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5.3. La teoría musical de la Harmónica.

5.3.1.El marco epistemológico.

La doctrina musical de Ptolomeo debe ser considerada desde sus intereses como

científico. Esto quiere decir que su tratado, aun estando más o menos cercano en el

tiempo de un Ps.Plutarco, un Arístides Quintiliano o un Cleónides, no es una obra de

compendio o la de un anticuario, al modo que adopta la tratadística de época imperial.

Constituye, al contrario, una nueva perspectiva sobre problemas antiguos, considerados

esta vez por un astrónomo: como bien dice el autor, la misión del científico es procurar

la concordancia entre fenómenos observables y el modelo teórico que los explica198.

Dos son los rasgos que en un primer término pueden destacarse en la teoría pto-

lemaica. En primer lugar, el uso ecléctico de las fuentes por parte de este autor. Para el

cumplimiento de los objetivos que Ptolomeo se propone en el tratado, y que tienen mu-

chos puntos de contacto con la labor astronómica del propio Ptolomeo199, el tratado dis-

pone y utiliza una amplia gama de fuentes a menudo incompatibles, como ya habría de

señalar su comentador Porfirio (sin reparar en la propia originalidad de Ptolomeo), cf. in

Harm.5.8-11. Como muchos críticos han señalado respecto a otras obras de Ptolomeo

(notablemente en el caso de Sobre el Juicio), la metodología general ptolemaica busca

lo que Long200 llamó “optimum agreement”, o una “dialéctica estratégica para dar el

máximo de credibilidad a la posición que mantiene en el equilibrio entre racionalismo y

empirismo”.

Para ello, se vale de muchos autores conocidos en la tratadística. A lo largo de la

obra (y remitimos a las fuentes para su detalle) oiremos ecos de Platón (Timeo, Repúbli-

ca), de Aristóteles (Física, Metafísica, Analíticos)201, de la tradición pitagórica, de los

Problemata peripatéticos, del de Audibilibus, de Arquitas de Tarento, de tratadistas casi

198 Cf. Ptol. Alm. XIII 2 y Harm. I 2. 199 Por ejemplo, en el importante principio metodológico de que la acumulación de errores exi-

guos lleva a la inexactitud final (cf. Harm. I 1 y Alm.IX 2), o el principio de adecuación de fenómenos y modelo explicativo (cf. Alm. XIII 2).

200 A. A. Long, “Ptolemy on the Criterion…, p.171. 201 El problema de la recepción de Aristóteles por Ptolomeo lo trató L. Ch. Taub (op.cit., pp.14

ss. Ptolomeo pudo disponer de un buen conocimiento del Estagirita quizá por la edición de Andrónico de Rodas; en Harm. III 3 y Alm. I 1 demuestra un buen conocimiento de determinados pasajes de la Metafí-sica.

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perdidos como Adrasto, Trasilo o Panecio; de Eratóstenes, de Dídimo “el músico”202;

por supuesto del gran Aristóxeno y de los que él llama “los aristoxénicos”, quizá la

fuente de la que se sirvió (antes que de la obra del tarentino). Además, hay que contar

con fuentes perdidas que son la base de mucho material armónico-astronómico-ético del

libro III y que también sirvieron a Arístides Quintiliano; este autor no menciona a Pto-

lomeo (ni el alejandrino parece conocerlo), pero sus tratados son los únicos que nos

transmiten el uso del canon llamado “helicón”, y tiene curiosas coincidencias, como la

fijación de una nota particular (me/sh en el caso de Ptolomeo, proslambano/menoj en el

de Arístides) para hallar la situación de cada escala (cf. Aristid.Quint. I 10). Finalmente,

se han buscado conexiones entre Nicómaco y Ptolomeo203. A pesar de todo ello, Ptolo-

meo –ya se ha dicho– no es un compilador, es un ecléctico: en algunos aspectos relevan-

tes desvela las contradicciones internas en doctrinas como las de los aristoxénicos o los

pitagóricos, o las incoherencias en los cálculos concretos de otros teóricos. Sin embar-

go, la transición entre determinados pasajes de la Harmónica puede ser abrupta: la ma-

yor parte del libro III contiene doctrina neoplatónica –compartida en líneas generales

por Arístides Quintiliano– poco compatible con la búsqueda de la matemática teórica en

los citaristas.

En segundo lugar, la posición ecléctica en lo que al planteamiento epistemológi-

co se refiere. En el terreno musical esto se traduce en la utilización de dos criterios co-

mo vías e instrumentos para conseguir la verdad: la percepción y la razón, ai)/sJhsij y

lo/goj. Mediante la percepción, el estudioso de la música puede aprehender los interva-

los y las relaciones sonoras fundamentales; mediante la razón, obtendrá resultados exac-

tos en la medición de intervalos para los que, debido a su tamaño mínimo, la percepción

no basta.

La debilidad de los sentidos en la busca de la verdad era un tema muy antiguo

(aparece ya en los escritos presocráticos), y durante la época helenística e imperial se

intensificó la reflexión sobre los krith/ria th=j a)lhJei/aj. Ptolomeo había expresado su

punto de vista en su opúsculo Sobre el Juicio y la Razón, asignando un papel distinto a

cada facultad:

202 Cf. Porph. in Harm. 5.8-15, donde se afirma que Ptolomeo debe mucho a Dídimo, sobre todo a su perdido Peri\ diafora=j th=j PuJagorei/ou mousikh=j pro\j th\n Aristoce/neion.

203 Cf. F. Levin, “plhgh\ and ta/sij in the Harmonika of Klaudios Ptolemaios”, Hermes 108 (1980), pp. 205-229.

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th=j te ga\r ai)sJhtikh=j duna/mewj ai)sJhth/ria me/n e)sti ta\ tou= sw/matoj o)/rgana,

di¡ wÂn a(/ptetai tw=n ai)sJhtw=n, fantasi/a d¡ h( tu/pwsij kai\ dia/dosij h( e)pi\ to\n

nou=n (...). tou= de\ logikou= (...) dia/noia me/n e)stin o( lo/goj o( e)ndia/Jetoj die/doco/j tij

ouÅsa kai\ a)napo/lhsij kai\ dia/krisij tw=n mnhmoneuJe/ntwn (Iudic. 5.20-6.5)

Este punto equidistante, o diferenciación de las funciones de cada facultad, tiene

como consecuencia la posición particular de Ptolomeo. Como ya hemos visto en el capí-

tulo 4 de este trabajo, desde mucho antes de la época de nuestro autor la teoría musical

estaba divida en dos facciones: pitagóricos y aristoxénicos. Ptolomeo acepta la confian-

za de éstos en la capacidad de la percepción, pero su carácter matemático le lleva a

aceptar las líneas fundamentales de los pitagóricos: un trasfondo numérico para toda la

realidad204, incluidos los intervalos musicales –expresados entonces en lo/goi armóni-

cos– y las estructuras más complejas. Con ello se pretende alcanzar un objetivo propio

de más largo alcance que lo habitual en la tratadística musical: demostrar la coherencia

y analogía entre el modelo matemático –las hipótesis– y los fenómenos naturales (entre

ellos los musicales, pero también los celestes). En lo que a la música atañe, la racionali-

dad se buscará mediante el instrumento musical llamado canon, ya introducido aquí, y

que cumple la tarea de asegurar la homologación entre los sentidos y la razón:

El propósito del estudioso de la armonía sería preservar en todo momento las hipótesis

racionales del canon, de ninguna manera en conflicto con los sentido según la opinión

de la mayoría, como el del astrónomo es preservar las hipótesis de los movimientos ce-

lestes.

El núcleo filosófico del tratado, que después reaparecerá en III 3 (el capítulo que

inaugura lo que se puede considerar la segunda parte del tratado), aparece justo a conti-

nuación: vista y oído son las vías propias de la astronomía y la harmónica respectiva-

mente, y de ambas disciplinas tratará Ptolomeo. Esta “racionalidad”, atendiendo a la

doctrina pitagórica, también se halla en el alma en cuanto ésta es también una a(rmoni/a o

está vinculada a la a(rmoni/a musical; de ahí que también el autor se ocupe del alma y la

virtud en relación a los elementos armónicos.

Pues en todas las cosas es propio del investigador teórico y entendido mostrar que los

trabajos de la naturaleza están moldeados con una cierta razón, una causa ordenada y

en absoluto de modo azaroso, y que nada se ha llevado a cabo por aquélla de modo

204 Cf. Arist. Metaph. I 5.

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casual o azaroso, y sobre todo en las más bellas disposiciones, las que alcanzan a los

más racionales sentidos, la vista y el oído (ib.).

Como se puede observar en la disposición que se ha sugerido supra en 5.1 para

los capítulos, el método seguido a lo largo de la Harmónica consiste en una recepción

sensitiva del faino/menon musical en un primer momento; seguidamente, la traducción al

lenguaje matemático, y por último la confrontación de los números obtenidos con el

oído mediante el canon205.

Y es precisamente esta confrontación constante con el juicio del oído (o lo que

es igual, si de oído aceptamos los cálculos obtenidos mediante el canon) lo que provoca

algo único en la tratadística, la introducción de afinaciones procedentes de los músicos

prácticos (sobre todo los citaristas; los auletas son rechazados en Harm.19.25 ss., la

versión racionalista del rechazo legendario del auló)206, afinaciones que serán conside-

radas bajo la perspectiva del modelo matemático diseñado anteriormente. Esta confron-

tación no sólo nos proporciona datos únicos, sino que es el criterio de Ptolomeo para

rechazar aspectos de la teoría de otros autores: considérense los siguientes pasajes:

“Así pues, la causa para todos de haberse ocupado con poco rigor de la hipótesis de

las razones, fue no considerar antes su utilización, sólo partiendo de la cual pueden

ser comparadas con las aprehensiones de la percepción” (78.16 ss.)

“Y aunque, no obstante, [Arquitas] hace uso de este presupuesto [i.e., la summetri/a

entre los excesos de los intervalos], en algunas cosas parece desviarse completamente

de él, mientras que en muchas otras parece dominar tal aspecto, desentonando de ma-

nera clara con lo que ya ha sido aceptado totalmente por los sentidos” (35.1 ss.)

“No hay que suponer un conflicto tal entre razón y percepción, sino de quienes esta-

blecen las hipótesis de manera diferente , un error ya de los más recientes autores,

quienes se sirven de las confirmaciones de los sentidos contra ambos criterios” (27.1

ss.)

205 Cf. A. Barker, “Reason and perception in Ptolemy’s Harmonics”, en R. W. Wallace-B. MacLachlan (eds.), Harmonia Mundi. Musica e filosofia nell’antichità, Roma 1991, pp. 104-130, esp. pp. 108-112. Ptolomeo introduce modificaciones en el canon para realizar comprobaciones que exigen el aumento de cuerdas; con ello se separa explícitamente de los usos anteriores del instrumento, cf. Harm. 79.5-8.

206 Sin embargo, en I 2 Ptolomeo no da una buena opinión de los instrumentistas por no ocupar-se racionalmente de la música. Sus realizaciones pertenecen al ámbito de la ai)/sJhsij, que según Harm. 4.18-19 es “siempre mezclada y fluyente”, es decir, sin los atributos de la razón, que siempre es igual en todos los casos.

LXXVIII

Así mismo, es la o(mologi/a entre el faino/menon y la teoría lo que demuestra, a su

juicio, la validez de sus propios cálculos:

“Y del lado de la percepción reconocida, tomamos, como algo común por igual a to-

dos los géneros, que las tres magnitudes últimas son menores que cada una de las res-

tantes” (38.9-11)

“Podríamos tomar también, por medio de otro procedimiento, las mismas razones de

los géneros familiares y más manejables para los oídos, no como ahora, generando só-

lo a partir de lo racional sus diferencias, y después sometiéndolas con el canon a las

pruebas de lo perceptible, sino al revés, primero exponiendo las afinaciones constitui-

das únicamente a través de la percepción, y después mostrando a partir de ellas las

razones conformes a la igualdad o excesos de las notas concebidos en cada género”

(48.4-10)

“Que estas divisiones de los géneros [i.e., las propias] no sólo contienen lo racional,

sino también lo consonante con los sentidos, será posible percibirlo a su vez gracias al

canon de ocho cuerdas que contiene la octava” (42.8-9)

El problema de la apelación a la práctica real de los músicos es que si éstos pro-

ceden del ámbito de lo fenoménico y por tanto su aprehensión está envuelta en la “mez-

cla” y en lo “fluyente”, características, según Ptolomeo (I 1) de la ai)/sJhsij, entonces

no se puede desechar los cálculos de otros autores –por ejemplo, en los géneros melódi-

cos–, pues en autores separados por el tiempo y el espacio podría pensarse en una varia-

ción del gusto musical de los oyentes. Ptolomeo no tiene en cuenta los siglos que le se-

paran de Aristóxeno, de Arquitas o de Eratóstenes, y en ese sentido puede estar atribu-

yendo al faino/menon rasgos que estableció para la razón únicamente (“siempre de la

misma manera en relación a las mismas cosas”, Harm. 4.20).

