3. Tulot a

Vuokramenot alussa 0,25 a Vuokramenojen nousu 15 % Prosenttikerroin 100 % + 15 % = 115 % = 1,15 Vuokramenot korotuksen jälkeen 1,15 · 0,25a = 0,2875a

Muu käyttö alussa a − 0,25 = 0,75a Muu käyttö korotuksen jälkeen a − 0,2875a = 0,7125a

Muun käytön muutos 0 71250 75

0 95,,

,aa

=

Käytön pienennys 100 % – 95 % = 5 %

Vastaus: Muuhun käyttöön riitti rahaa 5 % vähemmän kuin ennen.

4. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa, joten

AQ AB b a� ��

= = −12

12

( ) .

OQ OP a b aP

a i j b

� �� = + + −

−= +

12

1 1

4( )

( , ),

, == − +

= − + + + − + − +⎡⎣ ⎤⎦

= +

2 5

4 12

2 5 4

12

7

i j

i j i j i j i j

i

( )

22j

Pisteen Q koordinaatit ovat 12

72

,⎛⎝

⎞⎠

Vektori PQ i j i j� ��

= −⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ = − +1

21 7

21 1

292

Vastaus: PQ i j� ��

= − +12

92

, Q = 12

72

,⎛⎝

⎞⎠

1–1–1

1

2

3

4

5

6

7

8

–2 2 3 4

y

x

P(1, –1)

AQ

B

–a

–b

Kevät 2004

35Vastaukset

5. Funktion f(x) kuvaajalle y piirretyn tangentin kulmakerroin k kohdassa x = a on yhtä suuri kuin funktion derivaatan arvo kyseisessä pisteessä.

f(x) = x2 − 2x − 3 f ′(x) = 2x − 2

Toisaalta suoran kulmakerroin k saadaan suoran suuntakulman α = 45° avulla

k = tanα = tan 45° = 1

Haetaan ne kohdat, joissa funktion derivaatta saa arvon 1

′ = ′ = −

− ==

=

f x f x x

x

x

x

( ) ( )

:

1 2 2

2 2 1

2 3 2

32

Pisteen y-koordinaatti

f x x x

f

( ) = − −

⎛⎝

⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠ − ⋅ − = −

2

2

2 3

32

32

2 32

3 3 34

Vastaus: Piste 32

3 34

, −⎛⎝

⎞⎠

6. Muodostetaan yhtälöpari

tan ,

tan

22 5

25 12

�

�

=

= +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

xa

xa

Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä a ja sijoitetaan alempaan

tan ,

tan ,

22 5

22 5

�

�

=

=

xa

a x

a

a25°

22,5°

12 12 21

x + 12

4

Kevät 2004

36 Vastaukset

tan

tan

tan ,

tan (

25 12

25 12

22 5

25 1

�

�

�

�

= +

= +

= +

xa

xx

x 22 22 5 0

25 22 5 12 2

) tan ,

tan tan , tan

⋅ ⋅ ≠

= + ⋅

�

� �x

x

x x 22 5

25 22 5 12 22 5

,

(tan tan , ) tan , :(ta

�

� � �x − = ⋅ nn tan , )

tan ,tan tan ,

25 22 5

12 22 525 22 5

� �

�

� �

−

= ⋅−

x

Maston korkeus

x + + − = ⋅

−− ≈12 4 21 12 22 5

25 22 55 90 4tan ,

tan tan ,,

�

� �

Vastaus: Maston korkeus on 90,4 m

7. On laskettava kateettien suhde ab

Kolmion hypotenuusa c

AD c c= =7

100 7,

DB c c= =3

100 3,

Koska α + β = 90°, niin �BCD = 90° − β = α Tällöin kolmiot ABC, ADC ja CDB ovat yhdenmuotoisia (kk) – kaikissa terävä kulma α – kaikissa suora kulma

Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on vakio. Kolmioista ADC ja CDB saadaan

hc

ch

h c h c

h c

0 70 3

0 21 0 0

0 21

2 2

,,

, , ,

,

=

= > >

= Kolmioista ABC ja CDB saadaan

ab

ch

h c

ab

cc

= =

= = = =

0 3 0 21

0 30 21

0 090 21

921

37

, ,

,,

,,

Vastaus: Kateettien suhde on 3 7: .

B

D

C Ab

a

β

αα

h

(3)

(7)

Kevät 2004

37Vastaukset

8. a) Muutetaan neliöön täydentämällä ympyrän yhtälö keskipiste- muotoon (x − x0)

2 + (y − y0)2 = r2.

(x2 + y2 − 2x −4ay + 5a2 + 2a = 0

x2 − 2x + 1 +y2 − 4ay + (2a)2 = −5a2 − 2a + 1+ (2a)2

(x − 1)2 + (y − 2a)2 = −a2 − 2a + 1

Yhtälö esittää ympyrää, jos r2 = −a2 − 2a + 1 > 0

Ratkaistaan epäyhtälö

−a2 − 2a + 1 > 0

Nollakohdat

− − + =

= ± − ⋅ − ⋅⋅ −

= ±−

= +

a a

a

a

a

2

2

1

2 1 0

2 2 4 1 12 1

2 82

2

( )( )

22 22

1 2

2 2 22

1 22

−= − −

= −−

= − +a

Merkkikaavio

− − + >

− − < < − +

a a

a

2 2 1 0

1 2 1 2

b) Ympyrän pinta-ala A = πr2 on suurin, kun säteen neliö r2 on mahdollisimman suuri.

Haetaan säteen neliön r2 = −a2 − 2a + 1 suurin arvo, kun

− − < < − +1 2 1 2a .

Merkitään r2 = f(a) = −a2 − 2a + 1

Funktion f(a) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saavut-taa suurimman arvonsa huipussa. Paraabelin huipussa funktion derivaatta on nolla.

a–

a– + + –

–

−1 − 2 −1 + 2

Kevät 2004

38 Vastaukset

Derivoidaan funktio

f(a) = −a2 − 2a + 1

f ′(a) = − 2a − 2


f ′(a) = 0

− 2a − 2 = 0

− 2a = 2

a = −1

Koska derivaatan nollakohta kuuluu välille

− − < < − +1 2 1 2a , niin säteen neliö on suurimmillaan tässä kohdassa.

Suurin mahdollinen pinta-ala

A = πr2 ⏐r2 = f(−1) = −(−1)2 − 2 · (−1) + 1 = 2

A = π · 2 = 2π

Vastaus: a) Yhtälö esittää ympyrää, kun − − < < − +1 2 1 2a . b) Ympyrän suurin ala on 2π.

9. Todennäköisyys, että arpa yksi

– voittaa p = =120

0 05,

– ei voita q = 1 − p = 1 − 0,05 = 0,95

Arpoja ostetaan n (kpl), n ∈ r

Tapaus A = ”Ainakin yksi arpa n:stä voittaa.” Tapauksen A komplementti A = ”Ei yhtään voittoa n:stä arvasta.”

P P P

P

P P

( ) , ( ) ( )

( ) ,

( ) ,

A A A

A

A

> = −

− >

<

0 5 1

1 0 5

0 5 (( ) ,

, ,lg(), lg

A q

x

n n

n

= =

<

0 95

0 95 0 5aidosti kaasvava,

säilyttää järjestyksen

lg , lg ,0 95 0n < 55

0 95 0 5 0 9lg , lg , : lg ,

potenssin logaritmi

n < 55 0

0 50 95

13 51

<

>

>

,

lg ,lg ,

,

järjestys kääntyy

n

n …… ∈

≥

n

n

r

14

Vastaus: Arpoja on ostettava ainakin 14 kappaletta.

Kevät 2004

39Vastaukset

10. Funktio f : ] −∞, 0[ → r on se funktion ′ = +f xx

( ) 1 1 integraali-funktio, mikä sivuaa suoraa y = 2.

Haetaan kaikki integraalifunktiot f : ] −∞, 0[ → r

f x f x dx

xdx

x x C x

( ) ( )

ln ln l

= ′

= +⎛⎝

⎞⎠

= + + =

∫∫ 1 1

⏐ ⏐ ⏐ ⏐ nn( ),

ln( )

− <

= + − +

x x

x x C

koska 0

Funktio sivuaa suoraa y = 2, joten funktion derivaatan arvo on sivuamispisteessä sama kuin suoran kulmakerroin k = 0. Haetaan ne kohdat, joissa derivaatta saa arvon nolla.

′ = ′ = +

+ =

= −

= −

f x f xx

x

xx

( ) ( )0 1 1

1 1 0

1 1

1

Funktion arvo kohdassa x = −1 on 2, koska funktio sivuaa suoraa.

Ratkaistaan C

f x x x C

f

C

( ) ln

( )

ln ln

= + +− =

− + − + = −

⏐ ⏐

⏐ ⏐ ⏐ ⏐

1 2

1 1 2 1 ==

=

0

3C

Kysytty funktio f(x) = x + ln(−x) + 3

Vastaus: f(x) = x + ln(−x) + 3

11. Merkitään g(x) = xx − ex − 1, kun x ≥ 1

g(x) = xx − ex − 1 = elnxx − ex − 1

Koska ex on aidosti kasvava, niin g(x) ≥ 0, kun lnxx ≥ x − 1

Merkitään f(x) = lnxx − (x − 1) = xlnx − x + 1, kun x ≥ 1 Osoitetaan, että funktio on ei-negatiivinen aina, kun x ≥ 1. Haetaan funktion pienin arvo, kun x ≥ 1.

Kevät 2004

40 Vastaukset

Derivaatta

f x x x x

f x x xx

x

( ) ln

( ) ln ln

= − +

′ = + ⋅ − =

1

1 1

f ′(x) = lnx ≥ 0, kun x ≥ 1 ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kunx = 1. Näin ollen funktio f(x) on aidosti kasvava ja saavuttaa pienimmän arvonsa välin alkupisteessä x = 1.

Pienin arvo f(x) = xlnx − x + 1 f(1) = 1 · ln1 − 1 + 1 = 0

Tällöin f(x) ≥ 0 aina, kun x ≥ 1 eli x ln x − x + 1 ≥ 0, kun x ≥ 1. Joten

g(x) = xx − ex −1 ≥ 0 aina, kun x ≥ 1.

Yhtäsuuruus g(x) = 0 on voimassa, kun x = 1: 11 − e1−1 = 1 − 1 = 0.

12. Funktio f : r → r f(x) = 2−n, nπ ≤ x < (n + 1)π, n ∈ z Koska kyseessä on paloittain määritelty funktio, pitää myös

integraalin arvo määrittää samoissa paloissa.

I k f x xdx f x xdx f x xdx( ) ( )sin ( )sin ( )sin ...= = + +π

2ππππ

π

π

∫∫∫

∫+−

00

1

k

k

k

f x xdx( )sin( )

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

+

=

−

−

∫∑ f x xdx

xdx

n

n

n

k

n

( )sin

sin

( )

π

π1

0

1

2nn

n

n

k

n

n

n

xdx

π

π

π

π

( )

( )

/ cos

+

=

−

−+

∫∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −

1

0

1

1

2⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + −

=

−

−

=

−

∑n

k

n

n

k

n n

0

1

0

1

2 1[ (cos( ) cos ]π π∑∑ = −

+ = −

= − −

+

−

cos ( ) ,

cos( ) ( )

{ [(

n

n

n

n

n

π

π

1

1 1

2 1

1

)) ( ) ]}

[ ( ) ( )]

n n

n

k

n n

n

+

=

−

−

=

− −

= − ⋅ − ⋅ − −

∑ 1

0

1

0

1

2 1 1 1kk

n n

n

k

−

− +

=

−

∑

∑= − ⋅

1

1

0

1

1 2( )

Kevät 2004

41Vastaukset

Kyseessä on geometrinen sarja, jonka ensimmäinen termi on

a1 = 2 ja suhdeluku q = − 12

.

Sarjan summa

S aqq

k

k

k

= −−

= ⋅− −( )− −( ) = − −⎛

⎝⎞⎠

⎡

⎣11

21 1

2

1 12

43

1 12

⎢⎢⎤

⎦⎥

Raja-arvo

lim ( ) limk k

k

I k→∞ →∞

= − −⎛⎝

⎞⎠

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −⎛

⎝⎞⎠

43

1 12

12

kk

k→ → ∞

=

0

43

, kun

Vastaus: Integraali I kk

( ) = − −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥4

31 1

2 ja raja-arvo lim ( )

kI k

→∞= 4

3.

13. a) Oletus: Luku m on luvun n tekijä ja luku n on luvun m tekijä ja m, n ∈ r

Väite: m = ±n

Todistus: Oletuksesta seuraa, että n = km, k ∈ r ja m = sn, s ∈ r Tällöin

m = sn ⏐n = km

m = skm

m − skm = 0

m(1 − sk) = 0

Jos m = 0, niin n = km = 0, jolloin väite on tosi. Jos m ≠ 0, 1 − sk = 0, tällöin sk = 1. Lukujen tulon ollessa 1 luvut ovat toistensa käänteislukuja.

Koska luvut s ja k ovat kokonaislukuja, niin joko s = 1 ja k = 1, tai s = −1 ja k = −1. Näin ollen m = ±n.

b) Oletus: Luku m on luvun n tekijä ja luku n on luvun p tekijä ja m, n, p ∈ r

Väite: Luku m on luvun p tekijä

Todistus: Oletuksesta seuraa, että n = km, k ∈ r ja p = sn, s ∈ r Tällöin

p = sn ⏐n = km

p = skm

Kevät 2004

42 Vastaukset

Koska s ja k ovat kokonaislukuja, niin näiden tulo sk on koko-naisluku, sk = t, t ∈ r.

Näin ollen p = skm = tm, t ∈ r, joten luku m on luvun p tekijä.

14. Lukujono (ak) suppenee, jos ja vain jos limk k

a a→∞

= . Sarja ak

k =

∞

∑1

hajaantuu, jos limk k

a→∞

≠ 0 .

Suppeneva lukujono x1, x2, x3, … ja sitä vastaava sarja xn

n=

∞

∑1

hajaantuu, kun valitaan esimerkiksi, että xk = 1.

Lukujono 1, 1, 1, … suppenee, koska limk k

x→∞

= 1 .

Vastaava sarja hajaantuu, koska limk k

x→∞

= ≠1 0 .

Jos sarja suppenee, niin lim lim( ) limn n n k k

k

n

nk

n

a a a a→∞ →∞ =

−

→∞== − =∑∑

1

1

1nn

= 0 ,

jolloin vastaava lukujono (ak) suppenee.

Siis ei voi olla mahdollista, että jono hajaantuu, kun vastaava sarja suppenee.

15. Ympyrälieriön pohjan säde r = 10 cm = 1 dm

Veden pinnan korkeus hetkellä t(s) on h(t) yksikkönä desimetri.

Astian vesimäärä hetkellä t(s) on V(t) = πr2h(t) yksikkönä litra eli kuutiodesimetri.

Veden valumisnopeus on suoraan verrannollinen pinnan-korkeuden neliöjuureen, eli saadaan differentiaaliyhtälö

′ =V t k h t( ) ( ) , josta ratkaistaan vesimäärä hetkellä t, eli V(t). Tilavuuden lausekkeesta saadaan ratkaistua h(t)

V t r h t r

h tr

V t

( ) ( ) : ( )

( ) ( )

=

=

π π

π

2 2

21

Differentiaaliyhtälö

′ = ′ = = =V t k h t V t dVdt

h t V t V t( ) ( ) ( ) , ( ) ( ), ( )1π

VV

dVdt

kr

V k kr

dVV

k dt

= =

=

1 12 1 2

1

π π

Kevät 2004

43Vastaukset

V dV k=−

∫12

11

1 1 21

21

2 2

2 22 2

dt

V k t C kk

CC

V k t C

∫= + = =

= +

: , ,

()22

2 22V k t C= +( )

Alkuehdoista V V( ) ( )0 10 30 12

10 5= = ⋅ =ja saadaan yhtälöpari

10 0

5 302 2

2 2

= ⋅ +

= ⋅ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

k C

k C

Ylemmästä yhtälöstä saadaan C2

10= . Sijoitetaan tämä alem-paan yhtälöön.

5 30 10

30 5 10

5 103

2

2

2

= ⋅ +

= −

= −

k

k

k00

Tilavuuden lauseke V t k t C t( ) ( )= + = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2

22

5 1030

10

Astia on tyhjä, kun

V t

t

t

t

( ) =

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− = −

= − ⋅

0

5 1030

10 0

5 1030

10

10 3

2

005 10

10 2 5

2 5 305 1 2

30 22 1

102

−= ⋅

= − ⋅ ⋅−

=−

≈

t

t

t

( )

Vastaus: V t t( ) = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5 1030

102

. Astian tyhjeneminen

kestää 102 sekuntia.

Kevät 2004

44 Vastaukset

1. a) 2 3 3 2

4 6 4

1 12

x x

x

x

− < −<

<

:

b) ( )x

x x

x x

+ ≤

+ + ≤

+ ≤

1 1

2 1 1

2 0

2

2

2

Nollakohdat

x x

x x

x x

2 2 0

2 0

0 2 0

+ =+ =

= + =( )

tai x = –2 Merkkikaavio

x–2

– ++0

(x + 1)2 ≤ 1, kun −2 ≤ x ≤ 0

c) x3 < x2

x3 − x2 < 0

Nollakohdat x3 – x2 = 0 x2(x – 1) = 0 x2 = 0 tai x – 1 = 0 x = 0 x = 1

Merkkikaavio f(x) = x3 − x2

+

x–

0–

1

f(−1) = −(−1)3 − (−1)2 = −1 − 1 = −2 < 0

f(0,5) < 0

f(2) > 0

x3 < x2, kun x < 1 ja x ≠ 0

Vastaus: a) x < 1 12

b) −2 ≤ x ≤ 0 c) x < 1 ja x ≠ 0

2. Kolmion sivut a − 1, a ja a + 1 Pisin sivu a + 1 Määrittelyehto a − 1 > 0, a > 0 ja

a + 1 > 0 eli a > 1

Syksy 2004

a

a – 1a + 1

45Vastaukset

Pythagoraan lause (a − 1)2 + a2 = (a + 1)2 ⏐ a > 1 a2 − 2a + 1 + a2 = a2 + 2a + 1 a2 − 4a = 0 a(a − 4) = 0 a = 0 tai a = 4

Ei käy

Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on sivujen keski-normaalien leikkauspisteessä.

Kolmion sivujen pituudet 3, 4 ja 5.

r11–2

2

Pythagoraan lause

r

r r

r

22

2

2

1 12

2

254

0

2 12

= ⎛⎝

⎞⎠ +

= >

=

,

Vastaus: a = 4 ja r = 2 12

3. Kuution särmä s Alkuperäinen kokonaispinta-ala A = 6s2 Pinta-alasta jää jäljelle 100 % – 36 % = 64 % = 0,64 alkuperäi-

sestä Uusi pinta-ala 0,64A = 0,64 · 6s2 = 3,84s2 Uusi särmä x

6 3 84 6

0 64 0 0

2 2

2 2

x s

x s x s

x

=

= > >

=

, :

, , ,

00 8, s

Syksy 2004

46 Vastaukset

Kuution tilavuuden muutos VV

xs

ss

2

1

3

3

3

30 8 0 512= = =( , ) ,

Tilavuuden pieneneminen prosentteina 100 % – 51,2 % = 48,8 %

Vastaus: Tilavuus pienenee 48,8 %.

4.

