Las matemáticas tienen más talento que los matemáticos

N adie se asuste por este título, pues no se trata de una confronta-ción feminista o machista, sino de algo de otra naturaleza. Enten-

demos por “las matemáticas”, no a las mujeres que se dedican al estu-dio de esta ciencia, sino a los objetos de este saber tan noble y tanantiguo. Por el contrario, cuando hablamos de “los matemáticos”, nosreferimos a todos los cultivadores de las matemáticas, sean hombres omujeres.

Julián Sanz Pascualcuartadim@yahoo.es

AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS

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➠1. La objetividad de las matemáticas

Lo que pretendemos aquí no es otra cosa que poner frente afrente la objetividad del saber de las matemáticas con la subjetivi-dad de quienes las cultivan. Dicho en otros términos, lo que seplantea es el viejo conflicto objeto versus sujeto, que se puede tra-ducir por objeto versus método. Hay que decir, sin embargo, queen las matemáticas este problema, a primera vista al menos, no sepuede plantear en los mismos términos que en las otras ciencias dela naturaleza, y es porque en ese caso no hay un objeto materialsobre el que hacer incidir los sentidos a fin de comprobar la verdado la falsedad de las proposiciones que manejamos. Lo dice muybien una conocida sentencia de Bertrand Russell: “La matemáticaes la ciencia en la que nunca se sabe de qué se está hablando ni silo que se dice es verdad”.

Siendo así, parece razonable pensar que los objetos de las mate-máticas se pueden reducir a un método que sea lo suficientementepotente como para que todos sus enunciados se puedan obtener

como conclusiones absolutamente seguras en unproceso deductivo riguroso, mucho más segurasque a las que se puede llegar mediante la aplica-ción de los sentidos en la observación, que nospueden engañar, pues resulta evidente que con fre-cuencia nos engañan.

➠2. El V postulado

En las matemáticas, sin duda, el ejemplo histó-rico más sangrante del problema lo tenemos en elllamado V postulado de Euclides:

“Por un punto exterior a una recta sólo pasa unaparalela”.

Figura 1.

Se trata de un enunciado que resulta evidentísi-mo, al menos a primera vista. Sin embargo, algunosmatemáticos como Federico Gauss (1777-1855)pensaron que este enunciado carecía de validezprobatoria, pues su certeza se basaba en el testimo-nio de los sentidos, en este caso el de la vista, losque no siempre son de fiar, como ya hemos dicho,menos aún en un saber tan formal como pretendeser el de las matemáticas, que siempre se van amover dentro del más estricto rigor, que por eso sellaman ciencias exactas. Esto llevó a Gauss a buscarotro camino que le ofreciese para el V postuladomayores garantías de certeza, y pensó que podíaencontrarlo en el método deductivo, es decir, lle-gando al enunciado como conclusión firme en unproceso deductivo a partir de los cuatro postuladosanteriores del mismo Euclides.

La primera crítica que merece esta actitud esque así se mitificaba el libro los Elementos de Eucli-des como si fuesen la palabra de Dios, como si setratase de una doctrina que se identificase demanera absoluta con la verdad de los objetos mate-máticos, incuestionable en sí misma por tanto, yademás como único fundamento seguro de estesaber. Es más, los Elementos se convierte así en elobjeto de este saber, que es lo que ocurre con todoslos textos que se mitifican, que se consideran comouna especie de Biblia en la que todas sus proposi-

ciones resultan incuestionables y en la que van aestar encerrados todos los secretos del saber.

En efecto, la mitificación de Euclides ha traídocomo consecuencia una mitificación del formalis-mo matemático, lo que conlleva una identificaciónabsoluta del método con el objeto, lo que práctica-mente hace desaparecer el objeto como fuente deinspiración que permita descubrir verdades nuevasy, consecuentemente, para progresar. Éste es unerror que la matemática formalista lleva arrastran-do y asumiendo desde siglos, de manera muy espe-cial desde Fermat y Descartes, y además como sifuese su mayor virtud.

