INTRODUCCIN A LAS ESPIRALES

Las fuentes de donde procede la informacin que se expone a continuacin son diversas, la mayor parte de los documentos tienen su origen en la wikipedia, los enlaces se han conservado, as que es posible llegar al origen.

Sobre la espiral de Arqumedes

La ruleta de Arqumedes (tambin espiral aritmtica), obtuvo su nombre del matemtico siciliano Arqumedes, quien vivi en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geomtrico de un punto movindose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.

*la recta se mantiene en un plano.

En coordenadas polares (r, ) la espiral de Arqumedes puede ser descrita por la ecuacin siguiente:

siendo a y b nmeros reales. Cuando el parmetro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos.

Arqumedes describi esta espiral en su libro De las Espirales.

Esta curva se distingue de la espiral logartmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separacin constantes (iguales a 2b si es medido en radianes), mientras que en una espiral logartmica la separacin est dada por una progresin geomtrica.

Hay que notar que la espiral de Arqumedes tiene dos brazos, uno para > 0 y otro para < 0. Los dos brazos estn discretamente conectados en el origen y slo se muestra uno de ellos en la grfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo.

A veces, el trmino es usado para un grupo ms general de espirales.

La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras espirales que caen dentro del grupo incluyen la espiral hiperblica, la espiral de Fermat, y el Lituus. Virtualmente todas las espirales estticas que aparecen en la naturaleza son espirales logartmicas, no de Arqumedes. Muchas espirales dinmicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrn producido por una rueda de Catherine) son del grupo de Arqumedes.

Tabla de contenidos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiral_de_Parker&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/Lituushttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_hiperb?licahttp://es.wikipedia.org/wiki/Progresi?n_geom?tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar?tmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N?meros_realeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom?tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arqu?medes

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1 Aplicaciones 2 Vase tambin 3 Referencias

4 Enlaces externos

Aplicaciones [editar]

Mechanism of a scroll pump

La espiral de Arqumedes tiene una pltora de aplicaciones en el mundo real. Muelles de compresin, hechos de dos espirales de Arqumedes del mismo tamao intercaladas, son usadas para comprimir lquidos y gases.

Los surcos de las primeras grabaciones para gramfonos (Disco de vinilo) forman una espiral de Arqumedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabacin que podra acomodarse dentro de la grabacin (aunque esto fue cambiado posteriormente para incrementar la cantidad del sonido).

Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arqumedes es una manera de cuantificar el temblor humano, esta informacin ayuda en el diagnstico de enfermedades neurolgicas. Estas espirales son tambin usadas en sistemas DLP de proyeccin para minimizar el Efecto de Arco iris, que hace que parezca que se proyectan varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se proyectan ciclos de rojo, verde y azul rpidamente.

Un mtodo para la Cuadratura del Circulo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de una regla y un comps en las pruebas geomtricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral de Arqumedes. Tambin existe un mtodo para trisecar ngulos basados en el uso de esta espiral.

Espiral de FermatDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermat#searchInput#searchInputhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermat#column-one#column-onehttp://es.wikipedia.org/wiki/?ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Grecia_antiguahttp://es.wikipedia.org/wiki/Comp?s_(geometr?a)http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c?rculohttp://es.wikipedia.org/wiki/DLP#El_efecto_arco_iris_en_DLPhttp://es.wikipedia.org/wiki/DLPhttp://es.wikipedia.org/wiki/Disco_de_vinilohttp://es.wikipedia.org/wiki/Compresor_(m?quina)http://es.wikipedia.org/wiki/Muelle_el?sticohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiral_de_Arqu?medes&action=edit&section=1http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medes#Enlaces_externos#Enlaces_externoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medes#Referencias#Referenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medes#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medes#Aplicaciones#Aplicacionesjavascript:toggleToc()http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Two_moving_spirals_scroll_pump.gif

Espiral de Fermat.

