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L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances. Expérience « biberons » Lancer d’un dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves Prolongements et conclusion. Expérience « biberons ». Inspiration. Nadine et Guy Brousseau, Ginger Warfield Classe de CM2 1973-1974 - PowerPoint PPT Presentation
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L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances
Expérience « biberons » Lancer d’un dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves Prolongements et conclusion
1Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Inspiration
Nadine et Guy Brousseau, Ginger Warfield
Classe de CM2 1973-1974 Fil rouge sur l’année scolaire
Expérience « biberons »
2Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Description de l’expérience
Composition Groupes Manipulations autorisées Consignes
Expérience « biberons »
3Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Rôle du professeur
Consignes d’écriture Motivation Comparaison Productions
Expérience « biberons »
4Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Motivation Donner du sens à « 3 chances sur 5 » Approche « fréquentiste » Prise de risque Accès à une partie des
représentations des élèves
Expérience « biberons »
5Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
6Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Copie 4Expérience « biberons »
7Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Copie 8Expérience « biberons »
8Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Copie 13Expérience « biberons »
9Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Copie 1Expérience « biberons »
10Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Copie 9Expérience « biberons »
11Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Comparaison de procédures
Expérience « biberons »
En comptant par « paquets » de 5 Globale-
ment
Fréquence de boules
noires sorties
5B 4B 1N 3B 2N 3N 2B 4N 1B 5N
Chloë
31B 44N 0,56
Ninon
30B 50N 0,525
Loïc
50B 59N 0,54
Julien
69B 96 N 0,58
Cadre théorique
12Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Expérience « biberons »
nombre de boules noires tirées 0 1 2 3 4 5
probabilités 1% 8% 23% 35% 26% 8%
Pour 5 tirages :
parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
probabilités 1% 7% 18% 25% 24% 15% 7% 2% 0,43% 0,05% 0,003%
Cadre théorique
13Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Expérience « biberons »
Pour 20 tirages :
parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Probabilité 1% 4% 11% 20% 25% 21% 12% 5% 1%
Cadre théorique
14Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Expérience « biberons »
Pour 50 tirages :
parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 5 6 7 8 9 10
probabilité 2% 8% 19% 30% 28% 12%
Cadre théorique
15Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Expérience « biberons »
Pour 100 tirages :
parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 6 7 8 9 10
probabilité 0,1% 1% 8% 32% 59%
Cadre théorique
1000tirages de 10 s_ries de 5.xls
Expérience « biberons »
16Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Synthèse
Expérience « biberons »
17Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Après 5 tirages
Fréquence de boules
noires
Après 10
tirages
Fréquence de boules
noires
Après 20 tirages
Fréquence de boules
noires
Après 50 tirages
Fréquence de
boules noires
G1 3B 2N 4B 6N 8B 12N 22B 28NG2 3B 2N 4B 6N 8B 12N 21B 29NG3 2B 3N 5B 5N 8B 12N 22B 28NG4 3B 2N 7B 3N 10B 10N 22B 28NG5 1B 4N 1B 9N 2B 18N 10B 40NG6 2B 3N 5B 5N 8B 12N 17B 33NG7 2B 3N 4B 6N 7B 13N 21B 29NG8 1B 4N 5B 5N 10B 10N 20B 30NG9 3B 2N 4B 6N 6B 14N 21B 29N
G10 3B 2N 3B 8N 8B 12N 22B 28NG11 2B 3N 4B 6N 9B 11N 24B 26NG12 1B 4N 3B 7N 5B 15N 16B 34NG13 2B 3N 5B 5N 7B 13N 16B 34NG14 4B 1N 8B 2N 11B 9N 22B 28N
Synthèse
Expérience « biberons »
18Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Finalement Fréquence d’apparition de N
G1 69B 96NG2 86B 104NG3 48B 64NG4 50B 59NG5 35B 90NG6 32B 68NG7 36B 62NG8 31B 44NG9 29B 36N
G10 44B 56NG11 46B 59NG12 30B 50NG13 62B 90NG14 39B 57NTotal 634B 927N
Synthèse
Expérience « biberons »
19Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
simulation biberon_.xls
Expérience « lancer d’un dé »
20Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
1 2 3 4 5 6 TotauxLM 7 8 11 9 9 6 50KG 8 10 6 6 11 9 50LC 10 12 5 9 12 2 50IP 7 9 7 9 6 12 50OE 11 7 7 10 5 10 50EH 7 10 12 4 8 9 50VLN 6 5 7 7 9 16 50CM 11 6 12 9 3 9 50MH 8 7 8 11 7 9 50ML 8 7 7 6 10 12 50PM 7 8 12 11 6 6 50MW 7 5 14 6 8 10 50CE 8 13 7 2 10 10 50LB 10 10 9 6 11 4 50MN 7 7 7 10 7 12 50QM 9 10 8 9 11 3 50GN 7 12 13 5 6 7 50SL 8 5 8 8 8 13 50JS 7 7 8 12 12 4 50BB 5 3 12 8 13 9 50MA 4 9 12 4 11 10 50LK 10 2 11 10 7 10 50MT 10 9 7 14 4 6 50CGS 5 9 10 9 9 8 50QB 11 5 8 9 5 12 50OS 7 13 9 8 6 7 50NF 8 13 7 2 10 10 50
