Laboratorio di MATLAB - dii.unisi.itcontrol/MatLab/Slides_LabMatlab07.pdf · 4 5 6 Laboratorio MATLAB. DII 14 variabili speciali variabile signiﬁcato ans risposta piu` recente pi

DII – Universita di Siena

Laboratorio di MATLAB

Fabio Morbidi

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione,

Universita di Siena

[email protected]

http://www.dii.unisi.it/∼control/MatLab/LabMatlab.html

Luglio 2007

Programma Lab. Matlab

Lun 09/07 ore 14.00-18.00 start up, funzioni di base

Mer 11/07 ore 14.00-18.00 m-files, grafica

Lun 16/07 ore 14.00-18.00 controllo di flusso, functions, esercitazione 1

Mer 18/07 ore 14.00-18.00 Symbolic toolbox, Control system toolbox

Lun 23/07 ore 9.00-13.00 Simulink, esercitazione 2

Mer 25/07 ore 9.00-13.00 Idoneita

Testo di riferimento: “Guida operativa a MATLAB SIMULINK e Control Toolbox ”,

A. Cavallo, R. Setola, F. Vasca, Liguori Editore, 1994.

Indice

1 Start up 2

1.1 Vettori e Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 OPS: Operatori e caratteri speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 operatori aritmetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 operatori relazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 operatori logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Funzioni matriciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 matrici elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 informazioni sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 manipolazione di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4 variabili speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 trigonometriche ed iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Altre funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Tipi di dato multidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 cellarray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2 strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 M-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1 script files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.2 gestione M-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8.3 stringhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Grafica 29

2.1 Grafica 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 funzioni correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Traiettorie in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.3 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.4 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.5 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Istruzioni di controllo di flusso 41

3.1 for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Function 51

4.1 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Symbolic toolbox 54

5.1 funzioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1 derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2 integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.3 limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1 inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.2 determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.3 autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Semplificazione di espressioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Soluzione di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.6 Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.6.1 ezplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.6.2 ezplot3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6.3 ezmesh, ezsurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Control system toolbox 72

6.1 funzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.1 tf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.2 zpk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.3 ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.4 pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.5 zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.6 dcgain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.7 impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.8 step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1.9 c2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.10 d2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.11 ctrb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.12 obsv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.13 bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.1.14 nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.1.15 ltiview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7 Altri toolbox di Matlab 81

8 Simulink 83

8.1 Operazioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.2 blocchi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.2.2 Sinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2.3 Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2.4 Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.2.5 Math Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.2.6 Signal Routing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2.7 User-Defined Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2.8 Discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.2.9 Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.3 Esercizio 9 - Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.4 Esercizio 10 - Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.5 Esercizio 11 - Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

DII 2

Start up

MATLAB = Matrix Laboratory

• aprire e chiudere Matlab

• interfaccia grafica

• directory path:

>>cd

>>cd ..

>>cd(’percorso_directory’)

oppure usare current directory browser.

Laboratorio MATLAB

DII 3

• assegnazione di uno scalare

>> a=3;

>> a=3

a =

3

• work space

visualizzazione delle variabili nel workspace:

>>who visualizza tutte le variabili

>>whos visualizza tutte le variabili con descrizione di struttura

eliminazione delle variabili dal workspace:

>>clear

>>clear a;

oppure usare workspace browser.

Laboratorio MATLAB

DII 4

• ans:

ans e il nome della risposta piu recente (most recent answer),

e quindi una variabile che vive nel work space.

• richiamo comandi:

↑ richiama ultimo comando

s+↑ richiama l’ultimo comando che inizia con la stringa s.

oppure usare command history browser.

• salvataggio dati:

save filename var1 var2 ... crea il file filename.mat

contente i dati relativi alle variabili var1 var2 ...

(filename deve essere una stringa).

• caricamento dati:

load ’file_dati.mat’ carica nel workspace tutti i dati

contenuti in file_dati.mat .

Laboratorio MATLAB

DII 5

Vettori e Matrici

>>v=[1 2 3]; vettore riga

v =

1 2 3

>>v=[1;2;3]; vettore colonna

v =

1

2

3

Laboratorio MATLAB

DII 6

>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; matrice

oppure

>>A=[1 2 3; ←4 5 6; ←7 8 9];

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Attenzione: i nomi delle variabili sono case sensitive: si distingue tra lettere

maiuscole e minuscole !!

Provare a generare matrici, vettori, scalari ...

Laboratorio MATLAB

DII 7

OPS: Operatori e caratteri speciali

operatori aritmetici

operatore scalare matrice

+ a + b (A + B)ij = Aij + Bij

− a− b (A−B)ij = Aij −Bij

∗ a ∗ b A ∗B

/ a/b = ab

A/B = A ∗B−1

\ a\b = ba

A\B = A−1 ∗B

.∗ non interessante (A. ∗B)ij = Aij ∗Bij

./ non interessante (A./B)ij =Aij

Bij

.\ non interessante (A.\B)ij =Bij

Aij

Attenzione: Prodotti matriciali righe per colonne: dimensioni concordi!!!

Laboratorio MATLAB

DII 8

operatori relazionali

• non esistono variabili booleane

• 0 : falso

• tutto cio che e 6= 0 e vero

operatori == ∼= > < >= <=

significato = 6= > < ≥ ≤

• Ogni operatore restituisce 1 se e vera la relazione, 0 se e falsa.

• Tra matrici le dimensioni devono essere concordi, (A op B)ij = Aij op Bij .

• Matrici e scalari, (A op b)ij = Aij op b

Laboratorio MATLAB

DII 9

operatori logici

simbolo & | ∼significato and or not

• a op b restituisce 1 se e vero, 0 se e falso

• Tra matrici le dimensioni devono essere concordi, (A op B)ij = Aij op Bij .

