Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
LAPORAN
PENELITIAN PENGEMBANGAN IPTEKS
( PPI)
SIMULASI PERHITUNGAN RADIASI BENDA HITAM DENGAN
MENGGUNAKAN METODE INTERPOLASI
Tim Pengusul
Feli Cianda Adrin Burhendi, S.Pd, M.Si - 0305089001
Rizki Dwi Siswanto, M.Pd. – 031809901
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2018
iii
SURAT PERJANJIAN KONTRAK
iv
v
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………………...... ii
SPK ……………………………………………………….. iii
DAFTAR ISI ………………………………………………………. v
IDENTITAS PENELITIAN ……………………………………………………….. vi
RINGKASAN ……………………………………………………….. vii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang …………………………………………………............. 1
1.2 Identifikasi Masalah ........ ………………………………………............ 4
1.3 Batasan Masalah ……………………………………………….............. 4
1.4 Rumusan Masalah ………………………………………………............ 4
1.5 Tujuan Penelitian ……………………………………………................. 4
1.6 Kegunaan Penelitian .............................................................................. 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Teori Dasar ……………………………………………........................... 6
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Metode Penelitian ………………………………………………............ 33
3.2 Diagram Alir Penelitian ………………………………………….......... 33
BAB IV HASIL dan PEMBAHASAN
4.1 Hasil dan Pembahasan ……………………………………................... 34
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………. 36
5.2 Saran …………………………………………………………………… 36
DAFTAR PUSTAKA ....……………………………………………………………….. 37
LAMPIRAN
vi
IDENTITAS PENELITIAN
1. Judul Penelitian:
Simulasi Perhitungan Radiasi Benda Hitam Dengan Menggunakan Metode Interpolasi.
2. Tim Peneliti
No. Nama Jabatan Bidang
Keahlian
Instansi
Asal
Aokasi
Waktu
(jam/minggu)
1 Feli Cianda
Adrin Burhendi,
S.Pd., M.Si.
Ketua Pendidikan
Fisika
FKIP 24 minggu
2 Rizki Dwi
Siswanto,M.Pd.
Anggota Pendidikan
Matematika
FKIP 24 minggu
3. Objek Penelitian (jenis material yang akan diteliti dan segi penelitian):
Pertambahan Suhu dan efek Radiasi Benda Hitam
4. Masa Pelaksanaan
Mulai : Bulan: Agustus tahun: 2018
Berakhir : Bulan: Januari tahun: 2019
5. Usulan Biaya Lembaga Penelitian dan Pengembangan UHAMKA
Rp. 11.000.000
6. Lokasi Penelitian (lab./studio/lapangan)
Laboratorium Pendidikan Fisika
7. Instansi lain yang terlibat (jika ada, dan uraikan apa kontribusinya).
Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA tempat penelitian.
8. Temuan yang ditargetkan (penjelasan gejala atau kaidah, metode, teori, produk, atau
rekayasa).
Metode Perhitungan akurat Radiasi Benda Hitam.
9. Kontribusi mendasar pada suatu bidang ilmu (uraikan tidak lebih dari 50 kata, tekankan pada
gagasan fundamental dan orisinal yang akan mendukung pengembangan iptek).
Penelitian ini berkontribusi terhadap uji teoritis dalam perhitungan radiasi benda hitam
sebagai informasi dalam mata kuliah fisika modern.
10. Jurnal ilmiah yang menjadi sasaran (tuliskan nama terbitan berkala ilmiah
internasionalbereputasi, nasional terakreditasi, atau nasional tidak terakreditasi dan tahun
rencanapublikasi).
Jurnal ber-ISSN
vii
RINGKASAN
Telah dirancang program untuk menentukan radiasi efesiensi benda hitam yang melalui
Metode Interpolasi menggunakan bahasa pemrograman Phyton. Untuk mengetahui
level energi pancaran benda hitam diperlukan perhitungan matematis yang mana cukup
rumit dan membutuhkan waktu yang cukup lama, hal ini pasti banyak menghasilkan
kesalahan dalam perhitungan dan pemrosesan data. Program perhitungan yang telah
dirancang ini mampu menghitung efesiensi radiasi benda hitam dengan mudah dan
cepat dengan tingkat kesalahan cukup kecil yaitu 0.5%. Spektrum radiasi cahaya dari
benda bersuhu sekitar 1000°C. Sumbu x menunjukkan frekuensi cahaya, sedangkan sumbu
y menunjukkan intensitas atau kekuatan cahaya. Kalau kita memperhatikan garis lengkung
1000°C, seiring dengan bertambahnya frekuensi cahaya, intensitas cahaya juga makin kuat
alias makin terang. Tapi pada frekuensi cahaya tertentu, garis mencapai puncak, dan
setelah itu intensitas cahaya menurun drastis. Pada suhu 1200°C dan 1400°C, biarpun
suhunya naik, namun secara garis besar grafik garisnya mirip dengan garis 1000°C.
Kata kunci : Radiasi Benda Hitam, Metode Interpolasi, efisiensi
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pengambilan kesimpulan model matematika dari hukum radiasi benda hitam
sempurna yang dibuat oleh Max Planck pada awal abad ke-20 didasarkan pada
gagasan dan ide, yang dianggap bertentangan dengan hukum fisika klasik [1], [2].
Planck memperkenalkan h konstan dengan dimensi aksi mekanis ke dalam hukum
model matematika dari radiasi benda hitam yang sempurna. Ini bertentangan
dengan sifat radiasi elektromagnetik. Namun demikian, model matematikanya
menggambarkan ketergantungan eksperimental dari radiasi ini. Konstanta yang
diperkenalkan olehnya menunjukkan fakta bahwa tempat radiasi tidak terus
menerus, tetapi dalam paket. Itu bertentangan dengan hukum Reyleigh-Jeans,
yang didasarkan pada gagasan tentang sifat gelombang kontinu dari radiasi
elektromagnetik, tetapi menggambarkan ketergantungan eksperimental dalam
rentang frekuensi rendah saja [2]. Karena model matematika hukum Reyleigh -
Jeans hadir dalam model matematika hukum radiasi benda hitam sempurna, itu
berarti bahwa hukum Planck tentang radiasi benda hitam sempurna didasarkan
pada gelombang yang eksklusif dan sifat gagasan sel radiasi [2], [3], [4], [5].
Proses radiasi gelombang berkelanjutan dengan proses portal merupakan
dasar yang aman untuk pengakuan krisis fisika klasik. Sejak saat itu, fisikawan
mulai berpikir bahwa bidang aplikasi hukum fisika klasik dibatasi oleh dunia
makro. Mereka berpikir bahwa hukum kuantum lain beroperasi di dunia mikro,
itulah sebabnya fisika, yang menggambarkan dunia mikro, harus disebut fisika
kuantum. Perlu dicatat bahwa Max Planck mencoba memahami campuran
gagasan fisik tersebut dan mengembalikannya ke cara perkembangan klasik, tetapi
gagal [3], [5]. Untuk pertama kalinya, model matematika hukum radiasi benda
hitam sempurna oleh ide-ide termodinamika diungkapkan oleh Yu.M. Ageev [10],
[13].
2
Bertahun-tahun kemudian, kita harus mengakui bahwa batas antara hukum
fisika klasik dan fisika kuantum belum ditetapkan. Masih sulit untuk
menyelesaikan banyak masalah dari dunia mikro, dan banyak masalah dianggap
belum terpecahkan dalam kerangka konsep dan konsep yang ada, mengapa kita
harus kembali ke upaya Max Planck untuk mendapatkan model matematika dari
hukum radiasi benda hitam sempurna berdasarkan konsep klasik [6], [7], [8], [10],
[11].
Pertimbangan kondisi lingkungan, fisiografis, keterbatasan data dari
berbagai titik di permukaan bumi ini dapat menghambat penyusunan model.