Totaux 213 221 244 213 224 235 1350Fréquences
Expérience « lancer d’un dé »
21Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Simulation_un_d_.xls
Simulation
Cours
22Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Effectifs 8 13 7 2 10 10 50Fréquences 0,16 0,26 0,14 0,04 0,20 0,20 1
Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Effectifs 213 221 244 213 224 235 1350Fréquences 0,158 0,164 0,181 0,158 0,166 0,174 1
Regard « fréquentiste » sur une expérience
Cours
23Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Regard « probabiliste » et synthèse
Regard « probabiliste » sur la même expérience Le dé a 6 faces et chaque face a autant de chances de sortir que les autres : chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. On dit que la probabilité d’obtenir chaque face est égale à 1/6 Synthèse Plus le nombre de lancers augmente, plus il y a de chances que la fréquence d’apparition de chaque face se rapproche de 1/6 soit environ 16,7%
Cours
24Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve
Lancer d’un dé équilibré
Il y a 6 issues possibles.Les six issues sont équiprobables.
On a 1 chance sur 6 d’obtenir « 1 »
La probabilité d’obtenir « 1 » est 1/6
La somme des probabilités est égale à 1 :
1
2
3
4
5
6
3
4
5
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
2
1
6
1 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6
Cours
25Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve
On tire une boule au hasard dans ce sac conteant 3 boules noires et deux boules blanches(comme le biberon)
Il y a deux issues possibles : « B » et « N ». Elles ne sont pas équiprobablesOn a 3 chances sur 5 d’obtenir « N»
La probabilité d’obtenir « N » est 3/5.
La somme des probabilités est égale à 1:
N
N
N
B
B
2 3 15 5
3/5
2/5 B
N
Première expérience
Donner les issues possibles. Sont-elles équiprobables ? Pourquoi ? Observer une simulation de cette
expérience. Que peut on conjecturer pour les
probabilités de chaque issue ?
Expérience à deux épreuves
26Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Simulation
Boulepi_ce.xls Confiance Comparaison de VF et VP
Expérience à deux épreuves
27Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Expérience à deux épreuves
28Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
ReprésentationReprésentations possibles Interprétations
La représentation ci-contre permet de montrer qu’il y a 10 « chemins » possibles.
On a colorié en gras les « chemins » conduisant à « VF ».
Il y en a 3.
La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à
ou 0,3.3
10
V P
F
V P
F
V P
F
R P
F
R P
F
Résultats VP VF
VP
VF
VP
VF
RP RF
RP
RF
Expérience à deux épreuves
29Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Articulation avec le cours
Pour un grand nombre d’expériences :
En moyenne, 3/5 d’entre elles donneront « Vert » pour le « tirage » de boules.
Parmi ces dernières, en moyenne,la moitié d’entre elles donneront « Face » pour le lancer de pièce.
Par conséquent, en moyenne, la moitié des 3/5 des expériences donneront « VF ».La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à :
3 1 3 0,35 2 10
V
F
P
1/2
1/2
3/5
2/5
R
F
P
1/2
1/2
Expérience à deux épreuves
30Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
LimitesOn lance une pièce parfaitement équilibrée. On note le motif de la face supérieure (P ou F)Si la pièce tombe sur Pile, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et deux boules rouges.Si la pièce tombe sur Face, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et une boule rouge.
Expérience à deux épreuves
31Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Autre représentation
Patron du dé d’Alice Patron du dé de Bertrand
Expérience à deux épreuves
32Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Autre représentation
Prolongements et questions
Fil rouge Exercices Evaluation Lycée
33Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège
Bibliographie Guy Brousseau, Nadine Brousseau et Ginger Warfield (2002) :Une expérience de
premier enseignement des statistiques et des probabilités.
Joël Briand (2005) : Une expérience statistique et une première approche des lois du hasard au lycée par une confrontation avec une machine simple. Recherches en didactique des mathématiques, Volume 25, n°2
Arthur Engel(1975) : L’enseignement des probabilités et de la statistique. Editions
Cedic. Comission Inter-IREM Statistiques et probabilités(2008) : Autour de la modélisation en
probabilités. Presses universitaires de Franche-Comté Documents d’accompagnement des programmes(2008) : probabilités
34Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège