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LABORATORIO CONGIUNTO DI ITALIANO E MATEMATICA
Massa 13 ottobre 2015
Pietro Di Martino [email protected]
ATTIVITÀ Con quale obiettivo insegnate (insegnare)
matematica al vostro livello scolare?
Ragionare Appassionare Problem solving
Il discorso sulle competenze matematiche nasce in Danimarca per fronteggiare alcuni problemi educativi. Niss dirige il KOM (competenze e apprendimento della matematica) Project 2000 a cui farà riferimento in seguito il framework di matematica di OCSE-PISA
Il KOM Project
] M. Niss
Lo studente (passando per esempio da un livello scolare al successivo) passa da una istituzione con un tipo di cultura, ad una con un diverso tipo di cultura, il che rappresenta una marcata discontinuità nel processo di transizione da un livello scolare ad un altro
In particolare la matematica è trattata così differentemente che è difficile parlare dello stesso soggetto, anche se mantiene lo stesso nome
The transition problem
Questo evidenzia
Importanza della progettazione di curricula verticali
Supportare l‟idea della “matematica per tutti” – che è un indirizzo predominante sin dalla Seconda Guerra Mondiale - spiegando il senso della matematica per tutti
The justification problem
Individuale
Giustificare perché debba fare matematica fino alla fine della secondaria superiore
Sociale
Giustificare perché la società debba investire in questo insegnamento per tutti
The justification problem
Diventa ancora più importante rispondere a queste domande alla luce delle enormi difficoltà manifestate
dai nostri studenti a tutti i livelli scolari
Quale è il senso dell’educazione matematica? Con quali obiettivi la insegniamo? In definitiva perché
insegnarla/studiarla?
“Ti servirà in futuro” “Serve a far ragionare”
“Rende elastica la mente”
Il tema “io e la matematica”
L’impressione è che a scuola raramente si discuta di questi aspetti, dando risposte in un certo senso “enigmatiche” che
non convincono più di tanto gli studenti
“credo anche che nella vita non serva a parte le cose più importanti come le operazioni e i problemi delle elementari, per il resto invece non penso che una persona vada in giro costruire quadrati sui cateti o fare espressioni con le x o con le y e compagnia bella” Luigi 1a superiore
Il tema “io e la matematica”
“Ci sono professori ai quali ho chiesto: a cosa serve la matematica?
Loro mi hanno risposto, è una materia che fa ragionare, ma secondo me è una
materia che fa andare fuori di testa tanta gente” Sandro 1a superiore
L’impressione è che a scuola raramente si discuta di questi aspetti, dando risposte in un certo senso “enigmatiche” che
non convincono più di tanto gli studenti
Risposte poco convincenti che, anche in allievi molto giovani, hanno conseguenze emozionali molto forti
“Per me la matematica è solo una perdita di tempo perché una volta imparati i numeri si può anche smettere, invece no, si continua e le lezioni incominciano a torturarti piano piano ed è una sensazione bruttissima quando scrivo e non capisco, e mi sembra di scendere all‟inferno: il sudore scende dalla testa ai piedi, divento tutto rosso e mi sembra di esplodere”
Andrea 3a elementare
“Per me la matematica è solo una perdita di tempo”
Sembra che non ci sia solo Andrea a pensarla così…
B. D‟Amore, G. Bolondi
Editore Compositori - 2010
“Io seguo e studio mate solo se mi dice a
cosa mi serve”
Insomma: l‟importanza sociale della matematica e l‟importanza personale di
studiarla sono due aspetti distinti
“Io seguo e studio mate solo se mi dice a cosa mi serve”
Valore formativo Che probabilmente spesso è quello a cui si vuol fare riferimento quando vagamente si
afferma che “fa ragionare”
Questa è una utilità che è legata alla sfera personale (la crescita dell‟individuo) e, per la sua trasversalità,
prescinde dalle particolari scelte per il futuro dell‟individuo stesso
Valore formativo
“L‟educazione matematica deve contribuire a una formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con
consapevolezza e capacità critica”
Unione Matematica Italiana (2001/03): introduzione ai materiali per un nuovo
curricolo di matematica
L’educazione matematica dovrebbe permettere di acquisire competenze fondamentali per la
formazione di un cittadino adulto
“la scuola deve garantire a chi la frequenta (…) l'assimilazione e lo sviluppo della
capacità di comprendere, costruire, criticare argomentazioni e discorsi, per dare
significato alle proprie esperienze e anche difendersi da messaggi talvolta truccati in
termini di verità e di valore” M.P.I. i contenuti essenziali per la formazione di
base, 1998
L’obiettivo di educare alla cittadinanza attiva
Ma lo fa? E in ogni caso: come
può farlo?
