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L'analisi classica delleserie storiche
Dr. Simone Celant
Cos'è una serie storica?
Una serie storica è una serie di osservazioni del medesimo fenomeno ad intervalli regolari di tempo
Esempi di serie storiche:- rilevazioni trimestrali del Prodotto Interno Lordo dell'Italia effettuate dall'ISTAT- prezzo orario delle azioni di una compagnia- profitto annuo di un'azienda- temperatura massima giornaliera in una determinata località- ...
Cos'è l'analisi delle serie storiche?
L'analisi delle serie storiche consiste in una serie di metodologie che permettono di scomporre l'andamento di una serie.
L'obiettivo dell'analisi è identificare le componenti dell'andamento della serie in modo da potersi concentrare sul movimento di fondo della stessa, ed utilizzare queste informazioni per effettuare previsioni.
Perché l'analisi delle serie storiche?
La metodologia statistica più adatta alle previsioni è il modello di regressione.
Tuttavia il modello di regressione, per poter stimare il valore futuro di una quantità (ad es. consumi), richiede che si conosca il valore futuro dei regressori (ad es. reddito), altrimenti si possono solo fare ipotesi.
In molte circostanze, il miglior metodo di previsione per l'andamento una variabile consiste nel basarsi sul suo valore attuale e passato
Da tenere bene a mente
Nell'analisi delle serie storiche, l'unica cosa cui si è interessati è dare una spiegazione quantitativa all'andamento nel tempo di un fenomeno, in modo da poter formulare delle ipotesi realistiche sul suo andamento futuro
Tutto questo, indipendentemente da eventuali variabili che possano influenzare l'andamento della serie, sia nel passato che in ottica previsiva: il fenomeno viene modellato solamente rispetto al tempo.
Qualcuno lo riconosce?
Un semplice esempio di serie storica
Analisi preliminare: il time plot
Una prima analisi intuitiva che conviene effettuare per avere un'idea del fenomeno che si sta analizzando è un'analisi grafica.
Il grafico più semplice per rappresentare una serie temporale è il time plot, che rappresenta l'evoluzione della serie rispetto al tempo
Popolazione residente in Italia, 1982-2008
Time plot della popolazione residente in Italia, 1982-2008
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 200954000000
55000000
56000000
57000000
58000000
59000000
60000000
61000000
Consumo annuo di energia elettrica dell'Italia nel periodo 1963-2007
Anno Consumo Anno Consumo Anno Consumoenergetico energetico energetico
1963 72643 1978 177167 1993 2622201964 77741 1979 186657 1994 2694031965 83299 1980 191824 1995 2789071966 90835 1981 191288 1996 2818131967 98739 1982 192595 1997 2902941968 106127 1983 193962 1998 3005181969 112927 1984 203559 1999 3076671970 121388 1985 209409 2000 3209761971 126521 1986 214444 2001 3273721972 135461 1987 224518 2002 3359201973 146397 1988 234817 2003 3448331974 151198 1989 244479 2004 3489561975 149914 1990 251546 2005 3528261976 164638 1991 257123 2006 3590751977 169322 1992 261543 2007 360171
Time plot del consumo annuo di energia elettrica dell'Italia, 1963-2007
19631964
19651966
19671968
19691970
19711972
19731974
19751976
19771978
19791980
19811982
19831984
19851986
19871988
19891990
19911992
19931994
19951996
19971998
19992000
20012002
20032004
20052006
2007
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani nel periodo 1999-2008
Anno Mese Anno Mese Anno Mese Anno Mese Anno Mese
1999gen 3543 2001gen 3690 2003gen 3784 2005 gen 4228 2007 gen 4375feb 3797 feb 4220 feb 4213 feb 4410 feb 4856mar 4747 mar 5107 mar 5262 mar 6081 mar 6186apr 6179 apr 7159 apr 6975 apr 6813 apr 8455mag 7535 mag 7484 mag 8081 mag 8473 mag 8783giu 7910 giu 9818 giu 9547 giu 9813 giu 11246lug 9828 lug 10771 lug 10415 lug 11941 lug 12578ago 10580 ago 11544 ago 11838 ago 12026 ago 13111set 7768 set 8468 set 8092 set 8971 set 9936ott 5695 ott 5830 ott 6306 ott 6900 ott 7057nov 3399 nov 3815 nov 3872 nov 4179 nov 4710dic 3340 dic 3868 dic 4341 dic 4504 dic 4859
2000gen 3581 2002gen 3488 2004gen 4082 2006 gen 4386 2008 gen 4507feb 3920 feb 4153 feb 4678 feb 4761 feb 5191mar 5028 mar 5857 mar 5463 mar 5823 mar 6664apr 6975 apr 6452 apr 7090 apr 8272 apr 7424mag 7226 mag 8109 mag 8574 mag 8542 mag 9806giu 9029 giu 9284 giu 9232 giu 10632 giu 10486lug 10755 lug 10463 lug 11335 lug 12359 lug 12364ago 11213 ago 11711 ago 11800 ago 12457 ago 13673set 8571 set 8371 set 8731 set 9710 set 9329ott 5926 ott 6256 ott 6681 ott 6889 ott 6869nov 3701 nov 3980 nov 4077 nov 4396 nov 4379dic 4108 dic 3905 dic 4215 dic 4819 dic 4854
Arrivi Tot.
Arrivi Tot.
Arrivi Tot.
Arrivi Tot.
Arrivi Tot.
Time plot degli arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008
1999,011999,04
1999,071999,10
2000,012000,04
2000,072000,10
2001,012001,04
2001,072001,10
2002,012002,04
2002,072002,10
2003,012003,04
2003,072003,10
2004,012004,04
2004,072004,10
2005,012005,04
2005,072005,10
2006,012006,04
2006,072006,10
2007,012007,04
2007,072007,10
2008,012008,04
2008,072008,10
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Le componenti sistematiche di una serie storica
Abbiamo quindi visto 3 componenti sistematiche chiaramente identificabili di una serie:
- il trend: l'andamento tendenziale di fondo- il ciclo: oscillazioni più o meno ampie e di varia lunghezza intorno al trend- la stagionalità: oscillazioni precise di entità varia ma periodo sempre uguale intorno ai valori di trend e ciclo
C'è una quarta componente, la variazione dovuta ai giorni di calendario.
Le variazioni dovute alledifferenze di calendario
Se si analizza una serie aggregata, come gli arrivi turistici, è diverso se il mese in questione conta 30, 31 o 28 giorni.
Per questo le osservazioni di queste serie devono essere aggiustate per le differenze di calendario. In un anno non bisestile, ci sono 365 giorni in 12 mesi, quindi i mesi durano in media 30,42 giorni.
Per aggiustare i valori di una serie basta dividerli per il numero di giorni di cui è composto il mese, e moltiplicarli per 30,42.
Le variazioni dovute alledifferenze di calendario
Le osservazioni delle serie economiche vengono di solito divise sulla base dei giorni lavorativi nel mese e motiplicate per il numero medio di giorni lavorativi in un mese.
Solo le serie aggregate devono essere aggiustate per i giorni di calendario. La media mensile delle temperature massime non cambia se viene calcolata su un mese di 28 ed uno di 31 giorni.
Le variazioni stagionali
Le variazioni stagionali sono variazioni sistematiche che riguardano la periodicità della serie.
Ad esempio, gli arrivi turistici dipendono fortemente dal periodo dell'anno in cui ci si trova; lo stesso vale per i consumi individuali.
Se la serie è mensile, avremo 12 coefficienti stagionali relativi ai mesi; se la serie è trimestrale, ne avremo 4, relativi ai trimestri.
Le variazioni stagionaliSi parla di variazioni stagionali in qualunque caso, anche se le stagioni non c'entrano niente: è un fenomeno legato solo alla periodicità della serie.
Ad esempio, se si analizza la serie quotidiana di vendite di un giornale, si avrà una stagionalità pari a 7.
Se si analizza il consumo orario di energia elettrica, si avrà una stagionalità pari a 24.
Questo non implica che la stagionalità su base annua non sussista: tuttavia, se si vuole fare analisi di ampio respiro, non si utilizzano serie giornaliere od orarie.
Le variazioni ciclicheIl ciclo ha effetti sul medio-lungo periodo. Le variazioni cicliche sono oscillazioni di lunghezza ed intensità variabili, legati a circostanze contingenti.
Il ciclo economico è il responsabile della maggior parte delle oscillazioni cicliche di qualunque serie economica e finanziaria: il turismo è una di queste. Tuttavia, ad esempio, anche le mode hanno una grossa influenza sulla scelta di destinazioni turistiche.
Esistono fenomeni, come quelli climatici, che sono caratterizzati da diversi cicli annidati uno dentro l'altro di durata che varia tra i pochi anni e diversi millenni.
Il trendIl trend è l'andamento di fondo della serie. In ultima
analisi, è quello che ne determina l'andamento futuro. Gli aspetti di stagionalità e ciclo sono transitori (anche
se comunque sempre presenti), il trend molto meno.
Una serie può cambiare trend: il trend può modificare il coefficiente angolare (appiattirsi o impennarsi), o il
livello generale (un gradino verso l'alto o il basso).
Tuttavia, prima che sia passato del tempo, è difficile scindere un cambiamento del trend da un movimento
ciclico particolarmente violento.
Ricordate?
Le scomposizioni classiche
In realtà nei modelli di scomposizione classica il trend ed il ciclo sono considerati formare una sola componente, detta componente sistematica detta di trend-ciclo.
La stagionalità, insieme agli errori accidentali, forma invece una componente non sistematica, dalla quale la serie deve essere depurata.
L'eliminazione delle variazioni dovute a differenze di calendario è invece una pre-trattazione dei dati.
La componente sistematica
Nulla vieta, tuttavia, una volta ottenuta la scomposizione in componente sistematica di trend e ciclo ed in componente transitoria di stagionalità ed errore, di effettuare una stima del trend per interpolazione.
Molte serie economiche (come ad esempio il consumo orario di energia visto prima) hanno un trend crescente che, considerando orizzonti temporali non eccessivamente lunghi, è ben interpretato da una retta.
Le medie mobiliIl modo più veloce per privare una serie delle componenti stagionali è quello di calcolare, per ogni elemento della serie, delle medie come segue.
Ad esempio, il valore di gennaio degli arrivi può essere “aggiustato” calcolando una media che comprenda gennaio come valore centrale, con i 6 mesi precedenti ed i 6 mesi successivi.
In questo modo, gli effetti della stagionalità vengono assorbiti dal fatto che ogni valore è aggiustato con una media che comprende un intero periodo.
Le medie mobili
Questo costrutto è noto come media mobile.
La media mobile va effettuata su un numero di elementi pari al periodo della serie, e deve essere centrata sul valore che si vuole depurare: quindi la media mobile di marzo 2007 deve avere il valore di marzo 2007 della serie come valore centrale.
Si parla pertanto di media mobile centrata.
Le medie mobili
Se il periodo ha lunghezza dispari (come ad esempio i giorni della settimana) le medie mobili risultano automaticamente centrate.
Infatti, le medie mobili a 7 elementi comprendono esattamente il valore centrale, 3 elementi alla sua destra e 3 elementi alla sua sinistra.
Quindi nel caso di serie giornaliera, se il periodo è settimanale, il calcolo delle medie mobili centrate è immediato.
Le medie mobili
La media mobile (MA, da Moving Average) della serie, centrata sull'elemento t, con k elementi a destra e sinistra di t è data da:
Nel caso in cui il periodo sia 7 (dati giornalieri), k è dunque pari a 3, ossia al numero di elementi a destra ed a sinistra di t considerati per il calcolo.