• Matrici e scalari, (A op b)ij = Aij op b

Questi sono solo alcuni operatori: digitare al prompt

help ops

provare ad utilizzare gli operatori ...

Laboratorio MATLAB

DII 10

Funzioni matriciali

matrici elementari

• A=zeros(m,n) matrice di 0 con mrighe e n colonne

• A=ones(m,n) matrice di 1 con mrighe e n colonne

• A=eye(n) matrice identita di dimensione n×n

informazioni sulle matrici

• [m,n]=size(A) ritorna le dimensioni m,n della matrice A ∈ Rm×n

• M=length(A) ritorna la dimensione massima di A ∈ Rm×n

• isequal(A,B) ritorna 1 se A=B, 0 altrimenti

Laboratorio MATLAB

DII 11

manipolazione di matrici

• A=diag(v);

A =

v1 0 · · · 0

0 v2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · vn

• a=min:passo:max

Definisce un vettore a di n = max-minpasso + 1 elementi

con a(1)=min , a(n)=max .

• sottomatrici

A(v_row,v_col) seleziona la sottomatrice corrispondente agli indici di

riga e di colonna definiti rispettivamente nei vettori v_row e v_col .

Ad es. A(1:4,2:3) seleziona la sottomatrice 4× 2 che ha elementi nelle

righe 1 : 4 e colonne 2 : 3.

Laboratorio MATLAB

DII 12

• B=A’ assegna a B il trasposto di A, cioe B = AT .

• concatenazione orizzontale :

A=[B1,B2,...,Bn] oppure A=[B1 B2 ... Bn] assegna alla

matrice A la concatenazione orizzontale delle matrici B1,B2,...,Bn .

• concatenazione verticale :

A=[B1;B2;...;Bn] assegna alla matrice A la concatenazione verticale

delle matrici B1,B2,...,Bn .

• esempio:

>>B1=[1 2 3];

>>B2=[4 5 6];

>>A1=[B1 B2]

A1=

1 2 3 4 5 6

Laboratorio MATLAB

DII 13

>>A2=[B1;B2]

A2=

1 2 3

4 5 6

• sotto-assegnazione :

>>A2(1,:)=[1 1 1]

A2=

1 1 1

4 5 6

Laboratorio MATLAB

DII 14

variabili speciali

variabile significato

ans risposta piu recente

pi π

i unita immaginaria

inf infinito

NaN not a number, per operazioni indefinite(

tipicamente 00

)

molto di piu ...

help elmat

Laboratorio MATLAB

DII 15

funzioni elementari

trigonometriche ed iperboliche

sin(x) asin(y)

cos(x) acos(y)

tan(x) atan(y)

atan2(y,x)

sinh(x) asinh(y)

cosh(x) acosh(y)

tanh(x) atanh(y)

Attenzione: nelle funzioni trigonometriche x e espresso in radianti !!!

Laboratorio MATLAB

DII 16

Altre funzioni

istruzione significato

exp(x) ex

log(x) ln(x)

log10(x) log10(x)

log2(x) log2(x)

sqrt(x)√

x

xey x× 10y

xˆy xy

istruzione significato

abs(x) |x|imag(x) Im(x)

real(x) Re(x)

conj(x) x

sign(x) segno(x)

floor(x) ⌊x⌋ceil(x) ⌈x⌉

molto di piu ...

help elfun

Laboratorio MATLAB

DII 17

Help

• >>help

• >>help \"nome toolbox"

• >>help ops

• >>help elmat

• >>help elfun

• >>help "nome funzione" ritorna la sintassi esatta.

• help html con browser.

Laboratorio MATLAB

DII 18

Esercizio 1

1. Definire una matrice A, 3×5 di zeri (utilizzando la funzione zeros ). Definire

un vettore a di dimensione 1×5 e assegnarlo alla prima riga di A. Definire una

matrice B come la trasposta di A ed estrarne la sottomatrice C, 3×3 composta

dalla 2◦, 3◦ e 4◦ riga di B.

2. Siano A, B quelle definite al punto 1. Definire una nuova matrice D, 5×3 diversa

dalla matrice nulla. Effettuare le tre moltiplicazioni:

M1=D*A

M2=A*D

M3=moltiplicazione elemento per elemento tra De B.

Verificare con la funzione size che le dimensioni siano:

M1→ 5×5; M2→ 3×3; M3→ 5×3.

Salvare il workspace con le sole matrici A, B, C, M1, M2, M3.

Laboratorio MATLAB

DII 19

Tipi di dato multidimensionali

cellarray

• matrici i cui elementi sono array ; ogni elemento puo’ avere dimensioni diverse.

• definizione di un cell array :

C={A1 A2;B1 B2} assegna alla variabile Cun cellarray di 2×2 elementi

corrispondenti alle matrici A1,A2,B1,B2

• indicizazzione:

D=C{i,j} assegna alla variabile D l’elemento (i,j ) di C

• concatenazione orizzontale e verticale:

D=[C {A3;B3}] assegna alla variabile D la concatenazione orizzontale di

Ccon il cellarray {A3;B3}

D=[C;{A3 B3}] assegna alla variabile D la concatenazione verticale di C

con il cellarray {A3 B3}

Laboratorio MATLAB

DII 20

strutture

• matrici i cui elementi sono accessibili attraverso campi testuali; ogni campo puo

essere di tipo diverso e con dimensioni diverse

• definizione di una struttura vuota (non obbligatoria):

S=struct(’nome’,{},’cognome’,{},’matricola’,{});

assegna alla variabile S una struttura vuota caratterizzata dai tre campi:

nome cognome matricola

• assegnazione di valori ai campi:

>>S.nome=’mario’;

>>S.cognome=’rossi’;

>>S.matricola=652;

Laboratorio MATLAB

DII 21

>>S

S =

nome: ’mario’

cognome: ’rossi’

matricola: 652

• restituzione valori:

la notazione Struttura.campo restituisce il valore della struttura

per il campo specificato:

>>a=S.matricola

a= 652

Laboratorio MATLAB

DII 22

M-files

- Matlab puo eseguire sequenze di comandi da file. Questi file sono chiamati

M-file perche hanno estensione ’.m ’.