1–1

1

2

3

2 3 4 5 6 7

y

x

A(1, 2)

B(7, 1)P

Paikkavektori OA i j� ��

= + 2

Vektori AB i j i j� ��

= − + − = −( ) ( )7 1 1 2 6

Vektori OP x i j x� ��

= + ∈( ),3 r

Toisaalta OP OA yAB y� ��

= + ∈, r

Koska kyseessä on yksi ja sama vektori niin

x i j OA yAB x y

xi x

( ) ,3

3

+ = + ∈

+

� �� r

jj i j y i j

xi xj i j yi yj

xi xj

= + + −+ = + + −+ = +

2 6

3 2 6

3 1

( )

( 66 2y i y j) ( )+ − Koska i j i j, ≠ ⊥0 ja , niin

3 1 6

2

x y

x y

= += −

⎧⎨⎩⎪

Sijoitetaan alemman yhtälön muuttujan x lauseke ylempään

yhtälöön.

3 2 1 6

6 3 1 6

9 5 9

59

( )

: ( )

− = +− = +− = − −

=

y y

y y

y

y

Lasketaan x

x y= − = − =2 2 5

9139

Syksy 2004

47Vastaukset

Vektori OP i j i j� ��

= + = +139

3 133

139

( )

Pisteen P koordinaatit P = ⎛⎝

⎞⎠

133

139

,

Vektori AP i j i j� ��

= −⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ = −13

31 13

92 10

359

Vektorin AP� ��

pituus ⏐ ⏐AP� ��

= ⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ = =10

359

92581

5 379

2 2

Vektorin AB� ��

pituus ⏐ ⏐AB� ��

= + =6 1 372 2

Vektorin BP� ��

pituus ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐BP AB AP� ��

= − = − =37 5 379

4 379

Pituuksien suhde ⏐ ⏐⏐ ⏐

AP

BP

� ��

� �� = =5 37

94 37

9

54

Vastaus: Piste P jakaa janan AB suhteessa 5:4.

5. Vikaantumistodennäköisyydet takuuaikana pA = 0,01, pB = 0,007 ja pC = 0,05

Todennäköisyys, että A ei vikaannu on pA

= 1 – 0,01 = 0,99

Todennäköisyys, että B ei vikaannu on pB

= 1 – 0,007 = 0,993

Todennäköisyys, että C ei vikaannu on pC = 1 – 0,05 = 0,95

A = ”Laite vikaantuu takuuaikana” = ”Jokin laitteen kolmesta komponentista A, B tai C ei toimi”

A = ”Kaikki kolme komponenttia toimivat”

P(A) = 1 – P( A ) = 1 − p p pA B C

= 1 − 0,99 · 0,993 · 0,95 ≈ 0,066 = 6,6 %

Komponentti C kahdennetaan C1:ksi ja C2:ksi. B = ”Laite vikaantuu takuuaikana” = ”Jompi kumpi laitteen kahdesta komponentista A tai B ei

toimi ja molemmat C1 ja C2 eivät toimi”

B = ”Komponentit A ja B toimivat ja C1 tai C2 toimii”

p

C C1 2 = P(C1 tai C2 toimii) = 1 – P(kumpikaan C1 ja C2 ei toimi)

= 1 1 0 05 0 05 0 99751 2

− = − ⋅ =p pC C

, , ,

P(B) = 1 – P( B ) = 11 2

− p p pA B C C

= 1 − 0,99 · 0,993 · 0,9975 ≈ 0,019 = 1,9 %

Vastaus: Vikaantumistodennäköisyys takuuaikana on 6,6 %. Komponentin C kahdentamisen jälkeen 1,9 %.

Syksy 2004

48 Vastaukset

6. Funktio f(x) = ln(x3 – x) on määritelty, kun x3 – x > 0 Nollakohdat x3 – x = 0 x (x2 – 1) = 0 x = 0 tai x2 – 1 = 0 x2 = 1 ⏐ x = ±1 Merkkikaavio g(x) = x3 − x

–x

––1

+0

+1

g(−2) = (−2)3 − (−2) = −8 + 2 = −6 < 0

g(−0,5) > 0

g(0,5) < 0

g(2) > 0

Funktio f(x) = ln(x3 – x) on määritelty, kun –1 < x < 0 tai x > 1.

Ääriarvot

Funktio f(x) = ln(x3 – x)

Derivaatta ′ = −−

f x xx x

( ) 3 12

3

Derivaatan nollakohdat

3 1 0

3 1 3

13

13

2

2

2

x

x

x

x

− =

=

=

= ±

:

Kulkukaavio

x

–+

0

f’(x)

f(x)max

+

1–1 1– ––– 3

1––– 3

Maksimi

f −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=13

13

13

3

ln lnn ln ,23 3

2 39

0 95⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ≈ −

Vastaus: Funktio ln(x3 – x) on määritelty, kun –1 < x < 0 tai x > 1.

Funktion maksimi on ln 2 39

.

Syksy 2004

49Vastaukset

7. Tilavuus V y dxa

b

= ∫π 2

1–1–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

Integroimisrajat

x y x

y x

2 2 6 5 0

1

+ + + == − −

⎧⎨⎪

⎩⎪ Sijoitetaan alemmasta yhtälöstä y ylempään yhtälöön.

x x x

x x x x

x x

2 2

2 2

2

1 6 5 0

2 1 6 5 0

2 8 6

+ − − + + =

+ + + + + =

+ + =

( )

00 2

4 3 0

4 4 4 1 32 1

4 42

3

2

2

1

:

x x

x

x

x

+ + =

= − ± − ⋅ ⋅⋅

= − − = −

224 4

21= − + = −

Integroitavat funktiot

x y x

y x x

2 2

2 2

6 5 0

6 5

+ + + =

= − − −

Syksy 2004

50 Vastaukset

Tilavuus

V V V

x x dx x dx

ulko sisä= −

= − − − − − −−

−

∫π π( ) ( )2

3

126 5 1

−−

−

−

−

∫

∫= − − − − + +⎡⎣

⎤⎦

= −

3

1

2 2

3

1

6 5 2 1π

π

( ) ( )

(

x x x x dx

22 8 6

23

4 6

23

2

3

1

3

13 2

x x dx

x x x

− −

= − − −

= −

−

−

−

−

∫ )

/ ( )π

π 44 6 18 36 18

83

+⎛⎝

⎞⎠ − − +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

=

( )

π

Vastaus: Pyörähdyskappaleen tilavuus 83π .

8. Merkitään kaavoja numeroilla

Nu-mero

Kaava Sovellus

(1) sin cos2 2 1α α+ = sin cos2 2

2 21x x+ =

(2) sin sin cos2 2α α α= sin sin cos22

22 2

⋅⎛⎝

⎞⎠ =x x x

(3) cos cos sin2 2 2α α α= − cos cos sin22 2 2

2 2⋅⎛⎝

⎞⎠ = −x x x

(4) tan sin / cosα α α= tan sin / cosx x x2 2 2

=

sin sin sin cos

sin

( )cos )

x x x xx

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ =

=

22

22 2

2

2

2�

xx x

xx x

x

2 2

2

22 2

22

1

2 4

2

2

cos

costan cos

tan

cos

( )

=

=

�

xx

x

x x

x

x

2

22

2 2

2

21

2 2

2

4

=+

=( ) ( )

tan

cos sin

cos

tan� �22

12

2+ tan x

Syksy 2004

51Vastaukset

cos cos cos sin

cos

( )

x x x x

x

= ⋅⎛⎝

⎞⎠ = −

= −

22 2 2

21

3

2 2

2

�

ssin

coscos tan

( )2

2

4

2 22

22

12

x

xx x

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = −⎛

⎝⎞

�

⎠⎠

=−

=−

+

12

1

2

12

2

2

2

1 2

2 2

tan

cos

tan

sin cos

( )x

x

x

x x

�

22

2

12

12

2

4 2

2

cos

tan

tan

( )

x

x

x=

−

+

�

9. f x

x x

x x( )

, ,

, .=

+ − ≤ <− ≤ ≤

⎧⎨⎩

1 1 0

1 0 1

kun

kun

Funktion f kuvaaja, kun f(x + 2) = f(x)

1–1

–1

1

2

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

Funktion f derivaatta

′ =

− < <− < <

⎧⎨⎩

f xx

x( )

,

1 1 0

1 0 1

, kun

kun

Funktio f ei ole derivoituva kärkipisteissä x ∈ z, sillä esimerkiksi

lim ( ) lim ( )

x xf x f x

→ − → +′ = ≠ ′ = −

0 01 1

Funktio g(x)

g x f xx x

x( ) ( )

( ),

( ),= + =

+ + − ≤ + <− +

11 1 1 1 0

1 1

kun

kun

kun

0 1 1

2 2 1

≤ + ≤⎧⎨⎪

⎩⎪

=+ − ≤ < −

−

x

x x

x

,

, kun

kun 0

k− ≤ ≤⎧⎨⎩

=≤ <

−1 0

1

x

x x

x

,

, uun − ≤ ≤⎧⎨⎩ 1 0x

1–1–1

1

2

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

Syksy 2004

52 Vastaukset

Funktio g ei ole derivoituva kärkipisteissä x ∈ z, sillä esimerkiksi

lim ( ) lim ( )

x xg x g x

→ − → +′ = − ≠ ′ =

0 01 1

Funktio h(x)

h(x) = f(x) + f(x + 1) = 1 1 0

1 0 1

+ − − ≤ <− + ≤ ≤

⎧⎨⎩

x x x

x x x

,

,

kun

kun

=

− ≤ <≤ ≤

⎧⎨⎩

1 1 0

1 0 1

,

,

kun

kun

x

x

Täten h(x) = 1 aina, kun x ∈ r.

1–1–1

1

2

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

Funktio g on derivoituva kaikilla muuttujan x arvoilla,sillä h′(x) = 0 aina, kun x ∈ r.