➠3. La intuición sensible y la intuición intelectual

El primer error de Gauss, que es el de toda lamatemática formalista que le precedió y le siguió, fueno distinguir entre la intuición sensible y la intuiciónintelectual. En efecto, si el V postulado se fundamen-ta en la mera visión, bien poca consistencia va atener su verdad, entre otras razones porque esa para-lela por un punto exterior a la recta originaria, si laprolongamos, en el horizonte se nos junta con ella.El mejor ejemplo práctico lo tenemos en las vías deltren, que, pretendiendo que sean paralelas, visual-mente se nos hacen convergentes, lo que quieredecir que, al menos en apariencia, es decir, visual-mente no mantienen el necesario paralelismo.

Otros buenos ejemplos los podemos encontraren algunos dibujos que nos ofrecen los libros quetratan sobre la percepción. Éste, por ejemplo:

Figura 2. Ilusión de Zöllner.

Las nueve rectas del dibujo son objetivamenteparalelas, lo que se puede comprobar medianteuna regla y un cartabón; sin embargo, a nuestravisión resultan convergentes en una dirección ydivergentes en otra, y esto por influencia de los tra-zos que cortan a cada una. Esto cuando las mira-mos de frente, no así si las miramos de perfil, quenos parecen paralelas.

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Por otra parte, en el caso del V postulado, elargumento de que los sentidos nos engañan resultafalaz, pues por más que a primera vista sea la visiónla que nos ofrece la demostración del V postulado,mejor dicho la mostración, en realidad, la certezano nos la da la visión, sino la imaginación, es decir,no la contemplación de la imagen física, sino lacontemplación de la imagen mental de la que eldibujo es una aproximación mejor o peor hecha.Esto ya lo advirtió Platón hace veinticuatro sigloscuando dijo que los geómetras no argumentansobre los dibujos que hacen, sino sobre las figurasideales de las que esos dibujos son una representa-ción más o menos aproximada. Y en esas figurasideales es donde se cumplen los teoremas, jamásen las figuras físicas aunque estén hechas con losinstrumentos de la más alta precisión imaginable.En este mismo sentido cobran valor las palabras deHenri Poincarè:

“La geometría es el arte de las demostracionesbien hechas sobre dibujos mal hechos”.

En efecto, la comprensión de un teorema geo-métrico no va a depender de la perfección de losdibujos sobre los que se haga la demostración. Enlo que se refiere al V postulado, yo añadiría unargumento tan definitivo como contundente: uninvidente lo puede aceptar como válido de maneraintuitiva, y su certeza no puede nacer de la visión,que no tiene, sino de la figura ideal que él es capazde imaginarse.

Hay que añadir una cuestión lingüística defondo, y es el sentido figurado en que con frecuen-cia se emplean los términos, entre ellos el de “evi-dencia”. Cualquier argumentación que considera-mos correcta a partir de proposiciones queconsideramos verdaderas, al final nos da una con-clusión que consideramos también verdadera. Setrata de una verdad evidente, que lo puede ser paraun invidente, lo que formalmente es una contradic-ción. Para que no lo sea, hay que entender que setrata de una certeza que nada tiene que ver con lavisión, aunque la palabra “evidente” provenga dee-videre (que procede de haberlo visto).

➠4. El problema de la implicación

Otro gran error de Gauss, compartido en otrosmuchos temas por los matemáticos formalistas, esque los cuatro primeros postulados impliquen el V,que sería la razón por la que éste se pudiera dedu-

cir de aquéllos. En realidad es a la inversa: el Vimplicaría los cuatro primeros. Entonces, estos cua-tro primeros se podrían deducir del V, nunca el V delos cuatro primeros.

Hay aquí un problema muy hondo en el que lamatemática formalista no ha sabido o no ha queri-do entrar, y es en el problema de la implicación, yesto para no verse desmontados los fundamentosde su método analítico. Así, esta matemática pre-tende construir el edificio de su saber de abajo arri-ba, lo que es una falacia, pues para construir algocon valor añadido, es necesario que, además de losmateriales, que serían las unidades parte, disponga-mos de una unidad conjunción, que sería la idea enfunción de la cual organizamos esos materiales dela manera adecuada para que en la obra resultantese produzcan las cualidades que buscamos. Entoda obra que no sea amorfa, además de las unida-des parte, es necesario aportar la unidad conjun-ción, que es en la que se valoran, mejor dicho, enla que se potencian las partes.