- La maggior parte del codice che produrrete sara creato e gestito tramite M-files.

- due tipi di M-files:

– script files

– function files

Laboratorio MATLAB

DII 23

script files

- Uno script file consiste di una sequenza di comandi Matlab.

- Se creo un file prova.m , e lo eseguo come un comando al prompt invocando:

>>prova (N.B. il nome del file senza l’estensione)

saranno eseguite tutte le istruzioni contenute nel file prova.m .

- Le variabili generate da uno script file sono globali e quindi andranno a finire

direttamente nel workspace della corrente sessione di Matlab, con le naturali

conseguenze.

- Un M-files puo richiamare un’altro M-files, oppure puo richiamare se stesso in

modo ricorsivo.

Laboratorio MATLAB

DII 24

gestione M-files

stringhe : s=’hello world’; quello che sta tra gli apici definisce la stringa che

viene assegnata ad s .

>>s

s = hello world

disp : i comandi disp(’hello world’) , disp(s);

producono lo stesso risultato:

hello world

cioe mostrano a schermo una stringa.

error : il comando error(s); mostra a schermo la stringa s ed interrompe

l’esecuzione dell’M-file.

input : il comando d=input(s); mostra a schermo la stringa s ed aspetta la

digitazione di un valore fino a che non viene premuto il tasto invio ← . Tale

valore viene assegnato alla variabile d (cfr. scanf del linguaggio C).

Laboratorio MATLAB

DII 25

stringhe

- S=’sequenza di caratteri’ definisce un vettore di caratteri

assegnato alla variabile S.

- funzioni correlate:

– S=char(X);

ritorna una stringa di caratteri associati ai valori di X, in codifica ASCII.

Es. >>char(123)

{

– X=double(S);

ritorna i valori numerici associati alla stringa S, in codifica ASCII

Es. >>double(’{’)

123

Laboratorio MATLAB

DII 26

– S=[S1 S2 ... Sn];

concatenazione orizzontale di n stringhe

– S=strcat(S1,S2,...,Sn);

concatenazione orizzontale di n stringhe

– S=strvcat(S1,S2,...,Sn);

concatenazione verticale di n stringhe

– S={S1 S2 ... Sn};

crea un vettore le cui componenti sono n stringhe

– ischar(S);

restituisce 1 se S e una stringa, 0 altrimenti

Laboratorio MATLAB

DII 27

– iscellstr(S);

restituisce 1 se S e un vettore di stringhe, 0 altrimenti

– S=sprintf(format,A);

genera stringhe (cfr. printf del linguaggio C).

Es. 1 :

>> s = sprintf(’La matrice ha dimensioni %dx%d.’,2,3)

s = La matrice ha dimensioni 2x3

Es. 2 :

>> s = sprintf(’%s\n’,’hello’,’word’)

s =

hello

word

Laboratorio MATLAB

DII 28

Esercizio 2

Creare uno script file che richiede:

1. Digitazione in ingresso di nome e cognome (usare la function input )

2. Concatenare nome e cognome verticalmente e orizzontalmente nelle quattro

combinazioni possibili assegnandole a quattro diverse variabili

3. Generare i vettori dei codici ASCII relativi alle lettere del nome e cognome

4. Utilizzando la function predefinita flipdim(v,2) rigirare questi ultimi e

utilizzando char calcolarne le stringhe associate s1 e s2.

5. In uscita il file deve fare il display di due frasi :

il mio nome = s1

il mio cognome = s2

6. fare in oltre la media dei codici dei caratteri nome e cognome e generare la

stringa s3 che contiene il carattere relativo.

Laboratorio MATLAB

DII 29

Grafica

- Grafica 2D

- Traiettorie in R3

- Superfici

Laboratorio MATLAB

DII 30

Grafica 2D

Si rappresentano funzioni di una variabile: y = f(x)

Es. Funzioni del tipo: c(x) = cos(x) e s(x) = sin(x)

definizione di un vettore x :

>>x=0:0.2:4*pi;

generazione delle due funzioni calcolate su x e plot:

>>c=cos(x);

>>s=sin(x);

>>figure;

>>plot(x,c);

>>figure;

>>plot(x,s);0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

cos(x

)

Laboratorio MATLAB

DII 31

funzioni correlate

- h=figure genera una nuova istanza dell’oggetto figura ed assegna alla

variabile h un handle a tale figura.

- close all chiude tutte le figure aperte

- plot(x,y) plotta sul sistema Oxy tutte le coppie (xi, yi) congiungendo i

punti successivi con una linea.

- plot(x,y,’tratto|simbolo|colore’) definisce il tipo di tratto

che congiunge punti successivi, il simbolo associato ad ogni punto, il colore.

Es. plot(x,y,’--*k’)

Laboratorio MATLAB

DII 32

carattere tratto

- linea

- - tratteggio

: puntini

-. tratto punto

carattere simbolo

+ crocetta

o cerchietto

* asterisco

x ×d rombo

s quadrato

carattere colore

r rosso

g verde

b blue

c celeste

m magenta

y giallo

k nero

w bianco

molto di piu ...

vedi help plot

Laboratorio MATLAB

DII 33

- hold on abilita la sovrapposizione di piu grafici all’interno della stessa figura

- hold off disabilita la sovrapposizione di piu grafici all’interno della stessa

figura (una nuova istanza di plot elimina tutto quello che era stato tracciato

precedentemente sulla figura di riferimento).

- legend(S1,S2,...) aggiunge la legenda in base al numero di tracce:

ad ogni traccia associa la stringa Si corrispondente

- title(’Stitle’) associa la stringa Stitle al titolo della figura

- xlabel(Sx) associa la stringa Sx all’asse x

- ylabel(Sy) associa la stringa Sy all’asse y

Laboratorio MATLAB

DII 34

- axis([xmin xmax ymin ymax]) setta i limiti degli assi

- axis equal setta le stesse unita di misura e gli stessi

aspect ratio sugli assi

- axis square rende la regione di rappresentazione quadrata

- grid on aggiunge una griglia alla figura

- subplot(m,n,p) crea m×n finestre nella stessa figura e attiva la p-esima

da sinistra in alto

Laboratorio MATLAB

DII 35

0 2 4 6 8 10 12

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

sin(x) con axis equal

0 5 10 151

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1cos(x) con axis square

-

-

-

-

-

0 2 4 6 8 10 12 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5tan(x) con uso di axis([ ])

_

_

_

_

_ 0 2 4 6 8 10 124

3

2

1

0

1

2

3

4uso di legend e xlabel e ylabel

asse x

y

tan(x)cos(x )sin(x )

ass

e

-

-

-

-

Laboratorio MATLAB

DII 36

Traiettorie in R3

Plot di funzioni f : R→ R3.

plot3(fx,fy,fz) visualizza le

terne (fx, fy, fz) nel sistema Oxyz

−1−0.5

00.5

1

−1

0

10

2

4

6

8

>>t=0:0.01:2*pi;

>>fx=sin(5*t);

>>fy=cos(5*t);

>>fz=t;

>>plot3(fx,fy,fz);

Attenzione: Dimensioni sempre

concordi!

Laboratorio MATLAB

DII 37

Superfici

−20−10

010

20

−20

0

20−0.5

0

0.5

1

- Plot di funzioni f(x, y) : R2 → R

- surf(X,Y,Z) genera superfici

- mesh(X,Y,Z) genera griglie

superficiali

- Osservazione: f(x, y) deve essere

definita ∀ (x, y) ∈ Dom(f)

Laboratorio MATLAB

DII 38

- Si definiscano due vettori:

x=0:0.2:2*pi;

y=0:0.2:4*pi;

- Una funzione generale z = f(x, y) assume valori su tutte le possibili coppie

(x, y) da cui e evidente che dim(z) = dim(x)× dim(y)

- [X,Y]=meshgrid(x,y); genera le matrici:

X contiene copie per righe di x tante volte quanto e la dimensione di y

Y contiene copie per colonne di y tante volte quanto e la dimensione di x

- A questo punto e possibile definire Z:

Z=f(X,Y); (senza nessun problema di dimensioni:

prodotto cartesiano di X ed Y)

Laboratorio MATLAB

DII 39

-

Esempio :

>>x=-2*pi:pi/15:2*pi;

>>y=-2*pi:pi/15:2*pi;

>>[X Y]=meshgrid(x,y);

>>Z=sin(X).*cos(Y);

>>mesh(X,Y,Z);

>>surf(X,Y,Z);

colormap definisce la

colorazione del surf o del

mesh.

−5

0

5

−5

0

5

−1

0

1

mesh

−5

0

5

−5

0

5

−1

0

1

surf

Laboratorio MATLAB

DII 40

Esercizio 3

1. Definire e plottare la seguente funzione f(x) =

x2 per x ≤ 1,

1/x per x > 1.

2. Calcolare la derivata di f(x) sia numericamente che in forma analitica e

plottarne i valori

3. Utilizzando subplot() plottare nella stessa figura la funzione derivata e la

funzione f(x). Si utilizzino colori e tratti diversi per ogni funzione.

Esercizio 4 Calcolare la funzione f(x, y) : R2 → R definita come il quadrato

della distanza della posizione x, y, dalla circonferenza centrata in un generico Xc

di raggio r. Utilizzando surf e mesh tracciare l’andamento grafico di f(x, y).

Laboratorio MATLAB

DII 41

Istruzioni di controllo di flusso

for

while

if

case

Laboratorio MATLAB

DII 42

for

sintassi:

· · ·for variabile = espressione

istruzioni

end

· · ·

Laboratorio MATLAB

DII 43

Esempio 1

n=10; x=[];

for i=1:n

x=[x,iˆ2];

end

Esempio 2

passo=0.1;

t=0.1:passo:100;

f=log(t);

plot(t,f,’-m’);

for i=2:length(t)

dfdt(i-1)=(f(i)-f(i-1))/passo;

end

hold on

plot(t(1:length(t)-1),dfdt,’:b’);

Laboratorio MATLAB

DII 44

while

sintassi:

· · ·while relazione

istruzioni

end

· · ·

Laboratorio MATLAB

DII 45

Esempio 3

n=0;

a=6;

while n<exp(a)

n=n+1;

end

Esempio 4

n=6;

A=magic(n);

B=zeros(n);

C=[];

k=6;

while k>0

B(6-k+1,:)=A(k,:);

C=[C A(:,k)];

k=k-1;

end

Laboratorio MATLAB

DII 46

if

sintassi:

· · ·if relazione 1

istruzioni 1

elseif relazione 2

istruzioni 2

else

istruzioni 3

end

· · ·

Laboratorio MATLAB

DII 47

Esempio 5

k=input(’Inserisci un numero maggiore di cento :’);

str=ischar(k);

if k>100 & ˜str

disp(’bravo!’);

delta=100-k

elseif k>50 & ˜str

disp(’ci sei quasi!’)

delta=100-k

elseif k>0 & ˜str

disp(’mica tanto vicino!’);

delta=100-k

elseif str

disp(’ho detto NUMEROOOOO’);

else

disp(’allora sei duro!’);

delta=100-k

end

Laboratorio MATLAB

DII 48

case

sintassi:

· · ·switch espressione di switch

case case valore 1

istruzioni

case {case valore 2, case valore 3, case valore 4,...}istruzioni

otherwise

istruzioni

end

· · ·

Laboratorio MATLAB

DII 49

Esempio 6

k=input(’Inserisci un numero da 1 a 3:’);

switch k

case 1

disp(’bravo!’);

delta=100-k

case {2,3}

disp(’esagerato!’)

delta=100-k

otherwise

disp(’Da 1 a 3 !!!’);

delta=100-k

end

Laboratorio MATLAB

DII 50

Esercizio 5

1. Generare una matrice random 100×100 utilizzando il comando rand

2. Estrarne la diagonale principale utilizzando un doppio ciclo for ed assegnarla

ad un vettore v1

3. Estrarne la contro diagonale utilizzando while ed assegnarla ad un

vettore v2

4. Plottare i vettori v1 e v2 sulla stessa figura.

Laboratorio MATLAB

DII 51

Function

Sono script file con dichiarazione di funzione

Prendono parametri in ingresso e restituiscono parametri in uscita:

function [o1,o2,...]=nome_funzione(i1,i2,...);

...

istruzioni

...

Al nome del file viene associato un comando Matlab

Attenzione alla discrepanza tra nome file e nome function!!

Laboratorio MATLAB

DII 52

Esempio 7

function [s,d]=sommadiff(x,y);

s=x+y;

d=x-y;

Se il file viene salvato come sommadiff.m , posso utilizzare

tale funzione nel seguente modo:

>>[a,b]=sommadiff(3,5)

>>a=8

>>b=-2

Attenzione: perche Matlab riconosca il nome di una function come comando, e

necessario che il file sia nella current directory

Laboratorio MATLAB

DII 53

Esercizio 6

Creare una funzione che dato in ingresso un numero x ∈ N, produce il fattoriale x !

Esercizio 7

Scrivere una funzione che prende in ingresso una matrice M quadrata e restituisce

l’inversa di M (naturalmente la funzione Matlab predefinita inv puo essere

utilizzata solo per controllare i risultati). La seguente formula indica come calcolare

ogni elemento della matrice inversa:

M−1(i, j) =(−1)i+j

det(M)det(Mji)

dove Mji e la matrice M decurtata della j-esima riga e della i-esima colonna.

Laboratorio MATLAB

DII 54

Symbolic toolbox

Il Symbolic toolbox fornisce gli strumenti per gestire il calcolo simbolico in

ambiente Matlab

Calcolo :

- derivate

- integrali

- limiti

Algebra Lineare :

- inversa

- determinante

- autovalori

Semplificazioni di espressioni algebriche

Soluzione di equazioni

Grafica

Laboratorio MATLAB

DII 55

funzioni di base

• Dichiarazione di variabili simboliche:

>>syms x y z

crea nel workspace le variabili simboliche x y z

• Passaggio da double a variabile simbolica:

>>sym(nome_variabile)

trasforma un double in una variabile simbolica (istanza di un oggetto simbolico).

>>A=zeros(4);

>>B=sym(A)

B=

[ 0, 0, 0, 0]

[ 0, 0, 0, 0]

[ 0, 0, 0, 0]

[ 0, 0, 0, 0]

Laboratorio MATLAB

DII 56

• Passaggio da variabile simbolica a double :

se l’oggetto simbolico e composto solo da numeri

si usa il comando double .

>>C=double(B)

C =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

• Funzioni:

>>syms x y

>>f=1/exp(sin(xˆ2+yˆ2))

f e ora un oggetto simbolico che rappresenta f(x, y) = 1

esin(x2+y2)

Laboratorio MATLAB

DII 57

Calcolo

derivate

Si utilizza il comando:

diff(fun,var_di_der,ord_der) :

Esempio 1

>>syms x a

>>s=sin(a*x);

>>dsdx=diff(s,x,1)

ans =

cos(a*x)*a

>>dsdx=diff(s)

ans =

cos(a*x)*a

Laboratorio MATLAB

DII 58

Esempio 2

>>f=1/exp(sin(xˆ2+yˆ2))

>> diff(f,x,4)

ans =

16/exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)ˆ4*xˆ4+96/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)ˆ2*xˆ4*sin(xˆ2+yˆ2)

-48/exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)ˆ3*xˆ2+48/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*sin(xˆ2+yˆ2)ˆ2*xˆ4-

144/exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)*xˆ2*sin(xˆ2+yˆ2)

-64/exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)ˆ2*xˆ4+12/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)ˆ2-16/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*sin(xˆ2+yˆ2)*xˆ4+48/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*cos(xˆ2+yˆ2)*xˆ2+12/

exp(sin(xˆ2+yˆ2))*sin(xˆ2+yˆ2)

Laboratorio MATLAB

DII 59

integrali

- Calcolo di I(x) =

∫

f(x) dx:

fint=int(fun,var_int); calcola l’integrale indefinito

Cerca di trovare la funzione fint t.c. diff(fint,x) = fun

- Calcolo di c =

∫ b

a

f(x) dx:

c=int(fun,var_int,a,b); calcola l’integrale definito.