MAt , k=y t− k yt− k− 1 ... y t−1 y t y t 1... y t k− 1 yt k
2k1
Le medie mobili
Se il periodo ha un numero di elementi pari (come i mesi in un anno), è necessario un aggiustamento per centrare la media mobile.
Volendo calcolare il valore per il mese di luglio, se si considerano tutti i mesi da gennaio a dicembre, il valore di luglio non risulterebbe centrale, in quanto avrebbe 6 elementi alla sua sinistra (da gennaio a giugno), ma solo 5 alla sua destra (da agosto a dicembre).
Le medie mobili
L'artificio consiste nel considerare il mese di gennaio dell'anno in corso (t-6) e quello dell'anno successivo (t+6) con pesi dimezzati. In questo modo, il valore relativo al mese di luglio è al centro della media mobile:
MAt , k=
12
yt− k y t− k−1... yt− 1 y t y t1... yt k−112
y t k
2k
Time plot degli arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008
1999,011999,04
1999,071999,10
2000,012000,04
2000,072000,10
2001,012001,04
2001,072001,10
2002,012002,04
2002,072002,10
2003,012003,04
2003,072003,10
2004,012004,04
2004,072004,10
2005,012005,04
2005,072005,10
2006,012006,04
2006,072006,10
2007,012007,04
2007,072007,10
2008,012008,04
2008,072008,10
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Effetti delle medie mobili
Nel grafico emergono chiaramente due aspetti:
1. Il time plot arancione, delle medie mobili cenrtate con k=6, non soffre di fluttuazioni stagionali dovute alle differenze negli arrivi nei vari mesi e da un'idea molto più precisa di un andamento di fondo;
2. Il time plot arancione comincia 6 mesi dopo e si interrompe 6 mesi prima della fine della serie: calcolando le medie mobili centrate si perdono esattamente k osservazioni in testa ed in coda alla serie.
Time plot degli arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008
1999,071999,10
2000,012000,04
2000,072000,10
2001,012001,04
2001,072001,10
2002,012002,04
2002,072002,10
2003,012003,04
2003,072003,10
2004,012004,04
2004,072004,10
2005,012005,04
2005,072005,10
2006,012006,04
2006,072006,10
2007,012007,04
2007,072007,10
2008,012008,04
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
Problemi delle medie mobili
Le medie mobili eliminano i movimenti stagionali solamente di durata uguale a quella del periodo scelto, o ad un suo sottomultiplo.
La presenza di una qualche forma di ciclicità, anche numericamente irrilevante, di periodo diverso, utilizzando le medie mobili potrebbe emergere e sembrare improvvisamente significativa.
Questo problema è noto come effetto di Slutzky-Yule.
Da tenere bene a mente
Quello che abbiamo fatto con le medie mobili non rappresenta una destagionalizzazione a tutti gli effetti: per ora abbiamo solo eliminato le fluttuazioni stagionali con una procedura grezza.
E' comunque possibile avere un'idea dell'andamento tendenziale e dei cicli del fenomeno degli arrivi negli esercizi turistici italiani. Effettuiamo ad esempio un'interpolazione dei dati ottenuti con le medie mobili col metodo dei minimi quadrati.
Time plot degli arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008, e
retta dei minimi quadrati
1999,071999,10
2000,012000,04
2000,072000,10
2001,012001,04
2001,072001,10
2002,012002,04
2002,072002,10
2003,012003,04
2003,072003,10
2004,012004,04
2004,072004,10
2005,012005,04
2005,072005,10
2006,012006,04
2006,072006,10
2007,012007,04
2007,072007,10
2008,012008,04
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
I residui del modello: un'idea del ciclo
1999,071999,10
2000,012000,04
2000,072000,10
2001,012001,04
2001,072001,10
2002,012002,04
2002,072002,10
2003,012003,04
2003,072003,10
2004,012004,04
2004,072004,10
2005,012005,04
2005,072005,10
2006,012006,04
2006,072006,10
2007,012007,04
2007,072007,10
2008,012008,04
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
I metodi di scomposizione
Nell'analisi classica la serie storica aggiustata per le variazioni di calendario deve essere scomposta nelle sue 4 componenti principali: trend, ciclo, stagionalità, residui.
Nei metodi che utilizzeremo, la parte sistematica di trend e ciclo sarà una sola, ed è quella che è di maggior interesse stimare. Quindi una serie sarà scomposta in componenti di trend-ciclo, di stagionalità e di errore.
I metodi di scomposizioneI metodi di scomposizione di una serie storica nelle sue componenti sono sostanzialmente 3, a seconda di come queste interagiscano tra loro per dare luogo alla serie osservata:
- Modello additivo, in cui le componenti si sommano tra loro
- Modello moltiplicativo, in cui le componenti si moltiplicano
- Modello misto, in cui una parte è moltiplicativa ed una parte è additiva.
Il modello additivoIl primo metodo di scomposizione che affrontiamo prevede che le componenti si sommino tra loro per dare origine alla serie osservata:
yt = T
t + C
t + S
t + u
t, t=1, 2, ..., n.
Più precisamente, visto che il trend e il ciclo vengono considerati formare una sola componente detta componente sistematica, il modello additivo è:
yt = TCt + St + ut, t=1, 2, ..., n.
Il modello additivo
Nel modello additivo le componenti si sommano per dar luogo alla serie. Questo suppone che le componenti siano tutte espresse nell'unità di misura in cui è espressa la serie.
Se la variabile y misura gli arrivi in un determinato posto, tutte le componenti (trend-ciclo, stagionalità ed errore) sono misureate in unità fisiche. Se y misura il PIL italiano, tutte le componenti sono espresse in euro.
Il modello additivo
Il modello additivo, per questa ragione, presuppone anche che le oscillazioni dovute a componenti non sistematiche (quindi gli errori ed i cambiamenti stagionali) non dipendano dall'ordine di grandezza della serie.