Selanjutnya untuk menyusun suatu model yang baik disiasati dengan melakukan
intepolasi. Interpolasi merupakan suatu metode atau fungsi matematika untuk
menduga nilai pada lokasi-lokasi yang datanya tidak tersedia. Interpolasi adalah
proses memprediksi nilai pada suatu titik yang bukan merupakan titik sampel,
berdasarkan pada nilai-nilai dari titik-titik di sekitarnya yang berkedudukan
sebagai sampel [9]. Penentuan nilai baru didasarkan pada data yang ada pada titik-
titik sampel pengamatan (lihat gambar 1). Tanpa adanya langkah interpolasi ini,
maka analisis spasial tidak dapat dilakukan secara akurat.
Gambar 1. Interpolasi Sebagai Prosedur Untuk Memprediksi nilai-nilai yang tidak
diketahui berdasarkan nilai-nilai yang diketahui dari titik-titik yang diketahui.
3
Seperti yang sudah dijelaskan pada paragraf-paragraf sebelumnya untuk
meningkatkan Sumber Daya Manusia terutama dalam bidang pendidikan maka
kita harus melakukan penelitian. Penelitian kami kali ini adalah penelitian
tentang “Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan menggunakan
metode interpolasi”.
Berdasarkan uraian di atas, maka diasumsikan bahwa penelitian kami
kali ini dapat menambah wawasan kita tentang fisika dan aplikasinya. Oleh
karena itu, pada penelitian ini akan dilakukan sebuah penelitian yang
mencoba memberikan sebuah solusi bagi permasalahan di atas yang
diharapkan dapat meningkatkan hasil belajar dan mengubah persepsi kita
semua terhadap penelitian menjadi lebih positif. Hal itu dikarenakan
penelitian juga merupakan salah satu cara pembelajaran yang lebih bermakna
sehingga dapat membekali kita semua dalam menghadapi permasalahan
hidup yang akan kita hadapi dalam kehidupan sehari-hari.
1.2. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya,
maka masalah pada penelitian ini dapat diidentifikasikan sebagai berikut.
1. Apakah yang dimaksud dengan Fisika ?
2. Apakah yang dimaksud dengan Radiasi Benda Hitam?
3. Apakah yang dimaksud dengan Metode Interpolasi?
1.3 Batasan Masalah
Semua permasalahan yang diuraikan di atas tidak mungkin untuk
diteliti semua karena keterbatasan penelitian ini. Di samping itu, semua
variabel dalam penelitian ini tidak memungkinkan untuk dikontrol semua.
Oleh karena itu, dalam penelitian perlu dilakukan pembatasan masalah.
Adapun pembatasan masalah pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
“Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan menggunakan metode
interpolasi”.
4
1.4 Rumusan Masalah
Berdasarkan batasan masalah di atas, maka rumusan masalah
penelitian ini adalah “Simulasi perhitungan radiasi benda hitam dengan
menggunakan metode interpolasi”.
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui Perhitungan radiasi
benda hitam dengan menggunakan metode interpolasi. Selanjutnya, hasil
penelitian ini bisa digunakan sebagai rujukan untuk memilih penelitian yang
lebih tepat terhadap aplikasi materi fisika yang telah dipalajari di perguruan
tinggi.
1.6 Kegunaan Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat kepada beberapa
pihak yang terlibat langsung terhadap penelitian ini, yaitu sebagai berikut.
1. Bagi mahasiswa, penelitian ini diharapkan dapat membantu untuk
meningkatkan wawasan tentang aplikasi materi fisika dan dapat
mengurangi kebosanan selama pembelajaran berlangsung.
2. Bagi dosen, hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan
alternatif pilihan untuk melakukan penelitian lain yang lebih efektif
dan memiliki inovasi lebih menarik.
5
BAB II
TEORI DASAR
2.1 Radiasi Benda Hitam
Pertanda pertama yang menunjukkan bahwa gambaran gelombang klasik
tentang radiasi elektromagnet (yang berhasil baik menerangkan percobaan Young dan
Hertz pada abad ke sembilan belas yang dapat dianalisis secara tepat dengan persamaan
Maxwell). Tidak seluruhnya benar, tersimpulkan dari kegagalan teori gelombang untuk
menerangkan spektrum radiasi termal yang diamati- Jenis radiasi elektromagnet yang
dipancarkan berbagai benda semata-mata karena suhunya. Teori gelombang juga
ternyata gagal menjelaskan hasil percobaan lain yang segera menyusul, seperti
percobaan yang mempelajari pemancaran elektron dari permukaan logam yang disinari
cahaya (efek foto listrik) dan hamburan cahaya oleh elektron-elektron (efek Compton).
Gambar 2.1
Ekperimen Distribusi Radiasi
Sebuah objek dipertahankan bersuhu T1. Radiasi yang dipancarkan objek ini
kemudian diamati dengan suatu peralatan yang peka terhadap panjang gelombang
radiasi. Sebagai contoh, zat perantara dispersif (penyebar cahaya) seperti prisma dapat
digunakan untuk pengamatan ini karena panjang gelombang berbeda yang
menembusinya akan teramati pada sudutnya yang berbeda pula. Dengan
menggerakkan detektor radiasi ke sudut è yang berbeda-beda, kita dapat mengukur
intensitas radiasi pada suatu panjang gelombang tertentu. Karena detektor bukanlah
6
suatu titik geometris (akan sangat tidak efektif), tetapi mengapit suatu selang sudut dè
yang sempit, maka yang sebenarnya kita ukur adalah jumlah radiasi dalam selang dè
pada è, atau yang setara dengan ini dalam selang dë dan ë. Besaran ini disebut intensitas
radiant (radiant intensity) R, sehingga hasil percobaannya adalah deretan nilai R dë
sebanyak nilai ë berbeda yang kita pilih untuk diukur. Bila percobaannya kemudian
diulangi tetapi dengan menaikkan suhu T2 menjadi lebih tinggi, maka kita simpulkan
dua sifat penting radiasi termal berikut:
1. Intensitas radiant total terhadap seluruh panjang gelombang berbanding lurus suhu
T berpangkat empat, maka dapat ditulis
∫ 𝑅 𝑑𝜆 = 𝜎 𝑇4∞
0 (2.1)
Persamaan ini disebut hukum Stefan dan σ dikenal sebagai tetapan Stefan-Bolzman,
nilai tetapan σ didapati sebesar
𝜎 = 5.6703 × 10−8 𝑊
𝑚2𝐾4 (2.2)
2. Panjang gelombang dimana masing-masing kurva mencapai nilai maksimumnya,
yang disebut λmaks (walaupun ia bukanlah suatu panjang gelombang masimum),
menurun jika suhu pemancar dinaikkan, ternyata sebanding dengan kenaikan suhu,
sehingga λmaks∝1𝑇 dari percobaan didapati bahwa nilai tetapan bandingnya
adalah
𝜆𝑚𝑎𝑘𝑠𝑇 = 2.898 × 10−3𝑚. 𝐾 (2.3)
Hasil ini dikenal sebagai hukum pergeseran Wien.
Pada tahap ini kita akan mencoba untuk menganalisis dan memahami hasil-
hasil ini (ketergantungan R pada λ, hukum Stefan dan hukum Wien) berdasarkan teori
termodinamika dan elektromagnet. Kita dapat melihat berbagai benda karena cahaya
yang mereka pantulkan. Pada suhu ruang, radiasi termal ini paling banyak terdapat
dalam daerah spektrum inframerah (λmaks≅ 10𝜇𝑚), pada daerah mata kita tak lagi
peka. Bila benda tersebut dipanasi, meraka akan mulai memancarkan cahaya tampak.
7
Bila T bertambah, maka λmaks menurun, untuk suhu sedang, λmaks akan menurun ke
daerah cahaya tampak. Sebagai contoh, sepotong logam yang dipanaskan, mula-mula
tampak memijar dengan memancarkan warna merah tua, dan bila suhunya terus
dinaikkan warnanya berangsur berubah menjadi semakin kuning.
Radiasi yang dipancarkan benda tidak hanya bergantung pada suhu, tetapi juga
pada sifat-sifat lainnya, seperti rupa benda, sifat permukaannya, bahan pembuatnya.