La espiral de Fermat, denominada as en honor de Pierre de Fermat y tambin conocida como espiral parablica, es una curva que responde a la siguiente ecuacin:

Es un caso particular de la espiral de Arqumedes.

Vase tambin [editar] coordenadas polares espiral

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermat"

Espiral hiperblicaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

Una espiral hiperblica es una Curva Plana trascendental, tambin conocida como espiral recproca. Se define por la ecuacin polar r = a, y es la inversa de la Espiral de Arqumedes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_trascendentalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_Planahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_hiperb?lica#searchInput#searchInputhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_hiperb?lica#column-one#column-onehttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiral_de_Fermat&action=edit&section=1http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Fermat's_spiral.png

Hyperbolic spiral for a=2

Comienza en una distancia infinita del polo central (para comenzando desde cero, r = a/ comienza desde el infinito), y se enrolla cada vez ms rpidamente mientras se aproxima al polo central, la distancia de cualquier punto al polo, siguiendo la curva, es infinito. Aplicando la transformacin desde el sistema de coordenadas polares:

conduce a la siguiente representacin paramtrica en Coordenadas cartesianas:

donde el Parmetro t es un equivalente de en las coordenadas polares.

La espiral tiene una asntota en y = a: cuando t se aproxima a cero, la ordenada se aproxima hacia a, mientras que la abscisa crece hasta el infinito:

http://es.wikipedia.org/wiki/As?ntotahttp://es.wikipedia.org/wiki/Par?metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Hyperspiral.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Hyperspiral.png

La espiral de Arqumedes

La espiral ms simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre s misma. Es muy fcil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme.

La naturaleza no es muy prdiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral, aunque la podemos reconocer en esta serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa. No es extrao esta extraa lengua se llame espiritrompa.

El hecho de que sea la espiral ms sencilla de construir hace que aparezca como motivo ornamental desde las pocas ms remotas. La encontramos ya en tmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas....

La encontramos, en la cermica popular, como motivo decorativo de muchos platos. Esto no es tan extrao si pensamos la extrema facilidad con la que se puede dibujar sobre el torno del alfarero. Basta con ir desplazando el pincel en una direccin determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.

Se la conoce entre los matemticos como Espiral de Arqumedes, ya que fue este notable fsico y matemtico griego el primero que, fascinado por su belleza, realiz un estudio profundo sobre las propiedades matemticas de esta curva...en el siglo III antes de Cristo en un escrito titulado Sobre las espirales.

Matemticamente la espiral de Arqumedes se define como el lugar geomtrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira tambin uniformemente sobre uno de sus extremos.

En palabras del propio Arqumedes:

" Imaginaos una lnea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, mantenindose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la lnea con velocidad lineal constante: ese punto describir una espiral"

Es decir, es una curva mecnica. Para definirla necesitamos recurrir al movimiento. Es de hecho la primera curva mecnica de la historia.

Su ecuacin en coordenadas polares es donde r es la distancia al origen, a una constante y theta es el ngulo girado.

Eureka !!. Dadme un punto de apoyo y mover el mundo !!. Su famoso principio sobre los cuerpos sumergidos en un lquido: "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado".

Son frases de Arqumedes y decididamente sus frases han pasado a la historia.

La historia de su muerte a manos de un soldado romano en la toma de su ciudad natal, Siracusa, por la flota de Marcelo y la frase que calmadamente le dirigi justo antes de ser atravesado por su espada mientras dibujaba en la arena. Quizs una de sus espirales?, "no molestes a mis crculos" hacen de Arqumedes uno de los sabios ms populares de la historia.

Arqumedes se interes por esta espiral al intentar resolver un problema clsico: la triseccin de un ngulo, utilizando solamente regla y comps. . Aunque hoy sabemos que es un problema irresoluble utilizando slo una regla y un comps, Arqumedes encontr una forma de dividir un ngulo en tres partes iguales utilizando la espiral uniforme.

