Laboratorijske vaje pri predmetu Mehanika,termodinamika in elektromagnetno polje pri

poučevanju za doizobraževanje tretjegapremeta

B. Golli, A. Kregar, PeF

1. marec 2012

Kazalo

1 Napake izmerjenih količin 41.1 Zapis fizikalnih količin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Določitev napake izmerka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Računanje s količinami, obremenjenimi z napako . . . . . . . . . . . 7

2 Grafi 102.1 Linearna odvisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Nelinearne odvisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja . . . . . . . . . . 14

3 Kinematika 173.1 Premo gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Eksperimentalne metode – premo gibanje . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Vrtenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Gibanje v ravnini: poševni met . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Eksperimentalni postopki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Merjenje sil in snovnih lastnosti 244.1 Merjenje sil z računalnikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Ravnovesje treh sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Ravnovesje navorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

4.4 Hookov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Površinska napetost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Merjenje gostot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7 Merjenje gostote zraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature 335.1 Merjenje gibalne količine pri trkih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Ohranitev energije pri kotaljenju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Pronyjeva zavora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Izkoristek elektromotorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Temperaturno raztezanje kovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Temperaturno raztezanje vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.7 Umeritev termočlena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Merjenje električnega toka, napetosti in upora 416.1 Elektroliza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Zaporedna in vzporedna vezava porabnikov . . . . . . . . . . . . . 456.4 Kompenzacijsko merjenje upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.5 Termistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.6 Temperaturna odvisnost upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Dinamika 507.1 Newtonov zakon – ultrazvok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Sila pri enakomernem kroženju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3 Izrek o gibalni količini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.4 Balistično nihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.5 Newtonov zakon za vrtenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.6 Ohranitev vrtilne količine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.7 Ohranitev vrtilne količine – uteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.8 Precesija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Elastomehanika in termodinamika 648.1 Upogib palice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2 Zasuk palice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.3 Gay-Lussacov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4 Izoterma in adiabata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.5 Toplotna prevodnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.6 Specifična toplota železa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.7 Specifična talilna toplota ledu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2

8.8 Specifična izparilna toplota vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.9 Joulov poskus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Elektrika: frontalno 769.1 Notranji upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2 Električno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.3 Magnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10 Električno in magnetno polje 8710.1 Magnetna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.2 Magnetni navor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.3 Indukcijski zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.4 Energija električnega polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.5 Energija magnetnega polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.6 Elektroni v magnetnem in električnem polju . . . . . . . . . . . . . 94

11 Vzorčno poročilo 96

3

1 Napake izmerjenih količin

1.1 Zapis fizikalnih količin

Sistematske in statistične napake. Fizikalne količine dobimo z merjenjem. Ko-ličin ne moremo poljubno natančno meriti, zato pri izmerjeni količini podamonegotovost ali napako, s katero je količina izmerjena. Ločimo:

• sistematske napake, ki so posledica nenatančnosti same merilne naprave(pri boljših napravah je napaka podana; v večini primerov je večja od naj-manjšega razdelka, ki ga lahko še odčitamo) ter

• slučajne napake, ki so posledica negotovosti merilnih pogojev: zamik prizačetku ali koncu merjenja s štoparico, merilni trak ni vedno enako napet,zunanji pogoji (temperatura, tlak) niso ves čas enaki . . .

Kako podamo negotovost? Izmerjeno količino moramo zapisati tako, da bo izzapisa razvidna njena negotovost (napaka). To dosežemo tako, da poleg količinenavedemo še njeno napako, npr. g = 9,7 m/s2 ± 0,2 m/s2. Količino zapišemo stoliko števkami (ciframi), da je zadnja zapisana števka že negotova. To velja tuditedaj, ko napake eksplicitno ne navedemo; v takšnem primeru velja, da je nena-tančnost (napaka) manjša od največjega možnega odstopanja zadnjega mesta; čebi zapisali le g = 9,7 m/s2, bi to pomenilo, da je napaka manjša od 0,5 m/s2.

Pomembne števke. Pri tem imamo v mislih število pomembnih (signifikantnih)števk; nepomembne števke so tiste, ki določajo decimalno mesto. Če bi zgornji re-zultat zapisali z drugimi enotami, npr.: g = 9700 mm/s2, bi obe ničli predstavljalinepomembni števki, podobno bi to bile tri ničle pri zapisu g = 0,0097 km/s2. Po-membni števki sta le 9 in 7. V vseh zapisih je torej število pomembnih števk enako.

Vloga ničel v zapisu fizikalne količine. Na podlagi zgornjega zgleda pravza-prav ne smemo zaključiti, da je 0 na koncu števila vedno le nepomembna števka.Če je rezultat naše meritve bolj natančen, recimo c = 340 m/s ± 3 m/s, namzadnja ničla tudi predstavlja pomembno števko. V tem primeru iz samega za-pisa 340 m/s ne bi mogli ugotoviti, koliko pomembni števk je v rezultatu. Takšniobliki zapisa se zato raje izognemo in uporabimo zapis z desetiškim eksponen-tom: c = 3,40 · 102 m/s.

Decimalna mesta. Števk ne smemo zamenjevati z decimalnimi mesti; zapis 9,81vsebuje tri števke in dve decimalni mesti, zapis 0,049 pa tri decimalna mesta in

4

štiri števke. Eno in isto fizikalno količino lahko zapišemo z različnim številomdecimalnih mest; npr.; l = 789 mm, l = 78,9 cm, l = 7,89 dm, l = 0,789 m alil = 0,000789 km, število decimalnih mest torej sploh ne vpliva na natančnostkoličine; v vseh petih primerih natančnost določajo tri pomembne števke, 7, 8in 9. Pravilo, ki ga pogosto slišimo, da izmerjene količine zaokrožujemo na dvedecimalni mesti, je seveda popolnoma nesmiselno.

1.2 Določitev napake izmerka

Pri boljših merilnih napravah nam sistematsko napako poda proizvajalec; če smomerilno napravo razvili sami, je pomemben del razvoja tudi določitev vseh para-metrov, ki lahko vplivajo na nenatančnost pri merjenju, in na tej podlagi določi-tev sistematske napake. Kot orientacijo lahko vzamemo najmanjši razdelek, ki galahko še odčitamo (zadnje mesto pri digitalni napravi).

Slučajno napako določimo statistično, tako da poskus ponavljamo. Denimo,da pri N poskusih izmerimo vrednosti xi, i = 1, . . . N. Izračunamo povprečnovrednost

x̄ =x1 + x2 + . . . + xN

N=

1N

N

∑i=1

xi

in povprečen kvadrat odstopanj σ1 kot

σ21 =1N

N

∑i=1

(xi − x̄)2 . (1)

Če so meritve posameznih izmerkov med seboj neodvisne, lahko rezultat inter-pretiramo takole: pri nadaljnjih meritvah bo približno 2/3 meritev padlo znotrajintervala [x̄− σ1, x̄ + σ1], 1/3 meritev pa izven tega intervala.

Približna ocena. Zgornjo trditev lahko porabimo za določitev napake brez za-mudnega seštevanja kvadratov odmikov. Napako izmerka σ1 določimo tako, dapoiščemo interval, znotraj katerega pade 2/3 izmerkov. Postopek ilustrirajmo nazgledu merjenja hitrosti: iz rezultatov v druge stolpcu izračunamo povprečnovrednost v̄, nato pa v tretjem stolpcu zapišemo odstopanja. Nekaj odstopanj greseveda v pozitivno smer, nekaj v negativno. Poiščimo 1/3 izmerkov (v našemprimeru 3 ali 4), ki najbolj odstopajo (v tabeli so označeni z zvezdico). Izmedpreostalih poiščimo tistega, ki (po absolutni vrednosti) najbolj odstopa, v našemprimeru je to 3. izmerek. Napaka σ1 je kar enaka absolutni vrednosti odstopa-nja tega izmerka, saj 2/3 (7 v našem primeru) meritev pade znotraj intervala[v̄− σ1, v̄ + σ1], v našem primeru med 9,5 in 10,5.

5

meritev vi [m/s] vi − v̄ [m/s]1 9,80 −0,212 10,64 0,62 *3 9,52 −0,494 9,71 −0,305 10,87 0,86 *6 10,10 0,097 9,17 −0,84 *8 10,31 0,309 9,80 −0,2110 10,20 0,19

povprečje 10,01

Če napako izračunamo po formuli (1), dobimo praktično enako vrednost, σ1 =0,5.

