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lamí -i
3. HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE
3. HIDRODINÁMICA DE LA ZONA FLOTANTE
3.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presentan varios problemas fluido-
dinámicos relacionados con puentes líquidos.
Un líquido, soportado por íuerzas de tensión superfi
cial, puede aparecer como puente entre dos sólidos no excesiva
mente separados uno de otro. Cuando los sólidos son dos discos
circulares, paralelos y coaxiales, la configuración resultante
se parece a una "zona flotante" si se introducen varias hipótesis
simplificativas (Fig. 1).
GASO VACIO
Q
a
o CILINDRO SOLIDO
V " / / A RL
V
CILINDRO SOLIDO
0
BOBINAS DEL CALENTADOR POR INDUCCIÓN QUE RODEA EL CILINDRO
ZONA FUNDIDA
DISCO
LIQUIDO
Fig. 1. Zona flotante, a) Esquema de una instalación experimental, b) Puente líauido uara simular la zona flotante.
-3-
Como es sabido, esta técnica de la zona ílotante se
usa para producir sólidos muy puros y, en particular, rnonocris-
tales muy puros de silicio.
El proceso de purificación consiste en fundir al vacío
un extremo de una barra del material considerado, desplazando
lentamente la zona fundida a lo largo de la misma. Normalmente,
la barra se mantiene vertical, y la zona íundida queda confina
da por fuerzas de tensión superficial, de manera que no hace fal
ta el soporte de un crisol que, entre otras cosas, contaminaría
el material.
La purificación se debe a que la zona íundida mantiene
las impurezas en solución, y estas impurezas se van desplazando
con la zona hasta el otro extremo de la barra. Además, se consi
gue un monocristal de silicio poniendo el extremo inicial de la
barra en contacto con un pequeño monocristal. Al desplazar lenta,
mente la zona fundida el sólido crece por agregación de átomos
procedentes del líquido sin que nucleen nuevos cristales.
La máxima esbeltez (relación longitud/diámetro) de una
zona flotante depende del equilibrio entre las fuerzas de volu
men (presión hidrostática) y las fuerzas de super:icie. Como la
presión hidrostática crece con la distancia a la frontera supe
rior de la zona fundida, hay, para cada diámetro, una longitud
por encima de la cual la tensión superficial no es capaz de con
tener una presión interior tan grande, y la zona se rompe.
La técnica de la zona flotante se presta al manejo de
metales líquidos de alto punto de fusión (por encima de 2ÜÜÜ ° K ) ,
pues además de evitar la comíaminación debida al crisol, no se
presentan las tensiones resultantes de la expansión diferencial
-4-
del crisol y el cristal.
A pesar de las ventajas mencionadas, las dimensiones
de las zonas que se obtienen en Tierra son insuficientes para mu
chas aplicaciones y, aunque existen métodos para estabilizar zo
nas más esbeltas, en general, restringen mucho el abanico de ma
teriales a los que se puede aplicar la técnica.
Las ventajas asociadas al funcionamiento en condicio
nes de microgravedad son:
Io) Desaparece la limitación impuesta por el crecimien
to de la presión hidrostática. Esto no significa,
desgraciadamente, que se obtengan zonas de esbeltez
ilimitada porque la tensión superficial tiende a
estrangular las que sean excesivamente esbeltas.
Por ejemplo, para zonas cilindricas, debe ser
R>1/TT. En cualquier caso, las esbelteces consegui-
bles en microgravedad son mucho mayores que las
que se pueden alcanzar en Tierra y son, además, iri
dependientes de la relación tensión superficial/
/densidad del material.
2°) La microgravedad reduce la convección libre induci_
da por la flotabilidad. Esta convección se debe a
que, al depender la densidad de la temperatura, li_
geros gradientes térmicos pueden inducir movimien
tos en el fluido.
Al principio se Drestó excesiva importancia a
la ausencia de convección libre como principal ju£
tificación de la ciencia de los materiales en el
espacio. Sin embargo, existen otros mecanismos in-
ductores de convección, sin dejar de mencionar el
que, en ciertos casos, resulta necesario producir
artificialmente la convección para uniformizar las
propiedades de la zona fundida.
3o) De entre los mecanismos que generan convección en
condiciones de microgravedad, el más conspicuo es
el debido a los gradientes de tensión superficial.
La tensión superficial depende de la temperatura
y composición de las superficies. En presencia,
por ejemplo, de un gradiente térmico aparece un
gradiente de tensión superficial. Este da origen a
tracciones en la superficie, las cuales inducen el
movimiento del fluido.
La estabilidad del equilibrio de una zona fl£
tante, bajo las perturbaciones que puedan aparecer
bien accidentalmente, bien intencionadamente, es
un motivo de preocupación. Por esa razón hay que
desplegar un gran esfuerzo analítico y experimen
tal para tratar de aclarar estos problemas, antes
de hablar seriamente de manufactura espacial basa
da en la técnica de la zona rlotante.
3.1.1. Organización de este Capítulo
El objetivo perseguido es el de presentar varios de los
problemas dinámicos que plantea el estudio de la zona flotante
en condiciones de microgravedad. De acuerdo con este objetivo se
plantean más problemas de los que realmente se resuelven, pero
se ha puesto especial cuidado en escribir de forma rigurosa las
-6-
ecuaciones de partida, detallando con precisión las hipótesis
simpliíicativas en que se basan.
El capítulo se puede considerar dividido en tres par
tes. En la primera de ellas, de carácter introductorio, se discu
ten las simplificaciones que conducen desde el modelo de la Fig.
la al de la Fig. Ib, mencionando los problemas que quedan de la
do al introducir las simplificaciones, y que debieran abordarse
en el futuro.
A continuación se formulan las ecuaciones que gobier
nan el movimiento de un líquido newtoniano y homogéneo, en coor
denadas cilindricas. Como la mayoría de los problemas que se abor
dan corresponden a un puente líquido, cilindrico y en rotación
alrededor de su eje de simetría, las ecuaciones aparecen escri
tas tanto en un sistema de referencia fijo (sistema inercial) co
mo en un sistema que gira con velocidad angular constante ti (sis_
tema de referencia giratorio).
También se consideran problemas correspondientes a lí
quidos no homogéneos. Con el fin de no complicar excesivamente
el análisis, se supone que las propiedades físicas (salvo la den
sidad) y los coeficientes de transporte no dependen de la tempe
ratura. Además se introduce la aproximación de Boussinesq, con
sistente en suponer que la densidad y la temperatura difieren po_
co de las de referencia, y que la presión difiere poco de la co
rrespondiente al movimiento isotermo.
En el siguiente apartado se presentan las condiciones
de contorno cinemáticas, dinámicas y térmicas en la entre fase lí_
quido-gas (o líquido-líquido). Para ello se supone que la entre-
fase, infinitamente delgada, está en equilibrio termodinámico.
-7-
En esta parte inicial son introducidas las variables y
parámetros adimensionales que aparecen en los problemas que se
consideran.
En el resto del capítulo se presentan soluciones com
pletas de algunos problemas típicos.
En la segunda parte se trata de los movimientos impul
sivos de un puente líquido cilindrico, bien inicialmente en repo
so o bien girando como un sólido rígido. Estos movimientos impul
sivos se caracterizan por presentar uno (o más) pequeños paráme
tros, debido a que: a) la perturbación introducida es pequeña,
b) o bien que la viscosidad del líquido es pequeña (relativamen
te) o, c) que se estudia lo que ocurre poco después de haber apa
recido la perturbación impulsiva. La existencia de estos paráme
tros pequeños justifica la utilización de métodos matemáticos
asintóticos, que son muy poderosos y que permiten obtener resul
tados cualitativos interesantes sin excesivas dificultades.
Tras una enumeración de varios posibles problemas de
movimiento impulsivo, se consideran dos problemas fundamentales:
la ligera variación de la velocidad de rotación introducida súbi_
lamente, y la puesta en rotación súbita desde el reposo.
Finalmente, en la tercera parte se considera la convec
ción térmica inducida en condiciones de ingravidez por gradien
tes de tensión superficial. Como primera aproximación se estudia
un problema lineal en el que un puente líquido (que si no fuera
por los gradientes térmicos estaría en reposo) es perturbado tér
nucamente a través de los discos extremos. El gradiente térmico
es tan pequeño que se pueden despreciar los términos convectivos.
El problema es entonces de tipo Stokes para el campo de velocida.
des, el cual queda desacoplado, bajo ciertas condiciones, del
campo de temperaturas.
Los problemas de convección inducida por gradientes de
tensión superficial dominarán en los próximos cinco años la Meca
nica de Fluidos Microgravitacional. Lo realizado hasta ahora co
rresponde, bien a simulación numérica de muy dudosa validez, o
bien a modelos simplificados tipo Poiseuille o Couette que, aun
que no están muy justificados, suministran de forma rápida y ele
gante resultados cualitativos básicos.
Sobre este tema, se ha desarrollado en el Lamf un mode
lo matemático en el que la solución alcanzada corresponde a un ca
mino intermedio, si bien se ha juzgado oportuno no incluirla por
el momento pues, aunque se dispone ya de la primera aproximación,
se sigue trabajando para enriquecer el modelo en ciertos aspectos.
3.2. MODELO MATEMÁTICO. SIMPLIFICACIONES
El estudio teórico de una zona flotante representa un
esfuerzo descomunal, debido tanto a las propiedades del material,
que dependen de la temperatura, como a la complicación de las
perturbaciones que puedan aparecer. Por eso hay que introducir
hipótesis simplif i cativas para mantener el análisis dentro de li_
mites razonables.
1) La primera simplificación consiste en despreciar los
cambios de fase sólido-líquido. Con ello se dejan a
un lado multitud de problemas interesantes relacio
nados con la hidrodinámica de los cambios de fase
(frentes de solidificación y fusión, influencia de
la contracción en el movimiento fluido, etc.). Es-
-9-
tos problemas no son exclusivos de la zona flotante.
Una vez introducida esta hipótesis simplifica-
tiva, la zona flotante se reduce a un puente líqui
do situado entre dos discos circulares, paralelos y
coaxiales (Fig. Ib, pág. 1). La configuración resul
tante es interesante desde el punto de vista fluido
-dinámico por sus múltiples aplicaciones, no necesa
riamente relacionadas con la purificación o el cre
cimiento de monocristales.
2) Se supone que el líquido es newtoniano, hipótesis
que probablemente no está justificada para líquidos
muy viscosos.
3) Finalmente, se supone que el líquido es puro, sus
propiedades son uniformes, y que permanece en equi
librio térmico con el medio ambiente. Alguna de es
tas simplificaciones puede ser eliminada sin compli_
car excesivamente el estudio analítico.
En muchas aplicaciones se gira la zona flotante alrede
dor de su eje de simetría con el fin de uniformizar el campo de
temperaturas. Una vez puesta la zona en movimiento, se puede mo
dificar la velocidad de giro, bien cambiando la de los discos e><
tremos, o bien variando la distancia entre ellos.
3.3. ECUACIONES GENERALES. PROBLEMAS FLUIDOMECAN I COS
Las ecuaciones que rigen el movimiento del fluido, den
tro de las aproximaciones mencionadas en el apartado anterior,
son las ecuaciones de Navier-Stokes para un líquido, escritas
bien en un sistema de referencia inercial, bien en un sistema de
de referencia que gira con una velocidad Í2 constante.
La Fig. 2 muestra la geometría, el sistema coordenado
y las componentes de la velocidad del fluido. En lo que sigue su
pondremos que la configuración es axiIsimetrica.
GAS 0 VACIO
SOLIDO
— RL —
r G LIQUIDO
Q
SOLIDO
F i g . 2. Geometría, coordenadas y componentes de l a v e l o cidad para e l e s t u d i o de un puente l í q u i d o a x i l -s i m é t r i c o .
A d i m e n s i o n a l i z a n d o l a s l o n g i t u d e s con L / 2 , l a s v e l o c i -
L - 1 2 2 d a d e s con ttj, e l t i e m p o con Í2 y l a s p r e s i o n e s con pfi L M , e s a s
ec uaciones son, [l~] :
Sistema de referencia inercial
^— ( r u ) + -T — ( rw) = 0 3r dz
,2 9u . 3 u v , 3u 3p , ,, , 3t 3r r 3 z 3r
dV , d V . U V , 3v „ . 7T— + U TT— + + W 7T— = L L V , 3t 3r r 3 z '
«.. , 3w 9p . „f , , 1 i 3w 3w 3t 3r ' w 3z " 3z
(1)
(2)
(3)
(4) v
donde E, número de Ekman, es un parámetro adimensional definido
por
- 1 1 -
E = ÍHL/2) 2
siendo v la viscosidad cinemática del fluido.
—Sistema de referencia en rotació on
¿(ru)+A C r w ) = o
,2 du 3u vz 3u 3 P x r . di d r r 3 z 3r '
9 V X ,, <^V X U V X O X <^V TI
3 T + U 3 7 + — + 2 u + w 9 l z E L v
dW IW , dW 3P 1 TT— + U 7C + W TT— = - 7T + E [ L + —7T W ,
z d z r 2-
donde se ha utilizado la presión reducida:
v,2 P = p - 2
(5)
(6)
(7)
(8)
C9)
El operador L es:
r 2~3r 2 r 3r- 3z2 r2
3.4. ECUACIONES GENERALES. PROBLEMAS FLUIDOTERM I COS
Se considerará el caso de un líquido en presencia de
un campo de temperatura no uniforme.
Adimensionali zando las longitudes con L/2, las veloci_
dades con U (velocidad característica aue se define más alelan c " — , 2
te), el tiempo con L/2U , la presión con p U y la temperatura
con T , donde el subíndice r indica condiciones de referencia, r
tenemos:
Dt pA-v = Ü (1Ü)
-12-
— - — =_ 1 l£ + _l_ÍA \o 'IR Dt r p 3r pRe I3r \_¿Xi 3r + (y v- IpJV. v
Dv + u_v Dt r " pR
i_J_i_ Re \dz
dv 3z
+é
•¿ "u(
/ 3 u ,
3 r vJ
3 r ' _ +
+ 2ji r
2£ r
~3v 3 r "
~3u _9r
V
r
u r
} •
( 1 1 )
(12)
Dw __ _! _3p_ 1 f 3 Dt p 3z pRe13z
DcT Dt
U 2
pe T r r
pV-v +
n 3w , r 2 ^ „ ->
1 "c
r 3r ldz 3rv , (13)
pRe c T pPrRe r 3r r r ^
, 3T rk -—
dr 3z ,(14)
$ = p^2 9 2 9
•_3_u> , u_ , f w-) , f 3v^ •3r^ r 2
l3zJ ^3z-3u _3_w 3 z 3r
)r r } + ( Wv-f y H V'^ 2 ' (15)
donde
Re =
TT L
U 7T P c / r
Pr p c r r
~k
y todas las demás magnitudes físicas están adimensionalizadas
con los correspondientes valores de referencia. No aparece la
variable azimutal 6 porque, de nuevo, se ha supuesto que la con
figuración es axilsimétrica.
3.4.1. Aproximación de Boussinesq
Cuando los gradientes de temperatura impuestos son pe
queños se puede simplificar considerablemente el sistema (10)-
(15). En estas condiciones:
T = 1 + e T
p = 1 - e g T T
-13-
P = P0 + £ P »
donde e<<l, 3 = - — es el coeficiente de expansión térmica del
líquido, y p Q la presión adimensional (no necesariamente unifor
me) que existirá en el líquido cuando T=l.
En vista de que las variaciones son pequeñas, se pue
den hacer las consideraciones siguientes:
Io. No aparecen las variaciones de densidad en la ecua
ción de continuidad.
Cuando la variación de temperatura es la única razón
de que exista convección, la velocidad característica es pequeña
y, por tanto, el tiempo característico es grande. Las variacio
nes temporales de densidad son pequeñas por doble razón.
En cambio, cuando se impone una convección forzada; por
ejemplo, girando el puente líquido, velocidad y tiempo caracte
rísticos son de orden unidad; las variaciones temporales y loca
les de la densidad son de orden e, y despreciables frente a las
variaciones locales de velocidad.
