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Experiencia 3

Modelacin de sistemas utilizando MATLAB

2.1. Objetivos.-

Modelar sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Utilizar los diferentes comandos que proporciona MATLAB para realizar simulaciones de sistemas de control.

Utilizar herramientas computacionales provistas por MATLAB para la conexin, conversin de modelos LTI.

2.2. Marco terico.- MATLAB trabaja esencialmente con matrices numricas rectangulares (que pueden tener elementos complejos), lo cual implica el uso de vectores fila o columna. Por esta razn este paquete tiene una proyeccin hacia el control moderno (descrito a variables de estado) y es til para ilustrar las relaciones existentes entre las tcnicas clsicas y modernas de anlisis. Para ello, contiene un conjunto de rutinas de propsito general que permite modelar, analizar y simular cualquier tipo d sistema, adems, es capaz de trabajar con modelos lineales invariantes en el tiempo (LTI), los cuales son:

TF : modelo a funcin de transferencia

ZPK : modelo ceros polos ganancia SS : modelo a espacio de estados

FRD : modelo de respuesta a frecuencia MATLAB realiza las diversas conexiones y conversiones entre este conjunto de modelos. 2.2.1. Funciones para la Conexin de Modelos LTI utilizando MATLAB.- La librera de sistemas de control de Matlab cuenta con un conjunto de funciones para interconectar modelos para desarrollar concatenaciones de entrada salida, colocarlos en serie, paralelo y con realimentacin. 2.2.1.1. Conexin Serie.- sys = series(sys1,sys2)

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conecta en serie dos modelos:

Es equivalente a multiplicacin: sys = sys2 * sys1 sys = series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) permite la siguiente conexin:

En donde outputs1 e inputs2 indican cuales salidas y1 de sys1 y cuales entradas u2 de sys2 deben ser conectadas. El modelo sys resultante tiene como entrada u y como salida y. 2.2.1.2. Conexin con Realimentacin.- Considerando que el sistema de control realimentado es aquel que tiende a mantener una relacin preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia, comparndolas y utilizando la diferencia como medio de control. Matlab permite realizar dicha realimentacin con los siguientes comandos: sys = feedback(sys1,sys2) El modelo en lazo cerrado sys tiene un vector de entrada y otro de salida, y esta funcin determina una realimentacin negativa como la de la figura. Los modelos sys1 y sys2 deben ser continuos.

sys = feedback(sys1,sys2,feedin,feedout) en la mayora de sistemas de control realimentado es comn la presencia de perturbaciones o seales que tienden a afectar adversamente el valor de la salida, pueden ser internas o externas. Esto implica seales que ingresan al sistema, pero que no se realimentan, as:

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El vector feedin contiene ndices dentro del vector de entrada de sys1 y especifica cuales entradas u son afectadas en el lazo de realimentacin. Similarmente, feedout especifica cuales salidas y de sys1 son usadas en la realimentacin. El modelo LTI resultante sys tiene el mismo numero de entradas y salidas que sys1. 2.2.1.3. Conexiones mas frecuentes en Sistemas de Control.- Cuando el comportamiento dinmico de un sistema no es satisfactorio, esto es, no cumple las especificaciones de respuesta transitoria y en estado estable a fin de obtener un funcionamiento satisfactorio es posible utilizar, compensacin en serie, que abreves rasgos implica colocar en serie con la planta un compensador cuya funcin de transferencia Gc puede implicar desde una variacin de ganancia hasta complejas redes de adelanto y atraso, etc. Esto es posible siempre y cuando exista realimentacin de tal forma que Gc procese la seal de error. Las conexiones ms comunes en los sistemas de control clsicos son:

Compensador Planta

GC(s) G(s) R(s) Y(s)

H(S)

Compensacin en Serie

G1(s) G(s) R(s) Y(s)

G(s)

H(s)

Compensacin de Retroalimentacin o en Paralelo Generalmente, en el anlisis y diseo de sistemas de control se ha de tener una base de comparacin del desempeo de diversos sistemas de control, la misma que se configura especificando las seales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas seales de entrada. MATLAB permite