Valore formativo
Adattarsi ai problemi, essere stimolati a
risolverli piuttosto che avere paura del possibile fallimento
Saper valutare le conoscenze e le competenze necessarie per risolvere un problema
o affrontare consapevolmente un
argomento di discussione
Capire se si hanno gli strumenti e le conoscenze adeguate per prendere posizione consapevolmente su un determinato argomento.
E in caso negativo scegliere se provare ad acquisire le conoscenze necessarie (se possibile, se vogliamo) o delegare la scelta o il giudizio ad altri di cui ci fidiamo.
La matematica dovrebbe insegnare a:
Valore formativo
Argomentare le proprie posizioni e saperle difendere
Questo comporta assumersi la responsabilità delle proprie posizioni.
Ma anche il saperle difenderle di fronte agli altri senza timori reverenziali
Saper ascoltare e valutare le argomentazioni degli altri, la loro coerenza, la loro forza o debolezza
Si valuta quel che viene detto e non chi lo ha detto
La matematica dovrebbe insegnare a:
Per perseguire obiettivi formativi ambiziosi come questi c‟è bisogno di scelte didattiche coerenti anche da
parte degli insegnanti
The identity and coherence problem
Se tali scelte vengono meno o risultano incoerenti con gli obiettivi fissati …
The justification problem
“Ora me la cavicchio, ma non perché riesco a ragionare sulle formule, ma perché le applico e basta. Sono sicura che se dovessi fare un compito con dei “ perché ” sulle formule, non sarei in grado nemmeno di scrivere una parola. Andando avanti per la mia strada, le equazioni di primo grado, quelle di secondo grado e i radicali nel campo del turismo non servono, ma queste cose le facciamo per imparare a ragionare giusto…? Ma se io le faccio perché so le regole ma non le capisco, a cosa mi servono?
Ci sono persone che passano la loro vita a studiare la matematica, ma io mi chiedo come facciano. Se potessi, la matematica sarebbe una materia che smetterei di studiare, visto che la odio. Penso che questo “sentimento ” dipenda dal fatto che il mio studio è stato sempre di tipo mnemonico, meccanico senza la preoccupazione di capire veramente l‟esercizio che dovevo svolgere. Colpa mia o degli insegnanti? ” Giulia (2S)
Intended, implemented and attained curriculum
• Curricolo intenzionale, espresso dalle Indicazioni
Intended
Curriculum
• Ciò che è di fatto realizzato nella scuola
Implemented
Curriculum
• Ciò che è appreso dagli studenti
Attained
Curriculum
ATTIVITÀ Con quale obiettivo insegnate (insegnare)
matematica al vostro livello scolare?
Ragionare ...ma poi raggiungiamo questi obiettivi?
E chiediamo a loro di risolvere problemi, di capire, ragionare e argomentare?
Appassionare Problem solving
E almeno di decidere qualcosa?
Prendere decisioni Problem solving
Una possibile definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945
Quale meta?
Prendere decisioni Problem solving
Una possibile definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945
problema / esercizio Nella pratica
scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o
tanti esercizi?
“Parliamo di quella certa pratica scolastica ripetitiva
secondo la quale per far capire bene (per esempio,
una certa tipologia di strategie per la risoluzione di
una classe di problemi o esercizi) occorre far fare
alla classe più volte lo stesso esercizio. Nella
memoria di alcuni di noi c‟è il ricordo fisso della
mortificazione intellettuale e una vaga idea di inutilità
e della stupidità di questo modo di fare.
Un conto è ripetere le tabelline fino a farle diventare
un automatismo in modo che, senza pensare, uno
dica <45> allo stimolo <5 per 9> (e ciò semplifica poi
addirittura la complessità della risoluzione di
problemi). Ma ben altro è indurre soluzioni di
problemi per tipologie.
