Líneas de Espera - prof.usb.veprof.usb.ve/nbaquero/Lineas de Espera.pdf · USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I LINEAS DE ESPERA _____ 3 Contenido ¾Tipos de modelos de colas ¾ModeloA:

USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I LINEAS DE ESPERA

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1

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

LINEAS DE ESPERA


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2

Contenido

Características de un sistema de líneas de espera

Características de las llegadasCaracterísticas de la línea de esperaCaracterísticas del dispositivo de servicioMedida del funcionamiento de las colasCostos de las colas


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3

Contenido

Tipos de modelos de colasModelo A: modelo de cola de canal únicoy tiempos exponenciales de servicioModelo B: modelo de cola muticanalModelo C: modelo de tiempo de servicioconstanteModelo D: modelo de población limitada

Otros enfoques de las colasModelos de decisión de colas


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4

Objetivos de aprendizaje

Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de:Identificar o definir:

Supuestos de los cuatro modelos básicos de líneas de espera

Describir o explicar:Cómo aplicar los modelos de líneas de esperaCómo dirigir un análisis económico de colas


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5

Usted ha estado ahí antes

‘La otra línea siempre va es más rápida.’‘Si usted cambia de línea, la que dejó de utilizar comenzará a ir más rápido que la nueva’. © 1995 Corel Corp.

Gracias por esperar.Hola, ... ¿está usted ahí?


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6

Sistema de líneas de espera

Sistema de servicio

Línea de espera Dispositivo de servicio

Llegadas

© 1995 Corel Corp.


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Ejemplos de líneas de espera

Banco Clientes Cajero Depósito, etc.Consulta Pacientes Doctor Tratamientodel médicoCruce Coches Luz Paso controladode tráfico Cadena Piezas dede montaje Montaje Trabajadores

Situación Llegadas Servidores Proceso de servicio


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Líneas de espera

Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913:

Análisis de los servicios telefónicos.Área de conocimiento denominada teoría de colas:

Cola es otra denominación para línea de espera.

Problema de decisión:Equilibrio entre el costo de suministrar un buen servicio y el costo de tiempo de espera de los clientes.


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Costos de las líneas de espera

Nivel de servicioNivel de servicio

CostoCosto

CostoCosto porpor servicioservicio ((operación

operación))CostoCosto esperado total

esperado total

CostoCosto del tiempo en cola (del tiempo en cola (clientesclientes))

Óptimo


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Terminología de las líneas de espera

Cola: línea de espera.Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio.Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio.Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio.Fase: número de pasos a seguir en el servicio.


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Características de la llegada

Dispositivo de servicioLínea de esperaPoblación

Tamaño de la población:LimitadaIlimitada

Comportamiento de las llegadas:

Ponerse a la cola y esperar a ser servidoSe niegan a colocarse en la colaReniegan, abandonan la cola

♦ Distribución de la llegada:

♦ Poisson♦ Otras

♦ Patrón de las llegadas:♦Aleatoria♦Secuencia conocida

Características de la llegadaCaracterísticas de la llegada


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Características de las llegadas

Origen de las llegadas (población)

Tamaño

Ilimitado


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Origen delas llegadas(población)

Tamaño

LimitadoIlimitado

© 1995 Corel Corp.

Número fijo de aviones

para revisión


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Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado Aleatorio No aleatorio


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15



Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Poisson Otros


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Llegadas aleatorias

Los clientes llegan de forma aleatoriaDistribución discretax es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto)E{x} = número promedio de llegadas por unidad de tiempo


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Distribución de Poisson

0,00,30,6

0 1 2 3 4 5X

P(X) λλ = 0,5= 0,5Número de llegadasque ocurren en un intervalo de tiempo:

Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos.