Sea como sea, lo que está claro es que la música práctica interesa más a Ptolo-

meo que a los demás teóricos, incluso más que a Arístides Quintiliano, que la había in-

troducido en su esquema general de la ciencia harmónica (cf. I 6); pero no, como al me-

nos establece ese autor, en su finalidad y sentido educativo: cf. Aristid.Quint. 6.7-14,

De la totalidad de la música una parte se llama teórica y la otra práctica (...). La prác-

tica es la que obra según esas leyes técnicas y persigue su objetivo; ésta también se

llama educativa”.

Con su posición, Ptolomeo nos recuerda más la defensa del ámbito teórico junto

con el práctico en la música que hace Aristóteles cuando critica el desconocimiento mu-

tuo de estos dos planos. El alejandrino, a su manera, supera el marco pitagórico-

LXXIX

platónico y salva a los citaristas en su objetivo de demostrar que la realidad natural (cf.

6.20, ta\ th=j fu/sewj e)/rga) posee un substrato matemático, una idea enunciada por Pla-

tón en el Timeo. Cf. Arist. ap. Iambl. Comm.Math. 26.39-49 (= fr. 52 Rose)207:

o(moi/wj d¡ e)/xei kai\ peri\ mousikh\n kai\ ta\j a)/llaj e)pisth/maj, o(/saij div/rhtai to/

te th=j gnw/sewj kai\ to\ th=j e)mpeiri/aj xwri/j. oi( me\n ga\r ta\j a)podei/ceij kai\ tou\j

sullogismou\j diwrisme/noi peri\ sumfwni/aj kai\ tw=n a)/llwn tw=n toiou/twn,

w(/sper oi( kata\ filosofi/an, skopei=n ei)w/Jasin, ou)deno\j de\ koinwnou=si tw=n

e)/rgwn, a)lla\ ka)\n tugxa/nwsin au)tw=n duna/menoi/ ti xeirourgei=n, o(/tan ma/Jwsi

ta\j a)podei/ceij, w(/sper e)pi/thdej, eu)Ju\j au)ta\ xei=ron poiou=sin: oi( de\ tou\j me\n

lo/gouj a)gnoou=ntej, gegumnasme/noi de\ kai\ doca/zontej o)rJw=j o(/l% kai\ panti\

diafe/rousi pro\j ta\j xrei/aj.

Así pues, éste es, en general, el marco metodológico que utiliza Ptolomeo para

el desarrollo de los tópicos tradicionales de la harmónica. Podríamos detenernos en dos

de tales tópicos, quizá aquéllos en los que el alejandrino se muestra más original: los

géneros melódicos y los modos.

5.3.2.Los géneros melódicos.

Bajo la perspectiva a la que nos hemos referido, Ptolomeo incluye varios análisis

y cálculos de otros autores concernientes a los llamados “géneros melódicos”, o confi-

guraciones de la interválica de un tetracordio. Sin duda nuestro autor debió de conocer

muchas de estas divisiones, pero él consignó las que le parecieron más interesantes: “Y

de éstos mismos hacen los más recientes autores muchas distinciones, pero nosotros al

menos aquí consignaremos las que son aristoxénicas” (Harm. 33.8-10). Y así, no sólo

registra los géneros aristoxénicos –conservados, por otra parte, en la obra restante del

tarentino–, sino también la de otros teóricos cuya división del canon sólo nos es conoci-

da (aunque no están libres de sospecha por los problemas textuales en su transmisión)

por los capítulos que Ptolomeo les dedica: Arquitas, Eratóstenes y Dídimo.

La doctrina ptolemaica sobre los géneros se basa en algunos aspectos fundamen-

tales. Además de la continua (y ya considerada) apelación a la percepción, es básica

para el autor la consideración del intervalo como una relación entre dos longitudes (de

cuerda) expresable mediante un lo/goj matemático. Este lo/goj o razón debe tener la

207 Un eco quizá de la disputa sobre la música en la República platónica: cf. O. Gigon, “Zum an-tiken Begriff der Harmonie”, Studium Generale 19 (1966), pp.539-547, esp. p.545.

LXXX

forma matemática ya establecida por el pitagorismo y recordada por Ptolomeo en I 5, la

forma e)pimo/rioj ([n+1]:m) y la forma pollapla/sioj ([nm]:m; como se verá en las no-

tas al pasaje, la justificación de tal elección no es ya un problema del propio Ptolomeo,

sino de la tradición pitagórica), y dentro del tetracordio, concretamente la primera. Por

supuesto, esta forma matemática tiene una contrapartida en el mundo fenoménico: cf.

15.8, “al ser necesario que en las razones epimóricas se halle lo melódico”.

Ello tiene dos consecuencias: la primera es el rechazo de los géneros aristoxéni-

cos, que sin duda se habían convertido en los canónicos de su escuela, aunque muy pro-

bablemente fuesen ya, en el siglo II d.C., un residuo meramente escolástico. La primera

razón del rechazo ptolemaico es la concepción que del intervalo tenían los aristoxéni-

cos: ya se refirió a ello el alejandrino en I 9, refutando la idea “espacial” del intervalo,

como el to/poj entre dos puntos inextensos que constituirían las notas208 (gran parte de la

refutación está basada en la concepción ptolemaica del fJo/ggoj como una “relación”,

pro/j ti, entre dos sonidos, lo que lo separa del irracional yo/foj, cf. 12.7-8; así mismo,

en la concepción casi temperada del intervalo, cf. 34.16-18). La segunda razón, nueva-

mente apelando a la percepción, es el desajuste del número de xro/ai o coloraturas de un

mismo género (cf. 37.1-6). Esto afecta naturalmente a otros teóricos como Arquitas, que

sólo establecen una variedad para cada uno; Ptolomeo, por su parte, divide un enarmó-

nico, dos cromáticos y cinco diatónicos, aunque no todos son, como los llama, “familia-

res” o “habituales”, sunh/Jh. La tercer razón, que afecta sólo a Aristóxeno (aunque roce

a Arquitas y su intervalo grave común 28:27), concierne a la división en dos intervalos

iguales del pukno/n (37.6-8): afirma Ptolomeo que “en todas partes la magnitud central

es concebida más grande”, mientras que Aristóxeno afirmaba que los dos intervalos

graves del género son o bien iguales o bien el último menor que los restantes (Aristox.

Harm. 52.10)209. Ahora bien, si se observan en II 14 las magnitudes que forman el puk-

no/n enarmónico de la división de Dídimo o Eratóstenes, parece imposible no pensar en

que la insignificante diferencia entre los lo/goi no reflejase una realidad también presen-

te en los géneros aristoxénicos.

208 Cf. además Aristox. Harm.15.25, Plut. Placit.Phil. 902-903, Porph. in Harm. 94.31-95.19 y Cleonid. Harm.179.11.

209 Cf. Pérez Cartagena, op.cit., p. 316 n. 158, y GMW, p. 306 n.121.

LXXXI

La segunda consecuencia es el rechazo de razones que no tuviesen la forma

e)pimo/rioj, obligada en los tetracordios: así, el cromático de Arquitas contiene 32:27 y

243:224 (cf. 36.5-6), aunque en realidad estén diseñadas para conseguir una summetri/a

de otra naturaleza210. Igualmente contiene una razón similar el enarmónico de Eratóste-

nes en su intervalo más agudo, 19:15, si bien respecto a este género es lícito ser preca-

vido: debido a la laguna de II 14, sólo tenemos sus cifras en las tablas, y si son las au-

ténticas, es sorprendente que Ptolomeo no se hubiese referido a una razón tal.

¿Qué hay de la división ptolemaica? Ya hemos visto en un pasaje anteriormente

citado que Ptolomeo reprocha a sus antecesores el no haber atendido a la percepción a la

hora de dividir el tetracordio. En I 15 exhibirá un procedimiento ingenioso para dividir

la cuarta de modo exhaustivo211 (un método que no parece ser original a la vista de

pasajes de otros teóricos212), siempre atendiendo a las hipótesis racionales (es decir, de

un modo coherente con los presupuestos teóricos: que los lo/goi han de ser e)pimo/rioi y

que el género diatónico no tiene pukno/n). Consigue así una completa producción de

géneros (alguno de ellos semeja ser teórico, como el que él llama o(malo/n), demostrando

las posibilidades del sistema, que excede a las pretensiones de la música práctica.

Efectivamente, sólo algunos géneros, los que él llama “habituales”, son los realmente

empleados. Y el empleo de los géneros se produce en las llamadas a(rmogai/, las

afinaciones de la lira y la cítara, que utilizan el sistema de doble octava pero con la

proyección de un tipo de octava (un eiÅdoj tou= dia\ pasw=n) en la octava central com-

prendida entre u(pa/th u(pa/twn y nh/th diezeugme/nwn. Estos géneros no se dan de forma

“pura”, sino “mezclados”, es decir, cada tetracordio que rodea al tono disyuntivo

pertenece a un género distinto (cf. 84.8-9).

Se puede ver ahora el hilo conductor del discurso del tratado. En primer lugar,

los géneros de los demás teóricos son criticados por no ajustarse a los datos de que nos

provee la percepción, lo que sencillamente quiere decir que no son los géneros que se

pueden oír en el teatro. En segundo lugar, Ptolomeo ha demostrado que los géneros

“habituales” son derivables racionalmente, lo que a su vez quiere decir que los géneros

210 Como demostró Barker, vid. GMW, pp. 46-52. 211 Aunque pretende ser exhaustivo, hay otras posibles divisiones de la cuarta 4:3, como las que

señala J. M. Barbour, Tuning and Temperament: a Historical Survey. East Lansing, Michigan 1951, p. 23, que no aparecen tampoco en las divisiones griegas conocidas.

212 Cf., por ejemplo, Theo Sm.69.12-706, 86.15-87.3 y Aristid.Quint. 95.20 ss.

LXXXII

que oímos en el teatro “están moldeados con una cierta razón, una causa ordenada y

en absoluto de modo azaroso”, como dijo el autor en 6.21 con un sentido programático.

En tercer lugar, ha demostrado que las divisiones genéricas de sus antecesores carecían

de estos principios-guía, pues consecuentemente sus géneros son los empleados en las

afinaciones. En la buena tradición de la harmónica, en la que cada elemento forma parte

del siguiente, una vez expuestos sus propios géneros sólo ha de indicarnos las a(rmogai/

(cf. 84.17 ss.).

Es ahora cuando surgen las preguntas más importantes. ¿Hasta qué punto está

Ptolomeo reflejando la situación musical de su tiempo y lugar? Con la conciencia de

que hay que ser, en este punto, muy cautos, resulta conmovedora la insistencia del autor

en que las matemáticas coincidan con las percepciones de nuestros oídos. Aunque hay

críticos que no se fían demasiado del sistema armónico –en general– de Ptolomeo213, a

nuestro juicio, y con las debidas reservas, se pueden ofrecer menos razones para des-

echar el material que nos ofrece, que para aceptarlo. Dudar del intento de homologación

entre modelo matemático y praxis musical por parte de Ptolomeo nos parece fuera de

lugar; por ello es verosímil creer en la honestidad intelectual del autor. Es más: con el

desdén por los géneros de los restantes autores, lo que se está mostrando en realidad es

la variada división tetracordial que existió a lo largo del tiempo y del espacio214, y que

para Ptolomeo la teoría musical todavía debía dejar constancia de todos los géneros. En

su tratado recoge las variedades de cromático así como los distintos enarmónicos de los

autores, y su mismo concepto de “género habitual” nos enseña que no todos eran ya

usados. Él mismo lo dice sobre todo respecto al enarmónico, un género que por otras

fuentes sabemos que estaba fuera de uso:

“De los géneros expuestos, encontraríamos todos los diatónicos familiares a los oídos,

pero no ya del mismo modo ni el enarmónico ni el suave de los cromáticos, porque no

se deleitan con los caracteres muy laxos” (43.5-8)

213 Así, cf. Th. J. Mathiesen, op.cit., pp. 465-466; R. C. Phillips (“Mean Tones, Equal Tempered Tones and the Harmonic Tetrachords of Claudius Ptolemy”, Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society 48/13 [1904], p.5) considera que los géneros ptolemaicos son inven-ción de este autor.