Radiasinya juga bergantung pada apakah dia memantulkan atau tidak memantulkan
radiasi dari lingkungan sekitar yang jatuh padanya. Untuk menghilngkan beberapa
hambatan ini, kita tidak akan meninjau benda biasa, melainkan yang permukaannya
sama sekali hitam (benda hitam). Jika sebuah benda sama sekali hitam, maka cahaya
yang jatuh padanya tidak ada yang ia pantulkan sehingga sifat-sifat permukaannya
dengan demikian tidak dapat diamati. Perluasan ini masih belum cukup
menyederhanakan persoalan untuk memungkinkan untuk menghitung spektrum radiasi
yang terpancarkan. Karena itu, kita memperluasnya lebih lanjut ke suatu jenis benda
hitam istimewa sebuah rongga, misalnya bagian dalam dari sebuah kotak logam,
dengan sebuah lubang kecil pada salah satu dindingnya. Lubang itulah, bukan
kotaknya, yang berperan sebagai benda hitam. Radiasi dari luar yang menembusi
lubang ini akan lenyap pada bagian dalam kotak dan kecil kemungkinan untuk keluar
kembali dari lubang tersebut; jadi tidak ada pantulan yang terjadi pada benda hitam
(lubang) tersebut. Karena radiasi yang keluar dari lubang itu merupakan cuplikan
radiasi di dalam kotak, maka pemahaman tentang hakikat radiasi di dalam kotak akan
memungkinkan kita untuk memahami radiasi yang keluar melewati lubang kotak itu.
Perhitungan klasik bagi energi radiant yang dipancarkan untuk tiap-tiap
panjang gelombang sekarang terbagi menjadi beberapa tahap perhitungan. Tanpa
dikemukakan pembuktiannya, berikut dikemukakan bagian-bagian penting dari
penurunannya. Pertama yang menyangkut perhitungan jumlah radiasi untuk masing-
8
masing panjang gelombang, kemudian sumbangan tiap-tiap gelombang bagi energi
total dalam kotak, dan terkahir intensitas radian yang berkaitan dengan energi itu.
1. Kotak berisi gelombang-gelombang berdiri elektromagnet. Jika semua
dinding kotak adalah logam, maka radiasi dipantulkan bolak-balik dengan
simpul (node) medan elektrik terdapat pada tiap-tiap dinding (medan listrik
haruslah nol di dalam sebuah konduktor).
2. Jumlah gelombang berdiri dengan panjang gelombang antara λ dan λ+dλ
adalah
𝑁(𝜆)𝑑𝜆 =8𝜋𝑣
𝜆4 𝑑𝜆 (2.4)
V adalah volume kotak. Untuk gelombang berdiri satu dimensi, seperti pada
tali tegang sepanjang L, maka panjang gelombang yang diperkenankan
adalah ă= 2L/n, (n=1,2,3...). jumlah gelombang berdiri yang mungkin
dengan panjang gelombang antara ă1 dan ă2 adalah sehingga dalam
selang antara ă dan ă+dă akan terdapat sebanyak gelombang yang
berbeda.
3. Tiap-tiap gelombang memberi saham energi KT bagi radiasi di dalam
kotak. Hasil ini diperoleh dari termodinamika klasik. Radiasi dalam kotak
berada dalam keadaan kesetimbangan termal dengan dinding pada suhu T.
Radiasi ini terpantulkan oleh dinding kotak karena ia diserap dinding dan
kemudian dipancarkan dengan segera oleh atom-atom dinding, yang dalam
proses ini bergetar pada frekuensi radiasi.
4. Untuk memperoleh intensitas radiant dari kerapatan energi (energi per
satuan volume) kalikan dengan c/4. Hasil ini juga diperoleh dari teori
elektromagnet dan termodinamika klasik.
9
Dengan menggabungkan unsur-unsur di atas, maka intensitas radiant yang
diperkirakan adalah:
Intensitas radiant = (jumlah gelombang per satuan volume) × (energi per
gelombang) × (energi radiant per rapat energi)
𝑅(𝜆) =8𝜋
𝜆4 𝑘𝑇 𝑐
4 (2.5)
Hal ini dikenal sebagai rumus Rayleigh-Jeans. Penurunannya menggunakan
teori klasik elektromagnet dan termodinamika, yang merupakan usaha maksimal dalam
menerapkan fisika klasik untuk memahami persoalan radiasi benda hitam.
Fisika baru memberi tafsiran benar terhadap radiasi termal dikemukakan oleh
fisikawan Jerman, Max Planck. Bencana ultraviolet disebabkan karena intensitas
radiant yang diramalkan hukum Rayleigh-Jeans menjadi sangat besar pada daerah
panjang gelombang pendek (pada ferkuensi yang tinggi). Yang diperlukan adalah suatu
cara untuk membuat R=0 bila λ=0 atau v=∞. Planck mengemukakan bahwa sebuah
atom yang bergetar hanya dapat menyerap atau memancarkan energi kembali dalam
bentuk buntelan-buntelan energi (yang disebut kuanta). Jika energi kuanta berbanding
lurus dengan frekuensi radiasi, maka bila frekuensinya meningkat, energinya akan turut
pula menjadi besar, tetapi karena tidak satu pun gelombang yang dapat memiliki energi
melebihi KT, maka tidak ada gelombang berdiri yang energi kuantumya lebih besar
daripada KT. Ini secara efektif membatasi intensitas radiant ferkuensi tinggi (panjang
gelombang pendek), dan dengan demikian memecahkan persoalan bencana ultraviolet.
Dalam teori Planck, setiap osilator dapat memancarkan atau menyerap energi
hanya dalam jumlah yang merupakan kelipatan bilangan bulat dari suatu energi dasar
𝐸 = 𝑛𝜀 𝑛 = 1,2,3, … (2.6)
n menyatakan jumlah kuanta. Selanjutnya, energi setiap kuanta ini ditentukan
oleh frekuensi menurut:
10
𝜀 = ℎ 𝑣 (2.7)
h adalah suatu tetapan banding yang dikenal sebagai tetapan Planck.
Berdasarkan anggapan ini, spektrum intensitas radiant yang dihitung Planck adalah:
𝑅(𝜆) = (𝑐
4) (
8𝜋
𝜆4) ⌈(
ℎ𝑐
𝜆)
1
𝑒ℎ𝑐
𝜆𝑘𝑇−1
⌉ (2.8)
Gambar 2.2
Hukum Planck
Kesesuaian antara percobaan dan rumus Planck diilustrasikan pada gambar di
atas, yang memperlihatkan betapa baiknya kurva rumus Planck berimpit dengan data
pengamatan.
Penurunan hokum Stefan dan rumus Plack memberikan hubungan tetapan
Stefan-Boltzman dan tetapan Planck berikut:
𝜎 =2𝜋5𝑘4
15𝑐2ℎ3 (2.9)
Karena kita mengetahui σ dari percobaan, maka kita dapat menentukan nilai
tetapan Planck dari hubungan ini dan hasilnya adalah
11
ℎ = 6.626 × 10−34𝐽. 𝑠 (2.10)
Pendekatan terhadap suatu nilai fungsi dibutuhkan pada beberapa kasus dimana
nilai tersebut akan sulit didapatkan dari suatu pendekatan analisis. Pendekatan numeris
untuk hal tersebuat adalah dengan interpolasi. Interpolasi pada suatu fungsi F(x) dapat
dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan diantaranya linear, polinomial atau
parabolik, trigonometri, exponensial, logaritmik, dan sebagainya. Pada bagian ini akan
dibicarakan beberapa model interpolasi diantaranya : linear, kuadratik, beda terbagi
newton, bead maju newton, beda mundur newton, dan interpolasi dengan fungsi spline.
2.2 Interpolasi
Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang
grafiknya melalui beberapa titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling
banyak berupa polinomial.
Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Diberikan n+1 titik data yang berupa pasangan bilangan : ),,),,),, (((1100
fxfxfxnn
dengan xxx n,,,
10 semuanya berlainan. Akan dicari suatu polinom xp
n yang
pada setiap xi mengambil nilai f
i yang diberikan, yaitu :
fxpfxpfxpnnnnn
,,,1100 yang mempunyai derajat n atau kurang.
Polinom pn
disebut penginterpolasi. Nilai-nilai x jsering disebut simpul.