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utilizar seales de prueba tpicas para comparar sistemas, como seales paso, rampa, etc. Esta funcin reproduce una figura con la respuesta de sys a la entrada Paso: step(sys) % Respuesta Escaln Unitario (paso) 2.2.2. Funciones para la Conversin de Modelos LTI utilizando MATLAB.- Existen cuatro tipos de modelos linealmente invariantes en el tiempo LTI que pueden utilizarse con la librera de Sistemas de Control, que son TF (funcin de transferencia), ZPK (ceros, polos y ganancia), SS (espacio de estados) y FRD (respuesta en frecuencia). Es posible realizar la conversin de un modelo a otro, en forma explicita, para un modelo dado sys con la siguiente sintaxis: sys = tf(sys) % Conversin a TF sys = zpk(sys) % Conversion a ZPK sys = ss(sys) % Conversion a SS sys = frd(sys, frequency) % Conversion a FRD para el ltimo caso, frequency es un vector de frecuencias usada como argumento e entrada cuando se realiza la conversin al modelo FRD. Por ejemplo: Un modelo de espacio estados, para convertirse a un modelo ZPK: sys = ss(-2,1,1,3) zpk(sys)

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333.23

s

s

Matlab en ocasiones realiza conversiones automticas ya que existen varios comandos que requieren de un modelo especfico como parmetro de entrada as que antes de realizar la funcin indicada por el comando realiza la conversin. Estas conversiones pueden ser utilizadas tanto para sistemas sencillos con una nica entrada y nica salida (SISO) como para sistemas de mltiples entradas y salidas (MIMO). 2.2.3. Conversin Continua/Discreta para modelos LTI.- Los sistemas de control discreto difieren de los sistemas de control en tiempo continuo en que las seales en uno o ms puntos del sistema son, ya sea en forma de pulsos o un cdigo digital. Pueden ser sistemas de control de datos muestreados y de control digital, en el primer caso, el sistema nicamente recibe datos o informacin intermitente en instantes especficos, mientras que para el segundo caso implica el uso de una computadora o un controlador digital en el sistema. Es posible encontrar

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el equivalente discreto de una planta a fin de implementar un control digital, trabajando en el dominio de z, con un tiempo de muestreo adecuado. Para discretizar de los modelos invariantes en el tiempo TF, SS o ZPK, es posible utilizar la instruccin: sysd = c2d(sysc,Ts,metodo) Donde: sysd = sistema discreto sysc = sistema continuo Ts = periodo de muestreo en segundos sysc = sistema continuo en el tiempo Donde mtodo es el procedimiento de discretizacion y puede ser: zoh retenedor de orden cero foh retenedor de primer orden imp Discretizacion de impulso invariante tustin Aproximacin Bilinear Tustin matched Mapeo de Polos y Ceros Por defecto cuando el mtodo es omitido se usa el zoh. Viceversa, para convertir un sistema discreto a uno continuo: sysc = d2c(sysd,metodo) En forma similar el mtodo de conversin utilizara el equivalente propio de zoh, tustin, o matched. as como para los sistemas continuos en el tiempo se ingresan seales singulares para conocer el desempeo del mismo, aqu se usa por ejemplo, la seal paso discreta, con la siguiente instruccin: step(sysd) % sysd = planta discretizada

2.3. Trabajo Preparatorio.- Se tiene un circuito serie RLC Alimentado por una fuente v(t) entrada y vc(t) tensin en el capacitor de salida.

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2.3.1. Obtener la ecuacin diferencial que define el sistema 2.3.2. Obtener la funcin de transferencia del sistema 2.3.3. Obtener analticamente el modelo en variables de estado 2.3.4. Obtener analticamente vc(t) para una entrada escaln unitario para valores

de R L y C asumidos por el estudiante.. (ntese que la entrada paso es la integral de una entrada impulso)

2.3.5. Con la ayuda del Excel presente los grficos para una entrada escaln

unitario en lazo abierto.