Esempio 1

>>syms x a

>>s=sin(a*x);

>>int(s,x)

ans =

-1/a*cos(a*x)

Esempio 2

>>syms x a

>>s=sin(a*x);

>>int(s,x,0,2*pi/a)

ans =

0

Laboratorio MATLAB

DII 60

limiti

Per calcolare limx→x

+/−

0

f(x) si utilizza:

k=limit(fun,var,val,dir);

calcola il limite della funzione fun per la variabile var che tende al valore

val da destra se dir=’right’ , da sinistra se dir=’left’

Esempio

>>syms x

>> limit(diff(abs(x)),x,0,’left’)

ans =

-1

>> limit(diff(abs(x)),x,0,’right’)

ans =

1

Laboratorio MATLAB

DII 61

Algebra lineare

inversa

Data una matrice simbolica A quadrata, voglio determinare B = A−1:

B=inv(A_symb);

Esempio

>> syms a b c d

>> A=[a b;c d]

A =

[ a, b]

[ c, d]

>> B=inv(A)

B =

[ d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c)]

[ -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)]

Laboratorio MATLAB

DII 62

determinante

Data una matrice simbolica A quadrata voglio calcolare il suo determinante:

d=det(A);

Esempio

>>syms a b c d e f g h i

>>A=[a b c;d e f; g h i]

A =

[ a, b, c]

[ d, e, f]

[ g, h, i]

>> det(A)

ans =

i*a*e-a*f*h-i*d*b+d*c*h+g*b*f-g*c*e

Laboratorio MATLAB

DII 63

autovalori

Data una matrice simbolica A quadrata voglio calcolare i suoi autovalori:

eig(A);

Esempio

>> syms a b c d

>> A=[a b;c d];

>> eig(A)

ans = [1/2*a+1/2*d+1/2*(aˆ2-2*a*d+dˆ2+4*b*c)ˆ(1/2)]

[1/2*a+1/2*d-1/2*(aˆ2-2*a*d+dˆ2+4*b*c)ˆ(1/2)]

Laboratorio MATLAB

DII 64

Semplificazione di espressioni algebriche

• f=simple(fun) : ricerca la forma piu semplice di una espressione

simbolica.

• f=simplify(fun) : semplificazione standard.

• f=subs(fun,{var1 var2 ...},{val1 val2 ...})

sostituisce alle variabili var1,var2,... dell’espressione fun i valori

corrispondenti val1,val2,...

Esempio

>> syms a b c d

>> A=[a b 0;c d 0;0 0 3]

A =

[ a, b, 0]

[ c, d, 0]

[ 0, 0, 3]

Laboratorio MATLAB

DII 65

>>v=subs(eig(A),{b,c},{0,0})

v =

[ 3]

[1/2*a+1/2*d+1/2*(aˆ2-2*a*d+dˆ2)ˆ(1/2)]

[1/2*a+1/2*d-1/2*(aˆ2-2*a*d+dˆ2)ˆ(1/2)]

>>simple(v)

ans =

[ 3]

[ a]

[ d]

Laboratorio MATLAB

DII 66

Soluzione di equazioni

z=solve(fun,var)

Determina le radici dell’equazione fun = 0 rispetto alla variabile var .

Esempio 1

>> syms x a b c

>> f=a*xˆ2+b*x+c

f =

a*xˆ2+b*x+c

>> solve(f,x)

ans =

[ 1/2/a*(-b+(bˆ2-4*c*a)ˆ(1/2))]

[ 1/2/a*(-b-(bˆ2-4*c*a)ˆ(1/2))]

Laboratorio MATLAB

DII 67

Esempio 2

>> syms x a

>> f2=log(x)-1/5*xˆ2-a

f2 =

log(x)-1/5*xˆ2-a

>> solve(f2,x)

ans =

1/2*(-2*lambertw(-2/5*exp(2*a)))ˆ(1/2)*5ˆ(1/2)

Laboratorio MATLAB

DII 68

Grafica

ezplot

ezplot : disegna funzioni di una variabile f(x) : R→ R

ezplot(fun,[min_val max_val])

disegna la funzione fun nel dominio [min_val max_val]

Esempio

>> syms x

>> f=5*sin(x)ˆ2+xˆ2;

>> ezplot(f,[-pi pi])

Laboratorio MATLAB

DII 69

ezplot3

ezplot3(var_x,var_y,var_z,[t_min t_max]) :

traccia traiettorie f(t) : R→ R3

Esempio 1

>> syms t

>> ezplot3(sin(t),t,cos(t),[-5*pi 5*pi])

Esempio 2

>> syms t

>> ezplot3(t,sin(t),cos(t)ˆ2,[-3*pi 3*pi])

Laboratorio MATLAB

DII 70

ezmesh, ezsurf

ezmesh(fun,[x_min x_max y_min y_max]) traccia griglie

superficiali per funzioni f(x, y) : R2 → R sul dominio

[x_min x_max y_min y_max]

ezsurf(fun,[x_min x_max y_min y_max]) : traccia superfici

per funzioni f(x, y) : R2 → R sul dominio

[x_min x_max y_min y_max]

Esempio

>>syms x y

>>ezmesh(sin(x+y))

>>ezsurf(sin(x+y),[-2*pi 2*pi -2*pi 2*pi])

Laboratorio MATLAB

DII 71

Esercizio 8

1. definire la funzione f(x, y, z) = e sin(x+y) + z2 come oggetto simbolico

2. Calcolare il gradiente∇f(x, y, z) ed la matrice Hessiana H(f(x, y, z))

3. plottare f(x, y) = f(x, y, z)|z=3

4. plottare f(y, z) = f(x, y, z)|x=2y

5. plottare f(x, y) = f(x, y, z)∣

∣

x=y2; z=√

x

Laboratorio MATLAB

DII 72

Control system toolbox

funzioni principali

tf sintassi: sys=tf(num,den);

sys : oggetto Transfer Function

num: vettore contenente i coefficienti del polinomio al numeratore in ordine

decrescente rispetto alle potenze di s

den : vettore contente i coefficienti del polinomio al denominatore in ordine

decrescente rispetto alle potenze di s

G(s) =2s− 2

s2 + 4s + 3

>>G=tf([2 -2],[1 4 3]);

G.num{1} , G.den{1} restituiscono [0 2 -2] , [1 4 3] .