12
Nilai fj bisa berupa nilai-nilai fungsi matematis (tetapi xf tidak diketahui) atau
nilai yang diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom xpn
digunakan
untuk mendapatkan nilai-nilai aproksimasi xf yang tidak dilakukan pengukuran.
Secara khusus, terdapat 2 macam pengertian untuk interpolasi, yaitu :
Interpolasi : x terletak di antara simpul-simpul yang ada.
Ekstrapolasi : x tidak terletak di antara simpul-simpul → biasanya kurang
cermat.
Interpolasi dan Ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu
fungsi yang belum diketahui, dimana fungsi itu bersifat kontinyu dalam interval
tertentu.
2.3 Interpolasi Polinomial
Beberapa interpolasi polynomial yang akan dibahas adalah interpolasi linier,
interpolasi kuadratik, interpolasi beda terbagi Newton, dan interpolasi Lagrange.
2.3.1 Interpolasi Linier
Interpolasi linear menggunakan sarana garis lurus melalui fxfx 1100,,, .
Interpolasi linier dapat digunakan untuk mengestimasi nilai xf untuk x yang tidak
ada di dalam data dengan menggunakan 2 titik terdekat dengan x.Secara detil, dapat
dijelaskan sebagai berikut
- Diberikan 2 titik fx 00, dan fx 11
, dengan x0≠ x1
:
13
Garis lurus yang menghubungkan kedua titik merupakan grafik dari polinomial
linear :
xx
fxxfxxp x
01
1001
1
- Cara penulisan rumus yang lain :
xxfxxfp x10001
, dengan xx
ffxxf
01
01
10,
, disebut beda
- Dengan demikian, fungsi p1
menginterpolasi nilai xi pada titik f
i,
i = 0.1, atau 1.0,1
ifxpii
error
f0
x0 x1x
P1(x) f1
y=f(x)
Gambar 4.1 Ilustrasi interpolasi linier
Dengan demikian, algoritma interpolasi linier dapat disusun sebagai berikut
Input : xi, i = 1, 2 ; f(xi), i = 1, 2 ; P1
Output : linier
Langkah-langkah :
Untuk i = 1, 2 lakukan
Ai := xi
14
Bi := f(xi)
faktor := 12
12
A- A
B - B
linier := B1 + (faktor * (P1 – A1))
2.3.2 Interpolasi Kuadratik
Interpolasi kuadratik adalah interpolasi yang memakai sarana polinom
berderajat paling tinggi dua yang kurvanya melalui 3 titik
fxfxfx dan221100
,,,,,
Polinomial kuadratik yang melalui ketiga titik tersebut adalah :
xxxfxxxxxxfxxfp x2101010002
,,,
dengan xx
ffxxf
01
01
10,
dan
xx
xxfxxfxxxf
02
1021
210
,,,,
Dapat dibuktikan bahwa :
fxp002
fxx
ffxxfxp
101
01
01012
dan
fxp222
15
2.3.3 Interpolasi Beda Terbagi Newton
Interpolasi linear dan kuadratik merupakan kasus khusus interpolasi derajat yang
lebih tinggi. Dalam hal ini, digunakan konsep beda terbagi sebagai berikut:
Untuk order pertama dihitung dari derivatif fungsi xf secara diskrit :
xxxx
ffxxf 10
01
01
10,,
Untuk order yang lebih tinggi, dipakai beda terbagi order yang lebih rendah secara
rekursif:
xx
xxfxxfxxxf
02
1021
210
,,,,
xx
xxxfxxxfxxxxf
03
210321
3210
,,,,,,,
Sehingga:
xx
xxfxxfxxf
n
nn
n
0
101
0
,,,,,,
→ disebut rumus beda terbagi Newton.
Dengan demikian, interpolasi beda terbagi Newton dapat dirumuskan sebagai
berikut:
xxfxxxx
xxxfxxxxxxfxxfp
nn
nx
,,
,,,
010
210101000
16
Dari penjelasan dan perumusan di atas, algoritma Interpolasi Beda Terbagi Newton
dapat disusun sebagai berikut:
- Tujuan: menghitung zpn
dari zf pada z
- Algoritma interpolasi :
input : fxfxfx nn,,,,,,
1100 ; z
output : zpn
Langkah-langkah :
1. Untuk j = 0, 1, 2, … , n lakukan: fxfjj
:
2. Untuk m = 1, 2, … , n-1 lakukan
Untuk j = 0, 1, 2, … , n-m, lakukan
xxxxxxx
xxxjmj
mjjjmjj
mjjj
fff
111
1
,,,,,,,,
3. fp z00
:
4. Untuk k = 1, 2, 3, … , n lakukan
xxxxpp kkkkfzzzz ,,
0101
2.3.4 Interpolasi pada Titik yang Berjarak Sama
Rumus interpolasi beda terbagi Newton berlaku untuk simpul yang berjarak
sembarang. Untuk simpul-simpul yang berjarak sama, maka didapatkan xi:
nhhh xxxxxxx n
002010 ,,2,,
17
dengan h adalah jarak antara 2 simpul. Ini akan menyederhanakan rumus interpolasi.
2.3.4.1 Rumus Beda Maju Newton (Gregory-Newton)
Didefinisikan :
fffjjj
1
→ beda maju pertama
fffjjj
1
2 → beda maju kedua
fffj
k
j
k
j
k 1
1
1
→ beda maju ke-k
Dari definisi-definisi di atas, ternyata dapat dibuktikan bahwa :
00 !
1,, f
hkf
k
kkxx ....(1)
dengan xx jjh
1 (konstan)
Pembuktian:
Pembuktian dilakukan dengan memakai induksi, bahwa memang benar untuk k =
1, karena x1 = x0 + h, sehingga
001
01
01
10!1
11],[ f
hff
hxx
ffxxf
Dengan anggapan (1) benar untuk semua beda maju orde k, maka rumus berlaku
untuk k+1. digunakan xk+1 = xo + (k+1)h dan j = 0.
18
0
1
1
01
011
10
)!1(
1
!
1
!
1
)1(
1
)1(
],,[],,[],...,[
fhk
fhk
fhkhk
hk
xxfxxfxxf
k
k
k
k
k
k
kk
k
Rumus di atas merupakan rumus (1) dengan k+1 sebagai ganti k. Dengan demikian
rumus (1) terbukti.
Bila ditetapkan bahwa rhxx 0 atau h
xxr 0 , 0 ≤ r ≤ n, maka rumus interpolasi
menjadi :
00
2
00
0
0
!
11
!2
1f
n
nrrrf
rrfrf
fs
rxPxf
n
sn
s
n
dengan koefisien-koefisien binomial didefinisikan dengan :
!
121,1
0 s
srrrr
s
rr
Perhitungan terhadap eror yang terjadi :
tfnrrrn
rx n
n
n
11
1!1
dengan 1nf adalah turunan f ke (n+1) dan t terletak antara x dan xn
2.3.4.2 Rumus Beda Mundur Newton (Gregory-Newton)
19
Didefinisikan beda mundur pertama dari f pada xj : 1 jjj fff
Beda mundur kedua : 1
2
jjj fff
Beda mundur ketiga : 1
11
j
k
j
k
j
k fff (k = 1,2, …)
Maka rumus interpolasi beda mundur Newton menjadi:
00
2
00
0
0
!
11
!2
1
1
fn
nrrrf
rrfrf
fs
srxPxf
n
sn
s
n
dengan nrh
xxrhrxx
0,0
0
2.3.5 Interpolasi Lagrange
Diberikan nn fxfxfx ,,,,,, 1100 dengan ix sebarang. Lagrange mempunyai
pemikiran mengalikan jf dengan suatu polinom yang bernilai 1 pada jx dan 0 pada n
titik simpul lainnya dan kemudian menjumlahkan n+1 polinom tersebut untuk
memperoleh polinom interpolasi tunggal berordo n atau lebih kecil.
Rumus interpolasi lagrange:
- Polinomial interpolasi mempunyai bentuk :
xbfxbfxbfxbfxL nnn ...221100
Dengan bk(x) = suatu polinomial derajat “n”
Polinomial bk(x) dapat dicari dengan menggunakan n+1 persamaan constraint.
- Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut :
20
nifxL iin ,,2,1,0;)(
Sehingga :
0001100000 ... fxbfxbfxbffxL nnn
nnnnnnnn
nnn
fxbfxbfxbffxL
fxbfxbfxbffxL
...
...
11000
1111110011
Untuk mempermudah penyelesaian persamaan constraint, maka dipilih :
ki
kixb ik
;0
;1
Persamaan tersebut telah memenuhi persamaan constraint.
- Bentuk persamaan polinomial bk(x) adalah sebagai berikut :
)())(())()(( 11210 nkkkk xxxxxxxxxxxxCxb
Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu bk(xk) = 1
Maka konstanta Ck dapat dicari dengan rumusan berikut :
)())(())((
1
1110 nkkjkkkk
kxxxxxxxxxx
C
Dengan demikian semua polinomial bk(x) diperoleh :
21
)())((
)())()((
)())()((
)())((
110
31022
32011
2100
nnn
n
n
n
xxxxxxCxb
xxxxxxxxCxb
xxxxxxxxCxb
xxxxxxCxb
di mana :
)())()((
1
)())()((
1
)())()((
1
)())()((
1
1210
0
2321202
0
1312101
1
0302010
0
nnnnn
n
n
n
xxxxxxxxC
xxxxxxxxC
xxxxxxxxC
xxxxxxxxC
Jadi polinomial bk(x) dapat ditulis secara lengkap :
)())()((
)())()((
)())()((
)())()((
)())((
)())((
)())((
)())((
1210
1210
2321202
3102
12101
20
1
02010
21
0
nnnnn
nn
n
n
n
n
n
n
xxxxxxxx
xxxxxxxxxb
xxxxxxxx
xxxxxxxxxb
xxxxxx
xxxxxxxb
xxxxxx
xxxxxxxb
Sehingga persamaan polinomial dari lagrange interpolation dapat dirumuskan
sebagai berikut :
22
)())(())((
)())(())(()(
1110
1110
0 nkkkkkkk
nkkn
k
knxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxfxL
Atau jika )())(())()(( 11210 nkkn xxxxxxxxxxxxxl
maka rumus interpolasi lagrange adalah :
k
n
k kk
kn f
xl
xlxLxf
0 )(
dengan :
nxxxxxxxl 210 untuk k = 1,2, …, n-1
nkkk xxxxxxxxxl 110
110 nn xxxxxxxl
Dengan demikian : kkn fxl dan 0jk xl jika j ≠ k
Djuhana (2002) melakukan analisis kesalahan metode Lagrange. Kesalahan itu
terjadi saat metode ini ingin memberikan aproksimasi suatu fungsi f(x) dengan
polinomial Ln(x) yaitu :
1000
)!1(
)())((
n
nn fn
xxxxxxxLxfxE
di mana tergantung pada nilai x dan tidak diketahui di dalam interval x, x0 dan xn
Algoritma interpolasi polinomial lagrange dapat dirumuskan sebagai berikut :
Input : n, ix , i = 0, 1, 2, … , n ; f( ix ) ; x
23
Output : Plag = ln(x)
Langkah-langkah :
Plag := 0
Untuk i = 0,1,2, …, n lakukan
faktor := 1
Untuk j = 0,1, … , n
Jika j ≠ i, faktor := faktor * ji
j
xx
xx
Plag := Plag + faktor * f(xi)
2.4. Fungís-fungsi Interpolasi Non-Polinomial
Interpolasi dan ekstrapolasi adalah salah satu metode pendekatan atau
aproksimasi. Interpolasi dan ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai
dalam suatu fungsi yang belum diketahui, di mana fungsi itu bersifat kontinyu dalam
interval tertentu.
Terdapat beberapa kelemahan penggunaan interpolasi polinomial:
Titik-titik penginterpolasi harus dipilih dengan hati-hati. Jika tidak, bisa terjadi
perbedaan yang sangat besar antara fungsi dan hasil interpolasi seiring bertambah
banyaknya titik yang digunakan.
Contoh:
Interpolasi terhadap 21
1)(
xxf
pada interval [-5,5]
24
Gambar 4.2 Grafik interpolasi dengan N=6
Gambar 4.3 Grafik interpolasi dengan N=11
Kurva yang dihasilkan tidak smooth (mulus).
- Dengan interpolasi linier:
Ide dasar dari interpolasi linier: pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu
bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan
menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.
-4 4
1
0
1
-4 40
25
_
_
1
1
2
2 3 4
Gambar 4.4 Interpolasi linier untuk data di atas
- Dengan interpolasi kuadratik (polinomial derajat 2):
_
_
1
1
2
2 3 4
Gambar 4.5 Interpolasi kuadratik untuk data di atas
- Dengan interpolasi polinomial derajat 6:
1
1
2
2
3
3
4
4
26
Gambar 4.6 Interpolasi derajat 6 untuk data di atas
2.4.1 Interpolasi dengan Fungsi Spline
Smoothness bisa didapatkan dengan interpolasi polinomial secara lokal
menggunakan fungsi-fungsi spline. Polinomial-polinomial berderajat rendah (yang
berbeda derajatnya) digunakan untuk tiap interval [Xi, Xi+1]
Definisi fungsi spline
Misalkan nxxx .....10 adalah serangkaian titik. Fungsi s merupakan spline
berderajat k jika:
a. s adalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinterval [Xi, Xi+1].
b. )1(,.....,', ksss semuanya kontinyu pada interval [X0, XN]
Contoh-contoh fungsi spline:
a.
85
1)( 2
x
xx
x
xs
43
31
10
x
x
x
Merupakan fungsi spline derajat 2. Derajat masing-masing fungsi paling tinggi
adalah 2. Bukan merupakan spline kubik (derajat 3) karena derivatif titik 2 tidak
kontinyu, yaitu 0, 2, 0, untuk masing-masing interval.
b.
x
xxs
12)(
21
10
x
x
Merupakan spline linier.
Soal: bagaimana dengan:
27
a.
4325
254
12
12
)(
23
23
2
23
xxx
xxx
xx
xxx
xs
43
31
10
02
x
x
x
x
b.
2
3
)1(3)1(53
2)(
xx
xxxf
]4,1[
]1,0[
x
x
2.4.2 Interpolasi Spline Kubik Alamiah (Natural Cubic Spline Interpolation)
Diberikan n titik data (xi, yi) dengan x1 < x2 < ... < xn dan a = x1, b = xn. Akan
dicari fungsi s(x) yang terdefinisi pada [a,b] yang menginterpolasi data:
ii yxs )( , i = 1, ....., n
Agar s(x) mulus, )(' xs dan s”(x) harus kontinyu supaya kurva mengikuti bentuk umum
dari interpolasi linear, )(' xs tidak boleh berubah terlalu banyak pada titik-titik.
Syaratnya, s”(x) bernilai sekecil mungkin.
Maka s(x) harus memenuhi:
a. s(x) berupa polinom kubik pada masing-masing interval ],1[ jj xx untuk j = 2, 3,
....., n
b. 0)(")(" 1 nxsxs
s(x) disebut fungsi spline kubik alamiah yang menginterpolasi data (xi, yi).
Untuk membentuk s(x), dapat digunakan cara sebagai berikut:
Misalkan Mi, ....., Mn dengan )(" ii xsM , i = 1, ….., n. s(x) akan dinyatakan dalam
Mi.
28
s(x) persamaan kubik pada tiap selang ],1[ jj xx , maka s”(x) akan linear pada selang
tersebut. Fungsi linier akan ditentukan oleh 2 titik dan dipakai
11)(" jj Mxs dan jj Mxs )("
Maka 1
11 )()()("
jj
jjjj
xx
MxxMxxxs untuk jj xxx 1
Antiderivatif ke-2 dari s”(x) pada ],1[ jj xx yang memenuhi kondisi penginterpolasi
jjjj yxsyxs )(,)( 11 adalah:
)(
)()(
)(6
)()()(
1
11
1
3
11
3
jj
jjjj
jj
jjjj
xx
yxxyxx
xx
MxxMxxxs
])())[((6
1111 jjjjjj MxxMxxxx ...... (1)
untuk jj xxx 1
Rumus tersebut diterapkan pada tiap interval ],[],.....,,[ 121 nn yxxx
s(x) akan kontinyu pada [a, b] karena syarat ij yxs )( . Agar )(' xs kontinyu pada [a,
b] maka )(' xs pada ],[ 1 jj xx dan ],[ 1jj xx harus mempunyai nilai yang sama pada
titik batas x = xj, j = 2, ....., n-2.