Napaka povprečja. Z opisanim postopkom določimo napako merjene količinepri poskusu. Kot rezultat podamo povprečno vrednost izmerkov. Kolikšna je na-paka povprečne vrednosti in v čem se razlikuje od napake posameznega izmerka σ1?Razliko med tema dvema količinama pojasnimo na zgledu. Denimo, da eksperi-mentator A napravi N ponovitev poskusa in določi povprečno vrednost meritvex̄A. (Pri tem predpostavimo, da sistematske napake lahko zanemarimo.) Za njimeksperimentator B prav tako iz N ponovitev istega poskusa določi povprečnovrednost x̄B. Za koliko se obe povprečji razlikujeta? Statistika za tak primer pove,da je razlika med x̄A in x̄B v povprečju manjša od napake posameznega izmerka.Napaka se zmanjšuje obratno sorazmerno s korenom iz števila ponovitev. Za na-pako (negotovost) povprečja velja

σN =σ1√

N − 1 .

Za N = 1 dobimo nesmiselno vrednost, kar pa je razumljivo, saj lahko napakoσ1 določimo šele, ko imamo vsaj dva izmerka. Če želimo napako zmanjšati za 10krat, moramo torej napraviti 100 krat več ponovitev poskusa.

Negotovost napake. Statistika nam da še oceno natančnosti določitve napake.Negotovost (napaka) napake nam pri navedenem zgledu pove, za koliko bi se vpovprečju razlikovali napaki, ki bi ju določila eksperimentatorja A in B. Velja

σσ =σN√

2(N − 2).

6

Vidimo, da je šele pri približno 50 ponovitvah poskusa, napaka napake 10 kratmanjša od same napake. Ocena napake pri majhnem številu ponovitev (kot je toobičajno v šoli) je torej precej nezanesljiva. Zato z zapisom same napake ne kažepretiravati; zapis z eno pomembno števko ali kvečjemu dvema povsem zadošča.

Zapis rezultata. Kot končni rezultat naše meritve navedemo povprečno vrednostmeritve, poleg nje pa še napako povprečja:

x = x̄± σN .

Napako povprečja zapišemo z eno samo pomembno števko, le v primerih, ko bise na prvem mestu enico ali dvojko, lahko zapišemo še drugo števko. Številopomembnih števk v zapisu povprečne vrednosti se ravna po napaki: povprečjezapišemo do istega desetiškega mesta, kot je napisana napaka.

Primer: za neko povprečje smo izračunali t̄ = 23,456 s in za napako σN =0,734 s. Napako zaokrožimo na σN = 0,7 s, kar pomeni, da moramo tudi povpre-čje zapisati do prve decimalke, torej t = 23,5 s± 0,7 s.

Zapis z relativno napako. Negotovost rezultata namesto s σN, ki jo imenujemoabsolutna napaka, lahko zapišemo tudi z relativno napako

r =σNx̄

,

ki je seveda brez enote (lahko jo podamo tudi v odstotkih), na primer

c = 336 m/s± 12 m/s = 336 (1± 0,04) m/s .

Za zapis relativne napake velja enako pravilo, kot za zapis absolutne napake:zapišemo le eno pomembno števko; le če je prva števka 1 ali 2, smo upravičenizapisati še drugo števko.

Zapis izmerkov. Pravilo, ki smo ga navedli, velja le pri zapisu končnega re-zultata; vmesne rezultate pišemo z večjo natančnostjo. Pri zapisu odčitka (re-cimo dolžine z merilnega traku, časa s štoparice, napetosti na voltmetru) torejzapišemo vsa možna mesta, četudi pričakujemo, da bo končni rezultat zapisan zmanjšo natančnostjo (z manjšim številom pomembnih števk.)

1.3 Računanje s količinami, obremenjenimi z napako

Količino, ki jo želimo pri poskusu določiti, ponavadi ne dobimo naravnost izmerjenj, temveč jo izračunamo iz ene ali več izmerjenih količin. Če na primer

7

določamo pospešek prostega pada iz časa t, ki ga potrebuje telo za prosti pad zvišine h, velja g = 2h/t2, pri tem sta tako h kot t obremenjena z napako. Kako vtakšnih primerih določimo napako končnega rezultata?

Seštevanje in odštevanje količin. Če seštejemo rezultata dveh meritev (iste ko-ličine), obremenjena z napako, lahko zapišemo

z = x + y = x̄± σx + ȳ± σy = (x̄ + ȳ)± (σx ± σy) ,od koder sledi

z̄ = x̄ + ȳ in σz = |σx ± σy| .Napaka torej leži v intervalu med σmin = |σx − σy| in σmax = σx + σy. Če stameritvi med seboj nekorelirani – pomeni da izid prve meritve ne vpliva na iziddruge meritve – dobimo najboljšo oceno po Pitagorovem pravilu (trikotniku):

σz =√

σ2x + σ2y .

Za odštevanje velja enako pravilo, saj lahko razliko zapišemo kot

z = x− y = (x̄− ȳ)± (σx ∓ σy) ,saj odstopanje leži znotraj intervala med |σx − σy| in σx + σy. Pri odštevanju ne-koreliranih meritev spet velja, da je σz =

√σ2x + σ

2y .

Pri seštevanju in odštevanju količin torej seštevamo kvadrate absolutnihnapak.

Množenje in deljenje. Podobno kot zgoraj zapišimo

z = xy = (x̄± σx)(ȳ± σy) = x̄ȳ± ȳσx ± x̄σy ± σxσy .Zvezo delimo z z̄ = x̄ȳ:

zz̄= 1± σx

x̄± σy

ȳ± σxσy

x̄ȳ(2)

in primerjamo z definicijo relativne napakezz̄≡ 1± σz

z̄.

Pri dovolj majhnih napakah lahko zadnji člen v (2) zanemarimo. Vidimo, da zarelativno napako, rz = σz/z̄, velja enako pravilo kot za absolutno napako pri se-števanju. Za nekorelirani meritvi torej lahko zapišemo

rz =√

r2x + r2y .

Pri deljenju dobimo enako pravilo: seštevajo se kvadrati relativnih napak.Pri množenju in deljenju seštevamo kvadrate relativnih napak.

8

Pravilo večje napake. V primerih, ko pri vsoti ali zmnožku dveh količin ugo-tovimo, da je napaka enega člena nekajkrat večja od napake drugega, seštevanjenapak po Pitagorovem pravilu ni potrebno, saj lahko hitro uvidimo, da je rezultatzelo blizu večji napaki. V takšnem primeru je napaka rezultata kar enaka napakinajmanj natančne količine (absolutni pri seštevanju ali odštevanju in relativni primnoženju ali deljenju).

Potenciranje. Pri potenciranju lahko zapišemo

z = xn = (x̄± σx)n = x̄n + nx̄n−1σx +n(n− 1)

2x̄n−2σ2x + · · ·

Zvezo delimo z z̄ = x̄n in dobimozz̄= 1± n σx

x̄+ · · · ≡ 1± σz

z̄

S · · · smo označili člene, ki so majhni in jih lahko zanemarimo. Iz zgornjega rezul-tata razberemo pravilo: relativna napaka pomnožimo z eksponentom. Pravilovelja tudi za necele eksponente, potenca n = 12 na primer predstavlja korenskofunkcijo, in lahko zapišemo

z =√

x . rz = 12rx ,

relativna napaka pri korenjenju se torej razpolovi.

9

2 Grafi

Pri merjenju pogosto iščemo odvisnost med dvema količinama; eno izmed njijuspreminjamo (tej pravimo neodvisna spremenljivka) in opazujemo, kako se spre-minja druga količina (odvisna spremenljivka). Izmerke vpisujemo v tabelo, a iztabele težko razberemo, za kakšno odvisnost gre. Zato izmerke vnesemo v graf,neodvisno spremenljivko običajno na vodoravno os, odvisno na navpično.

Kako potegnemo „pravo“ krivuljo skozi izmerjene točke? Na sliki 1 so nari-sane tri možne krivulje. V šolski praksi pogosto naletimo še na četrto, ko učencitočke povežejo kar z ravnimi črtami. Takšna zlomljena krivulja zagotovo ni upra-

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................ ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..........

... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .......................... ............. ............. .............

.............................................................................................................................................................................................. .......... .......................................