10. Funktio f xx

( ) = 1

Derivaatta erotusosamäärän avulla

′ =−−→

f xf x f x

x xx x( ) lim

( ) ( )0

0

00

Derivaatta pisteessä x = 2

′ =

−

−=

−

−=

→ →f x

x

xx

xx

x

x( ) lim lim lim

) )

2

1 12

2

22

22

2

2 xx

x

xx x

x

→

→

− ⋅−

⎛⎝

⎞⎠

= −⎛⎝

⎞⎠ = −

2

2

22

12

12

14

lim

Vastaus: ′ = −f ( )2 14

Syksy 2004

53Vastaukset

11. Funktio f xx x x x

x( )

, / ,

/ ,=

= ≤4 4 4

4

0 1

1

jos tai

joos 1 4 4/ .x x≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

Osien määrittelyalueet

xx

xx

xx

x

44

44

8

4

1

1 0

1 0

4

≤

− ≤

− ≤

)

Osoittajan nollakohdat

x

x

x

8

8 8

1 0

1

1

− =

=

= ± Nimittäjän nollakohdat

x

x

4 40

0

=

=

x

–+

0

+

1–1

–

xx

44

1≤ , kun −1 ≤ x < 0 tai 0 < x ≤ 1

xx

44

1≥ , kun x ≤ −1 tai x ≥ 1

Funktio f xx x

x x( )

,

/ ,=

− ≤ ≤

≤ −

4

4

1 1

1 1

jos

jos taii x ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪ 1

Integraali f x dxx

dx x dxx

dx( )−∞

∞

−∞

−

−

∞∫ ∫ ∫ ∫= + +1 1

4

1 4

1

1

41

Lasketaan integraali osina

1 134

1 41 1

xdx x dx x

a a a a−∞

−

→−∞

−−

→−∞

−

∫ ∫= = −lim lim / −−

→−∞

− −

⎛⎝

⎞⎠

= − ⋅ − − −⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3

3 313

1 13

lim ( )a

a 113

x dx x4

1

1

1

15 5 51

515

1 15

1 25− −∫ = ⎛

⎝⎞⎠ = ⋅ − ⋅ − =/ ( )

Syksy 2004

54 Vastaukset

1 1341

4

1 1

3

xdx x dx x

a

a

a

a∞

→∞

−

→∞

−∫ ∫= = −⎛⎝

⎞⎠lim lim /

== − − − ⋅⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

→∞

− −lima

a13

13

1 13

3 3

Integraali

f x dx

xdx x dx

xdx( )

−∞

∞

−∞

−

−

∞∫ ∫ ∫ ∫= + + = +1 1 1

34

1 4

1

1

41

225

13

1 115

+ =

Vastaus: f x dx( )−∞

∞∫ = 1 1

15

12. Sarja an

i=

∞

∑ = + + + +1

13

25

37

49

...

n an

1 13

12 1 1

=⋅ +

2 25

22 2 1

=⋅ +

3 37

32 3 1

=⋅ +

n a nnn

=+2 1

Yleinen termi a nnn

=+2 1

, kun n ∈ z+

Raja-arvo lim lim limn n n n

a nn

n

nn

→∞ →∞ →∞=

+=

+⎛⎝

⎞⎠

=2 1 2 1

12

Koska limn n

a→∞

≠ 0 , niin sarja ei suppene.

Vastaus: Yleinen termi on a nnn

=+2 1

, kun n ∈ z+. Sarja ei suppene.

Syksy 2004

55Vastaukset

13.

1–1–5

–10

–15

–20

5

10

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x(x, y)

Suora y = 4x – 21 Suoran kulmakerroin ks = 4

Käyrän y = x4 – 7x2 pisteistä lähinnä suoraa y = 4x – 21 on sellai-nen piste, johon piirretty tangentti on suoran suuntainen.

Käyrä y = x4 – 7x2

Käyrän tangentin kulmakerroin kohdassa x kt = y′ = 4x3 – 14x Käyrän tangentti ja suora yhdensuuntaiset. 4x3 – 14x = 4 2x3 − 7x − 2 = 0 Kokeilemalla yhtälön juureksi saadaan x = 2,

sillä 2 · 23 − 7 · 2 − 2 = 0. Polynomin 2x3 − 7x − 2 tekijänä on x − 2.

2 4 12 2 0 7 2

2

3 2x x

x x x x+ +

− + − −

∓2 4

4 7

3 2

2

x x

x x

±

−

∓∓

∓

4 8

2

2

2x x

x

x

±

−±

0 Nollakohdat

2 7 2 0

2 2 4 1 0

2 0 2

3

2

2

x x

x x x

x x

− − =

− + + =

− = +

( )( )

tai 44 1 0

2 4 4 4 2 12 21

2

x

x x

+ =

= = − ± − ⋅ ⋅⋅

x

x

x

= − ±

= − − ≈ −

= − + ≈ −

4 84

2 22

1 71

2 22

0 29

2

3

,

,

Syksy 2004

56 Vastaukset

Kuvaajasta nähdään, että käyrän lähin piste x = 2 y = 24 − 7 · 22 = −12

Lyhin etäisyys on suoran 4x − y − 21 = 0 etäisyys pisteestä (2, −12).

dax by c

a b

x y

x=

+ +

+

= −

−

⏐ ⏐0 0

2 20 0

2 12

4

( , ) ( , )

yy

d

− =

= ⋅ − ⋅ − −

+ −= = ≈

21 0

4 2 1 12 21

4 1117

17172 2

⏐ ⏐( )

( )00 24,

Vastaus: Lähin piste on (2, –12). Lyhin etäisyys on 1717

.

14. Differentiaaliyhtälö

′ =+

=+

=+

y yx x

dydx

yx x

dyy

dxx x

4

4

4

2

2

2

Jaetaan jälkimmäinen lauseke osamurtoihin

14 4

442

4

2x xAx

Bx

Ax A Bxx x

x x

+≡ +

+= + +

+

+ ) )

Koska lausekkeet ovat identtiset, niin

A B

A

+ ==

⎧⎨⎩

0

4 1

A = 14

ja B = − 14

Jatketaan integrointia

dyy

dxx x

dyy x x

dx

y

=+

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∫ ∫4

14

14 4

1

2

( )

ln⏐ ⏐44

14

4 4

4

1

1

ln ln ln

ln ln

⏐ ⏐ ⏐ ⏐

⏐ ⏐⏐ ⏐

⏐

x x C

yC x

x

− + + ⋅

=++ 4⏐

Syksy 2004

57Vastaukset

=+ 4

4 1⏐ ⏐

⏐ ⏐y

C x

x

,

4

14

4

4

4

yC x

x

y C xx

C

=+

=+

∈

⏐ ⏐

⏐ ⏐

r

Vastaus: y C xx

C=+

∈4

4 , r

15. Fermat’n pieni lause: Olkoon p alkuluku ja a kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin ap −1 ≡ 1 (mod p).

Väite: n2003 ≡ n(mod 2003) eli 2003⏐(n2003 − n)

Luku 2 003 on alkuluku, sillä se ei ole jaollinen – 2:lla, koska se ei ole parillinen – 3:lla, koska sen numeroiden summa ei ole jaollinen 3:lla – 5:lla, koska se ei pääty lukuun 5 – 7:llä, koska 2003 = 286 · 7 + 1 – 9:lla, koska sen numeroiden summa ei ole jaollinen 9:lla – 11:llä, koska 2003 = 182 · 11 + 1 – 13:llä, koska 2003 = 154 · 13 + 1 – 17:llä, koska 2003 = 117 · 17 + 14 – 19:llä, koska 2003 = 105 · 19 + 8 – 23:llä, koska 2003 = 87 · 23 + 2 – 29:llä, koska 2003 = 69 · 29 + 2 – 31:llä, koska 2003 = 64 · 31 + 19 – 37:llä, koska 2003 = 54 · 37 + 5 – 41:llä, koska 2003 = 48 · 41 + 35 – 43:llä, koska 2003 = 46 · 43 + 25 Riittää tutkia kaikki alkuluvut lukuun 43 saakka, koska

2 003 44 8≈ , .

Koska 2 003 on alkuluku, voidaan soveltaa Fermat’n pientä lau-setta, kun n ≠ t · 2003, t ∈ z. Tällöin on voimassa

n2002 ≡ 1(mod 2003) ⏐· n ≠ t · 2003

n2003 ≡ n(mod 2003) Jos n = t · 2003, t ∈ z

n n t t t2 003 2 003 2 002 2 02 003 2 003 2 003 2 003− = − = ⋅( ) ( 003 −⎡⎣

⎤⎦

∈

t

Z

� ��

Täten väite on voimassa, kun n on jaollinen luvulla 2 003.

Syksy 2004

58 Vastaukset

1. a) xx

xx

x x x xx x

x x x x

1 11 1

1 12 2

−+

+= + + −

− +

= + + −

( ) ( )( )( )

112

112 2−

=−

≠ ±x

xx

x,

b) x ax a

xa a a

x a a

2 2

2 2

2

0

4 12 1

5

− − =

= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅

= ±

( ) ( ) ( )

225

212

1 5

52

12

1 5

1

2

x a a a

x a a a

= − = −

= + = +

( )

( )

Vastaus: a) 21

12xx

x−

≠ ±, b) x a x a= − = +12

1 5 12

1 5( ) ( )tai

2. a) x y a

x y a

x+ =− =

⎧⎨⎩⎪ 2

ratkaistaan laskemmalla yhtälöt

puolittain yhteen

2 3x a= : 2

32

x a=sijoitetaan ylempään yhttälöön ja

ratkaistaan y

x y a x a

a y a

y a

+ = =

+ =

= −

32

32

12

x a y a= = −3

212

ja

b) sin ,x x= − < <15

180 270� �

cos x < 0 ja tan x > 0, kun x ∈ ]180°, 270[

Kevät 2005

59Vastaukset

Määritetään cos x

sin cos

cos sin , cos

cos si

2 2

2 2

1

1 0

1

x x

x x x

x

+ =

= − <

= − − nn sin

cos

cos

2

2

15

1 15

25

x x

x

x

= −

= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

Määritetään tan x

tan sincos

x xx

= =−

−=

15

25

12

Vastaus: cos x = − 25

ja tan x = 12

3. Ylläpitokustannukset alussa a Vuokrat 12 % pienemmät eli vuokrat 0,88a

Ylläpitokustannukset nousevat 4 %, eli lopussa 1,04a Vuokrat 10 % suuremmat eli vuokrat lopussa 1,10 · 1,04a

Vuokrien muutos 1 10 1 040 88

1 3, ,,

,⋅ =aa

Vuokrien korotusprosentti 130 % − 100 % = 30 %

Vastaus: Vuokria pitäisi korottaa 30 %.