Basta hacer coincidir el vrtice del ngulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ngulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral.

Si unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ngulos que dividen al original en tres partes iguales. Por desgracia para las matemticas la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y comps.

Menos conocidos, pero ms sorprendentes para los matemticos, son sus resultados sobre la espiral uniforme, recogidos en su libro "Sobre las espirales", en el que entre sus 28 proposiciones varias se refieren a las reas de las espirales. Resultados tan complejos como estos:

"El rea barrida por el radio de la espiral en su primera revolucin es la tercera parte del rea del crculo cuyo radio es el radio final de esta revolucin..."

"El rea barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el rea de la primera vuelta".

"El rea barrida en la segunda revolucin est en razn 7/12 con el crculo cuyo radio es la posicin final del radio vector"

Arqumedes va mucho ms all y demuestra que las reas de los sucesivos anillos vienen dadas por esta frmula

donde Rn es el rea barrida en la vuelta n.

Nos reconforta pensar que al igual que cada barco que cruza los mares rinde un homenaje a Arqumedes el fsico por su principio, que cada vez que utilizamos una barra rgida para levantar un gran peso le damos las gracias por sus leyes de la palanca, cada vez que un nio hace un rollo de plastelina y lo envuelve sobre s mismo y lo hace girar est realizando un sencillo pero a la vez hermoso homenaje a Arqumedes el matemtico.

Espirales en la historia de las Matemticas

"Haba ms imaginacin en la cabeza de Arqumedes que en la de Homero"

Voltaire

Uno de los objetivos fundamentales de las Matemticas a lo largo de la historia ha sido y contina siendo interpretar el mundo que nos rodea. Deca Galileo:

" El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemticas, siendo sus caracteres tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos slo se conseguir vagar por un oscuro laberinto"

Mucho antes de que Galileo Galilei expresara de manera tan rotunda una de las funciones de las matemticas, muchos sabios se haban puesto a la tarea de explicar los fenmenos naturales bajo la luz de la razn, con la poderosa herramienta de las matemticas.

Y ante las innumerables manifestaciones naturales de las espirales, tanto de carcter orgnico como mecnico, estas curvas no poda dejar de llamar la atencin de los matemticos y ser objeto de su investigacin. Sin embargo, como su propia forma sugiere son curvas esquivas. No son curvas geomtricas estticas como la circunferencia, las cnicas o las lnulas. Para construirlas se necesitan recursos mecnicos, algo que crece o que se mueve.

Pero, qu es una espiral? La definicin "matemtica" sera esta:

"son curvas planas que comienzan en un punto y cuya curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su radio de curvatura."

Si esta definicin la ampliamos al espacio obtendremos unas curvas espaciales parientes de las espirales, las hlices cnicas.

La forma en se produzca ese cambio de curvatura y ese incremento del radio de curvatura nos colocar ante diferentes tipos de espirales. En el fondo dos son los parmetros que van a definir una espiral su radio en cada punto, la distancia al origen, y el ngulo girado hasta llegar a ese punto.

La historia de las espirales dentro del mundo matemtico ha sido, paradjicamente una historia a saltos.

La espiral uniforme o de ArqumedesEl primer paso de su estudio se remonta al siglo III a. de C. y su protagonista es el genial Arqumedes. Con mtodos que se adelantan en varios milenios a sus contemporneos realiza el primer estudio intensivo sobre la espiral ms simple: la espiral uniforme.

La dificultad de construirla de manera exacta, junto al hecho de no poder construirse con regla y comps hizo que los sabios griegos no le dedicasen toda la atencin que se merecen. Aunque como en todo hay sus excepciones. Estas excepciones las constituyen Conn de Samos y sobre todo Arqumedes de Siracusa (287-212 a. C.)

Sin duda, al menos desde un punto de vista matemtico, la ms simple es aquella en que el radio vara de forma proporcional al ngulo girado. Y a esta es a la que dedic su atencin Arqumedes, a la espiral uniforme, que desde entonces lleva su nombre. La espiral arquimediana.

