La rigidez geométrica y la preferencia de propiedades ... · RESUMEN La Geometría Dinámica ofrece la posibilidad de una aproximación al estudio de la ... Capponi (1994), para

Fecha de recepción: Abril de 2006 /Fecha de aceptación: Septiembre de 2006

Facultad de Ingeniería, División de Estudios de Posgrado. Universidad Autónoma de Querétaro. México.

La rigidez geométrica y la preferencia de

propiedades geométricas en un ambiente de

geometría dinámica en el nivel medio

Víctor Larios Osorio 1

RESUMEN

La Geometría Dinámica ofrece la posibilidad de una aproximación al estudio de laGeometría que permite la manipulación dinámica de los objetos geométricos, abriendoasí posibilidades que antes no estaban disponibles para los estudiantes del nivel medio.Sin embargo, algunos fenómenos cognitivos siguen presentes, como son la rigidezgeométrica y el hecho de preferir algunas propiedades geométricas visualmente evidentespor encima de otras, y son de hecho influidos por la percepción que de los objetosgeométricos se tienen debido principalmente a la característica dinámica del software ya la operación del arrastre. Es por ello que se realizó una investigación en el nivel mediopara ahondar al respecto y, considerando la Teoría de los Conceptos Figurales, estudiarla presencia y manifestación de fenómenos como estos en un ambiente de GeometríaDinámica.

PALABRAS CLAVE: Geometría Dinámica, rigidez geométrica, conceptosfigurales.

ABSTRACT

The Dynamic Geometry offers the possibility of an approximation to the study of Geometrythat permits the dynamic manipulation of the geometric objects, opening thus possibilitiesthat before were not available for the students of the medium level. Nevertheless, somecognitive phenomena continue presents, like the geometric inflexibility and the fact toprefer some visually evident geometric properties over other, and in fact, they areinfluenced by the perception that the geometric objects they have due mainly to thedynamic characteristic of the software and to the dragging operation. For that reasonthe research was carried out to deepen on this issue and, considering the Theory FiguralConcepts, to study the presence and sign of phenomena as these in a Dynamic Geometryenvironment.

KEY WORDS: Dynamic geometry, geometric inflexibility, figural concepts.

361Relime Vol. 9, Núm. 3, noviembre, 2006, pp. 361-382.

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RESUMO

A Geometria Dinâmica oferece a possibilidade de uma aproximação ao estudo daGeometria que permite a manipulação dinâmica dos objetos geométricos, abrindo assimpossibilidades que antes não estavam disponíveis para os estudantes do nível médio.Contudo, alguns fenômenos cognitivos seguem presentes, como a rigidez geométrica eo fato de preferir algumas propriedades geométricas visualmente evidentes acima deoutras, e são de fato influenciados pela percepção que os objetos geométricos se temdevido principalmente a característica dinâmica do software e a operação de arrastar. Épor isso que se realizou una investigação no nível médio para investigar ao respeito e,considerando a Teoria dos Conceitos Figurais, estudar a presença e manifestação defenômenos como estes em um ambiente de Geometria Dinâmica.

PALAVRAS CHAVE: Geometria Dinâmica, rigidez geométrica, conceitos figurais.

RÉSUMÉ

La Géométrie Dynamique propose la possibilité d’une approximation a l’étude de laGéométrie qui permet la manipulation dynamique des objets géométriques, permettantainsi l’ouverture à des possibilités qui avant n’étaient pas disponibles pour les étudiantsde niveau moyen. Toutefois, certains phénomènes cognitifs sont encore présents, tels larigidité géométrique et le fait de préférer certaines propriétés géométriques visuellementévidentes par-dessus d’autres, et sont en fait influencés par la perception que des objetsgéométriques on a principalement du à la caractéristique dynamique du software et àl’opération du déplacement. C’est pour cela qu’une recherche a été réalisée dans leniveau moyen pour approfondir à ce sujet et, en considérant la Théorie des ConceptsFiguraux, étudier la présence et la manifestation des phénomènes comme celui-ci dansune ambiance de Géométrie Dynamique.

MOTS CLÉS: Géométrie dynamique, rigidité géométrique, concepts figuraux.

1. Introducción

La didáctica de las matemáticas es unadisciplina en constante cambio, no sólo porla naturaleza y complejidad de sus objetosde estudio, sino porque se integran nuevoselementos o herramientas a los procesosinvolucrados. Algunas de estasherramientas son del tipo denominadosoftware para Matemática Dinámica

(SMD), donde un subtipo muy conocidose refiere a los ambientes geométricos. Lapresencia creciente del Software paraGeometría Dinámica (SGD) ha motivadola aparición de propuestas didácticas –orecorridos didácticos–, pero también hacenecesaria la investigación de susimplicaciones positivas y negativas para

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preparar al docente en su utilizaciónadecuada como mediador semiótico(Vygotski, 1979) entre el conocimiento yel alumno.

Si bien es cierto que el SGD permite eldiseño de ambientes útiles como campo deexperimentación de las representaciones delos objetos geométricos, también ocurreque al igual que cualquier otraherramienta, resulta pertinente que elusuario —el alumno— interiorice susrasgos característicos (por ejemplo, elcaso del carácter dinámico de lasconstrucciones que se pueden realizar) yque el profesor esté al tanto de lasposibles dificultades que existen o queaparecen durante su uso en el aula de uncurso de geometría.

Así pues, en este trabajo se reportanalgunos resultados y consideraciones quesurgieron durante la realización de unproyecto de investigación en el nivelsecundaria con alumnos mexicanos de 14y 15 años (Larios, 2005b). Dicho proyectoresultó más amplio que lasconsideraciones que aparecen acontinuación, pero en este artículo noshemos centrado básicamente en laproblemática a la que se enfrentan losalumnos sobre las representacionesgráficas durante el aprendizaje de lageometría, así como la influencia quetiene el uso de la geometría dinámica.

Este interés deriva del hecho de que elsoftware y las computadoras, al sermediadores semióticos, influyen en laspercepciones sobre las representacionesgráficas, así como en los significados delconocimiento geométrico que se aprende.Tal hecho introduce nuevas cuestiones aconsiderar en la enseñanza de lageometría, como las que planteanGoldenberg y Cuoco (1998), quienesmuestran la manipulación de un

cuadrilátero ABCD en un ambiente comoeste:

“¿Cómo interpretan los estudiantes elefecto de mover un punto? ¿Ven ABCDcomo una cosa que es deformada devarias maneras, o como muchas cosasdiferentes, y cada una ocurre para formarcuatro puntos conectados? ¿Construyenla noción de un continuo de cuadriláteros?¿Cómo manejan el hecho de que, al moverun solo punto, pueden crear también‘cuadriláteros monstruosos’, como laconfiguración triángulo del cuadriláterocruzado que se autointersecta? ¿Pareceque fracasan en notar estos casos en sutotalidad o los ignoran como si noexistieran o fueran de alguna manerairrelevantes? ¿Piensan sobre éstos comoproductos interesantes, pero derivados deun conjunto separado de observacionessobre los cuadriláteros? ¿O losestudiantes experimentan esto como unconflicto con sus nociones previas de‘cuadrilátero’?” (p. 357)

Por tal motivo, las preguntas que dieronorigen a este trabajo se pueden plantearde la siguiente manera:

• ¿Qué fenómenos relacionados con lavisualización se manifiestan alobservar hechos geométricos y alconstruir sus justificaciones dentro deun ambiente de geometría dinámica?