4. OA i j A

OB xi yj

� ��

� ��= +

= +

7 9 7 9, ( , )

,

piste

pistte B x y

AB x i y j

( , )

( ) ( )� ��

= − + −7 9

Kulma OAB on suora, eli OA AB

� �� ⊥ , josta saadaan

OA AB

i j x i y j

� �� ⋅ =

− ⋅ − + − =−

0

7 9 7 9 0

7

( ) [( ) ( ) ]

(xx y

x y

− − − =+ =

7 9 9 0

7 9 130

) ( )

O

A(7, 9)

B(x, y)

Kevät 2005

60 Vastaukset

Vektorin AB� ��

pituus on puolet vektorin OA� ��

pituudesta, josta saadaan

⏐ ⏐ ⏐ ⏐AB OA

x y

� �� =

− + − = +

12

7 9 12

7 92 2 2 2( ) ( ) ()2

(( ) ( )

( ) ( ) ,

x y

x y

− + − = ⋅

− + − =

7 9 14

130

7 9 32 5

2 2

2 2

Muodostetaan yhtälöpari

7 9 130x y x+ = ratkaistaan ja sijoitetaan alemmpaan

( ) ( ) ,x y− + − =

⎧⎨⎪

⎩⎪ 7 9 32 52 2

7 9 130

7 130 9 7

1307

97

x y

x y

x y

+ == −

= −

:

( ) ( ) ,x y x y

y

− + − = = −

−⎛⎝

⎞

7 9 32 5 1307

97

1307

97

2 2

⎠⎠ + − =

− + − =

22

22

9 32 5

81 949

9 32 5

( ) ,

( )( ) ,

y

yy ; ( )

( ) ( )

⋅ − = ± − −

− + −

49 81 9 9 9

81 9 49 92

y y

y y 22

2

1592 5

130 9 1592 5 130

9 12 25

=

− =

− =

,

( ) , :

,

y

y

,y − = ±9 3 5

y = 3,5 + 9 tai y = −3,5 + 9 y = 12,5 y = 5,5

Ratkaistaan x

y x y

y

= = − = − ⋅ =

=

12 5 1307

97

1307

97

12 5 2 5

5 5

, : , ,

, : xx y= − = − ⋅ =1307

97

1307

97

5 5 11 5, ,

Vektori

OB xi yj i j� ��

= + = +2 5 12 5, , tai OB xi yj i j� ��

= + = +11 5 5 5, ,

Vastaus: OB i j� ��

= +2 5 12 5, , tai OB i j� ��

= +11 5 5 5, ,

Kevät 2005

61Vastaukset

5. Paraabelin huipun x-koordinaatti sijaitsee derivaatan nolla-kohdassa.

Derivoidaan funktio

y = f(x) = 2x2 + bx + 3 f ′(x) = 4x + b


′ =+ =

= −

= −

f x

x b

x b

x b

( )

:

0

4 0

4 4

4 Huipun y-koordinaatti

y f x x bx

f b b b b

= = + +

−⎛⎝

⎞⎠ = ⋅ −⎛

⎝⎞⎠ + ⋅ −⎛

⎝⎞

( ) 2 3

42

4 4

2

2

⎠⎠ + = − + = − +38 4

38

32 2 2b b b

Huippu sijaitsee pisteessä − − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b b4 8

32

, Huippu sijaitsee b:n arvosta riippumatta paraabelilla y = −2x2 + 3,

jos huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön olipa vakio b mikä tahansa.

y x x b y b

b b

= − + = − = − +

− + = − ⋅ −⎛⎝

⎞⎠ +

−

2 34 8

3

83 2

43

22

2 2

,

bb b

b b

2 2

2 2

83 2

163

83

83

0 0

+ = − ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− + = − +

= ideenttisesti tosi

Vastaus: Huippu on − − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b b4 8

32

, ja se sijaitsee kaikilla

vakion b arvoilla paraabelilla y = −2x2 + 3.

Kevät 2005

62 Vastaukset

6. Merkitään CD = h Koska α + β = 90°, niin kulma DCB = α

Kolmiosta ADC saadaan tanα = ha

Kolmiosta CDB saadaan cosα = ha

Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan sinα.

tan cos tan sincos

sincos

cos cos

α α α αα

αα

α α

= =

= ⋅ ≠ 00 0 90

1

1

2 2 2

,

sin cos cos sin

sin si

� �< <

= = −

= −

α

α α α α

α nn

sin sin

sin

2

2

2

1 0

1 1

α

α α

α

+ − =

=− ± −

ratkaisukaava

44 1 12 1

1 52

1 52

1 61

⋅ ⋅ −⋅

= − ±

= − − ≈ −

( )

sin

sin ,

α

α ei kääy , sin

sin

− < <

= − +

1 1

1 522

α

α

Ratkaistaan α

sin

, ...

α

α

α

= − +

=

≈

1 52

38 1727

38�

Lasketaan β

β = 90° − 38,1727…° ≈ 52°

Kolmas kulma on 90°.

Vastaus: Kulmat ovat 38°, 52° ja 90°.

7. Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan aina piirtää ympyrä. a) Säännöllisen kuusikulmion sivun pituus on sama kuin sen

ympäri piirretyn ympyrän säde.

π :n likiarvo kuusikulmion piirin avulla

A B

C

a

a

h

Dα β

α

Kevät 2005

63Vastaukset

ympyrän piiri = kuusikulmion piiri 2πr = 6r ⏐ : 2r π = 3

π :n likiarvo kuusikulmion pinta-alan avulla Kuusikulmion pinta-ala lasketaan kolmion

pinta-alan avulla.

Kolmion pinta-ala

A ab a b a b r a b

A r

= = = = °

= °

12

60

12

602

sin ( , ) , ( , )

sin

� �

ympyrän pinta-ala = kuusikulmion pinta-ala

π

π

π

r r

r r r

2 2

2 2 2

6 12

60 60 32

6 12

32

= ⋅ ° ° =

= ⋅ ⋅

=

sin sin

:

33 32

2 598π ≈ ,

π :n likiarvo kahdeksankulmion piirin avulla

Kolmion OAB kulma α = ° = °3608

45

Kolmion OAB kanta AB = a

a r r rr

a r r

a r

2 2 2

2 2 2

2 2

2 45

2 2 12

2 2

= + − °

= − ⋅

= −

cos

( ) , aa r

a r

> >

= −

0 0

2 2

,

ympyrän piiri = kahdeksankulmion piiri

2 8 2 2 2

4 2 2

3 061

π

ππ

r r r= ⋅ −

= −≈ ,

π :n likiarvo kahdeksankulmion pinta-alan avulla

Kolmion OAB pinta-ala

A r r r= ° = °1

245 1

2452sin sin

60°r r

r

O

A

B

r

ar

α

Kevät 2005

64 Vastaukset

ympyrän pinta-ala = kahdeksankulmion pinta-ala

π

π

π

r r

r r r

2 2

2 2 2

8 12

45 45 12

8 12

12

= ⋅ ° ° =

= ⋅ ⋅

sin sin

:

==

=≈

42

2 2

2 828

ππ ,

Vastaus: a) π π= = ≈3 3 32

2 598, ,

b) π π= − ≈ = ≈4 2 2 3 061 2 2 2 828, , ,

8. Funktiosta f tiedetään, että f on jatkuva ja

f : [0, 1] → r, f x dx( )0

1

0∫ = ja on olemassa x1 ∈ [0, 1] siten,

että f(x1) = 6.

Koska integraali f x dx( )0

1

0∫ = ,

voidaan ajatella, että käyrän ja x-akselin väliin jää akselin ylä- ja

alapuolelle yhtä suuret pinta-alat.

Esimerkiksi 1. asteen polynomifunktio f(x) = ax + b. Lasketaan a

ja b, kun tiedetään, että f f12

0 1 6⎛⎝

⎞⎠ = =ja ( ) .

a b b⋅ + =12

0 ratkaistaan ja sijoitetaan alempaaan

a b⋅ + =

⎧⎨⎪

⎩⎪ 1 6

12

0

12

6

12

6

12

6

12

a b

b a

a b

a a

a

a

+ =

= −

+ =

− =

=

=

–2

–4

–6

2

4

6

1

y

x

Kevät 2005

65Vastaukset

Lasketaan b

b a= − = − ⋅ = −1

212

12 6

f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1]

Tarkistetaan, että funktio f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1] toteuttaa anne-tut ehdot.

Funktio on polynomifunktiona jatkuva ja f : [0, 1] → r

f x dx( )

0

1

0∫ =

f x dx x dx x x( ) ( ) ( )/0

1

0

1

0

12

2

12 6 6 6

6 1 6 1

∫ ∫= − = −

= ⋅ − ⋅ −− ⋅ − ⋅ =( )6 0 6 0 02

f(1) = 6, 1 ∈ [0, 1]

Ehdot toteutuvat. Ehdot täyttävä funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia

arvoja, koska sen määrätty integraali kyseisellä välillä saa arvon nolla. Koska funktio on jatkuva, on aina olemassa jokin muuttu-jan x arvo, jossa funktio saa arvon nolla.

Vastaus: Esimerkiksi f(x) = 12x − 6, x ∈ [0, 1]. Ehdot täyttävä funktio saa aina arvon nolla jossakin pisteessä.