Esto es aplicable a todas las artes, por no decira todas las cosas. En la arquitectura es evidente,también lo es en la más extendida y más común detodas las artes, en la escritura. Así, un texto no esun montón de palabras, sino una estructura que hade estar inteligentemente montada para que laspalabras den el mensaje que pretende su autor.Pongamos estas dos frases:

“Ésta es gente menuda” y “Menuda gente es ésta”

Las dos tienen las mismas palabras, los mismoscomponentes, pero la composición es distinta, loque hace que den mensajes diferentes. Dicho enotros términos: las dos tienen las mismas unidadesparte, pero distinta unidad conjunción.

➠5. El punto, el segmento rectilíneo, el plano y el espacio

En la matemática formalista, estas propuestassobre los problemas de la implicación que hemosseñalado para el V postulado y que parecen tanelementales, prácticamente no se tienen en cuenta.Así, comienzan por el punto, que sería el elementomás primario, que no tiene extensión alguna, des-pués pasan al segmento rectilíneo, que sería unasucesión de puntos, después al plano, que seríauna reunión de segmentos rectilíneos adosados,finalmente al espacio, que se formaría por una

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superposición de planos. En todo caso, se trataríade entes amorfos, sin ninguna clase de estructuraque nos permitiese iluminar de alguna manera elentendimiento. Esto, como es fácil de demostrar,resulta una falacia, al menos si queremos hacerciencia que permita progresar. Bien entendido queaquí estamos hablando del segmento rectilíneoreal o limitado, del plano real o limitado y del espa-cio real o limitado, los que se corresponden conestos clásicos dibujos:

Figura 3.

Comencemos por el segmento rectilíneo y elpunto. ¿Del segmento al punto podemos pasar deforma analítica? Aparentemente sí, pero realmenteno. En efecto, por muy alto que sea el número porel que dividamos un segmento, cada parte, porminúscula que sea, siempre tendrá alguna longitud,aunque sea infinitesimal. En teoría, sólo cuando lodividamos por infinito el resultado será cero. Pero elinfinito no es un número, sino una abstracción, másaún, una idea negativa, pues la palabra “infinito”quiere decir que se trata de un número no numera-ble, lo que parece y es una contradicción.

Claro que el proceso inverso es igualmenteinviable, el de construir un segmento, que ha detener alguna longitud, a partir del punto, que notiene ninguna. ¿Cuántos puntos necesitaríamospara obtener un segmento de un decímetro, porejemplo? Se dice que infinitos, exactamente losmismos que para el de un kilómetro. Así, tambiénse dice que estos dos segmentos son equipotentes,lo que indica que ninguno de ellos tiene un puntoque no tenga su equivalente en el otro. Así, la equi-potencia es un concepto que realmente no aclaranada que tenga entidad matemática, que nos ilumi-ne de alguna manera para comprender la diferen-cia entre dos segmentos tan desiguales.

Ahora bien, todo esto quiere decir que analítica-mente no es posible pasar del punto al segmento,pero no que no lo sea de alguna manera. En efec-to, es posible hacerlo de manera sintética, que escomo realmente se hace, aunque la matemáticaformalista lo disimule de manera subrepticia. Enefecto, tómese cualquier definición de segmento

rectilíneo o de recta si se quiere, y se podrá com-probar. La más común:

“La distancia más corta entre dos puntos”

En esta definición, además de la noción“punto”, estamos utilizando las nociones “distan-cia”, “más”, “corta”, “entre” y “dos”, una por cadapalabra, que nada tienen que ver con la noción de“punto”, sino que la desbordan. Luego nos estamosmoviendo no en el terreno del análisis, el que nospermite la deducción, sino en el de la síntesis, laque nos permite la intuición. Porque la verdad esque a estas nuevas nociones que nos permitenpasar del punto al segmento no llegamos de mane-ra discursiva o analítica, sino que lo hacemos deforma sintética o por relación.

