LaSIE UMR-7356CNRS Applicationàlamécaniquedesﬂuides … · 2018. 3. 14. · Complexe simpliciel=collection K de simplexes telle que Lesfacesdetouslessimplexesde K sontdans K L’intersectiondedeuxsimplexesde

Calcul Extérieur Discret:Application à la mécanique des fluides

Rama AYOUBDina RAZAFINDRALANDY

Aziz HAMDOUNI

Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur pour l’EnvironnementLaSIE−UMR-7356 CNRSUniversité La Rochelle

Congrès Français de Mécanique 2017-Lille

R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 1 / 25

Plan

1 Motivations

2 Calcul Extérieur Discret (DEC)

3 Discrétisation DEC des équations de Navier-Stokes anisothermes

4 Résultats numériques

5 Conclusion


Calcul extérieur pour les simulations numériques

Géométrie cal. tensoriel−−−−−−−−−→ Opérateurs physiques−−−−−−−→ Equation −→ Discrétisationdiv, grad, rot

Perte de propriétés géométriquesrot grad f = 0, div rotu = 0 discrétisation incohérentediv u = 0 =⇒ u = rotφStokes:

∫∂V

u.dS =∫V

div udV,∫∂S

rotu.dl =∫Su.dS...

Perte des lois de conservation

Géométrie −→ Géométrie −→ Opérateurs −→ Équationdiscrète discrets discrète

Avantagesdiscrétisation cohérente des opérateursIndépendance vis-à-vis des coordonnéesCourbure, torsion discrètes...

Approche par calcul extérieurR. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 3 / 25

Pourquoi le calcul extérieur ?Intérêt en mécanique• Formulation Hamiltonienne iXω = dH ω ∈ Λ2

• En électromagnétisme

rotE = −∂B

∂tdE[ = −∂tB[

rotH = −∂D∂t

+ Jl dH[ = −∂tD[ + J[l

divB = 0 dB[ = 0

divD = ρl dD[ = ρ[l

• Étude des géométries complexes

Champ dans R3 Calcul extérieurOutils: Champs de vecteurs/tenseur Formes différentielles ω ∈ Λk

u = (ui) ∈ R3 ],[←→ u[ = (ui = gijuj) ∈ Λ1

R grad−−−→ R3 rot−−→ R3 div−−→ R Λ0 d−→ Λ1 d−→ Λ2 d−→ Λ3rot grad = 0,div rot = 0 d2 = 0Stokes:

∫∂V u.dS =

∫V div udV, ...

∫∂V ω =

∫V dω

grad f = (df)], rot u = (?du[)], div u = ?d ? u[ avec ?: opérateur étoile de HodgeR. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 4 / 25

Discrétisation du domaine

Ω

k-simplexe dans RN , 0 ≤ k ≤ NEnveloppe convexe de dimension k formée par k + 1 sommets (non dégénérés)

(dégénéré)

Complexe simpliciel=collection K de simplexes telle que• Les faces de tous les simplexes de K sont dans K• L’intersection de deux simplexes de K est une face commune ou vide.

#

Régularité: K forme une variété C0


Orientation

OrientationUn simplexe orienté

[v0, ..., vk

]est la classe d’équivalence de (v0, ..., vk)

par: (v0, ..., vk) ≡ (vp(0), ..., vp(k)) si p permutation paire

Deux orientations possibles:[v0, ..., vk

]et −

[v0, ..., vk

]Sauf pour les 0-simplexes (orientation triviale)[v0, v1

],[v1, v2

],[v0, v2

]des 1-simplexes (arbitrairement) orientés

v0 v1

v2

[v0, v1, v2

]=

[v1, v2, v0

]=

[v2, v0, v1

]un 2-simplexe (arbitraiment) orienté

• Les simplexes de dimension la plus élevée sont de même orientation

Orientation induite sur les facesUn simplexe orienté σ =

[v0, ..., vk

], k > 1, induit une orientation sur

chaque face:[v0, ...v̂i..., vk

]a même orientation que σ si i est paire

Ex: L’orientation induite par[v0, v1, v2

]est

[v1, v2

],−

[v0, v2

],[v0, v1

]v0 v1

v2


Opérateur de bord

Opérateur de Bord: ∂[v0...vk

]=∑k

i=0(−1)i[v0, ...v̂i..., vk

]∂[v0, v1

]= v1 − v0, ∂

[v1, v2

]= v2 − v1, ∂

[v0, v2

]= v2 − v0

∂[v0, v1, v2

]=[v1, v2

]−[v0, v2

]+[v0, v1

]Matriciellement: ∂

[v0, v1

][v1, v2

][v0, v2

] =

−1 1 00 −1 1−1 0 1

v0v1v2

v0 v1

v2

∂[v0v1v2

]=[1 1 − 1

][v0, v1

][v1, v2

][v0, v2

]