214 Contra, la opinión de Solomon (SPH, p.xxix n.33), quien supone los fenómenos armónicos como data invariables geográfica y temporalmente.

LXXXIII

El enarmónico (el más prestigioso, y normal en la época arcaica) había desapa-

recido prácticamente, aunque Ptolomeo en 45.19 ss. deje lugar a su ocasional uso215. A

su vez, el cromático tuvo la preferencia del público en época aristoxénica216, pero en

época ptolemaica el género triunfador era sin ninguna duda el diatónico, pues así lo

muestran los fragmentos musicales, casi en su totalidad escritos en este género. Y, como

recuerda R. P. Winnington-Ingram217, el cromático usado por Ptolomeo (al que llama

tenso) es prácticamente lo mismo –en el tamaño de sus intervalos– que el diatónico sua-

ve de Aristóxeno218.

No obstante la sospecha de que el proceso racionalizador exhibido por Ptolomeo

en Harm. I 15 lo hubiese alejado de la práctica musical real, un factor podría venir en

ayuda de la posición reconciliadora de Ptolomeo entre lo/goj y ai)/sJhsij: una revisión

de las razones interválicas que arrojan los aulós conservados apoyaría los números de

nuestro autor: véase la siguiente tabla con las correlaciones entre razones armónicas de

los géneros ptolemaicos y los intervalos que, según R. J. Letters219, se consiguen en

ciertos aulós:

Correlación entre los intervalos obtenibles en aulós conservados y los géneros ptolemaicos220

Auló Intervalos del auló Género ptolemaico Auló Elgin A 10:9, 12:11, 11:10 Diatónico uniforme 10:9, 11:10, 12:11Auló de Brauron 10:9, 11:10, 12:11 Diatónico uniforme 10:9, 11:10, 12:11Frr. del ágora de Atenas C y E 9:8, 16:15, 10:9 Diatónico tenso 10:9, 9:8, 16:15 (cf. el

diatónico de Dídimo 9:8, 10:9, 16:15 Auló de Pompeya nº 1 8:7, 9:8, 28:27 Diatónico tonal de Ptolomeo y diató-

nico de Arquitas, 9:8, 8:7, 28:27 Auló de Pompeya nº 2 10:9, 21:20, 8:7

22:21, 7:6, 12:11, 9:8 10:9, 11:10, 12:11, 9:8

Diatónico suave 8:7, 10:9, 21:20 Cromático tenso 7:6, 12:11, 22:21 Diatónico uniforme 10:9, 11:10, 12:11

Auló de Pompeya nº 3 22:21, 7:6, 12:11 Cromático tenso 7:6, 12:11, 22:21 Auló de Pompeya nº 4 9:8, 16:15, 10:9 Diatónico tenso 10:9, 9:8, 16:15 (cf. el

diatónico de Dídimo 9:8, 10:9, 16:15)

215 Aunque ese pasaje puede ser interpretado también en un sentido estrictamente teórico. Otro pasaje que habla de la posible actualidad del enarmónico podría ser D.H. Dem. 22, cf. M. L. West, An-cient Greek Music, Oxford University Press, 1992, pp. 165-166.

216 Cf. Aristox. Harm. 23. 217 Mode in Ancient Greek Music, Cambridge 1936, p. 78. 218 En cents, compárese el cromático ptolemaico (267, 151, 80) con el diatónico aristoxénico

(249, 149, 100). 219 “The Scales of some surviving AULOI”, CQ 19 (1969), pp.266-268. 220 El orden de los intervalos en el auló es reversible en función de la digitación; cf. Letters,

op.cit, p.266. Una lista completa de todos los aulós conservados se lee en West, op.cit., pp.97-98.

LXXXIV

En la tabla se han efectuado todas las comparaciones posibles, yendo más allá de

las conclusiones de Letters. Si suponemos que lo que Ptolomeo denomina “géneros

habituales” (sunh/Jh) son los que aparecen en las afinaciones instrumentales de II 15,

entonces los aulós no nos decepcionan: en ellos podemos obtener los diatónicos tenso y

tonal, y el cromático tenso, que a falta del diatónico ditonal son los géneros que obser-

vamos en tales afinaciones de los citaristas. E incluso vemos con sorpresa que el género

aparentemente más teórico de Ptolomeo, el uniforme o o(malo/n, aparece en algunos de

estos aulós. Por su parte, West221 expresa en cents los intervalos en otros aulós (tenien-

do en cuenta factores de medición considerados verosímiles en la experimentación), y la

conclusión más segura a la que llega es que en algunos de ellos existe la secuencia men-

cionada por Aristóxeno (Harm. 47.7 ss.) de ¾, ¾ y 1 tono222; pero muchos de esos in-

tervalos en cents corresponden a lo/goi señalados por Ptolomeo, con diferencias insigni-

ficantes de cents: 9:8, 10:9, 11:10, 8:7, 7:6, e incluso podría considerarse 32:27 (Elgin

B, con 289 cents en su primer intervalo [32:27 = 294 cents, en el cromático de Arqui-

tas]). Sin embargo, el argumento de los intervalos obtenibles en los aulós como prueba

arqueológica de los géneros transmitidos por Ptolomeo es demasiado débil. En primer

lugar, se debe objetar la diversa procedencia espacio-temporal de estos instrumentos,

unido a las diferencias en su diseño y probable destino; de esto habla el propio Ptolo-

meo en I 8, rechazando los aulós como vía de comprobación de las hipótesis racionales

(Harm. 20.1 ss., “pues en los aulós y siringas, al ser difícil encontrar la corrección de su

irregularidad, incluso también los límites respecto a los que es necesario comparar las

extensiones, se establecen de modo indefinido al haber un cierto desorden en la mayoría

de los instrumentos de viento”). Nuestro autor rechazó los aerófonos como o)/rgana per-

tinentes a la harmónica (como también hizo, a su manera, Aristóxeno, y antes de él,

Platón en Phlb.56a con razones parecidas a las de Ptolomeo); justificar sus géneros me-

diante el auló contradiría todo su plantemiento. Pero lo que queda claro es que hay un

principio de relación entre los intervalos instrumentales y los derivados de las hipótesis

racionales.

En segundo y último lugar, la crítica más reciente está de acuerdo en señalar que

los aulós (en los experimentos con reconstrucciones) eran instrumentos muy versátiles

221 Op.cit., pp.99-101. 222 Auló de Éfeso A (ca.600-550 a.C.) y en uno de los aulós Reading (IV a.C.)

LXXXV

capaces de producir numerosos intervalos223: Proclo (in Alc. 197.13-15) nos informa de

que mediante la obturación progresiva del tru/phma o agujero se pueden producir tres

notas diferentes. Esto casi nos lleva a la conclusión de que podríamos buscar y encon-

trar cualquier género melódico. Seguramente a esta indeterminación se refería el propio

Ptolomeo.

La conclusión, entonces, no es solamente la de ser cautos en la investigación en

los aulós de las razones armónicas que transmite la teoría musical, sino también, a la

inversa, la de considerar estas mismas razones (agrupadas en géneros) como producto

de una sistematización teórica derivada de la experiencia musical. La confianza de Pto-

lomeo en el ajuste entre faino/menon y lo/goj debe, pues, verse desde esta perspectiva:

obsérvese el proceso de derivación de lo/goi armónicos de nuestro autor en I 15: se parte

de axiomas racionales224 y, operando sobre ellos, se establecen los géneros melódicos.

Finalmente es cuando se comprueba que tales resultados racionales son consonantes con

los datos de la percepción (Harm.42.8-9), pero sólo mediante el canon: no se nos dice

nunca algo como “nuestros géneros, obtenidos racionalmente, son ésos que podemos

escuchar al auló”225.

Todo lo dicho, sin embargo, no quita ni un ápice de valor e importancia a su

transmisión de los géneros melódicos de otros autores. No cabe duda de que para éstos

no era lo principal la o(mología de tales géneros con los datos de los sentidos: no en el

caso, seguramente, de un Arquitas o un Filolao. Más bien ésta es una característica del

proyecto armónico ptolemaico. La otra característica podría ser la ausencia de perspec-

tiva histórica sobre el gusto o las formas de composición variables, algo que no es des-

conocido en Grecia si recordamos la polémica contra el Nuevo Ditirambo; y ello a pesar

de que el mismo Ptolomeo habla de la constante variación del mundo fenoménico en

Harm. I 1.

223 Cf. Mathiesen, op.cit., p.209. 224 Cf. Harm.37.17 ss. En realidad, el único axioma dado por la ai)/sJhsij es la existencia del

pukno/n: cf. ib.38.9-11. 225 En este sentido, es difícil justificar a Ptolomeo en su crítica a los demás autores (especialmen-

te a Arquitas y Dídimo, cf. Harm.78.16-19) por no “considerar antes su utilización, sólo partiendo de la cual podían ser comparadas con las aprehensiones de la percepción”. Con la interpretación ofrecida, y considerando que Ptolomeo no se diferencia en muchos casos de los intervalos de estos teóricos (vid. Apéndice I), hay que concluir entonces que el alejandrino se refiere al orden de estos intervalos en el interior del tetracordio (que tendría su confirmación en las composiciones musicales) según la confirma-ción sensorial de 37.7-8 sobre la magnitud del intervalo me/son. Ahora bien, las melodías no están conce-bidas para mostrar el orden de los intervalos en el género: no es éste el cometido de la melopoi�a.

LXXXVI

Es necesario añadir algunas consideraciones sobre la interpretación “moderna”

de tales divisiones tetracordiales. En primer lugar, hay razones armónicas en ellas que

coinciden con las de la llamada “afinación justa”, presente en la teoría y la práctica mu-

sicales del Renacimiento226: por ejemplo, las terceras 5:4 y 6:5, y los semitonos 16:15 y

25:24, presentes en los géneros de Dídimo y Ptolomeo. Pero aunque los teóricos rena-

centistas se sintiesen herederos de los griegos en sus afinaciones, es difícil pensar que

estos mismos griegos tuviesen la intención de mejorar el sistema de afinación pitagóri-

co; más bien era una cuestión de gusto entre los músicos prácticos, como dice Aristóxe-

no (Harm. 23.11 ss.):

“Quienes sólo están habituados a la composición que predomina en nuestros días re-

chazan, como es lógico, la lícano de dos tonos, pues, en general, la mayoría de nues-

tros contemporáneos utiliza lícanos más agudas; la causa de esto es su constante pre-

tensión de dulcificar”.

“Dulcificar” (glukai/nein) el duro dítono pitagórico 81:64 en la más dulce tercera

mayor 5:4 era la intención de los compositores227; un teórico como Ptolomeo estaba más

pendiente de la estructura interna de su propio sistema, en la que hay una consciente

búsqueda del equilibrio o de una simple numerología: se complace en observar cómo

discurre la serie de lo/goi en el diatónico o(malo/n a lo largo de la octava (cf. Ptol.

Harm.43.22). Él mismo critica en Harm. II 13 a Dídimo, el mejor exponente de esta

nueva afinación (le reprocha injustamente su deslealtad al fenómeno, pero no aclara las

virtudes de sus lo/goi). Otros autores, como M. Vogel228, simplemente señalan que el

lo/goj 5:4 era ya conocido por el pitagorismo antiguo a través del teorema de Pitágoras.

En conclusión, la afinación pitagórica (o lo que es igual, el sistema musical no

aristoxénico) era la única opción viable para estos teóricos, si bien llegaban a ella por

caminos diferentes, o por la asunción de hipótesis distintas. Para Ptolomeo y la Sectio

Canonis está muy claro que un intervalo no se divide en dos semitonos iguales, o que

una octava 2:1 no es lo mismo que seis tonos ([9:8]6).

226 Cf. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamento en la música occidental, Madrid 1992, pp. 33 ss.; Barbour, op.cit. pp. 25 ss.

227 Cf. Pérez Cartagena, op.cit., p. 308 n.135; J. Chailley, La musique grecque antique, Paris 1979, p. 36.

228 “Harmonia und Mousike im griechischen Altertum”, Studium Generale 19 (1966), pp.533-538, esp.p.536.

LXXXVII

Un último comentario ha de hacerse sobre los géneros de Aristóxeno. En la obra

de Ptolomeo queda consagrada la oposición entre su propia concepción y la del tarenti-

no, y así fue visto por los teóricos de siglos posteriores229. Algunos de estos teóricos han

considerado a Aristóxeno el primus inventior del temperamento, con su distribución de

la cuarta en “partes”; pero los últimos especialistas en sistemas de afinación reconocen

la distancia que separa una genuina teoría del temperamento y las “partes” de Aristóxe-

no230. A nuestro juicio, el tarentino estaba abocado a este método dadas dos premisas

fundamentales de su sistema: en primer lugar, el rechazo a la acústica pitagórica (lo que

sitúa a su harmónica en otro punto de partida); y en segundo lugar, su confianza en la

capacidad de la percepción, que le exime de valerse de las razones armónicas para la

microtonalidad. No hay en la música griega antigua, pues, ni principio de afinación jus-

ta (porque el núcleo motriz de la música griega es la cuarta, y no las terceras o sextas) ni

temperamento (pues el temperamento implica operar con razones)231.

5.3.3.Los modos.

La teoría modal de Ptolomeo es una de las más sobresalientes características de

su doctrina armónica, si no la más importante; es, además, el origen de desarrollos pos-

teriores medievales y renacentistas que se miran en ella. En el siglo II d.C., y en un pa-

norama (que se prolongará mucho después) en el que la tratadística repite, exponiéndo-

las, las llamadas trece tonalidades aristoxénicas, se vuelve a un sistema que apela al

número de las “formas de la octava” como criterio constitutivo de las escalas conocidas

como to/noi. La cuestión del carácter modal o tonal de la música griega antigua es sin

duda alguna la discusión más intrincada y desalentadora de toda la crítica. A lo largo de

los textos antiguos que de una manera u otra han aludido a las “escalas” musicales, hay

pasajes que indican la presencia de modos junto a otros más o menos contemporáneos

que hablan de tonalidades232. No obstante, incluso ésta es una afirmación atrevida. En la

literatura existente sobre la música griega antigua, se suceden aquéllos que admiten una

interpretación modal (Westphal, Gevaert, Winnington-Ingram) frente a quienes niegan

229 Barbour, op.cit., pp.22-23. 230 Goldáraz Gaínza, op.cit. p.24; cf. Barbour, op.cit., p.22. 231 A pesar de Phillips (op.cit., p.8), que a través de ingeniosas operaciones matemáticas tenden-

tes a hallar la razón del tono temperado (55:49), concluye que los tetracordios ptolemaicos están concebi-dos para el establecimiento de este intervalo.

232 Una reunión y confrontación de los más importantes y significativos se encuentra en J. D. Denniston, “Some recent theories of the greek modes”, CQ 7 (1913), pp. 83-99.

LXXXVIII

que tales modos hayan existido alguna vez (Monro, Chailley en un cierto sentido) y sólo

aceptan las “tonalidades”. Por supuesto, la discusión y los resultados dependerán de la

noción que –sobre todo– se tenga inicialmente de lo que es un “modo”233. Sin duda el

camino pasa por aceptar una definición, y a este respecto es muy interesante el comenta-

rio de W. D. Anderson234 a propósito de la forma adverbial con que los griegos se refe-

rían a las escalas (por ejemplo, ludisti/, frugisti/): “when a Hellene thought of what we

would call modality, he had in mind not merely a particular scale pattern but also a dis-

tinctive musical idiom, as it were a dialect”. Muchos términos empleó la tratadística

musical griega para referirse a una escala donde lo fundamental no era su altura absoluta

sino la disposición interna de sus intervalos: así encontramos a(rmoni/a, to/noj y tro/poj,

en constante confusión, muchas veces sinónimas (como en el caso de Plutarco o

Anon.Bellerm.) 235, o con usos especializados (para Filolao la a(rmoni/a era la octava)236.

Ptolomeo describe un sistema formado por siete modos, en igual número que las

“formas de octava”, pues reconoce que éstas agotan las posibilidades de ordenación

interválica en el marco de la octava. Sin embargo, la noción de “forma”, eiÅdoj tou= dia\

pasw=n, es un elemento de la teoría musical griega muy antiguo, y cuya naturaleza y

papel en la estructuración de las escalas no está del todo claro. Para comprender mejor

la situación teórica que adopta Ptolomeo, es conveniente repasar la historia de la forma-

ción de las escalas musicales en el ámbito griego. Muchas son las teorías y los acerca-

mientos a la cuestión; por nuestra parte, intentaremos situar el marco en el que el ale-

233 En el Diccionario técnico de la música de F. Pedrell (Barcelona, 1894, s.v.) leemos la si-guiente definición de modo: “Orden determinado en la posición y sucesión de los tonos y semitonos cons-tituyentes de la escala de un tono”; según Abraham Z. Idelsohn, citado por G. Reese en La Música en la Edad Media (Madrid 1988, p.29), “Un modo (…) está compuesto por cierto número de MOTIVOS (i.e., breves figuras musicales o grupos de notas) dentro de una escala determinada. Los motivos poseen fun-ciones diferentes. Hay motivos iniciales y concluyentes, y otros de carácter conjuntivo o disyuntivo. El compositor, en sus creaciones, trabaja con el material de estos motivos folclóricos tradicionales dentro de un cierto modo. Su composición no es otra cosa que el arreglo y combinación propios de este número limitado de motivos. Su ‘libertad’ de creación consiste, además, en los embellecimientos y modulaciones de un modo a otro”. Por su parte, J. Chailley (op.cit., p.107) lo define como “un conjunto de característi-cas que permiten reconocer un tipo de organización musical”. Este tipo de definiciones van más allá del criterio de ordenanción interválica típico de los modos medievales, y se adapta mejor a las escalas de la República de Platón.

234 Op.cit., pp.25-27 y 217 n.26; J. Solomon, “Toward a History of tonoi”, The Journal of Musi-cology 3 (1984), pp.242-251, esp. p.249.

235 De E apud Delphos 389 E; Anon.Bellerm. 28. 236 DK 44B6 (cf. Arístid.Quint. 15.10)

LXXXIX

jandrino reflexiona sobre los to/noi, tal y como nosotros mismos percibimos el proble-

ma237.

El problema de la teoría de escalas griega es su concepción tonal o modal. Du-

rante mucho tiempo, los filólogos, guiados por los grandes de esta materia como

Westphal o Gevaert, supusieron que la música griega había sido eminentemente modal

–hasta el desarrollo de lo que se denominó “Transpositionsskalen” –, sobre todo a partir

de las formas de octava. Éstas habían recibido, por parte de algunas fuentes, los nom-

bres étnicos (mixolidio, frigio, dorio, etc.) que luego reaparecerían en los to/noi, y que ya

antes se conocían gracias a los poetas arcaicos y otros escritores como etiquetas de las

a(rmoni/ai. Pero la teoría sobre las escalas empezó a girar sobre todo a partir de Monro,

Gombosi y finalmente Chailley, quienes revisaron la ecuación forma de escala = modo,

a la vista de la profunda diferencia entre estas “formas” –que no son sino tipos de octa-

va– y las escalas transmitidas por Arístides Quintiliano (18.10 ss.) como las referidas

por Platón (R. 398e ss.). No tenemos, por supuesto, una descripción detallada de las

a(rmoni/ai de la lírica arcaica, pero lo que sí está claro es que cada una de ellas era reco-

nocible por su hÅJoj, su carácter. Y que eran algo más que meras disposiciones intervá-

licas en el marco de la octava nos parece claro a partir de unos versos como los de Pra-

tinas (ap. Ath.XIV 19, 37 ss. [= fr. 6 Snell (fr. 5a Page)] )238:

mh/te su/ntonon di/-

wke mh/te ta\n a)neime/nan 'Iasti\ mou=san, a)lla\

ta\n me/san new=n a)/rouran

ai)o/lize t%= me/lei.

Está claro que aquí se alude a a(rmoni/ai tensas, relajadas e intermedias, un tipo

de clasificación más pertinente a la tensión o registro (del instrumento, de la voz) que a

sus intervalos. Sin embargo, no hemos de olvidar que los griegos no poseían convención

alguna de altura tonal sobre la que afinar universalmente, o sobre la que establecer altu-

ras. Ello hace que las a(rmoni/ai de Arístides Quintiliano sean transmitidas mediante no-

237 Porque de un problema se trata, si se tiene en cuenta la separación temporal entre autores, el hecho de que ellos mismos sean fuente de épocas muy anteriores, y que no es posible dejar de percibir que la teoría camina por un lado y los testiminios musicales van por otro.

238 Sobre estos versos, cf. los comentarios de D. B. Monro (The Modes of Ancient Greek Music, Oxford 1894, pp.5 ss.), J. Lohmann (Musike und Logos, Stuttgart 1970, p.59), O. J. Gombosi (Tonarten und Stimmungen der antiken Musik, Kopenhagen 1939, p.89), A. Barker (GMW, I p.282), W. D. Ander-son (Music and Musicians in Ancient Greece, Cornell University Press, 1994, pp.86-92) y M. L. West (op.cit., pp.178-179), entre otros.

XC

tación y mediante intervalos, si bien la primera no es del todo relevante. Esto quiere

decir que, más que entender que existiese un cuerpo de “tonalidades” normalizado como

hoy día, la altura de una a(rmoni/a era cuestión de muchos factores239. Un testigo a me-

nudo citado como prueba de la “modalidad” en época arcaica es Heráclides del Ponto,

del siglo IV a.C. (ap. Ath. XIV 19, 49), pero como apunta Monro240, de lo que es testigo

es de que en su época se entendía a(rmoni/a como un fenómeno musical ligado a una al-

tura concreta.

No cabe duda de que en el pasaje mencionado de su República, Platón se refiere

a las a(rmoni/ai de los poetas, las que eran practicadas (esto es, no se trata en este caso de

teoría musical de Platón); el filósofo las clasifica, precisamente, por su hÅJoj. Como se

ha dicho, es Arístides Quintiliano quien transmite estas a(rmoni/ai mentadas por Platón,

que pueden ser expuestas mediante sus intervalos241:

a(rmoni/a Intervalos242 Lidia dDTddDd Doria TddDddD Frigia TddDddT Jonia ddD3/2T Mixolidia ddTTdd3 Syntonolidia ddD3/2D

Como se puede ver, estas a(rmoni/ai no se caracterizan por estar contenidas jus-

tamente por la octava (la mayoría se excede o no llega), y no existe en ellas un principio

de construcción tetracordial claro243. La cuestión de su autenticidad ha sido muy debati-

do, sin que se haya llegado a una conclusión definitiva; pero sean o no auténticas, o se

engañe o no Arístides Quintiliano, lo que parece más que evidente es que antes del equi-

239 Chailley (“Le mythe des modes grecques”, Acta musicologica 28 [1956], p.156) expone dife-rentes loci donde se relaciona ta/sij con a(rmoni/a.

240 Op.cit., p.11. 241 Además de estas escalas de Arístides Quintiliano, podrían añadirse el Spondeion y algunas

escalas defectivas ligadas a Terpandro y Filolao: cf. Ps.Plut. de Mus.1134F-1135B, 1137B-D, Ps.Arist. Pro.XIX 32, Nicom.Harm.253; R. P. Winnington-Ingram, Mode...p.22 y n.1, West, Ancient Greek Music pp.174 ss.

242 Su transcripción musical se puede encontrar en las obras citadas de Winnington-Ingram y West, pero cf. la traducción de L. Colomer y B. Gil, Arístides Quintiliano. Sobre la música, Madrid, 1996, pp.70-71 y A. Barker, GMW, p.420 n.116; tratamientos recientes son la traducción de F. Duysinx, Aristide Quintilien: La Musique, Bibliothèque de la Faculté de Philosophie et Lettres de l’Université de Liège, 1999, p.53, y S. Hagel, Modulation in altgrichischer Musik, Frankfurt am Main 2000, pp.171 y 182. Sobre la posibilidad de reunir algunos de estos intervalos en tetracordios, cf. W. D.Anderson, Ethos and Education..., p.18. El intervalo 3/2 es un “trisemitono”, y el de 3 un intervalo de 3 tonos.

243 Anderson, op. cit., p.19; este factor podría abogar por su autenticidad.

XCI

librio que en su disposición transmiten las “formas de octava”, existían unas escalas que

poco tenían de simétricas, y que seguramente eran capaces de transmitir un hÅJoj preci-

samente mediante estas condiciones244, en relación además con la interválica y no me-

nos con la altura tonal245.

Las fechas posteriores a esta referencia de Platón son claves: el pasaje de la Re-

pública puede ser el último que mencione las a(rmoni/ai (con tal nombre) en términos de

puro modo y pura práctica instrumental (alejado, por tanto, de consideraciones teóricas

normalizadoras). A finales de época clásica la música estaba cambiando, y seguramente

el incremento en la complejidad en la ejecución instrumental ligado a la extensión del

antiguo octacordio en un sistema de doble octava, al aumento de notas (cuerdas) y de la

modulación como efecto estético presionaron los estudios teóricos sobre la naturaleza

de las escalas246. Por otra parte, el uso e investigación armónica en el auló247 habría

propiciado un avance de la tonalidad frente a la modalidad, pues la cítara puede reafinar

sus cuerdas, pero el auló tiene una altura tonal fija248. La consecuencia de esta presión

fue el desarrollo teórico de lo que se conoce como el “Sistema Perfecto” (su/sthma

te/leion). Si un su/sthma era, en teoría, la reunión de varios intervalos, su carácter per-

fecto podía dar cuenta de todos los fenómenos ligados a las escalas, en la tradición de

los diagra/mmata con los que, al parecer, operaron los músicos teóricos249. Uno de estos

fenómenos, y de los más importantes, era la modulación o metabolh/. Entre los

diferentes tipos de modulación se encuentra el de “tono” (kata\ to/non; kata\ tro/pon,

244 Cf. Aristid.Quint.19.15; GMW, loc.cit.; la conclusión de Chailley (op.cit., p.162) sobre estas escalas es favorable en tanto que no consisten sólo en una disposición de intervalos meramente (se des-criben por el hÅJoj, por su ta/sij y por sus diasth/mata). Pero no son “modos” en el sentido simple del término (ib., p.152): “Platon condamne le lydien pour sa tonalité aiguë. Comment un mode peut-il avoir un caractère aigu ou grave? Antinomie (…)”. Un último tratamiento de la cuestión, relacionando estas escalas con los sistemas tonales de los a(rmonikoi/ transmitidos por Aristóxeno (Harm. 46.17 ss.) lo hace Hagel (op.cit., pp.171 ss.).

245 Cf. la denominación suntonoludisti/ y los versos de Pratinas citados supra. 246 Cf., por ejemplo, Ps.Arist. Pro. XIX 15, y Ps.Plut. de Mus. 1141D6-F11 (Pherecr. fr.145

Kock), y Plat. R. 399c7 para poluxordi/a y panarmo/nion; para las fuentes en general vid. West, op.cit., p.356 n.2, y además B. Zimmermann, “Comedy’s Criticism of Music”, en Drama. Beiträge zum antiken Drama und seiner Rezeption (Band 2: Intertextualität in der griechisch-römischen Komödie), pp.39-50, esp. pp.41 ss.

247 De ello es prueba Aristox. Harm. 46.17 ss. Sabemos que había un auló para cada a(rmoni/a: cf. Paus. IX, 12, 5 y Poll. 4, 80.

248 Para esta hipótesis, cf. Winnington-Ingram, op.cit., pp.76-77. Véase además X. Smp.2.2, 3, donde se ha querido ver que primero se ajusta el auló y después la cítara es afinada a partir de él.

249 Es decir, los a(rmonikoi/. Vid. R. W. Wallace, “Music Theorist in Fourth-Century Athens”, en B. Gentili-F. Perusino (eds.), Mousike. Metrica, ritmica e musica greca in memoria di Giovanni Comotti, Pisa-Roma 1995, pp.17-40, esp.p.30.

XCII

tipos de modulación se encuentra el de “tono” (kata\ to/non; kata\ tro/pon, según Bacch.

Harm. 304.16); no hallamos nunca en la teoría una metabolh\ kaJ¡ a(rmoni/an250. La mo-

dulación de tono o tonalidad ya es mencionada por Aristóxeno (Harm. 12.8-12)251,

Y se debe hablar sobre la afinidad entre escalas, regiones de la voz y tonalidades no

con la mirada puesta en la compresión, como hacen los harmónicos, sino en la progre-

sión melódica entre las escalas que, al hallarse establecidas en determinadas tonali-

dades son melódicas entre sí.

Éste es el precedente de la doctrina sobre la modulación que se lee en Cléonides

y considerada aristoxénica (Cleonid. Harm. 205.6 ss.):

De tono, por su parte, se produce cuando exista una modulación desde el dorio al fri-

gio, desde el frigio al lidio o al hipermixolidio o al hipodorio, o en general, de alguno

de los trece tonos a alguno de los demás.

Esta doctrina sobre la modulación no está basada en las viejas a(rmoni/ai, sino en

los to/noi. Y en tanto que éstos son estructuras de doble octava con una disposición de

tetracordios ya configurada, existe una gran distancia ya desde las a(rmoni/ai, algunas de

las cuales no llegaban a la magnitud de octava.

Este Sistema Perfecto constituye, pues, una escala formada por cuatro tetracor-

dios –cuyas notas “móviles” definen su ge/noj, vid. Ptol. Harm. 60.19 ss.– de manera

conjunta o disjunta, más un tetracordio siempre conjunto que facilitaría la modulación al

pasarse de estructuras disjuntas a conjuntas (la reunión de los cinco tetracordios en uno

sólo da lugar a la escala conocida como “Sistema Perfecto Inmodulante”)252. La teoría

ha llegado, pues, a un tipo ideal de escala que superase las irregularidades de las

a(rmoni/ai de manera equilibrada y simétrica. Éste es el primer paso, anterior a Aristóxe-

no, de un proceso de normalización ya inevitable que culminará con las tonalidades que

transmite Alipio253.

250 Aunque sí había modulación entre ellas: recuérdese el “trípode” que para tal efecto inventó Pitágoras de Zacinto (vid. West., op.cit., p.226).

251 Cf. Pérez Cartagena, op.cit., pp.260-264; Hagel, op.cit., p.34. 252 Cf. Ptol. Harm. II 6 para el sistema sunhmme/non y su carácter redundante. Ptolomeo describe

el Sistema Perfecto en Harm. II 5. Para diagramas explicativos en solfeo moderno, cf. Pérez Cartagena, op.cit., pp.429 ss.

253 Cf. Apéndice III; igualmente, Anderson (op.cit., pp. 29-31) y J. Chailley, op.cit., p.156. El Sistema Perfecto se basa en el círculo de quintas (cf. Chailley, ib.; Hagel, op.cit., p.32) y por ello está muy alejado de las a(rmoni/ai platónicas. Pérez Cartagena remarca que en la obra de Aristóxeno no se encuen-tra el plural “escalas perfectas”, sino sólo una “escala perfecta” (op.cit., p.246; cf. Aristox. Harm. 10.12-

XCIII

A nuestro juicio, lo más verosímil es pensar que la conformación de este Siste-

ma esté estrechamente ligado –como causa o efecto teórico– al de las llamadas “formas

de octava” (ei)/dh tou= dia\ pasw=n).

Una “forma de octava” es la disposición interválica de esta magnitud en co-

nexión con las “formas” de quinta y cuarta, los intervalos consonantes que forman la

octava; Aristóxeno ya había criticado a los a(rmonikoi/, y a Eratocles en particular, por no

disponer de un criterio que limitase el número de formas de octava a siete conforme a

las reglas de la melodía, y vinculándolas a las formas de cuarta y quinta254. Como se ve,

el tarentino ya encontró formada la doctrina sobre las formas de octava255. Aunque Aris-

tóxeno vinculó, pues, la forma de octava con las de sus intervalos consonantes, sin em-

bargo su tratamiento no nos ha llegado completo, y en ocasiones difiere de sus seguido-

res “aristoxénicos”. Pero más allá de las diferencias, lo más importante de este elemento

de la teoría armónica (porque de teoría se trata en este caso) es que constituye el mo-

mento clave en la sistematización de las antiguas a(rmoni/ai. Efectivamente, entre otros,

13) y añade: “es muy probable (…) que el propio Aristóxeno o alguno de sus sucesores inmediatos haya sido el creador del sistema de escalas perfectas. Sin embargo, esto podría haberse producido antes de la redacción de la Harmónica” (ib., p.247).

254 Aristox. Harm.10.19 ss. Como indica Pérez Cartagena (op.cit., pp.252-253), matemáticamen-te son posibles, por combinación, 23 ordenaciones de intervalos.

255 Cf. Solomon, op.cit., pp.245-246.

XCIV

Cleónides y Arístides Quintiliano nos transmiten las “formas de octava” con las etique-

tas de algunas de las a(rmoni/ai de la lírica256:

Límites en el SPI Forma intervalos hh-pm mixolidia ddDddDT ph-td lidia dDddDTd

lh-pnd frigia DddDTdd hm-nd doria ddDTddD phm-th hipolidia dDTddDd lm-pnh hipofrigia DTddDdd m-nh257 hipodoria o locria TddDddD

Estos autores nos dicen que eran los “antiguos”258 quienes llamaban a tales es-

quemas o formas con esos nombres. Sin embargo, las formas de octava son simples

proyecciones interválicas del Sistema Perfecto, y no parecen estar pensadas, en primer

lugar, para mostrar todas las posibles disposiciones interválicas (la conocida “circula-

ción de los intervalos”), sin referencia alguna a la instrumentación ni, por supuesto, a su

altura, puesto que no la tienen de manera absoluta; y mucho menos a hÅJoj alguno259.

Chailley260 insistió en que los ei)/dh tou= dia\ pasw=n o formas de octava tienen el mismo

origen que las formas de cuarta o quinta: las formas de octava, tal como aparecen en los

tratados (y esto vale también para la definición de octava de Filolao), no tienen carácter

modal alguno en tanto que no definen una nota rectora; están insertas en el Sistema Per-

fecto como segmentos de él. En segundo lugar, hay un evidente propósito de regularizar

las a(rmoni/ai. Este propósito puede haber partido del mismo impulso que la “circulación

de intervalos”, o ser independiente; esto es incierto. Pero fuese como fuese, al final se

obtuvo un medio de localizar en el Sistema Perfecto cualquier tipo de octava. Estos “an-

tiguos” que vincularon etiquetas étnicas y formas de octava habrían sido los que regula-

rizaron las a(rmoni/ai. Obsérvese la similitud de los intervalos y el proceso llevado a ca-

bo:

256 Las fuentes son Aristid.Quint. 15.11-15, Anon.Bellerm. III 62, Cleonid. Harm. 197.4-198.3, Gaud. Harm. 346.6-347.10 y Bacch. Harm. 308.17-309.9.

257 El mismo Cleónides (Harm.198.11-12), al igual que Ptolomeo, dice que es igual la forma me-se-nete de las añadidas que la proslambanómeno-mese.

258 Cf. Aristid.Quint.15.11 e)kalei=to, Cleonid. Harm.197.7 e)kalei=to u(po\ tw=n a)rxw=n. 259 Las formas de octava están íntimamente ligadas a las formas de cuarta y quinta. Para las dife-

rentes exposiciones del problema en los autores antiguos, cf. A. Barbera, “Octave Species”, Journal of Musicology 3 (1984), pp.229-241.

260 Op.cit., p.141; cf. Solomon, op.cit., pp.246-249.

XCV

nombre a(rmoni/a eiÅdoj tou= dia\ pasw=n mixolidia ddTTdd3 ddDddDT frigia TddDddT DddDTdd doria TddDddD ddDTddD hipolidia (= lidia) dDTddDd dDTddDd

Según John G. Landels261, en estos casos se ve el proceso normalizador fácil-

mente: en el caso del mixolidio, sabemos por Ps.Plutarco (de Mus.1136D) que Lampro-

cles cambió de ubicación el tono disyuntivo: como no puede haber dos tonos en suce-

sión, éstos se consideran un dítono, y los tres tonos agudos de la a(rmoni/a se dividen en

dítono más tono, tono éste considerado el disyuntivo. Aquí estamos ante el nombre pro-

pio del regulador, pero no tenemos estos datos en el caso de las demás. La frigia recolo-

ca su tono más agudo en el grave haciendo un dítono; la doria elimina el tono en posi-

ción grave, y la a(rmoni/a lidia es idéntica a la forma hipolidia262.