Del segmento al plano ocurre algo muy similar.Por muchas rectas que adosemos, por millones ymillones de ellas que podamos imaginar, jamásobtendremos ni la más insignificante superficie.Entonces nos vemos obligados a recurrir, comonos ocurría en el segmento rectilíneo, a un plan-teamiento sintético para definirlo. Por ejemplo:

“Un plano está determinado por tres puntosno en la misma recta”

Y al decir “no en la misma recta”, es cuandointuitivamente nos hemos salido de la recta, lo quenos exige conceptualmente haber saltado al plano.Ya en el plano, a estos tres puntos los podemos rela-cionar mediante tres segmentos rectilíneos, lo quenos forma un triángulo, la figura plana más simple.

Figura 4.

Claro que esto nos plantea un problema muyarduo, el de no poder establecer una igualdad ouna ecuación lineal entre esos tres segmentos, sinoúnicamente una inecuación. En efecto, cada ladoes menor que la suma de los otros dos y mayor quesu diferencia:

a < b + c

a > b – c

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Naturalmente que por este camino, por el deuna inecuación, que es un enunciado negativo,bien poco lejos puede llegar la geometría, exigien-do entonces que a estos tres segmentos los poda-mos relacionar mediante una ecuación, que es loque nos permite avanzar. Y esta ecuación no puedeser lineal o de primer grado, como es evidente, sinoque tiene que ser cuadrática o de segundo grado, laque nos da el celebérrimo teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

Una ecuación que, como es bien sabido, tienemuchas soluciones racionales, que es donde sepone de manifiesto el gran talento de los números,sus capacidades objetivas, que pueden iluminarnosen nuestro afán de saber y de progresar. Lo que nosdicen los números es algo que ellos tenían deposi-tado en su más honda esencia, en su sabiduría másde raíz, en lo que podemos llamar su talento, el quenosotros no ponemos, sino que únicamente descu-brimos. Si acaso, el talento del matemático ha con-sistido en idear el lenguaje que nos ha permitidocomunicarnos con los entes matemáticos, en estecaso con los números, para arrancarles sus másrecónditos secretos.

La verdad es que esto, en el fondo, es lo mismoque hace el físico o el biólogo, que para arrancar alos objetos de estos saberes sus secretos, no bastacon que los haya observado, sino que necesita unlenguaje con el que se pueda entender con ellos ytambién consigo mismo, y con el resto de los hom-bres que se dedican a estas cuestiones. Claro quetanto en la física como en la biología hay unosobjetos físicos sobre los que se pueden aplicar lossentidos, especialmente la visión, cosa que no ocu-rre en las matemáticas, bien que esto el matemáti-co lo compensa con la imaginación. Es más, de nohacerlo con la imaginación, los invidentes no seríancapaces de comprender ni la física ni la biología, yde hecho las comprenden. De mi paso por la Facul-tad de Filosofía de la Complutense de Madrid,recuerdo que en la clase de filosofía de naturalezael profesor Saumells nos contaba que en una uni-versidad de París había un profesor de óptica queera ciego.

La dificultad para comprender esto arranca deque nos hemos olvidado o nunca hemos compren-dido a fondo el papel decisivo que en la percepciónjuega la noción de espacio, que es algo que todosmanejamos mejor o peor, también un invidente.Esta noción de espacio, junto con la de tiempo, lasdos formas a priori de la sensibilidad como lasdenominaba Kant, es lo que nos permite la percep-

ción, que es el primer escalón, el de las matemáti-cas, para acceder después al conocimiento científi-co de los objetos de las otras ciencias mediante unsistema de conceptos mucho más rico y más com-plejo. (Tengo escrito, aunque no publicado, un epí-grafe que se titula “De la sensación a la percepcióny al entendimiento por ideas”.)