Formes discrètes

Formes discrètesContinu: k-forme ω : D −→

∫D ω ∈ R

Avec D domaine de dim kDiscret: k-forme ω : σ ∈ Kk −→< ω, σ > ∈ R

Kk={simplexe orienté de dim k}Kk={k-forme discrète, (ou k-cochaine)}

1

-3

0.5

31

0.3

-28-4

-0.5

3

Differentielle: < dω, σ >=< ω, ∂σ > Stokes:∫D dω =

∫∂D ω

ω1 ω2

ω4ω3

ω2-ω1

ω 3-ω1

ω3 -ω

2

ω3-ω4

ω 4-ω2

0

0

ω ｄω ｄ2ω

∂∂ = ∅ =⇒ d2 = 0R. Ayoub (LaSIE) 23ème CFM 2017 8 / 25

Opérateur de Hodge

? Continu: isomorphisme de Λk −→ Λn−kτ ∧ ?ω = g(k)(τ, ω)vol

Dans R2 avec la métrique Euclidienne et V ol = dx ∧ dy?1 = dx ∧ dy, ?dx = dy, ?dy = −dx

Dans R3 avec la métrique Euclidienne et V ol = dx ∧ dy ∧ dz?1 = dx ∧ dy ∧ dz, ?dx = dy ∧ dz, ?(dx ∧ dy) = dz, ...

*

*

1

| ? σ|

∫?σ?ω ' 1

|σ|

∫σω

dual circumcentrique

? Discret: k-formes−→ n− k-formes < ?ω, ?σ >| ? σ|

=< ω, σ >

|σ|

Autres opérateurs:• Co-différentiel: δ(Λ0) = 0 δω = (−1)nk+1 ? d ? ω si rankω = k + 1• Laplace-Beltrami: ∆ = δd+ dδ• Produit extérieur, Produit intérieur, Dérivée de Lie,...


Équation de Navier-Stokes anisotherme

Formulation tensorielle du problème:∂u

∂t+ div(u⊗ u) + 1

ρgrad p− ν∆u+ βgθ ey = 0,

div u = 0,

∂θ

∂t+ div(uθ)− k∆θ = 0.

(1)

Formulation en calcul extérieur:En appliquant [ , on obtient:

∂v

∂t+ iv]dv +

1

ρdp− νδdv + βgθdy = 0,

δv = 0,

∂θ

∂t− δ(θv) + kδdθ = 0.

(2)

(grad p[) = dp, (rotu)[ = ?dv, div u = δv, (∆u)[ = dδv + δdv = δdv

p = p +1

2ρu2 est la pression dynamique. L’opérateur ] est l’inverse de [, et v = u[.


Résolution

Traitement de la pression dynamiqueAppliquons d à l’équation (2) pour éliminer la pression.

Formulation fonction de courantδv = 0 =⇒ v = − ? dψ (fonction de courant)

Le problème devient:∂

∂td ? dψ + d(iv]d ? dψ)− νdδd ? dψ − βgd(θdy) = 0,

v = − ? dψ,∂θ

∂t− δ(θv) + kδdθ = 0.

(3)


Schéma numériqueLa discrétisation en temps:

ψ n ψ n+1ψ n+1/2

D’abord, ψn+1/2 est approximé par un schéma Euler explicite:[d ? d

]ψn+1/2 = dvn +

∆t

2[−div]ndv

n + νdδdvn + βgd(θndy)] (4)

Une fois ψn+1/2 calculé, la vitesse (plus précisement, le flux) vn+1/2 est déduitEnsuite, ψn+1 est résolu semi-implicitement:[

1

∆td ? d+ div]n+1/2d ? d− νdδd ? d

]ψn+1 =

1

∆tdvn + βgd(θndy). (5)

La vitesse est de nouveau calculéFinallement, la température est résolue avec un schéma implicite:[

1

∆t+ ?d ? vn+1 ∧ ·+ kδd

]θn+1 =

1

∆tθn. (6)

La pression dynamique peut être calculée en utilisant:[δd

]pn+1 = −δiv]n+1dv

n+1 + νδδdvn+1 − βgδ(θn+1dy). (7)


Résultats numériquesÉcoulement Couette et Poiseuille

• Le domaine spatial est le carré unité .• ∆xmean = longeur moyenne des arêtes

Maillage élémentaire

Les simulations avec ∆xmean = 1.39.10−2.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ux

y

ux exactux appr

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ

y

θ exactθ appr

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ux,

θ

y

ux exactux appr θ exactθ appr

Écoulement Couette: Écoulement Couette: Écoulement Poiseuille:température vitesse vitesse et température


Résultats numériquesÉcoulement Couette et Poiseuille

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-2

10-1

Err

or

∆xmean

EψEθEpEvEu

Pour Ψ: ∆x1.84

Pour θ: ∆x1.99

Pour v: ∆x1.15

Pour u: ∆x0.99

Pour p: ∆x1.65

Écoulement Couette: Erreure relative de la vorticité Ψ, température θ, flux v, pressiondynamique et vitesse u

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-2

10-1

Rela

tive e

rror

∆xmean

EψEθEpEvEu

Pour Ψ: ∆x1.369

Pour θ: ∆x1.947

Pour v: ∆x1.133

Pour u: ∆x1.002

Pour p: ∆x1.894

Écoulement Poiseuille: Erreure relative de la vorticité Ψ, température θ, flux v, pressiondynamique et vitesse u


Résultats numériquesTraveling wave

ξ = ax+ by + ct k 6= ν

ux = u1 eλξ/ν +

k2βabg

(c+ w)2(k − ν)θ1 e

λξ/k

uy =w − au1

b,

p = −ρβbgkθ1c+ w

eλξ/k

θ = θ1 eλξ/k

(8)

Avec u1 et θ1 , sont des constantes λ =c+ w

a2 + b2La vitesse est une combinaison de deux exponentiels.