In altre parole, se gli arrivi in Italia raddoppiano, l'utilizzo del modello additivo presuppone che le variazioni stagionali rimangano costanti, non raddoppino a loro volta: è un'ipotesi piuttosto forte, non è detto che sia verificata.
Il modello additivo: la procedura
Come gli altri modelli che vedremo, il modello additivo si basa su una procedura iterativa, che consta di 7 passaggi. Vediamoli in dettaglio.
1. Calcolo della prima componente di trend-ciclo: come abbiamo visto prima per la serie degli arrivi, questa viene calcolata mediante medie mobili centrate con il numero adeguato di termini della serie originaria (aggiustata per le variazioni di calendario).
Il modello additivo: la procedura
2. Calcolo preliminare della componente di stagionalità mista ad errore: questa viene calcolata sottraendo alla serie originaria i valori ottenuti con le medie mobili calcolate al punto 1.
(S + u)t = y
t – MM
t,
in cui MMt è il valore della media mobile centrata sul
valore t.
Il modello additivo: la procedura
3. Calcolo della componente di stagionalità: questa viene calcolata facendo le medie delle componenti di stagionalità mista ad errore calcolate nel punto 2 su tutta la serie. Se si ha una serie mensile, raccolta per un numero di anni pari a p, (in realtà per un numero di anni pari a p+1, dal momento che utilizzando le medie mobili si perdono 6 informazioni in testa e 6 in coda alla serie, e dunque complessivamente un intero anno) si ha:
Sm=1p∑i=0
pSum12i
Il modello additivo: la proceduraSupponendo di avere a che fare con una serie mensile lunga 10 anni, dal punto 2 si otterranno 9 valori di stagionalità mista ad errore per il mese di gennaio. Effettuando le medie dei 9 coefficienti di stagionalità mista ad errore di gennaio, si otterrà il coefficiente di stagionalità di gennaio. Si ripete poi l'operazione sugli altri 11 mesi.
I (nel caso di dati mensili, 12) coefficienti di stagionalità danno come somma 0:
∑m=1
12 S m=0
Il modello additivo: la procedura
4. Costruzione della serie destagionalizzata Dt: La
serie destagionalizzata è ricavata per differenza tra la serie grezza originaria e la serie delle componenti stagionali costanti ricavate nel passo 4.
Se St è pari al coefficiente stagionale del mese in cui ci
si trova al tempo t, di ha dunque:
D t= y t− S t
ATTENZIONE!!!Una volta stimati, i coefficienti stagionali possono essere, sotto l'ipotesi che siano costanti, utilizzati anche all'esterno del periodo su cui sono stati calcolati.
In altre parole, con dati mensili la serie St non deve
necessariamente interrompersi al periodo n-6. Se si ipotizza che i coefficienti di stagionalità rimangano costanti, si può calcolare la serie destagionalizzata partendo dal primo valore disponibile ed arrivando fino all'ultimo.
Si deve tuttavia essere ragionevolmente certi che l'ipotesi che siano costanti sia verificata.
Il modello additivo: la procedura6. Stima della componente trend-ciclo della serie:La componente TC
t della serie viene stimata mediante
una media mobile a tre termini della serie destagionalizzata costruita nel passo 5:
Si suppone che una media mobile con pochi termini possa smussare la serie dagli effetti degli errori accidentali.
TC t=13D t−1D tD t1
Il modello additivo: la procedura
7. Calcolo dell'intera parte sistematica della serie:La parte sistematica della serie è pertanto quella costituita dalla componente trend-ciclo ottenuta nel passo precedente e dagli effetti di stagionalità costanti calcolati nel passo 3. I valori così ottenuti prescindono dagli errori accidentali:
y t= TC t S t
Il modello additivo: la procedura
7. Calcolo dei residui: I residui sono a questo punto calcolati per differenza tra la serie originaria e la stima della sua parte sistematica ottenuta nel passo 6:
u t= y t− y t
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello additivo
1999/8 1999/11
2000/2 2000/5
2000/8 2000/11
2001/2 2001/5
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Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello additivo
Analizzando il grafico del lucido precedente, si vede subito che c'è un problema: sul lato destro si notano oscillazioni annuali che la procedura iterativa del modello additivo non è stata in grado di smussare.
Dal momento che sul lato destro la serie ha un livello superiore che nel resto del time plot, l'ipotesi più probabile è che la condizione necessaria all'utilizzo del modello additivo (gli errori accidentali e le componenti stagionali non dipendono dal livello della serie) non sia rispettata: il modello additivo non va bene
Metodi di scomposizione alternativi
Come abbiamo già visto, i metodi di scomposizione alternativi sono due: modello moltiplicativo e modello misto.
Nel modello moltiplicativo, le componenti di trend-cliclo, di stagionalità e di errore si moltiplicano tra loro per dare origine alla serie osservata:
yt = TC
t x S
t x u
t, t=1, 2, ..., n;
Metodi di scomposizione alternativiNel modello misto, le componenti di trend-cliclo e di stagionalità si moltiplicano tra loro per dare origine alla parte sistematica serie osservata, mentre l'errore si somma:
yt = TC
t x S
t + u
t, t=1, 2, ..., n;
Nel prosieguo di questo corso, il modello moltiplicativo verrà tralasciato, e ci concentreremo sul modello misto.
Il modello mistoIl modello misto non prevede che le componenti stagionali abbiano la stessa entità al variare del livello della serie, bensì che il rapporto tra il livello della serie e l'entità delle variazioni sia costante.
In altre parole, si ricordi che il modello additivo prevede che tutte le componenti separate siano espresse nell'unità di misura della serie. Quindi, considerando la serie degli arrivi mensili, sia che si parli di 1000 arrivi, sia che si parli di 100000, la componente di stagionalità è espressa in persone fisiche.