De Arqumedes se conocen dos libros sobre la geometra plana, uno dedicado a la circunferencia, De la medida del crculo, donde nos proporciona el salto a la fama del nmero pi y una de sus aproximaciones ms usadas hasta nuestro das; y otro dedicado a la espiral uniforme, De las espirales. Un libro complicado y de lectura difcil, donde Arqumedes hace un profundo estudio exhaustivo de la espiral uniforme.

En l demuestra las propiedades de las reas de las diferentes espiras, utiliza la espiral para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el crculo y para dividir un ngulo en tres partes iguales. Una curva que le permiti atacar dos de los tres problemas clsicos: la cuadratura del crculo y la triseccin del

ngulo. Por desgracia para Arqumedes, los griegos exigan la resolucin utilizando slo regla y comps... y su curva, la espiral uniforme no se puede construir slo con esos instrumentos.

Las espirales de DureroHay que esperar ms de 18 siglos para que, esta vez un artista con grandes dotes matemticas, Alberto Durero, en 1525, nos proporcione los mtodos para dibujar otro tipo ms complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnmico, es decir, las que se obtienen la encajar de forma recurrente, figuras geomtricas semejantes y unir sus vrtices. especial atencin le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesin de Fibonacci y con el nmero ureo.

A pesar de su gran amor por las matemticas, como muestra en su cuadro Melancola, plagado de metforas matemticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra Instruccin sobre la medida con regla y comps de figuras planas, no realiza un estudio terico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construccin.

La influencia del mudo helnico, de la que Durero est impregando, le impone una nueva restriccin: la utilizacin exclusiva de la regla y el comps. Por ello, se va a limitar a investigar la representacin aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.

La espiral logartmica o de BernouilliPero es ms de un siglo ms tarde, con la aparicin y el desarrollo del clculo diferencial e integral de Newton y Leibniz, cuando el estudio de las curvas va a alcanzar su momento de gloria. Y dentro de estas curvas una muy especial y al mismo tiempo muy habitual en la naturaleza: la espiral equiangular, logartmica o geomtrica.

Aunque Descartes y Torricelli haban iniciado su estudio, les faltaba la potente herramienta del clculo para poder rematarlo. Este honor la va corresponder a Jacob Bernouilli en los albores del siglo XVIII.

Ren Descartes(1596-1648), un ao despus de la publicacin de La Gomtrie, se va encontrar con la curva mecnica que responde al problema planteado por Galileo sobre la trayectoria de cada de un cuerpo a travs de una tierra en rotacin. Esta trayectoria le llev a Descartes hasta la espiral equiangular o logartmica.

Su ecuacin es de la forma donde a y b son constantes y e es el nmero e = 2, 71828182..., r el radio de posicin de un punto y theta el ngulo girado.

Es decir, el radio de posicin en un punto no depende de forma lineal, uniformemente, del ngulo girado. Su dependencia es exponencial. Segn vayamos girando alrededor del origen la curva se va ir alejando del origen de forma cada vez ms rpida.

Fue Torricelli, utilizando mtodos semejantes a Arqumedes, quien primero logr calcular su longitud.

http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/melancolia.jpg

Pero, sin duda, al matemtico al que cautiv el estudio de esta espiral fue a Jacob Bernouilli (1654-1705) , que la bautiz con el nombre de Spira Mirabilis, espiral maravillosa, ttulo de su obra dedicada a esta espiral.

Espiral logartmicaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

Espiral logartmica (grado 10).

Corte de la concha de un nautilus donde se aprecian las cmaras formando aproximadamente una espiral logartmica.

Una borrasca sobre Islandia. El patrn que sigue es aproximadamente el de una espiral logartmica.

Una espiral logartmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la llam Spira mirabilis, "la espiral maravillosa", y quiso una grabada en su lpida. Por desgracia, se grab en su lugar una espiral de Arqumedes.