Résultats numériquesTraveling wave

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ψ

x

ψ exactψ appr

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ux

x

ux exactux appr

a)fonction du courant b) vitesse horizontale

1.95

1.96

1.97

1.98

1.99

2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

p

x

p exactp appr

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

θ

x

θ exactθ appr

b) Pression dynamique d) TempératureSolution de propagation d’onde. Profiles suivant y = 0


Résultats numériquesVortex de Taylor-Green

Équation de la solution de Vortex de Taylor-Green anisotherme:ux = − cosx sin y e−2νt,uy = sinx cos y e

−2νt

p = −ρ4

(cos 2x+ cos 2y) e−4νt

θ = cosx cos y e−2kt .

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

y

ux,uy,p,θ

ux exactux appr uy exactuy appr p exactp appr θ exactθ appr

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

ux,u

y,p

,θ

x

ux exactux appr uy exactuy appr p exactp appr θ exactθ appr

Profiles de vitesse, pression dynamique et température le long de x = 0et y = 0 à t = 5


Résultats numériquesVortex de Taylor

-2.0453e-15

0

2.0453e-15

-4.091e-15

4.091e-15divu

Divergence de la vitesse, div u, à t = 5 avec ∆xmean = 6.56× 10−2

Ψ flux u p θ

1.065.10−2 1.003.10−2 1.103.10−2 3.644.10−2 6.526.10−3

Tableau 1: Taylor-green vortex. Erreur relative à t = 5


Résultats numériquesVortex de Taylor

-0.18309

0

0.18309

-3.662e-01

3.662e-01

ux

-0.18324

0

0.18324

-3.662e-01

3.668e-01

uy

a) Vitesse horizontale b) Vitesse verticale

-0.034184

0.00044134

0.035067

-6.881e-02

6.969e-02

p

-0.1828

0.0005773

0.18396

-3.662e-01

3.673e-01

θ

c) Pression dynamique d) TempératureTaylor-Green vortex. Solution approximée à t = 5


Résultats numériquesCavité différentiellement chauffée

u=0

u=0

u=0θ=θL θ=θR

∂θ/∂y=0

u=0 ∂θ/∂y=0

H

Géometrie de la cavié chauffée

Prandtl = 0.71, et deux valeurs de Rayleigh sont utilisées, 104 et 105.Les résultats sont comparés avec ceux de Davis [1] ( Différences Finies).

[1]G. De Vahl Davis. Natural convection of air in a square cavity: A bench mark numerical solution.International Journal for Numerical Methods in Fluids, 3(3):249–264, 1983.


Cavité différentiellement chauffée

travaux présents Ref Davis Travaux présents Ref DavisRa = 104 Ra = 104 Ra = 105 Ra = 105

|ψmid| 0.0484 0.05098 0.09128 0.09142|ψmax| 0.0484 − 0.09403 0.09644xψmax 0.50 − 0.275 0.285yψmax 0.50 − 060 0.602ux,max 0.153 0.162 0.320 0.348

yux,max 0.82 0.823 0.85 0.855

uy,max 0.189 0.195 0.657 0.682

xuy,max 0.12 0.120 0.07 0.066

Nu 2.299 2.234 4.518 4.510

Tableau 2: Cavité différentiellement chauffée . Valeurs caractéristiques


RésultatsCavité différentiellement chauffée

a)Vitesse horizontale

b)Vitesse verticale

Lignes de contour de la vitessepour Ra = 104 (gauche) et Ra = 105 (droite).


RésultatsCavité différentiellement chauffée

a) Fonction du courant

b) Température

La fonction du courant et lignes de contour de la températurepour Ra = 104 (gauche) et Ra = 105 (droite).


Conclusion

Discrétisation cohérente des opérateurs de dérivationVéritable théorie de Calcul ExterieurRésultats cohérents avec les solutions analytiques et numériquesprécédentes.Respect de la physique à travers les lois de conservationCohérence avec les résultats théoriques dans le cas de fluide idéal(Kelvin)Existe d’autre construction de maillage dual liées à d’autreopérateurs de Hodge discretsExiste en version Élement finis (FEEC) "Arnold"Application potentielle dans tous les domaines de la science del’ingénieur (électromagnétisme "Bossavit", imagerie, mécaniquequantique...)


Merci Pour Votre Attention !


MotivationsCalcul Extérieur Discret (DEC)Discrétisation DEC des équations de Navier-Stokes anisothermesRésultats numériquesConclusion

Documents

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