Lanzetti Diego

5/11/2018 Lanzetti Diego - slidepdf.com

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Modelo de difusión en sólidos para Procesos de Cementación Gaseosa

Lanzetti, Diego Lucas Página 1 de 38

MODELOS DE DIFUSIÓN SÓLIDA PARA CEMENTACIÓN

GASEOSA EN PRODUCCIÓN DISCONTINUA

Autores: Lanzetti, Diego Lucas, con la colaboración del director del grupo de investigación,

Ingeniero Raúl Garrera

INTRODUCCIÓN

El presente artículo, surgido como proyecto de investigación en CAPP – Control

Avanzado de Procesos y Producción- está destinado al análisis de un proceso industrial. Elproceso elegido es la cementación de piezas en atmósfera gaseosa (gas carburizing enbibliografía en inglés). Este proceso típicamente de carácter discontinuo se encuentraexplicado en numerosos manuales técnicos mediante tablas y gráficos; pero no se hallanaún modelos computacionales del comportamiento de la pieza durante el proceso.

Existen infinitos enfoques para describir procesos, y numerosos objetivos, y, por lotanto, es preciso definir en esta breve introducción cuál es el enfoque utilizado y cuáles sonlos objetivos.

El enfoque se ha elegido llamarlo “modelización de procesos discontinuos”. Es,básicamente, un conjunto de métodos y procedimientos destinados a la descripción de unproceso, teniendo comúnmente como resultado una simulación -típicamente en un soporteinformático- del proceso. Si bien la bibliografía sobre modelización es amplia,principalmente en libros de matemática aplicada y publicaciones de docentes universitarios,investigadoras, etc., no existe un método ideal de aplicación para cada caso, y es bajocriterio del desarrollador qué método o conjunto de métodos aplicar.

El objetivo es obtener una simulación cabal del proceso, con la menor cantidad desimplificaciones posibles. La solidez y utilidad de un modelo vendrá determinado por la

cercanía a la realidad de éste, tanto en las variables de entrada (que deberán corresponderen medida de lo posible con las que se ingresan en la máquina) como en los resultados delexperimento, que deberán contrastarse y verificarse con la simulación.

Como objetivo secundario se tiene mostrar la facilidad de aplicar métodos demodelización para diseñar procesos. Manifestar que no es necesaria la inversión enexperimentos que frecuentemente son más costosos que construir un modelo; además de





otras ventajas que la construcción de un modelo acarrean: no es necesario que aún exista ose posea equipamiento, y que, una vez construido, se pueden experimentar tantas vecescomo se quiera a un costo ínfimo, por nombrar algunas.

La difusión entre la comunidad industrial de los modelos va en aumento. Si bienexisten desde la popularización de la informática, al principio se requerían equipos detrabajo que incluyeran programadores en lenguajes de alto nivel. En la actualidad, lospaquetes de software disponibles comercialmente facilitan a los ingenieros noespecializados en programación armar modelos matemáticos y físicos con el mínimo delimitaciones. Por supuesto, lo ideal es prescindir de las limitaciones del software, perotambién requiere involucrar un profesional con amplios conocimientos de programación demodelos.

Habiendo expuesto ya los objetivos, el enfoque elegido, y la motivación, expectativasy alcance del informe, no queda más que comenzar a describir brevemente el cuerpo deltrabajo.

Se comenzará con una descripción del proceso, con el fin de comprender lassuposiciones que luego se harán para el modelo. Se explicará el fenómeno de difusión y surelación con la velocidad de reacción. Se finalizará con el modelo de difusión, susecuaciones y la explicación de la interrelación de variables, gráficos, etc.





1. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO TÉCNICO: CEMENTADO EN

FASE GASEOSA

1.1. Cementado

El cementado es un proceso de endurecimiento en el cual se disuelve carbono en lascapas superficiales de una pieza de acero de bajo carbono a una temperatura suficiente paraaustenizar el acero, seguido por un templado y revenido para formar una microestructuramartensítica. El gradiente de concentración de carbono resultante debajo de la superficie de

la pieza causa un gradiente en dureza, produciendo una capa superficial resistente y de altadureza en un material, típicamente en un acero de bajo carbono, que posee un núcleo dúctily tenaz.

1.2. Fuentes de carbono

Las piezas de acero de bajo carbono expuestas a atmósferas ricas en carbono,derivadas de una gran variedad de fuentes, se cementan a temperaturas de 850 °C o más. Enla variante más primitiva de este proceso, la fuente de carbono es tan rica que se alcanza lasolubilidad límite de carbono en austenita en la superficie del acero y se pueden formaralgunos carburos en la superficie. Dichas atmósferas, además, depositan hollín en lassuperficies dentro del horno, inclusive en las piezas. Mientras que esta forma de cementadoaún se practica, el objetivo en las modernas plantas de manufactura en la actualidad escontrolar el contenido de carbono en las atmósferas de los hornos a los fines de que:

La concentración final de carbono en la superficie de las piezas esté por debajo del

límite de solubilidad en la austenita, y así disminuir la formación de carburos.

Se minimice el hollín de la atmósfera del horno

Las atmósferas de cementado controladas se producen mezclando un gas detransporte con un gas enriquecedor, que sirve de fuente de carbono. El transportadorhabitual, un gas endotérmico, no es simplemente un diluyente, sino que se encarga de





acelerar la reacción de cementado en la superficie de las piezas. La cantidad de gasenriquecedor requerida por el proceso depende principalmente de la demanda de carbono,que es la tasa a la cual el carbono es absorbido por la carga de trabajo. Mayoresprofundidades o tiempos de proceso más cortos requerirán atmósferas más ricas.

El gas endotérmico, o endogas, es una mezcla de monóxido de carbono, hidrógeno ynitrógeno (con menores cantidades de dióxido de carbono, vapor de agua y metano)producido al reaccionar un hidrocarburo como el gas natural (principalmente metano),propano, o butano con aire. El endogas se produce separadamente en un horno (generadorde endogas).

Un gas de transporte similar en composición al endogas producido a partir de metanose puede formar desde una mezcla nitrógeno metanol. Las proporciones de nitrógeno ymetanol son normalmente elegidas para obtener la misma tasa de alimentación nitrógeno aoxígeno.

Un gas de transporte puede ser generado in situ agregando directamente aire y unhidrocarburo gaseoso al horno de cementado. Se deben tomar precauciones especiales (bajocaudal, altas temperaturas, buena mezcla) al configurar y controlar tal proceso a fin deasegurar una reacción completa de los gases de alimentación y uniformidad en la capa decementado. Son necesarias precauciones similares si los gases de transporte usados sonaltos en contenido de dióxido de carbono o de vapor de agua.

1.3. Equipamiento

Los hornos de cementación gaseosa varían ampliamente en lo que respecta a suconstrucción, pero pueden ser divididos en dos categorías. En los hornos tipo lote (o paralotes de piezas), la carga de trabajo ingresa y sale de la máquina (se carga y se descarga)como una única unidad o lote. En un horno continuo, el trabajo entra y sale del horno en unflujo sin interrupciones. Los hornos continuos favorecen la producción a altos volúmenesde piezas similares con un requerimiento de profundidad de capa menor de 2 mm. No sedarán detalles de estos últimos, pues se alejan del alcance de la investigación, que apunta alcontrol de procesos discontinuos. Un horno continuo implicaría hacer un modelo continuoque agrega más variables al sistema (por ejemplo, la velocidad de la línea, que en el caso dediscontinuos, no se tiene en cuenta).

