LA INTEGRAL Y LA NOCIÓN DE VARIACIÓN - Ciclo 12 · integral como la "operación inversa de la diferenciación". 2 La integral y la noción de variación En un ámbito escolar, nosotros

LA INTEGRAL Y LA NOCIÓNDE VARIACIÓN

Francisco Cordero, Germán Muñozy Miguel Solís

CINVESTAV-IPN / Universidad Autónoma de Chiapas

LA INTEGRAL Y LA NOCIÓN

DE VARIACIÓN

Francisco Cordero, Germán Muñoz y

Miguel Solís

CINVESTAV-IPN / Universidad Autónoma de Chiapas

Cuadernos Didácticos Vol.Colección dirigida por Ricardo Cantoral

LA INTEGRAL Y LA NOCIÓN DE VARIACIÓNPOR FRANCISCO CORDERO, GERMÁN MUÑOZ Y MIGUEL SOLÍSCINVESTAV-IPN / UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

D. R. 2002 Grupo Editorial Iberoamérica S. A. de C. V.Ninguna parte de este cuaderno puede ser reproducida, archivada o transmitida en formaalguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotoreproducción, dealmacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escritode Grupo Editorial Iberoamérica.

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Índice de contenidos

Introducción 1

1. Concepto de área bajo una curva 3

2. Aproximación de área bajo una curva 9

3. La integral como límite de una suma 19

4. Relación entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral 25

5. Situación de la integral en el contexto de la cinemática 41

Bibliografía 85

Introducción

Hacemos una presentación introductoria del Cálculo integral,considerando aspectos relacionados a su utilidad como instru-mento matemático. En ese sentido podemos decir que el Cálculointegral es la matemática que usamos para resolver ciertos tiposde problemas.

Estos problemas, a lo largo de la historia del Cálculo integral, hantenido que ver con la determinación de magnitudes de cantidades,por ejemplo, áreas, longitudes y volúmenes. Así también, con lapredicción sobre los cambios de ciertas cantidades que varían, porejemplo el crecimiento de una población, la distancia que recorreun móvil y los costos de producción.

Sin embargo, el concepto de integral ha sido representado por lahumanidad en formas distintas. Por ejemplo, Newton representóeste concepto como el "hallar la cantidad fluente (antiderivada) deuna fluxión (derivada) dada", mientras que Leibniz lo considerócomo una suma, de un número vasto de cantidades pequeñas pa-ra completar un total, "la integral es la suma de las diferencias en-tre dos estados de una cantidad" y los Bernoulli interpretaron a laintegral como la "operación inversa de la diferenciación".

La integral y la noción de variación2

En un ámbito escolar, nosotros hemos convenido considerar lasconcepciones más usuales de estas representaciones: la operacióninversa de la derivada y la determinación de un proceso para obtener elárea bajo una curva.

La secuencia de la presentación es distribuida a través de cincosecciones: concepto de área bajo una curva, aproximación al área bajouna curva, la integral como límite de una suma y la relación entre elCálculo diferencial y el Cálculo integral, situaciones de la integral en elcontexto de la cinemática.

La primera sección trata de los procedimientos para medir el áreade una región acotada a través de un área conocida, considerandodiferentes estrategias de llenado de la región y el signo algebraicodel área. La segunda, sobre la noción de aproximación conside-rando aspectos elementales de medición, tanto interior como exte-rior, del área de una región acotada. Así, la tercera sección, discutedos interpretaciones de la integral como suma: la suma de áreasde rectángulos pequeños y la suma de áreas de rectángulos a tra-vés de un proceso al límite. La cuarta sección, se trata de la rela-ción entre el Cálculo diferencial y el Cálculo integral a través de laoperación inversa de la derivada. Y la quinta sección trata acercade los problemas específicos que se derivan de los fenómenos devariación o cambio, los cuales plantean preguntas acerca de la leyque cuantifica al mismo fenómeno.

Además, cada una de las secciones está compuesta de ejemplos yactividades con el propósito de ayudar al lector a precisar los con-ceptos del Cálculo integral. En algunas ocasiones aparecen se-cuencias de figuras con flechas “ → ” indicando, la continuidadde la secuencia y favoreciendo argumentos visuales.

1. Concepto de área bajo una curva

El Cálculo integral, tiene una estrecha relación con el concepto deárea bajo una curva. Es conveniente entonces, presentar algunasde las características de esa área que le darán sentido a la relación,donde el aspecto principal consiste en medir el área de una regiónacotada (ver Figura 1.1). Y, para poder realizar la medición es ne-cesario establecer un procedimiento general y eficiente.

Figura 1.1.

Medir el área a través de una área conocida, es un procedimientonatural y la humanidad ha dado muestra de ello, derivándose, sinembargo, diferentes estrategias para llenar la región acotada.


Por ejemplo, para medir el área de la región acotada que apareceen la Figura 1.1, se persigue la idea de “transformar” ( → ) laregión en un rectángulo cuya área es conocida: área=base x altura(ver Figura 1.2).

Figura 1.2

Las estrategias más comunes consisten, una, en insertar en la re-gión acotada una figura geométrica de área conocida (por ejemploun rectángulo y/o un triángulo), de un tamaño tal, que cubra lomás que se pueda la región acotada (ver Figura 1.3). Después, pa-ra las partes restantes, no cubiertas por la figura geométrica inser-tada, se repite el mismo proceso, pero con figuras geométricasmas pequeñas hasta llenar completamente la región. Y, finalmen-te, sumar todas las áreas de las figuras geométricas

La integral y la noción de variación 5

Figura 1.3

Otra, estrategia, consiste en llenar la región a través de una redcuadriculada (ver Figura 1.4), en donde cada “cuadrito” represen-ta una unidad. Entonces, para medir el área de la región bastarácontar los “cuadritos” insertados.

Figura 1.4

Ahora bien, el área bajo una curva (ver Figura 1.5), es el área deuna región acotada que asocia el área a una función. Las cotas dela región son las rectas verticales, x=a y x=b, que con respecto alsistema de coordenadas, componen los lados (izquierdo y dere-


cho) de la región. También, el eje x es la cota por abajo y la gráficade la función positiva (f(x)>0) es la cota por arriba, ambas de laregión.

Figura 1.5

El procedimiento, para la medición del área, descrito en las estra-tegias anteriores es reinterpretado ante esta región acotada. Estaregión es orientada por los ejes coordenados, es decir, el eje x dacuenta de la base, mientras que el eje y de la altura; y=f(x) (ver Fi-gura 1.6)

Figura 1.6


Así, para encontrar el valor numérico del área, se requiere consi-derar figuras geométricas de áreas conocidas que llenen la región:los rectángulos como en la Figura 1.7 y la suma de sus áreas resul-taría aproximadamente el valor numérico del área.

Figura 1.7

Efectivamente, habría que precisar lo que se debe de entendercomo valor aproximado del área, es decir, ¿cuándo tenemos una“buena” aproximación del área real de la región? Una discusión alrespecto se lleva a cabo en la siguiente sección (2).

2. Aproximación al área bajo una curva

Calcular cada una de las áreas de los rectángulos, que llenan laregión acotada para alcanzar el valor real del área, necesariamentelleva a precisar el sentido de la aproximación.

Consideremos algunas funciones e intentemos calcular, con elprocedimiento anterior, el área bajo las curvas respectivas.

Por ejemplo, si la función a considerar es la función constante,f(x)=k en el intervalo [a, b], el área bajo la curva coincide con elárea de un rectángulo. De acuerdo con la Figura 2.1 el área estaríaexpresada por la fórmula conocida base por altura =(b-a)k.

Figura 2.1


Y si llevamos a cabo el procedimiento de llenar la región por me-dio de rectángulos llegaríamos a la misma fórmula conocida. Enesta región no importa el tamaño de los rectángulos para alcanzarel área real de la región, como se ve en la Figura 2.2.

Dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos mediante los puntosa, xo, x1, x2, b1. Cada uno de los rectángulos tiene la misma altura ky la suma de sus áreas se expresa de la siguiente manera,

área bajo la curva = (xo-a)k + (x1-xo)k + (x2-x1)k + (b-x2)k = (xo-a + x1-xo + x2-x1 + b-x2)k

= (b-a)k

Figura 2.2

Si dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, obtene-mos el mismo resultado. En este caso la longitud de cada subin-

1Precisemos algunos aspectos de lo que quiere decir dividir un intervalo. Para dividir el intervalo[a, b] en n subintervalos más pequeños se eligen puntos de partición xo,, x1,, x2,, ...,xn de maneraque

a< xo, <x1, <x2,< ...<xn <b.Entonces, los n subintervalos son [xo, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn-1, xn]. Esta subdivisión se llamapartición del intervalo [a, b]. Y la longitud de cada subintervalo [xi-1, xi] se obtiene restando xi-xi-

1.


tervalo es b an− y contamos con n rectángulos. Siendo así, la

suma de todos los rectángulos tiene n términos iguales. Entoncesbasta con multiplicar n veces el área de un rectángulo,

área bajo la curva = n( b an− )k

= (b-a)k.