Media = λ (por ejemplo: 5/hora) 0,0

0,30,6

0 2 4 6 8 10X

P(X) λλ = 6,0= 6,0


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18

Distribución Poisson

La función de probabilidad:

La media y la varianza son:

!)(

kekxP

kλλ−

==

{ } λ=xE

{ } λ=xVar


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19

Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

0,00

0,05

0,10

0.15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

Prob

abilid

ad

Prob

abilid

ad

λ=2 λ=4


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20

Probabilidad de llegada de clientes

En una instalación de servicio llegan los clientes de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa de 4/minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en cualquier intervalo dado de 30 segs.?


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21

Probabilidad de llegada de clientes

.30/22/430 segsclientessegs ==λ

1353.0!02)0(02

===−exP

{ } { } 8647.01353.01011 =−==−=≥ xPxP


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22


Origen delas llegadas (población)

Tamaño ComportamientoPatrónde llegada

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio Paciente Impaciente

Poisson Otros


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23


Origen de las llegadas (población)



RehúsaPoisson Otros


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24

Rehusar

Origen de las

llegadasDispositivo de servicio

Línea deespera

Sistema de servicio

© 1995 Corel Corp.

¡La cola era demasiado

larga!


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25





Rehúsa ReniegaPoisson Otros


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Renegar

Origen de las

llegadas Dispositivo de servicio

Línea de espera

Sistema de servicios

© 1995 Corel Corp.

¡Me voy!


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Características de la línea de espera


Características de la línea de espera♦Tamaño de la cola:

♦ Limitado (Ej. cola de proceso)♦ Ilimitado (Ej. pedidos de correo)

♦Prioridad del servicio: orden en el cual los clientesseleccionan una cola:

♦ FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served)♦ LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served)♦ SIRO (Service in Random Order) ♦ Otros (Prioridad Ej. Trabajos urgentes)


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28


Línea de espera

Duración

Ilimitada

© 1995 Corel Corp.


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29


Línea de espera

Duración

LimitadaIlimitada

© 1995 Corel Corp.

© 1995 Corel Corp.


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30


Línea de espera

Duración Disciplinade cola

LimitadaIlimitada FIFO(FCFS) Aleatorio

(SIRO)Prioridad

LIFO (LCFS)


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Características del dispositivo de servicio


Características del dispositivo de servicio

♦ Número de canales:♦ Único (un solo servidor)♦ Múltiple (varios servidores en paralelo)

♦ Número de fases en el sistema de servicio:

♦ Único Múltiple♦ Distribución del tiempo de servicio:

♦Exponencial negativo♦ Otros


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Características del servicio

Dispositivode servicio

Configuración

MulticanalCanalúnico

Fase única


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33

Atención al cliente aleatoria

El tiempo de servicio es aleatorioSe modela mediante la distribución exponencial negativaLa función de distribución es

tetf µµ −=)( 0⟩t


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34

Distribución exponencial negativa

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 x

Prob

abilid

ad t>

x µ=1µ=2µ=3µ=4

Tiempo de servicio :Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos.

Tasa de servicio media = µ

Por ejemplo: clientes/hora.

Tiempo de servicio medio = 1/µ


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35

Distribución exponencial negativa

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Pro

babi

lity

0 30 60 90 120 150 180 Service time (minutes)

Tiempo de servicio medio = 1 horaTiempo de servicio medio = 1 hora

Tiempo de servicio medio = 20 minutosTiempo de servicio medio = 20 minutosProb

abili d

a d

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

Tiempo de servicio (minutos)

µµ=1 cliente/hora=1 cliente/hora

µµ=3 cliente/hora=3 cliente/hora


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36

Tiempo de servicio

Probabilidad

La media y la varianza

t)( µetxP −=>

{ }µ1

=tE { } 21µ

=tVar


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37

Tiempo de servicio

Una máquina de servicio presenta un promedio de una falla cada 40 minutos.Determine el número promedio de fallas en una semana, si el servicio se ofrece 24 horas, los 7 días de la semana.Determine la probabilidad de que la siguiente falla no ocurra dentro de 3 horas.


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38

Tiempo de servicio

horafallas /5.14060

==µ

{ } semfsemanafallasE /2527*24*5.1/ ==

( ) 0111.03 3*5.1 ==⟩ −exP


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39

Recuerde: λ y µ son valores

λ = número medio de llegadas por período de tiempo.

Ejemplo: 3 unidades/hora

µ = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo.

Ejemplo: 4 unidades/hora

© 1984-1994 T/Maker Co.

Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces µ es 4 clientes/hora.

•1/µ = 15 minutos/unidad


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40

Sistema de un canal, una fase

LlegadasUnidadesservidas

Dispositivo de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera delos barcos

Barcos en el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos vacíos


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41

Sistema de un canal, multifase

Autos y comida

LlegadasUnidades servidas


Cola

Sistema de servicio

RecogidaAutos en cola

Autos en el área

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Pago



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42

Sistema multicanal, una fase

Unidadesservidas

Dispositivode servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivode servicio

Llegadas

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.


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43

Sistema multicanal, multifase


Unidades servidas

Dispositivo de servicioCola

Sistema de servicio


Dispositivode servicioLlegadas

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras.


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44

Definiciones

Número de clientes en el sistema= n Tasa de llegada nominal de clientes = λTasa de llegada efectiva de clientes = λefectiva

λ= λefectiva + λpérdida

Tasa de salida de clientes = µρ = λefectiva / µ suponemos ρ<1 (estabilidad)Probabilidad de n clientes en el sistema = pn


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45

Medidas de rendimiento

Tiempo medio en la cola, Wq.Longitud media de la cola, Lq.Tiempo medio en el sistema, Ws.Número medio de clientes en el sistema, Ls.Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté desocupado, p0.


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46


Tamaño de las colas

Fórmulas de Little

∑∞

=

=1n

ns npL ( )∑∞

+=

−=1cn

nq pcnL

qeffq WL λ=seffs WL λ=


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47


Tiempo en el sistema y tamaño de la cola:

µ1

+= qs WW

µλefectiva

qs LL +=


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48


Número promedio de servidores ocupados:

cµ

λefectivaqs LLc =−=

Porcentaje de utilización de los servidores:

100*⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

cc


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49

Notación Kendall

a = descripción de la distribución de llegadas(M = Poisson)

b = descripción de la distribución de salidas(M = Exponencial negativa, D= tiempo constante)

c = número de servidores paralelosd = disciplina de la cola (FIFO, LIFO, SIRO, GD)e = número máximo de clientes permitido en el

sistema (N)f = tamaño de la fuente generadora de clientes (N o :)

( ) ( )fedcba //://


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Características del modelo de colas básico

Las llegadas se sirven con disciplina primero quellega, primero que se sirve (FIFO).Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores.Los patrones de llegada se describen mediante una distribución de probabilidad de Poisson. Los clientes provienen de una población muy grande.Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio.Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa.El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas(ρ<1).


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51

Tipos de modelos de colas

Simple (M/M/1) : (GD/:/:)Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.

Multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.

Servicio constante (M/D/1) : (GD/N/:)Ejemplo: túnel de lavado de autos.

Población limitada (M/M/c) : (GD/N/N)Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.

Auto servicio (M/M/:) : (GD/:/:)


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52

Características del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:)

Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una sola cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Ritmo de servicio > ritmo de llegada


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53

Ecuaciones del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:)

Número medio de unidades en cola: =

λ

µ - λLs

Tiempo medioen el sistema:

Número medio de unidades en cola:

W

L

s

q

=

= λ

1

2µ - λ

µ (µ - λ )Tiempo medio en cola: W q = λ

µ (µ - λ )

=ρ λµ

Utilización del sistema:


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54

Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1) : (GD/:/:)

Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema,es decir, que el sistema esté desocupado:

P0 1 1= - = -ρ λµ

Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema, k+1

=Pn>kλµ( )

donde n es el número de unidades en el sistema.