El tipo más común de hornos de producción por lotes son los hornos de foso y loshornos tipo lote horizontales. Los primeros se colocan usualmente en un foso con la





cubierta ubicada justo por encima del nivel del piso y frecuentemente se cargan y descargancon la ayuda de una grúa pescante. Estos hornos son usados normalmente para piezasgrandes que requieren un largo tiempo dentro del mismo. Si el trabajo debe ser templadodirectamente luego de la cementación, la carga debe moverse a través del aire antes de

templarse, ya que estos hornos no disponen de medios para el temple (medios deenfriamiento), y por tanto, es necesario llevarlo a las cubas para temple. Como resultado,las piezas quedan cubiertas de una escamación negra, que, dependiendo de las necesidadesde la aplicación, deberá ser quitada por algún tratamiento superficial.

Los hornos horizontales son usados con frecuencia para cementado y templadodirecto. Muchos de estos hornos son llamados de templado sellado, o de templado integral;esto es porque, las piezas se descargan del horno a un habitáculo que cubre un tanque deaceite de temple. Como la atmósfera también fluye hacia el habitáculo, las piezas puedenser mantenidas libres de oxidación luego del temple. Estos hornos son capaces de procesar

muchos tipos diferentes de cargas con una gran variedad de requerimientos de profundidadde capa dura.

1.4. Parámetros de la atmósfera del horno

Algunos principios de operación se aplican a todos los hornos de atmósferacontrolada sin importar el diseño. Primero, a fin de asegurar la uniformidad del cementado,los hornos deben estar equipados con ventiladores internos de tal manera que la atmósferasea bien circulada a lo largo de la carga de trabajo, es decir, para lograr uniformidad.Además, las piezas individuales dentro de la carga de trabajo deben estar bien espaciadaspara permitir a la atmósfera penetrar en la carga. Piezas críticas, como engranajes, seubican comúnmente en dispositivos para controlar no sólo su espaciado, sino también laorientación al entrar en el vestíbulo de templado. A veces el peso de estos dispositivos esdos o tres veces el peso de las piezas procesadas.

Segundo, el horno debería operar a una presión positiva de tal manera que si el horno

tiene pequeñas pérdidas, el aire no entre a éste. Presiones manométricas de 12 a 37 Pa sonusualmente satisfactorias para hornos de cementado. La presión del horno se puedecontrolar ajustando el tamaño del orificio en las líneas de ventilación y en la tasa de flujodel gas de transporte.

Como los gases calientes dentro de un horno son de densidad baja, la diferencia depresiones (presión del horno menos la presión ambiental, medidas a la misma altura) tendrá





su mínimo valor en el punto más bajo del horno. La presión mínima necesaria, a cualquieraltura, para mantener un diferencial positivo a todas las alturas (Pmin) se puede calcular dela relación:

min( )

A F P H D D (1.1)

Donde H es la altura interna de la cámara del horno, DA es la densidad del aire fueradel horno, y DF es la densidad de la atmósfera dentro del horno. Como D A >> DF, un valormínimo aceptable para la presión del horno en Pascales es:

min(0,117)P H

Donde H está en centímetros y se asume que el ambiente está a 1 kPa (1 atm) depresión y 20 °C. A pesar de que la presión del horno es nominalmente positiva, el aire

puede incluso entrar en el horno a través de pequeñas aberturas si hay fluctuaciones localesen la presión ambiental. Un gran ventilador de refrigeración tirando aire al horno podríaincrementar la presión local alrededor de 25 Pa.

Tercero, la velocidad a la cual la atmósfera del horno responde a cambios en lacomposición del gas de entrada depende del tiempo medio de residencia de los gases deatmósfera en el horno. El tiempo medio de residencia es aproximadamente:

( * )

*

Ares

F

V T t

F T

(1.2)

Donde V es el volumen del horno, F es la tasa de flujo de gas de transporte medido enTA, la temperatura ambiental absoluta, y TF es la temperatura absoluta del horno. Lostiempos de residencia en los hornos de cementado varían desde cerca de los dos a losquince minutos. Si la composición del gas cambia, toma cerca de tres tiempos de residenciapara el 95% del efecto del cambio para que sea sentido en el horno. Por lo tanto, los hornospor lotes, en los cuales la composición de la atmósfera debe cambiarse durante el curso deun ciclo de proceso, se operan usualmente con tiempos de residencia más corto que en loshornos continuos. Se considera frecuentemente una ventaja usar altas tasas de flujo de gasde transporte para acelerar el purgado del aire que entra en el horno cuando están las piezas

cargadas. Sin embargo, el mismo resultado se puede alcanzar más económicamente usandoun sistema de control automático para regular el flujo del gas enriquecedor.

1.5. Preparación de piezas para cementado





Piezas, cubiles, accesorios y dispositivos deben ser completamente limpiados antes decargarse en el horno de cementado. Con frecuencia se lavan en una solución alcalinacaliente. Algunos usuarios calientan piezas lavadas en una atmósfera oxidante a 400 °Cantes de cementar para remover vestigios de contaminantes orgánicos.

Las capas muy delgadas de oxido en las piezas son reducidas por la atmósfera delhorno de cementado. Capas pesadas de óxido, como las de forja, se reducen a pequeñoscopos de hierro, que no se adhieren a la pieza.

Residuos de las soluciones alcalinas que se han depositado en las piezas,particularmente aquellas con silicatos, pueden ocasionar un cementado poco uniforme, ydar a las piezas un aspecto manchado. Además, los residuos alcalinos pueden afectar demanera adversa la vida de las aleaciones resistentes al calor que forman parte del horno.

Las sales del temple remanentes en los cubiles y dispositivos pueden dañar la construccióndel horno. Aquellos residuos que contengan clorhidridos o sulfuros en las piezas despedirángases que pueden reaccionar con las películas de aleación resistentes al calor, o incluso lacarga de trabajo.

Recomendaciones:

Limpiar superficie de trabajo previo a la carga al horno. Procurar que la piezaingrese seca y sin vestigios del elemento que se haya utilizado para lalimpieza.

Es recomendable someter a la pieza a una atmósfera oxidante para asegurar laremoción de todos los posibles contaminantes orgánicos.

Asegurar la limpieza de los dispositivos y cubiles para evitar la contaminaciónde la carga de trabajo

1.6. Variables del proceso de cementado

Entrando ya a un tema vital para el proyecto, describiremos las variables elementalesdel proceso.





La operación exitosa de una cementación gaseosa depende del control de tresvariables principales:

Temperatura

Tiempo

Composición de la atmósfera

Otras variables que afectan la cantidad de carbono transferido a las piezas incluyen elgrado de circulación de la atmósfera y el contenido de aleación de las partes.

1.6.1. Temperatura

La velocidad máxima a la cual el carbono se puede incorporar al acero está limitada

por el coeficiente de difusión del carbono en austenita. Este coeficiente se incrementa,como se verá más adelante en el apartado del fenómeno de difusión, al aumentar latemperatura. Por ejemplo, la tasa de incorporación de carbono a 925 °C es cerca de un 40%mayor que a 870 °C.

La temperatura más comúnmente usada para cementado es 925 °C. Esta temperaturapermite un cementado razonablemente rápido sin deteriorar excesivamente el equipamientodel horno, particularmente los dispositivos y otras partes de aleación de éste. Latemperatura de cementado se incrementa en ocasiones a 955 °C o 980 °C para acortar eltiempo de cementado para piezas que requieren una capa más profunda. Viceversa, el

cementado más superficial se hace frecuentemente a temperaturas más bajas debido a quela profundidad de la capa puede ser controlada con más precisión con la velocidad máslenta obtenida.

Para resultados consistentes, la temperatura debe ser uniforme en toda la carga detrabajo. Los gradientes de temperatura a través de la carga de trabajo persistirán por unperíodo de tiempo sustancial mientras la pieza se calienta a la temperatura de cementado.Como las piezas en el exterior de la carga alcanzan la temperatura del horno primero,comenzarán a cementarse antes que las piezas en el interior de la carga. La consecuencia esla variabilidad en la profundidad de la capa entre las piezas. Además, se puede depositar

hollín en las partes frías expuestas a una atmósfera de cementado. Por lo tanto, paramejores resultados, la carga de trabajo debe ser calentada a la temperatura de cementado enuna atmósfera neutral del horno. En los hornos por lotes, las piezas pueden calentarse enendogas hasta que alcancen la temperatura del horno; luego puede comenzar el cementadoagregando el gas enriquecedor. Como dato interesante, muchos hornos continuos se estánconstruyendo con cámaras de precalentado separadas para asegurar que la carga está a unatemperatura uniforme antes de entrar en la zona de cementado.





En los hornos por lotes, la termocupla usada para el control de la temperatura se sueleposicionar de tal forma que alcance el punto de temperatura configurado antes que lo hagala carga de trabajo.

1.6.2. Tiempo

Existen gráficos de Tiempo vs. Profundidad de Capa para diferentes temperaturas. Unejemplo se muestra en la Figura 1.1. Por supuesto, se tratan de datos puramenteexperimentales y contempla una sola dimensión (distancia perpendicular a la superficie dela pieza). Para este gráfico se asume una austenita saturada en la superficie de las piezas detrabajo. Como puede observarse, este gráfico extraído de ASM Metals Handbook tiene unuso limitado por las condiciones bajo las cuales se hicieron los experimentos paraconfeccionarlo. Cuando el contenido de carbono en la superficie está controlado de formatal que es menor al valor de saturación, la profundidad de las capas será menor. La Figura1.2 muestra como el tiempo de cementado disminuye con el incremento de la temperaturapara una profundidad de capa de 1,5 mm. Además del tiempo de cementado, se puedenrequerir varias horas para llevar grandes piezas o grandes cargas de pequeñas piezas a latemperatura de operación. Para los trabajos templados directamente en el horno decementado, el ciclo puede ser alargado aún más dejando tiempo para el trabajo de enfriardesde la temperatura de cementado a cerca de 843 °C previa al templado. Si la carga detrabajo está expuesta a la atmósfera de cementado durante el calentamiento, algúnfenómeno de cementado puede ocurrir antes del comienzo nominal del proceso. Así, laprofundidad de la capa puede diferir significativamente de los valores de la Figura 1.1. Estavariabilidad de casos es lo que dificulta el uso de tablas y figuras, sujetas a las condiciones

en las que fue hecho el experimento efectuado para su confección. Un modelo matemáticoentonces, predecirá más cabalmente la profundidad de capa en las condiciones que unoelija, trabajando correctamente con las variables.





Figura 1.1

Figura 1.2





Figura 1.3, Efecto del tiempo sobre la concentración del carbono vs profundidad

1.6.3. Potencial de carbono

El potencial de carbono en la atmósfera de un horno a una temperatura específica sedefine como el contenido de carbono en hierro puro que está en equilibrio termodinámicocon la atmósfera. El potencial de carbono de la atmósfera del horno debe ser mayor que elde la superficie de las piezas de trabajo para que exista cementación. Es la diferencia en elpotencial de carbono lo que ocasiona que el carbono se transfiera a las piezas.

1.6.4. Difusión del carbono

Los efectos combinados del tiempo, temperatura y concentración de carbono en ladifusión de carbono en austenita se pueden expresar por las leyes de difusión de Fick. Elfenómeno de difusión será explicado en otro apartado con el nivel de detalle que merece,pues de este fenómeno depende principalmente el cementado.

1.6.5. Efectos de aleación

Los elementos de aleación varios encontrados en los aceros de cementación tienenuna influencia en la actividad del carbono disuelto en austenita. Una definición de laactividad del carbono (aC) es:

( % )C

a wt C (1.3)

Donde Γ, el coeficiente de actividad, se elige tal que aC = 1 para una cantidad decarbono en solución que está en equilibrio con grafito. El cromo tiende a disminuir el





coeficiente de actividad, y el níquel tiende a incrementarlo. Como consecuencia, un aceroque contenga cromo, equilibrado a una atmósfera del horno específica, tomará más carbónque un acero al carbono; y viceversa, un acero que contenga níquel tomará menos carbono.También es cierto que los carburos se producen a potenciales de carbono menores en aceros

con cromo que en aceros al carbono. El efecto primario de elementos de aleación en ladifusión del carbono se debe a su efecto en la fuerza impulsora para la superficie dereacción. Para obtenerla, el contenido de carbono en la superficie de un acero aleado debeser convertido al contenido de carbono equivalente en hierro puro. Existen métodos paracorregir el coeficiente de actividad de carbono para aceros aleados. Sin embargo, lacantidad de datos experimentales en que dichos métodos se basan es bastante limitada. Porlo tanto, las predicciones deberían verificarse con experimentos, particularmente cuando unacero aleado contiene cantidades sustanciales de más de un elemento de aleación.





2. Fenómeno de difusión atómica en sólidos

En este apartado se explicará brevemente la difusión atómica en sólidos, sin entrargrandes detalles de su naturaleza, ya que lo que interesa es la ecuación que gobierna estefenómeno.

2.1. Difusión en sólidos en general

Se puede definir la difusión como el mecanismo por el que la materia se transporta a

través de la materia. Los átomos en gases, líquidos y sólidos están en constante movimientoy emigran después de un período de tiempo. En gases el movimiento atómico esrelativamente rápido. El movimiento atómico en líquidos es un poco más lento. En sólidosestá limitado debido a su enlace en posiciones de equilibrio. Sin embargo, las vibracionestérmicas que tienen lugar en los sólidos permiten que algunos átomos se muevan. Ladifusión de átomos en metales y aleaciones es particularmente importante, ya que la mayorparte de reacciones en estado sólido involucran movimientos atómicos. Ejemplos dereacciones en estado sólido son la precipitación de una segunda fase a partir de disolucionessólidas y la nucleación y crecimiento de grano en la recristalización de un metal trabajado

en caliente.

2.2. Mecanismos de difusión

Existen dos principales mecanismos de difusión de átomos en una red cristalina: 1)mecanismo sustitucional o por vacantes, y 2) mecanismo intersticial.