Sin embargo, si consideramos el área bajo la curva formada por lafunción f(x)=x en el intervalo [a, b] (ver Figura 2.3), la situacióndel cálculo del área no va a ser exactamente la misma que en elcaso anterior.

Figura 2.3

Efectivamente, el área puede ser calculada sumando el área delrectángulo y la del triángulo (ver Figura 2.4);

A1=área del rectángulo =(b-a)ay


A2=área del triángulo = ( )( )2

b a b a− − ,

luego,

área bajo la curva = A1+A2 = (b-a)a + ( )( )2

b a b a− −

= ( )2 ( )( )2

b a a b a b a− + − −

= ( )(2 )2

b a a b a− + −

= ( )( )2

b a b a+ − .

Figura 2.4

También se podría calcular el área directamente por ser la regiónbajo la curva un trapecio, su área sería la semisuma de las basesmultiplicada por la altura:


área bajo al curva = ( ) ( )2

a b b a+− .

Tomemos casos particulares para esta área y observemos los valo-res numéricos. Por ejemplo, consideremos el intervalo [1,3], y di-vidámoslo en tres subintervalos de diferente longitud, como en laFigura 2.5.

Figura 2.5

Las alturas de los rectángulos son consideradas de tal suerte quetodos ellos quedan inscritos en la región acotada, es decir, los rec-tángulos están por abajo de la curva f(x)=x. Y la suma de las áreasde los tres rectángulos resulta

(1.5-1)1+(2-1.5)1.5+(3-2)2=3.25

(Observa, que las alturas de los rectángulos 1, 1.5 y 2, son calcula-das al evaluar la función f(x)=x en los extremos izquierdos de lossubintervalos correspondientes: f(1)=1, f(1.5)=1.5 y f(2)=2)


Por otra parte, si consideramos, ahora, las alturas de los rectángu-los (con las mismas bases del caso anterior), de tal suerte que losrectángulos quedan circunscritos a la región como se presentan enla Figura 2.6.

Figura 2.6

La suma de las áreas de los rectángulos circunscritos resulta ser,

(1.5-1)1.5+(2-1.5)2+(3-2)3=4.75

(En el mismo sentido que en la observación anterior las alturas delos rectángulos son calculadas al evaluar en la función los valoresextremos derechos de los subintervalos correspondientes)

Sin embargo, el valor real del área de la región acotada usando larelación encontrada anteriormente, resulta ser,

( )( )2

b a b a+ − = (3 1)(3 1)2

+ − =4


Este valor se encuentra acotado por los dos valores anteriormentecalculados

3.25 < 4 < 4.75,

en este sentido 3.25 y 4.75 son valores aproximados al valor realdel área, 4.

La aproximación anterior, puede ser mejorada si llenamos la re-gión con rectángulos de tamaño tal que la línea horizontal en laparte superior del rectángulo se parezca más a la curva en esesubintervalo como aparece en la Figura 2.7 Así, cada vez que larecta horizontal (por cada subintervalo) se parezca a la curva seestaría alcanzando una mejor aproximación al área real que sedesea calcular.

Figura 2.7

Para ilustrar esta observación consideremos nuevamente la regiónde la Figura. 2.3 y al intervalo [a, b] dividámoslo en n partes igua-les mediante los puntos

a,x1, x2, ...,xn-1, b


Cada subintervalo es de la misma longitud digamos h = b an− .

Entonces, cada punto puede ser expresado de la siguiente manera:

a, a+h, a+2h, ..., a+(n-1)h, a+nh = b.

Y la suma de las áreas de los rectángulos que llenan la región de laFigura 2.8 es expresada por

Figura 2.8

S = (a+h)h+(a+2h)h+...+(a+nh)h

= ah+h2+ah+2h2+ah+3h2+...+ah+nh2

= nah+(1+2+3+...+n)h2

= nah+ n n( )+12

h2

= anh+2 2 2 2( )2 2 2 2

n h nh nh nhanh h+ = + +


= a(b-a)+ ( ) ( )b a b a h−+

−2

2 2

=22 ( ) ( ) ( )

2 2a b a b a b a h− + − −

+

= ( )( ) ( )22 2

a b a b a b a h+ − −+

−

= ( )( )2

b a b a+ − + ( )b a h−2

.

Observa que como h = b an− , en lugar de nh sustituimos b-a.

Si h es muy pequeño, esto es, si dividimos al intervalo [a,b] en un

número de partes iguales con n muy grande, entonces ( )b a h−2

será muy pequeño y la suma de las áreas de los rectángulos cir-cunscritos estará muy próxima al área de la región bajo la curva

( )( )2

b a b a+ − .

Actividad

1.- Tomando como referencia el ejemplo donde se calcula el áreabajo la curva y=x entre las rectas x=a y x=b, con a < b. Calcula aho-ra el área bajo la curva y=x2 entre las rectas x=a y x=b, con a < b.Para resolver este problema serán útiles los siguientes resultados:

1 21

2

1 21 2 1

62 2 2

+ + + =+

+ + + =+ +

...( )

...( )( )

nn n

nn n n

además del desarrollo de los binomios:


(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

2.- Calcula el área bajo la curva y=x3 entre las rectas x=a y x=b,con a < b. Otros resultados útiles para la solución de este problemason:

( )1 2

12

3 3 32

+ + + =+

. .. n

n n

y el desarrollo del binomio:(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

3.- Utilizando los resultados de los problemas 1 y 2, calcula elárea:a) limitada por la curva y=x2, el eje X y las rectas x=5 y x=8.b) limitada por la curva y=x3, el eje X y las rectas x=2 y x=9.

4.- Encuentra el área bajo la curva yx xx x

=≤ <

≥

2 0 11

si si

entre las rec-

tas x=0 y x=2. Utiliza los resultados anteriores.

3. La integral como límite de una suma

Una representación geométrica del concepto de integral consisteen el área bajo una curva, entonces el símbolo f x dxa

b ( )∫ expresaesa área:

f x dxa

b( )∫ área bajo la curva y=f(x) .

El signo de la integral ∫ significa la suma, en este caso, de losrectángulos representados por f(x)dx, donde f(x) es la altura ydx la base. Asimismo, a y b son los extremos del intervalo sobreel cual se consideran las bases de los rectángulos. A estos extre-mos se les conoce como los límites de integración.

Para desarrollar el argumento geométrico se requiere, en primerlugar, concebir una región con área (ver Figura 3.1) y, después,establecer un proceso, a través de áreas conocidas, de tal suerteque vayan cubriendo la región.


Debemos considerar una función, y=f(x), cuya gráfica es una cur-va sobre el intervalo [a, b] y que acota una región, como en la Fi-gura 3.1

Figura 3.1

Agustin Cauchy, un matemático francés, desarrolló una base teó-rica para el Cálculo integral a través de usar solo un tipo de fun-ciones llamadas continuas. Escribió, en sus lecciones del Cálculointegral (Oeuvres Complétes de Cauchy, serie II, Tomo IV), un proce-so, a través de áreas conocidas, que cubriera la región acotada,definiendo a la integral como el límite de la suma,

"lím f x xn i i

i

n

→∞=∑ ( )∆

1".

La estrategia consistió en dividir al intervalo [a, b], el dominio dela función f(x), en n subintervalos de longitudes x1-a, x2-x1,...,b-xn-1.La longitud de cada intervalo se multiplica por el valor de la fun-ción correspondiente a su primer punto; x1-a por f(a), x2-x1, porf(x1),...,b-xn-1 por f(xn-1). La suma correspondiente se expresa por


S=(x1 -a)f(a)+(x2-x1)f(x1)+...+(b-xn-1)f(xn-1).

S representa, geométricamente, una aproximación al área bajo lacurva y=f(x) en el intervalo [a, b] (ver Figura 3.2).

Figura 3.2

La suma S depende de f(x) y de la forma de la partición, es decir,depende del número de segmentos en los que se ha dividido alintervalo [a, b] y de las longitudes de esos segmentos, pueden sersegmentos iguales o no, sean unos más grandes que otros.

De esa manera, la suma S cambia cuando el número de divisionesde [a, b] crece considerablemente, toda vez que el tamaño de ladivisiones disminuye, también considerablemente. Sin embargo,Cauchy muestra que el límite de la suma S es independiente de laforma de la división y de la división misma, es decir, cuando elnúmero de divisiones de [a, b] tiende a infinito y el tamaño de to-das las divisiones tienden a cero.

En ese sentido la notación

f x dxa

b( )∫ ,


indica explícitamente que el límite de S, depende del intervalo[a,b] y de la función f(x):

Así, la suma S tiende a ser el área f x dxa

b( )∫ :

"S → f x dxa

b( )∫ ".

Y geométricamente, significa que el límite de S es el área bajo lacurva y=f(x) (ver Figura 3.3).