2 o. En las ecuaciones de cantidad de movimiento las va
riaciones de densidad sólo se notan en el término de gradientes
de presi ón ,
^£ = Vp (1 + e 3 T T)+ e VS . p - o r
En el caso de convección libre: Vp = ü . " o
3o. En la ecuación de la energía se desprecian los tra
bajos de las fuerzas de presión y de viscosidad pues, en cüal-
2 Guier caso, es U <<c T .
c r r
Finalmente, suponemos despreciables las variaciones
con la temperatura de c, u y k.
- 1 4 -
Con e s t a s s i m p l i f i c a c i o n e s e l s i s t e m a ( 1 0 ) - ( 1 5 ) se r e
duce a l s i g u i e n t e :
3 ( r u ) , 3( rw) ,,
l f + u l 7 - V + ^ = - C l + e e T r T ) ^ . e | | + ¿ L u , (17)
3v 3v , uv , 3v 1 , . rrr + U ^— + + W 7T— = ñ— L V , ( 1 8 )
31 3 r r 3 z Re ' u o ' )
• ul^wH.-U-^TJ-^-cH^U^.U*»
9 T 3 T , 3 T 1 r. , 1 *\ 2, , „ .. N
3 T + U 3 7 + W 3 ^ = PFRe-(LV ] * ( 2 0 )
3.5. CONDICIONES DE CONTORNO. PROBLEMAS FLUIDOMECANICQS
Los problemas fluidomecánicos considerados en este in
forme se refieren, en todos los casos, a un puente líquido cilíri
drico-circular girando alrededor de su eje de simetría, y las
condiciones de contorno son las particulares de este tipo de pro_
blemas. Se pueden deducir otros casos distintos de los considera,
dos aquí introduciendo modificaciones mínimas.
Habrá que imponer dichas condiciones de contorno:
1) En los discos extremos (z=+l), donde se cumplirán
las condiciones de no deslizamiento (u = 0, v = r) y la condición ci.
nemática (w=Ü).
2) En la entrefase axilsimetrica definida mediante la
ecuación r = R (1 + 1(z , t)) , Fig. 3.
-15-
O A
R(1+I(z,0)
-•r
V^f
n z=-"I1 dz
i^í
Fig. 3. Esquema de un elemento de entrefase en un plano meridiano.
3.5.1. Condiciones en la entrefase
La primera condición expresará el equilibrio de fuer
zas normales. Estas fuerzas son, [2] : la presión capilar (dada
por la formula de Laplace), el exceso de presión local en el lí
quido sobre la presión ambiente, y la componente normal del es
fuerzo viscoso. En forma adimensional:
P _2 1 Re ^ 2 ( 3 1 } 2
1
3_u + R2 í31-|2 3w
r 3 z-1 3 z R ^ 1 r 3w 3ui
3 z *• 3 r Sz'
3Z1
ReCr 3z'
R(l + l)(l + R 2 ( | ^ } 2 ) 1 / 2 (1 + R 2 ( | ^ ) 2 ) 3 / 2 (21)
3z-
Cuando la velocidad característica vale ÍÍL/2, resulta l/Re = E y
ReCr = — — - ^ - — — . Este último número adimensional se llama pará-o
metro de rotación y se designa por C; es un número de Bond basa
do en la fuerza centrífuga.
Dos condiciones de contorno adicionales resultan de ex
-16-
presar que el esfuerzo tangencial de viscosidad desaparece en la
entrefase, es decir: T • n-(n • T • n ) . n = Ü, donde T es el tensor de
esfuerzos de viscosidad y n el vector unitario normal a la entre
fase distorsionada. En forma adimensional:
a) Para la componente axial,
2R -^ f 1
3r 3z ^ 2 ,31} 2 \*r 3z/-° ' ( 2 2 )
^ 3 zJ
b) P a r a l a componente a z i m u t a l ,
3 v v 3 1 3 v 3 F " ? " R ^ F i ~ Ü ' ( 2 d )
Por otra parte, la condición cinemática de que la en
trefase es una superficie fluida se expresará como sigue:
R | ^ - U + W R ~ = Ú • (24) dt o Z
Finalmente, se supone que la entrefase está permanente
mente adherida al borde de los discos:
l(±l,t) = Ú . (25)
Esta hipótesis parece razonable, al menos para zonas no excesiva
mente cortas y para velocidades de giro moderadas.
3.5.2. Simulación Plateau
Una forma de equilibrar ciertos efectos de la gravedad
utilizada en el siglo pasado por el físico ciego Plateau, consis_
te en suspender un líquido dentro de otro que tenga la misma den_
sidad y sea inmiscible con el anterior.
En este capítulo se va a criticar la práctica, bastan
te extendida de utilizar la técnica de Plateau para simular pro-
-17-
blemas dinámicos. Para esto habrá que escribir las condiciones
de contorno en la entrefase de dos líquidos que tienen la misma
densidad pero distinta viscosidad.
Si el subíndice "o" indica campo fluido exterior, las
condiciones de contorno se pueden escribir de forma compacta en
función d e u = u u , v = v - v y w = w - w . y o ' p o y o
Las condiciones dinámicas son:
n „ 2 1 í 3Ü . n 2 r 9 1 - | 2 8w R H (3w _3ui 1 P o Re 1 + R 2 (31^ 2 [ 3r K ^3z J . 8z K 3 z l 3 r 3 z j
o 2 3z R e C r Í R ( l + l ) ( l + R 2 ( | i ) 2 ) 1 / 2 ( 1 + R 2 ( | i ) 2 ) 3 / 2
^ 3 z -; *• 3 z J
, ( 2 6 )
# + — + • 2 R ^ 0 j | ^ - ^ l = 0 , (27) 3 r 3z -t _p2 r_9J:l 2 l ÓT dz)
^ 3z^
9 v _ v _ R ( 3 l ] ( | v ] = (
3 r r l 3 z ; ^3z J
Las condiciones cinemáticas son:
R-^-u + wR-|^=Ü , (24) 3t 3z '
u - u = v - v = w - w - ü . (29) o o o
Finalmente, deberá seguir cumpliéndose la ecuación (25).
3.6. CONDICIONES DE CONTORNO. PROBLEMAS FLUIDOTERMICOS
La presencia de un campo de temperatura no uniforme
afecta, de dos maneras diferentes, a las condiciones de contor
no en la entrefase: 1) Aparecen tracciones superficiales que se
deben a las variaciones de la tensión superficial con la tempe-
-18-
ratura. 2) Hay flujo de energía a través de la entrefase.
1) Las tracciones superficiales se expresan en función
del gradiente tangencial V a , siendo V = -in*(n„V).
Como suponemos que la configuración es axilsimétrica,
dichas tracciones tangenciales sólo aparecen en la condición de
contorno (22). Las condiciones de contorno dinámicas y cinemáti
cas (21) y (23) a (25) permanecen invariables. La condición (22)
se reduce a:
Cr
1 +R2(M)2 S) 1 / 2 l dz dT S z
3z
p A l ÍÍLH _ fL^ i + ¿ ( ^ ( Ü ^ (£•!!)) da 31 da
+ -7 + K -7T - 3 — - U
dz 3z dr (30)
2) Suponiendo que la tensión superficial depende exclu
sivamente de la temperatura con dependencia lineal; que no hay
difusión másica desde o hacia la entrefase, y que la temperatura
exterior es uniforme, la ecuación de conservación de la energía
interna suministra la siguiente condición de contorno en la en
trefase Cver Apéndice I):
T NI (1 + R
2(|1) 2) 1 / 2L^ v 3 Z J
k
3w , D 3 1 j 3 u , 3w — + R 3^ ^ + 3 r " Ká zJ 3r
+ Ü _ Üi. Al = n 3r 3 z 3 z (31)
en la que NT = -7—,—, , >—rr— es un parámetro adimensional aue mide ^ 1 (aa/dr)ruc
la relación entre la difusión térmica y el transporte convectivo
de entalpia superficial.
3.7. MOVIMIENTOS IMPULSIVOS
3.7.1. Consideraciones generales
En las aplicaciones técnicas de la zona flotante se
-19-
suele girar el puente líquido alrededor de su eje de simetría
con el fin de uniformizar el campo de temperatura.
El cuerpo de teoría existente sobre fluidos en rotación
es impresionante, y se debe fundamentalmente a Greenspan y sus
colaboradores (véase, por ejemplo, [l]), pero los problemas dis
cutidos en este informe son nuevos: el líquido que gira está par
cialmente en contacto con paredes sólidas y parcialmente contení
do por la tensión superficial, y esta es una configuración a la
que se ha prestado muy poca atención.
El estudio cuantitativo completo de estos problemas
presenta dificultades matemáticas debidas a los términos convec
tivos no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes. Se eligen
por tanto situaciones que, sin perder el interés físico, admitan
linealización.
Los ejemplos puramente fluidomecánicos que se tratan
en las secciones siguientes se pueden clasificar en dos grandes
grupos:
1) Ligera variación de la velocidad de rotación ("lin
ear spin-up"). El líquido, para t<Ü, está girando
como sólido rígido con la velocidad angular, °,, de
las placas. En t=Ú, la velocidad de las placas se
varía en efi, pasando de 0, a íí(l + e ) , con |e|<<! (aquí
c es el llamado número de Rosby) . Lógicamente el lí_
quido necesita tiempo para alcanzar el nuevo esta
do de rotación sólida con la velocidad angular
°,(1 + E ) , y el problema consiste en estudiar el campo
de velocidades y la forma de la superficie libre des_
de el instante de la perturbación impulsiva en ade-
-20-
lante.
2) Impulso finito ("non-linear spin-up"), tiempos pe
queños. Los discos que limitan un puente líquido ci_
líndrico en reposo, se ponen bruscamente a girar,
en el instante t=Ü, con una velocidad ÍK1. El peque
ño parámetro e mide ahora el tiempo transcurrido
desde la puesta en movimiento.
Las ecuaciones que gobiernan el problema 1) proceden
de las fórmulas (5) a (9) linealizadas , es decir:
l(ru2 + l(rwl = 0 ( 3 2 )
dV áz
~~- 2v =- |£ + E iu , (33)
~ + 2u = E Lv (34) a t
Se han despreciado los términos cuadráticos, de orden
e . Las condiciones de contorno no se ven afectadas por esta 1¿
nealización.
Para el problema 2), hay que linealizar las ecuaciones
(1) a (4), en un sistema de referencia inercial. Se obtiene:
3(ru) , 3(rw) _ n cocí _ _ + _ _ _ 0 , (.6)
^ - ¿ = - | 2 + E Lu , (37) 3t r dr '
3t =E Lv (38)
| W = _ | 2 + E U + 4 _ ) U , (39)
completando con las debidas condiciones de contorno.
-21-
Para muchas aplicaciones conviene introducir la función
de corriente, X, definida como sigue, [l]:
_ 3X w 3r r (40)
X está relacionada con la función de corriente de Stokes, ^,
3z 3r '
mediante la expresión \¡i = rX.
Una vez introducida X, la presión desaparece de las
ecuaciones (37) y (39) derivando la primera ecuación respecto a
z la tercera respecto a r y restando. Obsérvese aue:
EL -3 1 3u 3 3t
E 3 ^ - 3 F Í E L - 3 T + ^ W ^ E L -
+ #- Ei. - ¿ + 4 3r | 3t r2
3 ) t
~3X _3r
2 3 X
3 z 2
r L Á EL 3t
X .
En vez de los sistemas (32) a (35) y (36) a (39) quedan
los sistemas, de dos ecuaciones cada uno, que aparecen en la Ta
bla 1 de la página siguiente.
3.7.2. Problemas típicos
Muchos problemas interesantes se abordan con las ecua
ciones y condiciones de contorno presentadas hasta el momento.
Se suele añadir la hipótesis adicional E<<1 (o, a lo más E^l, en
el caso de impulso finito y tiempos pequeños). Este caso límite
es probablemente el que presenta mayor interés matemático, aun-
Gue en las zonas flotantes de interés práctico sea grande la VÍJB
cosidad de la masa fundida.
Para resolver los problemas en que aparecen pequeños
lamí -22-
Tabla 1
Ecuaciones Lineales para Configuraciones Axilsimétricas
1) Ligera variación de la Velocidad de Ro- 2) Período Lineal de la Puesta en Rotación
tación
'{--Al
3X
X =- 2 3z
(41)
(42)
v = Ü
r 3z
(41a)
(42a)
Se puede reducir el orden de la ecuación (42a), y hacer desaparecer X, intro
duciendo Í2 = LX. La ventaja de tal sustitución puede ser grande, aunque no es fácil ex
presar las condiciones de contorno en función sólo de Í2.
En muchos casos se puede suponer que
v = r V(z,t) ,
X = r $(z,t) ,
con lo que los sistemas anteriores se reducen a:
E J <L l u = 2 ü 3z2 3 t J 3z
3z 2 3t
, 3 j» ._ 2 3_V
(43)
(44) 3z*
3z 2 ~ 3t
r 3 3 , 2 3t 3z
V = 0
.1.4=- 2VÍ^ . 2 3z 3z
(43a)
(44a)
Integrando la segunda ecuación de cada uno de estos dos sistemas respecto a
z, y utilizando como funciones V y U = TC-J- tenemos: J 3 Z
3z
. E 3z
2 3t
2 3t
V = 2U
U =- 2V + F(t)
(45)
(46)
3z 2 3t
• V = 0 (4Sa)
E-l---3-3 z
U =- V' + F(t) . (46a)
En las ecuaciones (46) y (46a), F(t) representa el gradiente radial de presión.
En el caso de ligera variación de la velocidad de giro se pueden reducir las
dos ecuaciones (45) y (46) a una sola, [3]:
TE 3!-- 3-] |_ 3 z 3 tj (V-iU) = 2i(V-iU)-iF(t) (47)
Estos sistemas deben completarse con las condiciones de contorno apropiadas.
-23-
parámetros se utilizan técnicas matemáticas de desarrollos asin-
tóticos. Para aplicar estas técnicas hay que buscar soluciones
válidas suficientemente lejos de la entrefase (soluciones para
el núcleo central). En la literatura se encuentran muchas solu
ciones de este tipo, Fig. 5. Ninguna de ellas cumple las condi
ciones de contorno en la superficie libre (no era ese su objeti
vo) lo que indica que ciertos términos despreciables en el núcleo
central varían en las proximidades de la entrefase mucho más acu
sadamente de lo que se pensaba. Esto puede ser la clave en la d£
terminación del espesor de la capa límite próxima a la entrefase
y del orden de magnitud de los términos dominantes en dicha capa.
3.7.3. Ligera variación de la velocidad de rotación
Se empieza considerando el caso 3 de la Fig. S.
Como se verá más adelante, el problema del ligero au
mento de la velocidad de rotación presenta características muy
semejantes en los tres casos que se esquematizan en la Fig. 6,
que son:
1) Líquido contenido en un recipiente cilindrico circu_
lar.
2) Puente líquido cilindrico circular soportado por
fuerzas de tensión superficial.
3) Puente líquido cilindrico circular soportado por
otro líquido de la misma densidad pero, en general, de distinta
viscosidad.
El primer problema ha sido resuelto por Greenspan S
Howard [4] y merece ser discutido como guía para resolver los
otros dos. La discusión que sigue es válida para tiempos t tales
CONDICIONES DE CONTORNO
t < 0 t>:0 PEQUEÑO
PARÁMETRO
Y/////V/////A '////////////A Q
w
e = til w
Q
;•••;• - ' - i - • . , - : ;
Q<
Q
c = w - 1
V/////áZZZZ Q.
' ' • ' • • i " - " ' - 1 :
ft,
w V/////tY7777r¿
V////Á7777777. w
e = w
ft ^ ^ ^ ^ a
e = w Q i
ft<
777777?777777rA Q w
Q NO HAY PEQUEÑO PARÁMETRO EN [6]
V//////Z77777?. w
+ Gw * w L Y E EN [7 ]
íí<
T ^ T T ^ Z T ? ^ fl w
fí,
y/////k//////A
NO HAY PEQUEÑO PARÁMETRO
^ 0 * f t w
Fig. 5. Soluciones para el núcleo central. Corresponden a movimientos inducidos por la puesta en rotación de una o dos pJacas. Estas placas, que son ilimitadas, pueden ser planas o no.