Chi non conosce la dichiarazione tipica che molti
discenti fanno imbattendosi in un nuovo problema
<Noi non siamo ancora arrivati a risolvere questi
problemi>, come se di dovesse saper risolvere solo
problemi già una volta risolti”
Bruno D’Amore Problemi e laboratori
Metodologie per l’apprendimento della matematica
I LIBRI DI TESTO LA PRATICA IN CASSE
Tipologia di problemi:
-si risolvono applicando
regole o schemi risolutivi
spiegati in precedenza
-Son del tipo “tutto o
niente"
-spesso raggruppati per
capitoli
-spesso con il risultato
problemi o esercizi?
Modalità d’uso:
-si fa vedere su esempi come si
procede poi si propongono
compiti dello stesso tipo
-Si devono combinare con
operazioni tutti e soli i dati
presenti
-C’è una e una sola soluzione
-Poco tempo
Problem solving VS libri di testo e pratica tradizionale
Nella pratica scolastica si
tende a far fare ai ragazzi tanti
problemi o tanti esercizi?
Pratica tradizionale
“Ma se non facciamo
vedere come si fa, poi non riescono a
farlo, sbagliano”
Conseguenze molto importanti
Le scelte dell’insegnante mandano messaggi impliciti
Valutazione che penalizza fortemente gli errori, enfasi sugli errori, tendenza a non dare problemi “troppo difficili” perché “altrimenti sbagliano”, a guidare per ottenere la risposta corretta...
Le scelte dell’insegnante mandano messaggi impliciti
Importanza di non fare errori
Conseguenze: attenzione ai prodotti, compromesso delle risposte corrette, paura di sbagliare
Conseguenze affettive e sulla visione della matematica
Poco tempo
Importanza di essere veloci
Conseguenze: convinzione che in matematica o una cosa riesce subito o non riesce, cattivo rapporto con il tempo, frustrazione
Però la cosa che mi rattristava di più è che io ero in grado di risolvere
buona parte dei problemi dei compiti; ma essendo troppo lento nella
risoluzione non facevo in tempo a risolverli
Claudio 5S
Importanza di riuscire ad essere veloci
Cattivo rapporto con il tempo
Educare al comprendere - Feltrinelli
Insegnanti e studenti (...) non sono disposti ad assumersi i rischi del comprendere e si accontentano dei più sicuri “compromessi delle risposte corrette”.
In virtù di tali compromessi, insegnanti e studenti considerano che l‟educazione abbia avuto successo quando gli studenti sono in grado di fornire le risposte accettate come corrette.
Compromesso delle risposte corrette
Popper
Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo
affrontare problemi che siano così difficili da rendere l‟errore
quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie
più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di
fare errori; la cosa più grande è imparare da essi
Limiti epistemologici
Compromesso delle risposte corrette
“In definitiva implicita nella preoccupazione di evitare domande „troppo difficili‟ c‟è spesso la valorizzazione della correttezza dei prodotti, che viene considerata più importante dell‟attivazione di processi di pensiero significativi, anche se tale correttezza si può ottenere banalizzando le richieste e di per sé non garantisce un effettivo apprendimento”
Limiti pedagogici Compromesso delle risposte corrette
Krygowska
“Un simile blocco degli errori non dà risultati positivi che
apparentemente. Quello che è oscuro nel cervello dell‟alunno
rimane oscuro benché il segnale “errore” non si accenda.
Questo modo di procedere dà delle illusioni ai professori e agli
alunni (…) l‟abolizione delle difficoltà non essendo
equivalente alla vittoria riportata sopra di esse”
Compromesso delle risposte corrette Limiti pedagogici
Il compromesso delle risposte corrette ha diverse conseguenze
negative anche
A livello emozionale
Sul rapporto allievo-
matematica
Paura di sbagliare
Il mio problema non è il non saperli svolgere, ma è la paura di sbagliare,
infatti tutt‟ora, anche nelle interrogazioni ho sempre paura di
fare errori, di rispondere male, anche se le cose le so
Marco 2S
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
Quando vengo interrogata, o viene annunciato un compito in classe
entro in uno stato d’ansia, le mani iniziano a tremare e vengo avvolta
dalla paura di sbagliare
Erika 2M
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
In 1a elementare avevo paura della matematica perché avevo paura di sbagliare (…) A me le operazioni in colonna non riescono tanto bene.