................................................... .......... ..........� � �

� � � � �� � �

Slika 1: Nekaj mo-žnih krivulj skozi ek-sperimentalne točke

vičena, saj od fizikalne količine pričakujemo gladko obnašanje. Med tremi mo-žnostmi na sliki pa se nekako ne moremo odločiti; očitno potrebujemo dodatnoinformacijo oziroma kriterij, ki bi nam pomagal pri odločitvi.

Kaj je pravzaprav namen grafičnega prikaza? Ločimo dve možnosti:

• V prvem primeru krivulja podaja fenomenološko odvisnost dveh količin;teoretične odvisnosti ne poznamo. Iz grafa razberemo vrednost odvisnekoličine pri vrednosti neodvisne količine, ki jo pri meritvi nismo zajeli (in-terpolacija). Z grafičnim prikazom tudi zgladimo morebitne neregularnostizaradi merskih napak. Nekaj zgledov:

1. temperaturni raztezek vode β(T),

2. temperaturna odvisnost upora žarnice,

3. umeritvena krivulja pri instrumentu ali senzorju,

10

V tem primeru velja, da naj bo krivulja čim bolj gladka. Kriterij, za kolikosmemo pri tem „zgrešiti“ izmerjeno točko v grafu, je napaka izmerka, kiustreza tej točki. Če so napake izmerkov zelo majhne, smo na sliki 1 upravi-čeni skozi točke potegniti krivuljo iz črtic in pik; v nasprotnem primeru bonajbolj prava neprekinjena krivulja. Pri resnih meritvah za vsako izmerjenotočko določimo njeno napako s ponavljanjem meritev in jo tudi vnesemov graf. V šoli tega ne običajno ne počnemo in napako določimo bodisi izsistematske napake ali po občutku.

• V drugem primeru predpostavimo analitično odvisnost med količinama. Zrisanjem krivulje, ki ustreza tej analitični odvisnosti (na primer premice prilinearni odvisnosti, parabole pri kvadratni odvisnosti, . . .), želimo preveriti,če izmerjene točke res ubogajo predpostavljeno odvisnost. V primeru, daubogajo, lahko določimo neznane parametre v teoretični odvisnosti, tako daskozi izmerjene točke potegnemo krivuljo, ki se izmerjenim točkam najlepšeprilega. Primeri:

1. I = U/R odvisnost toka od napetosti je linearna, iz naklona premicedoločamo prevodnost (upor).

2. Pot pri enakomerno pospešenem gibanju je: s(t) = 12 at2 + v0t + s0; s

prilagajanjem parabole izmerjenim točkam določimo pospešek a, zače-tno hitrost v0 in pot s0.

Pri preskusu veljavnosti analitične odvisnosti je odločilno, s kolikšno na-tančnostjo so obremenjeni izmerki. Podobno kot v prvem primeru tudi se-daj potrebujemo informacijo o napaki izmerjenih vrednosti v grafu. V gro-bem lahko rečemo, da je predpostavka o teoretični odvisnosti upravičena,če so odstopanja izmerjenih vrednosti od krivulje v okviru eksperimental-nih napak; če so odstopanja znatno večja, pa lahko upravičeno sklepamo,da predpostavka o teoretični odvisnosti ni smiselna.

2.1 Linearna odvisnost

Enačba premice. Veliko fizikalnim pojavom lahko priredimo linearno odvisnost:

y = kx + n . (3)

Poleg zvez, v katerih je linearna odvisnost eksplicitna, lahko številne zveze pre-tvorimo v zgornjo obliko z uvedbo novih spremenljivk. Nekaj zgledov:

• y = 12 at2, uvedemo x = t2, torej je k v (3) enak k = 12 a,

11

• j = j0e−µx, zvezo logaritmiramo: ln j = ln j0 − µx, uvedemo y = ln j, inrazberemo k = −µ in n = ln j0,

• pVκ = konst, logaritmiramo: ln p + κ ln V = ln(konst), uvedemo x = ln Vin y = ln p in ugotovimo k = −κ, n = ln(konst).

Metoda najmanjših kvadratov. Recept za določitev parametrov premice k in n,ki se najbolje prilega izmerjenim točkam, je dobro znan: premica naj steče tako,da bo vsota kvadratov odstopanj najmanjša:

N

∑i=1

[yi − (kxi + n)]2 = minimum . (4)

Z odvajanjem izraza (4) po parametrih k in n dobimo sistem linearnih enačb dru-gega reda; rešitev zapišemo kot:

k =xy− y xx2 − x2

, n =y x2 − xy x

x2 − x2, (5)

pri čemer smo vpeljali

x =1N

N

∑i=1

xi , y =1N

N

∑i=1

yi , x2 =1N

N

∑i=1

x2i , xy =1N

N

∑i=1

xiyi . (6)

Grafična določitev „najboljše“ premice. Opisani računski postopek je zamu-den, čeprav ga najdemo že programiranega v številnih kalkulatorjih. Z nekolikovaje lahko dobimo skoraj enako dober rezultat grafično. Premico potegnemoskozi izmerjene točke (pri tem si pomagamo s prozornim ravnilom) tako, daostane nad premico približno enako število izmerkov kot pod njo. Pri tem mo-ramo paziti, da so izmerki nad (pod) premico enakomerno porazdeljeni po celemintervalu (glej sliko 2). Napačno bi bilo, če bi se izmerki nad premico grupirali naenem krajišču intervala, tisti pod premico pa na drugem. (Recimo, če bi na sliki 2potegnili kar vodoravno premico po sredini slike.)

Premica skozi izhodišče. V primerih, ko modelsko odvisnost zapišemo v oblikiy = kx, torej z n = 0, se pri risanju premice skozi izmerjene točke pogosto po-javi dilema, če je potrebno premico potegniti skozi izhodišče. Saj pri Ohmovemzakonu vemo, da tok pri napetosti 0 mora biti enak 0 in podobno pri Hookovemzakonu, Newtonovem zakonu . . . V praksi se često dogaja, da najlepša premicaskozi točke ne gre skozi izhodišče. Razlog je seveda v tem, da ničle merilnikov

12

nismo dobro določili. Tudi če napravimo meritev pri ničelni vrednosti neodvi-sne spremenljivke in vrednost odvisne spremenljivke merimo od njene ničelnevrednosti, smemo tako določeno izhodiščno točko obravnavati kot vsako drugomerjeno točko. Utež izhodiščne točke je lahko večja le v primeru, če vemo, daje meritev v izhodišču obremenjena z bistveno manjšo napako, kot pri ostalihtočkah. Le v takšnem primeru lahko upravičimo zahtevo, da gre premica skoziizhodišče.

Ocena napake pri določitvi naklona premice. Pri poskusih, ki jih delamo v šoliin pri katerih preverjamo linearno odvisnost med fizikalnima količinama, obi-čajno ne določamo statistične napake s ponavljanjem meritev pri vsaki vrednostineodvisne spremenljivke, temveč napravimo meritev le po enkrat. Če lahko pri-vzamemo, da so napake le statistične in vrednosti izmerkov neodvisne druga oddruge, lahko ocenimo povprečno napako izmerkov in napako naklona premice,ki smo jo potegnili skozi izmerjene točke.

Postopek razdelimo na dve dela; v prvem delu določimo povprečno napakoizmerkov σ in v drugem napako naklona σk.

Pri določitvi σ upoštevamo lastnost, da dve tretjini izmerkov pade znotrajintervala [y− σ, y + σ]. Napako σ lahko torej določimo grafično: okoli izmerkovnačrtamo paralelogram, takšen da znotraj lika zajamemo približno dve tretjinivseh točk. Pri tem morata biti dve stranici paralelograma vzporedni s premico, kise najlepše prilagaja izmerjenim točkam, in enako oddaljeni od nje. Razdalja medstranicama, merjena v navpični smeri, je potem ravno enaka 2σ. (Glej sliko 2.)

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .......................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ...................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .......................... ............. .........

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................

� � �� � � � � �

� � � �� � �

� � � � � 2��

Slika 2: Grafična določi-tev napake izmerkov

Ko tako dobimo povprečno napako izmerka σ, lahko določimo še napako na-

13

klona k. Za napako naklona k velja:

σk =2σ∆x

√3√N

, (7)

pri čemer je ∆x = xmax− xmin širina intervala, na katerem leže vrednosti neodvi-sne spremenljivke.

Napako naklona lahko določimo še na dva načina:Pri prvem načrtamo paralelogram tako, da objamemo vse točke. Načrtamo

obe diagonali in določimo njuna naklonska koeficienta kmax in kmin. Napak na-klona je potem:

σk ≈kmax − k√

N − 2 ≈k− kmin√

N − 2 . (8)

Pri drugem načinu izmerjene točke paroma povežemo in sicer i-to točko z12 N + i-to, za i = 1, 2, . . .