En los casos 5 y 6 las placas además de girar se desplazan axialmente.
Los casos 1 y 3 son los únicos considerados detalladamente en este capítulo.
- 2 5 -
/
•ZZZL
7777.
<4>
777A
RECIPIENTE RÍGIDO
iLLLLMttn W cl>
i >>>>}>>}
C^J
ihzz ZZZZZ2
VZZZZZZZffiZZZZZZ.
TENSIÓN SUPERFICIAL SIMULACIÓN DE EN MICROGRAVEDAD PLATEAU
Fig. 6. Los tres problemas de ligera variación de fi.
que fit>2íT, que es aproximadamente cuando las capas viscosas so
bre las bases alcanzan un estado casi-estacionario.
Aunque hay dos escalas de tiempo que parecen gobernar
el problema, a saber, el período de rotación, 2TT/ÍÍ, y el tiempo
necesario para que la vorticidad se difunda hasta el plano me-
dio, (L/2) /v, la escala de tiempos fundamental resulta ser la
media geométrica de las dos anteriores: t = (L/2) /VPJ (es decir,
tE=l/fi/E, que es el llamado tiempo de Ekman). Para tiempos de or
den t E, el campo fluido se subdivide en 6 regiones (Fig. 7) en
las que se calculan las soluciones mediante técnicas asintoticas
(ver Apéndice II para los detalles matemáticos).
En la zona D , las longitudes características radial y
axial son de orden unidad. Las fuerzas viscosas son desprecia
bles, mientras que las fuerzas de inercia, de Coriolis y de pre
sión se equilibran entre sí. Ni u ni v dependen de z, con lo que
se verifica el teorema de Taylor-Proudman del movimiento colum-
nar (ver, por ejemplo, LlJ ) .
La velocidad radial, que en esta zona se dirige hacia
- 2 6 -
ISSSSSSW; msssw
xzzzzzzzzzz-zzzzzzma J23
JU
FUERZAS DOMINANTES EN LAS DIFERENTES
ZONAS 0 REGIONES FLUIDAS DE UN PUEN
TE CILINDRICO CIRCULAR
REGIÓN
D,
D 2
D«
° 2 4
D 3 D 2 3
INERCIA
r e •
•
z COR 1 OLÍ S
e VISCOSAS
r
•
•
•
e i
PRESIÓN
z
Fig. 7. Las diferentes regiones fluidas en el caso de pequeño incremento de la velocidad de rotación de un cilindro circular lí_ quido limitado lateralmente por paredes rígidas o flexibles.
1 /O
el eje z, es de orden E . Aparecen también unos flujos secunda
rios axiales, simétricos respecto al plano medio, z=Ü, y dirigi
dos hacia las capas viscosas de Ekman próximas a las bases (zonas
1/2 1/2 . D , de espesor E ). Estos flujos, de orden r , vienen a reem
plazar al fluido que, en esas capas, se aleja radialmente del eje
de rotación.
Cerca de la pared cilindrica aparece una doble estruc
tura semejante a la de las capas de Stewartson [9]. 1/4-
En la primera capa, D , de espesor E , se reduce a
cero la velocidad radial en la región alejada de las bases, y la
velocidad azimutal se aproxima suavemente al valor v=R de la con
dición de contorno en el cilindro. El flujo radial correspondiera
te a la capa de Ekman es succionado verticalmente. Es de desta-
car que el espesor E corresponde a la distancia que puede al-
lamf 27-
canzar la difusión viscosa de la vorticidad inicialmente concen
trada en la pared, en tiempos del orden de t .
Las fuerzas viscosas en D no son lo suficientemente
grandes como para anular, cerca de la pared, la velocidad verti
cal. Aparece entonces una zona D , de espesor E 1 / 3 , que reduce
esta velocidad a su valor cero en la pared.
Cerca de las bases, las capas D^ y D se solapan con
la capa de Ekman, creándose unas zonas D y D en donde no só
lo son importantes las fuerzas viscosas azimutales sino también
las radiales.
Resulta que, para valores pequeños del número de Ekman,
E, el estado de rotación como sólido rígido no se alcanza por di_
fusión de la vorticidad, como podría pensarse a primera vista.
Las capas de Ekman actúan como sumideros de fluido de pequeña vor
ticidad a través de los flujos secundarios de la zona interior,
y el tiempo característico t se puede interpretar como el nece
sario para que un anillo de fluido interior, de momento cinético
2 . . . . MI 0, y situado a un radio 1, adquiera la velocidad angular final
(l+e)n, desplazándose hacia el eje de rotación una distancia
eL/2.
Por último, existe cerca de los rincones formados por
las bases y el área lateral del cilindro una zona D ., donde las
1 / ° longitudes características son de orden E " tanto radial como
axialmente. En esa zona, la capa límite deja de ser una capa de
tipo Ekman, y el movimiento se rige por ecuaciones de tipo elíp
tico en vez de parabólico. Este problema es mucho más complicado
y no ha _sido abordado en [u] . Un problema análogo se discute en
§ 3.7.5.
-28-
La discusión anterior es válida en el caso de isorrota
ción simétrica; es decir, cuando las dos bases giran en todo mo
mento con la misma velocidad y en el mismo sentido. Este es el
único caso que habrá que considerar si el líquido llena un cilin
dro circular de paredes rígidas; pero en configuraciones que no
están limitadas lateralmente, o que están limitadas por una en-
trefase, caben otras muchas situaciones.
Se entiende por isorrotacion asimétrica el caso en el
que las velocidades angulares de los discos extremos son diferen
tes, pero del mismo signo. Este problema, aparentemente sencillo,
es objeto de cierta controversia.
Los modelos matemáticos existentes hasta el momento
consideran un volumen líquido, ilimitado lateralmente, y conteni_
do entre dos discos de radio infinito que giran con las velocida.
des angulares respectivas ti y ti íti >ti >Ü).
Lo que distingue los diversos modelos entre sí es el
comportamiento del fluido fuera de las capas de Ekman próximas a
los discos.
Para Batchelor [id] todo el fluido situado fuera de es_
tas capas viscosas gira con velocidad angular ÜJ = /ÍÍ ti . La velocí
dad axial cerca del eje de giro se dirige desde el disco lento
hacia el rápido. En la capa de Ekman próxima al disco lento, la
velocidad radial se dirige hacia el eje, mientras que en la pró
xima al disco rápido se dirige hacia fuera.
En el modelo de Stewartson [ll] , el fluido central no
tiene velocidad angular apreciable. Aparecen dos celdas separadas
por un plano paralelo a los discos, y más próximo al lento. En
cada una de estas celdas la velocidad axial está dirigida hacia
-29-
el disco más próximo.
Hay una tercera clase de modelos [l2] , con dos o más
celdas, sin simetría respecto al plano medio. La velocidad angu
lar del fluido central varía con la distancia a los discos de
acuerdo con leyes distintas para cada modelo.
La integración numérica de las ecuaciones de Navier-
Stokes permite determinar valores del número de Reynolds, Re=E_1=
=L fü /v, entre los cuales el calculo suministra soluciones múlti
pies [13]. De momento sólo se ha reproducido experimentalmente
el modelo de Stewartson, [ll], [l4], si bien es cierto que no
existen todavía criterios que permitan escoger sistemáticamente
entre las varias soluciones teóricas. Es probable que el proceso
no estacionario que lleva a establecer la isorrotación asimétri
ca sea determinante a la hora de configurar la solución estacio
naria.
El problema de contrarrotación (tt >ü y 0, < Ü) es objeto
de las mismas discrepancias, aunque se sabe que el modelo de Bat-
chelor falla para ü =-Q , [15] , y que el cambio brusco de isorro
tación simétrica a contrarrotación con ü --Q, , conduce a una "ex.
plosión" de la capa límite del disco cuyo sentido de giro se in
vierte, [l6]. Esa "explosión", en la que las velocidades en la
capa límite y el espesor de la misma se hacen infinitos en un
tiempo finito, indica que la aproximación de capa límite no es
válida en este problema, salvo para tiempos muy pequeños después
de la inversión.
3 . 7 . 3 . 1 . Caso de un p u e n t e l í q u i d o c i l i n d r i c o c i r c u l a r
Es fácil comprobar que la solución correspondiente al
-30-
cilindro circular, discutida en el § 3.7.3, y cuyos detalles ma
temáticos se presentan en el Apéndice II, es válida, en primera
aproximación, en las zonas D1 , L? , D4 y D2l+ para estudiar la li
gera variación de la velocidad de rotación en un puente líquido
cilindrico circular que inicialmente gira como un sólido rígido
con velocidad angular ü. Sólo la zona D es distinta (y, por tan
to, también la D ) pues aunque su espesor sigue siendo de orden
1/3
E , por razones que se explican en la Introducción del Apéndi
ce II, ahora hay que cumplir las condiciones de contorno cinemá
ticas y dinámicas en la superficie libre, distintas de las corres
pondientes a la pared cilindrica rígida.
El que las soluciones en D , D , D y D sigan siendo
válidas no es demasiado sorprendente, porque las columnas cilin
dricas que giran alrededor de su eje son muy rígidas y no es fá
cil perturbarlas desde el contorno.
1/2 Para tiempos grandes t^l/E , las variables de orden
unidad en la zona D0 serán (además de T-tE ) z y n, esta últi
ma definida como en el Apéndice II, § 3.3:
n = E"1/3(r-R) , (-^<n<ü) ,
donde R es ahora el radio de los discos y del puente líquido no
perturbado. .
En función de estas variables el sistema de ecuaciones
(32) a (35) se reduce, en primera aproximación, al siguiente:
E - l / 3 3 u + 3 w = ú ( 1 + 8 ) . 3n 3z
- 2 v = - E - 1 / 3 | P + E 1 / 3 Í 4 , (49)
-31-
n r.1/3 82v 2u = E , (50)
Sn
3n
Los términos de variación temporal desaparecen de las
ecuaciones (49) a (51) al ser, en cada ecuación, despreciables
frente a los términos viscosos.
Se puede eliminar P por derivación cruzada de las ecua
ciones (49) y (51), pero eso no es muy conveniente aquí poraue
la presión aparece en la condición de contorno (21). Puede ser
conveniente, en cambio, manejar en paralelo la función de corrien
te X, introducida en la ecuación (40) y que, en primera aproxima
ción, está relacionada con u y w como sigue:
„ _ 3X p-1/3 3X f . u - 7T— ; w =- L TT- . ( 52)
Teniendo en cuenta la analogía, ya mencionada, entre
el presente problema y el del cilindro circular de paredes rígi
das, introducimos, a modo de ensayo, los desarrollos (A-II.39) y
(A-II.40) para v y X, es decir:
v(n,z,x;E) =R+E 1 / 1 2v 1(n,z,i)+... , (53)
y X(TI,Z,T;E) = E 7 / 1 2 X Q ( n ,Z,T ) + . . . . (54)
Los desarrollos para u y w resultan de las ecuaciones (52) y
(54), y el de P resulta de los de v, u y de (49):
P ( n , z , x ; E ) = P ( Z , T ) + E 1 / 3 2 R T I + E 5 / 1 2 P 2 ( T I , Z , T ) + . . . . ( 5 5 )
El comportamiento de las funciones u, v, w y P para
n->-_oo s e deduce de las condiciones de empalme entre las zonas D
y D . En particular, teniendo en cuenta (A-II.46) y (A-II.48),
-32-
y
Vj (n--°-,z,r) = R n , /TTT
X o(n—,Z,T) = | ^—-nz , /TTT
(56)
(57)
de donde se obtienen fácilmente los comportamientos de u, w y P
en primera aproximación.
Las condiciones de contorno (22), (23) y (24) en la en
trefase, r = R(1 + 1(z , T)) , escritas en términos de v y X, en función
de las variables locales n y z son:
2, ^X + E 1 / 3 ¿X _ E 2 / 3
x_ £2/3 3jbX +
3n 2 R 3n R 2 3z
2 " 0
8ri R ' • • U
3X 3z
+ E R(|^+E 1)1^ + ldii R; 3 z 0 .
(58)
(59)
(6Ú)
Se considera ahora la ecuación (50) de conservación de
la componente azimutal de cantidad de movimiento, y las condicio
nes de contorno para v , que son la (56) y la deducida en prime
ra aproximación de (59): Sv /9n=0. La solución de (50) no puede
dar para v una función lineal en n, como pasaba en el caso del
cilindro circular, (A-II.4 3 ) , porque se incumpliría la condición
de contorno deducida de (59). De aquí se deduce que los dos tér
minos de (50) deben ser del mismo orden y que, contrariamente a
lo que se podría pensar, u es de orden E" en vez de ser de or
den E como se deduciría de la ecuación (54). Este resultado
parece sorprendente pero no lo es tanto si se tiene en cuenta que
para modificar v, aunque sólo sea ligeramente, hay que contar con
fuerzas de Coriolis mayores que las que había en la zona D .
Como resumen de lo que antecede se deduce que el desa-
-33-
rrollo (54) no es válido pero que, en cambio, lo son los (53) y
(55).
Suponiendo que la forma de la superficie libre está da
da en primera aproximación por
r= R(l+Enl1(z,i)) , (61)
donde n es un exponente positivo todavía desconocido, y recordan
do que p=P+r / 2 , la condición de contorno (21) se reduce, salvo
términos de orden superior, a:
3 2 1 P + E 5 / 1 2 P 2 + | R 2 ( l + 2 E n l 1 ) = A . ( l _ E n l ) - ^ E n j -
d Z
de la que se deduce:
1 ? 1 P 2 R efe ' (62)
5 n = YJ ' (63)
y s 2 l i
d Z R
La primera de estas ecuaciones proporciona el valor medio de la
presión. La segunda indica que la superficie libre se desplaza
5/12 radialmente de su posición inicial una cantidad de orden E y
que, por tanto, se pueden transferir las condiciones de contorno
a n = 0. Finalmente, la tercera ecuación permitirá calcular la for_
iría de la superficie libre, una vez calculada P .
3.7.3.1.1. Cálculo de la velocidad
Eliminando u, w y P del sistema de ecuaciones (48) a
(51) se obtiene la siguiente ecuación de sexto grado en v ,
3 v. ^ 2 d V.
+ 4 O (65) 8r) 3z
Con las siguientes condiciones de contorno:
Io) Para n^-00, condición (56).
2o) Para n=Ú,
a) La condición deducida en primera aproximación
de (59) :
0
b) Otra condición deducida de (60), teniendo ei
cuenta (50) y la primera de (52):
^ 2 9 v
3n' = o
c) Condición deducida de (58), (50) y (60):
3 v
3n = 0
3o) Además v debe ser una función par en z.
Una vez resuelto este problema, se puede calcular u ,
w y X , que deben tender a cero para n^-°°. Los resultados son, o o
en primera aproximación:
,5/12 u = E' u Q ( n , z , T ) + . . . ,
— 1 oo 3
u : 1 M _ _ y (-D*-1 / 2 7 k c o s i r k : o 2 • u
'ITT k = l
/2TTkri . e +
+ 2e /2-rrk n / 2
COS [^r- / 2 l l k r) + -5- ) ( 6 6 )
v = R + E 1 / 1 2 v l ( n , z , i ) + . . .
R e " 1 , " ( - l ) k - 1
COS TT k z 'fTT k = l /2TTk
/ 2 7Tk n ^ e +
, „ /2TTk n / 2 /3" / 7 r - 1 -+ 2 e eos -y - / 2 i r k n > . ( 6 7 )
r l / 1 2 , w
w = E w ( ri , z , T ) + . . .
1 Re o 2
TIT k = 1
k - 1 r_4 - TT k
1 / 3
l (~1) ( T T ) s i n * k z / 2 i T k n
„ / 2 ¥ k n / 2 / 3 ^ - ^ 2 e e o s -7T- /2Tik n ( 6 8 )
x = E 5 / 1 2 X ( n , z , i ) +
_ T oo ' ,
Y 1 Re v , . . k - 1 /2rTk . X = - — ¿ ( - D -T- s i n TÍ k z ' o 2
/TT x k = 1 TTk
/2TTk TI , e +
, „ /2Tík n / 2 r / 3 3í7T^r . 2TTY
+ 2 e e o s [-y- /2Tík n + - r - j 2 (69)
La expresión de X permite dibujar las líneas de corrieri
te en la zona D , como se hace en la Fig. 8. Comparando esta fi
gura con la Fig. A-II.2 se comprueba que existe una recirculación
2iñx _, Re-* V
,-.05
2. _ 1. -T)
Fig. 8. Configuración de la corriente en la zona D
-36-
en las proximidades de la superficie libre. Esta recirculación
no ha sido todavía observada experimentalmente, aunque se han ha
liado corrientes secundarias en las proximidades de entrefases
en movimiento en varios y diversos tipos de movimientos fluidos.