• ¿Cuál es la influencia del fenómenollamado “rigidez geométrica” en laidentificación de las figuras ypropiedades geométricas?

• ¿Cuál es la influencia que tiene en lapercepción del rasgo característico delsoftware para geometría dinámicallamado “arrastre”?

Para ello, además de conocer el software,se hace necesario tener alguna referencia

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sobre los aspectos relacionados conlos objetos geométricos y susrepresentaciones, lo cual se abordará enla siguiente sección.

2. Aspectos figurales y conceptualesde los objetos geométricos

Al considerar en la investigación el manejode objetos geométricos es importantetomar en cuenta cuál puede ser sunaturaleza y cómo son considerados porlos alumnos, pues las representaciones deestos objetos no poseen las mismascaracterísticas que tienen los de otrasramas de la matemática.

Estas consideraciones resultan necesariascuando se abordan conductas de losestudiantes que a primera vista podrían servinculadas con la incomprensión deconceptos o definiciones. Sin embargo,pueden ser explicados a partir del hechode que los objetos geométricos tienen,básicamente, dos componentes, el figuraly el conceptual (Fischbein, 1993), que porestar íntimamente ligados entre sí hacennecesario distinguir entre figuras y dibujos(Parzysz, 1988; Laborde y Capponi, 1994;Hölzl, 1995; Goldenberg y Cuoco, 1998;Maracci, 2001). Y dado que esta distinción“es enfatizada fuertemente por programascomo Cabri” (Hölzl, 1995, p. 118), latrataremos a continuación.

Como resulta evidente, la geometría estáíntimamente ligada con lasrepresentaciones gráficas que se utilizanno sólo para ejemplificar algunasproposiciones (axiomas, teoremas,etcétera), sino también para representarlas,al igual que a los objetos manejados. Inclusoalgunos geómetras, como Félix Klein,expresaron la necesidad de utilizar dibujoso diagramas para el estudio de lageometría, o bien, como menciona

Mariotti, “no es posible presentar unconcepto geométrico sin ejemplosproporcionados, lo que significa dibujarfiguras o mostrar modelos” (1995, p. 101).

Esto quiere decir que los objetosgeométricos y sus combinaciones, quellamamos construcciones geométricas ofiguras geométricas, no sólo son objetoscon propiedades conceptuales que rigende una manera lógica su comportamientoy sus relaciones, sino también estáníntimamente ligados con surepresentación, que puede estar en unnivel mental (una imagen) o plasmada enun medio físico (hoja de papel o pantallade una computadora).

Fischbein, en su teoría de los conceptosfigurales, establece que las figurasgeométricas poseen ambos aspectos: losconceptuales y los figurales. No tienenúnicamente de uno u otro, sino queconviven los tipos de propiedades: “Losobjetos de investigación y manipulación enel razonamiento geométrico son entoncesentidades mentales, llamadas por nosotrosconceptos figurales, que reflejanpropiedades espaciales (forma, posición ytamaño). Al mismo tiempo, poseencualidades conceptuales, como idealidad,abstracción, generalidad y perfección.”(1993, p. 143).

Para ampliar lo que menciona Fischbein,comúnmente las propiedades espacialesen los alumnos incluyen tambiénconsideraciones; por ejemplo, el tamañode la representación gráfica (es decir, elde la mancha que representa a un punto),o la posibilidad de considerar a los objetosgeométricos como objetos reales, y así“tomarlos” y manipularlos. Hay que decirque en estos casos se confunde lo que esel objeto matemático con surepresentación. En este momento resultaconveniente establecer la diferencia entre


las nociones de dibujo, figura y objetogeométrico como la plantean Laborde yCapponi (1994), para lo cual podemosutilizar uno de los diagramas empleado enlas teorías semióticas:

El dibujo es una representación gráfica ymaterial, como los trazos sobre un papelo los píxeles en una pantalla (Hölzl, 1995).Hace referencia a un objeto geométrico,que funge como su referente teórico y estárestringido o “controlado” por las definicionesy limitantes lógicas. Un dibujo incluyeinformación figural que ocasionalmentepuede resultar innecesaria: desde loselementos que no tienen relación con elobjeto geométrico, y sí con el aspectogeneral (color, grosor), hasta los que puedeninfluenciar en la apreciación del dibujo (porejemplo, la orientación). Ahora bien,debido a que no se puede accederdirectamente a los objetos geométricos,se les representa por medio de dibujos alos que se asignan significados,entendidos como las relaciones que elindividuo establece entre el objeto y surepresentación.

Estos significados corresponden, por unlado, a la noción de concepto figural de

Objeto Geométrico(Referente teórico)

Figura(Significado)

Dibujo o diseño(Significante)

Fischbein, ya que en ella se entrelazan losaspectos figurales que están relacionadoscon los dibujos atribuidos a una figurageométrica en particular, junto con loslimitantes conceptuales dados por elobjeto geométrico desde su naturalezateórica. Por otro lado, corresponden a lasllamadas figuras, pues cada una es vistacomo “el representante de una clase deobjetos que comparten el conjunto depropiedades geométricas con el que seconstruyó la figura” (Sánchez, 2003, p. 31).Además, la figura geométrica “consiste enel emparejamiento de un referente dado atodos sus dibujos; es entonces definidacomo el conjunto de parejas formadas pordos términos: el primer término es elreferente, el segundo uno de los dibujos quelo representan, tomado del universo de todoslos dibujos posibles del referente” (Labordey Capponi, 1994, p. 168).

Por su parte, la característica dinámica delsoftware para geometría dinámica hacenecesario que la diferencia entre dibujo yfigura se destaque, pues en este ambientelas construcciones geométricas estánhechas con base en las relaciones lógicasentre los objetos, no sólo sobre losaspectos figurales de las mismas.

Goldenberg y Cuoco manifiestan suinterés al respecto:

¿Por qué nos deberíamos preocuparpor las taxonomías tripartitas y otrasteorías de la mente? Por una cosa, losambientes de Geometría Dinámicaestán construidos con los mismosprincipios: El usuario especifica a lacomputadora las relacionessubyacentes (los objetosmatemáticos), y la computadora debepreservar ese objeto mientras quedeja las características superficiales(el dibujo) completamente maleables”(1998, p. 355)

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Sin embargo, ambos aspectos ejercen unainfluencia en el individuo que estásupeditada a su desarrollo cognitivo, porlo que no necesariamente se encuentra“balanceada” adecuadamente. En efecto,si bien es pertinente que haya una fusiónentre los aspectos figurales yconceptuales para que el manejo de losobjetos geométricos sea apropiado, talhecho sólo parece existir en una situaciónideal y extrema (Maracci, 2001). ComoFischbein (1993) afirma: “lo que sucedees que las propiedades conceptuales yfigurales permanecen bajo la influencia delos sistemas respectivos, el conceptual yel figural” (p. 150).