Infatti quando c‟è matematica vorrei tornare a casa
Giada 4E
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
Ogni tanto quando si fanno delle addizioni molto alte, ho un pò paura, allora io lo dico
alla maestra che sono in difficoltà. La maestra dice a me che devo andare alla
lavagna, io ho paura di sbagliare davanti ha tutti i miei compagni
Laura 2E
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
CERTE VOLTE GRIDA TANTO E IO MI SPAVENTO E MI VENGONO LE LETERE MALE COSI DEVO SEMPRE CANCELARE PER NON FARE CAPIRE ALLA MAESTRA
CHE NO NO CANCELATO CANCELO
MOLTO BENE
Daniele 1E
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
Durante le verifiche ho così paura di sbagliare che
metto i portafortuna sul banco
Cristiano 3E
Importanza di non fare errori
Paura di sbagliare
Cosa è un problema
Classe prima
È una cosa grave È quando qualcuno si fa male Quando si perde qualcosa Quando succede un incidente (qualcuno o qualcosa si rompe, si brucia, si allaga…)
Classe quinta
E’ una cosa difficile da risolvere E’ un esercizio di matematica E’ un esercizio da risolvere E’ un testo che ti chiede qualcosa E’ un problema di famiglia Un problema di salute E’ un testo dove ci sono i numeri e più domande
Come si risolve
Classe prima
Pensando… Provando… Cercando… Chiedendo aiuto… …senza mai arrendersi…!
Classe quinta
Con il dottore Parlando Facendolo insieme Con i dati.. Con la soluzione… Con il diagramma Con la risposta… Con l’equivalenza Con la logica Con l’espressione
“Quando devo affrontare un problema mi suscita
un bel po’ di paura, perché sono in quinta e
siccome non sono abbastanza sicura di
quello che scrivo, e ho paura che mi prendano
in giro.”
Luca 5P
“Io con la matematica non mi ci trovo un granchè bene. L’incubo peggiore che ho a proposito di questa materia
sono quelli arcimaledetti problemi! perché mi devo
spremere il cervello al massimo, e non è detto che
riesca a capire come risolverli.
Io durante le ore di matematica immagino le insufficienze che volano
nella classe felici e allegre.” Paolo 5P
La voce dei bambini
“La matematica non mi piace molto, anzi a dire la verità alcune volto la odio.
Quando la maestra dà un problema che per me è difficile, non riesco a pensare ad altro, sono tutto agitata.
Poi mi faccio coraggio e vado dalla maestra; lei mi spiega cosa devo fare, ma quando non capisco faccio finta di aver capito perché alcune volte mi annoia, allora non
ascolto.
Quando un problema o alcune operazioni non mi riescono sudo, mi sento come mi scoppiasse la testa. E
per stare un minuto da sola vado ad appuntare le matite o vado al bagno.”
Lucia 4P
“Ma c’è una cosa che quando la faccio mi blocco e rimango lì a pensarci e ripensarci perché ho paura di
sbagliare e questa cosa sono i problemi!!.
In certe occasioni quando la maestra Laura mi chiama per andare alla lavagna ho un po’ di paura perché penso
dentro di me: “Se sbaglio?”
Se la maestra ci dà una verifica li per lì sono felice perché credo di finirla a pieni voti ma quando arrivo alle cose difficili mi sento come un tremolio in tutto il corpo e
come un grande freddo
però quando ci penso intensamente e mi riesce ritorno la Sara di sempre.”
Sara 5P
“Il mio rapporto con la matematica alle
elementari non andava molto per la quale.
I Problemi, erano la mia ossessione, non riuscivo
mai a portarne uno (concluso) risolto alla
maestra. ”
Andrea 4S
“Il mio rapporto con la matematica fin dalle origini non è mai stato dei migliori.
Ricordo quando andavo alle elementari e la maestra ci
obbligava a imparare quella odiosa tabellina o a fare
quei problemi per me completamente inutili;
mi sono sempre chiesta: perché studiare una
materia così arida e lontana dal nostro modo di
pensare?!” Jessica 5S
La voce dei bambini...cresciuti
L’educazione matematica invece di sviluppare «la voglia di affrontare
problemi nuovi» sembra alimentare, e nel corso degli anni accentuare, la paura dei problemi, la paura di sbagliare e del
difficile: in conclusione la paura della matematica senza far fare problemi!