3.7.3.1.2. Cálculo de 1 1
Para deducir de C64) la forma de la superficie libre
es necesario calcular primeramente la presión reducida, P . Esto
se puede hacer mediante las ecuaciones (49) y (51) de conserva
ción de las componentes radial y axial, respectivamente, de can
tidad de movimiento teniendo en cuenta, además, las ecuaciones
(52) a (55). El resultado final es:
P 2 ( Ü , Z ; T ) = - 2 Re
- 1 oo
I ( -1) 'TTT k = l
k-1 /2nk TTk
eos TT kz . ( 70 )
Llevando esta expresión de P a la ecuación (64) con las dos cori
diciones suplementarias,
Io) de simetría:
1 Cz ,T ) = 1 (-Z ,T )
y 2o) de invariancia del volumen:
1 1, (z,i)dz = 0
se tiene finalmente:
1 , ( Z , T ) = - 2 CR 1
2 e _ 1 OO
( - 1 ) k - 1 / 2^k r— . L . 2 , 2 D 2 . D 3 „ TTk 'TTT k = l TT k R - 1 - R C
e o s TT k z . ( 7 1 )
En la Fig. 9 se presentan varios resultados típicos.
Hay que observar que, de acuerdo con la ecuación (71), el despla.
zamiento de la superficie libre se hace infinitamente grande cuan
Fig. 9. Formas de la superficie libre para puentes líquidos de distinta esbeltez, 1/R, y un valor determinado del parámetro de rotación, C=2.
Las curvas han sido deducidas del estudio de la zona D3 y, por lo tanto, no son válidas en las proximidades de las placas, z=±l.
La curva para R=4 es muy próxima a la correspondiente al límite de estabilidad de Gillis, ecuación (72).
-38-
do el radio adimensional, R, del puente líquido cilindrico está
relacionado con el parámetro de rotación, C, mediante la expre
sión:
1 7T ,
R= • (72) /l+R3C
La ecuación (72) da la máxima relación longitud/diáme
tro para la que es estable un puente líquido cilindrico que gira
con velocidad angular adimensional C. Esta fórmula ha sido dada
anteriormente por Gillis [17].
3.7.3.1.3. Zona Dg-
El estudio de esta zona no ofrece especiales dificul
tades. Las ecuaciones diferenciales son las de la capa de Ekman,
por tanto las mismas que en D y D , Ver Apéndice II, § 3.3. La
única diferencia consiste en que el comportamiento lejos de los
discos extremos es distinto en cada caso, y ahora se obtendrá,
de acuerdo con las condiciones de empalme ya mencionadas, hacien_
do z=±l en las ecuaciones (66) a (69).
La solución obtenida no presenta un interés inmediato
porque, como ya se ha dicho en los párrafos finales del § 3.7.3
y del Apéndice II, tal solución no es válida cerca de la superfi^
cié libre, donde aparece una zona, la D , en la que las varia
ciones axiales de las distintas propiedades son del mismo orden
aue las radiales.
El estudio de esta zona, cuya estructura puede gober
nar de forma crucial el crecimiento de los cristales, será abor
dado en breve.
-39-
3.7.4. Ligera variación de la velocidad de rotación. Simulación
de Plateau
Se considera un puente líquido cilindrico circular so
portado exteriormente por otro líquido de la misma densidad, p,
pero de distinta viscosidad, \i (y /y%l). En lo sucesivo el sub
índice o se referirá al fluido de soporte exterior.
Los dos líquidos; la columna soportada y el cinturón
de soporte, están contenidos entre dos discos paralelos de radio
infinitamente grande, y están separados por una entrefase cilin
drica.
La configuración gira inicialmente como un solido rígi
do con velocidad angular fi pero, de repente, se aumenta ligera
mente la velocidad angular, bien de los dos discos considerados
como continuos, o bien de aquella parte de los discos que está
en contacto con el puente soportado.
El núcleo fundamental del análisis que se desarrolla a
continuación se refiere al primero de los dos casos mencionados:
los discos se aceleran como sólidos continuos. Pero se discutirán
con detalle las implicaciones resultantes de suponer que sólo se
acelera la parte interior de cada disco.
3 . 7 . 4 . 1 . l o n a s _ p 1 0 , J p 2 0 , _ D 4 0 x J 2 4 0
Las consideraciones hechas en el § 1 del Apéndice II,
pero aplicadas al fluido exterior próximo a la entrefase, sugie
ren que existe una estructura de capas muy semejante a la del
fluido soportado interior, Fig. lú.
Cada una de las capas D. tendrá un espesor y una es-
tructura análogos a los de la capa D. homologa, con varias dife-
40-
' / / / / / / / / / / / / / ^ ^
D, D,
^sssssssssw,^W^
Rao^c °to
D2A D23 D230 D240 D20
Fig. 10. Las diferentes regiones fluidas en el caso del pequeño incremen_ to de la velocidad de rotación de un puente cilindrico circular soportado mediante un líquido exterior de la misma densidad pero distinta viscosidad.
rencias básicas:
Io) El parámetro pequeño será:
y E =-2- E . o u
-1/2 2o) El tiempo característico sera t E =(u /y) t„ y,
por tanto, la variable temporal, T , estará relacionada con T rae
diante la expresión:
1/2
o v u
3o) Lo mismo ocurrirá con las variables geométricas
En particular:
1/4
1/3
o
4o) La solución en D será radicalmente distinta de
la obtenida en D (§ 3.1, Apéndice II). La razón es que el meca-
-41-
nismo de transporte de vorticidad es ahora exclusivamente difusi
vo a partir de las capas D 4 Q y D2Q. No existe en D±Q ese mecanis
mo convectivo tan eficaz que existía en D , pues el fluido lanza
do hacia fuera en las capas de Ekman no abandona dichas capas por
que no hay pared lateral exterior que le obligue a hacerlo. Por
lo tanto la solución en la zona D será, en primera aproxima
ción, la correspondiente al torbellino irrotacional
R2
v = — , oo r
con X =Ú oo
5o) La solución en D, „ será formalmente idéntica a la 40
calculada en el § 3.2, Apéndice II,
v = R-Re~ °íaerf(^ -^)+b) , o *• ¿ / — '
/ T O
pero ahora el empalme con D obliga a que sea b=-a=l.
El empalme D -D indica que:
~To r 1/12 , . „ 1/12 Re E v^^íu -*°°,Z,T ) =E — n ,
o 10 o ' o o , o O
1/12 donde v,n(n_ , z ,x_) es el coeficiente de E en el desarrollo de
la componente azimutal de la velocidad para la zona D 30
3.7.4.2. Zonas D? y D 30
Es de esperar que la solución en D no difiera mucho de
la calculada en el § 3.7.3.1 para un puente líquido que inicial-
mente es cilindrico circular y que está soportado por fuerzas de
tensión superficial. En efecto: la ecuación diferencial para v
sigue siendo la (65); las ecuaciones para u y w son las (50) y
-42-
(48) respectivamente; las condiciones de empalme con D son tam
bién las mismas, y solo cambiarán las condiciones en la entrefa
se. Estas consideraciones sugieren las expresiones siguientes:
v(n,z,x;E) = R + E 1 / 1 2V l(n,z,T) + . . . ,
Re'
/TTT L k = 1 j = 1 l l eos TT kz A e KJ I , (73)
kj
donde a, „ =/2rFk; kl
_ ÍTT/3 -ÍTT/3 a k 2 " e a k i ; a k 3 = e a^
., , y A son factores kl k]
constantes que se deducirán de las condiciones en la entrefase.
De las ecuaciones (50) y (73),
u(n,z,x;E) =E u (n,z,x)+
1 Re' . i oo
O l
2 « k ^ T y eos ir kz A, . a, . e , (74) L L k] kj
'TT T k = 1 j = 1
F i n a l m e n t e , de (48) y ( 7 4 ) ,
w ( n , z , x ; E ) =E w ( n , z , x ) + .
w o 2
— 1 oo 3
1 Re r r sen 7T kz A 3 > ) ; A, . a . . e
/ , „ . „ TTk k] k] /TTT k = l i = l
a k n ( 7 5 )
Las expresiones de las componentes de la velocidad del
campo exterior, escritas en las variables n ,Z,T ;E serán análo ^ o o o —
gas a las anteriores. Ahora bien, como interesa utilizar el mis
mo pequeño parámetro, E, y la misma variable temporal, x, tanto
para el fluido interior como para el exterior, introduciremos las
íunciones v*, u" y w" definidas como sigue:
E^ / 1 2v 1 0(n o,z,x o)=E1 / 1 2ví 0(n,z,x) ,
io l y '
1/12 Re '7TX
7/12 ,. ,Vo ,1/2,
Mo
• y y eos TT kz B . e k=l j=l k ]
-a k j(^) i , (76)
Lamí #Ssoa •43
donde las B son otros factores constantes que también se dedi
cirán de las condiciones en la entrefase.
r 5 / 1 2 / N „5/12 * , E o U o o ( n o ' Z ' T o ) = E U o o ( n ' Z ' T ) '
V
0 0 M ¿ rrz , * . . k] k 3 'TTT k = l j = 1
1/3
(77)
Finalmente,
1/12 , v J / 1 2 A, . w (n , Z , T ) = E w ( n , z , x ) ,
o 0 0 0 0 0 0 '
w 0 0
u 1/12 1 R - T oo
2 ÍT T k = 1 j = 1
sen TI kz n . 3 . k J ~ y 0
u 1 / 3
TTk B. . a, . e
k] k3 ( 7 8 )
Las condiciones de contorno en la entrefase, una vez
linealizadas y trasladadas a n=Ú, son:
Io) De la ecuación (27),
^ = Ú dr) U '
que suministra una primera relación entre A, . y B, . ^ r k 3 k]
a i f M 3 / 4 1
.{A^-íf) Bkl|-ak2
3 / 4
A k 9 - m Bk y y 3 / 4
( 7 9 )
2 o) De la ecuación ( 2 8 ) ,
3n o ,
y teniendo en cuenta la identidad
\ s e n ^ x = _ k = l k 2
X <7T ,
se obtiene:
-44-
í P 3 / 4
«k2 Akl + ( ^ ) B k l > + M 0 - 3 / 4
« k 2 A k 2 + ( ^ ) B k 2 |
+ ak. -M 3 / 4 k - 1
A k 3+ ^ ^ H " 1 ' 2 1 l - ( ~
M_l/2 ( l --^)T ( 8 0 )
3o) De la ecuación (24) ,
u = Ü
de donde se deduce
ak 1Ak 1-ak 3Ak 2-
ak2 Ak3 = ü (81)
4o) Finalmente, de (29) y (81),
u = v„-v =w -w , oo 1 10 o oo
de las que se obtienen los siguientes tres grupos de ecuaciones:
ak 1Bk 1-ak 3Bk 2-ak2
Bk 3 = ° » (82)
1/12 1/12 A*,-(f Bkl+Ak2-(-p) Bk2+Ak3-(-^)
1/12 5k3 = Ú, (83)
1/12 y Ak 1 +(-/) Bkl-A,
1/12
2 »• y Bk 2-A k 3-, l J
. ^ , 1 / 1 2
B k 3=Ú. (84)
Los seis grupos de ecuaciones (79) a (84) permiten ob-
1/12 -• tener A, . y (u /u) B, ., y de ahí las comDonentes de la veloci
kj J o k] " —
dad en las zonas D y D . Los resultados finales son:
1) En D3: n<0
u = _ I ^ - F ( ^ , T ) l (-l)1""1 / M c o s TT kz | F1 (n)+ (^ o l 'TTT k = l
2/3 F2(n)
con
t^Y--^
U 1/2 p_l/2 (l-(-¡f) )T
(85)
p 2/3 ,Pr.H/3
l+(^f) +(^)
y
lamf «aSsoD -45.
F 1 ( n ) = e +2 e
3. -, 3 /2Trk n -§/2iTk n /o 3
F 2 ( n ) r 2 e "2 e c o s ^ / 2 ¥ k n
Re" . k - 1 r r M o ^ r ( - 1 ) V 2 / 3 \
<n ( ~ , T ) J 1 "7 iS" C O S 7 r k z r i ( n ) + ( i r ) G 2( I > } > . < 8 6 >
• 3, 1 3 /2?kn T /2?Tr i / - 3
G.Cn) = e +2e¿ eos 4 f /2¥k n ,
G2(n)=2 e +2 e
3 1 3
^2irk n ^ / 2 u k n r- 3
w = 1 Re~T . ^ < 1 / 3
o 2 ' ITT
F ( ^ . T ) I ( - D ^ ^ f " s e n , k z Í H ^ n ) * 0 / 0
^ f ) H 2 (n )h (87 )
H^n) = e
3 -, 3
/2^k n -/2iTk n ^ 3
-2 e eos — /2irk n ,
3 -, 3
/ 2 í kn -v '^ iTn ^ 3
H 2 ( n ) = 2 e - 2 e 2 ' ~ c o ^ / 3
1 p - T JJ 00 3
\ - \ * j = T { - f , A l ( - I ) 1 5 " 1 "Wsen.y.z F ^ n ) ^ ) F 0 ( n ) . ( 8 8 ) /TTT k = l
. y „ 2 / 3
M J f2
Hay q u e o b s e r v a r que c u a n d o n = 0 l a s e c u a c i o n e s ( 8 5 ) a ( 8 8 ) c o i r i
c i d e n c o n l a s ( 6 6 ) a ( 6 9 ) , como e r a de s u p o n e r .
2) En D 3 0 : n>0
1 Re - T V 2 / 3 u J
0 0 - 2 - 7 = = - ^1T^ F C-TT^) I ( - l ) k _ 1 / 2 7 k c o s ^ k z • /TTT M k = l
1/3 , u„ 2 / 3 1 / 3
V " ^ ^ + i l f i M - ( ^ ) n) 1.(89)
- T 1/S ( 1 - < V / 2 ) T M <(JL) ' e ^ ' M ' - rro 10 / ^y
1^ >
( - 1 ) k - 1 l - H — > 1 I ¿ 3 ;; COS 7T k z •
k = l /2?Tk
1/3 , , ^ 2 / 3 1 / 3
-(£> ")+(lf) M-<^> 1) > . ( 9 0 )
En la Fig. 11 se ha representado v y v en función
de n, para diferentes valores de y /y y en el plano z=Ú. Para
dibujar esta figura se ha despreciado la influencia del tiempo T
en F, de manera que la configuración resultante es válida en el
límite T->Ü .
El examen de la Fig. 11 demuestra que la convexidad de
v depende del valor de la relación y /y. Cuando y /y<l la deriva,
da segunda de v es negativa, y pasa lo contrario cuando y /y>l.
Si además se tiene en cuenta la ecuación (50), se llega a la con
clusión de que, al menos en las proximidades de z=nr0, las part^
culas fluidas se mueven hacia el eje de giro cuando y /y<l, y se
alejan del eje de giro cuando y /y>l. Esto permite predecir que
cuando es y /y<l el puente presentará un cuello cerca de z = 0 y
que presentará, por el contrario, un vientre cuando y /y>l, Fig.
12.
Para ver cómo la influencia del tiempo T puede modifi
car estas conclusiones, en la Fig. 13 se ha representado la ex
presión :
Fig. 11. Componente azimutal de la velocidad, v, en función de la distancia a la posición no perturbada de la entrefase, n, para diferentes valores de la relación de viscosidades, u /y. Las curvas corresponden a la sección media del puente líquido (z=0) y a valores pequeños de T.
Y////////////////////"' W", i'.
.»' • l » l l l l
'•i--i,'r;' , ,-;"í ,*í"'-:'-'
. rj 'ü , • .'í.iv. tfKMfjfr 'Mili
Y//////////////////////.
LIQUIDO VISCOSO Interior
^777777777777777777////
LIQUIDO VISCOSO Exterior
Fig. 12. Simulación de Plateau con ligera variación de la velocidad de rotación cuando el líquido de soporte exterior es menos o más viscoso que el soportado interior.
Fig. 13. Función que indica la influencia del tiempo, T, en la distorsión que produce en el campo de velocidades la simulación de Plateau, para distintos valores de u /y.
-49-
en función de x y para los mismos valores de la relación \i /\\ que
aparecen en la Fig. 11. Se observa que, excepto en el caso p =0,
todas las funciones representadas cambian de signo para un valor
suficientemente grande de T, lo que indica que las conclusiones
anteriores son solo válidas para valores pequeños de T, pero que
hay que modificarlas para valores grandes.
La razón del curioso comportamiento que presenta la zo
na próxima a la entrefase al variar x es clara. El tiempo carac
terístico es menor para el líquido más viscoso que para el menos
viscoso y esto implica dos efectos contrarios: Io Como el líqui
do más viscoso se pone en rotación más rápidamente, arrastrará
al menos viscoso, y este efecto se notará fundamentalmente al
principio, es decir: para valores pequeños de x. 2o El líquido
más viscoso alcanzará las condiciones de rotación como sólido rí_
gido antes que el menos viscoso. Cuando en el líquido más visco
so las componentes radial y axial de la velocidad son ya prácti
camente nulas, en el líquido menos viscoso todavía presentan va
lores apreciables. Por tanto, para valores grandes de x el líqui_
do menos viscoso arrastrará axialmente al más viscoso.
3.7.4.2.1. Cálculo de 1 1
Para calcular la forma de la entrefase hay que tener
en cuenta la ecuación (64) en la que P será ahora la diferencia
de las presiones reducidas a uno y otro lado de la entrefase.
Para calcular P (Ú,z,x) se recurre a la siguiente pare
ja de ecuaciones deducidas de (49) y (51):
= 2v , (93)
-50-
3Pn d w 2 o
3z (94) 3n'
El resultado final, particularizado en n=Ü, es
P 2 ( Ü , Z , T ) = - 2 Re - T y 2 / 3
F ( ^ , r ) ( l + 2 ( -£ ) ) I (-1) TTT M M k = l
k - 1 / 27Tk TTk
e o s TT k z , ( 9 5)
que coincide con la expresión (7ú) en el caso particular de que
sea y =0 . o
Análogamente, P „ „ ( 0 , Z , T ) se deducirá de un sist ema en 20 ' ' o
todo análogo al (93),(94), pero escrito en términos de las varia.
bles dependientes e independientes de la zona D .
Finalmente, definiendo, como es habitual, P* (0,z,x)
en la forma:
tendremos
E o5 / 1 2 P 2 0 ( Ü , Z , T O ) = E 5 / 1 2 P ^ ( Ü , Z , T ) ,
P 25 :
Q(0,Z,T) = 2 T> -T y y 2/3 Re r r o i r M o V0 2/3
TTT H k = l TTk
(96)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (64), (95) y (96) se
obtiene la siguiente ecuación diferencial que permite calcular
el desplazamiento radial de la entrefase.
3 3 1 ~T TI °° / 1 , 1 - , „„ e nr
Mo i v / . sk -1 /2frk , — T + _ i =2C—-_G{— ,T) l (-1) - r r - c o s . k 9z R /¡TT k = l
TTk (97)
s iendo,
Gí-^ ,x ' y 2 / 3 y 4 / 3 1 y
1 + 4 p > ) + ( I ° ) F ( - ^ , T ) v y J ^ y J J V
Comparando las ecuaciones (97) y (64) se observa que
ahora ha desaparecido del primer miembro el término RC1 . Dicho
término resulta de que P en el segundo miembro de (64) es la
-51-
presión reducida y no la estática. Como en el segundo miembro de
(97) aparece ahora la diferencia de presiones reducidas, que es
igual a la diferencia de presiones estáticas, no habrá que intro
ducir el término RC1 en el primer miembro.
La solución de (97) con las mismas condiciones de sime
tría e invariancia del volumen utilizadas para obtener (71) es;
i ( \- OCP 2 e r( ° 1 V (-D /27Tk . ,.aS
l1(z,x)-2CR — G ( — ,T) l Co S,kz . (98)
/TTT k = l T í k R - l
Al comparar las expresiones (71) y (9 8) se descubre que
no siempre es lo mismo suponer u =0 que suponer que no hay líqui^
do en el exterior. Por ejemplo, de (98) se deduce que el despla
zamiento de la superficie libre se hace infinitamente grande cuan
do TTR=1 y que, por tanto, la máxima relación longitud/diámetro
para la que el puente soportado es estable es la dada por el cri_
terio de Rayleigh para un puente en reposo, ya mencionado en la
Introducción, y no por el criterio de Gillis (72). En consecuen
cia, el proceso de girar un puente líquido soportado exteriormen
te por un líquido de la misma densidad no desestabiliza el puen
te. Este resultado no es nuevo [18].
3.7.4.3. Z_ojTa_p230
Si la presencia de un líquido exterior de la misma deri
sidad estabiliza un puente líquido en rotación, no está muy cla
ro que se pueda utilizar la técnica de Plateau para comprobar ex
perimentalmente el resultado de Gillis, como pretenden hacer al
gunos autores [14].
Pudiera pensarse que sólo se estabiliza el puente cuari
do se acelera el líquido exterior, pero no cuando se mantiene la
-52-
primitiva velocidad de rotación de éste. Por el contrario, el he_
cho de que la conclusión referente a que el líquido exterior anu
la el efecto desestabilizador de la rotación se haya deducido del
análisis de las zonas D y D , sin necesidad de conocer la es-
tructura de D , parece indicar que dicha conclusión es válida
tanto si los discos se aceleran como sólidos continuos, como si
sólo se acelera exclusivamente la parte interior de cada disco.
No es difícil encontrar dos distribuciones de velocidad
azimutal en la zona D.„„ que se comportan de la misma manera le-2 ó 0
jos de los discos, pero que en los discos cumplen las condiciones
de contorno apropiadas a cada caso.
Las ecuaciones diferenciales en la zona D n son las
clásicas de la capa de Ekman (ver ecuaciones (A-II.26) y (A-II.
27) en § 3.1 del Apéndice II). Eliminando X' por derivación ten_e
mos , en términos de las funciones y variables de la zona D„„ ,
la siguiente ecuación diferencial ordinaria:
85(v'-R) 3(v'-R)
o
cuya solución general, no divergente lejos del disco, es:
v'-R=A+Be~^cosC +Ce~^sen^
La condición de acoplamiento con D indica que (ecua
ción (76)) en cualquiera de los dos casos considerados debe ser:
-, 1/12 Jo 'lCT''o A = t,y xz v„„(n„,±i,T ) .
La condición de contorno en el disco será:
Io) Si el disco es un sólido rígido cuya velocidad an
gular aumenta en un momento dado:
-53-
v'-R = A + B = Ú . o
2o) Si sólo se acelera la parte del disco en contacto
con el puente soportado:
v'-R = A+B =- R o
En el primer caso la solución será:
v'=R+E 1 / 1 2v„„(n ,±1,T )<l-e~^cos£> , o 10 o o
y en el segundo
,1/12 , + 1 • T 11/1 „~£, v1 = [R+E ' v„n(n ,±1;T )]<l-e ^cos^> . o l O o ' o
Conviene advertir, sin embargo, que la controversia no
queda completamente zanjada mientras no se estudien de forma ri
gurosa las zonas D . D , „, D„ n y D„ . & 40' 240' 1 0 - 2 0
3.7.5. Puesta en rotación. El problema del rincón
En este apartado se considera un puente líquido cilin
drico, en reposo, contenido entre dos discos circulares coaxia
les, de radio RL/2, distantes entre sí una distancia L. Súbitameri
te, uno de los discos comienza a girar alrededor del eje de sime
tría del sistema con velocidad angular 0,. El problema consiste
en saber cómo se transmite esta rotación al líquido, por difusión
viscosa, durante los primeros instantes de la puesta en rotación
(capa de Rayleigh giratoria).
La solución para el núcleo central fue obtenida por
Benton [5], quien consideró la súbita puesta en rotación, en su
plano, de un disco de radio infinitamente grande en contacto con
una masa líquida que llena el semiespacio superior al disco.
Para obtener la solución, se expresan formalmente las
componentes de la velocidad y de la presión en serie de poten
cias de un pequeño parámetro e, que mide el tiempo desde el co
mienzo del giro. Al introducir estas series en el sistema de ecua
clones (1) a (4), como el desarrollo debe ser válido para valores
arbitrarios pequeños de e, los coeficientes de los términos en
las sucesivas potencias de e deben satisfacer por separado las
ecuaciones. Esto proporciona una sucesión de ecuaciones diferen
ciales lineales ordinarias relativamente sencillas, cuyos térmi
nos independientes se calculan de antemano para cada aproxima
ción. Además las ecuaciones están desacopladas y se puede escri
bir sus soluciones, en forma cerrada. En la práctica aparecen, sin
embargo, dos razones por las que es difícil el cálculo de los tér
minos de orden superior:
1) La expresión del término independiente se complica
más y más al aumentar el orden de la aproximación.
2) El esquema de perturbaciones no es válido cuando el
radio del disco es finito, y hay que examinar en detalle lo que
ocurre en el rincón, con los sucesivos grados de aproximación,
para obtener una solución uniformemente válida.
Las dos soluciones mencionadas, la correspondiente al
núcleo central y la correspondiente al rincón, se complementan
entre sí; cada una es válida donde falla la otra, y deben acoplar_
se en una región intermedia de validez común, Fig. 14.
En el caso presente, sólo se ha obtenido una solución
uniformemente válida en primera aproximación. Esto es una hazaña
relativamente modesta si se tiene en cuenta que, juzgando por lo
que ocurre con la solución de Benton, la aproximación lineal só
lo es válida para giros del disco de menos de medio radián, mien
-55-
i
i ZONA NO PERTURBADA
Fig. 1*4. Las distintas regiones existentes en la puesta en rotación de un puente líquido cilindrico. El orden de magnitud del espesor de estas zonas se discute más adelante.
tras que el alcanzar la configuración estacionaria requiere más
de dos revoluciones. Pensamos, sin embargo, que esta complicada
solución representa un primer paso, y que sirve para ilustrar las
dificultades del problema del rincón, problema que es de gran in
teres.
3.7.5.1. Solución en el núcleo central
Es lógico pensar que haya un núcleo central que, al me
nos en primera aproximación, no siente los efectos de la superfi_
cié libre. La solución en ese núcleo central será, en primera
aproximación, la de Benton.
La capa viscosa producida cerca del disco es muy delga_
da al principio; por lo tanto, con el fin de manejar variables
-56-
independientes de orden unidad, introducimos un tiempo dilatado,
T, y una variable dilatada normal al disco, n,
t
2/EET
Hay que observar que la longitud característica utili
zada para adimensionalizar es aquí RL/2, única longitud que apa
rece, pues no hay interacción alguna entre las placas.
Los desarrollos en serie de Benton son:
u(r,z,t;c) = eir[f 1(n) + (eT)2f2(n) + (eT)
l+.f3(n) + . . .] ,
v(r,z,t;e) =r[g (n)+(ei) g (n)+(eT) g (n)+(eT) g (n)+...]
w (z,t;e) =-4ei/Ee7 [h (n ) + (ET) h (n) + (ET) h (n) + . ••] ,
p(z,t;e)-^ = 2EeT[p1(n) + (cT)2p2(n) + (eT)
l+p3(ri) + .. •] •
El razonamiento que conduce a estos desarrollos, preseri
tado detalladamente por Benton, se puede resumir como sigue:
En primer lugar, es evidente que el problema que esta
mos considerando es la contrapartida en rotación del problema b L
dimensional del movimiento impulsivo de una placa que se despla
za en su plano con velocidad U. Es el llamado "primer problema
de Stokes" (Schlichting [19]). La solución de este problema se
expresa en función de una variable de semejanza, n = z/2/vT. De aquí
podemos conjeturar que, en primera aproximación,
v ( r , z , t) = r g ( n )
Como v produce fuerzas centrífugas que valen, por uni-
o
dad de masa, v /r, aparecerá una aceleración radial. Para tiem
pos pequeños, esta aceleración será puramente local, porque los
términos convectivos son claramente de orden suüerior. Por eso
57
en la ecuación (2) 3u/3t deberá ser del mismo orden que v /r,
u ( r , z , t ) = e x r f ( n )
A un flujo radial hacia fuera debe corresponder un flu
jo axial hacia el disco, y la ecuación de continuidad (1) sugie
re que:
w(r,z,t) -~kex /Eex h (n)
Por último, la expresión para p resulta de la ecuación
(4) en la que 3w/3t^3p/3z,
1 p(r,z,t) - = 2 E e x p 1 ( n )
Es interesante observar que las series avanzan como
(ex) , lo que asegura la rápida convergencia de la solución para
tiempos pequeños.
Las funciones f , g y h fueron calculadas en forma
cerrada por Thiriot (citado por Benton). p fue calculada por
Nigam [20]. Benton calculó g en forma cerrada y f , f , g , g ,
h y h mediante integración numérica. Todas estas funciones apa.
recen tabuladas en el trabajo de Benton. Algunas de ellas se pre
sentan en la Fig. 15.
Los términos dominantes en el cálculo de la primera
aproximación son los que aparecen en el siguiente sistema de ecua.
ciones, que conviene escribir pues sirve de guía para estimar el
orden de. magnitud de los términos en la región del rincón:
(ru) , 9(rw) _ , 3r dz ' U '
3 3t
2 ) E -
3 z •>
• u = 0
(99)
C10Ü)
1
Fig. 15. Las funciones f^, Í2, g y h^ calculadas por Benton [5].
3 z ->
3 „ 3 2 \ 3p 3t 3 2J 3z
(101)
(102)
ara f
Las ecuaciones y condiciones de contorno que resultan
1 , g 1, h 1 y p 1 son:
a) De la ecuación (101)
dg d2g
dn A + 2 n ^ l = o , con g l(0) = l, g1(») = 0 (103)
b) De la ecuación (100),
df d 2 f
dn Y+ 2 n ~dé~ _ l 4 f i " " U g i 2 ' c o n í
1i 0 ) = 0^ f 1 ( ° ° ) = o ( 1 0 4 )
c ) De l a e c u a c i ó n ( 9 9 ) ,
dn = f „ , con h „ ( 0 ) = 0
1 ' 1 ( 1 0 5 )
-59-
d) De la ecuación (102),
2 d h dh dp
^ r + 2 r i ^ r - 6 h l = - - d T ' C O n P1í0>=Po = cte. (106)
3.7.5.2. Solución en el rincón
Es probable que la solución en el núcleo central no val
ga cerca de la superficie libre , en donde hay que cumplir las com
pilcadas condiciones de contorno (21) a (25). Sin embargo, es lo
gico pensar que la región de invalidez de la solución del núcleo
central es muy estrecha. Esto sugiere introducir una coordenada
radial, E, , de orden unidad, definida en la forma siguiente:
r = 1 + e E,
El espesor de esta zona del rincón en la dirección z (normal al
disco) deberá seguir siendo de orden e , como ocurría en el nú
cleo central.
En relación con las componentes de velocidad, es de re
saltar que: 1) La componente radial u deberá seguir siendo de or
den e, pues de lo contrario su valor para £; + -«> no se acoplaría
con el valor de u en el núcleo central. 2) Por el contrario, la
componente normal al disco, w, deberá ser mayor que en el núcleo
central, dado que toda la masa fluida que se acerca al disco atra
vesando un área de orden unidad debe alejarse de él a través de
una corona exterior que, probablemente, es muy delgada. Una vez
conocido el exponente n, la ecuación de continuidad (1) dará el
orden de magnitud de w. 3) La componente azimutal de la veloci
dad, v, será de orden unidad, como ocurría en el núcleo central,
ya que está inducida directamente por el giro del disco.
Si el espesor radial de la zona del rincón es de orden
-60-
e , las derivadas respecto a r aparecerán ampliadas en el factor
e . Esto es lo que se espera de la solución en el rincón donde
ciertas magnitudes fluidas deberán variar más acusadamente que
en el núcleo central.