Del plano al espacio tampoco es posible pasarde manera analítica, sino que hay que hacerlo demanera sintética. En efecto, lo mismo que ocurríaen los dos casos anteriores, superponiendo planos,por muchos, por infinitos que pongamos, jamáspodremos conseguir ni el más insignificante volu-men, que es la cualidad esencial del espacio.¿Entonces, cómo se puede pasar del plano al espa-cio? La geometría analítica lo ha hecho, pero sóloilusoriamente, no realmente. En efecto, esta geo-metría nos da la ecuación de la esfera:

Figura 5.

r2 = x2 + y2 + z2

¿Esta ecuación está ya en el espacio? Aparente-mente sí, pero realmente no, pues las relacionestodavía son cuadráticas, las propias del plano, nocúbicas, como han de ser las del espacio. Si a estaecuación de cuatro cuadrados la convertimos enuna ecuación de cuatro cubos, estaremos ya en elespacio, pues de acuerdo con su naturaleza, lasrelaciones han de ser cúbicas. Y en efecto, la ecua-ción de cuatro cubos tiene muchas solucionesracionales, mientras que la de tres cubos no lastiene (teorema de Fermat). Éstas soluciones, porejemplo:

63 = 53 + 43 + 33

203 = 173 + 143 + 73

Llegados aquí, se podía pensar que la ecuaciónde cuatro cubos sería deducible de la de tres cua-drados o de la de cuatro cuadrados. Para un exper-tísimo matemático formalista no sé si esto será posi-

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ble, mas para un aficionado como es el que estoescribe, cuando me plantee la posibilidad de que laecuación de cuatro cubos tuviese soluciones racio-nales, el único camino que se me ofrecía era con-fiar en el talento de los números y hacerles a ellosla pregunta. Y se la hice con el único método queestaba en mi mano, el tanteo, y con el único len-guaje matemático que está a mi alcance, el delálgebra más elemental. Así, comenzando por loscuatro primeros números, a la tercera éstos me die-ron la respuesta:

33 + 43 + 53 = 63

Planteado esto en el terreno geométrico, parececlaro que de la ecuación de tres cuadrados no sepueda pasar a la de cuatro cubos, pues la primerano implica a la segunda, sino que es a la inversa.Yo, con la ayuda de la geometría, he conseguidopasar de la ecuación 63 = 53 + 43 + 33, a la ecua-ción 52 = 42 + 32 (está publicado). La inversapienso que es imposible a priori. A posteriori sí:después de haber conocido el camino de ida, no esimposible hacer el camino de vuelta, pero hacien-do muchas trampas.

El hecho real, entonces, es que el espacio impli-ca el plano, el plano implica el segmento y el seg-mento implica el punto. Pero de ninguna manera ala inversa, lo que es un sofisma. Pues lo mismoocurre con el V postulado y los cuatro anteriores.No estaría de más que estos matemáticos formalis-tas se diesen una vuelta por los modos de la impli-cación: el ponendo ponens y el tollendo tollens.

Vamos a poner un ejemplo práctico con lengua-je común para que todo el mundo lo pueda enten-der: “Si Juan está enfermo, entonces no va aclase”. El que Juan esté enfermo implica que novaya a clase, pero el que no vaya a clase no impli-ca que esté enfermo, pues puede haber otrosmuchos motivos que le impidan ir a clase, entreotros, que no le dé la gana.

Permítaseme otro ejemplo aún más elemental.Si un edificio de viviendas tiene planta 7ª, estoimplica que tenga planta 6ª (modo ponendoponens). Ahora bien, el que tenga planta 6ª noimplica que tenga planta 7ª. Sin embargo, el queno tenga planta 6ª implica que no tenga planta 7ª(modo tollendo tollens). El ponendo ponens(poniendo pongo o afirmando afirmo) va del impli-cante al implicado:

p → q

El tollendo tollens (quitando quito o negandoniego) va del implicado al emplicante:

Õ p → Õ q

➠6. ¿Qué es tener talento?

Estamos tratando de sostener que los entesmatemáticos tienen más talento que los profesio-nales de las matemáticas. ¿Pero qué es tener talen-to? En el diccionario se define como capacidad.Ahora bien, ¿capacidad activa o pasiva? En prin-cipio, nos referimos a la capacidad activa, lo quequerría decir que sólo consideramos con talento alos seres vivos, lo que excluiría del talento a losentes matemáticos, también a todos los seres delmundo inanimado. Sin embargo la palabra talen-to también significa valor, que sería resistencia acualquier forma de manipulación. Esto en elmundo físico lo podemos entender fácilmente, notan fácilmente en el mundo de los objetos que notienen entidad física, los que no tienen materiali-dad, como los entes matemáticos.