No obstante, parece que los alumnosbuscan dicha fusión de una u otra manera(incluso no consciente) al tratar deconstruir dibujos que les resultensatisfactorios, es decir, que cumplan conlas siguientes condiciones:

• “Un dibujo debería representar‘correctamente’ la situación geométricadescrita en el problema; esto significaque la comprensión del estudiante deuna situación dada y su interpretacióndel dibujo producido debería serconsistente.

• “Un dibujo debe ser reconocido comosuficientemente genérico (...).

• “Un dibujo debería poseer una buenagestalt, debería satisfacer las leyesfundamentales que controlan losprocesos básicos de percepción.”(Maracci, 2001, p. 481)

Empero, se puede notar que dichasatisfacción no necesariamente estárelacionada con las limitantes lógicas o

conceptuales de las figuras, pues la segunday la tercera condición tienen que ver más conlas limitantes figurales, como la forma(negarse a usar triángulos rectángulos comoejemplos genéricos de los triángulos) o laorientación (utilizar diagramas consegmentos o lados de polígonos alineadosobligatoriamente con los bordes de la hoja).

Las tensiones que se generan entre ambosaspectos pueden transformarse en unobstáculo durante el razonamientogeométrico, especialmente cuando se inclinahacia la dirección de la preeminencia de losaspectos figurales.

Esta aproximación dual nos permitió realizarun análisis de los comportamientos de losalumnos durante el proceso de investigaciónrealizado.

3. Algunas consideraciones sobre elsoftware para geometría dinámica

El software utilizado para la investigaciónes el programa de origen francésCabri-Géomètre 2, que ofrece la oportunidadde trabajar con construcciones geométricasbajo un “espíritu” euclidiano que tiene unacorrespondencia con la geometría euclidiana(Mariotti, 2000, p. 28). Sin embargo, lascaracterísticas que diferencian unaaproximación a la geometría utilizando estesoftware con respecto a la tecnología depapel y lápiz son:

• La posibilidad de definir rutinas ocadenas de construcciones bajo elnombre de macros.

• La posibilidad de construir lugaresgeométricos.

Cabri es el acrónimo de “Cahier de brouillon interactif”, que significa literalmente “Cuaderno de bosquejo interactivo”,

mientras que “Géomètre” es “Geómetra”. Hay otros programas para geometría dinámica, como el norteamericano The

Geometer’s Sketchpad, que pueden ser utilizados también.

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• Como característica más relevante: “latransformación continua en tiempo realllamada comúnmente arrastre”(Goldenberg y Cuoco, 1998, p. 351).

La operación de arrastre permite al usuariola modificación directa de la forma o posiciónde los objetos geométricos construidosmediante el uso del ratón (o algún otroperiférico de la computadora), sin que sedejen de preservar las relacionesgeométricas con las que fueron construidos.

Esta operación tiene consecuencias en laapreciación de la geometría, pues el softwarese constituye en un mediador semiótico entreel conocimiento geométrico y el usuario, yaque las funciones del arrastre pueden serdiversas y no necesariamente coinciden entodos los individuos.

Por ejemplo, Olivero (2003, pp. 5960),desdeun punto de vista fenomenológico, hace unaclasificación de las funciones del arrastre:

• El arrastre como retroalimentación delas acciones que realiza el usuario,permitiéndole tener el control sobre laconstrucción.

• El arrastre como mediador entre lafigura y el dibujo, permitiéndole alusuario hacer una distinción entreambas nociones.

• El arrastre como modo de examen omodo de búsqueda, que le permite alusuario examinar su construcción ybuscar propiedades invariantes.

Por otro lado, un grupo de investigadoresde Turín, Italia (Arzarello, Olivero, Paola yRobutti, 2002), han realizado un análisis

sobre las modalidades cognitivas delarrastre que alumnos del nivel medioutil izan para resolver problemasgeométricos. Observaron que inclusomantienen cierta jerarquía en la obtencióndel control sobre el proceso de arrastre ydurante el proceso de construcción de lademostración. Dichas modalidades son lassiguientes:

• Arrastre errante: Mover los puntosbásicos en la pantalla de maneraaleatoria, sin un plan, a fin de descubrirconfiguraciones o regularidadesinteresantes.

• Arrastre de borde: Mover un puntosemi-arrastrable 3 que ya está ligado aun objeto.

• Arrastre guiado: Arrastre de puntosbásicos de una figura, a fin de darleuna forma particular.

• Arrastre de lieu muet 4: Mover un puntobásico, de tal manera que la figuramantenga una propiedad descubierta;esto significa que sigue una trayectoriaoculta (lieu muet), incluso sin serconsciente de esto.

• Arrastre en línea: Dibujar nuevospuntos en los que se mantiene laregularidad de la figura.

• Arrastre ligado: Ligar un punto a unobjeto y moverlo en él.

• Examen de arrastre: Mover puntosarrastrables o semi-arrastrables, a finde ver si la figura mantiene laspropiedades iniciales” (Olivero, 2003,p. 66).

En cuanto a la posibilidad de validaciónse puede recurrir a la última modalidad, la

“Un punto semi-arrastrable es un punto en un objeto que puede ser movido, pero sólo sobre el objeto al que pertenece”.

Lieu muet significa literalmente “lugar mudo”, término que utiliza la autora (y otros autores) porque se refiere a una

trayectoria que no “dice” explícitamente cuál es su forma, pues es desconocida.

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de examen de arrastre, ya que el arrastreexplota la capacidad del software paramantener las relaciones geométricas entrelos elementos de una construcción y asíes posible verificar si está construidacorrectamente (Mariotti, 2000).

La capacidad para manipular directamentelas construcciones podría permitir que elalumno comience a diferenciar entre loque se denomina el dibujo, comorepresentación gráfica de un objetogeométrico, y figura, como relación entreel objeto geométrico y sus dibujos orepresentaciones gráficas (lo cual secomentó en la sección anterior). Esto serelaciona con la capacidad del individuode “ver” más allá de la representacióngráfica que tiene enfrente y llegar a ungrado de abstracción mayor(Hoyles y Jones, 1998, p. 124). Sinembargo, no sólo es necesario que elusuario se percate de esa diferencia parapoder explotar efectivamente el carácterdinámico del software, sino también queconsidere las dependencias establecidasentre los diversos objetos geométricos queintervienen en una cierta construcción,como lo expresa Straesser: “Uno tiene quepagar por esta facilidad y estructura alconsiderar cuidadosamente los rasgoscaracterísticos que no están presentes enla geometría tradicional de papel y lápiz”(2001, p. 323).

De esta manera, el Cabri-Géomètre sepuede convertir en un ambiente quepropicie la exploración de la geometría porparte del usuario, abriéndole la posibilidadde que generalice situaciones y busquecasos particulares para construccionesrealizadas. Sin embargo, puede provocartambién situaciones que modifiquen lapercepción clásica de papel y lápiz, de lageometría escolar e introducir nuevascuestiones que, a su vez, generen nuevosproblemas para ser considerados en la

labor docente y en la investigación dedidáctica de las matemáticas.