De la condición de conservación de la componente radial
de cantidad de movimiento se deduce que la componente radial de
la aceleración local está gobernada por el desequilibrio entre
fuerzas centrífugas y fuerzas viscosas. En el núcleo central el
9 2
término viscoso dominante era E 3 u/3z . Este término no puede
ser el responsable de las acusadas deceleraciones radiales que
se espera que existan en el rincón, porque su efecto es tanto me
nos eficaz cuanto más disminuye u. Además, ni los términos con
vectivos no lineales ni el de fuerza centrífuga pueden producir
dicha deceleración. Deducimos, por tanto, que la única posibili-9 9 >»
dad es que exista, junto a E 3 u/3z , otro término viscoso del
orden de 3u/3t. Esta idea será la clave para determinar n.
Los cuatro términos viscosos que aparecen en el segun
do miembro de (2), a saber: .2
^ 2 d u
2 r — — r u " r 9r ' ,_2 '
L 2 ' r 8r 3z'
son, respectivamente y en las proximidades del rincón, del orden
de: 1 0 , - , 1 _ i-,
1 ; e , l-2n 1-n
por lo tanto n=l/2.
Una vez conocido el espesor radial de la región, las
variables de orden unidad en ella serán:
2/EsT
61
2/ETT
t
Las derivadas respecto a las variables naturales, r, z
y t, están relacionadas con las derivadas respecto a £, n y T me
diante las expresiones siguientes:
3r
_3_ dz
2/E ex
2/EF
_3_
se
_3_ 3n
Los operadores diferenciales 3/3t y EL- —• escritos en las nuevas
variables son:
S 3 n 3 + i _3_ 3t 2ST 3^ 2ei 3n e 3T
EL -2 2
, 1__ + -1— + 2T — + 2n — - 4T ~ 3t Uex | _ 2 „„2 ^ 3C 3n 3x
1
3C 3n'
E 1 E
1 + 2 / E S T C 2 / E i T 3^ (1 + 2 / E e T ^ ) 2
LOS desarrollos correspondientes a las magnitudes flui_
das en la región del rincón serán:
u(r,z,t) = CT[rf1(n)+u1(C,n) + 2/EsTu2(C,n) + - • • ] (1Ú7)
'(r,z,t) =rg1(n)+v1(C,n)+2/EETv2(C,n)+.•• , (108)
w(r,z,t) = £T[w1(C,ri) + 2v/ET:Fw2(£;,n)-
1+/EeTh1(n) + . . .] ,(109)
p(r,z,t) = ± + 5p- [P1(5,n) + 2/ETr"P2(C,n)+4/EeT ? 1 ( n ) + ...].( 110 )
Para la función de corriente, X, el desarrollo será:
- 6 2 -
X ( r , z , t ) = 2 E T / E C T [ r h 1 ( n ) + X 1 ( C , n ) + 2 / E F r X ( £ , n ) + . . . ] . ( 1 1 1 )
En lo sucesivo, se utilizará también la componente azimutal del
rotacional, 0:
dz dr
El desarrollo para fi será:
df (n) Ü ( r , z , t ) = [ r — — + fl ( ? , M ) + 2 / E T T f i 0 U , n ) + . • • ] • (112)
2/EFF =—á2== ! 2
Los términos subrayados en las ecuaciones (107) a (112)
son los que también aparecen en el núcleo central.
Las presiones en la ecuación (110) son estáticas (no
reducidas) en todos los casos.
Obsérvese que mientras la solución en el núcleo cen
tral avanza según las potencias pares de ei, en la zona del rin
cón avanza según las potencias de /EGT . Además, dentro de la aprcí
mación utilizada hasta el momento, no se nota en el rincón la in_
fluencia de los términos no lineales de las ecuaciones (2) a (4).
Esto indica que se puede estudiar la corriente en esta zona uti
lizando las ecuaciones lineales (36) a (39), ó (41a) y (42a), y
que esto se puede hacer para las tres primeras aproximaciones.
3.7.5.3. Las condiciones de contorno en la superficie libre
La condición cinemática en la superficie libre (24),
escrita con R=l, pues aquí la única longitud que aparece es el
radio del puente líquido no perturbado, indica que:
l(z,t) = (eT)2L1(n) + 2(eT)2/EÍTL2(n) + - • • . (113)
Con esta expresión y teniendo en cuenta las ecuaciones (1Ú7) a
-63-
(110), las condiciones de contorno (21) a (25) (con R=l) se redu
cen a:
P 1 ( ü , n ) - 2 ~—u1(c,n) + 2 / E T T [ P 2 ( ü , n ) + 2 p 1 ( n ) -
- 2f ( n ) - 2 ^ — u ( 5 , n ) ] + . . . = o , ( U 4 )
~ — w 1 ( 5 , n ) + ^ u 1 ( o s n ) + - H í f ( n ) + t, = o
, p¡ 3u (o ,n ) + 2 /ET? [ ^~w 2 ( c ,n )+ - ~ ] + . . . = ú , cus)
^ — v 1 ( c , n ) + 2/ÉTT [ ^ — v ( ? , n ) - v ( ü , n ) ] + . . .= ú , (116)
dL (TI) HL^CnKn — ^ 2 [ f 1 ( n ) + u 1 ( o , n ) ] +
d L 0 ( n ) 2 + 2 / E E T [ 5 L 2 ( n ) - n — 5 7 7 — - 2 u 2 ( o , n ) ] + . . . = o , (117)
L ( 0 ) + 2 / E F T L ( 0 ) + . . .= 0 . (118)
Estas condiciones de contorno se han transferido a 5 = 0, dado que
la posición de la superficie libre difiere de E, = 0 en términos de
orden (ex) .
3.7.5.4. Ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno adi
cionales
Escribiendo el sistema (4 la) , (42a ) en las variables de
la región del rincón, teniendo en cuenta los desarrollos (108),
(111) y (112), y las ecuaciones (103), (104) y (105) llegamos,
tras despreciar infinitésimos de orden superior, al sistema si
guiente :
-64-
2
2 3£ 2 3n 3 T H [ v 1 ( 5 , n ) + 2 / E e T v ( C , n ) ] = Ü , ( 1 1 9 )
2 2
l ^ + 2 C 9 T + ~T+2n-^T- l 4T¿} /TfQi (^ ri ) + 2 / E ^ a 2 ( e , n ) ] = o,( i20) 1 o t, dn j
c o n
| — 2 " + —2] f x1 ^ ' n ) + 2/EFFx2(^,n)]=£21(e,n) + 2/EFF a 2 ( e , n ) . (121)
3 £ 2 3 n 2 a
Las condiciones de contorno en el disco (n=Ü) serán:
1) Para la v:
v ( £ , 0 ) + 2 / E E T v (£,0) = 0
2) Para la función de corriente:
2a) Procedente de u=0,
[xi(^,n) + 2^FTX2(C,n)] = ü ,
(122)
2b) Procedente de w=ú,
(123)
^ [ X ( £ , Ú ) + 2 /EiT X 0(£ , 0)] + 2 v^iT X ( E, o t, 1 l 1
0)=0. (124)
Como la solución en la zona del rincón es la del núcleo
central más términos adicionales , estos términos adicionales de
ben ser nulos cuando £-•-«>. Lo mismo ocurrirá cuando r)->°° •
3.7.5.5. Resumen de ecuaciones y condiciones de contorno para la
zona del rincón en las dos primeras aproximaciones
Primera aproximación.
• Ecuaciones diferenciales.
3 v
H
3v 3 v 3v I + 2 £ - ^ + T-+ 2n -rr^- = 0
H . 2 3n
3n (125)
d2ü 3Q 82fi 3Q
2 2 3 X 8 X
~ + ^ = 0 . (127)
Condiciones de contorno en la superficie libre (£=0)
•~\
T-r~— v (£,n) = 0 , (128)
32x (o,n) df.(n) 2 -jr Q C O . r , ) - - ^ - • (129)
3n
Condiciones de contorno en el disco (n=0).
v (5,0) = ^ X CC ,Ú) = g ~ X (í,n) = Ú . (130)
Condiciones de contorno a gran distancia del origen
(£ +n -*°°).
V (£,n) =-^-x1(£sn) = -x1(£,n) = o . (131)
Es evidente que v _.(•£,n) = 0 y que, por tanto, la solución
v=rg (n) es uniformemente válida, en primera aproximación, en t£
do el dominio fluido.
Segunda aproximación.
• Ecuaciones diferenciales.
2 2 3 v 3v 3 v 3v0 — f + 2 t - ^ + — f + 2 n T ^ - 4 v 2 = 0 , (132)
át, ÓT]
d2Q dü 32S2 3Q ^ + 2 £ 1 - / + — ~ + 2 r ) - ^ - k n =0 , (133)
H 2 3C 3n2 3n 2
9 2
3 X. 3 X 0
f + ^ = fi . (134) 3C 3n
•66-
• Condiciones de contorno en la superficie libre (£=ü)
H K = o v2(^,n) = ü ,
9 x2(o,n)
8n (ü ,n) = ü
(135)
(136)
Condiciones de contorno en el disco (n=Ü)
vo(C,0) = AX2(^,o)+X1(C,Ú)= y-¿ X2C4,n)= 0.(137) n = o
2
• Condiciones de contorno a gran distancia del origen
Í ¡r2, 2 s
v2U,n) =^x2(Csn)+x1(c,Ti)=-^x2(C,n)= o . ci38)
Se ve que también en este orden es v (£,n)=0. El pro
blema para X (C,u) resultaría homogéneo con condiciones de con
torno homogéneas, y por tanto X (£,n)5ú, si resultaran simultá-
2 2
neamente nulos X (£,0) y X (£,ri) para E, + n ^°°. Aunque existe li
bertad para suponer que uno de los dos es nulo, no la hay para
suponer que lo son los dos. El que ambos fueran nulos querría de_
cir que la primera corrección en el rincón se limita a redistri
buir el gasto radial procedente del núcleo central, sin modifi
car el valor global. Todo el gasto que llega al cilindro de ra
dio unidad se emplearía, al menos en la primera fase de la pues
ta en rotación, en llenar el espacio que deja vacante el despla
zamiento de la superficie libre. Por el momento no se puede sa
ber si esto es cierto o no.
3.8. CONCLUSIONES
El trabajo presentado en las casi cien páginas de es-
-67-
te capítulo, con sus Apéndices, ha supuesto algo más de cinco me
ses-hombre dedicados a esta tarea y forma parte de un ambicioso
plan cuyo fin es el de poder disponer, de una forma clara y lo
más resumida posible, de todo un arsenal de soluciones matemáti
cas con las que impulsar el estudio de la hidrodinámica de las
zonas flotantes.
El programa supone una enorme labor de recapitulación
y profundización en el tema, mejorando modelos ya establecidos y
alumbrando otros nuevos con los que abordar aspectos aún no tra
tados .
Como reflejo de este esfuerzo, la versión actual del
capítulo cubre los dos primeros puntos señalados en el § 3.1.1,
planteándose de forma sistemática las ecuaciones y condiciones
de contorno que rigen en los modelos fluidomecánicos y fluidotér
micos, con un análisis amplio de diversos problemas relacionados
con los movimientos impulsivos. Desgraciadamente, dificultades
aparecidas en el proceso de cálculo numérico, han retrasado la
obtención de resultados con los que completar el modelo fluido-
térmico ya desarrollado teóricamente, por lo que esta parte no
ha podido ser incluida en estas páginas.
•68-
APÉNDICE I
CONDICIÓN DE CONTORNO TÉRMICA EN LA ENTREFASE
-69-
La ecuación de conservación de la energía interna en
la entrefase es:
|f+Vt.[vt-e]+6[n-Jn]= a Vt.vt , (A-I.l)
siendo:
e la energía interna por unidad de área de la entre-
fase;
6 indica salto a través de la entrefase; -y
J el vector flujo difusivo de energía. Cuando no hay
difusión de masa desde o hacia la entrefase, -y
J =-k*VT. Se supone que k es independiente de la
temperatura. V = - n^(n^V)
V = ru (v^n)
Todas las magnitudes utilizadas en este Apéndice I tie_
nen dimensiones.
De acuerdo con la ecuación de Gibbs-Duhem,
do + s dT = 0
de manera que si o depende sólo de T y depende linealmente,
da „ . . —-=_ s = Constante .
De la ecuación de Euler,
e = Ts + o ,
se deduce que e debe ser constante, y con esto (A-I.l) se redu
ce a:
•da ó[n-3n]= (f£) T(Vt-vt) . (A-I.2)
-70-
Si ahora suponemos que no hay flujo diíusivo masico
desde o hacia la entrefase y que la temperatura exterior es uni
forme, la ecuación anterior se convierte en:
kn-VT^ (^) T(Vt-vt) . (A-I.3)
Introduciendo el parámetro adimensional
k N
1" (§?)A llegamos a la ecuación (31), que está escrita en variables adi-
mensionales.
71
APÉNDICE II
CILINDRO CIRCULAR DE PAREDES RÍGIDAS CON LIGERO
INCREMENTO DE LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN
(E<<1, t^E 1 / 2 )
-72-
1. INTRODUCCIÓN
En el artículo ya mencionado de Greenspan y Howard [k]
se puede encontrar el resultado correspondiente a la configura
ción de cilindro circular de paredes rígidas, pero no se explica
la manera de cómo llegar a estos resultados. Por esta razón, en
este Apéndice, se establecen las ecuaciones y las condiciones de
contorno que permiten obtener la solución en forma de desarrollos
asintóticos. El método seguido y las aproximaciones realizadas
son un buen ejemplo de cómo proceden las técnicas asintóticas
cuando intervienen capas límite.
Antes de entrar en el desarrollo analítico propiamente
dicho, es necesario estudiar con detalle las posibilidades que
existen en cuanto a órdenes de magnitud. Este análisis dará la
pauta a seguir en los desarrollos asintóticos.
Para ello se consideran las ecuaciones linealizadas de
un movimiento axilsimétrico, (32) a (35). Eliminando las tres com
ponentes de la velocidad entre las cuatro ecuaciones, se llega a
una ecuación diferencial de sexto orden para la presión reducida,
P:
(EL-E1/2#-)2LP =-k ^ , (A-II.l) d z
-1/2 donde, como se estudia el problema para tiempos de orden h ,
se ha utilizado una variable temporal, T, de orden unidad definí^
1/2 da por x=E t.
En zonas de evoluciones bruscas de las magnitudes flui_
das, al menos un término del primer miembro de (A-II.l) será del
mismo orden que el segundo miembro.
Una de tales zonas puede existir cerca de las bases.
73
En efecto, definiendo una variable local de orden unidad 5=E~az,
con a>Ü, se obtiene:
E2-6a!_tP+L|E-2ar_P=0
Ambos sumandos serán del mismo orden si a=l/2, es decir si el
pesor de las capas viscosas próximas a las bases es de orden
r-1/2
es
Para determinar si puede existir una capa de cortadura
axial, cerca de r=R, se define n=E~ (r-R), con b>0. Conservando
los términos dominantes de (A-II.l):
E2-6bi__P+49_lP = 0
3n 9z 2
de donde se deduce que el espesor de tal capa ha de ser de orden
E 1 / 3 .
En la zona interior del fluido, es decir, allí donde
las variables espaciales, r y z, sean de orden unidad, las ecua-
s • 1/2
clones (41) y (42) indican, después de sustituir t por T = E t,
que si las variaciones radiales de v son de orden unidad, X ha
1/2 •* 1 I' 1 de ser de orden E . Por tanto, u y w serán de orden E . Las
mismas ecuaciones (41) y (.42), pero escritas con la variable E,
de las capas de Ekman, indican también que en esas capas la velo
cidad radial es de orden unidad.
Si se supone entonces que solo existe una capa axial,
1/3 cerca de r=R, de espesor E , el flujo que se desarrolla en
1/2 • • ella, y que resulta ser de orden E por mera continuidad entre
la zona interior y las capas de Ekman, impone variables vertica-
T p-1/3 0)í j -, T^I/6 T , , „ - n l / 2 j T • £_
les w^E 7r— , de. orden E . Luego X^E , y de la ecuación
(41) en variables locales, v resulta de orden E 1/6 con lo que
-74-
todo empalme con la zona interior, en donde v es de orden unidad,
es imposible.