Laboratorio MATLAB

DII 73

zpk sintassi: sys=zpk(z,p,k)


z : vettore contente gli zeri z1, z2, . . ., znz della funzione di trasferimento

p: vettore contenente i poli p1, p2, . . ., pnp della funzione di trasferimento

k : guadagno della funzione di trasferimento

G(s) = k(s− z1) · · · (s− znz )

(s− p1) · · · (s− pnp)

>>G=zpk(1,[-3 -1],2);

G.z{1} , G.p{1} , G.k{1} restituiscono gli zeri, i poli, il guadagno.

Laboratorio MATLAB

DII 74

ss sintassi: sys=ss(A,B,C,D)

Crea un modello continuo in spazio di stato sys con matrici A,B,C,D

pole sintassi: p=pole(sys)


p: vettore contenente i poli della funzione di trasferimento

>> p=pole(G)

p =

-3

-1

Laboratorio MATLAB

DII 75

zerosintassi: z=zero(sys)

sintassi: [z,k]=zero(sys)


z : vettore contenente gli zeri della funzione di trasferimento

k : guadagno del sistema

>> [z,k]=zero(G)

z =

1

k =

2

Laboratorio MATLAB

DII 76

dcgain sintassi: dc=dcgain(sys)


dc : guadagno in continua (dc = G(0))

>> dc=dcgain(G)

dc =

- 0.6667

Laboratorio MATLAB

DII 77

impulsesintassi: impulse(sys)

sintassi: impulse(sys,t)


t : vettore che specifica l’orizzonte temporale

impulse visualizza l’andamento temporale della risposta impulsiva

g(t) G(s)

u(t) = δ(t) U(s) = 1

y(t) = L−1(G(s)) Y (s) = G(s)U(s)

>> impulse(G,0:0.05:10)

N.B. La risposta impulsiva e l’antitrasformata della funzione di trasferimento

Laboratorio MATLAB

DII 78

stepsintassi: step(sys)

sintassi: step(sys,t)


t : vettore che specifica l’orizzonte temporale

step visualizza l’andamento temporale della risposta al gradino

g(t) G(s)

u(t) =

0 se t < 0

1 se t ≥ 0U(s) =

1

s

y(t) = L−1(

G(s)s

)

Y (s) = G(s)U(s)

>>step(G,0:0.05:10)

Laboratorio MATLAB

DII 79

c2dsintassi: sys_d=c2d(sys_c,Ts)

Converte un sistema tempo-continuo sys_c in uno tempo-discreto sys_d

con tempo di campionamento Ts

d2csintassi: sys_c=d2c(sys_d)

Converte un sistema tempo-discreto sys_d in uno tempo-continuo sys_c

ctrbsintassi: C=ctrb(A,B)

Calcola la matrice di raggiungibilita C = [B AB A2B ... An−1B]

obsvsintassi: O=obsv(C,A)

Calcola la matrice di osservabilita O = [C; CA; CA2; ... ; CAn−1]

Laboratorio MATLAB

DII 80

bodesintassi: bode(G)

Genera il diagramma di Bode del modulo e della fase della funzione G

>> bode(G)

nyquistsintassi: nyquist(G)

Genera il diagramma di Nyquist della funzione G

>> nyquist(G)

ltiviewsintassi: ltiview(G)

GUI (Graphical User Interface) interattiva per analizzare le risposte

nel tempo ed in frequenza del sistema LTI (lineare tempo invariante) G

Laboratorio MATLAB

DII 81

Altri toolbox di Matlab

- Optimization toolbox : funzioni per l’ottimizzazione (help optim )

- Statistics Toolbox : funzioni per la statistica (help stats )

- System Identification Toolbox : funzioni per l’identificazione dei sistemi

dinamici (help ident )

- Signal Processing Toolbox : funzioni per l’elaborazione dei segnali

(help signal )

- Communications Toolbox : funzioni per le telecomunicazioni (help comm )

- Image Processing Toolbox : funzioni per l’elaborazione delle immagini

(help images )

- Virtual Reality Toolbox : funzioni per l’implementazione della realta virtuale

(help vr )

Laboratorio MATLAB

DII 82

- Neural Network Toolbox : funzioni per la gestione delle reti neurali

(help nnet )

- Partial Differential Equation Toolbox : funzioni per la risoluzione di equazioni

alle derivate parziali (help pde )

- Database Toolbox : funzioni per la gestione dei database

(help database )

- Molti altri toolbox .... vedi:

http://www.mathworks.com/products/product_listing

per una lista completa

Laboratorio MATLAB

DII 83

Simulink

Simulink e un pacchetto software di Matlab che permette di simulare ed analizzare

sistemi i cui ingressi e le uscite variano nel tempo.

Simulink si basa su una procedura in due passi:

• Creazione di un modello grafico del sistema tramite utilizzo dell’editor di modelli

Simulink. In questa fase l’utente specifica le relazioni matematiche che

intercorrono tra gli ingressi e le uscite del sistema.

• Simulazione delle proprieta del sistema in un intervallo temporale fissato

dall’utente.

Laboratorio MATLAB

DII 84

Operazioni di base

- Creazione di un nuovo modello

- Aggiunta dei blocchi necessari (drag & drop)

- Collegamento dei blocchi (drag & drop)

- Settaggio del tempo di simulazione

- Salvataggio del modello

- Lancio della simulazione

Laboratorio MATLAB

DII 85

blocchi standard

• Sources

• Sinks

• Continuous

• Discrete

• Math Operations

• Signal Routing

• User-Defined Functions

− Subsystems

Laboratorio MATLAB

DII 86

Sources

- Constant : genera un segnale costante con valore regolabile.

- Ramp : genera il segnale rampa con pendenza regolabile.

- Random Number : genera un segnale random con distribuzione guassiana,

con media e varianza regolabili.

- Sine : genera il segnale A sin(ω t + φ) + c.