Dihasilkan: 1
1
1
1
1
111
1
1
636
jj
jj
jj
jj
j
jj
j
jj
j
jj
xx
yy
xx
yyM
xxM
xxM
xx
j = 2, 3, ....., n-1 ....... (2)
29
→ Terdapat n-2 persamaan
Dengan asumsi sebelumnya : M1 = Mn = 0 ....... (3)
Akan dihasilkan M1, ....., Mn yang akan disubstitusi pada (1) menghasilkan fungsi
penginterpolasi s(x).
2.5 Interpolasi Rasional dan Pecahan Bersambung
Fungsi-fungsi rasional (yang merupakan perbandingan polinomial) diperlukan
untuk karakteristik tertentu, misalnya asimtot.
Sebagai contoh: untuk melihat bagaimana kondisi x
x 12 di dekat 0 tidak dapat di
dekati dengan polinomial.
Misal Nxxx ,.....,, 10 dengan N = n + m adalah titik-titik dimana f(x0), ..... f(xN)
diketahui. Maka untuk tiap i = 0, ..... N,
m
imi
n
ini
xbxb
xaxaaxf
.....1
.....)(
1
110
Ini dapat ditulis dengan:
)().....)((..... 1110 i
m
imii
n
in xfxbxbxfxaxaa
yang merupakan sistem linear.
Tetapi sistem tersebut ternyata belum tentu mempunyai penyelesaian dan jika ada,
penyelesaian tersebut belum tentu unik. Dengan demikian, diperlukan metode lain.
Salah satu metode yang dapat dipakai adalah metode pecahan bersambung
(Continued Fractions) yang menggunakan beda invers (inverse differences).
30
Definisi beda invers : untuk fungsi f pada titik-titik x0, ….., xN :
Inverse differences ke-0 : ][][ ii xfx
Inverse differences ke-1 : ][][
],[ji
ji
jixx
xxxx
Secara umum:
],,.....,[],,.....,[],,,.....,[
rpqp
rq
rqpxxxxxx
xxxxxx
Contoh soal:
Untuk data x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 dengan nilai-nilai fungsi 2, 1, 3, 2.5, didapatkan
tabel beda invers sebagai berikut.
i xi fi ],[ 0 ixx ],,[ 10 ixxx ],,,[ 3210 xxxx
0 -1 2
1 0 1 -1
2 1 3 2 0.3333
3 2 2.5 6 0.2857 -21.0084
Salah satu perhitungan: 7
2
61
20
],[],[],,[
3010
31
310
xxxx
xxxxx
Dari definisi beda invers di atas, dapat diturunkan rumus interpolasi pecahan
rasional bersambung, seperti uraian berikut ini:
31
0
0
00
)()()()()(
xx
xfxfxxxfxf
],[][
0
0
0xx
xxx
..... (1)
],,[],[],[
],[][)(
10
1100
10
0
00,1
xxx
xxxxxx
xx
xxxx
Substitusi terhadap (1) maka:
],,[],[
][)(
10
110
0
0
xxx
xxxx
xxxxf
Maka )(1,1 x didapatkan dengan mengganti x pada ],,[ 210 xxx dengan x2
13
17
1
12)(
31
1,1
x
x
x
xx
Dengan demikian, rumus interpolasi pecahan rasional bersambung secara umum:
.....],,,[],,[
],[
][)(
3210
2210
110
0
0
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxxf
32
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Desain Penelitian
Metode merupakan salah satu bagian penting dalam melakukan
penelitian, karena berfungsi sebagai strategi untuk mencapai tujuan yang
diinginkan. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode
kajian teoritis dan komputasi.
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Dasar dasar dan
Lanjut Univ. Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA jalan tanah Merdeka,Ps.
Rebo dan di tempat tinggal peneliti Jln. Paus Dalam Blok D 15,
Rawamangun. Penelitian dilaksanakan mulai bulan juli 2018.
3.2 Diagram Alir Penelitian
Gambar 3.1 Alur Penelitian
Pencarian literatur
Memilih Model dan Formalisme
Menggunakan Model dan
Formalisme untuk
menghasilkan data teoritis
Proses Komputasi
Membandingkan Hasil
Teoritis dengan data hasil
eksperimen
Selesai
33
BAB IV
HASIL DAN DISKUSI
4.1 Hasil dan Diskusi
Grafik spektrum radiasi benda hitam bisa dilihat di bawah. Grafik dari
spektrum itu bisa dilihat di bawah ini. Garis lengkung paling bawah adalah spektrum
radiasi cahaya dari benda bersuhu sekitar 1000°C. Sumbu x menunjukkan panjang
gelombang, sedangkan sumbu y menunjukkan intensitas atau kekuatan cahaya. Kalau
kita memperhatikan garis lengkung 1000°C, seiring dengan bertambahnya frekuensi
cahaya, intensitas cahaya juga makin kuat alias makin terang. Tapi pada frekuensi
cahaya tertentu, garis mencapai puncak, dan setelah itu intensitas cahaya menurun
drastis. Pada suhu 1200°C dan 1300°C, biarpun suhunya naik, namun secara garis
besar grafik garisnya mirip dengan garis 1000°C. Hanya bedanya, titik puncaknya
semakin tinggi dan sedikit bergeser ke kanan (ke frekuensi cahaya yang lebih besar).
Kita juga bisa melihat bahwa frekuensi cahaya pada intensitas tertinggi berbanding
lurus dengan suhu benda tersebut.
Gambar 4.1 Hasil Interpolasi data
34
Saya menggunakan fortran95 untuk mengeksekusi data dan menggunakan gnuplot untuk
memplot data tersebut agar menjadi grafik. Dari gambar terlihat bahwa hasil perhitungan
interpolasi sangat sesuai dengan teori max planck.
Berikut langkah algoritma dan kode program Python :
from scipy.constants import codata
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
D = codata.physical_constants
h = D['Planck constant'][0]
k = D['Boltzmann constant'][0]
c = D['speed of light in vacuum'][0]
konstantaWien = 2.897e-3
def planck(T, l):
# calculate the Planck Law for a specific temperature and an array of wavelengths
p = c*h/(k*l*T)
result = np.zeros(np.shape(l))+1e-99
# prevent underflow - compute only when p is "not too big"
calcMe = np.where(p<700)
result[calcMe] = (h*c*c)/(np.power(l[calcMe], 5.0) * (np.exp(p[calcMe])-1))
return result
# compute for a range of temperatures
Tbody=np.arange(2000, 12000, 2000)
Lpeak = konstantaWien / Tbody
plot1 = plt.figure()
ax = plot1.add_subplot(111)
# compute Planck function for a range of wavelengths and temperatures:
for ti,T in enumerate(Tbody):
# wavelengths used: from 0.1 * peak to 100* peak
Lvec = np.logspace(-1, 2, 500) * Lpeak[ti] # wavelengths: 1 nm - 1 mm
r = planck(T, Lvec)
ax.plot(Lvec*1e9, r, label='T=%d'%T)
# create axes and labels
plotAs = 'linear' # set to 'log' for log plot
ax.set_xlabel('lambda (nm)')
ax.set_ylabel('radiance (W/sr/m^3)')
ax.set_title('Black body spectrum')
ax.legend()
ax.set_xscale('log')
ax.set_yscale('log')
ax.set_ylim (1e-8, 2.5e14)
plt.show()
35
Persamaannya sedikit sulit memang, tapi lumayan cocok dengan grafik spektrum
radiasi benda hitam. Kelemahan grafik Rayleigh-Jeans bisa diatasi sehingga garis
pada frekuensi cahaya tinggi menjadi cocok. Tapi sayangnya, garis pada frekuensi
cahaya rendah malah sedikit menyimpang bila dibandingkan dengan grafik Rayleigh-
Jeans.