4. Metodología

El proceso de investigación se realizó conalumnos de tercero de secundaria (14 y15 años) en una localidad semi-urbanacercana a la ciudad de Querétaro, México.Este proceso duró dos semanas, es decir,diez sesiones de 50 minutos cada una.

Los alumnos participaron en la realizaciónde doce actividades diseñadas en tresconjuntos: el primero constó de cincoejercicios relativos a triángulos, el segundoabarcó cinco sobre cuadriláteros, y elúltimo dos con hexágonos. En todos setrabajó básicamente de acuerdo alsiguiente esquema:

Al inicio de cada una de las partes delexperimento se hicieron construccionesgeométricas, a fin de que los alumnosobservaran el paralelismo de los lados delas figuras en las construcciones solicitadas.Este trabajo se realizó bajo la dirección delinvestigador, por medio de las hojas detrabajo. Luego se dio un cambio en lascondiciones, pues se pretendía que, bajo elsupuesto de que habían hecho unaasociación entre una construcción original yuna secundaria apoyada por el paralelismoentre los lados, los estudiantes pudiesenrecuperar la original a partir de la secundaria,elaborando así construcciones inversas apartir de las propiedades observadas.

Realizar unaconstrucciónde la figura

original a partirde las

propiedadesobservadas

Realizar unaconstruccióny observar

propiedadesgeométricas

de paralelismo

Cambio decondiciones

Figura 1.


Con la finalidad de lograr esto, sediseñaron actividades basadas en laconstrucción de polígonos de los puntosmedios 5 y la observación de propiedadesgeométricas, retomando las que Acuña(s.f.) propone como material de estudio degeometría para la actualización deprofesores del nivel medio. Sólo seutilizaron como polígonos a triángulos,cuadriláteros y hexágonos, utilizando susrespectivos polígonos de los puntosmedios: en el caso de las actividades contriángulos se emplean triángulos de lospuntos medios; en el de los cuadriláteros,cuadriláteros de los puntos medios, y enel de los hexágonos, hexágonos de lospuntos medios (ver la Figura 2 paraalgunos ejemplos al respecto).

Durante este proceso, en términosgenerales los alumnos miden lasconstrucciones, especialmente en laprimera etapa de la construcción de lasfiguras y las de las respectivas figuras delos puntos medios, ocupan la función dearrastre para explorar la hechura de lasconstrucciones y luego dan argumentosque justif iquen las observacionesobtenidas al construir la figura original y lasecundaria (la de los puntos medios).

5 En términos generales, se puede decir que el polígono de los puntos medios de otro polígono dado es el que se

obtiene al considerar como vértices los puntos medios de los lados del polígono original (Figura 2).

E

D

F

C

B

A

Figura 2. Triángulo, cuadrilátero y hexágono con sus respectivos polígonos de sus puntos medios.

Además, formulan conjeturas quepermitirían detectar condicionesnecesarias y suficientes, las cualestenderían idealmente a la deducción.

Hay diversos tipos de requerimientos quese les hacen a los alumnos. Algunos tienenque ver con el hecho de que construyanobjetos para que observen e identifiquenpropiedades. Estas dos acciones lespermiten a los alumnos, en cierto momento,tomar decisiones sobre las acciones a seguiro bien verificar, principalmente por el arrastre,lo correcto de sus construcciones, laspropiedades que se puedan observar o lasrelaciones que se establecen.

En términos generales, las actividades delos triángulos fueron:

T1. Preguntas y actividades tendientes aque los alumnos expresen algunas desus concepciones respecto a lostriángulos y así tengan informaciónpara iniciar con las construcciones enla computadora.

T2. Construcción de un triángulo y de sutriángulo de los puntos medios, asícomo la observación del paralelismoentre los lados de ambos triángulos.

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T3. Construcción de un triángulo y sutriángulo de los puntos medios a partirde las propiedades de paralelismoentre los lados del triángulo (lasituación recíproca a la de la actividadanterior). Los alumnos exponen susobservaciones y las preguntasplanteadas en las hojas de trabajollevan la intención de que esténseguros que la reciprocidad de lassituaciones es válida. De esta manera,se hace hincapié en que la relaciónde dependencia entre la figura originaly la de los puntos medios se apoyaen el paralelismo de los ladosrespectivos.

T4. Propuesta de un procedimiento paraconstruir el triángulo original a partirde su triángulo de los puntos medios.

T5. Aplicación del procedimiento de laactividad anterior, así como suverificación y justificación. En estaactividad se les proporciona a losalumnos un archivo de Cabri quecontiene un triángulo escaleno (en elcual ninguno de sus lados es paraleloa los lados de la pantalla), que fungirácomo triángulo de los puntos mediosde aquel que deben reconstruir, paralo cual es necesario que tomen encuenta las condiciones inicialesobservadas en las actividadesanteriores. En caso de que laconstrucción o el procedimientopropuesto fallen, entonces viene unaexploración que permita determinarcuál fue el error.

Las actividades de los cuadriláterosfueron:

C1. Construcción de un cuadrilátero, desu cuadrilátero de los puntos mediosy observación de las propiedades deeste último. Durante tal exploración,se pretende que los alumnosidentifiquen el tipo de cuadrilátero que

es el de los puntos medios a partir desus propiedades, el cual a la sazónresulta ser un paralelogramo.

C2. Exploración de las relaciones entre lasdiagonales del cuadrilátero y de sucuadrilátero de los puntos medios, afin de justificar el paralelismo entre loslados del segundo, al considerar laspropiedades observadas en laactividad 2 de triángulos (T2).

C2a y C3. Se retoman las propiedadesobservadas para determinar quépropiedades debe cumplir uncuadrilátero dado, a fin de que sucuadrilátero de los puntos medios seaun rectángulo (definido como unparalelogramo de ángulos internoscongruentes).

C4. Propuesta de un procedimiento paraconstruir un cuadrilátero a partir de sucuadrilátero de los puntos medios. Alos alumnos se les da un archivo deCabri con un paralelogramo (que noes ni rectángulo ni rombo, y ningunode sus lados es paralelo a las orillasdel monitor), el cual fungirá comocuadrilátero de los puntos medios paraque intenten la construcción.Nuevamente, los estudiantes debenconsiderar como condiciones inicialeslas propiedades observadaspreviamente.

Finalmente, las actividades de hexágonosfueron:

H1.Con un hexágono regularproporcionado en un archivo de Cabri,los alumnos observan el paralelismoentre dos de sus lados opuestos apartir de que usan la diagonal paralelaa ambos lados, construyendo laprolongación de los lados adyacentesa uno de los lados considerados y ladiagonal construida, relacionándolocon lo observado en las actividades 2y 3 con triángulos (T2 y T3).


H2. De nuevo, iniciando con un hexágonoregular en un archivo de Cabri, se pidela construcción de su hexágono de lospuntos medios y la observación de suspropiedades para determinar si esteúltimo es un hexágono regular a partirde lo observado en las actividades contriángulos.

