LAnalyse de Covariance Modèle complet Le modèle dANCOVA Le modèle de la régression commune

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  • LAnalyse de Covariance Modle complet Le modle dANCOVA Le modle de la rgression commune
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  • Modles linaires simples LAnalyse de Covariance
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  • Utilisation de lANCOVA Afin de comparer une relation entre une variable dpendante (Y) et une variable indpendante (X 1 ) pour diffrents niveaux dune variable discrte (X 2 ) ex: la relation entre le poids (Y) et la taille (X 1 ) pour diffrents groupes taxonomiques (oiseaux et mammifres, X 2 ) Taille Masse Taille LAnalyse de Covariance
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  • Lorsque lon fait ces comparaisons, on suppose que les modles sont qualitativement similaires pour tous les niveaux de la variable discrte... autrement ce serait comme comparer des pommes et des oranges! X1X1 Y Modles qualitativement diffrents Y Modles qualitativement similaires LAnalyse de Covariance Utilisation de lANCOVA
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  • Le modle de la rgression simple Le modle de la rgression: toutes les rgressions simples sont dcrites par 2 paramtres: lordonne lorigine (a) et la pente (b) X X Y b = Y X (pente) a (ordonne lorigine) eiei XiXi YiYi Observes Prdites LAnalyse de Covariance
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  • X1X1 Y a diffrent mme b X1X1 Y a & b diffrent X1X1 Y mme a, mme b X1X1 Y mme a diffrents b LAnalyse de Covariance
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  • Ajustement au modle Commencer par un modle dordre suprieur en incluant le plus de termes possible. Ajuster un modle rduit Tester la signification du terme exclus Modle dordre suprieur Modle rduit F Terme exclus (p ) Terme inclus (p ) LAnalyse de Covariance
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  • Le modle complet i est la pente de la rgression de Y sur X 1 estime pour le niveau i de la variable discrte X 2 i est la diffrence entre les moyennes de la variable discrte X 2 pour chaque niveau i et la moyenne gnrale. Le modle complet LAnalyse de Covariance Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2
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  • Le modle complet Pour le modle complet contenant 2 variables indpendantes, on a 3 hypothses nulles: Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 hypothses nulles LAnalyse de Covariance
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  • Y Y Y Le modle complet
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  • Conditions dapplication Les rsidus sont indpendants et distribus normalement La variance des rsidus est gale pour toutes les valeurs de X et indpendantes des valeurs de la variable discontinue (homoscedasticit) pas derreur sur les variables indpendantes LAnalyse de Covariance Le modle complet
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  • Ajuster le modle complet, tester la diffrence entre les pentes Si H 02 est rejete, faire des rgressions spares pour chaque niveau de la variable catgorique Si H 02 est accepte, ajuster le modle d ANCOVA. Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 X1X1 Y ANCOVA Rgressions spares H 02 accepteH 02 rejetee LAnalyse de Covariance Le modle complet
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  • Exemple Q1: la pente de la rgression de LFKL sur LAGE est la mme pour les deux sexes? Femelles Mles age, sexe et longueur de lesturgeon LAnalyse de Covariance Le modle complet
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  • SEX$*LAGE 0.000 1 0.000 0.337 0.563 Conclusion 1: la pente est la mme pour les deux sexes (accepter H02 ) p(SEX$*LAGE) > 0.05 Q2: lordonne lorigine est-elle la mme? Exemple LAnalyse de Covariance DepVar: LFKL N: 92 Multiple R: 0.835 Squared multiple R: 0.697 Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P LAGE 0.143 1 0.143 176.650 0.000 SEX$ 0.000 1 0.000 0.504 0.479 Error 0.071 88 0.001 Le modle complet
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  • Dcomposition de la variation (n-2) (diffrence des ordonnes lorigine) Interaction A et B (non paralllisme des droites) Rsidus autour des droites Totale (n-1) 1 Effet facteur B/A (var continue A) Hors rgression Sources de variation Modle linaire simple SCE ddl (p-1) (n-2p) LAnalyse de Covariance Le modle complet
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  • Le modle: est la pente de la rgression de Y sur X 1 regroupe pour tous les niveaux de la variable catgorique X 2. i est la diffrence entre la moyenne pour chaque niveau i et la moyenne gnrale LAnalyse de Covariance Le modle additif
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  • Pour une ANCOVA avec 2 variables indpendantes, deux hypothses nulles: Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 Le modle additif LAnalyse de Covariance hypothses nulles
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  • Y Y Y LAnalyse de Covariance Le modle additif
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  • Conditions dapplication du modle additif les rsidus sont indpendants et distribus normalement la variance des rsidus est gale pour toutes les valeurs de X et indpendantes des valeurs de la variable catgorique (homoscedasticit) les pentes des rgressions de Y sur X sont les mmes pour tous les niveaux de la variable catgorique (ce nest pas une condition dapplication du modle complet!!) LAnalyse de Covariance Le modle additif
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  • Procdure Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2 X1X1 Y Rgression commune Rgressions spares H 01 accepteH 01 rejete Ajuster le modle dANCOVA, tester: Si H 01 est rejete, sparer les rgressions pour chaque niveau de la variable discontinue Si H 01 est accepte, ajuster une rgression commune. LAnalyse de Covariance Le modle additif
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  • Exemple Conclusion 2: Ordonne lorigine est la mme pour les deux sexes. H01 est accepte. p(SEX$ >.05), le meilleur modle est la rgression commune. la rduction du R2 est ngligeable (.697 to.696). LAnalyse de Covariance Le modle additif LAGE 0.143 1 0.143 178.163 0.000 Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: 0.834 Squared multiple R: 0.696 Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P SEX$ 0.001 1 0.001 1.851 0.177 Error 0.072 89 0.001
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  • Le modle droites confondues Le modle: est la pente de la rgression de Y sur X 1, regroupe pour tous les niveaux de la variable discrte X 2. est la moyenne groupe de X 1. LAnalyse de Covariance Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2
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  • On a deux hypothses nulles pour la rgression commune: Le modle droites confondues LAnalyse de Covariance hypothses nulles Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2
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  • 1.211 0.031 0.0. 39.191 0.000 LAGE 0.336 0.024 0.830 1.000 14.144 0.000 Exemple Le modle droites confondues LAnalyse de Covariance Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: 0.830 Squared multiple R: 0.690 Adjusted squared multiple R: 0.686 Standard error of estimate: 0.029 Effect Coefficient Std Error Std Coef Tolerance t P(2 Tail) CONSTANT
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  • Conditions dapplication du modle droites confondues Les rsidus sont indpendants et distribus normalement la variance des rsidus est gale pour toutes les valeurs de X et indpendantes des valeurs de la variable discrte (homoscdasticit) Le modle droites confondues LAnalyse de Covariance
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  • Conclusion Aller du modle complexe au modle simple Donc choisir a priori les variables explicatives LAnalyse de Covariance