➠7. El talento en el mundo físico

El gran salto intelectual de la vieja filosofíagriega lo dieron los llamados filósofos de la natu-raleza, siendo su descubrimiento esencial éste: lascosas no ocurren por la voluntad de los dioses,sino por necesidad. La consecuencia es que paraprevenir el futuro no hay que ir a los templos aconsultar a los adivinos, sino a la naturaleza paraobservarla y estudiarla. Francis Bacon, en el sigloXVI, dio una sentencia que ha sido proverbial parala ciencia:

“A la naturaleza no se la domina sino obede-ciéndola”.

Esto quiere decir que la naturaleza tiene cuali-dades, que tiene valores, que tiene talento. Elhombre también tiene cualidades, tiene valores,tiene talento. Claro que suponemos que estetalento el hombre lo tiene en alguna parte de suoscuro cerebro y lo ejerce mediante actos de lavoluntad, cosa que suponemos no se da en elmundo inanimado, que no tiene cerebro. Sinembargo este mundo inanimado tiene talento enel sentido de que tiene valores, de que se resiste a

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cualquier tratamiento que no responda a su natu-raleza; es más, es capaz de salir airoso de los pro-blemas que le plantean las diversas situacionespor las que le toca pasar. A veces lo hace bien, aveces lo hace mal y se produce la catástrofe, almenos desde nuestro punto de vista. Es que laidea de catástrofe siempre tendrá un valor relati-vo, nunca absoluto, pues, según el dicho popular,no hay mal que por bien no venga.

En ámbitos más generales, hoy estamos asis-tiendo al deterioro del medio ambiente. El talentodel hombre está luchando contra el talento de lanaturaleza. A veces parece que ha conseguidodoblegarla, pero bien sabemos que a la larga lanaturaleza siempre tiene la última palabra, lo quequiere decir que su talento es mayor, de mayoresalcances temporales por lo menos. Es que el talen-to de la naturaleza se plantea en función de con-ceptos más genéricos o de mayor alcance que losdel hombre. Los conceptos del hombre, los quepodemos considerar más ambiciosos y extensostemporalmente, se refieren como máximo a su his-toria, que apenas alcanza unos cientos de miles deaños; los conceptos en que se mueve la naturalezaalcanzan también a su historia, que, según se supo-ne, se remonta a unos catorce mil millones de años.Y en cuanto a extensión no digamos, la de unosinsignificantes puntitos que somos los hombres enla Tierra, también desde un insignificante puntitoque es la Tierra en el universo mundo hasta eseuniverso que se resuelve en millones y millones deestrellas y que se pierde en la infinitud de distanciasde millones y millones de años luz. Resulta induda-ble que este inmenso universo ha llegado a lo quees hoy y se mantiene en su estado gracias a untalento natural, el que el hombre con sus estudiostrata descubrir.

Para concluir este punto, baste decir que nues-tra ciencia se puede reducir a la lucha del talentohumano contra el talento de la naturaleza en gene-ral, pero también contra los talentos del resto de losseres con los que nos vemos en la necesidad decompetir, digamos mejor de convivir.

➠8. El talento de las matemáticas

Que la naturaleza en general tiene talento, quelas cosas en particular, tanto las del mundo anima-do como las del inanimado, tienen talento, pareceincuestionable, lo que se traduce en la imposibili-