Il modello misto
Se la stima della stagionalità ci dice che la componente stagionale di gennaio è -100, nel caso di 1000 arrivi medi nel corso dell'anno, a gennaio dobbiamo aspettarci 900 arrivi, nel caso di 100000 arrivi medi nel corso dell'anno, a gennaio dobbiamo aspettarci 99900 arrivi.
Nel modello misto, invece, la componente stagionale è espressa come quota, quindi è una proporzione costante della quantità osservata.
Il modello misto
Nel modello misto, pertanto, se la stima delle stagionalità ci dice che la componente stagionale del mese di gennaio è 0,9, questo significa che, con 1000 arrivi mensili medi annui, ci si aspetta di osservare 900 arrivi; con 100000 mensili medi annui, ci si aspetta di osservarne 90000.
Quindi, la stagionalità neutra (ossia quella che non cambia il valore osservato della serie) nel modello additivo è pari a 0; in quello misto è pari a 1
Il modello misto: la procedura
Il modello misto consiste in una procedura iterativa in 7 punti del tutto analoga a quella esposta per il modello additivo.
1. Stima della componente trend-ciclo di prima approssimazione: come nel modello additivo, questa stima viene calcolata mediante l'applicazione delle medie mobili centrate con l'appropriato numero di elementi, nel caso dei dati mensili 12.
Il modello misto: la procedura
2. Stima della componente di stagionalità mista ad errore, (Su)
t: La componente di stagionalità mista ad
errore è calcolata dividendo i valori della serie originaria per le medie mobili calcolate nel passo precedente:
Su t=y t
MM t
Il modello misto: la procedura3. Stima della componente stagionale: questo punto si ottiene esattamente come nel caso del modello additivo, facendo le medie delle componenti di stagionalità mista ad errore relative ai medesimi periodi, calcolate nel punto 2 su tutta la serie.
I coefficienti di stagionalità danno somma 1.
Sm=1p∑i=0
pSu m12i
∑m=1
12 S m=1
Il modello misto: la procedura
4. Derivazione della serie destagionalizzata: Il dato destagionalizzato si ricava dividendo i valori della serie originaria per i rispettivi valori della componente stagionale calcolata nel passo 3.
D t=y t
S t
Il modello misto: la procedura
5. Stima del ciclo-trend: come nel modello additivo, la componente ciclo-trend viene calcolata mediante media mobile centata a 3 termini della serie D
t
calcolata nel passo precedente.
TC t=13D t−1D tD t1
Il modello misto: la procedura6. Stima della componente sistematica della serie: La componente sistematica della serie, formata da ciclo, trend e stagionalità, viene calcolata moltiplicando tra loro questi fattori.
7. Calcolo dei residui: Come nel modello additivo, residui sono a questo punto calcolati per differenza tra la serie originaria e la stima della sua parte sistematica ottenuta nel passo 6.
y t= TC t× S t
u t= y t− y t
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello misto
1999/8 1999/11
2000/2 2000/5
2000/8 2000/11
2001/2 2001/5
2001/8 2001/11
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2003/8 2003/11
2004/2 2004/5
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2007/2 2007/5
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Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello misto
Esattamente come il precedente, questo grafico è stato costruito considerando solamente il periodo nel quale sono stati calcolati i valori delle medie mobili per la stima delle componenti stagionali.
Dal momento che, contrariamente a quanto avveniva per il modello additivo, in questo caso il modello sembra complessivamente adeguato, è possibile, supponendo che i coefficienti di stagionalità rimangano costanti, estendere i calcoli fino a quando i dati sono disponibili: allo stato attuale delle cose, fino ad ottobre 2009 (settembre, a causa della media mobile a 3 termini per il calcolo di trend e ciclo).
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2009: modello misto
1999/8 1999/11
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2000/8 2000/11
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2003/2 2003/5
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2008/2 2008/5
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Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello misto
Abbiamo avuto una brutta sorpresa: nei 16 mesi che erano stati trascurati nel grafico precedente, la serie degli arrivi negli esercizi turistici ha invertito la tendenza in modo piuttosto brusco: bene che vada, da metà 2007 a fine 2009 i valori hanno avuto un andamento costante mentre prima la tendenza era crescente.
Una parte del problema è sicuramente legata alla crisi mondiale, che ha iniziato a preoccupare i mercati nei primi mesi del 2008. Tuttavia, negli ultimi due anni avete sentito qualcuno in Italia che si preoccupava di questa situazione? Nemmeno io.
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: modello misto
L'alternativa ovviamente è che l'ipotesi che i coefficienti di stagionalità rimangano costanti anche al di fuori del periodo in cui vengono stimati non sia verificata.
Tuttavia, il fatto che il picco negativo si sia registrato nel mese di marzo 2009 (ossia in piena crisi, nel periodo delle settimane bianche) lo rende perfettamente comprensibile alla luce degli eventi esterni.
L'analisi dei residui
Il punto 7 di entrambe le procedure, prevede di calcolare per differenza i residui dei modelli.
Perché un modello possa essere considerato adeguato, è necessario che i residui abbiano una struttura grosso modo casuale: non deve essere riscontrata nessuna sistematicità.
Si noti che questa è una condizione necessaria, non sufficiente: non tutti i modelli che presentano residui casuali sono buoni.
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: residui
1999/8 1999/11
2000/2 2000/5
2000/8 2000/11
2001/2 2001/5
2001/8 2001/11
2002/2 2002/5
2002/8 2002/11
2003/2 2003/5
2003/8 2003/11
2004/2 2004/5
2004/8 2004/11
2005/2 2005/5
2005/8 2005/11
2006/2 2006/5
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2007/8 2007/11
2008/2 2008/5
-1000,0
-800,0
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-400,0
-200,0
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: residui
Come si vede i residui del modello misto (in arancione) non hanno una struttura decisamente migliore dei residui di quello additivo (in blu).
