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La radiazione di corpo neroovvero:l’ingresso nel mondo quantistico
breve storia dello sviluppo del
modello teorico
energia, intensità,irraggiamento, radianza …
)( RTH
)()( RCC THT
)( CC TR
C
)()()( CCRCC TRTHTA
Q
RCCCCCC TTTRTHT ),()()(
Indipendenza dal materiale: corpo nero (ideale)) ( ) ( ) ( ) ( , 1R B R R B B BT R T H T H T
)] ( ) ( )[ (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
C B R B C C
C B C C R B C C C C R C C
T R T R T
T R T T R T T R T H TA
Q
) ( ) ( / ) (T R T T RB C C
(Kirchoff)
flusso termico per irraggiamento
flusso termico
equilibrio termico
Potere emissivo R e coefficiente di assorbimento a
?)(TRB
il corpo nero
indipendenza dal materialedel potere emissivo ed assorbente.
radianza per unità di frequenza.
densità di energia/radianza:
leggi di Wien e di Stefan-Boltzmann.
TfTu /),( 3 4)()( TTHTRB
dTuc
Tuc
TRB ),(4
)(4
)(
][)( 44CRCC TTT
A
Q
radianza del corpo nero e pressione di radiazionepressione di radiazione:
forza media per unità di area esercitata dal campo con densità u
dW
cos4
cdtud
Hquantità di moto (densità u/c) trasferita nell’urto speculare (per unità di area e tempo)
coscos4
2
cdtc
ud
quantità di moto totale trasferita nell’urto speculare
2/
0
22
0
3/sincos2
coscos4
2/
udtddudt
cdtc
udareaqdm
dtpareadtFareaqdm rad // 3/uprad
radianza del corpo nero e termodinamica classica
TdSdVpdWQ rad dT
dT
duVdVTudWVTuW )(,)(
dTdT
duVdVTuTdS )(
3
4
dT
du
T
V
T
Su
TV
S
,3
41
dT
du
TdT
du
Tu
TVT
S 1
3
41
3
412
2
)(4
TuTdT
du 44 )(,)( TTHTTu
legge di Wien Stefan-Boltzmanne legge dello spostamentolegge di Wien dallo studio dell’effetto Doppler sulla radiazione incidente alle pareti
4343 /)()( TdxxfxTdTfdHTH
d
T
cf
v
d
T
vfd
T
vfdHdH
4
43)()(
d
v
d
T
cf
c
T
cfH
5
44 1
)(
d
Tcdf
T
c
T
cf
c
d
dH )/(5
)(0
6
4
0)(5)(' xfxxf
soluzione (se esiste) in x=x0=c/lT, ovvero lT=cost=cW.
K m2898,K W/m1067.5 W428 c-
quale funzione f (v/T) ?Modello “storico” di Planck per il corpo irraggiante: OSCILLATORE ARMONICO (carico)
Potenza emessaPotenza assorbita dal campo di radiazione uv
Emc
eP 2
3
2
3
2
)(3
2
um
eW
EW all’equilibrio:
Ec
HEc
u2
2
3
2 2)(,
8)(
per calcolare la densità di radiazione bisogna conoscere l’energia media degli oscillatori
quale energia media per gli oscillatori?
equipartizione classica dell’energia: kBT per grado quadratico di libertà nell’hamiltoniano:
TkE B
calcolo statistico classico secondo Maxwell-Boltzmann: energia e con probabilità exp( e /kBT ) all’equilibrio termico
Tkd
d
d
dTk
dTk
E B
B
B
0
0
0 1expln
/exp
/exp
legge di Rayleigh-Jeans
che catastrofe (ultravioletta) !
Tkc
RHTkc
u BB 2
2
3
2 2,
8
Hlim dHH
la proposta di Planckgli oscillatori possono scambiare solamente quantità di energia multiple intere di un “grano” e0:
e = 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, …
La probabilità di eccitazione di un modo di frequenza elevata tende a zero!
nuovo calcolo dell’energia media degli oscillatori in termini non più di integrali ma di somme discrete:
1expexpln
exp
exp
0
00 0
0 0
0 00
n
n
n nd
d
n
nnE
TfTkc
vTH
B
/1/exp
2, 3
0
02
2
se h 00 o
1/exp
12,
2
3
Tkhc
hvTR
B
la curva di Planck(e le sue approssimazioni)
Tk
chRTk
c
hvvRTkh
BBvB 4
22
2
3 2;
21/
Rayleigh-
Jeans
TkhcTkhvvB
BB ehc
Rec
hvvRTkh
/
3/
2
3 2;
21/ Wien
4432
45
0
3
32
44
/
3
2
15
2
1
2
1
2
)(
TThc
k
e
dxx
hc
Tk
e
d
c
h
dRTR
B
xB
Tkh B
i problemi del modello
Inadeguatezza (a posteriori) del modello di Planck: è semi-classico e non tratta correttamente gli oscillatori armonici ed gli scambi associati di energia con la radiazione della cavità.
La radiazione in equilibrio termico va descritta in termini di un “gas” di fotoni secondo la statistica bosonica (Bose-Einstein) per particelle indistinguibili di spin intero e puramente quantistiche.
densità di energia e radianza a partire da:
energia della particella x densità degli stati x probabilità di occupazione
Il tutto rispettoso del principio di indeterminazione di Heisenberg
il modello di Einstein
)()(2
vfV
vghvu BE
energia dell’oscillatore
densità degli stati di energia(inclusi i due modi di polarizzazione)
probabilità di occupazione
la densità quantistica dei livelliSi risolve il problema dello spettro di energia in una buca tridimensionale a pareti infinite di potenziale con l’equazione di Schroedinger:
22
22222
2
22
2)(
2),,( n
mLnnn
mLnnnEE zyxzyx
Numero di livelli e loro densità in funzione dell’energia:
2/3
33 2
3
4
3
4
8
1)( mE
h
VnEN
2/13
38
2)( Em
h
V
dE
dNEg
In termini di quantità di moto e di frequenza di De Broglie:
23
4)()( p
h
V
dp
dEEgpg
2
3
4)()(
c
V
dv
dppgg
la probabilità di occupazionenumero di modi possibili di occupare livelli energetici (degeneri) Ei da parte di un numero non fisso di particelle identiche ed indistinguibili:
!1!
!1
ii
ii
i gn
gnW
Partizionamento in gruppi di ni particelle nei livelli con degenerazione gi
Si massimizza W per trovare la partizione più probabile
1 iE
ii e
gn
I parametri a e b sono legati ai dettagli della distribuzione. In particolare a=0 per il gas di fotoni e b=1/kBT.
Nel limite di densità elevata di livelli si passa al limite continuo e si ottiene la distribuzione di probabilità di Bose-Einstein:
1
1)(),()(
1
)(//
TkEBEBETkE BB eEfEfdEEg
e
dEEgdn
(ancora) la legge di Planck
1
18
1
18
)()(2
/3
3
/3
2
Tkhv
Tkhv
BE
B
B
ec
hv
ec
vhv
vfV
vghvu
1
12
4
/2
3
Tkhv Bec
hv
uc
R
Riferimenti Bibliografici
Born – Fisica AtomicaAlonso, Finn – Fundamental University
Physics, Vol.3Zemanski – TermodinamicaMatthews – Introduzione alla meccanica
quantisticaMateriale selezionato da Hyperphysics (
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html)