dad de reducirlos a una fórmula que nos permitie-se adelantarnos a cualquiera de sus manifestacio-nes. El problema radica en que se trata de seresdinámicos, temporales por tanto, más temporaleslos del mundo animado que los del inanimado. Sidefinimos el tiempo como lo incierto de las cosas,la imposibilidad de reducirlas a una fórmula, quesería espacial, resulta evidente. Y eso a pesar de laexitosa idea de la teoría de la relatividad que se hallamado el espacio-tiempo, la cuarta dimensión seha supuesto. Si al tiempo lo reducimos a unadimensión más del espacio, lo despojamos de suesencia más pura, de la incertidumbre que le esconsustancial. Es decir, lo desnaturalizamos, loprivamos de su talento natural, nos quedamos sinese recurso que puede darnos alguna razón de lodinámico. Así, esta idea tan cacareada del espa-cio-tiempo es una vuelta atrás de cuatro siglos porlo menos, es una vuelta al viejo cartesianismo,que nos dijo que la esencia de las cosas es el espa-cio, pues todas, según Descartes, son res extensa(sustancia extensa o espacial) a excepción delhombre, que es res cogitans (sustancia pensante).Entonces el único dinamismo que tienen las cosas,la única temporalidad de que pueden disfrutar esla que les da el hombre cuando las piensa, lo queconduce a un subjetivismo muy poco científico,más bien muy retórico. Y la ciencia del siglo XIX,especialmente la física, se ha visto en la necesidadde recuperar el tiempo para poder hacerse con eldinamismo de sus objetos, lo que culminó a prin-cipios del XX con la teoría de la relatividad, bienque con esta tacha, la de identificar el espacio y eltiempo, en lo que pretendía fuese la cuarta dimen-sión.

¿Pero qué ocurre con los entes que no tienenmaterialidad alguna, los que suponemos son elfruto de nuestra imaginación? Parece que elúnico talento que estos seres pueden tener es elque les vaya atribuyendo quienes se los vayanimaginado, quien los vaya creando, el hombresuponemos. Éste debería ser el caso de los entesmatemáticos. Claro que aquí nos enfrentamos aun problema semántico de gran calado: la dife-rencia que hay de una creación a una produc-ción. En la producción, hay una determinaciónde origen, lo que permitiría descubrir a prioritodo lo que pueden ser; la creación en cambiotiene otro estatuto, pues se supone que todo loque pueden ser no está determinado sino por supropio talento, lo que a su vez indica que no selo puede reducir a una fórmula ideada por losmatemáticos.

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➠9. La cuarta dimensión geométrica

Sobre la cuarta dimensión hay mucha literatura,generalmente vana: isoterismo, misticismo, dispara-tes de la imaginación generalmente. Sin embargo,un tratamiento geométrico de la cuarta dimensiónestá prácticamente en blanco, salvo lo que yomismo he publicado en artículos y en libros, losque, por cierto, han solido caer muy mal entre losmatemáticos profesionales. ¿Cuál es la dificultad?

La mayor dificultad de cualquier ciencia paraprogresar son los prejuicios; en la geometría son alos que ha llevado la analítica, que es donde semantiene estancada, pues se ha quedado en elplano. La mejor prueba es que la ecuación funda-mental del espacio, la de cuatro cubos, x3 = y3 +z3 + t3, que tiene muchas soluciones racionales, nohay manera de tratarla en la geometría analítica, almenos en la que se ha hecho hasta hoy.

➠Conclusión

Se trata de una cuestión de un enorme calado,el de si los entes matemáticos son una creación delhombre o son una mera producción. En el primercaso, suponemos que estos entes matemáticos tie-nen su propio talento, lo que nos va a permitir elprogreso aplicando a ellos la intuición. En el segun-do caso, la intuición ha de ser desterrada y nuestroúnico instrumento intelectual ha de ser la deduc-ción, que es el fundamento de la llamada matemá-tica formalista.

Añado que estas ideas ya tienen su historia,siendo uno de los abanderados de ellas Kurt Gödel,más recientemente Roger Penrose. Pero anterioresa ellos, hace más de siglo y medio, nuestro olvida-do filósofo catalán Jaime Balmes (1810-1848) hizosobre el tema un profundo estudio que coincidebásicamente con las ideas de estos dos grandesmatemáticos1.

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1 JULIÁN SANZ PASCUAL, Balmes, un pensador de hoy (Una filosofía de la objetividad), Ed. Elaleph.com (deauno.com) BuenosAires, 2010, pp. 121 y ss. Segovia, otoño 2011.