Por lo general, en cada una de estasúltimas actividades se les proporciona alos alumnos una situación, se les pide queobserven y finalmente justifiquen,utilizando las propiedades percibidas enlas partes anteriores de actividades.

Cabe mencionar que las actividades delos alumnos se hicieron en equipos de dosintegrantes, proporcionándoles una hojade trabajo con instrucciones, preguntas yespacios para las respuestas. Losalumnos trabajaron con la computadora osin ella, dependiendo de la actividad,platicaron entre ellos y contestaron laspreguntas, entregando al final de cadasesión sus hojas de trabajo al investigador.

Así, la información obtenida se recabó apartir de las hojas de trabajo de losalumnos (protocolos), de grabaciones dealgunas conversaciones que se tuvieroncon ellos y de los archivos de Cabri quegeneraron. Es pertinente mencionar queesta posibilidad del programa deja revisarla construcción guardada previamente enalguna sesión y así puede considerarsecomo una ventana del pensamiento delalumno (en un sentido como el queplantean Noss y Hoyles, 1996), puespermite rastrear y analizar el proceso dela construcción que se realizó, comoreflejo de los razonamientos y procesos

puestos en marcha para la resolución delas situaciones planteadas. 6

5. Resultados y discusión

Los equipos se pudieron identificar deacuerdo con su nombre de pila. Al final delos trabajos se recabaron 22 conjuntos deprotocolos e igual cantidad de archivos,hechos en Cabri. A esto, como ya secomentó, se le añadió como fuente deinformación las grabaciones de algunasconversaciones entabladas con los alumnoscuando sus respuestas en los protocolos olas construcciones en la pantalla llamabanla atención.

En esta parte del trabajo se mostraránalgunas respuestas y ejemplos de losarchivos que proporcionaron los alumnos,a fin de iniciar un análisis sobre sus acciones.

5.1. Sobre la preferencia en laapreciación de propiedades

geométricas

Durante las actividades se les pidió a losalumnos que observaran algunaspropiedades relacionadas con elparalelismo surgido a consecuencia del usode los puntos medios en los triángulos, loscuadriláteros y los hexágonos, debido a queesta propiedad resultaba relevante. Sinembargo, los alumnos no la consideraron,pues notaron propiedades queaparentemente podrían estar más cercanasa su experiencia directa, a su percepciónvisual y sus trabajos previos.

Así pues, cuando en la tercera actividadcon triángulos (T3) se les pregunta (ver la

Desafortunadamente, hasta la versión utilizada (CabriGéomètre II, versión 1.0 para MSWindows de 1998) los objetos

que son borrados antes de guardar la construcción en el archivo, y que quizá representarían posibles intentos fallidos o

descartados, no quedan registrados y no pueden ser recuperados.

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Figura 2 a la izquierda para el nombre delos vértices):

a) ¿Cómo son los lados BC y EF entresí? ___________________________

Nueve equipos dan como referencia a queson iguales los segmentos, seis aluden ala diferencia de los tamaños y dos a laforma, entre otros tipos de referencia. Entotal, el 80% de las referencias quehicieron los alumnos tuvieron que ver conla forma o el tamaño de los lados; sólo el20% atendió al hecho de que ambos ladoseran paralelos.

En la siguiente pregunta, donde se les pidea los alumnos que expliquen porquéocurre lo que describieron, solamente unequipo (el de Bibiana y Mariana) justificamencionando al paralelismo, pero en surespuesta anterior no hizo referencia adicha propiedad:

a) ¿Cómo son los lados BC y EF entresí? Son dos líneas iguales 7.b) ¿Por qué? Porque son paralelas

Es interesante observar que sólo cincoequipos contestaron que los lados de lostriángulos son paralelos en el inciso a), locual justifican con argumentos empíricosy visuales, que tienen que ver con el hechode que no se juntan, o haciendo referenciaa que se consideraron los puntos medios.

Al solicitarles en la actividad T4 queelaboren un procedimiento para obtenerel triángulo ABC a partir del que fungirácomo su triángulo de los puntos medios,los alumnos debieron echar mano de las

Las preguntas de los protocolos que se reproducen están en recuadros y las respuestas de los alumnos se han

trascrito utilizando un tipo de letra diferente al del resto del texto, a fin de facilitar la identificación de lo que escribieron. Es

importante mencionar que sólo los errores ortográficos de los alumnos fueron corregidos (para darle claridad al texto),

pero los errores de redacción no.

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propiedades que observaron, discriminandoaquello que no les sirve de lo que les puedeayudar, como el paralelismo. No obstante,seis equipos hicieron referencia en susprocedimientos al tamaño de los lados; seisal acomodo de los vértices previendo lautilización del software; cuatro mencionaronla necesidad de buscar los puntos medios ytres aludieron a la forma, como fue el casodel equipo de Catalina y Patricia: Pusimoslos puntos (d e f) y como el chico siempre espara abajo unimos las vértices, luegopusimos los puntos para hacer el triángulogrande y nos salieron al todo tres triángulosgrandes y uno chico. En otras palabras, el77% de las referencias que se hicieron enestos procedimientos indican el movimientoo a propiedades que se aprehendenvisualmente, mientras que sólo cinco sefijaron en el uso de la propiedad delparalelismo.

Por otro lado, con la finalidad de que losalumnos previeran las propiedades de loslados de los triángulos, lo cual les serviríapara organizar la información vistapreviamente en la misma actividad, se lespreguntó:

d) ¿Cómo van a ser los lados deltriángulo grande con relación a los deltriángulo chico? ¿Por qué?________

Resultó que 17 equipos aluden a la diferenciaen los tamaños de los lados y ninguno alparalelismo (los cinco equipos restantesdieron referencias relativas a la igualdad delos lados, la posición y los vértices).

Como pregunta relacionada, luego de laconstrucción se les planteó lo siguiente en


la actividad 5 de triángulos:

a) ¿Cómo quedan los lados deltriángulo ABC con respecto a los deltriángulo DEF? _________________

Nuevamente, la mayoría mencionó eltamaño de los lados (13 equipos) y sólo tresindicaron el paralelismo entre los lados. Elresto de los equipos dijo cosas como elcambio en la posición, que “van en sentidoscontrarios” –refiriéndose a que los triángulosseñalan en dos direcciones distintas– o queeran “simétricos”. Dichas respuestastambién están relacionadas directamentecomo referencias visuales.

Se puede mencionar que en general 16equipos mantuvieron cierta congruencia enlas respuestas de estas dos preguntas y sólocinco manifestaron algún cambio (el cual,hay que decirlo, no siempre fue paraconsiderar propiedades geométricas).