→

Figura 3.3

El intervalo [a, b] es el dominio de la función f(x) y de la suma S.Los extremos del intervalo a y b son los límites de integración. Yel límite de la suma S, cuando n tiende a infinito, suele expresarsede la siguiente manera:

lím f x xn i i

i

n

→∞=∑ ( )∆

1 (Si n → ∞, ∆xi → 0), donde


n indica el número de divisiones del intervalo [a, b].∆xi indica la longitud de cualquier subintervalo de [a, b]:x xi i+ −1 . y

i

n

=∑

1

indica la suma de los n términos de la forma f x xi i( )∆ .

Así,

límf x x f x dx

ni

i

n

i a

b

→∞ =∑ ∫

=( ) ( )

1∆ .

4. Relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral

En esta sección presentamos la relación que guardan la funciónderivada y la integral, convirtiendo a la integral en la operación in-versa de la derivada.

Hasta ahora, hemos considerado al área bajo una curva como unsignificado de la integral, expresado simbólicamente como

f x dxa

b( )∫ =“ área bajo la curva y=f(x)” (ver Figura 4.1).

y=f(x)la curva y=f(x)

→


A(b)a b

área bajo la curva y=f(x)

Figura 4.1

Además, considerando el intervalo [a, b] en el eje x se forma unaregión entre la curva y el eje de las x. Esta región depende de x, asítambién su área, la cual la expresamos como A(x) (ver Figura 4.2).

A(b)a b

x1

x1

A(x1)

x

A(x)

Figura 4.2

A(x) describe los valores del área bajo la curva f(x) en distintosmomentos. Por ejemplo, A(x1) y A(x2) se puede considerar querepresentan dos valores del área en distintos momentos para loscuales A(x1) sucedió antes que A(x2) (ver Figura 4.3)


A(b)a b

x1

x1

A(x1)A(x

1)

↓

A(b)a b

x2

A(x2)A(x

2)

x1

Figura 4.3

Para calcular el valor del área desde a hasta b, se debe considerarel valor del área inicial A(a) y el valor final del área A(b) yefectuar la resta A(b)-A(a) (ver en la Figura 4.4) la secuencia devalores del área indicada por las flechas “→” y “ ↓ ”)


A(a)

ab

→

A(b)a b

↓

A(b)-A(a)a

b

Figura 4.4

La resta A(b)-A(a) expresa el área acumulada entre a y b, enese sentido la integral debe cumplir con la siguiente relación

f x dxa

b( )∫ =A(b)-A(a).


Pero ¿qué relación guardan las funciones A(x) (“función área”) yf(x)?.

De acuerdo a la geometría del área bajo la curva, explicaremosque la relación entre las funciones A(x) y f(x) es precisamenteque f(x) es la derivada de A(x), f(x)=A´(x).

A(x), como lo dijimos anteriormente, describe valores del área bajola curva f(x) en distintos momentos. La variación de estos valoreses expresada por la diferencia

A(x+h)-A(x).

Geométricamente, la diferencia de áreas, resulta ser aproxima-damente el área de un rectángulo de base h y altura f(x).

En la Figura 4.5 presentamos una secuencia gráfica (en la direc-ción de las flechas “→” y “↓ ”) considerando, primero el mo-mento del área A(x), después el momento del área A(x+h), in-mediatamente la resta de ambas áreas y, finalmente, la identifica-ción del rectángulo de base h y altura f(x).

A(x)

x

→


A(x)

x

A(x+h)

x+h

↓

A(x)

x x+dxx x+h

A(x+h)-A(x)

↓

x

A(x)

x+dx

A(x+dx)-A(x)

f(x)

dxh

área del rectángulo=f(x)h

Figura 4.5

El área del rectángulo f(x)h es aproximadamente la variación oincremento del área A(x). Entonces,


A x h A x f x h( ) ( ) ( )+ − ≈

donde ≈ se lee “es aproximadamente igual a”.

La razón de cambio del área se obtiene al dividir la variación en-tre h

A x h A xh

f x hh

( ) ( ) ( )+ −≈ = f(x)

y considerando el límite cuando h → 0

lím A x h A xh

f xh→

+ −=

0

( ) ( ) ( ) .

El límite del cociente anterior lleva a interpretar que la derivadadel área es igual a la función f(x): f(x)=A´(x).

En la relación A x h A x f x h( ) ( ) ( )+ − ≈ , si llamamos a h=dx, elvalor del área A(x+h) queda expresado de la siguiente manera:

A(x+dx)=A(x)+f(x)dx para cualquier x en [a, b].

Y, sumándole al valor del área A(a) todos los valores de las áreasf(x)dx desde a hasta b encontramos el valor acumulado del áreaA(b):

A(b)=A(a)+ f x dxa

b( )∫

Por otra parte, la resta A(b)-A(a) determina la acumulación de áreacuando x está considerada en el intervalo [a, b]:


A(b)-A(a)= f x dxa

b( )∫

Así, la igualdad A´(x)=f(x) relaciona la derivada y la integral ex-presada por

A x dx A x ab

a

b′ =∫ ( ) ( )

=A(b)-A(a).

(La expresión “A(x)ba

” es sólo una notación de la resta

A(b)-A(a). Así cualquier función G(x) que anteceda a la ba-

rra “ba

”, con los valores a y b, indica que hay que evaluar

la función G(x), respectivamente, en a y b: G(a) y G(b) yefectuar la resta G(b)-G(a).)

Por la expresión A x dx A x ab

a

b′ =∫ ( ) ( ) , tiene sentido pensar a la in-

tegral como la "operación inversa de la derivada"; ya que al inte-grar una función dada f(x), se obtiene la función F(x) cuya deri-vada es la función dada: F´(x)=f(x). La función f(x), en la expre-sión de la integral, implícitamente es la derivada de otra funciónF(x). Así, a la función F(x) se le conoce como función primitiva;

función primitiva = integral de su función derivada.

Una vez establecida la relación entre la derivada y la integral, laintegral adquiere un carácter operacional, el cual consiste enhallar funciones primitivas a partir de su función derivada.


Conociendo la función primitiva y su derivada en forma explícitase puede construir una tabla de integración, para determinar algu-nas fórmulas de integración que facilitan cálculos de integrales.

Sin embargo, recordemos que la derivada de una función constan-te es cero. Así, para funciones que incluyen términos constantes

en sus expresiones, por ejemplo x2

2, x2

2+3, x2

2-5, resulta ser la

función f(x)=x la derivada de cada una de estas. Esto quiere decirque la función primitiva de f(x)=x puede ser cualquiera de las tresfunciones. Es preciso, entonces, que al hallar una función primiti-va se le añada una constante C

f x dx( )∫ =F(x)+C.

Observa, además, que la derivada de la primitiva F(x)+C es f(x):

(F(x)+C)´=[F(x)]´+[C]´=F´(x)+0=F´(x)=f(x).

Tabla IDerivada de F(x)

F´(x)FunciónF x( )

xn−1xn

n

+C si n≠ 0

xnxn

n+

+

1

1+C si n≠ -1

1 x+C

( )ax b m+( )

( )ax ba m

m++1

+C si m≠ -1


Por medio de la Tabla I y la expresión de la integral

" F x dx F x′ =∫ ( ) ( ) +C"

se determinan las siguientes fórmulas de integración:

Tabla II: fórmulas de integración.____________________________________________

1. x dxxn

nn

−∫ =1 +C si n≠ 0

2. x dxxn

nn

∫ =+

+1

1+C si n ≠ -1

3. dx x=∫ +C

4. ( )( )

( )ax b dx

ax ba m

mm

+ =+

+∫+1

1+C si m≠ -1

____________________________________________________

Contamos, hasta ahora, con diferentes expresiones de la integral,donde la característica esencial consiste en los límites de integra-ción;

F x dx′∫ ( ) =F(x) + C (sin límites de integración)y

f x dxa

b( )∫ =F(b)-F(a) donde f(x)=F´(x) para a≤x≤b. (con límites de

integración)

Ambas expresiones están relacionadas por la función primitivaF(x) y la función derivada F´(x):


F x F x dx( ) ( )= ′∫ y F x dxa

b′∫ ( ) =F(b)-F(a),

sin embargo la primera expresión determina una función, mientrasque la segunda determina un número.

Ejemplo 4.1. Aplicar las reglas básicas de integración

INTEGRALDADA

REFORMULAR INTEGRAR SIMPLIFICAR

dxx∫ 31 x dx−∫ 3

cx +−

−

2

2c

x+− 22

1

x dx∫ x dx1 2/∫cx +

2/3

2/3cx +2/3

32

( )x dx2 21+∫ ( )x x dx4 22 1+ +∫ cxxx

++

+

32

5

35cxxx +++ 35

32

51

Ejemplo 3.4.2. Consideremos la función f(x)=x y calculemos

las integrales xdx∫ y xdx1

3

∫ .

