La Mancha - FÍSICA APLICADA FORESTALES. …...PROBLEMA 1 (1.5 p). Se tienen dos condensadores de capacidad C1 = 8 µF y otros dos condensadores de capacidad C2 = 2 µF. Calcular la

1

FÍSICA APLICADA FORESTALES. EXAMEN A2. ABRIL 2012

TEORÍA (3 p). Teorema de Gauss. a) Enunciado, explicación breve y definición de flujo eléctrico. b) ¿Puede aplicarse el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico alrededor de una carga puntual? ¿Y para calcular el campo en las caras de un cubo en cuyo centro se encuentra una carga puntual?

Apellidos y nombre

PROBLEMA 1 (1.5 p). Se tienen dos condensadores de capacidad C1 = 8 µF y otros dos condensadores de capacidad C2 = 2 µF.Calcular la carga de cada condensador (en µC) cuando las asociaciones A y B se conectan a una d.d.p. de 17 voltios.

1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)

1C

2CQ 1B (µC) =Q2B (µC) =Asociación B

.PROBLEMA 2 (3 p)a) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos c y d (Vcd)

b) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia de 5 kΩ (i5K)

d) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos a y b (Vab)c) Calcular la potencia disipada (en miliwatios) en la resistencia de 5 kΩ (P5K)

f) ¿Cuál sería la lectura (en mA) de un amperímetro A intercalado entre los puntos b y d? (iAbd)

e) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia de 15 kΩ (i15K)

Para el circuito dibujado a la derecha se pide:

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 200 =V

mA 20 =iNota: indicar con una flecha sobre el circuito el sentido de cada una de las corrientes pedidas.

A

2


PROBLEMA 3 (2.5 p) Para el circuito dibujado a la derecha se pide:

Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

Aa) Calcular la lectura iA del amperímetro A (en mA).

b) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia central de 3 kΩ (i3K)

d) Calcular la resistencia Thevenin Rab entre los terminales a y b (en kΩ).c) Calcular el equivalente Thevenin de voltaje Vab entre los terminales a y b (en V).

e) Calcular la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a y b (en mA).

Ωk 95.0

V 10

Ωk 95.0

.

i A (mA) =i 3K (mA) =

V ab (V) =R ab (kΩ) =

i CC (mA) =

Nota: indicar con una flecha sobre el circuito el sentido de cada una de las corrientes pedidas.

3



Apellidos y nombre


1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)..

1C








Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 400 =V


A

4

.


Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

A

Ωk2

V 30a) Calcular la lectura iA del amperímetro A (en mA).




Ωk2

..

i A (mA) =i 3K (mA) =


i CC (mA) =


5



Apellidos y nombre

PROBLEMA 1 (1.5 p). Se tienen dos condensadores de capacidad C1 = 2 µF y otros dos condensadores de capacidad C2 = 0.5 µF... Calcular la carga de cada condensador (en µC) cuando las asociaciones A y B se conectan a una d.d.p. de 17 voltios.

1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)

1C








Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 800 =V


A

6


Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

Aa) Calcular la lectura iA del amperímetro A (en mA).




Ωk 8.2

V 50

..Ωk 8.2

.

i A (mA) =i 3K (mA) =


i CC (mA) =


7



Apellidos y nombre


1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)

1C


PROBLEMA 2 (3 p)a) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos c y d (Vcd)






Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 2000 =V


A.

8.


Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

A

Ωk4





Ωk4

i A (mA) =i 3K (mA) =


i CC (mA) =


9



Apellidos y nombre


1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)..

1C








Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 2000 =V


A.

10

..

.


Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

A

Ωk 5





Ωk 5

i A (mA) =i 3K (mA) =


i CC (mA) =


11



Apellidos y nombre

PROBLEMA 1 (1.5 p). Se tienen dos condensadores de capacidad C1 = 2 µF y otros dos condensadores de capacidad C2 = 0.5 µF... Calcular la carga de cada condensador (en µC) cuando las asociaciones A y B se conectan a una d.d.p. de 51 voltios.

1C

1C2C 2C

B)1C

1C

2C

2C

Q 1A (µC) =Q 2A (µC) =

1C

2CAsociación AA)

1C








Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

d

a) V cd V

b) i 5K mA

c) P 5K mW

d) V ab V

e) i 15K mA

f) i Abd mA

V 3200 =V


A.

12

..

.


Ωk 6

Ωk 3

Ωk1

V 40

a

b

A

Ωk 6





Ωk 6

i A (mA) =i 3K (mA) =


i CC (mA) =


13

SaleSale

Sale

Sale

Sale

SaleSale

EntraEntraEntra

Entra

Entra

Entra Entra

Entra

Entra

Entra

Sale

Sale

Sale

SaleSale

Sale

Sale

Sale Sale

Sale

Sale

El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4π⋅k veces el valor de la carga neta encerrada por dicha superficie.

Flujo neto


Carga neta

Reformulación de la ley de Gauss en términos de la permitividad del vacío ε0

00

4

1εεπQSdEk

S

=⋅=Φ⇒= ∫rr


CANTIDAD ESCALAR∫ ⋅=Φ

S

SdErr

Flujo asociado con líneas de campo: flujo neto positivo → salen líneasFlujo neto negativo → entran líneas

a) Flujo campo eléctrico a través de una superficie:

QkSdE

S

⋅⋅=⋅=Φ ∫ π4rr

14


QkSdE

S

⋅⋅=⋅=Φ ∫ π4rr

b) Si la simetría es adecuada de forma que el vector campo eléctrico puede sacarse de la integral

y la superficie puede expresarse fácilmente en términos de datos conocidos, entonces el teorema de Gauss es útil para calcular el campo. Esto es lo que ocurre cuando se quiere hallar el campo alrededor de una carga puntual, por ejemplo.

Pero si el campo no se puede sacar de la integral, ya que la simetría implica que su módulo no es constante, aunque el teorema de Gauss se sigue cumpliendo, no resulta útil para calcular el campo. Esto ocurre en la superficie de un cubo.

QQ

Er

Sdr

Er

Sdr

Er

Sdr

Sdr

Er

Sdr

Er

Sdr

Er

Campo con diferente módulo y diferente orientación respecto al vector superficie local en cada punto de la superficie

Simetría inadecuada, el campo no puede sacarse de la integral y el T. de Gauss no resulta útil para calcular dicho campo.

Campo con igual módulo en todos los puntos de la superficie de la esfera, e igual orientación respecto al vector superficie local

Simetría adecuada, el campo puede sacarse de la integral y el T. de Gauss resulta útil para calcular dicho campo.

15


PROBLEMA 1 (1.5 p). Considere dos condensadores de capacidad C1 y otros dos condensadores de capacidad C2.Calcular la carga de carga condensador cuando los conjuntos A y B se conectan a una d.d.p. de V0 voltios.

1C

1C

2C

2C

A)1C

1C2C 2C

B)

0V 0V

Capacidad equivalente de cada serie

1C 2C

21

21

21 111

CCCC

CCCSA

+=+=

21

21 CC

CCCSA +=

Hay dos series CSA en paralelo, por tanto21

21 2CCCCCA +

=

0 VCQ AACarga del conjunto A =

Como están en paralelo entre si y son iguales, cada una de las series contiene la mitad de la carga, y cada uno de los condensadores C1 y C2 de una serie tiene igual carga (aunque sus capacidades sean distintas, puesto que están en serie)

021 2

VCQQ AAA == 0

21

21 VCC

CC+

=

1C

1C

Capacidad equivalente del paralelo

12CCPB =

2C 2C12CCapacidad de la serie B

221

11211

CCCCSB

++=21

21

24

CCCC +

=

21

21

4 2

CCCCCSB +

=

0 VCQ SBBCarga del conjunto B =

Cada condensador C2 tiene la carga QB, puesto que están en serie; entre los dos condensadores C1 puestos en paralelo también reúnen la carga QB, por lo tanto cada uno de ellos tiene una carga igual a QB/2.

Cargas en la asociación A: Cargas en la asociación B:

021

211

VCC

CCQ A +=

021

212

VCC

CCQ A +=

V0 (V) = 17 17 17 51 51 51

C1 (µF) = 8 4 2 8 4 2C2 (µF) = 2 1 0,5 2 1 0,5

Q1A (µC) = 27,2 13,6 6,8 81,6 40,8 20,4Q2A (µC) = 27,2 13,6 6,8 81,6 40,8 20,4

V0 (V) = 17 17 17 51 51 51

C1 (µF) = 8 4 2 8 4 2C2 (µF) = 2 1 0,5 2 1 0,5

Q1B (µC) = 8 4 2 24 12 6Q2B (µC) = 16 8 4 48 24 12

021

211 4

VCC

CCQ B +=

021

212 4

2 VCC

CCQ B +=

16


PROBLEMA 2 (3 p) a) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos c y d (Vcd)b) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia de 5 kΩ (i5K)


f) ¿Cuál sería la lectura (en mA) de un amperímetro intercalado entre los puntos b y d? (iAbd)e) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia de 15 kΩ (i15K)

(Intensidades en mA, caídas de tensión en V)V 0 20 40 80 200 200 320i 0 2 16 8 4 20 32

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

Ki5

Ki15

d

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a

(V) ·0 fRi

c

Ω= k 15fR

d

0V

Ecuación del sistema

Equivalencia entre fuente corriente y fuente de voltaje

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

0

0

2

1

15

5.225510

iV

ii

M

M

200 5.225

510=

−−

=∆

000

01 75 5.22

5.22 155

iVi

V−=

−−

=∆ 000

02 5 150

15510

Vii

V+−=

−−=∆

( )mA 375.0 1125.0200

75 5.2200

0011 iViViM −=

−=

∆∆

= ( )mA 025.0 75.0200

5 15000

0022 ViViiM +−=

+−=

∆∆

=

1Mi

2Mi

Método de mallas

Abdi

17

PROBLEMA 2 (Continuación)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

0

0

2

1

15

5.225510

iV

ii

M

MEcuación del sistema

200 5.225

510=

−−

=∆

000

01 75 5.22

5.22 155

iVi

V−=

−−

=∆00

0

02 5 150

15510

Vii

V−−=

−−−

=∆

( )mA 375.0 1125.0200

75 5.2200

0011 iViViM −=

−=

∆∆

= ( )mA 025.0 75.0200

5 15000

0022 ViViiM −−=

−−=

∆∆

=

b) Hallar la corriente (mA) que circula por la resistencia de 5 kΩ (i5K)

a) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos c y d (Vcd)

( )V ·· 21 eMaMcd RiRiV −−=

( )mA 215 MMK iii −=

( )V 5.2·1· 21 MMcd iiV −−=

d) Calcular la caída de tensión (en voltios) entre los puntos a y b (Vab)

c) Calcular la potencia disipada (en miliwatios) en la resistencia de 5 kΩ (P5K) ( )mW ·2

55 dKK RiP −=

mA kΩ

( ) ( )V 5.2·5 · 221 MMM iii −−=

( )mA 15//15 abfabK VRVi ==

( ) ( )V · · 221 eMdMMab RiRiiV −−=

e) Corriente (mA) que circula por la resistencia de 15 kΩ (i15K)En el circuito original (sin transformaciones) la resistencia de15 KΩ está colocada entre los puntos a, b. Aplicamos Ohm.

e) Un amperímetro situado entre b y d indicaráuna corriente igual al valor absoluto de iM2

( )mA 2MAbd ii =

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a

(V) ·0 fRi

c

Ω= k 15fR

d

0V1Mi

2Mi

Método de mallas

A

18

(intensidades en mA, caídas de tensión en V,resistencias en kΩ)V 0 20 40 80 200 200 320i 0 2 16 8 4 20 32

R f (kΩ) = 15 i 0·R f 30 240 120 60 300 480i M1 1,50 -1,50 6,00 21,00 15,00 24,00i M2 -1,00 -11,00 -4,00 2,00 -10,00 -16,00

a) V cd 1 29 4 -26 10 16b) i 5K 2,5 9,5 10 19 25 40c) P 5K 31,25 451,25 500 1805 3125 8000

d) V ab 15 75 60 90 150 240e) i 15K 1 5 4 6 10 16f) i Abd 1 11 4 2 10 16



( )V 5.2·1· 21 MMcd iiV −−=

( )mW ·255 dKK RiP −=

( ) ( )V 5.2·5 · 221 MMMab iiiV −−=( )mA 15//15 abfabK VRVi ==

( )mA 2MAbd ii =

RESULTADOS NUMÉRICOS

Corrientes de malla

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a

(V) ·0 fRi

c

Ω= k 15fR

d

0V1Mi

2Mi

Ω= k 2bR

Ω= k 1aR

Ω= k 5dR

Ω= k 2cR

Ω= k 2.5eR

b

a(mA) 0i

c

0V

Ω= k 15fR

Ki5

Ki15

dAbdi

19


6 6 6 6 6 61 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3

10 30 50 70 90 1100,95 2 2,8 4 5 6RRR ED ==

( )Ωk AR( )Ωk BR( )Ωk CR

(V) 2V

PROBLEMA 3 (2.5 p)

Para el circuito de la figura se pide:a) Calcular la lectura iA del amperímetro A (en mA).b) Hallar la corriente (en mA) que circula por la resistencia central de 3 kΩ (i3K)

d) Calcular la resistencia Thevenin Rab entre los terminales a y b (en kΩ).