Da questo punto di vista, dunque, i modelli sono complessivamente analoghi. Abbiamo tuttavia visto che, per una ragione legata alla struttura delle componenti stagionali, il modello misto sia complessivamente preferibile.
Struttura dei residui non casuale: modello inadeguato
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Struttura dei residui non casuale: varianza crescente nel tempo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33-6
-4
-2
0
2
4
6
8
L'analisi del trend
Come già detto, il metodo più naturale per l'identificazione del movimento tendenziale di fondo della serie è un'interpolazione col metodo dei minimi quadrati.
Se si suppone che la serie abbia un andamento lineare (quindi cresca o decresca in modo costante, o magari rimanga sostanzialmente sullo stesso livello), si può cercare la retta dei minimi quadrati.
Il trend lineare degli arrivi in ItaliaL'espressione della retta di regressione è nella forma:
in cui t è ovviamente il tempo.Per quello che riguarda la serie degli arrivi nel periodo 1999-2008, la retta di regressione è:
Considerando invece tutto il periodo di osservazione, fino all'ottobre 2009, la retta di regressione è:
y t=β 0β 1tε t
y t=6245,617,17 tt
y t=6351,414,45 tt
Il trend lineare e gli arrivi in ItaliaCome si vede, considerando o meno la fase critica relativa all'ultimo anno e mezzo per cui sono disponibili i dati, la situazione cambia in modo radicale.
Nel primo caso, infatti, il coefficiente è uguale a 17,2 (da un mese all'altro, gli arrivi aumentano mediamente di 17200 unità), nel secondo a 14,5 (da un mese all'altro, gli arrivi aumentano mediamente di 14500 unità).
Sono 2700 unità al mese di incremento in meno.
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: trend lineare
1999/8 1999/11
2000/2 2000/5
2000/8 2000/11
2001/2 2001/5
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Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: residui del trend
1999/8 1999/11
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0
100
200
300
400
500
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2008: residui del trend
In questo caso i residui non mostrano di avere una struttura casuale.
Si ricorda tuttavia che la serie su cui è stata calcolata la retta di regressione è la serie dei valori di trend e ciclo: il ciclo non assume una struttura casuale. Era pertanto prevedibile che i residui mostrassero una forma di “memoria”.
Arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2009: trend lineare
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Considerazioni generali
Ovviamente, dal punto di vista analitico, aggiungere dati è vantaggioso, soprattutto se è possibile aggiungerli a fine serie, rendendo più aggiornate le stime delle componenti di trend e ciclo.
Dal punto di vista interpretativo, la situazione è ovviamente complessa: la crisi è passeggera e tornerà tutto come prima? Il coefficiente angolare si abbasserà in modo permanente? La serie cambierà livello, modificando dunque l'intercetta? Ad oggi, su questa base, si tratta di ipotesi.
Le previsioniLe previsioni sull'andamento futuro della serie con la metodologia dei modelli di scomposizione pongono due tipi di problemi.
1. La scomposizione è più che altro un metodo analitico: i valori di trend e ciclo vengono individuati per sottrazione degli altri elementi, non interpretati con una forma funzionale specifica.
Se si valuta il trend con una retta, l'accuratezza delle previsioni dipende molto dalla bontà di adattamento e dalla distanza dalla retta degli utlimi punti osservati.
Le previsioni
In effetti, suggerire che i valori futuri degli arrivi turistici saranno approssimativamente quelli restituiti dalla retta di regressione è quantomeno imprudente.
In corrispondenza delle ultime osservazioni i valori di trend e ciclo sono molto distanti dalla retta interpolante: per i valori immediatamente successivi a queste ultime, si può supporre che i dati resteranno grosso modo sullo stesso livello. Per orizzonti temporali più vasti, la fase delicata di ciclo impedisce di dare indicazioni specifiche.
Le previsioni
2. L'attualità dei dati disponibili: con le medie mobili, gli ultimi dati analizzati formalmente sono relativi a 7 mesi prima dell'ultima osservazione disponibile.
Per questi ultimi 7 mesi, i valori sono stimati supponendo che i coefficienti di stagionalità ricavati con la procedura iterativa restino costanti anche al di fuori del periodo di analisi. Quindi il primo valore effettivamente previsto dista 8 mesi dall'ultimo analizzato formalmente.
Le previsioniIntuitivamente, è ovvio le previsioni diventino meno attendibili all'aumentare dell'orizzonte temporale. Una previsione da un periodo all'altro si scosterà poco dal valore effettivo; una previsione a 20 periodi di distanza potrebbe rivelarsi più facilmente del tutto sbagliata.
Nella serie degli arrivi mensili negli esercizi ricettivi italiani, l'ultima osservazione disponibile nel marzo 2010 è relativa all'ottobre 2009: quindi la prima pervisione effettiva dista 6 mesi rispetto all'ultimo valore osservato. Questo potrebbe essere un problema grosso.
Le previsioniSei mesi sono sei osservazioni con dati mensili e 2 osservazioni con dati trimestrali. All'aumentare dell'attualità e della frequenza con cui vengono rilevati i dati, aumentano i problemi di orizzonti temporali delle previsioni.
Da un lato, osservazioni molto rare sono spesso inutili dal punto di vista delle decisioni immediate (che mi interessa sapere quale sarà la temperatura media dei prossimi 3 mesi? A me interessa sapere se domani piove o no). Dall'altro, osservazioni molto frequenti pongono problemi in ottica previsiva, e sono in generale piene di dati anomali.
Le previsioniDal punto di vista puramente computazionale, la previsione di trend e componenti stagionali è in realtà molto semplice.
Per il trend futuro, si compie una semplice estrapolazione dei valori assunti dalla retta di regressione nel tempo desiderato.
Per le componenti stagionali, si assumono costanti e dunque si continuano ad utilizzare quelle stimate sul periodo di osservazione.
Le previsioni
Se si ha qualche informazione sull'andamento del ciclo, se si può effettuare un'estrapolazione che permetta di stimare i suoi valori attesi futuri, o se si intende procedere per approssimazioni successive, o basandosi su stime soggettive, queste vengono a loro volta prese in considerazione.