En conclusión, por exigencias de continuidad, se ha de
considerar la necesidad de una capa de espesor diferente de E 1^ 3
y para la cual: 92P/8z2=Ú, según se deduce de (A-II.l). La capa
1/3 de espesor E , si existe, estará sumergida en esta nueva capa.
Si se supone que el nuevo espesor es de orden Ec con c>0, la va
riable local es p=E~c(r-R). La ecuación (MI) se escribe, salvo
términos despreciables:
2 rl-2c 3 v /p 3v „ 3X
1/2 lo que sugiere, con v^l, que b=l/4 y por tanto X^E
Como se verá en el transcurso del cálculo, esta capa
no es capaz de empalmar con la zona interior y a la vez de veri
ficar la condición de contorno en r=R. Por tanto, la capa de es-
1/3 * • •
pesor E deberá existir, pero con un flujo axial que ya no se
rá de orden E
Es de destacar que esta descripción no será válida pa
ra tiempos t pequeños Cr=t/E es de orden unidad), es decir hasta
un par de revoluciones después del arranque. El problema para t
pequeños requiere un tratamiento distinto que se presenta a con
tinuación, limitado al estudio del núcleo central.
2. SOLUCIÓN EN EL NÚCLEO CENTRAL. TIEMPOS DE ORDEN UNIDAD.
Aunque en este Apéndice se trata de estudiar el compor
tamiento del líquido contenido en el cilindro para tiempos, t,
del orden de 1//ÉT, contados a partir del momento en que se modi
ficó la velocidad de giro, el hecho de que en el núcleo central
-75-
(zonas D1 y D^) aparezca el tiempo como variable independiente
en un sistema parabólico, obliga a resolver el problema en este
núcleo central para tiempos, t, de orden unidad. En caso contra
rio, no se podrían imponer las condiciones iniciales para x=0.
El problema para el núcleo central está dado por las
ecuaciones (43) y (44) 6 (45) y (46) con las condiciones inicia
les :
t=0 ; U=V=0 , (A-II.2)
las condiciones de contorno ( T > 0 ) :
z = ±l ; U = V-l = c|> = 0 , (A-II.3)
y las condiciones de simetría:
z = 0 ; <$> = ~- = —• = 0 . (A-II.4) T d Z d Z
2.1. ZONA D2
Como sucede en los problemas de capa límite viscosa, los
2 2 términos en d /Sz de las ecuaciones (45) y (46) indican la exis_
1/2 • • tencia de capas de espesor E en las proximidades de las bases.
En dichas capas las fuerzas de viscosidad son comparables a las
de inercia.
Para estudiar lo que ocurre, por ejemplo en las proxi
midades de z=-l, se dilata la distancia a dicha base introducien
do la variable £ de orden unidad,
£ = E~ 1 / 2(z+l)
Los desarrollos de U y V serán:
U' (C,t;E) = U' CS ,t)+E 1 / 2 U,1(S,t) + . . . , CA-II.5)
•76-
V'(C,t;E) = V o(C,t) + E1 / 2V' 1(5,t) + ... , (A-II.6)
donde las primas se utilizan para identificar las magnitudes flui
das en esta zona D .
El gradiente radial de presión debe estar impuesto de_s
de la zona D 1, donde es de orden E1 / 2 como se verá más adelante
(§ 2.2). El desarrollo para F(t) será:
F(t;E) = E 1 / 2 F (t) + . . . (A-II.7)
Llevando CA-II.5), (A-II.6) y (A-II.7) a (45) y (46),
una vez escritas estas ecuaciones en las variables independien
tes £ y t, se tiene en primera aproximación:
32
.2 dtJ o ) V = 2 U»
„r2 8tJ o
con las condiciones iniciales:
2 V o
y
t = 0 , ^ > 0 ; U ' = V =0 ' ^ ' o o
las condiciones de contorno (t>Ú):
U' = V -1 = 0 , o o C = 0 ;
Introduciendo la función compleja
U' = V = 0 o o
CU,t) = e' 2it $o(C,t)= vo(c,t)-i uoU,t)
resulta el siguiente problema para 0 (5»"t)
—Ecuación diferencial
.2^ o o_
~. r 2 ot = 0
(A-II.8)
-77-
Condiciones iniciale:
t = 0 C>0 ; $ =0 . o
Condiciones de contorno (t>0)
£ = 0 ; = e 2it
= 0
Este problema está resuelto en Carslaw £ Jaeger . La
solución final es:
K -v2-±e
C(£,t) = e - U + i)£ 2 f2/t 2y 2 dp .
'TT •'o
La integral que aparece en el segundo miembro de esta expresión
está calculada en Abramowitz £ Stegun:
C(C,t)=-|íe(1 + i H e r f c ( - ^ ; + (l+i)/t ) + 2/t
+ e- ( 1 + i H e r f c ( - ¿ - - (l + i)/t) 2/t
,1/2,
(A-II.9)
Teniendo en cuenta que U=3<})/Sz=E %$/%£,, se deduce
de (A-II.8) y (A-II.9) la primera aproximación para la función
de corriente <j)' :
C(x,t)dx +. . . '(C,t;E) =-E 1 / 2J
'o
Para integrar el segundo miembro, se utiliza la siguiente expre
sión :
ax e d X erfc(bx+c)dx = erfc(bx + c)
1 e
a
a -^abc
4b2
erf (bx + 2 b ¿ a)+ Const
de la que se deduce:
< f > ' ( £ , t ; E ) , 1 / 2
1 + 1 e ( l + i)¿*erfc(-¿-+(l + i)/F)-
2/t
. - ( 1 + i H e r fc ( - £ - - ( l + i ) / t ) + 2 e r f ( ( l + i ) / t ) l + .... 2 / t J
A gran d i s t a n c i a de l a bas,e z = - l :
(*) ' ( - , t ;E)=-E 1 / 2 J l + i
e r f ( ( l + i ) / t ) + . . . =
= - E 1 / 2 J L ( l + i ) 2
S ( 2 / | ) + i C ( 2 # +
donde <S y C son, respectivamente, las integrales seno y coseno
de Fresnel. Por lo tanto:
(A-II.10) <}>'(<*>,t;E) = E 1 / 2 S(2J^)
2.2. ZONA D 1
En esta zona la variable z es del orden de la unidad,
y las fuerzas de inercia predominan sobre las de viscosidad. Los
desarrollos de U, V y F son:
U(z,t;E)=E1/2U1(z,t)+EU2(z,t)+...
,1/2
(A-II.11)
V(z,t;E) =Ea/ZV1(z,t)+EV2(z,t)+... , (A-II.12)
F(t;E)=E 1 / 2F 1(t)+EF 2(t)+... . (A-II.13)
Sustituyendo en las ecuaciones (45) y (46) se obtiene,
en primera aproximación:
St 1
-2- u 3t Ul
= - 2 LT
2 V - F
(A-II.14)
(A-II.15)
La condición de simetría (A-II.4) indica que U , V y
-79-
F son funciones a lo sumo de t.
Para realizar el empalme con la zona D es necesario
calcular la función de corriente <j)(z,t;E):
<|>(z,t;E) = E 1 / 2 z U (t) + . . .
La condición de empalme deberá expresar que el compor
tamiento en la base (z=-l) de la solución válida para la zona D 1
coincide con el comportamiento a gran distancia de la base de la
solución válida para' la zona D [l^] . Es decir:
<¿>(-l,t;E) = <J>' C"o,t;E) ,
de donde, recordando (A-II.1Q) se deduce, en primera aproxima
ción
U Ct) =-S(2\^) CA-II.16)
De las ecuaciones CA-II.14), (.A-II.15) y (A-II.16)
•t
V (t) = 2 ( s(2\f}dx=2tS(2\^)+\/| eos 2t- -i C{ 2 *%)
F^t) = 2 V1(t) + ^ S ( 2 Vf) = 2 V2(t) sen 2t
'•nt
Para valores grandes de t
l^Ct)
v ^ t ^ t
F„(t) = 2t 1
CA-II.17)
CA-II.18)
(A-II.19)
Este comportamiento para tiempos grandes será tenido
en cuenta para obtener el comportamiento de las componentes de
la velocidad en el núcleo central para valores x pequeños, uti
lizando el principio del acoplamiento. Bastará para ello expre-
-80-
sar que el comportamiento para tiempos grandes de la solución co
rrespondiente a tiempos pequeños coincide con el comportamiento
para tiempos pequeños de la solución correspondiente a tiempos
grandes, [l4j .
3. SOLUCIÓN PARA TIEMPOS GRANDES
Una vez resuelto el problema para t^l, se puede pasar
al problema para t^E~ 1 / 2. Según se justificó en la introducción
a este Apéndice, el campo fluido queda dividido en seis regiones
(Fig. A-II.l): las capas de Ekman D , D y D y el núcleo cen
tral, subdividido en la zona interior no viscosa D y las dos ca
pas de cortadura axiales D y D .
Fig. A-II.l. Las diferentes regiones fluidas en el caso del pequeño incremento de la velocidad de rotación de un cilindro circular.
3 • 1 • ZONAS D x Y D 2
Las variables características de orden unidad en'D
— 1/2 son: r en sentido radial, y £ = E (z±l) en sentido axial (con
signo más o menos, según se trate de la capa D inferior: z=-l,
o superior: z=+l). Las variables de orden unidad en D. serán las
variables naturales r y z.
Las ecuaciones (41) y (42) sugieren entonces unos desa
rrollos de v y de X del tipo:
1) En D„ , 1 '
v(r,z,T;E)^vo(r,z,T)+E1/2v1(r,z,T)+... (A-II.2Ü)
X(r,z,x;E)'vE1/2Xo(r,z,T)+EX1(r,z,T) + . . . . (A-II.21)
2) En D 2,
v'(r,^,T;E)^v'o(r,C,T)+E1/2v'1(r,^,T) + ... ,(A-I1.22)
X' (r,C,T;E)a,E1/2X'o(r,C,T)+EX'1(r,C,T) + ... .(A-II.2 3)
Introduciendo estos desarrollos en las ecuaciones (41)
y (42), se obtienen las siguientes secuencias de problemas:
— Primera aproximación.
1) En D :
3v dX -r-2- + 2 -^-2- = 0 , (A-II.24)
ól dZ
9v o
3z = 0 . (A-II.25)
2) En D2:
32v' 3X' ° 2 —^ = 0 , (A-II.26)
ae2 H
34X' 3v' - + 2 - ^ = 0 , -(A-II.27)
Estas dos últimas ecuaciones son las clásicas de la
capa de Ekman. Se obtendrán las mismas ecuaciones para las zonas
D_ y D„ , lo que pone de relieve la idéntica naturaleza de to-2 3 J 24 ' ^ ^
das ellas.
-82-
Las condiciones de contorno en las bases se han de im
poner utilizando las variables de D 2 (es decir, para £=0, tanto
en la base superior como en la inferior). Estas condiciones son:
v' (r,o ,t) = r o '
c) X '
X' (r,o,x) = _ ° Cr,o,-r) = Ü . O ót,
El empalme se debe realizar, partiendo de D , tanto con
la capa D superior como con la inferior. Para la inferior, esto
significa:
v (r,-l,T)=v' (r,+°°,T) , o o
X (r,-l,x )= X' Cr,+«»,T) o o
El principio utilizado para obtener estas ecuaciones es el mismo
que el que se utilizo en el § 2.2 para empalmar las zonas D y D
de la solución correspondiente a tiempos pequeños.
De CA-II.25) se obtiene:
v = v Cr ,T ) , o o
y de (A-II.24)
9v X' (r,z,T)=--| -V-2-+ X:: Cr,r) , (A-II.28) o 2 3T O
donde X" (r, T) es una función arbitraria de r v T. o
Las soluciones de CA-II.26) y (A-II.27), teniendo en
cuenta las condiciones en £=Ú y el aue las magnitudes deben per
manecer finitas para £>+°°, se escriben:
v' = r-2A < e, cos£-l > , o
X'=A(e - 5<cos5+sen£>-l) , o
en donde A puede ser, a lo sumo, función de r y T. Por tanto:
-83-
v'o(r ,+°°,T) = r+2A
X' (r,+°°,T) =- A . o '
De (A-II.28) y las condiciones de empalme superior e inferior:
X (r,-l,i) = A 9v 1_ o 2 3 — + X "o (r , T ) = X 'o (r , +oo , T ) = _ A
1 3 v 1 o
X o(r, + l,x) =-j -jT+ XSírt(r,T) =- X^(r,+oo,T) = A . o
Restando una ecuación de la otra,
Dv ° -- 2A
3T
Pero v (r,i)=r+2A, luego -2A=r-v (r,x), y por tanto:
9v —— = r - v (r ,T ) . 3T O
Con lo cual:
v (r,T) = r + Ce"'1 . (A-II.29)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (A-II.12) y (A-II.18)
la representación para tiempos grandes de la velocidad azimutal
correspondiente a tiempos pequeños será:
rV(z,t^;E)^E 1 / 2rt+...
La solución para tiempos grandes CA-II.2Ú) escrita en
la variable t será:
1/2 3 v0( r , ' z > T )
1 / 2 v(r,z,r^Ü;E)%v (r , z , 0 ) + E 1 / z t 1 + E 1 ' v- (r , z , 0 ) = . . . .
O dT 1 T =0
La condición de acoplamiento suministra dos ecuaciones:
vQCr,z,0) = 0 ,
v 3v(r,z,x) t 1^ + v1(r,z,0) = r t .
T = 0
A la vista de (A-II.29) deducimos
C =- r
(A-II.30)
De la primera de estas dos ecuaciones, llevada a (A-II
v (r ,z ,0) = Ü
.29) deducimos la primera aproximación para la velocidad azimutal en D,
1
v (r,T) = r(1-e )
De forma semejante
X -- T7 z r e
Para la capa D inferior, resulta:
' = r + r e Ce cos£-l) ,
X' = -^r e T [l-e ^ < cosí+sení >]
Segunda aproximación.
1) En D„ :
3v 3X 1 + 2
9T " 3z
= 0 .
= 0
3z
2) En D,
2v 3zv 3X' 3v' L _ 2 °
3£
34X' 3v' — +2
'£ 3x
2 ax
3C ac2 IT '
Las condiciones de contorno en D son:
3XV
v (r^,!) = X^Cr.O.T) = -j~ Cr,0,x)= 0
•85-
Además, se han de empalmar en z = ±l y £>+°° las solucio
nes correspondientes de V l y v , X1 y X , según el principio
mencionado en el § 2.2.
Procediendo de manera parecida a como se resolvió la
primera aproximación, y teniendo en cuenta la condición inicial
(A-II.30) , resulta:
3 ., -T
X1 = | z r e"T(T-l) ,
3 - T - £ v ' = -ff r T e + e ^ < • • • > 1 4 '
X'^ | r e _ T(l-i)-|? e~ T + e~C <•••>
Aparece por tanto que, en primera aproximación, el fluí
do interior se mueve en columnas que se desplazan radialmente a
la vez que aumentan su velocidad azimutal. La velocidad axial, w,
es antisimétrica respecto de z=0 y de orden E"
locidad radial u es positiva y de orden unidad, como se había
previsto en la introducción a este Apéndice.
,1/2 , y en D , la ve
3-2- ZONAS D/, Y D2/[
donde
Las variables de orden unidad en la zona D son p y z,
p = E 1 / 4(r-R) , -*><p<0 .
En la zona D dichas variables serán p y £:
4 = E _ 1 / 2(z±l) , 0<£<+°° .
Las condiciones de empalme de las zonas D^ y D ? 4 con D
y D , respectivamente, expresarán matemáticamente que el compor-
-Se
ntamiento lejano (p->—oo) de las soluciones de D y D ha de ser
idéntico al de las soluciones del núcleo central a una distancia
1/4 de orden E de las paredes laterales.