Esta regularización de las a(rmoni/ai tiene un carácter circular, la perifora\ tw=n

diasthma/twn, que identifica las formas como posibilidades de secuencias interválicas

dependiendo del intervalo punto de partida, como si fuese un círculo; todas son, ade-

más, identificables dentro del Sistema263.

1ª forma: mixolidia; 2ª, lida; 3ª, frigia; 4ª, doria; 5ª, hipolidia; 6ª, hipofrigia; 7ª, hipodoria.

261 Music in Ancient Greece and Rome, London-New York 1999, pp.108-109. R. W. Wallace (“Damone di Oa ed i suoi succesori: un’ analisi dell fonti”, en R. W. Wallace-B. MacLachlan, Harmonia Mundi. Musica e filosofia nell’ Antichità, Roma 1991, pp.30-53, esp. p.49) supone que Damón pudo haber clasificado las a(rmoni/ai al igual que los metros poéticos (cf. Plat. R.400a-b), quizá dando lugar a los prefijos hiper- e hipo- en las designaciones de las escalas.

262 Landels (op.cit., p.108) conjetura que quizá Arístides Quintiliano transmitiese la lidia con la interválica de la nueva hipolidia porque no encontrase la verdadera a(rmoni/a. Sobre esto, vid. Hagel, op.cit., pp. 174 ss. Por otra parte, el triunfo del SPI llevó a la pérdida de la denominación u(perpupa/th (un tono bajo la u(pa/th), nota que se encuentra en las a(rmoni/ai platónicas (vid. West, op.cit., p.221, Hagel, op.cit., p.8 y Winnington-Ingram, op.cit., pp.28-28): cf. Aristid.Quint. 8.9-13, Boeth. Mus. 208.10-16, Theo Sm. 88.18: h(/ te u(perupa/th kaloume/nh h( kai\ dia/tonoj u(patw=n; cf. dia/pemptoj en DAM 6, ll.10 y 17.

263 Cf. Ptol. Harm. II 5. La séptima forma es conocida por algunas formas como hipodoria o “común” porque es contenida tanto por proslambano/menoj-me/sh como por me/sh-nh/th u(perbolai/wn.

XCVI

Hasta aquí el proceso queda claro, y la mayoría de los especialistas están más o

menos de acuerdo. El problema casi insoluble viene representado por el hecho de que a

partir de esta época (el post-clasicismo) no tenemos apoyo teórico ninguno para estable-

cer la evolución de este Sistema; no ha quedado nada hasta que Cleónides (un autor de

fecha tardía, pero no anterior al II d.C)264 nos habla ya de los trece to/noi kat¡ ¡Aris-

to/cenon. Esta dificultad de reconstrucción ha sido resuelta de dos maneras por la crítica

moderna. Por un lado, se ha entendido que en algún momento se sintió la necesidad de

establecer una disposición jerarquizada entre los ei)/dh tou= dia\ pasw=n atendiendo a su

altura, para lo cual podía recurrirse, por ejemplo, a la situación de la nota bajo el tono

disyuntivo265, la nota mese (una nota que parece tener una cierta importancia para la

teoría)266. Esta jerarquía o escalonamiento de las formas es la consecuencia de abrir el

círculo que éstas formaban, con la consecuencia de que se establezcan niveles de altura

entre ellas267. Estos niveles de altura habrían dado lugar a lo que a partir de aquí se co-

noce como to/noi, o la posición del Sistema Perfecto de doble octava a una altura relativa

(sin que olvidemos que no había convención de altura o diapasón fijo). Aristóxeno ten-

dría, según la crítica, mucho que ver en esto, al haber dispuesto la mese de cada to/noj a

intervalos sucesivos. Desgraciadamente, no contamos con el tratamiento del propio aris-

tóxeno de la cuestión; sin embargo, en su Harmónica hay una evidente intención racio-

nalizadora y normalizadora, a la vista de la situación de su época (cf. Aristox. Harm.

46.17 ss.).

La segunda opción es la consideración de los sistemas tonales transmitidos por

Aristóxeno. Este autor menciona dos tipos de escalas (cf. nuestro Apéndice IV) pertene-

cientes a los harmónicos, uno de ellos basado en los truph/mata o agujeros del auló. El

auló, como ya se ha señalado, está íntimamente ligado a la idea de tonalidad, y aunque

Aristóxeno desecha este instrumento como referente para la harmonización (cf. Aristox.

Harm. 52.5-54.10), sin embargo está claro que todos los sistemas escalares conocidos

264 L. Zanoncelli (op.cit., pp.74-75, que además reúne otras conjeturas de diferentes filólogos) lo sitúa entre el II-III d.C.; Mathiesen (op.cit., p.368) lo fecha entre II y IV d.C.

265 El único tono (T) en el diagrama de las formas de octava supra, en género enarmónico. 266 Por ejemplo, cf. Arist. Metaph.1018b29, Ps.Arist. Pro. XIX 20 y 36, Cleonid. Harm. 201.14-

202.5. 267 La imagen del círculo abierto en una línea es de Landels, op.cit., p.109. Esta explicación, de

una u otra forma, la vemos, por ejemplo, en West. Cf. R. da Rios, Aristosseno. L’Armonica, Roma 1954, Tavola I B (p.130), con un útil diagrama.

XCVII

entre los griegos, incluidos los basados en el auló, mantienen una determinada similitud:

por ejemplo, dorio, frigio y lidio son to/noi separados siempre por un intervalo de to-

no268. Esto puede indicar que el escalonamiento entre los to/noi proceda de la época

prearistoxénica: en ese momento los ei)/dh tou= dia\ pasw=n sistematizan regularmente las

a(rmoni/ai, pero a la vez, al estar insertas en el Sistema Perfecto, convierten su extensión

en el ámbito de los to/noi y explican su ordenación. Efectivamente, la relación de alturas

entre las formas de octava y los to/noi está invertida: si la forma de octava hipodoria era

la más aguda in abstracto, en su altura absoluta era la más grave269.

Ambas perspectivas son posibles, y la refutación de Ptolomeo es congruente con

ambas: como veremos, él denuncia la sucesión semitonal de la nota mese de cada to/noj,

porque da lugar a repeticiones inútiles de formas de octava, lo que indica que esta situa-

ción relativa de la mese era sentida como la causa de la ordenación tonal.

El resto de la historia del desarrollo tonal griego es ya muy conocido. Habiéndo-

se obtenido así siete escalas que vendrían a llamarse, como se ha indicado, to/noi270, las

fuentes nos hablan de que “Aristóxeno” obtuvo un sistema de trece to/noi o tonalidades

(llamadas en principio con la denominación de la forma de octava que desarrollan) me-

diante el añadido de una nueva escala llamada hipermixolidia (que no era sino una repe-

tición del hipodorio, puesto que su mese está a octava de la de éste), y el desdoblamien-

to de otras escalas en “aguda” y “grave”271, posiblemente un reflejo de la práctica musi-

cal contemporánea. El procedimiento seguido para el incremento desde los siete to/noi

fue el de establecer nuevas notas mese entre aquéllas que distaban entre sí un tono: ello

268 Cf. Ptol. Harm. 64.9, sobre ello. 269 Sobre la relación de altura inversa que vemos entre las formas de octava y los to/noi, cf. F. H.

E. Styles, “An Explanation of the Harmonic Doctrine of Ptolemy”, Philosophical Transactions 51, art.68 (1769), pp.700 y 708; K. Schlesinger, The Greek Aulos, London 1939 p.123; M. Shirlaw, “The Music and Tone Systems of Ancient Greece”, Music Review 4 (1943), pp.14-27, esp. pp.16-17; Denniston, op.cit., p.87; J. Chailley, L’imbroglio des modes, Paris 1960, p.15; GMW, p.16, J. G. Landels, op.cit., pp.98-99, y S. Hagel, op.cit., p.29. La causa de esta inversión radica en que la situación dinámica (esto es, la du/namij de cada nota) es diferente en el caso de que comparemos la posición de los intervalos relevantes: por ejemplo, la forma de octava hipodoria es la más aguda porque va desde la mese hasta la nete del tetracor-dio añadido; pero como altura tonal absoluta, es la más grave, pues su intervalo mese-paramese (el tono disyuntivo, por el que son descritas las formas de octava) es su intervalo más grave, mientras que en el caso del mixolidio ocupa la posición más aguda. Este nuevo orden es el que recoge y desarrolla Ptolomeo, al trabajar sólo con la noción de notas por función (kata\ du/namin): cf. Harm. II 5.

270 Cf. las definiciones pertinentes de to/noj con este sentido en Porph. in Harm. 82.3-6 y Cleo-nid. Harm. 202.4 ss.

271 Cf. West, op.cit., p.233; Hagel, op.cit., pp.32-33; Pérez Cartagena, op.cit., p.351 n.233. Las fuentes principales son Aristid.Quint.I 10 y Cleonid. Harm. 203.5 ss.

XCVIII

contribuyó a la regularización de las escalas como unidades semejantes a distancia de

semitono. Puesto que cuando escribe Ptolomeo la nomenclatura de to/noi o)cu/teroi y

to/noi baru/teroi no ha asignado una etiqueta a uno de estos dobletes, el sistema tonal de

trece escalas verosímilmente no se debe al propio Aristóxeno, al menos en la forma

transmitida por Cleónides272. Es difícil pensar que la tendencia normalizadora hubiese

tardado unos cinco siglos en asignar nombres a los dobletes, pero lo que está claro es

que al nombrarlos, el camino hacia el sistema alipiano estaba ya expedito. Es lo que

Chailley llama “lógica de diagramas”273.

Finalmente, el sistema es aumentado hasta quince to/noi, ocupando todos los es-

pacios semitonales mediante nuevas notas mese, y prevaleciendo un esquema de sime-

tría con escalas hipo- e hiper- a distancia de cuarta de sus to/noi matrices (las escalas

añadidas no tendrían relevancia práctica), si bien sólo continúan siendo posibles siete

formas de octava: es el esquema transmitido por Alipio en su tratado, junto con la nota-

ción.

Harmónicos Eratocles Sistema aristoxénico Sistema reformado Hiperlidio Hipereolio Hipermixolidio Hiperfrigio Mixolidio agudo Hiperjonio Mixolidio Mixolidio grave Hiperdorio Lidio Lidio Lidio agudo Lidio Lidio grave Eolio Frigio Frigio Frigio agudo Frigio Frigio grave Jonio Dorio Dorio Dorio Dorio Mixolidio Hipolidio Hipolidio agudo Hipolidio Hipodorio Hipolidio grave Hipoeolio Hipofrigio Hipofrigio agudo Hipofrigio Hipofrigio grave Hipojonio Hipodorio Hipodorio Hipodorio

Los quince to/noi de Alipio (y los trece de los aristoxénicos) son llamadas a me-

nudo “escalas de transposición”, diseñadas específicamente para facilitar la modulación

entre ellas. Sin embargo, tienen su origen último en las formas de octava, y probable-

mente toda la historia de los h)/Jh atribuidos a estas escalas no sea sino el final del tra-

yecto de aquellos antiguos caracteres de las a(rmoni/ai arcaicas. Pero es difícil seguir

272 Un autor más o menos contemporáneo de Ptolomeo como Frínico el Aticista habla también de las “trece harmonías” (SP 25.8). Nótese que los to/noi aristoxénicos, sin doblar, son ocho, un sistema similar al de Boeth. Mus. IV 15 o Bryenn. Harm. III 1.

273 La Musique…, p.90.

XCIX

hablando de tales caracteres cuando lo que prima ahora es la altura absoluta, y cuando

las escalas sólo se diferencian por un semitono. Es más, los nuevos to/noi creados (como

el hiperlidio, por ejemplo) no tienen historial ético alguno. Que el discurso sobre los

h)/Jh estaba agotado en época imperial lo prueba el tratamiento ptolemaico de la cuestión

(Harm. III 7), más preocupado de cubrir el programa que de fundamentar musicalmente

la atribución respectiva274.