9. Tiheysfunktio

f rr r

( )( ),

=− ≤ ≤⎧

⎨3

16000400 0 20

0

2 kun

muulloin.

⎪⎪

⎩⎪

a) Tikkataulun säde 20 cm, jolloin tikkataulun keskipisteen ja yhdeksikön välisen ympyrän säde on 4 cm. Todennäköisyys saada 9 tai 10 on

P(0 4 316 000

400 3

0

42

0

4

0

4

≤ ≤ = = − =∫ ∫x f r dr r dr) ( ) ( ) /440

116 000

340

4 116 000

4 0 37125

3

3

r r−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ − ⋅ − = == 0 296,

Kevät 2005

66 Vastaukset

b) Viidestä ainakin kolme osuu tarkoitta, että kolme, neljä tai vii-si osuu. Kyseessä on toistokoe eli binomitodennäköisyys, koska tikka joko osuus tai ei osu ko. alueel le. Jokaisen tikan heitto on riippumaton muista heitoista.

Todennäköisyys, että tikka osuu p = 0,296 Todennäköisyys, että ei osu q = 1 − p = 1 − 0,296 = 0,704 P(”Ainakin kolme viidestä”) = P3 + P4 + P5

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅5

30 296 0 704

5

40 2496 0 73 2 4, , , , 004

5

50 296 0 7045 0+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅, ,

≈ 0,158

Vastaus: a) 0,296 b) 0,158

10. Polynomifunktio f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Polynomifunktion ääriarvot sijaitsevat derivaatan nollakohdissa,

ja kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin funktion derivaatta ko. pisteessä.

Funktion derivaatta f ′(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d. Tiedoista saadaan yhtälöryhmä

′ − =− =

==

′ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

f

f

f

f

f

( )

( )

( )

( )

( )

1 0

1 16

0 11

1 11

1 0

⎪⎪⎪⎪

eli

− + − + =− + − + =

=+ + + + =

4 3 2 0

16

11

11

4

a b c d

a b c d e

e

a b c d e

a ++ + + =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ 3 2 0b c d

Sijoitetaan e = 11 muihin yhtälöihin. Tämän jälkeen lasketaan yhteen 2. ja 4. yhtälö ja ratkaistaan a.

2 2 22 27

2 5 2

2 12

a c

a c

a c

+ + == −

= −

Lasketaan yhteen 1. ja 5. yhtälö ja ratkaistaan d.

6 2 0

3

b d

d b

+ == −

Sijoitetaan kaikki alkuperäisen yhtälöryhmän 2. yhtälöön.

Kevät 2005

67Vastaukset

a b c d e a c d b e

c b c

− + − + = = − = − =

− − + − −

16 2 12

3 11

2 12

3

, ,

( bb

b

b

)

:

+ =

=

=

11 16

2 2 12

2

1 14

Lasketaan d: d b= − = − ⋅ = −3 3 1 14

3 34

Sijoitetaan saadut arvot alkuperäisen yhtälöryhmän 1.yhtälöön.

− + − + == −

= = −

− ⋅ −

4 3 2 02 1

2

1 14

3 34

4 2 12

a b c da c

b d

c

,

,

⎛⎛⎝

⎞⎠ + ⋅ − − =

==

3 1 14

2 3 34

0

2 10

5

c

c

c

Lasketaan a: a c= − = − = −2 12

2 12

5 2 12

Polynomi

ax bx cx dx e x x x x4 3 2 4 3 25

254

5 154

11+ + + + = − + + − +

Vastaus: − + + − +52

54

5 154

114 3 2x x x x

11. Alapohjan pituus 7 cm ja leveys 15 cm Yläpohjan pituus 11 cm ja leveys 19 cm

Koska sivutahkojen kallistus-kulma on sama, saadaan poikkileikkauksen sivujen pituudet samalla tavoin käyttäen yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita.

a z

a z2 8

2

4

= ⋅

= z a8

72 2

7

Kevät 2005

68 Vastaukset

Sivujen pituudet korkeudella z

Pituus (cm)

7 2 7 2

47 1

2+ = + ⋅ = +a z z

Leveys (cm)

15 2 15 2

415 1

2+ = + ⋅ = +a z z

Poikkileikkauksen pinta-ala A (cm2) korkeudella z

A z z z z= +⎛

⎝⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ = + +7 1

215 1

214

11 1052

Koska poikkileikkaukset ovat kaikki yhden muotoisia, saadaan rasian tilavuus integroimalla.

V z z dz

z z z

= + +

= ⋅ + ⋅ +

∫ 14

11 105

14

13

11 12

105

2

0

8

0

83 2/ (( )

= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

=

≈

112

8 112

8 105 8 0

3 7043

1234 23

3 2

Vastaus: Poikkileikkauksen pinta-ala kohdalla z on

A z z= + +14

11 1052 (cm2) , rasian tilavuus on 1234 23

cm3.

12. Funktion g(x) erotusosamäärä origossa

g h gh

g h gh

g x xf x

h f h f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

0

+ − = − =

= − ⋅ (( ) ( )0 0h

f

f

on äärellinen,

koska on jatkuvaa origossa

= f h( )

Koska funktio f(x) on jatkuva origossa, niin lim ( ) ( )h

f h f→

=0

0 , joten funktion g(x) derivaatta origossa

′ = + − = =→ →

gg h g

hf h f

h h( ) lim

( ) ( )lim ( ) ( )0

0 00

0 0

Funktio f(x) = ⏐x⏐ + 1 on jatkuva kaikilla muuttujan x reaaliar-voilla, erityisesti siis origossa, joten tulosta voidaan soveltaa.

Vastaus: Derivaatta g′(x) = f(0); tulosta voidaan soveltaa.

z

a8

2Kevät 2005

69Vastaukset

13. Geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos ⏐q⏐ < 1, missä q on sarjan suhdeluku.

Ensimmäinen termi a1 = x2 + 1 Toinen termi a2 = x2 + 3x

Sarjan suhdeluku qaa

= 2

1

Suppenemisehdosta ⏐q⏐ < 1 saadaan epäyhtälö

⏐ ⏐

⏐ ⏐⏐ ⏐

⏐

q qa

a

x xx

x x

xx

< =

++

<

++

< ⋅ +

1

31

1

3

11

2

1

2

2

2

22 11 1 0 1 0

3 1

2 2

2 2

⏐

⏐ ⏐

= + ≠ + >

+ < +

−

x x

x x x

,

(

koska aina

xx x x x2 2 21 3 1+ < + < +)

Saadaan kaksi epäyhtälöä, joiden pitää olla samanaikaisesti voi-massa.

−x2 − 1 < x2 + 3x ja x2 + 3x < x2 + 1 −2x2 − 3x − 1 < x2 + 3x ja 3x < 1

Epäyhtälön 3x < 1 ratkaisu on x < 13

.

Määritetään epäyhtälön −2x2 − 3x − 1 < 0 ratkaisu hakemalla vastaavan yhtälön ratkaisut.

− − − =

= − − ± − − − ⋅⋅ −

= ±

2 3 1 0

3 3 4 2 12 2

3 1

2

2

x x

x

x

( ) ( ) ( )( )

−−

= +−

= −

= −−

= −

43 1

41

3 14

12

1

2

x

x

Päätellään epäyhtälön ratkaisu merkkikaavion avulla.

x–

x–

–1+ –

++–2x2 – 3x – 1

1– –2

Kevät 2005

70 Vastaukset

Epäyhtälöryhmän −2x2 − 3x − 1 < 0 ja 3x < 1 ratkaisu

–x

––1

+1– –2

1–3

Epäyhtälöryhmän ratkaisu on x x< − − < <1 12

13

tai

Vastaus: Sarja suppenee, kun x x< − − < <1 12

13

tai

14. Differentiaaliyhtälö y′2 − xy′ + y = 0

Derivoidaan yhtälön vasen puoli (oikean puolen derivaatta on 0)

D(y′2 − xy′ + y) = 2y′y′′ − y′ − xy′′ + y′

Saadaan yhtälö

2y′y′′ − y′ − xy′′ + y′ = 0 y′′(2y′ − x) = 0 ⏐tulon nollasääntö

y′′ = 0 tai 2y′ − x = 0

Tarkastellaan yhtälöä y′′ = 0. Koska funktion y′(x) derivaatta on nolla, funktio y′ on vakio-

funktio, y′(x) = a. Tällöin funktio y on

y adx ax b= = +∫

Tarkastellaan yhtälöä 2y′ − x = 0

2 0

12

′ − =

′ =

y x

y x

dydx

x

dy xdx

y x c

=

=

= +

∫ ∫

12

1 12

14

2

Ratkaisuiksi saadaan y ax b y x c a b c= + = + ∈ja ja14

2 , , n

Sijoitetaan ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön.

Ratkaisu y = ax + b

Kevät 2005

71Vastaukset

′ − ′ + = = + ′ =

− ⋅ + + =

+ =

=

y xy y y ax b y a

a x a ax b

a b

b

2

2

2

0

0

0

,

−−a2

Ratkaisun y = ax + b funktiosta vain muotoa y = ax − a2 olevat funktiot toteuttavat alkuperäisen differentiaaliyhtälön.

Ratkaisu y x c= +14

2

′ − ′ + = = + ′ =

⎛⎝

⎞⎠ − ⋅ +

y xy y y x c y x

x x x

2 2

2

0 14

12

12

12

14

,

xx c

x x x c

c

2

2 2 2

0

14

12

14

0

0

+ =

− + + =

=

Ratkaisun

y x c= +14

2 funktiosta vain muotoa y x c x= + =14

14

2 2 olevat

funktiot toteuttavat alkuperäisen differentiaaliyhtälön.

Ratkaisujen kuvaajia.

(Ratkaisuja tarkasteltaessa havaitaan, että suorat y = ax − a2 ovat

ratkaisuparaabelin y x= 14

2 tangentteja.)

1–1–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

5

6

7

8

–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

y

x

Vastaus: Alkuperäisen yhtälön ratkaisuja ovat y = ax − a2 ja

y x= 14

2 , kun a ∈ n.