Solución.De acuerdo con la fórmula de integración

x dxxn

nn

∫ =+

+1

1+C,


la integral xdx∫ es igual a la función F(x)= x2

2+C, es decir,

xdx∫ = x2

2+C (función)

1. Iniciamos con una función f(x)=x.

2. Integramos xdx∫ y resultó la función

F(x)=x2

2+C.

3. Observamos que la derivada de F(x) esf(x)=x.

Para calcular la integral xdx1

3

∫ necesitamos la función pri-

mitiva, que en este caso es F(x)= x2

2+C y de este modo só-

lo se requiere calcular la resta F(3)-F(1) ya que la constantese anula, es decir,

F(3)+C-(F(1)+C)=F(3)-F(1);

xdx1

3

∫ =F(3)-F(1) =2)1(

2)3( 22

− = 4 (número).

Las expresiones simbólicas de la integral

F x dx′∫ ( ) =F(x)y


f x dxa

b( )∫ =F(b)-F(a), donde f(x)=F´(x) para a≤x≤b

relacionan a las funciones primitiva y derivada bajo la siguientesecuencia de funciones (las flechas “ → indican las aplicacio-nes de dos operaciones: derivada e integración):

función F(x) û función derivada F´(x) û función primitiva F(x)+C

La expresión simbólica con límites de integración

f x dxa

b( )∫ =F(b)-F(a)

se conoce como integral definida y la expresión simbólica sin lími-tes de integración

f x dx( )∫ =F(x)

se conoce como integral indefinida.

Actividad

1.- Calcula las siguientes integrales:

a) x dx4∫ b) x dx4

2

5

∫ c) 15x

dx∫d) x dx23

5

7

∫ e) ( )x x dx2 3+∫ f) ( )5 3

3

4 4

x dx−∫g) ( )9 2−∫ x dx

a

b n h) 1

3xdx∫ i)

( )1

2 10 84

0

− +−∫ xdx


2.- Calcula el valor del área limitada por la curva y=-2x2 - 4x + 30,el eje X y las rectas x=1 y x=-4.

3.- La velocidad, de un automóvil por ejemplo, es la medida decómo éste cambia su posición con respecto al tiempo, su fórmula

se escribe comúnmente v st

=∆∆

, donde ∆s es el cambio en la posi-

ción (metros, kilómetros, millas, etc.) y ∆t es el lapso donde ocurreeste cambio (segundos, minutos, horas, días, etc..). Si medimos elcambio en la posición para lapsos muy pequeños, esta medida seaproximará a la velocidad instantánea de nuestro automóvil. La

fórmula para la velocidad instantánea es v lim stt

=→∆

∆∆0

, es decir, la

velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto deltiempo.La velocidad instantánea de un automóvil, durante un intervalode tiempo, está por la función del tiempo: v(t)=0.3t + 1 m/s.a) Encuentra la función posición s(t)b) Si la posición inicial del automóvil era 0 metros, ¿Cuál es la po-

sición del mismo después de 7 segundos?c) ¿En cuánto cambió la posición del vehículo durante el intervalo

de tiempo que va del segundo 5 al segundo 7?

4.- La tasa de crecimiento de una población es la medida del cam-bio en el número de habitantes en un intervalo de tiempo, la tasade crecimiento instantánea es la derivada de la población respectodel tiempo.La tasa de crecimiento instantánea de una población entre los añosde 1980 y 1995 está dada por la función P’(t)= 0.2t2 + t + 1 habitan-tes/año, t=0 corresponde al año 1980. Si la población en el año de1980 era de 4,000 habitantes:a) Encuentra la función población P(t)


b) ¿Cuál era la población en el año de 1989?c) ¿Cuánto se incremento la población entre los años de 1985 y

1990?

5.- En economía se manejan los conceptos de Costos (C), Ingresos(I) y Utilidad (U). Una relación fundamental de estos conceptos esla siguiente U=I-C (las utilidades son la diferencia entre los ingre-sos y los costos), si los ingresos son mayores a los costos tendre-mos una utilidad positiva (ganancia), pero si son los costos losmayores tendremos una utilidad negativa (pérdida). Los costos,ingresos y la utilidad son funciones que dependen de la cantidad(x) de artículos producidos y vendidos. Costo marginal, Ingresomarginal y Utilidad marginal son las derivadas del Costo, Ingresoy Utilidad respectivamente. A la función costo la podemos repre-sentar por C(x), mientras que a la función costo marginal porC’(x), del mismo modo para los otros dos conceptos.Los Costos marginales de cierta empresa están dados por C’(x)=5y los ingresos marginales por I’(x)=25 - 4x.a) Encuentra las expresiones para las funciones Costo, Ingreso y

Utilidad.b) El diagrama de abajo muestra las gráficas del costo marginal y

del ingreso marginal.


para obtener la función costo debemos integrar la función costomarginal, geométricamente significa encontrar la función áreabajo la curva de costo marginal. Lo mismo es para la función in-

greso. Así I x I t dto

x( ) ( )= ′∫ y C x C t dt

x( ) ( )= ′∫0

(nótese que la función

ingreso y la función costo sólo tienen sentido para x≥0, lo mismopara las derivadas de las mismas), la función utilidad es U(x)=I(x)-

C(x) ó U x I t dt C t dtx x

( ) ( ) ( )= ′ − ′∫ ∫0 0, geométricamente la función uti-

lidad es el área entre las curvas formadas por las gráficas de costomarginal e ingreso marginal. Apoyándote en la gráfica de arriba,¿cuál es la utilidad máxima de la empresa?

5. Situaciones de la integralen el contexto de la cinemática

Empezamos esta sección mencionando el tipo de problemas cuyasolución exige de una integración.

Estos son los problemas específicos que se derivan de los fenóme-nos de variación o cambio, los cuales no se refieren a las causas delfenómeno de variación (por qué varían), sino al cuánto varían unavez que se reconoce cómo varía el fenómeno. Es decir, se planteanpreguntas acerca de la ley que cuantifica (cantidad desconocidaF(t) que relaciona funcionalmente a las variables involucradas) alfenómeno de variación o cambio. La configuración de esta ley de-pende de si son dadas, o no, las condiciones iniciales del problemaespecífico.

Por ello podemos analizar dos categorías de relaciones involucra-das en las leyes que cuantifican el fenómeno de variación o cam-bio:

• Primera Categoría: Dadas las condiciones iniciales del pro-blema, encontrar la ley que cuantifica al fenómeno de varia-ción o cambio.


• Segunda Categoría: Encontrar la ley que cuantifica al fenó-meno de variación o cambio cuando no son conocidas lascondiciones iniciales del problema.

A continuación se presentan una serie de situaciones compuestasde actividades que contemplan las categorías mencionadas ante-riormente. La mayoría de estas situaciones fueron diseñadas paraque los participantes discutan y establezcan sus argumentos.

Actividades

I.-Supongamos que sobre una línea recta, en la cual tenemos defi-nido un sistema de coordenadas (ver Figura 1) se está moviendouna partícula. ¿qué información necesitan para calcular la posi-ción de la partícula después de 5 segundos?

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 1

II.-Supongamos que sobre una línea recta, en la cual tenemos de-finido un sistema de coordenadas se está moviendo una partícula.Si la partícula se está moviendo con velocidad constante de 3m/seg y en este instante su posición está dada por S0=2m, ¿cuálserá la posición de la partícula después de:

a) 1 segundob) 2 segundosc) 3 segundosd) t segundos


III.-De una partícula que se está moviendo sobre una línea recta seobtuvo la siguiente información:

t / 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.................................(segundos)V/ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,.1,.......................(metro/segundo)

t / 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.................................(segundos)S/ 2, (metros)

a) Calcular la posición de la partícula cuando el tiempo seaigual a 6 segundos.

b) Calcular la posición de la partícula para cualquier tiempo.

c) Calcular la distancia que recorrería la partícula desde eltiempo 6 (segundos) hasta el tiempo 12 (segundos).

d) Realizar la gráfica de velocidad vs tiempo y la gráfica de po-sición vs tiempo.

e) Dar diferentes valores a la velocidad, considerándola cons-tante para cada valor elegido, en los siguientes intervalos:mayor que uno, menor que uno y mayor que cero, menorque cero. Discutir el efecto en las gráficas de posición.

f) Describir el comportamiento de las gráficas de la posición cuandola velocidad tiende a infinito positivamente, cuando tiende a cero ycuando tiende a infinito negativamente.

g) Construir una expresión algebraica para la función velocidad y parala función posición que describa la síntesis del inciso f).


IV.-De una partícula que se está moviendo sobre una línea recta seobtuvo la siguiente información:

Velocidad (m/s)

1

0 Tiempo (segundos)

Posición (metros)

0 Tiempo (segundos)




d) Dar diferentes valores a la posición inicial en los siguientesintervalos: mayor que cero, menor que cero e igual a cero.Discutir el efecto en las gráficas de velocidad.


e) Construir una expresión algebraica para la función velocidady para la función posición que describa la síntesis del incisod).

f) Realizar una tabla comparativa que contenga la informacióna cerca de la síntesis del inciso d) y e) de ésta actividad y delinciso f) y g) de la actividad III. Además discutir el compor-tamiento de la aceleración y redactar sus conclusiones basán-dose en la tabla construida.

Situación de la razón de cambio constante (Primera categoría)

Si un cuerpo con movimiento uniforme estaba en la posición S(0)en t=0, calcular la posición posterior del cuerpo en cualquier ins-tante de tiempo t.

Consideramos un diagrama como el siguiente:

∆

∆

S

tConstante=

el cual significa que S(0) es la condición inicial (estado inicial), Tes la transformación para pasar de S(0) a S(t), donde S(t) es la re-lación funcional entre las variables; además, se sabe cómo se estámoviendo el cuerpo durante la transformación (a razón de cambioconstante).


Efectivamente, la pregunta se caracteriza por pedir una relaciónfuncional S(t), es decir, una ley que cuantifica al movimiento uni-forme de un cuerpo (fenómeno de variación).

Además, el problema nos proporciona las condiciones iniciales: sise hace coincidir el origen del sistema de referencia (sistema decoordenadas) con la posición inicial se tendría S(0)=0.

Pero para encontrar S(t) se requiere encontrar un sistema de trans-formación T (que haga pasar de S(0) a S(t)), para lo cual se cuentacon la información de la razón de cambio, en este caso, constante,

en la que∆∆St

constante= es independiente del tamaño del incre-

mento ∆t , es decir, por muy pequeño que sea el incremento detiempo la razón de cambio es una constante (por ser un movi-miento uniforme).

En lo que sigue presentamos un análisis de la estructura de lasrelaciones entre las cantidades espacio y tiempo.

Se pueden hacer dos tipos de análisis. Uno vertical, que consisteen un análisis en una sola categoría de cantidades, y otro horizon-tal cuando se pasa de una categoría de cantidades a otra (porejemplo, de tiempo a espacio).

Análisis verticalEste análisis vertical se centra en la noción de operador-escalar(sin dimensión), el cual hace pasar de una línea a otra en unamisma categoría de cantidades o medidas.

De la misma manera que se pasa de a segundos a t segundos, sepasa de la posición de S(a) metros a S(t) metros:


Así es como: S t S ata

( ) ( )=

pero como∆∆St

k= óS a S

ak

( ) ( )−−

=0

0

luegoS a

ak

( )= , por las condiciones iniciales

entonces: S t kt( ) =

Análisis horizontalEste análisis horizontal está centrado en la noción de operador-función, el cual hace pasar de una categoría de cantidades a otra.

El operador-función que hace pasar de a seg. a S(a) metros, es elmismo que hace pasar de t seg. a S(t) metros.

El operador función se puede encontrar sobre la línea de arriba,donde es posible, así:

como ∆∆St

k= ó S a Sa

k( ) ( )−

−=

00

luego S a ka( ) = , por las condicio-

nes iniciales en donde lo que permite pasar de a seg. a S(a) metros


es la multiplicación por k, entonces S t kt( ) = , como indica la figurasiguiente:

Es importante remarcar que la pregunta en esta clase de proble-mas es acerca de la relación funcional que predice la posición delcuerpo en cualquier instante.

Ahora, si se analiza el mismo ejemplo pero para predecir un esta-do posterior particular, es decir, ¿cuál será la posición del cuerpoen el tiempo b?. Esta pregunta es sobre un estado (un número),por lo que tenemos:

Análisis verticalDe la misma manera que se pasa del tiempo a seg. al tiempo bseg., se pasa de la posición S(a) metros a la posición S(b) metros:


Así es como: S b S aba

( ) ( )=

pero como∆∆St

k= óS a S

ak

( ) ( )−−

=0

0

luegoS a

ak

( )= , por las condiciones iniciales

entonces: S b kb( ) =

Análisis horizontalEl operador-función que hace pasar de a segundos a S(a) metros,es el mismo que hace pasar de b segundos a S(b) metros.

El operador-función se puede encontrar sobre la línea de arriba,donde es posible, así:

como∆∆St

k= óS a S

ak

( ) ( )−−

=0

0luego S a ka( ) = , por las condiciones iniciales


en donde lo que permite pasar de a segundos a S(a) metros es lamultiplicación por k, entonces S b kb( ) = como indica la figura si-guiente:

Si se analiza el mismo ejemplo pero con otro tipo de pregunta,como ¿calcular la distancia que recorre el cuerpo desde el tiempo ahasta el tiempo b?. Esta pregunta se refiere a una distancia, es de-cir, calcular la acumulación total (S(b)-S(a)=?), la cual es de natu-raleza distinta (aunque de igual dimensión ya que son metros) alas dos anteriores preguntas, ya que en este caso la resta S(b)-S(a)es una distancia y en las dos anteriores preguntas se pedía encon-trar una posición.

Analicemos la estructura relacional de este problema, si se pasa dea segundos a S(a) metros a través del operador función, quedaS(a)=ka. Si se pasa de b segundos a S(b) metros a través del opera-dor función, queda S(b)=kb.

Así, la distancia será la diferencia, S(b)-S(a)=kb-ka, en donde laoperación se realiza solamente en la categoría de la cantidad espa-cio, como se observa en la siguiente figura:


Otra manera puede ser si se calcula el incremento ∆t b a= − en lacolumna del tiempo y luego se le aplica el operador-función parapasar de la cantidad tiempo a la cantidad espacio, quedandoS t k t k b a( ) ( )∆ ∆= = − , como se observa en la siguiente figura:

De la situación de la razón de cambio constante queremos resaltarlo siguiente:


• El movimiento uniforme es, en cierto modo, sencillo de ana-lizar, pero lo que fundamentalmente importa es la posibili-dad de que al tomar tiempos tan pequeños como se quiera,se siga conservando el recorrer distancias iguales en tiemposiguales (razón constante).

• El análisis del movimiento uniforme es un antecedente muyimportante para el estudio del movimiento no uniforme,como se puede observar en el trabajo de Galileo.

Actividades

V.-De una partícula que se está moviendo sobre una línea recta seobtuvo la siguiente información:

t / 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..................................(segundos)V/ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,........................(metro/segundo)

t / 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...................................(segundos)S/ 2, (metros)






e) Dar diferentes valores a la pendiente de la gráfica de la velo-cidad, considerando fijo el valor de la velocidad inicial, enlos siguientes intervalos: mayor que uno, menor que uno ymayor que cero, menor que cero. Discutir el efecto en las grá-ficas de posición.

f) Describir el comportamiento de las gráficas de la posicióncuando la pendiente de la gráfica de velocidad tiende a infi-nito positivamente, cuando tiende a cero y cuando tiende ainfinito negativamente.

g) Construir una expresión algebraica para la función velocidady para la función posición que describa la síntesis del incisof).

VI.-De una partícula que se está moviendo sobre una línea recta seobtuvo la siguiente información:

Velocidad(m/s) 7 * · · · · · · · · . · · · 1* · · 0 6 Tiempo (segundos)


Posición (metros)

0 Tiempo (segundos)

a) Calcular la posición de la partícula cuando el tiempo sea igual a 6segundos.



d) Dar diferentes valores a la posición inicial en los siguientesintervalos: mayor que cero, menor que cero e igual a cero.Discutir el efecto en las gráficas de velocidad.

e) Construir una expresión algebraica para la función velocidady para la función posición que describa la síntesis del incisod).


f) Realizar una tabla comparativa que contenga la informacióna cerca de la síntesis del inciso d) y e) de ésta actividad y delinciso f) y g) de la actividad V. Redactar sus conclusiones ba-sándose en la tabla construida.

VII.-De una partícula que se está moviendo sobre una línea rectase obtuvo la siguiente información:

Aceleración (m/s2)

1

0 Tiempo (segundos)

Velocidad (m/s)

1*

0 Tiempo (segundos)


Posición (metros)

2*

0 Tiempo(segundos)





e) Dar diferentes valores a la pendiente de la gráfica de la velo-cidad, considerando fijo el valor de la velocidad inicial, enlos siguientes intervalos: mayor que uno, menor que uno ymayor que cero, menor que cero. Discutir el efecto en las grá-ficas de posición.

f) Describir el comportamiento de las gráficas de la posicióncuando la pendiente de la gráfica de velocidad tiende a infi-


nito positivamente, cuando tiende a cero y cuando tiende ainfinito negativamente.

g) Construir una expresión algebraica para la función acelera-ción, para la función velocidad y para la función posiciónque describa la síntesis del inciso f).

VIII.-.De una partícula que se está moviendo sobre una línea rectase obtuvo la siguiente información:

Aceleración (m/s2)

1

0 Tiempo (segundos)

Velocidad (m/s)

1*

0 Tiempo (segundos)


Posición (metros)

0 Tiempo (segundos)




d) Dar diferentes valores a la velocidad inicial en los siguientesintervalos: mayor que uno, menor que uno y mayor que ce-ro, igual a cero y menor que cero. Discutir el efecto en lasgráficas de posición.

e) Dar diferentes valores a la aceleración, considerándola cons-tante para cada valor elegido, en los siguientes intervalos:mayor que uno, menor que uno y mayor que cero, menorque cero. Discutir el efecto en las gráficas de posición.


f) Describir el comportamiento de las gráficas de la posicióncuando la aceleración tiende a infinito positivamente, cuan-do tiende a cero y cuando tiende a infinito negativamente.

g) Construir una expresión algebraica para la función aceleración, para lafunción velocidad y para la función posición que describa la síntesis delinciso d), e) y f).

h) Realizar una tabla comparativa que contenga la información a cerca de lasíntesis del inciso d), e), y f) de ésta actividad y del inciso f) y g) de la ac-tividad VII. Redactar sus conclusiones basándose en la tabla construida.

Situación de la razón de cambio variable (Primera categoría)

Si un cuerpo cae libremente desde cierta altura, partiendo del re-

poso, éste se acelerará a razón constante (∆∆Vt

K= ). Calcular la

posición posterior del cuerpo en cualquier instante de tiempo t, yen un instante particular tn, si se desprecia la resistencia del aire.

Consideramos un diagrama como el siguiente:

∆

∆

V

tconstante=


Además el problema nos proporciona las condiciones iniciales, esdecir, si se hace coincidir el origen del sistema de referencia (sis-tema de coordenadas) con la posición inicial se tendría S(0)=0, ycomo la piedra va adquiriendo poco a poco más velocidad con-forme va cayendo, entonces su velocidad inicial es 0 cuando esta-ba en reposo (V(0)=0).

También se cuenta con la información de que la aceleración esconstante, es decir, en incrementos de tiempo iguales adquiereincrementos iguales de velocidad, lo cual se puede expresar de lasiguiente manera:

∆∆Vt

= K = g, con independencia del tamaño del incremento de

tiempo.

Entonces, de acuerdo al análisis presentado en el ejemplo 1, eloperador función que hace pasar t segundos a V(t) metros es elfactor constante g=9.807 (m/seg ².), donde: V(t)=gt

Sin embargo, lo que pide el problema es S(t)=? y S(tn)=? donde∆∆

St

, va cambiando conforme la piedra va cayendo.

Analicemos tres posibles caminos:

Primer caminoEl primer camino consiste pasar localmente de una categoría decantidades a otra (de tiempo a espacio), considerando que en unintervalo de tiempo pequeño la velocidad se podría tomar comoconstante, cuando inicia el movimiento, y calcular el efecto en es-pacio o el incremento de espacio que se produce, a saber:

∆ ∆ ∆S V t t gt t0 0 0 0 0= =( )


∆ ∆ ∆S V t t gt t1 1 1 1 1= =( )

El paso de una categoría de cantidades a otra, en forma local,puede ser representado por el diagrama siguiente:

.

y así, sucesivamente, calcular todos los efectos de espacio o in-crementos de espacio, para cada intervalo de tiempo en que se hadividido el intervalo [0,tn] (donde: ∆t0 = ∆t1 = ∆tn).

Una vez que se tienen los incrementos de espacio, se realizará elanálisis en una sola categoría de cantidades (el espacio), por loque este análisis se realiza de manera vertical; pero las cantidadesinvolucradas son de naturaleza distinta; debido a que se buscauna posición S(tn), y lo que se tiene son incrementos de espacio(distancias). Aunque de igual dimensión ya que ambos se expre-san en metros.

Así, sumando todos los efectos parciales, nos da el efecto total(acumulación o cambio total):

∆ ∆ ∆ ∆S S S Sn0 1 2 1+ + + + −....


Luego, para llegar a S(tn), se tiene que hacer una suma acumulada:

S t S S S S tn n( ) .... ( )0 0 1 1+ + + + ≈−∆ ∆ ∆

Este camino, y otros análogos, desembocan en lo que se llama mé-todos de integración numéricos, los cuales se pueden caracterizarcomo algoritmos.

En este primer camino están presentes varias nociones; la primeraes una discretización de una magnitud continua, para poder cuan-tificarla; en este caso, el tiempo y espacio se han discretizado alhacer la partición.

La segunda es una noción que consiste en la posibilidad de consi-derar a un movimiento variable como un movimiento constanteen forma local, lo que permite pasar de una categoría de cantida-des a otra (de tiempo a espacio).

Una tercera noción es la que subyace del análisis vertical, y consis-te en acumular todos los efectos locales para encontrar el efectototal o acumulación total (en este caso sería ∆Si

i

n

=

−∑

0

1).

Una cuarta noción es la de predicción del estado posterior(S(tn)=?), donde al estado inicial se le suma la acumulación totalpara encontrar el estado posterior:

S t S S tii

n

n( ) ( )00

1+ ≈

=

−∑ ∆ ,

donde la acumulación total es la transformación para pasar deS(0) a S(t).

Segundo caminoAhora analicemos un segundo camino, que se inicia conociendoque el operador-función que hace pasar de t a v(t) es g, debido a


que∆∆Vt

=g (como ya se ha analizado en el problema a razón cons-

tante), se indica esto en la siguiente figura:

Y si consideramos que localmente el movimiento es uniforme,tendremos que:

ds v t dt= ( )

ds gtdt=

En este camino se requiere encontrar un operador-función quehaga pasar de t a S(t) (en el primer camino no encontramos unoperador función directamente, si no que pasábamos localmentede una cantidad a otra y luego se acumulaba la cantidad espacio),como indica la figura:


Para encontrar tal operador-función, se tiene que buscar una fun-ción que localmente se comporte como ds gtdt= ; en otras pala-bras, una función cuya diferencial coincida con ds gtdt= , lo cualno requiere de un proceso de suma acumulada, sino de conoceruna diversidad de funciones y su respectiva diferencial.

Este camino conduce, entonces, a la noción de encontrar una fun-ción cuyo diferencial coincida con el diferencial dado; a esta fun-ción se le conoce como función primitiva. En esta búsqueda segeneran los llamados métodos de integración, y la consecuente cons-trucción de tablas de integrales, sin embargo, dichos métodos nose pueden caracterizar como algoritmos.

Una vez encontrada la función primitiva, ésta hace pasar directa-mente de t a S(t), para cualquier t.

Así, la función primitiva es: S tgt

( ) =2

2, porque

dsg

t dt gtdt= =−

22 2 1

Ahora, si se quiere calcular, por ejemplo, S(t2)-S(t1)=?, se pasa através de este operador-función de t1 a S(t1) y de t2 a S(t2), y des-


pués se calcula la diferencia de posiciones, en la cantidad espacio,para encontrar una distancia, como indica la siguiente figura:

Es importante señalar que las posiciones S(t1) y S(t2) son estados, yla diferencia S(t2)-S(t1) es la transformación que hace pasar de lacantidad S(t1) a la cantidad S(t2) en la cantidad espacio, como in-dica la siguiente figura:


entonces: S t S tgt gt

( ) ( )2 122

12

2 2− = − .

Además, como los estados son posiciones y la transformación esuna distancia, entonces son de naturaleza distinta, aunque con-servan la misma dimensión (ya que ambos se expresan en me-tros).

Aparte de la noción de función primitiva, están presentes nocio-nes como la de constantificación de lo variable, que está en paralelocon la representación en forma local (diferencial) siguiente:dS V t dt= ( ) , que posibilita el poder hallar la situación global (S(t)).

Por último, queremos señalar que en la búsqueda de la funciónprimitiva se construyen los llamados métodos de integración y unadiversidad de tablas de integrales; sin embargo, dichos métodosno se pueden caracterizar como procedimientos algorítmicos, yaque existen diferenciales como por ejemplo: dF t e dtt( ) = − 2

ó

dF tt

tdt( )

sen= , en los cuales no se puede encontrar una función

primitiva (en términos de funciones elementales) tal que su dife-


rencial coincida con dichos diferenciales. De manera que se podríaestar ensayando un número de veces indefinido y no encontrar lasolución.

Tercer caminoEste tercer camino está basado en la noción que ya hemos mane-jado en los dos anteriores, la constantificación de lo variable, peroapoyada en la noción de promedio, que permite la construcción delo que se llama la serie de Taylor.

Primero lo realizaremos para este caso, pero después lo haremosde manera general.

Si se considera la posibilidad de que en un tiempo dt, la velocidadcon la que inicia el movimiento, en el instante t, se tome constan-te, entonces dS V t dt≈ ( )0 , por lo que S(t0+dt) será:S t dt S t V t dt( ) ( ) ( )0 0 0+ ≈ + .

Y también, si consideramos que en un dt, la velocidad con la quetermina el movimiento en t0+dt se tome constante, entonces:

dS V t dt dt≈ +( )0 y S t dt S t V t dt dt( ) ( ) ( )0 0 0+ ≈ + + , como indica lasiguiente figura:


Si ahora se calcula el promedio entre las dos aproximaciones, paraobtener una mejor aproximación, se tendrá:

[ ] [ ]S t dtS t V t dt S t V t dt dt

( )( ) ( ) ( ) ( )

00 0 0 0

2+ ≈

+ + + +

[ ]S t dt S t

V t V t dt dt( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0

2+ ≈ +

+ +

pero, V(t0+dt)=g(t0+dt)=gt0+gdt=V(t0)+gdt (se trata de una igual-dad porque la aceleración es constante).

Sustituyendo V(t0 +dt) en el promedio:

[ ]S t dt S t

V t V t gdt dt( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0

2+ = +

+ +

S t dt S t V t dtgdt

( ) ( ) ( )0 0 0

2

2+ = + +

Se trata de una igualdad porque a(t0)=a(t0+dt)=a(t)=g.

Ahora, si sustituimos t0 por su valor (t=0), entonces se tiene que:


S dt S V dtgdt

( ) ( ) ( )0 0 02

2

+ = + +

S dt S V dtgdt

( ) ( ) ( )= + +0 02

2

El próximo paso es muy importante, porque aunque parece unasimple sustitución de t por dt (t=dt), lo que hace es pasar de la si-tuación local (S(dt)) a la situación global [S(t)], entonces:S(t)=S(0)+V(0)t+gt²/2 ,es decir, la estructura local se conserva en laestructura global, junto con las condiciones iniciales del problema.En este ejemplo, como S(0)=0 y V(0)=0 entonces:

S(t)=gt²/2.

Si se desarrolla esta idea del promedio de manera general, queda losiguiente:

F(t)=? es la relación funcional que predice la evolución posteriordel fenómeno de variación o cambio. Además son conocidas lascondiciones iniciales del fenómeno.

La pregunta sobre F(t) es acerca de la situación global, por lo queprocedemos primero a realizar un análisis de la situación local.

En la situación local se considera a la razón de cambio en t0

(dF(t0)/dt) como constante para el intervalo dt, entonces:

F t dt F tdF t

dtdt( ) ( )

( ).....( )0 0

0 1+ ≈ +

Y si ahora se considera a la razón de cambio en t0+dt (dF(t0+dt)/dt)como constante para el intervalo dt, entonces:

F t dt F tdF t dt

dtdt( ) ( )

( ).....( )0 0

0 2+ ≈ ++

; como indica la siguiente

figura:


Para encontrar una mejor aproximación se calcula el promedioentre (1) y (2):

[ ] [ ]F t dtF t F t dt F t F t dt dt

( )( ) ' ( ) ( ) ' ( )

00 0 0 0

2+ ≈

+ + + +

Simplificando:

[ ]F t dt F t

F t F t dt dt( ) ( )

' ( ) ' ( ).......... ( )0 0

0 0

23+ ≈ +

+ +

Sin embargo:F t dt F t F t dt' ( ) ' ( ) ' ' ( ) ..........( )0 0 0 4+ ≈ +

Sustituyendo (4) en (3):

[ ]F t dt F tF t F t F t dt dt

( ) ( )' ( ) ' ( ) ' ' ( )

0 00 0 0

2+ ≈ +

+ +

Simplificando:

F t dt F t F t dt F t dt( ) ( ) '( ) '( ) .........( )0 0 00

2

25+ ≈ + +


Si en este promedio se considera la aproximación:

F t dt F t F t dtF t dt dt

( ) ( ) ' ( )' ' ( )

..........(0 0 00

2

26)+ ≈ + +

+

Calculando el promedio de las tres aproximaciones, (1), (2) y (6) seobtiene una mejor aproximación para F(t0+dt), como sigue:

23)('''

2)('')(')()(

30

20

000 ⋅+++≈+

dttFdttFdttFtFdttF

Y así sucesivamente, se obtiene el promedio entre todas lasaproximaciones que se van encontrando. Lo que van construyen-do estos promedios es la serie de Taylor:

F t dt F t F t dtF t dt F t dt

( ) ( ) ' ( )' ' ( ) ' ' ' ( )

!....0 0 0

02

03

2 3+ ≈ + + + +

Después se pasa de la situación local a la situación global a travésde t t dt= +0 , lo que en términos de la estructura de las relaciones,equivale a pasar, en la categoría de la cantidad tiempo, de t0+dt a ty, en la categoría de la cantidad espacio, de F(t0 +dt) a F(t), comoindica la siguiente figura:


entonces: F t F t F t t t F tt t

F tt t

( ) ( ) ( )( ) ' ' ( )( )

' ' ' ( )( )

!....≈ + ′ − +

−+

−+0 0 0 0

02

00

3

2 3

En este tercer camino hay nociones subyacentes, como la constanti-ficación de lo variable o como la noción de promedio que permiteconstruir la serie de Taylor y por supuesto la noción de Predic-ción.

Se tiene que el algoritmo consistiría en lo siguiente:

• De la situación local, dF(t)=F’(t)dt, extraer F’(t).

• Encontrar la derivada de F’(t), es decir, F’’(t).

• Luego encontrar la derivada de F’’(t), es decir F’’’(t), y así su-cesivamente.

• En seguida se encuentran las condiciones iniciales que falten,ya sea F’(t0) ó F’’(t0) ó F’’’(t0), según sea el caso.

• Por último, sustituir en la serie las condiciones iniciales.

Situación de la razón de cambio variable (Segunda categoría)

Si un cuerpo cae desde cierta altura, se acelerará a razón constante∆∆Vt

k= . Calcular la posición posterior del cuerpo en cualquier

instante de tiempo t.

La pregunta tiene la característica de calcular la evolución poste-rior del sistema de movimiento; además, no proporciona las con-diciones iniciales (al no mencionar si la piedra parte del reposo oha sido tirada con cierta velocidad).

Se cuenta con la información de que la aceleración es constante, esdecir, en incrementos de tiempo iguales adquiere incrementosiguales de velocidad, lo cual se puede expresar de la siguiente


manera:∆∆Vt

k g= = , con independencia del tamaño del incremen-

to de tiempo, ∆t .

Entonces, de acuerdo al análisis presentado en la situación ante-rior, el operador-función que hace pasar de t segundos a v(t) me-tro/segundo es el factor constante g(m/s2), en donde:

V(t)=gt+C1

C1 es la velocidadinicial, V(t0),que noestá definida en elproblema.

Sin embargo, lo que pide el problema es S(t)=?, en donde∆∆St

va

cambiando conforme la piedra va cayendo.

Se puede considerar un diagrama como el siguiente:

si V(t) = gt + C1

Analicemos dos posibles caminos:

Primer caminoEste primer camino se inicia conociendo que el operador-función

que hace pasar de t a V(t) es g, debido a que∆∆Vt

k g= = (como se

analizó en la situación a razón constante), de la forma que indicala siguiente figura:


Y si consideramos que localmente el movimiento es uniforme, setiene que:

dS V t dt= ( )

dS gt C dt= +( )1

En este camino se requiere encontrar un operador-función quehaga pasar de t a S(t), como indica la siguiente figura:


Para encontrar el operador-función que hace pasar de t a S(t), setiene que encontrar una función que localmente se comporte comodS=(gt+C1)dt; en otras palabras, una función cuya diferencial coin-cida con dS=(gt+C1)dt, lo cual no requiere de un proceso de sumaacumulada, sino de conocer una diversidad de funciones y su res-pectiva diferencial.

Este camino conduce a la noción de encontrar una función cuyodiferencial coincida con el diferencial dado; a esta función se leconoce como función primitiva. En esta búsqueda se generan losllamados métodos de integración y la consecuente construcción detablas de integrales.

Una vez encontrada la función primitiva, ésta hace pasar directa-mente de la cantidad t a la cantidad S(t) para cualquier t. En esteejemplo la función primitiva es:

S tgt

C t C( ) = + +2

1 22 porque

dSg

t C t dt gt C dt= + + = +− −( ) ( )2

2 02 11

1 11


Ahora, si se quiere calcular, por ejemplo, S(t1)=? se pasa a travésdel operador-función de t1 a S(t1), como indica la siguiente figura:

entonces: S tgt

C t C( )112

1 1 22= + +

Así es que S(t1) resulta ser un número (estado) indefinido, ya queno están dadas las condiciones iniciales.

Ahora bien, si se quiere calcular S(t2)-S(t1)=?, se pasa a través deloperador-función de t1 a S(t1) y de t2 a S(t2), y después se calcula ladiferencia de posiciones para encontrar una distancia sólo en lacantidad espacio. Esta distancia es un número indefinido, porqueno está dada V(t0)=C1; así, la estructura relacional queda:


Por lo que S tgt

C t C( )112

1 1 22= + + y S t

gtC t C( )2

22

1 2 22= + + .

Ahora para pasar de S(t1) a S(t2), en la cantidad espacio, se calculala transformación S(t2)-S(t1), quedando:

( )gt t C t t

22

212

1 2 1− + −( )

De manera que los estados son posiciones y la transformación esuna distancia, lo cual indica que son de naturaleza distinta aun-que conservan la misma dimensión (ya que ambos se expresan enmetros).

Aparte de la noción de función primitiva, están presentes nocio-nes como la de constantificación de lo variable, que está en paralelocon la representación en forma local (diferencial): dS=V(t)dt, lacual posibilita el poder hallar la situación global (S(t), S(t1), o S(t2)-S(t1) según sea el caso).


Como ya mencionamos, en la búsqueda de la función primitiva seconstruyen los llamados métodos de integración y una diversidad detablas de integrales; sin embargo, estos métodos no son procedi-mientos algorítmicos.

Segundo caminoEste camino se inicia proponiendo una solución para S(t) en forma de serie depotencias:

S t a a t a t a t( ) ....= + + +0 1 22

33

y se encuentra su comportamiento local, para después tratar dehacerlo coincidir con el comportamiento local del movimientoestudiado, a saber, gt+C1. De hecho, podríamos decir que este ca-mino tiene una estructura relacional parecida al camino anterior,en el sentido de que se requiere encontrar un operador-funciónque haga pasar de t a S(t), como indica la siguiente figura:


Para encontrar el operador-función que hace pasar de t a S(t), sepropone la función:

S t a a t a t a t( ) ....= + + + +0 1 22

33

a la que corresponde el comportamiento local:

dS t a a t a t a t dt( ) ( ....)= + + + +1 2 32

432 3 4

y después se hace coincidir con el comportamiento local del mo-vimiento en cuestión (en el primer camino se comparaba el dife-rencial dado con los diferenciales de diferentes funciones), por locual se tiene que encontrar el valor de los coeficientes que cum-plan con lo siguiente:

Así, para que:

gt C a a t a t a t+ = + + + +1 1 2 32

432 3 4 ....

se debe tener que:

a1=C1; 2a2=g; 3a3=0; 4a4=0; nan=0 (n>2).


Entonces:

S t a C tgt

( ) = + +0 1

2

2En este caso la solución es una serie de potencias finita; sin em-bargo, con frecuencia se encuentran soluciones, de ecuaciones di-ferenciales ordinarias, en forma de series infinitas.

De manera que a este camino lo incluiremos dentro de los llama-dos métodos de integración para resolver, debido a que no hay unaregla general para encontrar los an; Por lo tanto, se le puede aso-ciar la estructura relacional del camino anterior y, en consecuen-cia, no es un procedimiento algorítmico.

Por último, en esta segunda categoría de relaciones no es posibleseguir un camino numérico (un procedimiento de suma) porqueno están dadas las condiciones iniciales del problema.

Una reorganización del Cálculo integral escolar

En las tres situaciones anteriores que analizamos se empezaba ladiscusión con la cantidad desconocida que se quería hallar (la po-sición para cualquier instante posterior S(t)=?, la posición para uninstante particular t1, S(t1)=?, la distancia recorrida desde el ins-tante t1 hasta el instante t2, S(t2)-S(t1)=?); además se requería cono-cer cómo se estaba llevando acabo el movimiento, es decir, paraencontrar la cantidad desconocida se requiere conocer la razón decambio (dS(t)/dt). La configuración de la cantidad desconocidadepende de si son dadas o no las condiciones iniciales (la posiciónen el instante donde empieza el análisis del movimiento). En estosejemplos la variable dependiente era la posición S y la variableindependiente era el tiempo t.


Enseguida presentamos una recapitulación para una cantidad F(t)donde F es la variable dependiente y t es la variable independien-te (hablando de una forma un tanto general).

Como mencionamos al principio del capítulo, el tipo de proble-mas lo dividimos en dos categorías; así es como de cada categoríase derivan tres posibles situaciones, según la pregunta que seplantea en el problema específico derivado de un fenómeno devariación o cambio.

Para la primera categoría, tres situaciones posibles son:

T

T

T=?

F(t0)

F(t0)

F(t0)

F(t)=?

F(tn)=?

F(tn)

Relación funcional entre variables

Número (Estado)

Número (Transformación)

(SA)

(SB)

(SC)

en donde:

(SA)= Situación A

(SB)= Situación B

(SC)= Situación C

F(t0)= Condición inicial dada

T= Transformación

En la situación A se inicia la discusión de integración porque lapregunta es sobre la cantidad desconocida (F(t)=?) que se quiere


hallar. Además, se requiere reconocer cómo está variando el fe-nómeno de variación (dF(t)/dt).

Así, es posible analizar la situación A con las siguientes expresio-nes:

F t F t dt F to t

t

o( ) ( ) ( )+ ′ =∫ en cierto modo condensa a los métodos

de integración.

F t F t t t F tt t

F tt t

F to o o oo

oo( ) ( )( ) ( )

( )!

( )( )

!( )+ ′ − + ′′ ⋅

−+ ′′′ ⋅

−+ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 3

2 3condensa a la serie de Taylor.

La situación B es semejante a la situación A, sin embargo, la pre-gunta es sobre un estado particular (F(tn)=?). De este modo es po-sible analizar la situación B con las siguientes expresiones:

F t F t dt F to t

t

no

n( ) ( ) ( )+ ′ =∫ métodos de integración

F t F t t t F tt t

F tt t

F to o n o on o

on o

n( ) ( )( ) ( )( )

!( )

( )!

( )+ ′ − + ′′ ⋅−

+ ′′′ ⋅−

+ ⋅ ⋅ ⋅ =2 3

2 3 Serie de Taylor

F t F t t F to ii

n

n( ) ' ( ) ( )+ ≈=

−

∑ ∆0

1

en cierto modo condensa a los métodos

de integración numéricos

En la situación C se inicia la discusión de integración porque lapregunta es sobre la cantidad desconocida (F(tn)-F(t0)=?) que sequiere hallar. Además, se requiere conocer cómo está variando elfenómeno de variación (dF(t)/dt). Así, es posible analizar la situa-ción C con las siguientes expresiones:

F t F t F t dtn to

tn( ) ( ) ( )− = ′∫0

métodos de integración


F t F t F t t t F tt t

F tt t

n n o o

n o

o

n o( ) ( ) ( )( ) ( )( )

!( )

( )

!− = ′ − + ′′ ⋅

−+ ′′′ ⋅

−+ ⋅ ⋅ ⋅

0 0

2 3

2 3Serie de Taylor

F t F t F t tn i

i

n

( ) ( ) ' ( )− ≈=

−

∑00

1

∆ métodos de integración numéricos

Cabe aclarar que en la situación B y en la situación C lo que se pi-de es un número de diferente naturaleza, ya que uno es estado yel otro es una transformación; aunque ambos números tienen lamisma dimensión.

Las tres situaciones abarcan a la llamada integración definida por-que las condiciones iniciales del problema están dadas.

Para la segunda categoría, las tres situaciones son:

T

T

T=?

F(t0)=C

F(t0)=C

F(t0)=C

F(t)=?

F(tn)=?

F(tn)

Relación funcional entre variables

Número (Estado)

Número (Transformación)

(SD)

(SE)

(SF)

en donde:

(SD)= Situación D

(SE)= Situación E

(SF)= Situación F

T= Transformación

C= Condición inicial desconocida


En la situación D se inicia la discusión de integración porque lapregunta es sobre la cantidad desconocida (F(t)=?) que se quierehallar. Además, se requiere reconocer cómo está variando el fe-nómeno de variación (dF(t)/dt). Sin embargo, como las condicionesiniciales del problema no están dadas (C), la pregunta sobre lacantidad desconocida depende también de C.

Así, es posible analizar la situación D con la siguiente expresión:

C F t dt F t+ =∫ ' ( ) ( ) en cierto modo condensa a los métodos de in-tegración

La situación E es semejante a la situación D; sin embargo, la pre-gunta es sobre un estado particular, el cual va a depender de lacondición inicial. Así, es posible analizar la situación E con la si-guiente expresión:

C F t dt F t+ =∫ ' ( ) ( ) y evaluar en tn condensa a los métodos de in-tegración.

En la situación F se inicia la discusión de integración porque lapregunta es sobre la cantidad desconocida (F(tn)-C=?), además serequiere conocer cómo está variando el fenómeno. Así, es posibleanalizar la situación F con la siguiente expresión:

F t C F t dt( ) ' ( )− = ∫ métodos de integración.

Estas tres situaciones abarcan a la llamada integración indefinidaporque las condiciones iniciales del problema no están dadas.

Para explicar las distinciones entre las dos categorías y las diver-sas situaciones que requieren de una integración, se discutieronlas estructuras relacionales de tres situaciones de Cinemática.


Bibliografía

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LA INTEGRAL Y LA NOCIÓN DE VARIACIÓN - Ciclo 12 · integral como la "operación inversa de la diferenciación". 2 La integral y la noción de variación En un ámbito escolar, nosotros