Tabla de contenidos

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren?_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar?tmica#searchInput#searchInputhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar?tmica#column-one#column-onehttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Logarithmic_spiral.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Logarithmic_spiral.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Low_pressure_system_over_Iceland.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Low_pressure_system_over_Iceland.jpg

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1 Definicin 2 Propiedades 3 Espirales logartmicas en la naturaleza

4 Vase tambin

Definicin [editar]En coordenadas polares (r, ) la curva puede escribirse como

, de aqu el nombre "logartmica"

y en forma paramtrica como

con nmeros reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamao de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que direccin est enrollada. Para b >1 la espiral se expande con un incremento , y para b

Espiral construida utilizando rectngulos con la proporcin urea. Resulta una aproximacin a la espiral logartmica.

La espiral logartmica se distingue de la espiral de Arqumedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresin geomtrica, mientras que en una espiral de Arqumedes estas distancias son constantes.

Cualquier lnea recta al origen cortar a la espiral logartmica en el mismo ngulo , que puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)). El grado de la espiral es el ngulo (constante) que la espiral hace con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logartmica de grado 0 (b = 1) es un crculo; el caso lmite es una espiral logartmica de grado 90 (b = 0 or b = ) es una lnea recta desde el origen.

Comenzando en un punto P y movindose hacia dentro a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue Torricelli incluso antes de que se invertara el clculo. La distancia total cubierta es r/cos(), donde r es la distancia en lnea recta desde P al origen.

Se pueden construir espirales logartmicas de grado 17,03239 utilizando los nmeros de Fibonacci o la proporcin urea.

Espirales logartmicas en la naturaleza [editar]El halcn se aproxima a su presa segn una espiral logartmica: su mejor visin est en ngulo con su direccin de vuelo; este ngulo es el mismo del grado de la espiral.

Los insectos se aproximan a la luz segn una espiral logartmica porque acostumbran a volar con un ngulo constante a la fuente luminosa. Normalmente el Sol es la nica fuente de luz y volar de esta forma consiste prcticamente en seguir una lnea recta.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiral_logar?tmica&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/N?mero_?ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N?meros_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/N?meros_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/C?lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Torricellihttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radianhttp://es.wikipedia.org/wiki/Progresi?n_geom?tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu?medeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Golden-Section.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Golden-Section.png

Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logartmicas. Nuestra propia galaxia, la Va Lctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logartmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, tambin forman espirales logartmicas.

En biologa son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logartmica. Por ejemplo, las telas de araa y las conchas de molusco. La razn es la siguiente: comienza con una figura irregular F0. Aumenta F0 en un cierto factor para obtener F1, y pon F1 junto a F0, de forma que se toquen dos lados. Ahora aumenta F1 en el mismo factor para obtener F2, y ponlo junto a F1 como antes. Repitiendo este proceso se produce aproximadamente una espiral logartmica cuyo grado est determinado por el factor de expansin y el ngulo con que las figuras son puesta una al lado de otra.

En mecnica de suelos, la superficie de falla es el lugar geomtrico de los puntos en donde el suelo se rompe y permite un deslizamiento, al estar sometido a una cierta carga mayor a la que puede soportar. Estas superficies de falla, en muchos casos son iguales o aproximables a una espiral logartmica.

function dibujaEspiralArquimedes(a){init();for (i=0;i

Dice ARQUMEDES :....... "Si una lnea recta que permanece fija en un extremo, se le hace girar en el plano con velocidad cte, hasta hacerla volver de nuevo a la posicin de la que ha partido, y junto con la recta que gira, se mueve un punto sobre la recta con velocidad cte comenzando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral".........

Un ejemplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma o tambin en la espiritrompa de una mariposa. Como es muy sencilla de construir aparece mucho en la cermica popular.

Fue Arqumedes, fsico y matemtico griego, quien fascinado por su belleza realiz un estudio profundo sobre las propiedades de esta curva, en el siglo III antes de C. en un escrito titulado " de las espirales".