12 N. Če imamo denimo N = 10 točk povežemo prvo

in šesto, drugo in sedmo, . . . peto in deseto. Iskani naklon premice skozi točkeje potem enak kar povprečni vrednosti naklonskih koeficientov tako dobljenihdaljic, k1, k2, . . . kN/2, napaka naklona pa napaki povprečja:

k =2N

12 N

∑i=1

ki , σk =4

N(N − 2)

12 N

∑i=1

[k2i − k2] . (9)

2.2 Nelinearne odvisnosti

Vseh teoretičnih odvisnosti, ki jih srečamo v fiziki, ne moremo prevesti v linearnozvez. Najenostavnejši zgled je odvisnost poti od časa pri enakomerno pospeše-nem gibanju. V tem primeru si pomagamo z računalnikom. Eden najboljših ra-čunalniških paketov za ta namen je gnuplot (glej http://www.gnuplot.info/), kiima eno samo „pomanjkljivost“, je namreč brezplačen.

2.3 Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja

Pri večini poskusov analiziramo enakomerno pospešeno gibanje tako, da izme-rimo pot v odvisnosti od časa. Pospešek dobimo lahko na dva načina: z dvakra-tnim numeričnim odvajanjem poti po času ali iz naklona premice v grafu v(t).Analizo napravim pri merjenju težnega pospeška z brnačem. Oznake na trakuodčitavamo kar se da natančno, z lupo lahko odčitavamo tudi desetinke milime-tra.

14

Tabela pospeškov. Odmike merimo v časih 0.02 s, 0.04 s, 0.06 s . . . Hitrosti ra-čunamo po enačbi v = ∆s/∆t, tako da za ∆t vzamemo dvojni interval. Pospešekračunamo iz a = ∆v/∆t iz zaporednih hitrosti in časovnih razlik.

t [s] s [m] v [m/s] a [m/s2] a− ā [m/s2]0.02 0.00480.04 0.0117 0.4620.06 0.0233 0.685 10.75 0.4370.08 0.0391 0.892 9.875 -0.4380.10 0.0590 1.080 10.125 -0.1870.12 0.0823 1.297 12.812 2.5000.14 0.1109 1.592 11.125 0.8120.16 0.1460 1.742 4.062 -6.2500.18 0.1806 1.755 6.187 -4.1250.20 0.2162 1.990 14.312 4.0000.22 0.2602 2.327 13.562 3.2500.24 0.3093 2.5320.26 0.3615

Povprečna vrednost pospeška iz tabele je a = 10,31 m/s2. Povprečna napakapri meritvi, izračunana po obrazcu

σ21 =1N

N

∑i=1

(ai − a)2 , (10)

je σ1 = 3,2 m/s2 in napaka povprečja σa = σ1/√

N − 1 = 1,1 m/s2.Iz tabele vidimo, da 3 meritve padejo zunaj intervala, če za odstopanje vza-

memo mejno vrednost 4,1 m/s2, 6 meritev pa znotraj tega intervala. Tako do-bljeno napako ocenimo s σ1 = 4,1 m/s2, kar ni v nasprotju z rezultatom, do kate-rega smo prišli po računski poti. Gre seveda za napako pri eni meritvi, ocenjenanapaka povprečja je seveda manjša in znaša σ′a = σ1/

√N − 1 = 1,4 m/s2.

Rezultat meritve torej zapišemo:

a = (10,3± 1,4) m/s2 . (11)

Pospešek iz grafa v(t). Že na prvi pogled vidimo, da je ujemanje z modelomprecej boljše, kot bi lahko sklepali le na podlagi tabele pospeškov. Račun da:

a = (10,0± 0,8) m/s2 ,v(0) = (0,09± 0,05) m/s .

(12)

15

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

∆t

∆v

◦◦

◦◦

◦

◦◦ ◦

◦

◦◦

v [m/s]

t [s]

}σ

16

3 Kinematika

3.1 Premo gibanje

Merjenje hitrosti. Merimo lego telesa x kot funkcijo časa t. Hitrost telesa jedefinirana kot odvod lege po času

v(t) =dx(t)

dt. (13)

Ker merimo lege le ob določenih časih, ti, i = 1, N, lahko računamo le povprečnovrednost hitrosti v časovnem intervalu [ti+1, ti]:

v̄ =∆x∆t

=xi+1 − xiti+1 − ti

, (14)

pri čemer je xi izmerjena lega ob času ti, xi+1 pa ob ti+1. Hitrost običajno pripi-šemo času na sredini intervala 12(ti+1 + ti). Pogosto je bolj praktično, da vzamemovečji časovni interval, [ti+1, ti−1], in formulo (14) zapišemo kot

v(ti) =∆x∆t

=xi+1 − xi−1ti+1 − ti−1

. (15)

V tem primeru smo povprečno hitrost pripisali kar času ti, ki leži znotraj intervala[ti+1, ti−1].

V limiti, ko gredo časovni intervali ∆t = ti+1 − ti−1 proti nič, povprečna hi-trost sovpade s trenutno. To bi pomenilo, da bo meritev tem bolj natančna, čimkrajše časovne intervale izberemo. A v praksi to ni vedno najbolje. Če časovneintervale skrajšujemo, se lahko postane pot, ki jo telo opravi v intervalu, primer-ljiva ali celo manjša od natančnosti, s katero merimo odmik (recimo 1 mm). V temprimeru bo relativna napaka pri računanju hitrosti zelo velika in meritev hitrostizelo nezanesljiva. Časovne intervale moramo torej izbrati tako, da bo pot, ki jotelo naredi v časovnem intervalu, dovolj velika v primerjavi z napako merjenjarazdalje.

Merjenje pospeška. Pospešek je definiran kot

a(t) =dv(t)

dt. (16)

Postopek za določitev pospeška je podoben postopku pri računanju hitrosti, opi-sanemu v prejšnjem razdelku. Velja

ā =∆v∆t

=vi+1 − viti+1 − ti

, (17)

17

alia(ti) =

∆v∆t

=vi+1 − vi−1ti+1 − ti−1

. (18)

Postopek, pri katerem računamo hitrosti po formuli (15) in pospešek po for-muli (18), je bolj praktičen, saj časi, v katerih računamo hitrosti in pospeške, so-vpadajo s časi, v katerih smo merili lege telesa.

V primeru, ko so časovni intervali med seboj enaki, ∆t = ti+1 − ti = konst,lahko izpeljemo enostavno zvezo med pospeški in legami:

a(ti) =xi+1 + xi−1 − 2xi

(∆t)2. (19)

Merjenje koeficienta dušenja. Jahač na zračni drči zavira magnetna sila, ki jepremo sorazmerna s hitrostjo. Zato se jahač giblje pojemajoče s pojemkom, ki jeprav tako premo sorazmeren s hitrostjo: a = −βv. Enačbo za gibanje zapišemo vobliki

dvdt

= a = −β v ali dvv

= −β dt . (20)Enačbo integriramo, na levi od začetne hitrosti v0 do končne hitrosti ob času t, nadesni pa od začetnega časa 0 do časa t:

∫ v(t)

v0

dvv

= −β∫ t

0dt . (21)

Integral na levi je ln v na desni kar t. Ko vstavimo meje, dobimo

ln v(t)− ln v0 = −β t ali lnv(t)v0

= −β t . (22)

Enačbo antilogaritmiramo in dobimo

v(t) = v0 e−βt . (23)

Pot, ki jo telo opravi v času t, dobimo z integriranjem hitrosti (23):

s(t) =∫ t

0v(t)dt =

v0β

(1− e−βt

). (24)

Koeficient dušenja β lahko določimo na dva načina:

i) Iz prve enačbe (20) sledi β = −a/v. Če torej v tabeli izračunamo vre-dnosti hitrosti in pospeškov, dobimo β kot povprečno vrednost razmerja−a(ti)/v(ti).

18

ii) V prvi enačbi v (22) vpeljemo novo spremenljivko y = ln v(t). Enačba imapotem obliko y = ln v0 − βt. Prepoznamo enačbo premice z naklonom −β.Narišemo torej graf, na katerem na vodoravno os čase ti, na navpično os pavrednosti ln v(ti). Skozi točke potegnemo premico in iz naklona odčitamoβ.