L’educazione matematica sembra sviluppare comportamenti irrazionali
nella risoluzione di problemi!
G. Mandler
“Come succede che l‟allievo si trasformi da “curiosity machine” a “mathematical idiot”? Quand‟è che appaiono per la prima volta i segni della avversione verso la matematica? Come si riconoscono questi segni al loro insorgere nel contesto dell‟apprendimento?”
Pablo Picasso
Todos los niños son artistas. El problema
es cómo seguir siendo artista cuando
creces
Pablo Picasso
Todos los niños son artistas. El problema
es cómo seguir siendo artista cuando
creces
Lavorare sui problemi comporta un lavoro linguistico importante su due aspetti
Comprensione del testo
Capitolo I La comprensione del testo
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
• Si comprende il problema
• Si compila un piano
• Si sviluppa il piano
• Si procede alla verifica George Polya
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione
problematica
Difficoltà di comprensione
Rosetta Zan
“A volte però i comportamenti messi in atto dai bambini di fronte ai problemi
verbali sembrano testimoniare una rinuncia a priori a comprendere, in quanto
le strategie utilizzate sembrano prescindere dalla comprensione del testo”
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
La comprensione del testo dovrebbe essere la prima fase di un processo
risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione
problematica
• Trovando i numeri e sommando • Cercando di indovinare l‟operazione • Guardando i numeri e da quelli
risalire all‟operazione „giusta‟ • Provando tutte le operazioni e
scegliere in base al risultato • Cercando „parole chiave‟ • Decidendo se il risultato deve
essere maggiore o minore dei numeri dati, e scegliendo l‟operazione di conseguenza
• A caso
Comportamenti “tipici” degli allievi di fronte ad un problema scolastico
Larry Sowder
COMPORTAMENTI
„PATOLOGICI‟
STATI UNITI
45.000 studenti "31 col resto di 12" (29%) "31" (18%)
Un camion dell‟esercito può portare 36 soldati. Se bisogna trasportare 1128 soldati alla loro base, quanti camion servono?
ISRAELE
10° + 40° = 50°
Quale sarà la temperatura dell‟acqua in un recipiente se metto insieme una caraffa d‟acqua a 10° gradi ed una a 40° ?
GERMANIA
I bambini delle ultime classi „rispondono‟...
Il signor Lorenz e tre colleghi partono per Bielefeld alle 9 e viaggiano per 360km fino a Francoforte, con una sosta di 30 minuti.
Il miglior tempo di John nel correre i 100 m è di 17 secondi.
Quanto tempo impiegherà a correre 1 chilometro?
BELGIO
Più del 95% delle risposte: 17x10=170 secondi
3% sono risposte „realistiche‟:
-È impossibile rispondere con precisione -Circa 3 minuti e mezzo
-Sicuramente più di 170 secondi
FRANCIA …i bambini „rispondono‟!!!!
Su un battello ci sono 36 pecore. 10 muoiono affogate. Quanti anni ha il capitano?
Sembra mancare: • controllo sulle strategie
• controllo sui risultati
• un‟effettiva ricostruzione della
situazione problematica
COMPORTAMENTI „PATOLOGICI‟
Problema: In un prato ci sono 20 pecore, 7 capre, e 2 cani.
Quanti anni ha il pastore?
20+7+2=29
„‟Forse ad ogni compleanno gli hanno regalato un animale…‟‟
"Ho fatto un ragionamento particolare: il pastore se
ha due cani per così poche bestie uno dei due cani forse gli serve perché è
non vedente.
Quindi deduco che abbia sui 70-76 anni"
70-76
Il capitano/pastore italiano
Il ruolo delle scelte didattiche
Nell‟attività di risoluzione di problemi la pratica didattica è molto influenzata dalla tradizione e dai libri di testo...
DATI
OPERAZIONI
Si sta veramente suggerendo di leggere al bambino? O in realtà
si suggerisce una lettura selettiva del
testo e un procedimento
automatico e non strategico?