2.2.1. Mecanismo de difusión por vacantes o sustitucional

Los átomos pueden moverse en la red cristalina de una posición atómica a otra sitienen suficiente energía de activación procedente de las vibraciones térmicas de los átomosy si existen vacantes u otros defectos cristalinos en la red a los que los átomos puedandesplazarse. Las vacantes en metales y aleaciones son defectos en equilibrio, siempre hayalgunas presentes posibilitando que tenga lugar la difusión sustitucional de los átomos.





Cuando se va aumentando la temperatura del metal, más vacantes están presentes y habrámás energía térmica disponible y por tanto la velocidad de difusión es superior atemperaturas más elevadas.

2.2.2. Mecanismo de difusión intersticial

La difusión intersticial de átomos en redes cristalinas tiene lugar cuando los átomosse mueven de un sitio intersticial a otro intersticio vecino sin desplazar de manerapermanente ninguno de los átomos de la red cristalina de la matriz. Para que el mecanismointersticial sea operativo el tamaño de los átomos que difunden debe ser relativamentepequeño comparado con el de los átomos de la matriz. Los átomos pequeños comohidrógeno, oxígeno, nitrógeno y carbono pueden difundir intersticialmente en algunas redesmetálicas. Por ejemplo, el carbono puede difundir intersticialmente en hierro α BCC y en

hierro γ FCC. En la difusión intersticial de carbono en hierro los átomos de carbono deben

pasar entre los átomos de la matriz de hierro. Es un mecanismo teóricamente más simpleque la difusión sustitucional, pues no depende de la cantidad de vacantes en un material. Enun apartado de este capítulo se explayará con más detalle algunas características a nivelatómico de este tipo de difusión.

La Figura 2.1 muestra esquemáticamente como actúan ambos fenómenos. A en estecaso sería el metal que forma la matriz, y B sería el átomo que difunde.

Figura 2.1

2.3. Difusión en estado estacionario y Naturaleza estadística de la difusión





La difusión en estado estacionario, como su nombre lo indica, no provoca cambios enla concentración de átomos de soluto al analizarlas en dos regiones diferentes. Este tipo dedifusión tiene lugar cuando un gas no reactivo se difunde a través de una lámina metálica.Por ejemplo, cuando el hidrógeno gas difunde a través de una lámina de paladio se alcanzan

las condiciones de estado estacionario si el hidrógeno gaseoso se encuentra a presiónelevada en un lado y a baja presión en el otro.

Si en el sistema de difusión presentado en la Figura 2.2 no existe interacción químicaentre los átomos del soluto y del disolvente, puesto que existe una diferencia deconcentraciones entre los planos 1 y 2, habrá un flujo neto de átomos desde laconcentración superior a la inferior. El flujo o corriente de átomos de este tipo puederepresentarse con la ecuación:

dC J D

dx

(2.1)

Donde J2 *

átomos

m s

es el flujo o corriente neta de átomos, D2

m

s

es la constante de

proporcionalidad llamada difusividad (conductividad atómica) o coeficiente de difusión y

dC

dx

3

1*

átomos

m m

es el gradiente de concentración. Se utiliza un signo negativo porque la

difusión tiene lugar de altas a bajas concentraciones; es decir, un gradiente de difusiónnegativo.

Esta ecuación se llama primera ley de difusión de Fick y establece que para unadifusión en estado estacionario, el flujo neto de átomos por difusión atómica es igual alcoeficiente de difusión D por el gradiente de difusión dC/dx.

Para analizar la naturaleza estadística de la difusión, se planteará lo siguiente. En unabarra de aleación que, aunque en estado de equilibrio puede constituir una solución sólidahomogénea, tiene un gradiente de concentración a lo largo de su eje, se recuece algunashoras a una temperatura cerca de su punto de fusión, los átomos emigran a lo largo de labarra y homogeneizan la composición. Se origina un flujo de soluto en el sentido del

gradiente y un flujo de disolvente en el contrario. Conviene distinguir entre este flujomacroscópico y los movimientos atómicos individuales que lo originan. Lo que llamamosdifusión se aplica al flujo macroscópico y no a los movimientos atómicos individuales.

Sin embargo, a pesar de lo dicho en el párrafo anterior, la difusión es provocada porinnumerables desplazamientos desordenados de los átomos individuales. La agitacióntérmica proporciona, a intervalos no definidos, a un átomo la energía suficiente para saltar





de un nudo atómico a otro (sea una vacante o sea un intersticio, como se verá en elsiguiente apartado). Estas fluctuaciones de energía son debidas a los choques de átomosadyacentes y pueden proyectar el átomo en cualquier dirección. El camino de un átomo esimprevisible, resulta en zig-zag. Si un gran número de átomos toman parte en estos

movimientos producen un flujo sistemático en la dirección del gradiente de concentración.Fijándose un plano perpendicular al gradiente, como existen más átomos de soluto a unlado del plano que al otro, aunque los movimientos individuales sean al azar, atravesarán elplano mayor número desde un lado que del otro y se originará un transporte en el sentidodel gradiente.

Suponiendo que:

1) La concentración volumétrica C sólo varía en una dirección (eje x)

2) El gradiente de concentración δC/ δx, es suficientemente pequeño entre planos

contiguos como para poder considerarlo infinitesimal. Esta condición se cumpleen la mayoría de los casos.

3) Cada átomo emigra por una serie de saltos al azar desde un nudo a otro.

4) La frecuencia media, f, de los saltos que realiza un átomo es constante paracomposición constante.

5) La longitud de un salto, b, es constante.

De acuerdo con el esquema de la Figura 2.2, imaginemos una serie de planosatómicos normales al gradiente de concentración, de superficie unidad cada uno, yespaciados a intervalos b a lo largo de la barra. Si C1 y C2 son las concentraciones deátomos que se difunden en los planos 1 y 2 (C1 < C2), los números de átomos en los planosson n1 = C1b y n2 = C2 b. En un tiempo δt (de modo que δt << 1), el número de átomos quesalen de 1 será n1f δt, por término medio la mitad de este número en cada dirección, luego

el número de átomos que llevan a cabo el tránsito 1 → 2 será ½n1fδt. Análogamente el

número de saltos 2 → 1 será ½n2fδt, por tanto, el flujo J de átomos, o sea, el número deátomos que atraviesan un plano de sección unidad en la unidad de tiempo será:

1 2 1 21 1( ) ( )2 2

J n n f b C C f (2.2)

Si ponemos C1 – C2 = -(δC/δx)b resulta:

C J D

x

(2.3)





Siendo 21

2 D b f

X

b

1 2

Figura 2.2

Nuevamente vemos presente la primera ley de Fick con el coeficiente D dedifusividad desarrollado, y observamos que es proporcional a la frecuencia media de saltosde los átomos y del cuadrado de la longitud de salto.

La difusión en estado estacionario es de escasa aplicación en la industria, y no es elcaso presente en el proceso de cementación ni en ninguno de los tratamientostermoquímicos de endurecimiento superficial. En todos estos procesos se produce difusiónen estado no estacionario, pues la variable tiempo es fundamental para la definición de laconcentración de soluto a diferentes profundidades en la pieza. Por lo tanto, para el estudiodel modelo, la difusión en estado no estacionario es de carácter fundamental, y es por elloque se desarrollará con mayor detalle.

2.4. Difusión en estado no estacionario

Continuando a partir de la ecuación de la primera ley de Fick, es evidente queconviene buscar una ecuación más general para abarcar estados de difusión noestacionarios, que como se ha dicho, son aquellos en los que la concentración en una





determinada región cambia con el tiempo. Se plantea un elemento de volumen entre los dosplanos atómicos de la Figura 2.2, no contiguos y distantes en l, de modo que l > b, pero lobastante pequeña para que la diferencia de concentración pueda considerarse infinitesimal alo largo del elemento. Si la concentración en el primer plano es C, en el segundo será C +

l(δC/δx). El flujo a través del primer plano será: C

J D x

(2.4)

Y a través del segundo

C D

x J C J l D l

x x x

(2.5)

La velocidad de acumulación de átomos que se difunden en el elemento de volumenes la diferencia entre ambos flujos, es decir:

C D

x J l l

x x (2.6)

Que debe ser igual a l(δC/δx), pues durante el proceso no se ganan ni se pierden

átomos. Así resulta la segunda ley de Fick:

C C D

t x x (2.7)

Y si D es constante a lo largo de la barra (en un apartado más adelante se analizaránlos factores que ocasionan que D varíe):

2

2

C C D

t x (2.8)

La generalización de esta ecuación a 2 o 3 dimensiones es inmediata. Para tresdimensiones se convierte en:

x y z

C C C C D D D

t x x y y z z

(2.9)





Donde Dx, Dy y Dz son los coeficientes de difusión en las direcciones x, y, z,respectivamente. En cristales cúbicos el coeficiente de difusión es isotrópico, es decir, Dx =Dy = Dz, pero en cristales de simetría inferior la difusión puede ser anisotrópica. Porejemplo, es conocida la anisotropía del cinc y del estaño y se ha comprobado que en el

bismuto (romboédrico) la velocidad de difusión en la dirección perpendicular al eje delromboedro es 106 veces mayor que la velocidad en la dirección paralela a aquel eje.

Existen varias soluciones a la ecuación diferencial de la segunda ley de Fick. Comovemos se trata de una ecuación diferencial de segundo orden con derivadas parciales. Lamás conocida es la que simplifica el problema suponiendo difusión a través de un plano quesepare una columna de solución de una de disolvente. Si la columna es bastante larga paraque la concentración no cambie en sus extremos, puede considerarse de longitud infinita yla solución de la ecuación sería:

2

0 2

021

2

x

y Dt C C e dy

(2.10)

En la que C es la concentración al cabo de un tiempo t a una distancia x de lasuperficie de separación. C0 es la concentración inicial y D el coeficiente de difusión. Elsegundo término del paréntesis es la integral de probabilidad o función de Gauss, cuyosvalores figuran en tablas matemáticas ( y es una variable de integración de significadopuramente matemático); la magnitud importante en la integral de probabilidades es el valor

de su límite superior2

x

Dt . La magnitud Dt es fundamental en difusión, pues mide el

orden de magnitud de la distancia que por término medio recorrerá un átomo por migracióndesordenada y por tanto representa la distancia a lo largo de la cual puede cambiar laconcentración durante un recocido de difusión. Puede utilizarse, pues, para conocer eltiempo aproximado de recocido, necesario para originar una redistribución determinada deátomos del soluto. Por ejemplo, si x es la distancia a lo largo de la cual varía laconcentración en una solución sólida segregada, el tiempo de recocido necesario paraeliminar la segregación por difusión, es del orden de x2 /D.

2.5. Variables significativas para la definición del coeficiente de difusión

El coeficiente D es, a pesar de su nombre, una variable elemental para este estudio.Aunque hay tablas que expresan sus valores a ciertas temperaturas, es imperativo conocer





los factores que provocan una variación de la difusibilidad del material. A decir verdad, elcoeficiente de difusión depende de muchos factores, entre los cuales se pueden destacar:

1. Tipo de mecanismo de difusión. El que la difusión sea intersticial osustitucional afectará el coeficiente de difusión, como se verá más adelante alexplayar con más detalle la difusión intersticial.

2. La temperatura a la que tiene lugar la difusión afecta de manera importante elvalor del coeficiente de difusión. A medida que aumenta la temperatura, elcoeficiente de difusión también aumenta. Como este es el factor másimportante en nuestro sistema, y es una de nuestras variables de entrada, seexplayará con más detalle en otro apartado.

3. El tipo de estructura cristalina de la red matriz es importante. Por ejemplo, elcoeficiente de difusión del carbono en hierro BCC es de 10 -12 m2 /s a 500 °C,

que es mucho mayor que 5 * 10-15 m2 /s, valor del coeficiente de difusión delcarbono en el hierro FCC a la misma temperatura. La razón para estadiferencia es que la estructura cristalina BCC tiene un factor deempaquetamiento atómico de 0,68 comparado con el de la estructura cristalinaFCC, que es de 0,74. Así, los espacios interatómicos entre los átomos dehierro son más anchos en la estructura cristalina BCC que en la FCC y de estemodo los átomos de carbono pueden difundir entre los átomos de hierro en laestructura BCC más fácilmente que en la estructura FCC.

4. El tipo de defectos cristalinos presentes en la región de difusión en estadosólido también es importante. Las estructuras más abiertas dan lugar a unamás rápida difusión de átomos. Por ejemplo, la difusión tiene lugar másrápidamente en los límites de grano que en el centro del grano en metales ycerámicos. Un exceso de vacantes en metales y aleaciones incrementará lavelocidad de reacción.

5. La concentración de las especies que difunden es importante, ya que mayoresconcentraciones de los átomos del soluto que difunde afectarán el coeficientede difusión.

2.5.1. Efecto de la temperatura en el coeficiente de difusión

La experiencia demuestra que el coeficiente de difusión aumenta con la temperaturasegún la ley de la energía de activación.

0*

H

RT D D e

(2.11)





Siendo D0 una constante y H el calor de activación. Se intentará relacionar ambos

con los movimientos atómicos. Antes vimos que 212

D b f , siendo f frecuencia de salto

a lo largo del eje x. En este caso, f es igual al producto del número de vibraciones por

átomo (por unidad de tiempo) que tienen la dirección correcta de vibración, por laprobabilidad de que el átomo tenga la energía de activación necesaria para saltar la barrera,es decir:

1*

3

H

RT v e

Donde como vimos, v es la frecuencia de vibración atómica. 1/3 figura porque lossaltos contribuyen a las migraciones atómicas tanto a lo largo de las direcciones y y z comode la x. El factor exponencial expresa que sólo en una parte de los saltos existe la energía

de activación necesaria. Resulta, pues:

21

6

H

RT D b ve

(2.12)

Otra expresión para D se enunciará en el apartado 2.6. Los valores del factor 21

6b v

han sido llevados a cabo por Zener ( Imperfections in Nearly Perfect Crystals, Ed. W.