La caracterstica de la espiral de Arqumedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansin y la rotacin tienen lugar a la misma velocidad, el vnculo entre ellas es lineal.

Su ecuacin expresada en coordenadas polares es ------->

Algunos ejemplos de espirales uniformes, los encontramos en el arte barroco y en los capiteles jnicos...

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/arch.html

Hay una propiedad interesante que observ Arqumedes y que dice lo siguiente:

"El rea de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del rea del crculo que la envuelve"

CONSTRUCCIN DE ESPIRALES DE 2 , 3 Y 4 CENTROS

Si queremos ver distintas presentaciones de esta espiral, hay una pgina web muy interesante, que permite cambiar los parmetros de la misma, y observar las distintas espirales resultantes, est realizado en Java; pulsando aqu se ver....

La ecuacin genrica de la espiral de Arquimedes en coordenadas polares es:

r = a

Dibuja la curva.

En la pgina http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrars todo sobre las curvas.

http://personal-de-jall.webcindario.com/math/curvas_espiral_arquimedes.php

Espiral de Cornu (clotoide)

http://personal-de-jall.webcindario.com/math/curvas_espiral_arquimedes.phphttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Java/Spiral.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Java/Spiral.html

Curva que describe un mvil a velocidad costante cuando la curvatura de su trayectoria vara linealmente. Por ello se la utiliza para el trazado de vas de comunicacin.

Curvas en la historia , pp.127, 250. La recherche: Turner, vite et bien .

ClotoideDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

Espiral de Cornu o clotoide (x,y)=(C(t), S(t)). La espiral converge al centro de los dos remolinos extremos de la imagen, a medida que t tiende a ms infinito y menos infinito.

La clotoide, tambin denominada radioide de arcos o espiral de Corn en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito.

La expresin matemtica usual es:

siendo

el radio de curvatura s el desarrollo o arco C la constante de la espiral

http://es.wikipedia.org/wiki/Marie_Alfred_Cornuhttp://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide#searchInput#searchInputhttp://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide#column-one#column-onehttp://www.epsilones.com/paginas/a-bibliografia.html#lehningclotoidehttp://www.epsilones.com/paginas/a-bibliografia.html#alvarezcurvashttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cornu_Spiral.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cornu_Spiral.svg

Parametrizacin [editar]La espiral de Cornu, tambin conocida como clotoide, es la curva cuyas ecuaciones paramtricas vienen dadas por S(t) y C(t). Puesto que:

en esta parametrizacin el vector tangente tiene longitud unitdad y t es la longitud de arco medida a partir de (0,0) (e incluyendo signo), de lo que se deduce que la curva tiene longitud infinita.

La web del Ministerio de Educacin, Poltica Social y Deportes dedicada a la formacin expone gran cantidad de informacin relativa a las espirales , entre la que destaca: http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/

La revista SIGMA en su nmero 21 hace un anlisis de la construccin de espirales con Cabri.

http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/http://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arcohttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arcohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr?a_diferencial_de_curvas#Vectores_tangente.2C_normal_y_binormal:_Triedro_de_Fr.C3.AAnet-Serrethttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clotoide&action=edit&section=1

Tabla de contenidosAplicaciones [editar]Espiral de FermatDe Wikipedia, la enciclopedia libreVase tambin [editar]

Espiral hiperblicaDe Wikipedia, la enciclopedia libreLa espiral de ArqumedesEspirales en la historia de las MatemticasLa espiral uniforme o de ArqumedesLas espirales de DureroLa espiral logartmica o de Bernouilli

Espiral logartmicaDe Wikipedia, la enciclopedia libreTabla de contenidosDefinicin [editar]Propiedades [editar]Espirales logartmicas en la naturaleza [editar]

ClotoideDe Wikipedia, la enciclopedia libreParametrizacin [editar]