Dopodiché le previsioni vengono fatte utilizzando le informationi future sulle varie grandezze, secondo il metodo di scomposizione che si è utilizzato.
Le previsioniAvendo utilizzato il modello additivo:
Avendo utilizzato modello moltiplicativo e misto con errore additivo:
Avendo utilizzato modello moltiplicativo e misto con errore e stagionalità additivi:
In tutti i casi, i valori attesi futuri dei residui sono posti pari a zero.
y ' tk= T tk C tk S k
y ' tk= T tk× C tk× S k
y ' tk= T tk× C tk S k
La stazionarietàIl modello additivo, quello moltiplicativo e quello misto danno risultati analoghi quando la serie ha un andamento di fondo orizzontale, ossia quanto il trend è costante.
Abbiamo inoltre visto che uno dei problemi dei residui può essere la dipendenza della loro struttura dal tempo.
Sembrerebbe dunque che una serie storica stabile nel tempo sia più facile da analizzare rispetto ad una serie sistematicamente più variabile. In effetti, più o meno è così.
Cos'è la stazionarietà?
La condizione che rende una serie storica più facile da analizzare è detta stazionarietà: sostanzialmente, si tratta di una serie di condizioni di stabilità nel corso del tempo.
Gran parte delle serie storiche osservate non è stazionaria. Esistono tuttavia diverse procedure per rendere stazionarie serie che non lo sono.
Condizioni di stazionarietàUna serie storica si dice stazionaria se:
1. La sua media è costante nel tempo (stazionarietà in media);
2. La sua varianza è costante nel tempo (stazionarietà in varianza);
3. Analizzando il rapporto di dipendenza tra valori della serie distanti k periodi, questa è influenzata solo da k, non dal punto della serie in cui viene calcolata (stazionarità in covarianza).
Cosa implica la stazionarietà
Una serie stazionaria, in cui la media e la varianza sono indipendenti dal tempo, non soffre del problema principale per cui il modello additivo non può essere utilizzato, ossia la dipendenza delle variazioni cicliche e stagionali dal livello della serie.
Infatti, la stazionarietà in media garantisce che il livello generale della serie è sempre lo stesso. La stazionarietà in varianza garantisce che le oscillazioni hanno sempre la medesima struttura di fondo.
Cosa implica la stazionarietà
In realtà la stazionarietà ha implicazioni ben più importanti di questa: una serie stazionaria è una serie che in qualunque momento la si osservi ha sempre la stessa struttura, quindi ad esempio anche i movimenti ciclici hanno un impatto limitato.
In pratica, una serie stazionaria è complessivamente più facile da analizzare e, soprattutto, comporta che le previsioni siano più facili e robuste.
La stazionarietà in media
Tutte le serie che abbiamo visto fin qui non sono stazionarie in media: tutte hanno mostrato un andamento crescente nel tempo. La serie dei consumi elettrici e degli arrivi turistici hanno mostrato un andamento che veniva spiegato bene da una retta.
Ci sono due modi per rendere stazionaria una serie con un andamento crescente lineare: per sottrazione del trend e per differenziazione.
La detrendizzazioneUna serie viene resa stazionaria in media mediante sottrazione del trend (operazione detta detrendizzazione) facendo la differenza tra il valore osservato della stessa ed il valore assunto dal trend al medesimo tempo. In altre parole, al valore osservato si sottrae il valore y
t si sottrae il valore stimato β
1t.
Assumendo che il trend sia interpretato da una retta:
y*t = y
t – β
1t.
Se il trend è stimato correttamente, la serie y*t è
stazionaria in media.
La differenziazione
Una serie viene resa stazionaria in media mediante differenziazione semplicemente sottraendo al valore corrente il valore assunto dalla serie al tempo precedente:
y*t= y
t– y
t–1.
Se la serie yt ha un trend lineare, la serie risultante y*
t è
stazionaria in media.
Detrendizzazione e differenziazione
La medesima serie resa stazionaria in media con queste due procedure ha due aspetti ovviamente molto diversi. La detrendizzazione permette di osservare in modo molto chiaro i movimenti ciclici, mentre la differenziazione rende la serie più erratica, ed è pressoché impossibile osservare movimenti di carattere strutturale.
Tuttavia, le due procedure non sono alternative a libera scelta: ci sono delle condizioni in cui è meglio detrendizzare, altre in cui è meglio differenziare.
Arrivi negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2009 resi stazionari in media
Nel grafico a sinistra, la stazionarietà in media è ottenuta mediante detrendizzazione; in quello a destra, mediante differenziazione.
1990/8 1991/8
1992/8 1993/8
1994/8 1995/8
1996/8 1997/8
1998/8 1999/8
2000/8 2001/8
2002/8 2003/8
2004/8 2005/8
2006/8 2007/8
2008/8 2009/8
3500
3750
4000
4250
4500
4750
5000
5250
5500
1990/9 1991/8
1992/7 1993/6
1994/5 1995/4
1996/3 1997/2
1998/1 1998/12
1999/11 2000/10
2001/9 2002/8
2003/7 2004/6
2005/5 2006/4
2007/3 2008/2
2009/1
-600
-400
-200
0
200
400
600
Arrivi negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2009 resi stazionari in media
Come si vede, la detrendizzazione permette di osservare i movimenti ciclici, la differenziazione no.
La serie detrendizzata inoltre non ha media nulla: non c'è nessuna condizione che imponga ad una serie stazionaria di avere media nulla; in questo caso, la media della serie detrendizzata è pari al termine noto della retta di regressione.
La risposta ad impulso
Nella serie di sinistra, ad un certo punto c'è un evento che ne sposta il livello verso l'alto in modo definitivo. In quella di destra, c'è un evento traumatico che esaurisce i propri effetti nel corso di qualche osservazione.