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55

Características del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)

Tipo: sistema multicanal.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, colas múltiples.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada


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56

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)

λcµcµ

µλ

c!1

µλ

n!1

1pc1c

0n

n0

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑−

=

Probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema:

( ) ( ) µλ

λµµ

λλµ0!1

pcc

L

c

s −−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=Número medio de personas o unidades en el sistema:

( ) ( ) µλµµ

λµ 1!1 0 +−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= pcc

W

c

s

Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:


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57

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:)

Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio:

µ1−=

µλ−=

sq

sq

WW

LL

Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:


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58

Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:)

Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una única cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: llegada y servicio independiente.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada


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59

Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:)

Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio:

( )

( )λ−µµ2λ=

λ−µµ2λ=2

q

q

W

L

Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

µ1+=

µλ+=

qs

qs

WW

LLNúmero medio de personaso unidades en el sistema:

Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:


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60

Características del modelo de población limitada (M/M/c) : (GD/N/N)

Modelo: sistema de un canal, una fase.Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega.Distribución de llegada: Poisson.Cola: ilimitada, una única cola.Disciplina de cola: FIFO (FCFS).Distribución del servicio: exponencial negativa.Relación: servicio y llegada independientes.Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada


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61

Modelos de decisión de colas

Modelos de costosModelo de aspiración de nivel

Utilizan las medidas de rendimiento desarrolladas para conseguir un balance entre los factores en conflicto:

Nivel de servicioEspera


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Modelos de costos

Intentan balancear dos costos en conflicto

El costo de ofrecer el servicioEl costo de retraso en la oferta del servicio (tiempo de espera del cliente)

ETC (x) = EOC(x) + EWC(x)ETC (x) = EOC(x) + EWC(x)donde: donde:

x= nivel de servicio (medido por x= nivel de servicio (medido por µµ o por o por cc))ETC = Costo Total esperado por unidad de tiempoETC = Costo Total esperado por unidad de tiempoEOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempoEOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempoEWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempoEWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempo


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Costos de las líneas de espera

Nivel de Nivel de servicioservicio (x)(x)

CostoCosto porporUnidadUnidad de de tiempotiempo

CostoCosto porpor servicioservicio ((operación

operación) (EOC)) (EOC)

CostoCosto esperado total (ETC)

esperado total (ETC)

CostoCosto del tiempo en cola (del tiempo en cola (clientesclientes))(EWC)(EWC)

Óptimo


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Modelo siguiendo funciones lineales

Las formas más simples son:

EOC(x) = CEOC(x) = C11 xx

EWC(x) = CEWC(x) = C22 LLssdonde: donde:

CC11 = costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo= costo marginal por unidad de x por unidad de tiempoCC22 = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en

espera)espera)x x = medido por = medido por µµ o por o por cc


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Modelo de nivel de aspiración

Trabaja directamente con las medidas de rendimiento arrojadas por el modelo de colas.Se determina el rango aceptable para el nivel de servicio (medido por µ o por c) especificando límites razonables sobre las medidas de rendimiento en conflicto.Estos límites son los niveles de aspiración que se desea lograr.


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66

Ilustración de nivel de aspiración

Para el modelo de servidor múltiple:Medidas de desempeño:WWss = tiempo de espera promedio en el sistema= tiempo de espera promedio en el sistemaXX = porcentaje de ociosidad de los servidores = porcentaje de ociosidad de los servidores

( ) ( )100*1100*100* ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

−=

µλ

ccLLc

cccX fectivaqs


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67

Ilustración nivel de aspiración

El modelo se reduce a determinar el número de servidores c tal que

β≤Xα≤sW y

donde α y β son los niveles de aspiración especificados por el responsable de las decisiones


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68

Gráfico de valores de aspiración

WWss y XX se grafican en función del nivel de servicio c.Si las dos condiciones no se satisfacen simultáneamente, entonces una o ambas restricciones deben liberarse.

XXWWs

Rango aceptable para cs

ββ

αα

c

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