Shockley, Wiley, 1952) y Le Claire (Phil. Mag., 1951). En la práctica se encuentra que D0 varía desde 10-9 a 104 cm2 /s en aleaciones. En mediciones más representativas

(experimentos con autodifusión, que es difusión en una sustancia pura de un isótoporadiactivo de la misma) se han encontrado valores entre 10 -1 y 10 cm2 /s. Zener explica ladiscrepancia alegando que la entropía del sistema debe aumentar mientras el átomo realizael salto, pues los átomos que lo rodean sufrirán temporalmente una deformación elástica. Seescribe:

2

06

S

Rb v

D e

(2.13)

Donde como se sabe, S es la entropía de activación. Según Zener:

f

H

T S

(2.14)

Donde Tf es la temperatura de fusión absoluta y es un parámetro que depende de

las constantes elásticas (vale de 0,25 a 0,45 para la mayor parte de los metales).





La ecuación 2.13 se puede aplicar para la difusión intersticial de los átomos decarbono disueltos en ferrita. El proceso elemental consiste, en este caso, en el salto de unátomo de C de un intersticio a otro próximo. La energía de activación para este salto seconsume principalmente en deformar, apartándolos, los átomos de hierro entre los cuales

pasa el átomo de C. Esta energía de deformación que se reparte al retículo circundanteprovoca un descenso de las constantes elásticas y, por lo tanto, un aumento de la entropía

de vibración. Zener deduce para este sistema en el cual = 0,43 yS

Re

= 12, luego D0 =

0,026. De acuerdo a los resultados experimentales arrojados por Wert, D0 = 0,020 cm2 /s2 y H = 20 100 cal/mol.

2.5.2. Efecto de la concentración en el coeficiente de difusión

Las curvas reales de concentración-profundidad en determinadas aleaciones no

presentan generalmente la simetría de las cuervas teóricas. Incluso en sistemas sencillos,como Cu-Ni, las curvas se desvían del tipo ideal. La difusión es más fácil en el lado de laaleación rica en cobre que en el lado rico en níquel. Este efecto es corriente en lassoluciones sólidas concentradas y nos lleva a concluir que el coeficiente de difusión no esconstante, incluso a temperatura constante, sino que varía con la concentración de laaleación, como se explicó como un hecho en este mismo apartado. En estos casos se debeaplicar la forma general de la segunda ley de Fick, es decir la ecuación 2.7, en vez de laforma simplificada, la ecuación 2.8. Es posible ahondar más en este tema y en otros deíndole microscópica, pero se dejará el análisis aquí, ya que nos interesan los fenómenos dedifusión macroscópicamente.

Figura 2.3, curvas de concentración profundidad de la difusión recíproca Cobre-Niquel





2.6. Difusión intersticial, medición de la solubilidad (difusividad) intersticial

Como se ha dicho, el mecanismo se basa en el salto de los átomos de soluto desde unlugar intersticial a otro vecino. La expresión para la difusibilidad de los átomos de soluto enuna solución sólida intersticial diluida es la siguiente:

/ 2 mF RT D a ve

(2.15)

Donde a es el parámetro reticular del cristal, α es un factor geométrico dependiente

del cristal, es el número de lugares intersticiales más cercanos, v es la frecuencia

vibratoria de un átomo de soluto en un lugar intersticial, mF es la energía libre por mol

necesaria para que los átomos de soluto salten entre lugares intersticiales, R es la constante

de los gases y T es la temperatura. La expresión contiene sólo un término de energía libre, adiferencia de su equivalente para difusión sustitucional, que contiene dos, resultado directodel hecho de que la difusión intersticial no depende de la presencia de lugares vacantes.Debido a que un cambio en la energía libre se puede expresar en la forma:

F Q T S (2.16)

La expresión para la difusibilidad intersticial se puede escribir de esta otra forma,:

/ 2

m

e m

S RT

R Q

D a pve

(2.17)

Donde mS es el cambio en la entropía para la red (por mol de átomos de soluto) y

mQ es el trabajo (por mol de átomos de soluto) asociado para llevar átomos de soluto al

punto de caballete durante un salto entre posiciones intersticiales. El punto de caballete esaquel punto en el que el átomo de soluto se encuentra en la posición de máxima energía, enel medio del salto de un intersticio a otro. Es aquel punto en el proceso del salto en el quese encuentra “apretado” por los átomos de disolvente.

Con frecuencia se estudia la difusión intersticial, especialmente cuando ocurre atemperaturas elevadas, debido a que es el objeto de interés de los procesos termoquímicosde endurecimiento superficial, pero, en primer lugar, en todos los procesos de la industriasiderúrgica, y no sólo en el acero, sino en todos los metales. Se estudia con las mismastécnicas experimentales que se emplean para el estudio de difusión sustitucional (Matano,Grube, etc.). Por otra parte, se ha logrado mucho éxito en la investigación de la difusiónintersticial, especialmente en metales cúbicos centrados en el cuerpo, con una técnica





totalmente diferente. Esta técnica tiene la ventaja de que se la puede emplear a temperaturasmuy bajas donde los métodos normales de estudiar la difusión son inoperantes debido a lasmuy lentas velocidades de difusión.

3. Modelo de difusión sólida

3.1. Alternativas de software para el modelo

El modelo a realizar es una PDE (Partial Differential Equation) o EDP en castellano(Ecuación Diferencial Parcial o a Derivadas Parciales), por tanto es preciso conocer que lasolución de estas ecuaciones está lejos de ser sencilla. La solución mostrada de la segundaley de Fick (ecuación 2.10) supone simplificaciones imprácticas, como por ejemplo, que laplaca sea infinitamente larga. Efectuar una solución analítica a lápiz y papel es un trabajoarduo e innecesario. Se puede, por otro lado, aprovechar la el poder de cálculo de lascomputadoras y software especializado para obtener estas soluciones.

En este apartado se analizan tres diferentes opciones dentro del entorno MATLAB:Scripts de MATLAB, Simulink y PDE Toolbox.

MATLAB es una herramienta muy poderosa y versátil, pudiendo usarse para resolverprácticamente cualquier problema que conlleve cálculos con números, sean estos lineales,no lineales, discretos, etc. Sólo hay que conocer lo suficiente como para adaptar elproblema al lenguaje MATLAB (similar al lenguaje de programación C). MATLAB trabajabásicamente con diferentes tipos de datos, pero principalmente utiliza matrices. Su mismonombre lo indica, pues MATLAB significa “Matrix Laboratory”. Crear funciones en

MATLAB no es sencillo: hay que escribir scripts, también llamados ficheros *.m,expresando la función utilizando el lenguaje del programa. La complejidad se magnifica altratar con EDO‟s (ecuaciones diferenciales ordinarias) y aún más al trabajar con EDP‟s. Del

entorno MATLAB utilizando scripts para resolver EDP‟s se puede rescatar que se requiereun conocimiento profundo tanto del entorno mismo como de la integración misma de lasecuaciones.

Simulink es un paquete de librerías con funciones – que no son más que scripts deMATLAB incorporados al entorno de Simulink- que trabaja sobre MATLAB. El trabajoque se puede hacer sobre Simulink se lo llama además Programación en Bloques, puesto





que cada script de la librería es un bloque, que se pueden vincular mediante el mouse (setrabaja sobre un entorno totalmente gráfico) de manera inteligente. Las flechas uniendobloques son flujos de datos, y cada bloque procesa esos datos según su script y losparámetros que el usuario fije. En Simulink gran parte del trabajo está hecho: los scripts

que se necesitan para determinada tarea ya se encuentran en la librería, y el usuario sólotiene que seleccionarlos y vincularlos para armar su modelo de simulación. Esespecialmente útil para el análisis de señales, simulación de eventos discretos, lineales y nolineales. Es sencilla la integración de EDO‟s, pero no posee buen soporte para EDP‟s. Es

posible por supuesto resolverlas, sin embargo, la siguiente herramienta de MATLAB ofreceuna mejor alternativa.

PDE Toolbox es otra herramienta que corre sobre el entorno MATLAB, que permitedibujar una pieza en 2-D y aplicar una solución numérica de cualquier EDP mediante elmétodo de los elementos finitos. A comparación de escribir los scripts directamente en el

Debugger de MATLAB o en Bloc de Notas, es muy sencilla de usar, si el usuario conocebien los parámetros a ingresar al modelo. Ésta herramienta será la utilizada en el modelo acontinuación.

3.2. Simplificaciones de la teoría en el modelo

De acuerdo a la información recabada y expuesta en el apartado anterior, se está encondiciones de enunciar las simplificaciones, y por ende, limitaciones del modelo aconstruir. Éstas en su mayoría afectan a las variaciones del coeficiente de difusión D, cuyadefinición es necesaria para las condiciones de frontera del modelo. La EDP que resume lasegunda ley de Fick se utilizará en su totalidad en su forma en dos dimensiones (x e y), sinmayores truncamientos.

En primer lugar, la temperatura hará variar el coeficiente D según la ecuaciónexponencial de Arrhenius explicitada en el apartado (2.5.1). Será necesario por tanto definir

las constantes D0 y H para el cálculo del coeficiente a distintas temperaturas.

El tipo de mecanismo de difusión a tratar es el sustitucional, que es el caso observadomayormente en la difusión Hierro-Carbono como ya se ha aclarado. Esto no influirá en elcálculo de D.

Los valores de D0 se encuentran tabulados para las diferentes estructuras cristalinasde los metales que son sometidos a difusión en los procesos. Estos valores son totalmente





empíricos, ya que no se conoce ni se ha formulado una ecuación para determinar cómovaría la difusión al cambiar las estructuras cristalinas.

No se tomarán en consideración los efectos cristalinos de las piezas. Introducir estavariable en el modelo implicaría afectar a D por un coeficiente empírico que varíe según lacantidad de defectos en la estructura cristalina de la pieza, y por tanto, sería diferente paracada pieza analizada. Como el modelo se arma sobre piezas teóricas, no es precisoconsiderar este factor.

Sobre la concentración de las especies que difunden, la segunda ley de Fick ya lotiene contemplado. Sin embargo, se tiene en cuenta sólo una especie. Es decir que lasimpurezas en la pieza (azufre, fósforo, silicio, etc.) y elementos aleantes además delcarbono (manganeso, cromo, níquel, molibdeno, etc.) se consideran nulos en el análisis dela segunda ley de Fick, y sólo se podría sortear modificando el coeficiente de difusión deacuerdo a la presencia de estos otros elementos. Este inconveniente se acentúa al agregarotra especie que difunda además del carbono desde la atmósfera. Para el análisis numéricodel modelo, sólo se considera como especie al Carbono. No se encuentran métodos quepermitan introducir esta variable dentro del modelo. Sí es posible encontrar tablas donde sedan coeficientes de difusión a cierta temperatura de aceros aleados con cierto porcentaje dealeante, pero eso ya escapa de este modelo y son resultados plenamente empíricos. Lamejor opción es introducir estos coeficientes de difusión tabulados dentro del modelo yejecutar la simulación.

3.3. Construcción del modelo en PDE Toolbox

.

Como ya se ha mencionado, PDE Toolbox trabaja con el método de elementosfinitos. El modelo será, acorde a la limitación del programa, en dos dimensiones, y elcálculo de la difusión de acuerdo a la temperatura se hará aparte en el Command Line deMATLAB. El PDE Toolbox es capaz de dar soluciones a problemas con ecuacioneselípticas, parabólicas, hiperbólicas y de eigenvalores, dadas condiciones de frontera quepueden ser del tipo de Neumann o de Dirichlet. La ecuación elíptica básica del PDE

Toolbox es:

( )c u au f en Ω

Siendo Ω es un dominio acotado en el plano, c, a, f y la incógnita u son escalares. La

ecuación parabólica es:





( )u

d c u au f t

Que es la que se utilizará dentro del PDE Toolbox para el modelo de difusión.

Además, PDE Toolbox ofrece distintas configuraciones o “modos”, cada uno con los

parámetros necesarios para el modelo. Entre ellos están: Transferencia de calor, Modelosmecánicos para graficar esfuerzos, Medio de conducción de corriente alterna,Electromagnetismo en corriente continua, Magnetostática y Difusión, que es el que es deinterés para el objetivo.

La ecuación que maneja PDE Toolbox en su modalidad para simular difusión es:

( )c

D c Qt

Donde c es la concentración, D es el coeficiente de difusión y Q es una fuente devolumen, que consideraremos nula (no hay una fuente de carbono dentro del dominio).Utilizaremos las condiciones de frontera de Dirichlet, que nos permiten fijar laconcentración en la frontera. Neumann permite, por otro lado, fijar la transferencia y elflujo a través de la frontera, lo cual no es lo que se busca.

Comenzaremos entonces por construir una pieza teórica en 2-D. La pantalla de iniciodel PDE Toolbox es como sigue:

Figura 3.1, interfaz de usuario del software PDE Toolbox





Como vemos es un entorno gráfico. En el centro tenemos el espacio de trabajo, dondeconstruiremos nuestra pieza y definiremos sus fronteras. Arriba se encuentran los menúsdesplegables y botones de acceso rápido para dibujo, fijación de condiciones de frontera,“mesh” o construcción de la malla, y fijación de los parámetros de la EDP. Para construir

una pieza en PDE Toolbox a partir de elementos geométricos simples basta con crearlos yen la “fórmula” del elemento, estipular si los elementos se deben restar, sumar o unir tal y

como se efectúa en teoría de conjuntos. Por ejemplo, para crear una placa con bordesredondeados comenzamos dibujando un rectángulo, luego los círculos para redondear y loscuadrados para eliminar los sobrantes en las esquinas. Siendo SQ i la abreviatura decuadrados, Ci las abreviaturas de los círculos y Ri la de rectángulos, la fórmula de la piezaqueda de la siguiente forma: R1-(SQ1+SQ2+SQ3+SQ4)+C1+C2+C3+C4. Esto último seobserva claramente en la imagen siguiente:

Figura 3.2, construcción del dominio

Una vez construida la pieza o dominio, hay que fijar las fronteras del mismo. En elmodo frontera del programa, podemos fijar las condiciones de frontera de cada una de estas por separado, o bien fijar una condición para todas ellas desde el menú “boundaries”. La

siguiente imagen muestra cómo quedaron definidas las fronteras del dominio.