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
3132
3334
3536
3738
3940
4142
43
50
60
70
80
90
100
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
3132
3334
3536
3738
3940
4142
4344
50
60
70
80
90
100
La risposta ad impulsoIn altre parole, nella serie di sinistra, dopo uno shock molto potente il trend cambia di livello; in quella di destra no. Quindi le due serie mostrano una differente risposta ad impulso. Nel primo caso, la serie risponde all'impulso mantenendo il valore originario del trend: è una serie a shock transitori; nel secondo caso, la serie risponde all'impulso modificando la propria struttura tendenziale: è una serie a shock permanenti.
Una serie a shock transitori può essere resa stazionaria mediante detrendizzazione; una serie a shock permanenti deve essere resa stazionaria in media differenziando.
La risposta ad impulso
In una serie effettivamente rilevata, è possibile che non si osservino punti di svolta che consentano di determinare se la serie è caratterizzata da shock transitori o permanenti. Se non si osserva nessuno shock permanente, si può detrendizzare.
Potrebbe anche succedere, come ad esempio nel caso della serie degli arrivi, che dal punto di svolta sia passato troppo poco tempo per valutarne appieno gli effetti. Il criterio di massima è quello della prudenza: se si hanno dubbi, meglio differenziare.
Tornando alla serie degli arrivi resa stazionaria in media differenziando
Un aspetto che si osserva in questa serie è che le oscillazioni intorno allo 0 sembrano aumentare di intensità al passare del tempo: è una tipica situazione che segnala la mancanza di stazionarietà in varianza.
1990/9 1991/8
1992/7 1993/6
1994/5 1995/4
1996/3 1997/2
1998/1 1998/12
1999/11 2000/10
2001/9 2002/8
2003/7 2004/6
2005/5 2006/4
2007/3 2008/2
2009/1
-600
-400
-200
0
200
400
600
La non stazionarietà in varianza
Per valutare se una serie è non stazionaria in varianza, e per trovare eventualmente la trasformazione idonea a risolvere il problema, è possibile ricorrere alla procedura di Box e Cox.
La procedura consiste nel suddividere la serie originaria in una decine di sotto-serie della stessa lunghezza, e di calcolare per ognuna delle sotto-serie la media e lo scarto quadratico medio. Poi si inseriscono i valori ottenuti in un diagramma a dispersione e si verifica come si dispongono.
La trasformata di Box e CoxBox e Cox propongono una trasformazione della serie originaria:
zt = (y
tλ – ) / |λ|, se λ è diverso da 0; |λ| è il valore
assoluto di λ.
zt= log y
t , se λ= 0.
Il valore λ dipende da come si distribuiscono i valori di media e varianza delle sotto-serie sul diagramma a dispersione.
Box e Cox: scelta di λ
Box e Cox: valori di λ
Come si nota, la trasformata di Box e Cox è neutra (cioè non opera nessuna trasformazione) se λ=1.
In questo caso, infatti, quale che sia il valore della media della sotto-serie, il valore dello scarto quadratico medio è approssimativamente sempre lo stesso: si tratta esattamente della definizione di stazionarietà in varianza.
Serie degli arrivi negli esercizi ricettivi italiani, 99-09: procedura di Box e Cox
4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500100
150
200
250
300
350
Quale λ scegliere?
Questa è una situazione che ogni tanto capita: il diagramma a dispersione non da una risposta definitiva per la scelta del valore λ nella trasformata di Box e Cox: in questo caso, il dubbio è che il diagramma a dispersione abbia una forma crescente lineare (λ=0) o parabolica (λ=-1/2).
In una situazione di incertezza, la scelta del valore non è così decisiva: se si è in dubbio tra due valori, se ne può scegliere uno senza temere particolari problemi. In questo caso, optiamo per λ=0.
Procedura di Box e Cox
Dopo aver determinato che λ=0, devo quindi operare l'opportuna trasformazione. In questo caso, z
t= log y
t.
Su Excel, ad esempio, esiste una funzione ad hoc: la funzione LN.
Quindi i valori originari della serie aggiustati per i giorni di calendari devono essere sostituiti con la loro trasformata logaritmica. Questo comporta una perdita di informazioni relativa all'unità di misura della serie, ma rende i risultati più robusti.
Arrivi negli esercizi ricettivi italiani, 1999-2009 resi stazionari in varianza
1990/8 1991/2
1991/8 1992/2
1992/8 1993/2
1993/8 1994/2
1994/8 1995/2
1995/8 1996/2
1996/8 1997/2
1997/8 1998/2
1998/8 1999/2
1999/8 2000/2
2000/8 2001/2
2001/8 2002/2
2002/8 2003/2
2003/8 2004/2
2004/8 2005/2
2005/8 2006/2
2006/8 2007/2
2007/8 2008/2
2008/8 2009/2
2009/8
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9
9,1
Arrivi negli esercizi ricettivi italiani, '99-'09 stazionari in media e varianza
1990/8 1991/2
1991/8 1992/2
1992/8 1993/2
1993/8 1994/2
1994/8 1995/2
1995/8 1996/2
1996/8 1997/2
1997/8 1998/2
1998/8 1999/2
1999/8 2000/2
2000/8 2001/2
2001/8 2002/2
2002/8 2003/2
2003/8 2004/2
2004/8 2005/2
2005/8 2006/2
2006/8 2007/2
2007/8 2008/2
2008/8 2009/2
2009/8
8,25
8,3
8,35
8,4
8,45
8,5
8,55
8,6
La non stazionarietà in covarianza
Quando una serie è stazionaria in media ed in varianza è solitamente stazionaria anche in covarianza. La non stazionarietà in covarianza di solito è legata a cicli di durata ed intensità variabile.
In questa sede non ci occuperemo della non stazionarietà in covarianza.
Grazie per l'attenzione (attenzione? Quale attenzione?), ci vediamo agli esami.