36
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Penggunaan Metode Interpolasi untuk perhitungan efisiensi radiasi benda hitam dapat digunakan karena
sesuai dengan data praktikum atau eksperimen yang telah dilakukan oleh wien. Sehingga ini mempermudah
pengambilan data dan peramalan data dengan akurat untuk level energi yang berbeda.
5.2 Saran
Peneliti sebaiknya menggunakan software lain selain phyton untuk menambah variasi
hasil yang lebih baik.
37
BAB VI
LUARAN
6.1 Bukti Submit Jurnal
Hasil penelitian kali ini telah di submit di Jurnal Omega. Dipilihnya jurnal ini dikarenakan Jurnal Omega
telah Terakreditasi secara nasional dengan ISSN : 2502-2318 (online) dan ISSN : 2443-2911 (Print). Dimana
Jurnal ini menerbitkan makalah ilmiah tentang hasil studi dan tinjauan literatur dalam bidang fisika,
pendidikan menengah dan pendidikan tinggi.
ISSN: 2502-2318 (Online)
ISSN: 2443-2911 (Print)
Homepage: http://omega.uhamka.ac.id/
Accredited by RISTEKDIKTI, Decree No: 14/E/KPT/2019
ω o m e g a
Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)(Journal of Physics and Physics Education)
Simulation of Radiation Calculation of Black Body by Using theInterpolation Method
Feli Cianda Adrin Burhendi1,∗, Rizky Dwi Siswanto2, Wahyu Dian Laksanawati1
1Physics Education Study Programme, Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKAJl. Tanah Merdeka, Pasar Rebo, Jakarta 13830, Indonesia
2Mathematics Education Study Programme, Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKAJl. Tanah Merdeka, Pasar Rebo, Jakarta 13830, Indonesia
(Received 15 Februari 2019; published 6 July 2019)
AbstractSimulation of radiation calculation of black body by using the interpolation method is designed to facilitate the
determination of radiation in black matter efficiency. Fortran programming languages are chosen for computa-
tional processes. The calculation program that has been designed is able to calculate the efficiency of black body
radiation easily and quickly with a fairly small error rate of 0.5%. The light radiation spectrum of objects is
around 1000, 1100, 1200, and 1300 ◦C. The x axis shows the wavelength, while the y axis shows the intensity or
strength of light. If we pay attention to the curvature of 1000 ◦C, along with the increasing frequency of light,
the intensity of light is also getting stronger aka more bright. But at certain light frequencies, the line reaches
the peak, and after that the light intensity drops dramatically. At temperatures of 1200 ◦C and 1300 ◦C, even
though the temperature rises, the outline of the line graph is similar to the line 1000 ◦C. This is in accordance
with the existing theoretical and experimental results.
c© 2019 The Authors. Published by Pendidikan Fisika UHAMKA
Keywords: black body radiation, interpolation method, efficiency
DOI: 10.31758/OmegaJPhysPhysEduc.v5i1.23
∗Corresponding author. E-mail address: [email protected]
Introduction
In Physics, black body is objects absorbs alllight falling him, no light that went or reflected.The term black body was first introduced by gus-tav kirchoff in 1862. Light emitted by objects blackcalled black body radiation. If objects is heatedat high temperature emitting light waves lookedin lenght, like metal, incandescence long time laterthere will candescant, and brings forth light [1].
Knowledge of the laws governing thermal radi-ation of bodies enables understanding and descrip-tion of large number of phenomena in nature, and
operation principles for a wide range of devices usedin everyday life and scientific applications. As ex-amples, it is worth mentioning cosmologic research,the greenhouse effect, heat transfer processes usedin harvesting of energy from renewable resources,such as solar collectors or solar ponds, cooling ofelectronic systems, measurement of thermal prop-erties of bodies, motion detectors used in alert andprotection systems or thermal vision cameras [2].
In line with that, the conclusion of the math-ematical model of the law of perfect black matterradiation made by Max Planck at the beginningof the 20th century was based on ideas and ideas,
Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)
which were considered contrary to the laws of clas-sical physics [3].
Here we will take a closer look at the Maxwellfield and then in particular its properties at finitetemperature in the form of black-body radiation. Itis characterized by a pressure p and an energy den-sity ρ. In a spacetime with three spatial dimensions,these are related by ρ = ρ/3. This can be derived bypurely kinematic arguments which are used in thefollowing section to find the corresponding relationin a D-dimensional Minkowski spacetime. Whenthe radiation is in thermal equilibrium at tempera-ture T , we then get by thermodynamic argumentsthe generalization of the Stefan-Boltzmann law inthe form ρ ∝ TD [4].
The generalized statistical mechanics has suc-cessfully been applied to investigate physical sys-tems which exhibit nonextensive features like stel-lar polytrops, Levy-like anomalous diffusions, twodimensional turbulence, cosmic background radi-ation, solar neutrino problem and many others.Within the framework of the nonextensive statisti-cal mechanics, we have generalized the Planck’s lawfor the black-body radiation. Earlier, an attemptwas made to generalize the Planck’s radiation law(known as the asymptotic approach) [5] for the ex-planation of the cosmic microwave background ra-diation [6] at a temperature of 2.725 K. Anotherattempt was made to generalize statistics of quan-tum and classical gases using the factorization ap-proach [7]. There are some versions of generalizedPlanck’s law available in the existing literature[8] inthis regard. There are also recent attempts to gen-eralize the Planck’s radiation law using Kaniadakisapproach [9, 10].
The total radiant intensity of all wavelengths isdirectly proportional to the temperature of a four-level T , so it can be written∫ ∞
0
R dλ = σT 4 (1)
This equation is called the Stefan law and σ isknown as the Stefan-Bolzman constant, the σ con-stant value is equal to
σ = 5.6703× 10−8W
m2K4(2)
The wavelength where each curve reaches itsmaximum value, which is called λmaks (althoughit is not a maximum wavelength), decreases if thetransmitter temperature is increased, it is propor-tional to the increase in temperature, so λmaks ∝ 1Tis found
λmaksT = 2.898× 10−3mK (3)
This result is known as the Wien shift law.
Classic calculations for radiant energy emittedfor each wavelength now are divided into several cal-culation stages. Without the proof being presented,the following points out the important parts of thedecline. First, the calculation of the amount of ra-diation for each wavelength, then the contributionof each wave to the total energy in the box, andfinally the intensity of radians associated with thatenergy. The box contains electromagnetic standingwaves. If all the walls of a box are metal, then theradiation is reflected back and forth with the nodes(electric nodes) found on each wall (the electric fieldmust be zero in a conductor).
The number of standing waves with a wave-length between λ and λ+ dλ is
N(λ) dλ =8πv
λ4dλ (4)
V is the volume of the box. For a one-dimensionalstanding wave, such as in a tension rope alongL, the permissible wavelength is f E= 2L/n, (n =1, 2, 3, ...). The number of possible standing waveswith a wavelength between f E1 and f E2 is so thatin the interval between f E and f E + df E there willbe as many different waves.
Each wave gives a share of kT energy to radia-tion in the box. This result is obtained from clas-sical thermodynamics. Radiation in the box is in astate of thermal equilibrium with the wall at tem-perature T . This radiation is reflected by the wall ofthe box because it is absorbed by the wall and thenemitted immediately by wall atoms, which in thisprocess vibrate at the radiation frequency. To ob-tain radiant intensity from energy density (energyper unit volume) multiply by c/4. These resultswere also obtained from the theory of electromag-nets and classical thermodynamics.
By combining the elements above, the estimatedradiant intensity is
R(λ) =8π
λ4kT
c
4(5)
This is known as the Rayleigh-Jeans formula.The decline uses classical electromagnetic theoryand thermodynamics, which is a maximum effort inapplying classical physics to understand the prob-lem of black matter radiation.
In Planck’s theory, each oscillator can emit orabsorb energy only in quantities that are multiplesof integers of a basic energy
E = nε, n = 1, 2, 3, ... (6)
n denotes the number of quanta. Furthermore, theenergy of each quanta is determined by frequencyaccording to
ε = hν (7)
24
Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)
h is an appeal constant known as the Planck con-stant. Based on this assumption, the spectrum ofradiant intensity Planck calculates is
R(λ) =( c
4
)(8π
λ4
)[(hc
λ
)1
e hcλkT−1
](8)
Methods
The are many methods that able us to measuremore or less accurately Planck’s constant. The mostuseful, for a college or high school physics labora-tory, are based on aplication of the photoelectric ef-fect or black body radiation. Those are not the mostaccurate, but are the easiest to implement underthe above-mentioned conditions. The first methodrelies upon Einstein formula describing the energyof electrons emitted from an illuminated surfacefor different frequencies of incoming photons. Thismethod is quite often used in introductory laborato-ries. The second method seems more interestingasits implementation requires more knowledge aboutbasic of quantum and statistical physics [11]. Whileimplementing the method of interpolation.
Interpolation calculations were carried out toobtain theoretical results, then computation wascarried out with the fortran95 program to obtainexperimental data.
Results
The graph of the black body radiation spectrumcan be seen in Figure 1. The bottom curved lineis the spectrum of light radiation from objects ataround 1000 ◦C. The x axis shows the wavelength,while the y axis shows the intensity or strength oflight. If we pay attention to the curvature of 1000◦C, along with the increasing frequency of light, theintensity of light is also getting stronger aka morebright. But at certain light frequencies, the linereaches the peak, and after that the light intensitydrops dramatically. At temperatures of 1200 ◦Cand 1300 ◦C, even though the temperature rises, theoutline of the line graph is similar to the line 1000◦C. Only the difference, the peak point is higher andslightly shifted to the right (to a greater frequencyof light). We can also see that the frequency of lightat the highest intensity is directly proportional tothe temperature of the object.
Figure 1: Graph of the black body radiation spectrum
Conclusion
The use of the interpolation method for calcu-lating the efficiency of black body radiation can beused because it is in accordance with practical dataor experiments that have been carried out by Wienand Max Planck. So this facilitates accurate dataretrieval and forecasting data for different energylevels.
References
[1] Festiyed, Program perhitungan efisiensi energi ra-diasi benda hitam melalui metode Simpson denganBorland Delphi 7, SAINSTEK XI (1), (2008).
[2] W. Poprawski, Z. Gnutek, E. B. Radojewska, andR. Poprawski, Investigation of black body radia-tion with the aid of a self-made pyroelectric in-frared detector, Eur. J. Phys. 36 (6), 65025 (2015).
[3] M. A. Ramirez-Moreno, S. Gonzalez-Hernandez,and G. A. De Parga, A semiclassical approach tothe matte black-body, Eur. J. Phys. 36 (6), 65039(2015).
[4] H. Alnes, F. Ravndal, and I. K. Wehus, Black-bodyradiation with extra dimensions, J. Phys. A Math.Theor. 40 (47), 14309-14316 (2007).
[5] C. Tsallis, F. C. Sa Barreto, and E. D. Loh, Gen-eralization of the Planck radiation law and appli-cation to cosmic microwave background radiation,Phys. Rev. E 52, 1447 (1995).
[6] J. C. Mather, Measurment of the cosmic microwavebackground spectrum by the Cobe FIRAS instru-ment, Astrophys. J. 420 (2), 439-444 (1994).
[7] F. Buyukilic, Dogˇan Demirhan, and A. Gulec,A statistical mechanical approach to generalizedstatistics of quantum and classical gases, Phys.Lett. A 197 (3), 209-220 (1995).
[8] U. Tirnakli, F. Buyukilic, and D. Demirhan, Gen-eralized distribution functions and an alterna-tive approach to generalized Planck radiation law,Physica A 240 (3-4), 657-664 (1997).
[9] K. Ourabah and M. Tribeche, Planck radiation lawand Einstein coefficients reexamined in Kaniadakisκ statistics, Phys. Rev. E 89, 062130 (2014).
25
Feli Cianda Adrin Burhendi et al. / Omega: Jurnal Fisika dan Pendidikan Fisika 5 (1), 23 - 26 (2019)
[10] I. Lourek and M. Tribeche, Thermodynamic prop-erties of the blackbody radiation: a Kaniadakis ap-proach, Phys. Lett. A 381 (5), 452-456 (2017).
[11] J. Dryzek and K. Ruebenbauer, Planck’s constantdetermination from black?body radiation, Am. J.Phys. 60, 251 (1992).
26
37
DAFTAR PUSTAKA
[1] Planck M, Selected Works, M. Nauka, 1975, 788 pages.
[2] Spolsky EV, Atomic Physics, Volume 1, M. Publishing house of physical and
mathematical literature, 1963, 575 pages.
[3] Jammer M, Evolution of Notions of Quantum Mechanics, M. Nauka, 1985, 380
pages.
[4] Kanarev Ph.M, New Analysis of Fundamental Problems of Quantum Mechanics,
Krasnodar 1990, 173 pages.
[5] Kanarev Ph.M, Analysis of Fundamental Problems of Modern Physics, Krasnodar,
1993, 255 pages.
[6] Kanarev Ph.M, On the Way to the Physics of the XXI Century, Krasnodar, 1995,
269 pages (in English).
[7] Kanarev Ph.M, The Crisis of the Theoretical Physics, 3rd edition, Krasnodar, 1998,
200 pages.
[8] Kanarev Ph.M, Water as a New Source of Energy, 3rd edition, Krasnodar, 2001,
194 pages (in English).
[9] Physical Encyclopaedia, 1984, 944 pages.
[10] Yu M Ageev, “To a Theory of Balanced Radiation - 1. Fundamental Problems of
Natural Science and Technics”, Volume 1, St. Petersburg, 2000, Pages 15-17.
[11] Kanarev Ph.M, Artyomov II, Zelensky SA, Summary of Lecture on Theoretical
Mechanics, Krasnodar, 2001, 263 pages.
[12] Sprole R, Modern Physics. Quantum Physics of the Atoms of the Solid Body and
Nuclei, M. Nauka, 1974, 591 pages.
[13] Yu M Ageev, “To theory of equilibrium radiation II”, Proceedings of the Kuban
State Agrarian University, Issue 382 (410), Krasnodar 2000, pages 442-450.
[14] Boas, L Mary. 1983. Mathematical Methods in the Physical Sciences
Second Edition. Unite States of America.
38
[15] Lab Fisika Dasar. 2010. Buku Penuntun Praktikum Fisika. Jakarta: UHAMKA
[16] R. Mudjiarto. 1995. Matematika Fisika I. Bandung: Penerbit ITB.
[17] Resnick, Halliday. 1991. Fisika Jilid 1 Terjemahan. Jakarta: Penerbit Erlangga.
[18] Sutrisno. 2001. Seri Fisika Dasar. Bandung: Penerbit ITB.
[19] Tipler,Paul A. 1991. Fisika Untuk Sains dan Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga. [20] Young and Freedman. 1999. Fisika Universitas Edisi Kesepuluh Jilid 1. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
Lampiran 1: Susunan Organisasi Tim Peneliti/Pelaksana dan Pembagian Tugas
No Nama / NIDN Instansi
Asal Bidang Ilmu
Alokas
Waktu
(Jam/Minggu)
Uraian Tugas
1 Feli Cianda
Adrin Burhendi,
M.Si./
0318099101
UHAMKA Pendidikan
Fisika
1 Jam per
minggu
selama 24
minggu
1. Menemukan ide penelitian
2. Merancang desain
penelitian
3. Kajian Teoritis
4. Membuat proposal
penelitian
5. Mengumpulkan data
6. Menganalisis data
7. Membuat laporan
penelitian
8. Membuat artikel publikasi
9. Publikasi di Seminar
Internasional
2 Rizki Dwi
Siswanto, M.Pd
/ 0318099101
UHAMKA Pendidikan
matematika
1 Jam per
minggu
selama 24
minggu
1. Menelusuri literature
2. Membuat proposal
penelitian
3. Proses Komputasi
4. Mengumpulkan data
5. Menganalisis data
6. Membuat laporan
7. Membuat artikel
publikasi
8. Publikasi di Seminar
Internasional