- Step : genera il segnale gradino con valore iniziale, finale ed istante di

attivazione regolabili.

- Clock : genera in uscita il tempo di simulazione.

- From Workspace : genera in uscita un segnale a partire da una variabile definita

nel workspace: var_in=[sig_time signal] , dove sig_time e

signal sono due vettori colonna.

Laboratorio MATLAB

DII 87

Esempio

>>t=1:0.01:10;

>>var_in=[t’ sin(t)’];

Sinks

- Scope : visualizza l’andamento temporale del segnale in ingresso.

- To File : dato un segnale in ingresso genera un file ’.mat’ costituito da due

vettori: il vettore dei tempi di simulazione ed il segnale.

- To Workspace : dato un segnale in ingresso genera in uscita una variabile di

tipo struttura od array contenente il segnale ed eventualmente il tempo di

simulazione.

- XY Graph : genera la traiettoria di un punto in R2.

Laboratorio MATLAB

DII 88

Continuous

- Derivative : calcola la derivata del segnale di ingresso.

- Integrator : calcola l’integrale del segnale di ingresso.

- Transfer Fcn : simula il sistema specificato tramite la funzione di trasferimento

N(s)/D(s).

- Zero-Pole : simula il sistema specificato tramite una funzione di trasferimento

definita a partire da zeri e poli.

- State-Space : simula il sistema specificato tramite la sua rappresentazione

di stato.

- Transport Delay : applica un ritardo specificato al segnale di ingresso.

Laboratorio MATLAB

DII 89

Discrete

- Unit delay : ritarda il segnale tempo-discreto in ingresso di un istante di

campionamento.

- Discrete Integrator : genera l’integrale tempo-discreto del segnale di ingresso.

- Discrete Fcn : simula il sistema tempo-discreto specificato tramite una funzione

di trasferimentoN(z)D(z) .

- Discrete Z-P : simula il sistema tempo-discreto specificato tramite una funzione

di trasferimento definita a partire da zeri e poli.

- Discrete S-S : simula il sistema tempo-discreto specificato tramite la sua

rappresentazione di stato.

Laboratorio MATLAB

DII 90

Math Operation

- Abs : genera in uscita il valore assoluto del segnale in ingresso.

- Gain : genera in uscita il segnale di ingresso moltiplicato per un parametro

(guadagno) k regolabile.

- Sum : genera come segnale di uscita la somma dei segnali ingressi, con

numero di ingressi e segni regolabile.

- Trigonometric : genera come segnale di uscita la funzione trigonometrica del

segnale di ingresso specificata.

- Math Function : genera in uscita una delle funzioni elementari predefinite in

Matlab, calcolata sul segnale di ingresso.

- Matrix Concaten. : genera in uscita la concatenazione di piu segnali in ingresso.

- Matrix Gain : genera in uscita il segnale in ingresso moltiplicato per una data

matrice.

Laboratorio MATLAB

DII 91

Signal Routing

- Mux : genera in uscita un segnale multiplo (bus), costituito dall’unione di piu

segnali di ingresso.

- Demux : genera piu segnali in uscita a partire da un segnale multiplo (bus) in

ingresso.

User-Defined Functions

- Fcn : genera in uscita una qualsiasi funzione del segnale di ingresso (u) definita

dall’utente.

- Matlab Fcn : genera in uscita una qualsiasi funzione Matlab predefinita del

segnale di ingresso (u).

Laboratorio MATLAB

DII 92

Discontinuities

- Saturation : limita il segnale di ingresso in un intervallo fissato dall’utente.

Subsystems

- Subsystem : permette all’utente di costruire sotto blocchi simulink

(utile con schemi simulink complessi).

Laboratorio MATLAB

DII 93

Esercizio 9 - Simulink

1. Creare uno schema a blocchi che:

• genera una rampa di pendenza 5, con display

• alla rampa sommare uno scalare k variabile nel workspace e farne il display

congiuntamente con il precedente

2. Generare uno schema a blocchi che:

• genera il segnale y(t) = sin(2t) su un orizzonte t ∈ [0, 4π]

• genera il segnale z1(t) = ddt

y(t)

• genera il segnale z2(t) = y(t + π2 )

• genera il segnale z3(t) =

∫

y(t)dt

Laboratorio MATLAB

DII 94


Si consideri un’asticella rotante alla cui estremita e posta una massa m = 2 Kg.

La lunghezza ℓ dell’asticella e soggetta alla seguente dinamica:

ℓ = − k

mℓ +

k

mℓ0.

con ℓ0 = 2 m e k = 3 N/m.

Le condizioni iniziali sono ℓ(0) = 0 e ℓ(0) = 1 m.

L’asticella ruota con frequenza ω = 2.5 rad/sec.

E richiesto di:

• costruire un modello simulink di tale sistema in cui venga fatto il display

dell’andamento temporale della lunghezza dell’asticella e della posizione x ed y

della massa.

• Dare una rappresentazione grafica della traiettoria della massa in R2.

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DII 95


k

m

x0

f

• Si consideri il sistema massa-molla riportato in figura. Supponendo che sia

applicato in ingresso al sistema un gradino unitario, si simuli il sistema dinamico

visualizzando l’andamento temporale della posizione x della massa.

Si supponga che la massa m = 1.5 Kg, la costante elastica della molla

k = 103 N/m e x(0) = x(0) = 0. (Suggerimento: mx + kx = f ).

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DII 96

k

m

x0

f

β

• Si consideri il sistema massa-molla-smorzatore riportato in figura. Supponendo

che la costante di smorzamento della molla β = 0.8 Nms, si simuli il sistema

dinamico visualizzando l’andamento temporale della posizione x della massa.

Fissare gli altri parametri come nel punto precedente.

(Suggerimento: mx + βx + kx = f ).

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