Éste es el contexto en que se mueve Ptolomeo cuando decide abordar una revi-

sión de la teoría tonal. La aportación del alejandrino se ha visto normalmente como la

de un reformador, y es bien cierto; no es justo, sin embargo, considerarlo un revolucio-

nario en este aspecto275. Su posición es la de total rechazo a la teoría de los que él llama

“aristoxénicos”276, en quienes hemos de ver a quienes propugnan los trece to/noi de

Cleónides. Ptolomeo no dice que sean trece; pero de que habla de este sistema y no del

de Alipio estamos seguros cuando se refiere a un hipofrigio grave y otro agudo (cf. Ptol.

Harm. 74.14-15). Por ello, es lícito considerar la Harmónica ptolemaica como un post

quem para el sistema de quince to/noi277. El alejandrino no se refiere nunca a tal sistema,

que es derivación del que leemos en Cleónides, si bien habla de aquéllos que han llega-

do hasta ocho to/noi (Harm. II 10).

Los motivos de rechazo por parte de Ptolomeo al sistema aristoxénico es simple

y elegante, aunque a nuestro juicio el resultado no constituye una verdadera refutación

de tal sistema. En realidad, el ataque ptolemaico se deriva consecuentemente del desa-

rrollo teórico de temas centrales de la harmónica tratados justo antes278: su jerarquiza-

ción de los intervalos en homófonos, consonantes y melódicos (Harm. I 7). A su vez, tal

jerarquización era algo novedoso, aunque puede encontrarse algún precedente en la teo-

ría anterior a Ptolomeo; no obstante, nuestro autor inserta esta clasificación en un siste-

274 Cf. West, op.cit., p.188; Hagel, op.cit., p.29. 275 Citado por Ateneo (XIV 20, 22), Heráclides del Ponto examina las a(rmoni/ai desde una pers-

pectiva muy similar a la de Ptolomeo, esto es, con el criterio de la forma de octava. Cualquier a(rmoni/a que suponga una repetición de una forma es redundante.

276 Estos “aristoxénicos” probablemente encubran a Cleónides, un autor de fecha incierta pero con muchos ecos en la Harmónica ptolemaica. La fuente de Ptolomeo podría ser la misma que la de Arís-tides Quintiliano.

277 De ahí que consideremos errónea la afimarción de Chailley (La Musique..., p.94) de que Pto-lomeo rechace los quince tropos alipianos.

278 Cf. Harm. 69.3-4, e)nh/gage d¡ ouÅn h(ma=j o( lo/goj ei)j to\ kai\ to\ plh=Joj tw=n to/nwn suni-dei=n.

C

ma más vasto y con alcances en niveles superiores de la ciencia harmónica. Demuestra

así Ptolomeo que el principio de inclusión de los elementos en el programa de la

a(rmonikh/ era aún fecundo (cf. el diagrama organizativo del tratado, supra). La tríada

homofonía-consonancia-intervalo melódico es totalmente coherente desde la metodolo-

gía ptolemaica: atiende a ambos criterios, la percepción (ya que somos capaces de per-

cibir por nosotros mismos cuáles son los intervalos consonantes) y la razón (pues la

jerarquía tiene su correspondiente apoyo en el tipo de razón matemática, siendo mejor la

llamada múltiple que la superparticular279).

Ptolomeo comienza afirmando que el número de to/noi debe ser igual al de las

formas de octava (Harm. 69.4-5), esto es, siete. Esta aserción tiene una forma de petitio

principii, aunque en realidad a lo largo de los capítulos centrales del libro II el autor

recuerda los principios sobre los que se basa este inicio. Sin embargo, antes de explicar

estas razones conviene recordar que lo que Ptolomeo entiende por “formas de octava”, y

que reflejará en la octava central del Sistema Perfecto, no son las derivadas de la circu-

lación de los intervalos, sino las formas que ya tienen la reversión de alturas efectuada,

pues la revisión de los to/noi de Ptolomeo parte del núcleo que configuró las tonalidades

aristoxénicas, donde la hipolidia es la más grave280.

La razón de que sean siete y no otro número no se basa tanto en un seguimiento

ciego del principio de los ei)/dh tou= dia\ pasw=n281, como en considerar las diferencias de

altura entre ellos –lo que él llama u(peroxai/– como el principio rector de todo el sistema.

279 Para el aspecto perceptivo, cf. Harm.17.24-25; para el tipo de lo/goj y su u(peroxh/, cf. ib. 18.10 ss.

280 Ptolomeo, en Harm.II 3 y 5 especifica cuáles son estos ei)/dh tou= dia\ pasw=n, y coincide con las demás fuentes antiguas (Aristid.Quint. 15.11-15, Anon.Bellerm. III 62, Cleonid. Harm. 197.4-198.13, Gaud. Harm. 346.6-347.10, Bacch. Harm.308.17-309.9) en disponer la primera forma como aquélla que va desde u(pa/th u(pa/twn hasta parame/sh, la segunda desde parupa/th u(pa/twn hasta tri/th diezeug-me/nwn, etc. De este modo, la hipodoria es la más aguda y la mixolidia la más grave (conforme a Arístides Quintiliano y Cleónides). Pero sin que el alejandrino explique por qué, encontramos, como es habitual en la teoría post-aristoxénica, que el to/noj hipodorio es el más grave, y el mixolidio el más agudo (cf. Ptol. Harm. II 10, tab.). Las formas de octava no están incluidas en el Sistema Perfecto (tal y como lo trata Ptolomeo) entre u(pa/th u(pa/twn y parame/sh, sino entre u(pa/th me/swn y nh/th diezeumge/nwn (cf. Harm. 73.7; la justificación para que un to/noj esté contenido por un Sistema de dos octavas se desarrolla en II 4). La “inversión de alturas” se ha producido –sean cuales sean las notas límite de las formas–, y aunque lo importante es la disposición interna de los intervalos, esta omisión de Ptolomeo habla contra la equipa-ración de “los antiguos” –según las fuentes mencionadas– de denominaciones modales étnicas y formas de octava. Sobre la inversión de alturas, cf. supra n.269.

281 Ptolomeo afirma que es la naturaleza (fu/sij) quien establece este número (Harm. 69.6-7). Por otra parte, F. A. Gevaert (Histoire et théorie de la musique de l’antiquité, Gand 1875-1881, vol. I, p.252 n.2) cree que en el siglo II d.C. las especies de octava han perdido sus denominaciones étnicas.

CI

Las tonalidades aristoxénicas mantienen un semitono de diferencia entre ellos, pero Pto-

lomeo recuerda que la sucesión continua de semitonos no es melódica; el mismo Aris-

tóxeno no se habría opuesto a ello. Puesto que cada to/noj, atendiendo a las formas de

octava, puede entenderse como una determinada ordenación de intervalos entre dos lí-

mites en razón 2:1, los sonidos interiores necesitan un punto de arranque que disponga

sus funciones (duna/meij): para ello se escoge la nota mese282, de modo que la localiza-

ción de cada mese sitúe relativamente, a su vez, cada uno de los to/noi, ya que marca las

demás funciones de las notas dentro del Sistema Perfecto. Aquí es donde entra el prin-

cipio de jerarquización desarrollado en Harm. I 7: puesto que las formas de octava no

desarrollan sus funciones (duna/meij) más allá del intervalo de octava, consecuentemente

habrá que disponer la mese de cada to/noj con movimientos de cuartas y quintas, porque,

tras los homófonos, quedó establecido que los siguientes en importancia eran los inter-

valos consonantes (dia\ tessa/rwn, dia\ pe/nte). Éste es un principio acústico bien cono-

cido, que permite hallar todos los sonidos para después recolocarlos en una secuencia

consecutiva283. Dicho movimiento era conocido por los griegos como lh=yij tw=n

sumfwniw=n284, y Arístides Quintiliano lo usa para hallar la nota proslambanómeno285,

pero con la intención de obtener las quince tonalidades separadas por semitonos.

Consecuentemente con el establecimiento de las u(peroxai/ ptolemaicas mediante

la lh=yij tw=n sumfwniw=n, la teoría sobre la modulación traslada la noción de transporte

de una melodía (pues ello comporta una simple repetición del eiÅdoj de la octava en

cuestión, sin significado musical alguno) a la modulación melódica basada precisamente

en los intervalos de cuarta y quinta. La misma jerarquización que determinó las

u(peroxai\ tw=n to/nwn determina ahora las mejores modulaciones; la prueba de esto es

282 Siguiendo la tradición griega, cf. supra n.266. Arístides Quintiliano encuentra los to/noi me-diante la proslambanómeno.

283 Por ejemplo, un movimiento ascendente de quintas y descendente de cuartas, desde la nota fa, daría fa-do’-sol-re’-la-mi’-si, que al ser ordenados formarán una escala ascendente desde fa.

284 Cf. Aristox. Harm. 69.9 ss. (= Ptol. Harm.25.9-26.4), Euc. Sect.Can. prop.17 (162.1-12), Aristid.Quint. 21.8-9.

285 Aristid.Quint.21.10-12; Brienio (Harm.III 2 [302.40 ss.]) desarrolla más extensamente el pro-cedimiento de Aristóxeno contraponiéndolo al de Ptolomeo (cf. ib. 304.5-9).

CII

que el alejandrino vuelve a repetir la gradación de intervalos de I 7, de nuevo, en 70.8-

10 y 70.14-16286.

Como el principio de jerarquía de intervalos de I 7 era congruente con la

ai)/sJhsij, y tal principio subyace la reorganización de to/noi de Ptolomeo, éstos han de

ser, a su vez, congruentes con la percepción (cf. Harm. 69.11), de modo que esta apela-

ción a la confirmación de los sentidos, más allá de un seguro constante en las racionali-

zaciones del tratado y del hecho de que sea reforzada con el despliegue de las a(rmogai/

de II 15, es una apelación que deriva lógicamente de los supuestos establecidos ante-

riormente.

En conclusión, Ptolomeo no intenta refutar el núcleo de las tonalidades aristoxé-

nicas –las formas de octava, último origen de ellos–, sino el desarrollo posterior: la in-

justificada u(peroxh/ de semitono entre los to/noi (no tiene validez desde las leyes armó-

nicas)287 que da lugar a repeticiones innecesarias de formas de octava, elevando así el

número de to/noi. Pero otra conclusión menos explícita se deriva del procedimiento pto-

lemaico: el rechazo de la idea de tonalidad que va implícita en el sistema aristoxénico.

Para Ptolomeo, el Sistema Perfecto es un espacio abstracto de altura indeterminada (só-

lo condicionada por las facultades del artista), y las alturas relativas de los to/noi no que-

dan fijadas por el escalonamiento de la proslambanómeno, sino por la asunción de la

función de mese que adoptan cada una de las notas, desde la hípate del tetracordio me-

dio hasta la nete del tetracordio disjunto. Es este último aspecto (el de la idea de tonali-

dad) algo no explícito en la Harmónica de Ptolomeo, pero no habría habido repeticiones

de ei)/dh sin la idea de altura absoluta de una escala; extrañamente, Ptolomeo no habla de

esto.

286 Harm. 70.14-16, “Y es necesario no sólo aquí, sino también en todas partes, que los interva-los homófonos precedan y se consideren anteriores a los consonantes, y los consonantes a los melódicos, de forma que también es menester que, de los to/noi, se tomen primero los consonantes, y después los que son encontrados mediante el exceso entre éstos, etc.”. Para Ptolomeo habría sido incongruente mantener un sistema tonal basado en alturas de semitono con eventuales repeticiones de ei)/dh, y decir con Arístides Quintiliano (22.12-15) “si cada sistema conlleva un determinado tipo de voz, es evidente que a la vez que cambian las armonías variará también la especie del mélos (tou= me/louj eiÅdoj) ”.

287 Ptolomeo no ve ningún motivo justificado para escoger un semitono, frente a otros intervalos posibles. Una crítica parecida vertió contra los aristoxénicos en I 9 cuando, según él, remiten en su defini-ción a otras instancias aún sin definir. Brienio desarrollaría más tarde una explicación para las u(peroxai/ entre los quince to/noi: cf. Harm. 304.20-23, kai\ ga\r ou) kata\ lo/gon o)( a)nh\r ouÂtoj ta\j tw=n to/nwn div/rei u(peroxa/j, a)ll¡ kata\ a)riJmo\n to\n e)n i)so/thti tw=n merw=n Jewrou/menon, o(/per a)llo/trion pa/ntv th=j tou= h(rmosme/nou kaJe/sthke fu/sewj.