Figura 3.3, ilustración de las fronteras definidas

Fijemos entonces las condiciones de frontera. Seleccionaremos las condiciones deDirichlet, que nos permitirán fijar la concentración de carbono en la superficie exterior dela pieza, que según la teoría la consideraremos 100% (de saturación), es decir asignaremosun valor 1. Al valor “Weight” lo dejaremos en 1 igualmente. La pantalla de parámetros defrontera debe verse de la siguiente manera:

Figura 3.4, parámetros de frontera

Definidas las condiciones de frontera, podemos continuar al paso siguiente. Ahora esnecesario fijar los valores D y Q del sistema. Como dijimos Q será 0. Fijaremos Dentonces, utilizando la ecuación de Arrhenius.

0*

H

RT D D e

(2.11)





Ubicaremos los valores de las constantes D0 y H mediante tablas. Recordemos queR, constante molar de los gases es 8.314 J/(mol K) o 1.987 cal/(mol K).

Tabla 3.1, difusividad para distintos sistemas metálicos

Utilizando una temperatura de 925 °C, es decir 1198 K, se obtiene a través delCommand Window de MATLAB, aprovechando que lo tenemos que utilizar para el PDEToolbox:

>> d = 2*10^-5;

>> H = 142000;

>> R = 8.314;

>> T = 1198;

>> D = d*exp(-H/(R*T))

D =

1.2864e-011

Copiando este último valor dentro de la ventana de parámetros del PDE Toolbox

queda:





Figura 3.5, especificación de la ecuación diferencial a derivadas parciales

El siguiente paso consiste en obtener la malla de elementos finitos mediante laherramienta “mesh”. Sólo hay que hacer click sobre la herramienta y ya tendremos dibujada

sobre la pieza la malla. Podemos hacerla más fina con la herramienta “jiggle mesh”, para

obtener más precisión en el cálculo, perdiendo por otro lado tiempo de cómputo.

La malla ajustada dos veces para la pieza en cuestión resulta:

Figura 3.6, definición y afinamiento de la malla (o “mesh)

Se observa que en aquellos puntos coyunturales, como por ejemplo en las cercaníasde los empalmes, la malla se ajusta aún más. Esto es equivalente a reducir el paso decálculo en los sistemas de cálculo numérico más simples, como el de diferencias finitas. Esdecir, el método de elementos finitos se adapta a aquellos lugares donde puede haber mayorirregularidad.





Dentro de los parámetros a fijar para la solución hay que modificar el tiempo desolución y el valor de la concentración en el tiempo 0 u(t 0), que en este caso sería laaleación de la que se trata. Supongamos un 0,4% de carbono, y se coloca entonces 0,04 enese valor. La pantalla deberá quedar como sigue:

Figura 3.7, parámetros de solución

Clickeando en el signo „igual‟ en la interfaz, el programa resolverá la malla y

graficará la distribución del carbono:





Figura 3.8, solución del problema para la pieza dada

Se observa que para una hora bajo las condiciones expuestas, la penetración decarbono es de algunos mm (las coordenadas están en metros). Acorde a la teoría, se vecomo la frontera del dominio tiene 100% de carbono, es decir que no puede difundir hacia

afuera según lo estipula la segunda ley de Fick.

El programa posee una gran cantidad de opciones de graficación. En la siguienteimagen puede verse que se han colocado un campo vectorial en el plano de la figuracorrespondiente a los gradientes de concentración.





Figura 3.9, solución agregando gradientes de concentración

Se observan unos gradientes altos allí donde comienzan los bordes redondeados, esdecir que allí no ha habido una gran penetración del carbono según la simulación.

Es posible solicitar gráficos en tres dimensiones para observar la variación de esamanera, pero no es propicio para el modelo de difusión puesto que no ayuda a los datos másque el ya visto en dos dimensiones.

A modo de mostrar las posibilidades que tiene el programa, se mostrarán losresultados en otra pieza diferente, con los mismos parámetros fijados:





Figura 3.10, otro ejemplo en una pieza diferente con una geometría más compleja





CONCLUSIÓN

Para concluir este artículo de investigación del GICAPP, es preciso mencionar amodo de resumen el método seguido para este caso particular de un modelo:

1) Búsqueda de información: incluye datos del equipamiento y del proceso,información teórica de las leyes fundamentales que gobiernan el proceso amodelar, y la existencia de modelos semejantes y las técnicas aplicadas en ellos.

2) Ordenamiento y extracción de las ecuaciones fundamentales para el modelo.Simplificaciones. Búsqueda de soluciones existentes de las ecuaciones extraídas ybajo qué suposiciones funcionan. Implica este paso también el entendimiento de

cómo se relacionan estas ecuaciones.

3) Armado del modelo. Entre la gran cantidad de técnicas existentes, debemosseleccionar la más conveniente. En el caso mostrado se escogió un softwarediseñado para la resolución de EDP‟s, en el que las ecuaciones ya se encuentrancargadas y hay que ingresar los datos de acuerdo a la manera en que lasecuaciones diferenciales están programadas en el software.

4) Examen crítico de los resultados del modelo. Una vez ejecutada la simulación yrecogidos los resultados, se debe evaluar si los resultados se acercan a valores

esperados, como primera medida.

5) Luego, como último paso, es necesario comprobar el modelo realizando unasimulación en la realidad y contrastarlo con los resultados del paso (3).

En definitiva, hay una gran similaridad con los pasos descritos en cualquierpublicación sobre modelización de procesos, tanto continuos como discontinuos, en los queel método no varía, sino que varía la forma de tratar el problema.

Es interesante haber trabajado y evaluado un modelo de difusión en el sólido. El

ejemplo clásico y que abunda en los cursos y ensayos de modelización de procesosdiscontinuos es generalmente tratamiento térmico, y preferentemente temple y revenido,utilizando la ley de conducción de calor de Fourier. Haber realizado la primera experienciaen modelización con un proceso del que no se encuentran muchos otros ejemplos ha sidogratificante.





Los resultados han dado valores dentro de los esperados, y hasta se ha podido extraerconclusiones acerca del comportamiento cerca de condiciones de frontera especiales comopueden ser los bordes en ángulo y comienzos de empalmes. Como limitación podemosdecir que se requiere una máquina potente para realizar el modelo. Para simular tiempos de

proceso mayores es necesario un procesador de última generación, de otra manera podríatardar una gran cantidad de horas, dependiendo el tiempo que se haya pedido. En laexperiencia, esta es la razón por la que no se ha intentado simular tiempos mayores, pues alintentarlo la simulación nunca dio fin y hubo que detenerla, pues ya llevaba varias horassimulando y no se confiaba en que fuera realmente a terminar.

La modelización de procesos tiene una buena cuota de independencia y toma dedecisiones por parte del encargado del proyecto, pues nunca hay una sola forma indicadapara encarar un modelo. Las variables que entran en juego al tomar la decisión son enverdad numerosas, y van desde la capacidad y conocimientos del proyectista hasta los

recursos de dinero e informáticos que se dispongan. Este es un aspecto importante dentrode la modelización, pues se presentan varias alternativas posibles para que el proyectistapueda elegir (caja negra vs mecanicista, por ejemplo) de acuerdo a sus condiciones. Inclusouna vez elegido la técnica, existe una enorme cantidad de variantes y opciones de cómoatacar el problema, que también deben ser evaluadas para llegar a la solución másconveniente.





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