Kevät 2005

72 Vastaukset

15. Funktio f(x) = xsinx Koska f(x + 2nπ) = (x + 2nπ)sin(x + 2nπ) ⏐sin(x + 2nπ) = sinx = xsinx + 2nπsinx = f(x) + 2nπsinx niin pienin positiivinen ääriarvo kuuluu välille ]0, π [

Derivaatan nollakohta Newtonin menetelmällä

x xf x

f x

f x x x

n nn

n+ = −

′′′

′ = +

1

( )

( )

( ) sin coos

( ) cos cos sin

cos

x

f x x x x x′′ = + −= 2 xx x x

xx x x

x x x

x

nn n n

n n n

n

−

= −+−

= +

sin

sin cos

cos sin2

ssin cos

sin cos

x x x

x x xn n n

n n n

+− 2

Taulukoidaan tulokset, kun alkuarvaus on x0 = 2

n x xx x x

x x xn nn n n

n n n+ = +

+−1 2

sin cossin cos

1 2 2 2 22 2 2 2

2 029048+ +−

=sin cossin cos

, ...

2 2,0287578…

3 2,0287578… Iteroinnista havaitaan, että x2 = x3 ainakin kuuden desimaalin

tarkkuudella, joten kysytty derivaatan nollakohta on a ≈ 2,02876.

Lasketaan vastaava ääriarvo f(a) = f(2,02876) = 2,02876 · sin2,02876 ≈ 1,81971

Hahmotellaan kuvaaja, kun x ∈ [0, 2π]

Vastaus: Pienin positiivinen ääriarvokohta on 2,02876 ja vastaa-va ääriarvo 1,81971.

1–1–1

–2

–3

–4

1

2

2 3 4 5 6

y

x

Kevät 2005

73Vastaukset

1. a) 2 1 3 1

2 2 3 3

6 1 6

16

( ) ( )

:

x x x

x x x

x

x

− + + = −− + + = −

= −

= −

b) xx

x x

x

x

x

+ =−

⋅ − ≠

− =

=

= ±

2 12

2 2

4 1

5

5

2

2

( ),

c) x

x

x

x

x

16

16 8 16

816

816

256

2

2

2

2

=

=

= ±

= ±

= ±

Vastaus: a) x = − 16

b) x = ± 5 c) x = ± 2

2. a) Hypotenuusa

x

x x

x

x

x

2 2 2

2

4 6

52 0

52

2 13

7 21

= +

= >

==≈

,

,

b) Kolmion kulmat γ = 90,00°

tan

,

α

α

=

≈ °

4633 69

β = 180° − α − γ = 180° − 33,69° − 90,00° = 56,31°

c) Kolmion ala A ah= = ⋅ =2

6 42

12

Vastaus: a) Hypotenuusan pituus on 2 13 7 21≈ , b) Kolmion kulmat ovat 33,69°, 56,31° ja 90,00°. c) Kolmion ala on 12

x

α γ

β

6

4

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 2 p.

Syksy 2005

74 Vastaukset

3. Päätepisteet A = (3, 1) ja B = (7, 3)

Vektori AB i j i j� ��

= − + − = +( ) ( )7 3 3 1 4 2

Päätepisteet C = (1, 4) ja D = (−3, −2)

Vektori CD i j i j� ��

= − − + − − = − −( ) ( )3 1 2 4 4 6

Vektorien AB CD� ��

ja välinen kulma α

cos

cos(

α

α

= ⋅

= ⋅ −

AB CDAB CD

� ��

⏐ ⏐⏐ ⏐4 44 2 6

4 2 4 6

2820 52

2 2 2 2

) ( )

( ) ( )

cos

cos

+ ⋅ −

+ − + −

= −

=

α

α −−

≈ °

765

150 3α ,

D(–3, –2)

B(7, 3)

A(3, 1)

C(1, 4)

αAB

CD

AB

1–1–1

–2

1

2

3

4

5

6

–2–3 2 3 4 5 6 7 8

y

x

Vastaus: Vektorien välinen kulma on 150,3°.

4. Funktio f(x) = −x2 + ax + a − 3

Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain negatiivisia arvoja, kun sillä ei ole nolla-kohtia.

Yhtälöllä −x2 + ax + a − 3 = 0 ei ole juuria, kun diskrimi-nantti D < 0.

D < 0

a2 − 4 · (−1) · (a − 3) < 0

a2 + 4a − 12 < 0

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

75Vastaukset

Nollakohdat

a a

a

a

a

2

2

1

4 12 0

4 4 4 1 122 1

4 642

6

+ − =

=− ± − ⋅ ⋅ −

⋅

= − − = −

( )

224 64

22= − + =

Merkkikaavio

a+

a+

–6–

–++

2D

D < 0 –6 < a < 2

Vastaus: Funktio saa vain negatiivisia arvoja, kun –6 < a < 2.

5. Puun tilavuus alussa V r halku

= 13

2π

Säde 20 vuoden kuluttua r r r rloppu

= + =13

43

Puun pituus 20 vuoden kuluttua h h h hloppu

= + =16

76

Puun tilavuus 20 vuoden kuluttua

V r h r hloppu

= ⎛⎝

⎞⎠ ⋅ =1

343

76

5681

22π π

Tilavuuksien suhde V

V

r h

r h

loppu

alku

= = ⋅ =568113

5681

3 5627

21

2

1 27

1π

π

Kasvu prosentteina 5627

1 1 07 107− ≈ =, %

Vastaus: Puun tilavuus kasvaa 107 %.

6. Suoran x − y − a = 0, a ≠ 0 ja ympyrän x2 + y2 = a2 leikkauspisteet

x y a

x y a

− − =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

02 2 2

Syksy 2005

+ 2 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

76 Vastaukset

Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y

x − y − a = 0

y = x − a

Sijoitetaan alempaan yhtälöön.

x2 + (x − a)2 = a2

x2 + x2 − 2ax + a2 = a2

2x2 − 2ax = 0

2x(x − a) = 0

2x = 0 tai x − a = 0

x = 0 x = a Pisteiden y-koordinaatit x = 0 : y = 0 − a = −a x = a : y = a − a = 0

Ympyrän x2 + y2 = a2 keskipiste on (0, 0) ja säde r = ⏐a⏐

Suuremman alueen ala

A A A

aa a

a

iso sektori kolmio= +

= + ⋅ =34 2

34

2π π⏐ ⏐ ⏐ ⏐⏐ ⏐ 22 2 212

34

12

+ = +⎛⎝

⎞⎠a aπ

Pienemmän alueen ala

A A A

a a a

pieni ympyrä iso= −

= − +⎛⎝

⎞⎠ =π π⏐ ⏐2 2 23

412

14

ππa a2 212

−

Alojen suhde

A

A

a

a

pieni

iso

=−⎛

⎝⎞⎠

+⎛⎝

⎞⎠

=−

14

12

34

12

14

21

2

1

2

π

π

π))

)

,

12

34

12

24

43 2

23 20 100

2π

ππ

ππ

+

= − ⋅+

= −+

≈

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

77Vastaukset

a) Kun a > 0

b) Kun a < 0

Vastaus: Alojen suhde on ππ

−+

≈23 2

0 100, .

7. Tutkitaan funktion f x xx x

( ) =+ +

2

4 2 1 kasvamista.

Derivoidaan funktio

′ = + + − ++ +

= +

f xx x x x x x

x x

x

( )( ) ( )

( )

2 1 4 2

1

2

4 2 3 2

4 2 2

5 22 2 4 21

2 21

3 5 3

4 2 2

5

4 2 2

x x x xx x

x xx x

+ − −+ +

= − ++ +

( )

( )


−2x5 + 2x = 0

−2x = 0 tai x4 − 1 = 0

x = 0 x4 = 1

x = ±1

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

x2 + y2 = a2

x – y

– a = 0

1–1–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–2–3–4–5 2 3 4 5

y

x

x2 + y2 = a2

x – y

– a = 0 1–1

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–2–3–5 2 3 4 5

y

x

78 Vastaukset

Derivaatan nimittäjän nollakohdat

(x4 + x2 + 1) = 0

x4 + x2 + 1 = 0

Sijoitetaan x2 = t

t t

t

t

2

2

1 0

1 1 4 1 12 1

1 32

+ + =

= − ± − ⋅ ⋅⋅

= − ± −

Nimittäjällä ei ole nollakohtia

Kulkukaavio f ′(−2) = 2,85… > 0 f ′(−0,5) = −0,71… > 0 f ′(−0,5) = 0,71… > 0 f ′(2) = −2,85… < 0 Kyseessä olevat luvut a = 1 + 10−1500 ja b = 1 + 2 · 10−1500 Koska 1 < a < b ja funktio on vähenevä, kun x ≥ 1,

niin f(a) > f(b).

Vastaus: f(a) on suurempi.

8. Laatikossa 2 ruskeaa, 6 mustaa ja 8 sinistä matkapuheli-men kuorta.

A = ”Molemmat kuoret samanväriset”

P(A) = P(”ruskea ja ruskea tai musta ja musta tai sininen ja sininen”)

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

216

115

616

515

816

715

1130

Vastaus: Kuoret ovat samanväriset toden-

näköisyydellä 1130

.

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 2 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 2 p.

+ 3 p.

+ 1 p.

79Vastaukset

9.

(3, 4)

y

x1–1–1

1

2

3

4

5

6

7

–2 2 3 4 5 6 7 8 9

Pisteen (3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö

y − y0 = k(x − x0) ⏐(x0, y0) = (3, 4)

y − 4 = k(x − 3)

y = kx − 3k + 4

Suoran ja x-akselin leikkauspiste. Sijoitetaan y = 0.