2.4. Trabajo Experimental.- 2.4.1. Obtenga el modelo en espacio de estado, zpk, respuesta en frecuencia si

es posible del sistema del trabajo preparatorio. TF : modelo a funcin de transferencia ZPK : modelo ceros polos ganancia SS : modelo a espacio estados FRD : modelo de respuesta a frecuencia 2.4.2. Obtener la respuesta en lazo abierto y cerrado para las entradas: impulso,

paso, rampa, senoidal. Lsim: simula la respuesta temporal de los modelos LTI frente a entradas arbitrarias Inicial: permite obtener la respuesta del modelo a variables de estado con una condicin inicial X0. Step: permite obtener la respuesta a la entrada escaln de un modelo LTI. Impulse: permite obtener la respuesta a la entrada impulso de un modelo LTI. Para obtener otro tipo de datos de un modelo se puede usar los siguientes comandos: Get(sys) despliega las propiedades del sistema Set permite cambiar las propiedades del sistema se usa de la siguiente

forma:

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Set(sys,InputName,Tension); Usando el comando Sys.OutputName=Par Motor; Usando el operador punto (.) Set(sys,InputDelay,2,num,[0 0 2]); Usando el comando y cambiando varias

propiedades a la vez. Obtencin de datos de una funcin de transferencia.- [A,B,C,D]=SSDATA(SYS) Permite obtener las matrices de estado del sistema SYS [NUM,DEN]=TFDATA(SYS,v) Obtiene el numerador y denominador del sistema SYS [Z,P,K]=ZPKDATA(SYS,v) Obtiene los polos, ceros y la ganancia, como vectores P=POLE(SYS) Obtiene los polos de la funcin de transferencia como un vector Z=ZEROS(SYS) Obtiene los ceros del sistema como un vector S=ESORT(P) Ordena un vector columna de polos en forma descendente de acuerdo a la parte real, los polos inestables se presenta primero. S=DSORT(P) Ordena un vector columna de polos en forma descendente de acuerdo a la magnitud, los polos inestables se presenta primero. PZMAP(SYS) Dibuja la ubicacin de los polos y ceros del sistema. SGRID Dibuja una grilla de acuerdo al factor de amortiguamiento .

Obtencin de Parmetros.- Mediante los comandos damp y dcgain se pueden obtener las caractersticas del modelo, relacionadas con la respuesta temporal del mismo: el factor de amortiguamiento, la frecuencia natural y la ganancia en rgimen permanente. Para el sistema anterior, se har lo siguiente: Dcgain(SYS) Es decir, una ganancia unitaria en rgimen permanente (fcilmente comprobable, sin mas que dar un escaln al sistema). Para el caso de la frecuencia natural y la ganancia, se obtiene: Damp(SYS) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.00e+000 1.00e+000 1.00e+000 -1.00e+000 1.00e+000 1.00e+000

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Es decir, una frecuencia natural y un factor de amortiguamiento de valor unidad, y unas races del polinomio del denominador iguales ambas a -1. Puede tambin comprobarse a partir de la respuesta en escaln, que el sistema no tiene oscilaciones de ningn tipo. Para ello se puede ejecutar el siguiente comando: 2.4.3. Obtenga la ecuacin diferencial que representa al sistema y la funcin de

transferencia del siguiente sistema: la masa del carro es despreciable

2.5. Informe.-

2.5.1. Presente los resultados obtenidos en la parte experimental. 2.5.2. Empleando lazos y estructura de control de flujo, elabore un programa que

permita obtener sobre un mismo grafico la respuesta escaln en lazo abierto para cinco valores diferentes del parmetro a del sistema dado por la siguiente funcin de transferencia:

asS

asG

2)(

2

2.5.3 Presentar resultados obtenidos del uso del programa mason.m del anexo a

este laboratorio.

Comentarios y conclusiones.

2.6. Bibliografa.- The Math Works Inc, Manuales MATLAB.