Por ejemplo, el equipo conformado porSandra y Cynthia contestó:

Actividad T4. Pregunta 3.d) ¿Cómo van a ser los lados deltriángulo grande con relación a los deltriángulo chico? ¿Por qué? Inclinadosporque al hacer los triángulos quedantriángulos inclinadosActividad T5. Pregunta 3. a) ¿Cómoquedan los lados del triángulo ABC conrespecto a los del triángulo DEF?Quedan los lados del triángulo paralelos

El equipo integrado por Sonia y Stephanyafirmó:

Actividad T4. Pregunta 3.d) ¿Cómo van a ser los lados deltriángulo grande con relación a los deltriángulo chico? ¿Por qué? Que los deltriángulo grande van hacer lo doble deltriángulo chico

Actividad T5. Pregunta 3. a) ¿Cómoquedan los lados del triángulo ABC conrespecto a los del triángulo DEF? Loslados del triángulo son paralelos

Otra oportunidad para observar este aspectose encuentra en las primeras actividades concuadriláteros, particularmente en la actividadC1, donde se les pide a los alumnos que alfinal escriban en un párrafo y a manera desíntesis lo que observaron:

9. Hasta ahora han construido uncuadrilátero y su cuadrilátero de lospuntos medios, y han observadoalgunas propiedades del cuadriláterode los puntos medios (algunas de lascuales han escrito antes, en esta hoja).En los siguientes renglones anotencomo resumen los hechos queobservaron (completen a partir de lasprimeras palabras escritas):

Si tenemos un cuadrilátero y seconstruyen los puntos medios desus lados y luego se unen entre síocurre que... ___________________

Resultó que doce de los veintidós equiposhicieron una referencia explícita a la forma,las medidas, la posición o, incluso, a lasáreas del cuadrilátero original o del que seforma. Por el contrario, sólo dos equiposexpresaron como propiedad relevante delcuadrilátero de los puntos medios elparalelismo de sus lados opuestos. El restode los equipos (ocho) observaron que seformó una figura geométrica que no tienealguna propiedad en particular (el equipoformado por Diego y Lorena escribió: Sepuede formar unos triángulos orectángulos.

En la actividad 2a de cuadriláteros, dondese espera que los alumnos utilicen suimaginación y capacidad para manipular

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mentalmente figuras, así como laspropiedades de los rectángulos para quepiensen lo que necesita un cuadrilátero afin de “convertirlo” en un rectángulo, sepueden considerar dos preguntas (la 3 yla 4): una relativa a los lados delcuadrilátero, la otra a sus ángulos.

Aquí, ocho equipos consideraron elmovimiento de los vértices (como si seestuviese utilizando Cabri), diez hicieronreferencia a la modificación del tamaño delos lados, uno a utilizar puntos medios, otromencionó unir los vértices y sólo un equipodijo que se necesita que los ladosopuestos sean de la misma medida (nomencionaron el paralelismo). En resumen,ocurrió que el 95% de los equiposrecurrieron a procesos basados en elmovimiento de los vértices o en el dibujoque tenían enfrente.

En la siguiente pregunta, relativa a losángulos, cinco equipos afirmaron que hayque mover los vértices (al igual que en elcaso anterior), dos que los ángulos debenser iguales a los que ya están en el dibujo,cinco hablaron sobre la necesidad demodificar el tamaño, cuatro dijeron quetienen que hacer los ángulos de la mismamedida y tres equipos hicieron unareferencia similar, sólo que dan la medidaa obtener: 90°. En otras palabras, pocomás de la mitad de los equipos atendió aprocesos que involucran el movimiento oel acomodo del dibujo, o bien hacenreferencia a los aspectos figurales de loscuadriláteros.

De todo esto se puede decir brevementeque, para la mayoría de los alumnos, elparalelismo no es una propiedad tanevidente y relevante como la longitud delos lados (segmentos) y la forma de loscuadriláteros. Tal parece que para losalumnos hay propiedades que tienen máspreferencia que otras, se fijan en los

aspectos figurales que en losconceptuales, incluso en este caso dondese insistió reiteradamente en el paralelismocomo propiedad que fungió como eje rectorde las actividades.

5.2. La rigidez geométrica y laorientación de las construcciones

Otro de los aspectos donde hubo interéspor observar fue la denominada rigidezgeométrica como fenómeno relacionadocon la visualización de las figurasgeométricas, el cual está influenciadofuertemente por la orientación de lasrepresentaciones gráficas, pues es muycomún que el individuo no pueda manejarmentalmente una figura geométricacuando no tiene una cierta orientación, obien imaginarse el resultado de algunatraslación o deformación.

A continuación, se presentanobservaciones sobre las respuestas yarchivos hechos por equipos.

El equipo de Bibiana y Mariana

En la primera actividad de los cuadriláteros,este equipo hizo una referencia directasobre la forma de los objetos geométricos.Al preguntarle sobre la posibilidad de quetenga una propiedad el cuadrilátero de lospuntos medios (el resaltado es añadido),sus integrantes afirmaron:

g) ¿Tiene alguna propiedad enespecial? Sí. Que aunque elcuadrilátero grande esté chueco elchico sigue teniendo dos lados iguales.

En la misma actividad, al solicitarles queexpresaran sus observaciones en la formade una afirmación, ignoraron lasobservaciones sobre paralelismo o inclusosobre las mediciones realizadas, haciendosólo referencia a la forma:


9. (Afirmación) Si tenemos uncuadrilátero y se construyen lospuntos medios de sus lados y luegose unen entre sí ocurre que... losunimos y se forma cuadrilátero menor,donde cada vértice es punto medio delcuadrilátero mayor.

Además, en las ocasiones cuandonecesitaron hacer uso del paralelismo, susjustificaciones aludieron a la forma de lossegmentos, como ocurrió en la primeraactividad con hexágonos:

4. Consideren el cuadrilátero ABCF yprolonguen los lados FA y BC paraformar un triángulo. Al tercer vérticellámenle M. ¿Cómo es estetriángulo? Tiene dos lados iguales yuno desigual. b) ¿Por qué? Son doslíneas iguales que son iguales estáninclinadas pero no se juntan.

Y también en la segunda:

a) ¿Las diagonales trazadas sonparalelas entre sí? Si.b) ¿Por qué sí o por qué no? Son doslíneas rectas que no se juntan.c) ¿Los lados opuestos del hexágonode los puntos medios (del chico) sonparalelos entre sí (por ejemplo, A’B’con respecto a D’E’, B’C’ con respectoa E’F’ y C’D’ con respecto a F’A’)? Si.d) ¿Por qué sí o por qué no? Sonrectas, están inclinadas y no se juntan.

Adicionalmente, en las construcciones delos archivos generados se evidencia lapreferencia por utilizar construcciones enposición y forma estándar. Resultailustrativa la actividad T3, donde inclusoprevieron la posición final del triángulo ABCy así construyeron “adecuadamente” sutriángulo DEF (como se puede ver másadelante):

b) El triángulo chico (con el que van aempezar), ¿necesita tener algunapropiedad especial? Sí. Porque tieneque tener los lados del mismo tamaño.c) ¿Puedes usar cualquier triángulocomo triángulo de los puntos medios?Sí.