0 3 4

3 4 0

3 4

= − += − ≠

= −

kx k

kx k k k

x kk

: ,

Suoran ja y-akselin leikkauspiste. Sijoitetaan x = 0. y = k · 0 − 3k + 4 = −3k + 4

Kolmion ala A k kk

k

k kk

( ) ( )= ⋅ − − +

= − − +

12

3 4 3 4

9 24 162

2

Derivaatta

′ = − − − − +

= − −

A kk k k k

k

k

( )( )( ) ( )18 24 2 2 9 24 16

4

36

2

2

2 448 18 48 324

18 324

18 324

2

2

2

2

2

2

k k kk

kk

kk

− + −

= − −

= − +

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

80 Vastaukset


− + =

=

= ±

18 32 0

16943

2

2

k

k

k

Derivaatan nimittäjän nollakohdat

k

k

2 0

0

=

= Suora on laskeva, joten kulmakerroin k < 0.

Kulkukaavio, kun k < 0

A′(−2) = −2,5 < 0 A′(−1) = 3,5 > 0

Kolmion ala A k kk

k( ) ( )= ⋅ − − +12

3 4 3 4

Pienin ala A −⎛⎝

⎞⎠ = ⋅

⋅ −⎛⎝

⎞⎠ −

−⋅ − ⋅ −⎛

⎝⎞⎠ +⎡

⎣⎢⎤4

312

3 43

4

43

3 43

4⎦⎦⎥

= ⋅ −−

⋅ =12

843

8 24

Vastaus: Pienin ala on 24 kulmakertoimen arvolla k = − 4

3.

10. Lukujonon jäsenet 12

43

74

105

136

, , , , , …

a

112

3 1 21 1

= = ⋅ −+

a

243

3 2 22 1

= = ⋅ −+

a

374

3 3 23 1

= = ⋅ −+

a

4105

3 4 24 1

= = ⋅ −+

a

5136

3 5 25 1

= = ⋅ −+

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

k

–

4– –3+

0

A’(k)

A(k)min

81Vastaukset

Lukujonon n:s jäsen

a n

nn

n= −

+= …3 2

11 2 3, , , ,

Lukujonon raja-arvo

lim limn n

nn

nn

nn

→∞ →∞

−+

=−⎛

⎝⎞⎠

+⎛⎝

⎞⎠

→3 21

3 2

1 13

1

1

,

sillä 2 0n

→ ja, 1 0n

→ kun n → ∞.

Koska

a a nn

nn n nn n+ − = + −

+− −

+=

+ +>

13 1 2

23 2

13

1 20( )

( )( ),

sillä n > 0, niin lukujono on aidosti kasvava.

Poikkeama raja-arvosta

3 21

3 0 001

3 2 3 31

0 001

51

1nn

n nn

n

n−+

− <

− − −+

<

−+

<

+ ) ,

,

00 001

51

0 0011

0 0010

1 500

,

,,⏐ ⏐

⏐ ⏐

⏐ ⏐

n

n

n

+< ⋅ + >

+ > 00

1 5000 1 5000

4999 500

n n

n n

+ > + < −> < −

tai

11

Ei käy, koska n > 0

Koska n > 4 999, niin lukujonon 5 000. jäsen poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaan vähemmän kuin 0,001.

Vastaus: Lukujonon n:s jäsen on

a nn

nn

= −+

= …3 21

1 2 3, , , , . Lukujonon raja-arvo on 3 ja

jonon 5 000. jäsen poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaan vähemmän kuin 0,001.

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 2 p.

+ 1 p.

82 Vastaukset

11. Yhtälö x – 2ln x = 0, x > 0

Tutkitaan funktiota f(x) = x − 2ln x, x > 0

Funktion derivaatta ′ = −f xx

( ) 1 2


1 2 0

2 1 0

2

− =

= ⋅ >

=

x

xx

x Kulkukaavio

′ = − <

′ = >

f

f

( )

( )

1 1 0

3 23

0 Funktion pienin arvo f(2) = 2 − 2ln ≈ 0,6

Koska funktion pienin arvo on 0,6 > 0, niin funktiolla f ei ole nollakohtia ja siten myöskään yhtälöllä x − 2ln x = 0 ei ole reaalijuuria.

12. y = 2x

xy = 11–1

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

–2–3–5 2 3 4 5

y

x

xy = 1

y = – x12

Suorat y x= 12

ja y = 2x sekä hyperbeli xy = l rajaavat

kaksiosaisen alueen, joka on yhtä suuri y-akselin molem-min puolin. Lasketaan koordinaatiston 1. neljännekseen muodostuva ala.

Suoran y x= 12

ja hyperbelin xy = l leikkauspisteet

y x

xy

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

121

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

83Vastaukset

Sijoitetaan y x= 12

yhtälöparin alempaan yhtälöön.

x x

x x

x

⋅ = ⋅

= >

=

12

1 2

2 0

2

2 ,

Suoran y = 2x ja hyperbelin xy = l leikkauspisteet

y x

xy

==

⎧⎨⎩⎪

2

1

Sijoitetaan y = 2x yhtälöparin alempaan yhtälöön.

x x

x x

x

⋅ =

= >

=

2 1 2

12

0

12

2

:

,

Pinta-ala 1. neljänneksessä

A x x dxx

x dx

x

= −⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠

=

∫ ∫2 12

1 12

34

0

12

12

2

0

12/ 22

12

221

4

34

12

0 2 14

2

⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠

= −⎛⎝

⎞⎠ + − ⋅

/ ln

ln

x x

−− − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = − =−

ln

ln ln ln ln ln

12

14

12

2 12

2 212

12 22

2

2

12

12

−= ln

Symmetrisyyden perusteella koko kaksiosaisen alueen ala on 2 ln 2.

Vastaus: Kaksiosaisen alueen ala on 2 ln 2.

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

84 Vastaukset

13. Lauseke L x x

x( ) tan= −

−

3

3π

a) Lausekkeen arvot, kun xn

n= + −π3

10 3 , n = 1, 2, 3, 4, 5

n L(x)

1 4,00694

2 4,00000693

3 4

4 0

5 0

b) Olkoon funktio f(x) = tan x

Tällöin f π π3 3

3⎛⎝

⎞⎠ = =tan

Funktio f(x) = tan x on derivoituva Raja-arvo

lim ( ) lim tan

lim(

/ /

/

x x

x

L x x

x

f x

→ →

→

= −

−

=

π π

π

π3 3

3

3

3

)) − ⎛⎝

⎞⎠

−= ′ ⎛⎝

⎞⎠

f

xf

π

ππ3

33

Funktion derivaatta ′ =f xx

( )cos

12

Derivaatan arvo ′ ⎛⎝⎞⎠ = =f π

π31

3

42cos

Koska ′ ⎛⎝⎞⎠ =f π

34 , niin a-kohdan arvojenkin pitäisi lähes-

tyä neljää. Laskimen tarkkuus ei kuitenkaan riitä lausek-

keen arvojen laskemiseen, kun poikkeama luvusta π3

on

riittävän pieni.

Syksy 2005

+ 2 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

85Vastaukset

14.

(x0, y0)

1–1–1

–2

1

2

3

4

–2–3–4–5 2 3 4 5

y

x

y = y(x)(2x0, 0)

Käyrä y = y(x) Pisteeseen (x0, y0) piirretyn tangentin yhtälö

y y k x x k y x

y y y x x x

− = − = ′

− = ′ −0 0 0

0 0

( ) (

( )(00)

Koska koordinaattiakseleiden väliin jäävä tangentin osa puolittuu, niin tangentin ja käyrän leikkauspiste on koor-dinaattiakseleiden väliin jäävä tangentin osan keskipiste. Täten tangentin ja x-akselin leikkauspiste on (2x0, 0).

y y y x x x x x

yy y x

− = ′ − =

=− = ′

0 0 0 0

0

2

00

( )( )

(00 0 0

0 0 0

2)( )

( )

x x

y y x x

−

− = ′

Edellisestä saadaan differentiaaliyhtälö

− = ⋅

− =

= −

ydydx

x dxxy

dxx

dyy

dyy

ddxx

y x C C

yC

x

y

ln ln ln

ln ln

⏐ ⏐ ⏐ ⏐

⏐ ⏐⏐ ⏐

⏐

= − + >

=

1 1

1

0

⏐⏐⏐ ⏐

= ∈

= ±

=

C

xC

yC

x

y Cx

22

2

r

CC C= ∈2

r

Vastaus: Käyrien yhtälöt ovat y Cx

C= ∈, r .

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 2 p.

86 Vastaukset

15. a) Koska 2345 = 22 · 174 + 1 = 22 · 174 · 2 = (22)174 · 2 = 4174 · 2, niin

2235 ≡ 4172 · 2 ⏐4 ≡ −1(mod5)

≡ (−1)172 · 2

≡ 1 · 2

≡ 2(mod5)

Jakojäännös on 2.

b) Kokeilemalla saadaan

31 ≡ 3(mod6)

32 ≡ 9(mod6)

33 ≡ 27(mod6)

Oletetaan 3n ≡ 3(mod6), että kaikilla n ∈ n, n > 0.

Osoitetaan väite oikeaksi induktiolla.

1° Jos n = 1, niin väite on tosi edellisen kokeilun perus-

teella.

2° Oletetaan, että 3n ≡ 3(mod6) on tosi.

Tällöin

3n + 1 ≡ 3n · 3 3n ≡ 3(mod6) induktio-oletuksen perusteella

≡ 3 · 3

≡ 9

≡ 3(mod6)

Kohtien 1° ja 2° perusteella 3n ≡ 3(mod6) kaikilla n ∈ n,

n > 0. Erikoistapauksena myös 34567 ≡ 3(mod6), joten jakojään-

nös on 3.

Vastaus: a) Jakojäännös on 2. b) Jakojäännös on 3.

Syksy 2005

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

+ 1 p.

Documents

Laudkertaus 001 086 · 2016-06-13 · Osoita laskemalla, ett ... missä a on kolmion mielivaltainen sivu ja α sen vastainen kulma. Funktion ääriarvot 10. ... tämä pienin arvo