3.2 Eksperimentalne metode – premo gibanje

Lego v odvisnosti od časa lahko merimo na več načinov:

Brnač. Na telo pripnemo papirni trak in ga potegnemo skozi brnač. Brnačudarja v enakomernih časovnih intervalih ∆t na trak skozi indigo papir in natraku pušča sledi. Časovni interval je pri različnih brnačih različen in meri 0,02 s,0,025 s ali 0,1 s. V tem primeru se formule, ki smo jih zapisali v prejšnjem po-glavju, poenostavijo v toliko, da ni potrebno računati časovnih razlik za vsakinterval posebej; vzamemo kar ∆t v (14) in (17) ali 2∆t v (15) in (18). Ker v for-mulah (14) in (15) potrebujemo le razlike leg telesa, lahko direktno odčitavamo lerazdalje med pikami na traku, ne pa razdalje od začetka traku do izbrane pike.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

•••• • • • • • • • • • • • • • •0,1 s 0,2 s 0,3 s∆t = 40 ms

14,4 mm 17,6 mm| | |

Slika 3: Primer analize traku: pike so v razmiku 20 ms, iz odčitane razdalje(14,4 mm), ki ustreza dvojnemu časovnemu intervalu ∆t = 40 ms, izračunanohitrost v = 14,4 mm/40 ms = 0,36 m/s pripišemo času 0,18 s, tisto, ki ustrezarazdalji 17,6 mm pa času 0,22 ms.

Ultrazvočni slednik. Slednik odda kratek ultrazvočni signal, ki se odbije od te-lesa in vrne do slednika. Iz časa potovanja signala in iz znane hitrosti zvoka vzraku naprava izračuna razdaljo do telesa. Slednik je povezan z računalnikom,ki zabeleži čas, ob katerem je oddal signal, in izmerjeno razdaljo. Postopek pona-vlja v enakomernih časovnih intervalih in izmerke shranjuje v računalniku v oblikitabele. Dolžino časovnega intervala (frekvenco oddajanja signalov) lahko nasta-vljamo. Računalnik prikaže odvisnost lege od časa tudi grafično.

19

Svetlobna vrata. Na vozičku je nameščena ploščica, ki prekine curek svetlobev svetlobnih vratih (Slika 4). Vrata so povezana z računalnikom, ki zabeleži časprekinitve (t1). Ko ploščica pride iz svetlobnih vrat, računalnik ponovno zabeležičas (t2). Iz razlike časov in znane dolžine ploščice (d), računalnik lahko določi(povprečno) hitrost vozička v̄ = d/(t2 − t1). Dolžino ploščice moramo vpisati vračunalnik.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

......

.......

.......

.......

.......

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......

..........................

.................................................................................................................................................. .....

.........................

.....................................................................................................................................................• •

..................................................................................................................................................................................................................................................

......

.......

.......

.......

.......

.......

......

.......

.......

.......

........................................................................................................................

.......

......

.......

.......

.......

......

.......

........................................................

....................................

....................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................

..

.

•

•voziček

zgoraj enokraka ploščicaspodaj dvokraka ploščica

vratas curkom svetlobe

Slika 4: Svetlobna vrata

Če želimo izmeriti več leg in časovnih intervalov, vzamemo namesto ploščiceletev, na kateri so enakomerno razporejene izmenoma prozorne in neprozorneproge. Računalnik beleži čase, ko se curek prekine in ko se zopet pojavi. V temprimeru časovni intervali niso konstantni, pač pa so konstantne poti, ki jih teloopravi v teh intervalih, saj ustrezajo kar širinam svetlih oz. temnih prog.

Elektronska štoparica. Pospešek pri enakomerno pospešenem gibanju (prostempadu) merimo z elektronsko štoparico. Jekleno kroglico na začetku drži elektro-magnet. Ko tok skozi elektromagnet prekinemo, začne kroglica padati, hkrati pasignal sproži začetek merjenja časa v elektronski štoparici (ki je lahko kar raču-nalnik). Kroglica pade v čašo, kar ponovno sproži signal in ustavi merjenje časa.Pospešek (težni) dobimo iz enačbe za pot pri enakomerno pospešenem gibanjuh = 12 at

2 (ob privzetku, da je bila hitrost na začetku enaka 0).Merimo pri dveh različnih višinah, h1 = 12 at

21 in h2 =

12 at

22. Enačbi odštejemo

in dobimo

h1 − h2 = 12 a(t21 − t22) ali a =2(h1 − h2)

t21 − t22. (25)

Prednost metode je v tem, da nam ni potrebno poznati točne višine, ki jo kro-glica prepotuje, temveč le razliko višin. Zadostuje, da izmerimo le premik višineprožilnega mehanizma, kar lahko določimo veliko bolj natančno kot samo višino.

20

3.3 Vrtenje

Pri vrtenju telesa se namesto lege telesa pojavi kót zasuka ϕ, namesto hitrosti inpospeška pa kotna hitrost ω in kotni pospešek α. Kot merimo v radianih, ki nimajodimenzije, zato enote ne pišemo. Polni kot v radianih meri 2π, pretvornik medkotom v stopinjah in kotom v radianih je ϕ(v radianih) = (π/180) ϕ(v stopinjah).Velja

ω =dϕdt

in α =dωdt

, (26)

Če izmerimo zaporedje kotov ϕi, i = 1, N ob časih ti, i = 1, N, izračunamo kotnohitrost kot

ω(ti) =∆ϕ∆t

=ϕi+1 − ϕi−1ti+1 − ti−1

(27)

inα(ti) =

∆ω∆t

=ωi+1 −ωi−1ti+1 − ti−1

. (28)

Kote zasuka in pripadajoče čase merimo s svetlobni vrati, tako da letev nado-mestimo s krožno ploščo, na kateri se enakomerno po 15◦ menjavajo prozorni inneprozorni krožni izseki.

3.4 Gibanje v ravnini: poševni met

Gibanje v ravnini razstavimo v gibanje v vodoravni in gibanje v navpični smeri.Če zanemarimo upor zraka, na telo deluje le gravitacijska sila v navpični smeri.V vodoravni smeri je zato gibanje premo enakomerno s konstantno hitrostjo, kije kar enaka komponenti začetne hitrosti v0 v tej smeri:

vx(t) = v0x = v0 cos ϑ , x(t) = x0 + v0 cos ϑ t , (29)

pri tem je ϑ dvižni kot. V navpični smeri je gibanje enakomerno pospešeno s po-speškom a = −g, če kaže os y navzgor, oz. a = g, če kaže os y navzdol. Velja

vy(t) = v0y + at = v0 sin ϑ + at , y(t) = y0 + v0 sin ϑ t + 12 at2 . (30)

Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v začetno točko, potem velja x0 =y0 = 0. Iz enačbe za lego x v (29) izrazimo čas, t = x/v0 cos ϑ, in vstavimo venačbo z a y v (30). Dobimo enačbo parabole:

y = x tan ϑ +a

2v20 cos ϑ2x2 . (31)

21

Čas leta in domet. Najprej izračunajmo čas tm, ki ga telo potrebuje, da doseženajvečjo višino. Tam je hitrost v smeri y enaka 0, vy(tm) = 0 in iz prve enačbe(30) tako sledi tm = v0 sin ϑ/g (za a = −g). Čas leta telesa v primeru, ko imatelo na koncu enako višino kot na začetku, pa je enak kar dvakratnemu času,potrebnemu, da doseže največjo višino, saj za pot navzdol porabi enako kot zapot navzgor.

tD = 2tm =2v0 sin ϑ

g. (32)

V tem času prepotuje v vodoravni smeri pot

xD(ϑ) =2v20g

sin ϑ cos ϑ =v20g

sin 2ϑ . (33)

Domet je največji, ko je sin 2ϑ = 1, torej pri 2ϑ = 90◦, ϑ = 45◦. Z nekaj znanjatrigonometrije se lahko prepričamo, da velja

xD(ϑ) = xD(90◦ − ϑ) , (34)

kar pomeni, da je na primer domet pri kotu 60◦ enak dometu pri 30◦.Če poznamo obe komponenti hitrosti vx(t) in vy(t) ob času t, lahko izraču-

namo velikost hitrosti in njeno smer

v(t) =√

vx(t)2 + vy(t)2 , tan ϕ =vy(t)vx(t)

, (35)

pri čemer je ϕ kot, ki ga vektor hitrosti tvori z vodoravnico.Eksperimentalno merimo čas leta z elektronsko štoparico, za proženje začetka

uporabljamo svetlobna vrata. Domet merimo s kovinskim trakom.