De manera similar, en la tercera actividadcon cuadriláteros, al buscar laspropiedades del cuadrilátero ABCD paraque su cuadrilátero de los puntos mediossea un rectángulo, recurrieron a uncuadrado:

a)¿Es necesario que el cuadriláteroABCD tenga alguna propiedadespecial? ¿Sí o no? ¿Cuál? Sí.b) Si tiene una propiedad especial,¿por qué será? Que sea cuadrado.

El equipo de Roberto y Ricardo

Para estos dos alumnos, el uso de figurasde forma y posición estándar estuvieron

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presentes de una manera más bienocasional, mas ello no impidió lageneración de conflictos en susrespuestas. Por ejemplo, al momento dereconstruir8 el triángulo ABC a partir deltriángulo DEF, en la cuarta actividad detriángulos apareció una contradicción entrelas respuestas del inciso b) y de la pregunta4 contra la del inciso c):

a) ¿Cuál sería el primer paso para laconstrucción? Colocar 3 puntos.

b) El triángulo chico (con el que van aempezar), ¿necesita tener algunapropiedad especial? Lo más parecidoa un equilátero.

c) ¿Puedes usar cualquier triángulocomo triángulo de los puntos medios?Sí.

4. Escriban el procedimiento en el quepensaron para construir el triángulogrande: 1. Colocar 3 puntos con formalo más aproximada a un equilátero. 2.Ponerles nombre. 3. Sacar líneasparalelas a los lados del triángulo chico4. Colocar vértices donde seintersectan las líneas 5. Ponernombres a los nuevos vértices.

Esta contradicción surge por el posibleconflicto entre los aspectos figurales yconceptuales, ya que si bien parece quebuscan un dibujo que los convenza(Maracci, 2001), no evitan incluir lareferencia a un polígono regular. En suarchivo, los alumnos modificaron la formadel triángulo proporcionado para darle unaforma más cercana al que parece ser suejemplo genérico de triángulo, el equilátero:

Con el término “re-construir” quiero hacer énfasis en el hecho de que no sólo tienen que construir el triángulo ABC,

sino que tienen que recuperar las propiedades observadas e idear una construcción que las tome en cuenta para

recuperarlo.

Otro ejemplo apareció en el archivogenerado durante la tercera actividad decuadriláteros (C4), en la cual, paradescubrir las propiedades que necesitaABCD para que EFGH sea un rectángulo,recurrieron al uso de un paralelogramoorientado horizontalmente y al de dosrectas aparentemente verticales (enrealidad, las rectas ED y BG estánposicionadas de esa manera “a manoalzada”, sin ninguna propiedad geométricaen particular):

El equipo de Celene y Marissa

Estas dos alumnas mostraron una tendenciaen el uso de figuras en posición y formaestándar, aunque a veces la imagen creadaen la computadora no coincidecompletamente. Por ejemplo, en la segundaactividad con triángulos respondieron:


o) ¿Hay alguna relación entre losperímetros de los dos triángulos? Sí,que todos los lados miden lo mismo,el chico mide 16.65 cm y el grande33.31 cm.

Aunque para la construcción querealizaron no util izaron triángulosequiláteros, sí recurrieron al típico triángulocon un lado horizontal, “apuntando” haciaarriba y casi isósceles:

Por otra parte, en la última actividad detriángulos (T5) modificaron la forma deltriángulo proporcionado con tal de tener yobtener triángulos con una orientación yuna forma aparentemente más cómoda(un lado horizontal y, de nuevo, casiisósceles):

El equipo de Beatriz y Maribel

Las respuestas de este equipo mostraronuna preferencia por el uso de referenciasa la forma que perciben en la pantalla dela computadora, lo cual se muestra en susrespuestas; por ejemplo, en las de laprimera actividad con cuadriláteros:

b) Después de que movieron algunode los vértices, ¿ocurre que el puntomedio del lado (por ejemplo) AB quese llama E sigue siendo el mismopunto? ¿Por qué sí o por qué no? Sí,lo único que cambia es el tamaño delos lados. no el punto medio.c) ¿Es el punto medio?, ¿Por qué sí opor qué no? Sí, porque lo único quecambia es el tamaño.

Esto hizo que Beatriz y Maribel incurrieranen una tensión entre los aspectos figuralesy los conceptuales, pues mientras en unaspreguntas contestaban util izando lainformación visual (y empírica), en otrasadyacentes empleaban las propiedadesgeométricas (las siguientes respuestas sonde la misma actividad):

8. h) Suponiendo que el cuadrilátero delos puntos medios tiene una formaespecial, ¿que característica opropiedad tiene? Que dos lados miden8.18 cm y los otros 7.58 cm. y sonparalelos.i) Si suponemos que tiene algunacaracterística especial ese cuadrilátero,¿cuál sería un nombre adecuado paraél? Es decir, ¿es un cuadrilátero connombre especial? ¿Cuál es?Paralelogramoj) ¿Cómo son entre sí los lados opuestosdel cuadrilátero de los puntos medios?2 más grandes y 2 más chicos.

E incluso recurrieron a propiedadesirrelevantes que contradicen a otras, con

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tal de utilizar figuras familiares para ellas,como es el caso de la cuarta actividad conlos triángulos:

b) El triángulo chico (con el que van aempezar), ¿necesita tener algunapropiedad especial? Sí, de tener suslados iguales, para que el grande tengasus puntos medios.c) ¿Puedes usar cualquier triángulocomo triángulo de los puntos medios?Sí, todo triángulo tiene puntos medios.

El equipo de Luis y Fernando

En la primera actividad con cuadriláteros,al momento de resumir las observacionesrealizadas durante la actividad, estos dosalumnos se preocuparon más por losaspectos figurales de la construcción másque por la información geométricamenterelevante:

9. (Afirmación) Si tenemos uncuadrilátero y se construyen lospuntos medios de sus lados y luegose unen entre sí ocurreque... Quedarán unidos de cualquierforma siempre que se muevan.

Además, presentaron una tendenciarecurrente en sus archivos al uso de figurasen posición y forma estándar conorientaciones horizontal-vertical. Porejemplo, en la cuarta actividad contriángulos respondieron lo siguiente (apesar de que en ese momento nogeneraron ningún archivo):

b) El triángulo chico (con el que van aempezar), ¿necesita tener algunapropiedad especial? Ser equilátero ocualquiera.

Pero en la primera actividad concuadriláteros dejaron su archivo, como semuestra a continuación (nótese la

orientación del cuadrilátero abcd y elparecido a un rombo del cuadrilátero efgh):

Además, en la tercera actividad concuadriláteros recurrieron a un cuadriláteroABCD con una forma casi de cuadrado yasí lo describieron:

5. Si ahora tuvieran que investigarademás lo que necesita el cuadriláteroABCD para que su cuadrilátero de lospuntos medios fuera un cuadrado,¿cómo le harían? ¿Qué propiedadesnecesitaría ese cuadrilátero? Hacer deun cuadrado la base para que elcuadrilátero basado haga lo mismo.

Por otro lado, en la actividad 1 dehexágonos evidenciaron una dificultad enla reconfiguración (Sánchez, 2003), puesconsideran que un punto que es vértice enun hexágono no puede tomar el papel depunto medio en un triángulo:

5. ¿A y B son los puntos medios de loslados FM y CM del triángulo que seacaba de formar? ¿Por qué? No, sóloson los vértices.