Este último comportamiento se pondrá de manifiesto sus
1/4 tituyendo r por R+E p en las soluciones del núcleo central. Ci
ñéndose a los dos primeros términos, se obtiene para las expre
siones de la velocidad y de la función de corriente halladas en
V v ( r = R + E 1 / 4 p , z , T ; E ) = R ( l - e ~ T ) + E l / 4 p ( l - e ~ T ) + . . . ,
X ( r = R + E 1 M p , z , T ; E ) = - E 1 / 2 | z R e " T - E 3 / 4 ^ z p e _ T + . . . .
Fórmulas parecidas se obtendrían a partir de las expresiones cal_
culadas en D , aunque, como se verá más adelante, no resulta ne
cesario tenerlas en cuenta.
Los desarrollos de la velocidad azimutal v y de la fun
ción de corriente, X, en las zonas D y D , han de ser compati
bles con estas condiciones de empalme, con las ecuaciones (41) y
(42) y con las condiciones de contorno en las bases (£=Ü). Resul^
1/4 tan los siguientes desarrollos en potencias de E :
Io) En D4,
1/4
v(p,z,x;E)=v (p,z,t)+E v (p,z,x)+... ,
X(p,z,x;E) =El/2Xo(p,z,T)+E3/4X1(p,z,T)+... .
2o) En D24,
V ' ( P , ^ , T ; E ) = V,O ( P , ^ , T ) + E
1 / 4 V ' 1 ( P , C , T ) + . . . , .
X'(p,5,T;E)=El/2X'o(p,C,T)+E3/4X,
1(p,e,T) + . . . .
Se han de realizar los oportunos empalmes entre D y
-87-
D24 (inferior y superior) de manera semejante a como se hizo en
tre D1 y D2.
La secuencia de problemas que resulta de introducir los
desarrollos en las ecuaciones (41) y (42), escritas en las varia
bles locales, es la siguiente:
— Primera aproximación.
Io) En D, ,
(A-II.31) 9 v 9v
0 O „ 2 9 T 9p
9v
9X
9 z
(A-II.32)
con -v
v (p->-°o,z,T) =R(l-e ) ,
X (p->—°°,Z,T) : - y z R e
2o) En D„, se obtienen para v' v X' las ecuaciones 24- ^ o - o
características de la capa de Ekman (A-II.26) y (A-II.27).
Las condiciones de contorno para la zona D son dos.
Por una parte, el empalme D, -D^, , que se realizará de manera i den r í 4 Z 4 —
tica al de D -D„ . Por otra parte, el empalme entre las zonas D„
y D explicado más arriba. Estas son condiciones suficientes pa
ra resolver el sistema (A-II.31) y (A-II.32), cuyo orden de dife_
renciación es dos. Las condiciones de contorno para D , sobre la base,
son
V CP,Ú,T) =R ,
X ' ( p , Ü , T ) = ^~- ( P , C, T ) = 0 . dh=o
El empalme entre las zonas D^ y D no aporta condicic)
-88-
nes suplementarias, ya que se cumple automáticamente. Ello es de
bido a que la naturaleza de D24 es idéntica a la de D : se trata
de una capa de Ekman casi estacionaria.
—Segunda aproximación.
1°) En D4,
92v1 3v 3v 8X
~2--^T + ~df = 2 T T ' (A-II.33)
3v 0 , CA-II.34) dz
con ? v (p-*-°°,z,T ) = p(l-e )
1 -T X (p-^_oo?z jT ) =_ z p e
2o) En D . Las ecuaciones diferenciales siguen sien
do las ecuaciones homogéneas de la capa de Ekman, escritas para
v'a y x ^ .
En las bases, £ = 0 :
v'l=P '
ax'
De nuevo, no será necesario imponer el empalme D -D .
Las ecuaciones (A-II.31) y (A-II.33) conducirán a fun
ciones del tipo (aerf(-x -~r)+b}, para las que una condición ini_
cial (T-*Ú) es equivalente a un empalme (p->--«>). Por el contrario,
una condición T->+°° es una condición inicial para la variable P
Dado que el líquido evoluciona en el cilindro hacia el estado de
rotación como sólido rígido, la perturbación deberá anularse pa
ra T"*+°°.
-89-
Estos problemas son entonces problemas bien planteado;
es decir, no precisan de condiciones de contorno o empalmes su
plementarios para obtener la solución. Los desarrollos de v y X
son :
1°) En D 4 ,
v^R-R e T e r f ( - - ^ - ) + E 1 M p ( l - e ~ T ) - 4 - °~ T ~ - ^ í - p
2 / 7 i ¿ p e e r f c í M , ( A - I I . 35 )
2/7 J
X = - E 1 / 2 f z - - T R e e r f (- - £ - } -E P i r 3 / 4 1
2/7 -Ó z P e l+jerfc(--2-)
2/7 , ( A - I I . 3 6 )
2 o ) En D 2 4 ,
- T v '^R-R e e r f - -í
2/7 < 1-e s c o s C > +
+ E i p-p e l + | e r f í - - £ 2 / T
< 1-e s c o s £ > , ( A - I I . 3 7 )
X ' ^ E 1 / 2 ~R e T e r f 2/7
)< 1-e T ( c o s £ + s e n O > +
, 1 r 3 / 4 + o-E p 1+ jerfc
2 / 7 • < 1-e n c o s e + s e n O > . ( A - I I . 3 8 )
Las e c u a c i o n e s ( A - I I . 3 5 ) - ( A - I I . 3 8 ) r e v e l a n l a s s i g u i e n
t e s c a r a c t e r í s t i c a s de l a capa de e s p e s o r E 1/4
1) En el borde p->-Ú , la velocidad azimutal v es viR, es
decir, la capa D adapta la velocidad azimutal a su valor v=R en
,1/2
la pared.
2) La velocidad axial w pasa de ser de orden E"1'^ en
± / ¡4 D„ a ser de orden E (lo cual muestra que la zona D, succiona
el flujo radial de la capa de Ekamn) y para p-+ü , tiene un valor
finito, incompatible con su valor nulo en la pared. Debe existir
1/3 una capa de espesor E cerca de la pared para lograr cumplir
todas las condiciones de contorno.
3) La velocidad radial u, negativa en D y de orden
1/2 . ,. E , como en la región interior, se reduce a cero cerca de la
pared ( p-*-0 ) .
4) El flujo en la capa D2l+ pasa de ser radial a ser
axial, alejando el fluido de las placas.
3.3. ZONAS D3 _L_D23
Las variables de orden unidad en D son z y n; esta úl
tima definida por:
n = E~1/3(r-R) , C-~<n<0)
En D las variables de orden unidad serán n y la va
riable E, de las capas de Ekman :
£ = E~1/2Cz±l) .
De nuevo hay que realizar empalmes con D y D .
1/12 En D y D , p es del orden de E n pues, de acuerdo
1/4 1/3
con las respectivas definiciones de p y n, pE ^nE . Introdu
ciendo este valor de p en las soluciones (A-II.35) a (A-II.38)
obtenidas para D y D , y teniendo en cuenta que:
/ 2 í x3 + 1 erf x = — < x — + . . . > , /ÍT l J
se obtiene el comportamiento de las soluciones de D y D a dis_
1/12 tancias de la pared de orden E . Este comportamiento ha de ser
idéntico al de las soluciones de D^ y D para p->-°°.
Los desarrollos compatibles con los empalmes, las con
diciones de contorno en las bases y en la pared lateral del ciliri
dro, y las ecuaciones (41) y (42) son:
Io) En D
-91-
v(n,z,T;E)^vo(n,z,T)+E1/12v1(n,z,T)+E
1/Uv2(n,z,T)+...,(A-I1.39)
X(n,z,x;E)^E7/12Xo(n,z,T) + .. . . (A-II.i+O)
2o) En D23,
v '(n,C5T;E)^v'o(n!C,T)+E1/12v'1(n,^,T)+E
1/4v'2(T1,e,T) + . .., (A-II.41)
X'(n,?,T;E)^E7/12X'o(n,^,T) + . .. . (A-ii.42)
Es fácil cerciorarse de que los términos v y v' son o o
v = R . y v' = R o o
lo que traduce el hecho de que la adaptación de la velocidad azi
mutal esta efectivamente realizada en D, y D„, .
Las posteriores aproximaciones en D vendrán dadas por
las siguientes ecuaciones:
3 v = 0 , (A-II.43) ^ 2
92v 9X^ ^ - 2 - ^ = 0 , CA-II.44)
9n
34X 3v -2-+. 2-r-z-= 0 , (A-II.U5)
~ 4 3z 3n
con las condiciones de contorno en la pared lateral:
V ( 0 , Z , T ) = v (0 ,z ,T) = 0 ,
X (0,Z,T) = -p- C0,Z,T) = 0 . O Ó Z
Los empalmes suministran las relaciones:
-T
v„ (H^-~,Z,T) = R n , (A-II.46) i / —
/7TT
-92-
-T v2(n-^-»,z,T) =- JJ —
T /7TT
v / N R e Xo(n+-°°,z ,T ) = — — zn 'ITT
(A-II.47)
(A-II.48)
Las dos aproximaciones, v y X ' , v'2 y X' , en D si
guen verificando las ecuaciones de la capa de Ekman.
Las condiciones de contorno para D están dadas sobre
la base, es decir:
V' I(TI,Ú,T)=V,2(TI,Ú,T)=Ú
3X 8X x * (n , ü , x ) = x', (n , o , T ) = -~- (n, o , T ) = - 5 ^ - (n , ü , x) = ú
9í H
De nuevo es innecesario imponer nuevas condiciones de
empalme entre D y D
Los resultados de estos cálculos son
I o ) En D 3 ,
w R / / — 12 T &
/TTT /TTT ^ '
X ^ E 7 / 1 2 R ^ TTT L-
j z n - f (n ,z )
siendo
00 ( n k + 1 h v 7 n /2k¥^ r^z
f ( n ? z ) = l (-D , ¡n s e n k T r 2 f e / 2 k 7 T T 1 - 2 e ' c o s < ^ / 2 k ? n + ? > ] , k = l (2k7í)
1 / 3 2
TT
3"'
3 7 1
g ( n , z ) = i í ^ c o s k . z í e ^ ^ ^ e 2 k ^ c o s < 2 ^ fen_^>) .
k = l-2kTT 2 3
2 o ) En D 2 3 ,
- 9 3
- T
V% R + E 1 / 1 2 R n ^ < 1 - e ' ^ c o s £¡ > -' T T T
r 1 / 4 R e T ^3 p e T
T / T T T T / T T T
- T Y„ -p7/12 R e ' , , -F rA r v X^E y n ( 1-e ^ < e o s £ + sen£;>)
;(n - 1 ) < l - e ^ c o s £ > ,
"TTT
•E 3 /4 R e
- T
2 ' 7 T T
• _ T W + g ( n 1 - D ) ( l - e C < c o s ^ + s enC > ) .
Las series f y g aparecen al plantear una ecuación di
ferencial para X , eliminando v entre (A-II.44) y (A-II.45):
o 3 X
3n
d2x + 4 0 ,
3z'
con X = 3Xo 1 e~T
- -~— = 0 e n n = ÜyX=- ?-R z n o 8z ' J o 2 o - • -"n z
p a r a n-->-c
Este problema se puede abordar por separación de variables, con
duciendo a las series arriba escritas.
Todavía queda en las proximidades del rincón z = ±l, r=R
una zona cuyas longitudes características tanto axial como radial_
1/2 mente son de orden E . El problema resultante es ahora de tipo
elíptico, su solución es mucho más complicada y no ha sido abor
dada en [4]. Un problema análogo se discute en el § 3.7.5.
El esquema global de las líneas de corriente en plano
meridiano es entonces el indicado en la Fig. A-II.2.
La coherencia de los resultados obtenidos confirma la
elección inicial de los órdenes de magnitud y de los diversos de_
sarrollos asintóticos , ofreciendo una visión detallada de la evp_
lución del campo fluido. En particular, es importante subrayar
que las aproximaciones calculadas en D , D , D y D son inde
pendientes de las condiciones de contorno en el interior de la
CAPA DE EKMAN
CAPAS CILINDRICAS , 1/3 1/4 (E Y E )
Fig. A-II.2. Líneas de corriente en un plano meridiano. Cilin_ dro circular de paredes rígidas. De Benton 6 Clark .
capa D . Esto significa que se podrán resolver problemas de pe
queña variación de la velocidad de rotación con otras condicio
nes de contorno exteriores (superficie libre, entrefase,...) con
sólo analizar de nuevo la capa D . Las zonas interiores permane
cerán .inalteradas, por lo menos dentro de los órdenes calculados
en este Apéndice.
-95-
REFERENCIAÍ
1. Greeenspan, H.P., "The Theory of Rotating Fluids", Cambridge
University Press, 1968.
2. Landau, L.D. £ Lifshitz, E.M., "Fluid Mechanics", Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1959, p. 230.
3. Carrier, G.F., "Phenomena in Rotating Fluids", Proc. llth Int
Cong. Appl. Mech., Munich, 1974.
4. Greenspan, P.P. £ Howard, L.N., "On a Time Dependent Motion
of a Rotating Fluid", J. Fluid Mech., Vol. 17, Part 3, Nov.
1963, pp. 385-404.
5. Benton, E.R., "On the Flow Due to a Rotating Disk", J. Fluid
Mech., Vol. 24, Part 4, April 1966, pp. 781-800.
6. Davis, R.W. £ Ludford, G.S.S., "Stagnation-Point Flow in
Rotating Fluid", Phys. Fluids, Vol. 17, No. 2, Feb. 1974,
pp. 275-279.
7. Davis, R.W. £ Ludford, G.S.S., "Stagnation-Point Flow in a
Rotating Cylinder", Phys. Fluids, Vol. 17, No. 12, Dec. 1974,
pp. 2176-2180.
8. Davis, R.W. £ Ludford, G.S.S., "Rear Stagnation-Point Flow
in Rotating Fluid", Phys. Fluids, Vol. 17, No. 11, Nov. 1974,
pp. 1941-1944.
9. Stewartson, K., "On the Flow between Two Rotating Coaxial
Disks", Proc. Cambridge Phil. S o c , Vol. 49, 1953, pp . 333-
341 .
10. Batchelor, G . K .. , "Note on a Class of Solutions of the Navier
-Stokes Equations Representing Steady Rotationally-Symmetric
Flow", Quart. J. Mech. Appl. Math., Vol . 4, 1951, p. 29.
11. Stewartson, K., "On almost Rigid Rotations", J. Fluid Mech.,
Vol. 3, Part 1, Oct. 1957, pp. 17-26.
12. Roberts, S. £ Shipman, J.S. , "Computation of the Flow between
a Rotating and a Stationary Disk", J. Fluid Mech., Vol. 73,
Part 1, Jan. 1976, pp. 53-63.
13. Holodniok, M., Kubicek, M. £ Hlavacek, Y., "Computation of
the Flow between Two Rotating Coaxial Disks", J. Fluid Mech.,
Vol. 81, Part 4, Aug. 1977, pp. 689-699.
14. Carruthers, J.R. £ Grasso, M., "Studies of Floating Liquid
Zones in Simulated Zero Gravity", J. Appl. Phys., Vol. 43,
No. 2, Feb. 1972, pp . 436-445.
15. McLeod, J.B. £ Parter, S.V., "On the Flow between Two Counter
-Rota-ting Infinite Plañe Disks", Arch . Rat . Mech. Anal., Vol.
54, 1974, p. 301.
16. Bodonyi, R.J. £ Stewartson, K., "The Unsteady Laminar
Boundary Layer on a Rotating Disk in a Counter-Rotating
Fluid", J. Fluid Mech., Vol. 79, Part 4, March 1974, pp .
669-688 .
17. Gillis, J., "Stability of a Column of Rotating Viscous Liq
uid", Proc. Cambridge Phil. S o c , Vol. 57, 1961, p. 152.
Lamí •mu
-97-
18. Pedley, T.J., "The Stability
drical Free Surface", J. Flu
1967, pp. 127-147.
19. Schlichting, H., "Boundary L
Hill, New York, 1960, p. 72.
20. Nigam, S.D., "Rotation of an
Layer Growth: Motion Started
Appl. Math., Vol. 9, 1951, p
of Rotating Flows with a Cylin-
d Mech., Vol. 30, Part 1, Oct.
yer Theory", 4th Ed., McGraw-
Infinite Plañe Lamina: Boundary
Impulsively from Rest", Quart .
89 .