3.5 Eksperimentalni postopki

Iztekanje iz posode. Posoda, napolnjena z vodo, ima na dnu cevko s polmeromr, skozi katero izteka vodni curek v vodoravni smeri. Vodni curek ima oblikoparabole (31) za ϑ = 0 in a = g. Če odčitamo višine (globine) y pri različnihvrednostih vodoravne koordinate x, lahko preverimo, če je tir res parabola. Vgraf nanašamo na vodoravno os vrednosti x2, na navpično pa y. Če izmerjenetočke v okviru pričakovanih napak pri merjenju ležijo na premici, lahko izjavimo,da je tir res parabola. Naklon premice v grafu y = y(x2) je kar

k =g

2v20,

22

od koder iz znanega g = 9,8 /s2 izračunamo začetno hitrost v0.Hitrost curka, ko zapusti ustje cevi, lahko določimo tudi iz enačbe za prostor-

ninski pretok po cevi,ΦV = v0 S = v0 π r2 ,

pri čemer je ΦV pretočena prostornina vode v času t, ΦV = V/t, in r polmer cevi.Prostorninski pretok izmerimo tako, da lovimo vodo v čašo, ki jo nato prelijemov merilno posodo (menzuro). Merimo seveda še čas natakanja t. Polmer cevkedoločimo s pomočjo zbirke svedrov, tako da poiščemo sveder, ki se najbolj prilegaodprtini in s kljunastim merilom izmerimo njegov premer.

Digitalna video kamera ali fotoaparat. Z digitalnim fotoaparatom ali video ka-mero, ki omogoča večje število posnetkov v sekundi (vsaj 25), posnamemo po-ševni met telesa (recimo košarkarske žoge). V ravnini meta postavimo dve me-rilni palici v vodoravnem in navpičnem položaju. Fotoaparat postavimo v dovoljveliki oddaljenosti od ravnine meta, tako da ne moti paralaksa.

Zaporedje slik prenesemo v računalnik. Slike so pravzaprav lahko spravljenekar v računalniški pomnilniški enoti, ki jo preko USB vhoda priključimo na raču-nalnik. Prva slika naj bo tista, na kateri telo (žoga) že prosto leti. Slike odpiramos programom za grafično prikazovanje slik (recimo Slikar (MSPaint) ali GIMP), kiprikazuje lego miškinega kazalca v pikslih.

Odpremo prvo sliko in z miško odčitamo koordinate središča žoge. Če izbe-remo risanje poligonov ali kaj podobnega, bo znak, ki kaže lego miške, v oblikikriža, in določitev središča bo lažja. Koordinate so v pikslih; koordinatno izho-dišče je v zgornjem levem kotu, tako da je navpična os usmerjena navzdol. Pre-tvornik med piksli in dejanskimi metri dobimo tako, da odčitamo dolžini obehmetrskih palic na sliki. Če fotoaparat zajame 30 slik v sekundi, si slike sledijov razmikih 1/30 sekunde (podatek je mnogo bolj natančen kot kateri koli drugpodatek pri poskusu). Podatke vnesemo v tabelo in koordinate preračunamo vmetre. Koordinatno izhodišče prestavimo v središče žoge na prvem posnetku, osy lahko usmerimo navzgor.

Iz koordinat v tabeli izračunamo vodoravno in navpično komponento hitrosti.Narišemo grafa vx(t) in vy(t) in skozi izmerjene točke potegnemo premici, ki senajlepše prilegata izmerjenim vrednostim. Iz naklona premice v grafu vy(t) do-ločimo pospešek; z ekstrapolacijo obeh premic k času 0 pa vektor začetne hitrostiin dvižni kot (glej (35)).

23

4 Merjenje sil in snovnih lastnosti

4.1 Merjenje sil z računalnikom

Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost.Signal vodimo do računalnika, ki prikaže časovno odvisnost napetosti (in po-sredno sile). Računalnik tudi izračuna časovno povprečje napetosti v merjenemčasovnem intervalu.

Pretvornika med silo in napetostjo ne poznamo, zato je potrebno senzor ume-riti z znanimi silami. To najlaže naredimo tako, da na senzor obešamo uteži zznanimi masami m in narišemo graf, ki kaže odvisnost teže (Fg = mg) od napeto-sti U. (Ker je v tem primeru sila konstantna, je smiselno na računalniku odčitavatipovprečno silo.) Pričakujemo, da bo zveza med silo in napetostjo linearna:

F = k U + F0 . (36)

Koeficienta k in F0 določimo s prilagajanjem premice skozi izmerjene točke vgrafu Fg(U).

Popravek zaradi orientacije senzorja Neobremenjeni senzor pokaže različnovrednost napetosti glede na to, kako je orientiran. Ko je postavljen navpično,poleg merjene sile kaže tudi težo kaveljčka, na katerega obešamo uteži. Zatonaša umeritev velja le v navpičnem položaju senzorja, če pa senzor uporabljamov drugačnem položaju, moramo to upoštevati. Hitro se lahko prepričamo, da imav tem primeru popravek obliko

F = k U + F0 + F1(1− sin ϕ) , (37)pri čemer je F1 teža priključnega mehanizma, kot ϕ pa merimo tako, da je ϕ =0 v vodoravnem položaju in ϕ = 90◦ v navpičnem položaju (torej v položaju,v katerem umerjamo senzor). Težo F1 določimo tako, da neobremenjen senzorpostavimo v vodoravni položaj in izmerimo napetost U0, nato pa še v navpičnipoložaj, izmerjeno napetost v tem položaju označimo z U90:

0 = k U0 + F0 + F1 , 0 = k U90 + F0 .

Levi strani sta v obeh primerih enaki 0, saj je senzor neobremenjen. Iz obeh enačbizrazimo F1 kot F1 = −k (U0 − U90) ≡ −k ∆U, pri čemer smo z ∆U označilirazliko napetosti v obeh legah, ∆U = U0 −U90. Enačbo (37) prepišimo v obliko

F = k (U − ∆U(1− sin ϕ)) + F0 , (38)od koder bomo iz znanih parametrov k, F0 in ∆U določali zvezo med silo in na-petostjo ter kotom.

24

Sile na klancu Voziček na klancu z naklonskim kotom ϕ z vrvico povežemos senzorjem za silo. Ker voziček miruje, je sila vrvice – in s tem sila, ki jo kažesenzor, – (nasprotno) enaka dinamični komponenti teže vozička:

F = mvg sin ϕ . (39)

Pri računanju sile iz napetosti moramo v tem primeru vzeti enačbo (38).

Merjenje koeficienta lepenja Na mirujočo klado na klancu delujeta teža in silapodlage, ki jo razstavimo na pravokotno silo podlage F⊥ = mkg cos ϕ in silo le-penja Fl, ki ima smer klanca. Dokler klada miruje, sta v ravnovesju sila lepenjain dinamična sila teže, Fl = mkg sin ϕ. Ko kot povečujemo, narašča sila lepe-nja in doseže največjo vrednost, tik preden klada zdrsne. Koeficient lepenja kl jedefiniran kot razmerje med največjo silo lepenja in pravokotno komponento silepodlage:

kl =Fl(max)

F⊥=

mkg sin ϕ0mkg cos ϕ0

= tan ϕ0 , (40)

če je ϕ0 največji kot, pri katerem klada še ne zdrsne.Naklonski kot določimo z merjenjem višine h in dolžine klanca l, sin ϕ = h/l.Klado povežemo s silomerom kot v prejšnjem primeru. Dokler je naklonski

kot klanca manjši od ϕ0, je vrvica nenapeta in silomer ne kaže nobene sile. Prikotih večjih od ϕ0, pa je sila vrvice enaka razliki med dinamično komponentoteže in največjo možno silo lepenja Fl(max). Silomer kaže

F = mkg sin ϕ− klmkg cos ϕ , (41)

od koder lahko izluščimo kl pri različnih kotih.∗ Vpeljemo x = sin ϕ in enačbo (41) prepišemo v obliko

F = mkg(

x− kl√

1− x2)

(42)

Izmerjene sile pri različnih kotih ϕ > ϕ0 vnesemo v graf F = F(x) in s prilagaja-njem funkcije (42) v programu Gnuplot določimo kl in njegovo napako.

25

4.2 Ravnovesje treh sil

Telo (obroček v sredini plošče na sliki 5) je v ravnovesju, če je vsota vseh sil enaka0. Če označimo kote, tako kot na sliki, velja za komponente v smereh y in x:

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................