DR

AR

ERCR

BR

1V

2Va

b

A

1Mi

2Mi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

−++0

1

2

1 Vii

RRRRRRRR

M

M

EDCC

CCBA

Método de mallas

Ω= k 3CR

Ω= k 6ARΩ= k 1BR

RRR ED ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

0

233310 1

2

1 Vii

R M

M

RR

2021233310

+=+−−

=∆

( )RVR

V23·

2303

11

1 +=+−

=∆

11

2 3 03

10V

V=

−=∆

( ) ( )mA 2021

23·111 R

RViM ++

=∆∆

= ( )mA 2021

3 122 R

ViM +=

∆∆

=


V 04 1 =V

c) Calcular el equivalente Thevenin de voltaje Vab entre los terminales a y b (en V).

c) Equivalente Thevenin voltaje Vaba) Lectura amperímetro b) Corriente en RC = 3 kΩ

( )mA 2021

3 122 R

Vii MA +=

∆∆

== ( )V 122 BMEMab RiRiVV ++=( )mA 213 MMK iii −=

20


c) Resistencia Thevenin entre los terminales a, b. Cortocircuitando las fuentes de voltaje se tiene la siguiente agrupación de resistencias, que no constituye ni asociación en serie ni en paralelo.

DR

AR

ERCR

BR

a

b

0V

00 / iVREq =

R

Ωk 6 Ωk1

a

b

Ωk 3RDeterminamos su resis-

tencia equivalente consi-derando esa agrupación como un circuito conec-tado a una fuente de voltaje ideal EqR

0V

1i

2i

0i

0i

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−−−−−+

00

2333101

11 0

2

1

0 V

iii

RR

RR

Ecuación matricial del sistema

RR

RR

2333101

11

+−−−−−−+

=∆

∆∆

= 10i

RV

R

RV

233310

23303100

1

0

0

0 +−−

=+−−−−

=∆

Valores numéricos según R, ver hoja de cálculo adjunta.

d) Corriente de cortocircuito: se calcula fácilmente una vez conocido el equivalente Thevenin Vab, Rab

Se calcula i0

Comparando los dos circuitos a la derecha 00 / iVRR Eqab ==

abV

abR

a

b

CCi abCCab RiV =

00

0

0

∆∆

== ViVREq

R

RR

RR

RR Eqab

233310

2333101

11

+−−

+−−−−−−+

==

V0 se simplifica

ab

abCC R

Vi =

21

PROBLEMA 3 (Resultados numéricos)

Corrientes de malla

6 6 6 6 6 61 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3

10 30 50 70 90 1100,95 2 2,8 4 5 6

40 40 40 40 40 4010 30 50 70 90 110

4,90 4,59 4,47 4,36 4,30 4,26

3,00 1,97 1,56 1,19 0,99 0,85

a) 3,00 1,97 1,56 1,19 0,99 0,85

b) 1,90 2,62 2,91 3,17 3,31 3,40

c) 17,75 38,52 58,83 79,11 99,26 119,36d) 1,46 2,03 2,45 3,07 3,58 4,09

e) 12,2 19,0 24,0 25,8 29,2 29,2

( )mA2MA ii =

RRR ED ==

( ) ( )mA 2021

23·11 R

RViM ++

=

( )mA 2021

3 12 R

ViM +=

(V) 1V(V) 2V

( )V 122 BMEMab RiRiVV ++=

( )Ωk AR( )Ωk BR( )Ωk CR

( )Ωk abR

( )mA / ababCC RVi =

(V) 2V


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La Mancha - FÍSICA APLICADA FORESTALES. …...PROBLEMA 1 (1.5 p). Se tienen dos condensadores de capacidad C1 = 8 µF y otros dos condensadores de capacidad C2 = 2 µF. Calcular la