También se puede mencionar que en laactividad T5 hicieron una construcción enla cual los vértices del triángulo DEF dadoni siquiera están sobre los lados deltriángulo ABC a reconstruir. En la siguientefigura aparece la construcción de losalumnos y se puede observar, tras unanálisis minucioso (lo cual se facilita si se


tiene a la mano el archivo de Cabrigenerado por ellos), que los puntosseñalados con círculos rojos no estánsobre los lados del triángulo grande:

Al respecto hay dos observacionespertinentes. Primera, a pesar de la formadel triángulo chico, el grande tiene unaclara forma estándar de tener un lado casihorizontal y una forma parecida a untriángulo isósceles. Segunda, se nota quelos alumnos cambiaron las etiquetas delos puntos del triángulo chico, puesdeberían ser D, E y F, pero ahora son a, by c, mientras que los vértices del triángulogrande no tienen etiquetas.

6. Conclusiones

Como se ha mencionado antes, al hablarde los fenómenos cognitivos relacionadoscon aspectos figurales presentes en lasrespuestas de los alumnos, me referiré enun primer momento a la rigidezgeométrica, que está ligada al uso defiguras en posición “estándar” o prototipo9

y con otros fenómenos, como es el usode justificaciones empíricas y el delarrastre (en el software) como herramientaexterna.

9 Especialmente las orientadas de manera horizontal-vertical respecto a la hoja de papel.

La rigidez geométrica es un fenómenorelacionado con la visualización de lasfiguras geométricas. Ocurre cuando hayuna incapacidad del individuo para manejarmentalmente una figura geométrica al noestar en ciertas posiciones “estándares”,o no pueden imaginarla cuando se mueve(bajo una traslación) o cambia su forma;es decir, cuando sus lados cambian deposición o sus ángulos se modifican(Larios, 2003). Como se mencionó en lasección anterior, tal fenómeno aparece conlos alumnos estudiados en variasocasiones y, de hecho, en más casos delos reportados en este artículo.

Este fenómeno puede ser relacionado conlos conflictos que aparecen entre losaspectos figurales y conceptuales de losobjetos geométricos, así como con lanecesidad que establece Maracci (2001)de que los alumnos buscan dibujossatisfactorios, como ocurrió en los casosde los equipos formados por Bibiana yMariana, y por Roberto y Ricardo. Enefecto, algunos estudiantes necesitanutilizar dibujos hechos en posicionesestándar para poder detectar a las figurasy sus relaciones espaciales y así podertrabajarlas; al mismo tiempo, se evidenciala incapacidad de interpretar el“movimiento” de una figura o de undiagrama realizado en la pantalla de lacomputadora, es decir, de percibir lacaracterística dinámica del software. Porejemplo, Celene y Marissa cambiaron laforma del triángulo que les fue dado en laúltima actividad con triángulos para que eltriángulo ABC que hicieron tuviera unaforma y una orientación más cómoda conun lado horizontal y siendo casi isósceles,recuperando así una figura geométricaconocida, rígida y considerada comocorrecta.

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La orientación es considerada por losalumnos como un atributo importante dela figura, a pesar de que no aparece enlas definiciones de los objetos geométricosque entran en juego durante lasconstrucciones.

Por otro lado, durante el uso de laoperación de arrastre, al modificar lasconstrucciones o las figuras tambiénapareció en ocasiones la incapacidad dealgunos alumnos por visualizar todos losmomentos intermedios de estatransformación y considerarlos comocasos particulares de la figura o laconstrucción. Se observó que los alumnospercibieron algo que he llamado arrastreinicio-fin (Larios, 2003) y que Olivero(2003, p. 141) denomina photo-dragging,ya que solo se lograban considerar doscasos: la construcción hecha antes de laoperación de modificación por arrastre yaquella obtenida al terminar de mover elratón. Los casos intermedios parecen noser considerados como otros casosposibles de la construcción, sino comodiagramas intermedios que no tienen elmismo status geométrico que lasconstrucciones inicial y final, posiblementeporque son provisionales. Hemosconsiderado este fenómeno como otraforma de rigidez geométrica (Larios,2005b), pues la que hasta ahora se habíareportado en la literatura habla de laincapacidad para imaginar las figuras enmovimiento, mientras que en este caso, apartir de la figura en movimiento, no sepuede imaginarla en cada punto intermediocomo una figura determinada.

En general, se percibe una preponderanciade las observaciones basadas en losaspectos figurales de los alumnos quedificultan la identificación de las figuras y,por tanto, el trabajo de observación depropiedades geométricas. En efecto, el usode figuras con formas o posiciones

“estándares” limita las opciones para laexploración de posibilidades y de laamplitud de las propiedades que sepueden observar. Con ello se pierde laposibilidad de explorar sobre otras posiblesconfiguraciones de las construcciones quecumplan con los requisitos planteados,restringiendo así las posibilidades deobservar libremente cuáles pueden ser laspropiedades o condiciones necesariaspara hacer actividades relacionadas conla construcción.

Estos fenómenos muestran que, desdenuestro punto de vista, los conceptosfigurales correspondientes no han sidoaprehendidos por los estudiantes, ya queel aspecto figural no es usado comorecurso heurístico, sino como recursoreferencial, mientras que el aspectoconceptual en los estudiantes se verestringido en su aplicación, debido a queno ven la necesidad de apoyarse en laspropiedades geométricas al desarrollar sustareas de construcción y explicación. Así,no hay todavía una fusión entre losaspectos conceptuales y figurales, a pesarde los diversos intentos de los alumnos porconstruir dibujos satisfactorios a la vista (enel sentido de Maracci, 2001).

Por otro lado, aunque muy ligado, está elfenómeno al que se hace referencia alinicio de la sección anterior, el cual tieneque ver con el hecho de que losestudiantes les atribuyen una mayorpreponderancia a algunas propiedadesque a otras, e incluso algunas lasconsideran y otras no. También en otrostrabajos (Larios, 2005a, 2005b) se hahecho mención no sólo de que los alumnospresentan un mejor manejo de laspropiedades geométricas si las figurasestán visualmente orientadas en posiciónestándar o en actividades derivadas de lamedición y el cálculo, sino que se utilizancomo criterios de validación del paralelismo


el tamaño y la orientación de lossegmentos, pero no la propiedad en sí. Enotras palabras, hay propiedadesvisualmente más evidentes para losalumnos que “merecen” ser consideradas,mientras que otras no. Algunaspropiedades o situaciones observadas

sobre el tamaño de los objetosgeométricos, su forma, el hecho de que doso más rectas o circunferencias concurranparecen tener mayor posibilidad de sertomadas en cuenta y aprehendidas queotras menos evidentes visualmente como,en este caso, el paralelismo.

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Víctor Larios OsorioFac. de Ingeniería (Div. de Estudios de Posgrado e Investigación)Universidad Autónoma de QuerétaroMéxico

E-mail: [email protected]

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