............................

......................................................

................

...........................................................................

................................................................................................................

...............

................

...............

...............

...............

................

...............

...............

................

...............

...............

...............

................

...............©

......................................................................................................................................................................................................................©

.....................................................................................................................................................................................................................©

⊙>

∧

x

y

m1

m3

m2

αβ

y : m1g−m2g sin α−m3g sin β = 0x : m2g cos α−m3g cos β = 0

Slika 5: Ravnovesje treh sil

4.3 Ravnovesje navorov

Za ravnovesje togega telesa (krožne plošče na sliki 6) velja, da mora biti vsotavseh sil enaka 0 in hkrati vsota vseh navorov enaka 0. Težo in sile uteži uravno-vesi sila podlage, za ravnovesje navorov pa velja

m1gr1 sin ϕ−m2gr2 = 0 ,

pri tem sta r1 in r2 ročici, merjeni od središča plošče do prijemališč sil, ϕ pa kotmed ročico in silo prve uteži.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................

.........................

................................

......................................................

..............................

......

......

......

............................................................................................

...........................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

⊙•....................................................................................................................................................................................................................................

•..........................................................................................................................................................................................................................©⊙.........................................................................................

m1

m2

r1r2

ϕ

Slika 6: Ravnovesje navorov

26

4.4 Hookov zakon

Deformacije teles Telesa se pod vplivom zunanjih sil lahko deformirajo. Čese telesa zaradi zunanjih sil deformirajo, a se po prenehanju delovanja teh silvrnejo v prvotno obliko, je deformacija elastična. Tako se palica, na katero delujev vzdolžni smeri zunanja sila, elastično razteza ali krči. Podaljša se, če delujev palici napetost F/S, kjer je S presek palice, in skrči, če palico stiskamo in je vnjej tlak p = F/S. Podaljšek pri nategu in skrček pri stisku s je odvisen še odprvotne dolžine palice l. Relativni raztezek ali relativni skrček e = s/l je odvisenle od napetosti oz. od tlaka p. Poskusi pokažejo, da je zveza med napetostjo oz.tlakom p in relativnim raztezkom e linearna:

e =1E

p. (43)

Zvezo imenujemo Hookov zakon. Sorazmernostna konstanta E v (43) je snovnakonstanta, ki je značilna za elastično snov. Konstanta se imenuje prožnostni modul.Za vsako snov obstaja meja prožnosti, to je tista napetost, do katere je deformacijaelastična. Pri večjih napetostih se snov deformira trajno (plastična deformacija). Prinekaterih snoveh je praktično vsaka deformacija plastična.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................... ................................................................................................................. ......................

.............

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

............. ..........................

..........................................

.............

.............

.............

..........................

.................................................................

~F ~F

s

l

S

Slika 7: Elastično raztezanje trdnih snovi

Opis meritve Na žični kavelj na okvirčku obesi predutež, da se žica nekolikozravna. Merilno uro naravnaj na ničlo. Izmeri raztezek žice pri vsaj desetih obre-menitvah in rezultate vnesi v graf F(s). Skozi točke nariši premico in ugotovi,če je odvisnost res linearna, t.j. F = ks + F0. Iz k = ES/l izračunaj prožnostnimodul. Zato potrebuješ še dolžino žice l in njen presek S. Premer izmeri z mikro-metrskim merilom. Izračunaj tudi napako modula.

4.5 Površinska napetost

Napravimo poskus s tanko žično zanko z radijem r, kot kaže slika 8. Da zankoizvlečemo iz kapljevine, moramo premagati silo površinske napetosti F, ki je soraz-merna dolžini zanke b, vzdolž katere se vleče površina kapljevine:

F = γ b. (44)

27

Ker zanka trga površino kapljevine po obeh obodih zanke, moramo upoštevatidvojni obseg (b = 2 · 2π r). Sorazmernostni koeficient γ imenujemo kar površinskanapetost.

......

.........................................

........................

.................................

..................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................

..................................

............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................

.............................

......................

.........................................

.......

.........................................

........................

.................................

..................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .......

............................

...............................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................

.......

................

..........................

..............................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

~F

b• •

•

•.....................................................................................................................................................................

......................

- - - - -

- - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - -

- - - - -

Slika 8: Merjenje površinske napetosti

•h

~F

2r

θ

-

- -

-

.......

................................................................................................

.......................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.........................

......................

.................................. ..................................

......................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.............

.......

......

.......

......

.......

......

.............

.............

..............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Slika 9: Kapilarni dvig kapljevine.

Površinska napetost povzroča, da nivoja kapljevine v kapilari, vtaknjeni v ka-pljevino, in zunanje kapljevine nista enako visoko. Voda steklo omoči, živo srebropa ne. V kapilari, potopljeni v posodo z vodo, se voda dvigne, živo srebro v ka-pilari pa zniža pod nivo živega srebra v posodi. Voda oblikuje svojo površino vobliki, podobni krogelni kapici. Skupna sila F, ki deluje na tekočino v kapilarinavzgor, je F = γ 2π r cos θ, kjer je θ kot med površino kapljevine in steklenosteno (glej sliko 9), r pa je radij kapilare. Tej sili drži ravnovesje teža vodnegastebrička: $ π r2g h. Zato velja:

$ g h =2γ cos θ

r. (45)

Ker je razmerje r/ cos θ enako radiju krogle z radijem R, lahko (45) zapišemo:

$ g h =2γR

. (46)

Če je kot θ = 180o, je premer kapilare enak dvojnemu radiju 2R. Z merjenjemvišinske razlike h lahko dobimo površinsko napetost γ, npr. vode ali kake drugekapljevine.

Površinsko napetost izmerimo tudi tako, da stehtamo silo, ki je potrebna, dažična zanka pretrga površino tekočine.

28

4.6 Merjenje gostot

Definicija gostote Gostota je definirana je s kvocientom mase m in prostornineV, $ = m/V. Tako definirana gostota pa velja le za homogene snovi. V splošnempa moramo gostoto definirati s kvocientom $ = dm/dV. Če se v snovi ta vrednostspreminja, je snov heterogena, če pa se s krajem gostota ne spreminja in je torej povsem telesu enaka, je snov homogena.

Pri večjih in geometrijsko simetričnih telesih prostornino izmerimo brez težav,maso stehtamo in gostoto izračunamo. Pri manjših telesih in pri telesih z nepra-vilno obliko uporabljamo različne metode merjenja gostote. Včasih lahko meritevizvedemo s piknometri. Z njimi lahko določamo gostote trdnin in kapljevin. Pikno-meter je bučka z luknjico v steklenem zamašku, s katerim natanko opredelimoprostornino kapljevine. Pri piknometrski metodi določanja gostote kapljevin teh-tamo piknometer, napolnjen z vodo (mv), piknometer, napolnjen s kapljevino,katere gostoto želimo izmeriti (mm) in prazen piknometer (mp). Prostornino vodev piknometru določa enačba V = (mv−mp)/$v, kjer je $v gostota vode. Podobnovelja za prostornino kapljevine, katere gostoto želimo meriti: V = (mm −mp)/$,kjer je $ gostota merjenca. Glede na to, da sta prostornini obeh kapljevin enaki, jegostota merjene kapljevine glede na gostoto vode $v enaka

$ = $vmm −mpmv −mp

. (47)

Podobno ravnamo tudi, ko merimo gostoto trdnin. Tehtamo najprej merjenecmm, nato piknometer z vodo mv in nato piknometer z vodo in merjencem mmv.Masa z merjencem izpodrinjene vode je mm +mv−mmv. Prostornina te vode, ki jehkrati prostornina merjenca, pa je Vm = (mm + mv −mmv)/$v. Gostoto merjencadobimo po enačbi

$ =mmVm

= $vmm

mm + mv −mmv. (48)

Pri obeh merjenjih moramo poznati gostoto vode: ta je pri normalnih pogojih je$v = 1, 000 · 103 kg/m3.

Opis postopka Stehtaj prazen in suh piknometer s pokrovčkom. Vanj natočivodo, izmeri skupno maso, ponovi enako še z alkoholom. Meri kar se da na-tančno (na vsaj 4 mesta). V piknometer naliješ vodo oz. alkohol do vrha pikno-metra tako, da odvečna kapljevina odteče skozi luknjico v pokrovčku piknome-tra. Tehtaš torej piknometer skupaj s pokrovčkom. Pazi, da je bučka piknometrapred merjenjem skrbno obrisana. Izračunaj gostoto alkohola.

