La serie de Fibonacci y la división Áurea La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par solo en un mes, y en el segundo mes los nacidos son capaces de parir también”. Leonardo halló la respuesta mediante una tabla que le daba los resultados por cada mes, y juntando sus números, formó su Serie, que va: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 y así hasta el infinito. Se preguntarán, como me pregunté yo, ¿Y qué tiene de especial eso? Pues aunque Leonardo no se percató, tiempo después otros matemáticos analizaron su serie, y descubrieron que cada término de la serie es la suma de los dos precedentes: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 y así... y así... y así. Pero lo verdaderamente interesante de la serie de Fibonacci es que la división de sus términos se aproxima al número de oro, dividiendo cada cifra de la serie entre la cifra que le antecede, obviamente conforme la serie avanza, la aproximación es mayor:

• 8/5=1.60 • 13/8=1.625 • 21/13=1.61538 • 34/21=1.61904 • 55/34=1.61764 • 89/55=1.61818 • 144/89=1.61797 • 233/144=1.61805 • 377/233=1.61802 • 610/377=1.61803

El número de oro se encuentra en toda la Serie de Fibonacci, y la Serie de Fibonacci se encuentra en la naturaleza, el universo y el mismo cuerpo humano: La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la Serie de Fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. La espiral logarítmica, por ejemplo, es una curva que ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de

moluscos), aquellas en las que, la forma siempre se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus. En una espiral logarítmica, la distancia entre las espiras aumenta constante y armónicamente hacia afuera, siguiendo la Serie de Fibonacci; y la espiral basada en la sección áurea está también presente en la doble hélice del ADN; base de la vida orgánica. La espiral de la molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 angstroms de ancho para cada ciclo de la doble hélice, 34 y 21 son números de la Serie de Fibonacci, y su razón es 34/21=1.6180:

Esta configuración espiral está también presente en muchas galaxias, las llamadas, precisamente, galaxias espirales: De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Éduard Lucas, quien además es el responsable de haberla denominado de esta manera. También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi cuanto más se acerque n a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Bela Bartok u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

La sucesión de Fibonacci, el número áureo y la sección áurea en la naturaleza

Para que las hojas o las ramas de una planta, colocadas en hélice ascendente sobre la rama o el tronco, tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas según un ángulo constante igual a 360º (1 – φ) ≈ 137º 30′ 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…” Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. La letra griega φ representa a la sección áurea como descrita anteriormente. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci en la cultura popular En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. • En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción Lateralus siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,…

• En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus

naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci. • En el filme de Darren Aronofsky Pi: el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.

• Matemáticamente, tenemos que, se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente: Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando tenemos:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son:

La solución positiva es el valor del número áureo.