Določi skupno maso piknometra (s pokrovčkom) in kovinskih ali katerih dru-gih delčkov mmp (prazen piknometer s pokrovčkom si že stehtal), da ugotoviš

29

maso merjenca (mm = mmp − mp). Dolij vode do vrha, piknometer zapri s po-krovčkom, ga osuši in določi skupno maso merjenca, piknometra in vode. Masomerjenca z vodo si že določil. S temi podatki izračunaj gostoto merjenca kar seda natančno.

Merjenje z vzgonom Gostoto trdnin in kapljevin lahko merimo še z metodo,pri kateri izkoristimo vzgon teles. Stehtamo merjenec v zraku (Fg) in ko je ta poto-pljen v vodi (F′g). Razlika obeh tež je enaka teži izpodrinjene vode: Fgv = Fg − F′g.Iz nje izračunamo prostornino izpodrinjene vode, ki je hkrati prostornina mer-jenca: Vv = Fgv/g$v = (Fg − F′g)/g$v. Gostota merjenca je

$ =Fg

gVm=

FggVv

= $vFg

Fg − F′g. (49)

Stehtaj telo v zraku in potopljeno telo v vodi kar se da natančno. Ti podatkizadoščajo za izračun gostote telesa.

4.7 Merjenje gostote zraka

Tudi gostoto zraka lahko izmerimo. Najprej stehtamo prazno bučo mb in natobučo, napolnjeno s stisnjenim zrakom mz, ki smo ga spravili v bučo s tlačilko.Razlika obeh mas mz −mb je masa zraka, ki smo ga stisnili v bučo. Ko ta stisnjen

Slika 10: Merjenje gostote zraka

zrak spustimo v posodo z vodo, zrak iztisne vodo v menzuro, ki ji lahko izme-rimo prostornino. Tako dobimo prostornino zraka V, ki smo ga stlačili v bučo,pri normalnih pogojih. Zato je gostota zraka

$ =mz −mb

V. (50)

30

Stehtaj bučo z zrakom pri normalnih pogojih. Zapri ventil in bučo napolniz zrakom s pumpanjem. Stehtaj bučo z dodatnim zrakom. Uporabi tehtnico znatančnostjo 1/100 g. Prostornino stisnjenega zraka dobiš z bolj zapleteno na-pravo. Najprej v cev natočiš vodo, ki jo potem, ko odpreš ventil buče, iztisnezrak. Prostornina v bučo stisnjenega zraka je pri normalnem tlaku enaka prostor-nini iztisnjene vode.

4.8 Viskoznost

Za kapljevine je značilna snovna konstanta viskoznost. To nekaj pove o lastnosti,ki je povezana z notranjim trenjem v kapljevinah. Zaradi te lastnosti se nekaterekapljevine lažje pretakajo skozi lijak kot druge. Pri opredelitvi viskoznosti mo-ramo vpeljati strižno napetost. Ta je povezana s silami, ki ne delujejo pravokotnona ploskev kot pri Hookovem zakonu, ampak prijemljejo in delujejo vzdolž plo-skve S. Če je med dvema vzporednima ploščama plast tekočine s površino S inzgornjo ploščo vlečemo s silo F se pojavi v tekočini strižna napetost σs = F/S(glej sliko 11). Pri tem se gornja plošča giblje s konstantno hitrostjo v in z njo vredse giblje sosednja plast kapljevine tik ob tej plošči. Spodnja plast tik ob spodnjiplošči pa skoraj miruje. V kapljevini se torej z višino hitrost povečuje. Naraščanjeopredelimo z gradientom hitrosti v/z, kjer je z razdalja med obema ploščama. Po-skusi kažejo, da je strižna napetost σs premo sorazmerna gradientu hitrosti v/z:

σs = ηvz

. (51)

To je zakon o viskoznosti. Sorazmernostna konstanta v tej enačbi je viskoznost η. Od-visna je od temperature. Viskoznost η je značilna snovna konstanta za kapljevinoin jo najdemo v posebnih tabelah.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

...........................

......................

................................................... ...............

....................................................................................... ...............

.......................................................................................................................... ...............

.............................................................................................................................................................. ...............

................................................................................................................................................................................................. ...............

..................................................................................................................................................................................................................................... ...............

........................................................................................................................................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............

.............................................................................................

.......

................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

................

...............

x

z

l

~v

.........................................................................................................................................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Slika 11: Viskoznost kapljevin.

Podobno kot v tem primeru gibanja ene od dveh plošč povzroči zaviralne siletudi gibanje kroglice skozi kapljevino. Po precej zapletenem računu najdemo, daje sila upora na kroglico v gosti tekočini enaka

F = 6 π r η v, (52)

31

kjer je r radij kroglice in v njena hitrost. Če spustimo kroglico z gostoto $ v kaplje-vino z gostoto $k, delujeta nanj še teža mg = $ g V in sila vzgona mkg = $kg V.V stacionarnem stanju silo teže uravnovešata sila upora in vzgon. Velja: $ g V =$kg V + 6 π r η v. Iz te enačbe lahko izračunamo viskoznost

η =2($− $k) g r2

9 v, (53)

kjer smo vstavili za prostornino kroglice 4 π r3/3. Če izmerimo hitrost padanjakroglice v in poznamo obe gostoti ter radij kroglice, lahko izračunamo viskoznostη.

Koeficient viskoznosti tekočin določiš z merjenjem hitrosti padanja steklenihkroglic v glicerinu. Izmeri še premer kroglic in njihovo maso in od tod izračunajgostoto stekla. Gostota glicerina je podana in je ni treba meriti.

32

5 Merjenje gibalne količine, energije in temperature

5.1 Merjenje gibalne količine pri trkih

Če je rezultanta zunanjih sil enaka nič, je sunek sile enak nič in gibalna količina seohranja. Če sta v sistemu dve telesi z masama m1 in m2, se pri trku njuna skupnagibalna količina ohranja. Izrek o ohranitvi skupne gibalnih količin zapišemo kot

m1~v1 + m2~v2 = m1~v′1 + m2~v′2, (54)

pri čemer pomenita ~v1 in ~v2 hitrosti teles pred trkom in ~v′1 in ~v′2 hitrosti teles po

trku.

Postopek merjenja Z roko ali s sprožilcem suni enega od vozičkov v drugi mi-rujoči voziček, ki je postavljen med svetlobna vrata tako, da prvi voziček predtrkom že zapusti svetlobna vrata na svoji strani. (Princip delovanja svetlobnihvrat je opisan v prvem sklopu vaj.) Pri neprožnem trku se po trku gibljeta vozičkav smeri gibanja prvega vozička pred trkom. Pri prožnem trku pa je hitrost prvegavozička po trku odvisna od razmerja mas vozičkov. Svetlobna vrata izmerijo leabsolutno vrednost hitrosti, zato moraš njen predznak določiti sam z opazova-njem gibanja vozička.

Rezultat predstavi kot razliko med končno in začetno velikostjo skupne gi-balne količine, deljene z velikostjo začetne gibalne količine.

33

5.2 Ohranitev energije pri kotaljenju

V splošnem ima togo telo lahko kinetično in potencialno energijo. Kinetična energijaje sestavljena iz dveh delov, translacijske energije 12 m v

2 in rotacijske energije 12 J ω2.

Sprememba gravitacijske potencialne energije telesa je ∆Wp = m g (z2 − z1), kjerpomeni z2 − z1 višinsko razliko težišča togega telesa. Če je vsota vseh zunanjihsil enaka nič, se energija ohranja. To velja tudi, če deluje na sistem le teža. Tedajvelja izrek o ohranitvi energije

12 m v

22 +

12 J ω

22 + m g z2 =

12 m v

21 +

12 J ω

21 + m g z1. (55)

Indeks 2 se nanaša na končni položaj telesa, indeks 1 pa na začetni položaj togegatelesa.

Na vrhu klanca telo miruje in ima le potencialno energijo MgzT. Po klancunavzdol se kotalečemu se telesu manjša potencialna energija, povečuje pa tran-slacijska kinetična energija težišča 12 M v

2T in rotacijska energija okrog osi skozi

težišče 12 J ω2. Če je delo navora lepenja zanemarljivo majhno, lahko računamo,

da se ohranja celotna energija teles. Na koncu je potencialna energija enaka 0 invelja

M g zT = 12 M v2T +

12 Jω

2 . (56)

•

ββzT

r

~vT

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..