CIII

Es difícil dar una respuesta a este proceder de Ptolomeo. Hay que tener en cuen-

ta, a nuestro juicio, varias circunstancias a la vez. Nos parece evidente que en época del

alejandrino (y al menos en su ambiente vital) la música griega era modal. No hay razón

para discutirle a Ptolomeo que su racionalización de los modos no constituya el contra-

punto teórico a una realidad de su tiempo; más bien harían falta argumentos para refutar

lo contrario, y sea como fuere, su edificio teórico es espléndido. Pese a Ptolomeo, la

razón y su carácter “estable” y “no cambiante” se aplica a faino/mena musicales que de-

penden del gusto y de los instrumentistas, factores ajenos a la permanencia inmutable

del lo/goj. Quede en suspenso precisar el grado en que su racionalización modificó el

sistema real de la práctica musical, pero Ptolomeo no podía escapar –aunque lo hubiese

querido– de las estructuras teóricas heredadas. Y si él intentó dar cuenta racional de un

hecho evidente, no lo es menos que en la música griega (en su vertiente teórica como

mínimo) existió una consideración tonal de las escalas, aunque fuese posible emitir una

teoría que demostrase que tanto los modos como las tonalidades tienen un mismo origen

en el antiguo Sistema Perfecto de época clásico-helenística. Probablemente ello sea así,

pues Ptolomeo vincula sus to/noi a las formas de octava de dicho Sistema, y los to/noi

“aristoxénicos”, con seguridad, tienen un origen último en Aristóxeno, que también

habló de las formas de octava (y de alguna forma tuvo que integrarlas en un sistema

coherente)288.

Podríamos, entonces, considerar a nuestro autor como la evolución contraria del

pensamiento armónico, si tomamos como punto de partida las trece tonalidades aris-

toxénicas. En este sentido, es la dirección justamente contraria de la culminación que

representa Alipio, con el aumento hasta quince to/noi. Ptolomeo y Alipio (o la fuente de

Alipio) están movidos por el mismo afán de mejorar y sistematizar las trece tonalidades,

que se revelaban, sin duda, como un sistema asimétrico, más propio de una atención

mayor a los músicos prácticos que a las sutilezas de la teoría. Ambos autores represen-

tan, también, los dos caminos únicos que podía haber seguido la teoría tonal: la desarro-

llo final de las tonalidades de modo simétrico289, o el retorno a la modalidad de los ei)/dh

tou= dia\ pasw=n. La crítica ha puesto de manifiesto que la notación o parashmei/wsij es

288 Si se piensa que Aristóxeno nunca habló de las trece tonalidades, entonces hay que concluir que su escuela desarrolló éstas a partir de la matriz teórica del maestro.

289 Cf. Aristid.Quint. 21.2, o(/pwj g¡ a)\n e(/kastoj baru/thta/ te e)/xoi kai\ meso/thta kai\ o)cu/thta.

CIV

la consecuencia del sistema de escalas tonales: se necesitaba un “principio de referen-

cia”290 a partir de un to/noj de partida, que vino a ser (mese instrumental y vocal notada

como C) el hipolidio. Ptolomeo no necesitaba la parashmei/wsij, porque la altura abso-

luta de sus to/noi no es sino cuestión intrascendente y de motivación externa291.

Son, pues, las formas de octava (aunque con las alturas invertidas respecto a los

segmentos del su/sthma te/leion) y no los modos antiguos o a(rmoni/ai las estructuras que

constituyen el fundamento de los modos ptolemaicos. Y si esto es así, y hemos de pen-

sar además (al igual que en el caso de los géneros) que Ptolomeo está hablando del sis-

tema musical que había en su tiempo, la conclusión es que la simplificación resultante

de la sistematización de los modos en el ámbito del Sistema Perfecto tuvo no sólo im-

plicaciones teóricas292, sino su paralelo en la práctica musical (dada la coherencia de la

teoría de los to/noi con la exposición de las a(rmogai/ de II 15; esto podría indicar, a su

vez, que la sistematización pudo proceder de los músicos prácticos293 o haber influido

en ellos).

De qué manera se enfrentaron ambos sistemas –el modal y el tonal– no es algo

fácil de saber. Una primera interpretación que podría mantenerse es que, casi con segu-

ridad, Ptolomeo conoció un sistema de modos que tradujo a lenguaje racional en su tra-

tado. Puede que existieran grandes diferencias entre los modos reales y los desarrollados

por el alejandrino, aunque en lo que respecta a la música práctica más bien haya que

atender a las a(rmogai/ de los instrumentos cordados; no obstante, en los documentos

musicales conservados encontramos la escritura de las escalas de Alipio, lo que indica-

ría, a nuestro parecer, que de alguna manera Ptolomeo está forzando su sistema teóri-

290 Chailley, op.cit., p.90. 291 En la convención de Bellermann, el hipolidio no tiene armadura; en cambio, en los to/noi pto-

lemaicos, puesto que el tono de referencia es el dorio –ya que coincide con el Sistema Perfecto en sus notas por función–, es este tono el que se transcribe libre de alteraciones en la armadura. O. Gombosi hace una revisión de la bibliografía sobre este punto (op.cit., pp. 6-7).

292 Ptolomeo, aunque fundamenta sus modos en las formas de octava, está muy lejos ya de un Eratocles, un Aristóxeno o un Heráclides, desde el momento en que sus modos reciben el nombre de to/noi, una designación que significa normalmente “escala de transposición”.

293 Anderson (loc.cit., p.30) hace constar el origen oscuro de las formas de octava, pero sugiere una alianza de causas externas al sistema que pudieron contribuir al paso de las a(rmoni/ai al Sistema Perfecto: “discrepancia entre práctica y teoría; desplazamiento de la hegemonía musical desde Esparta a Atenas; el intercambio de ideas y el descubrimiento de similitudes en los Juegos Olímpicos; las poderosas escuelas locales, como la tebana de auló; y el interés teórico entre presocráticos y sofistas”. No obstante, hemos de recordar que, si bien el término a(rmoni/a está muy relacionado con los pitagóricos y su interés en la música, eiÅdoj como escala es un término que difícilmente habría surgido de los instrumentistas.

CV

co294. Otra circunstancia interesante es que Ptolomeo no parece estar muy interesado en

los h)/Jh modales, salvo para completar armónicamente los temas tratados. Como se ve-

rá295, el informe de Ptolomeo sobre los caracteres de cada escala no coincide plenamen-

te con los habituales que encontramos en los textos; al menos Ptolomeo no explica por

qué están asociados a cada modo. ¿Hemos de suponer que el hÅJoj de un modo depende

en el caso de Ptolomeo de la disposición interválica interna? Cuando menos, la crítica

debe de estar en lo cierto al sospechar que los valores éticos asociados a las viejas

a(rmoni/ai perderían mucho de su contenido al entrar en primer plano las formas de octa-

va, si es que éstas son consideradas como modos. Si los modos ptolemaicos dependen

de las formas de octava (o al menos se fundan en ellas), nuestro autor no nos explica

cómo puede hablarse de h)/Jh a partir de una regularización aséptica de los intervalos.

Pero habría aún otra interpretación del legado teórico ptolemaico. Quizás la con-

traposición entre modalidad y tonalidad que hemos dibujado no existiese en esos térmi-

nos, sino que más bien la realidad consistiría en la elección de una determinada ta/cij de

intervalos (lo más parecido al eiÅdoj tou= dia\ pasw=n) que fuese capaz de comportar valo-

res éticos, quizá asociados a la tradición del género, a la instrumentación, al kairo/j, etc;

una ta/cij diasthma/twn a una altura absoluta fijada de antemano y traducida por la no-

tación procedente de lo que la teoría conoce como to/noi o escalas de transposición. So-

lomon296 sugiere vagamente esta perspectiva cuando al observar la doble vía en los

fragmentos, dice sobre Ptolomeo lo siguiente:

“I mentioned earlier the phenomenon which appears in most of our forty-two Greek

musical fragments, that the tonos (tropos) as analyzed via the notation used in Alypian

tables is at the same time describable as an octave species analyzable via the Aristoxe-

nian system (…). Since Aristoxenus refused to employ the notational system(s) devel-

oped most probably as early as the fifth century B.C. –he despised the use of notation

as a pedagogical device– his theoretical, perfect systems were developed apart from

the notational, and the two needed at some point to be reconciled in the theoretical

treatises. This was part of Ptolemy’s contribution.”

294 Obsérvense los to/noi en los que están escritos los fragmentos musicales del período romano. Por ejemplo, hiperjonio en Pap.Berlin 6870 (DAM 30-33), Pap.Oxy.3704 (nº 34 en West, op.cit., p.316), Pap.Michigan 2958 (DAGM 41), o Pap.Oxy.3161r (DAGM 53); jonio en la inscripición de Sicilo (nº 18 en DAM); hipojonio en Pap.Oslo 1413 (DAGM 36-37); hipojonio en Pap.Ox.4467 (DAGM 58), Pap.Yale CtYbr.Inv.4510 (DAGM 41); hiperlidio en Pap.Ox.4462 (DAGM 46).

295 Cf. N.Tr. 785. 296 “Toward a History…”, pp.250-251; cf. West, op.cit., p.185.

CVI

La novedad ptolemaica habría consistido, pues, en renovar el fundamento racio-

nal de la modalidad más allá del factor altura y en explicitar esa doble posibilidad ob-

servable en los fragmentos musicales mediante la distinción de la o)nomasi/a kata\ Je/sin

y kata\ du/namin; la escritura de los fragmentos musicales basada en los to/noi alipianos

sólo tiene significado para el registro del intérprete o del instrumento297. La nomenclatu-

ra por posición sería la traducción al sistema de la notación (pues ésta vincula a una

altura absoluta concreta), y puesto que la consideración de la música por Ptolomeo es

modal, esta altura es irrelevante. Consecuentemente, es la o)nomasi/a kata\ du/namin la

que tiene valor, y la coincidencia del dorio con la o)nomasi/a kata\ Je/sin es pura anécdo-

ta298. De esta manera, la altura de esta última nomenclatura está condicionada por las

posibilidades del artista (cf. Harm. 66.24 ss.), un factor que muy probablemente deter-

minaba el to/noj en su escritura, confiándose más bien el hÅJoj a la estructura interna. Tal

estructura interna es lo que hace depender Ptolomeo de los tradicionales ei)/dh tou= dia\

pasw=n como soporte teórico, si bien cabe la sospecha de que estos patrones teóricos

pudieran haber estado muy alejados de los verdaderos motivos de las secuencias

interválicas en los instrumentos.

Desde este punto de vista, la polémica ptolemaica contra los aristoxénicos está

fundamentada. Tiene más sentido conferir más importancia a la nota mese que a la pros-

lambanómeno, como hace Arístides Quintiliano: el motivo y finalidad de la lh=yij tw=n

sumfoniw=n en cada uno de estos autores es diferente. En segundo lugar, el ataque dirigi-

do contra la parau/chsij kaJ¡ h(mito/nion (Harm. II 11) se habrá de considerar, entonces,

como un ataque hacia la parashmei/wsij –en tanto que innecesaria, vid. supra– y la in-

flación de la nomenclatura kata\ Je/sin, que obvian la consideración modal de las esca-

las: la consecuencia más grave es la repetición superflua de los ei)/dh, las escalas-

principio de todo el sistema ptolemaico (cf. 74.6-11).

Esta interpretación, que, como hemos indicado, tiene su origen último en Solo-

mon, es muy sugestiva, pero carece de otros fundamentos más sólidos que le den enti-

dad: por ejemplo, sólo poseemos un breve esbozo por parte de Ptolomeo de dos escuelas

rivales sin que estemos totalmente seguros de que nuestro autor se dirige a sus contem-

297 Porfirio (in Harm. 156.9-10), Anon.Bellerm. (28) y Ptolomeo (Harm. I 16, II 16) constituyen una fuente extraordinaria para conocer los to/noi de los instrumentistas y coros (vid. N.Tr. 647).

298 Cf. Chailley, “Le mythe…”, p.163.

CVII

poráneos o más bien a la crítica teórica anterior; nos hacen falta más datos para juzgar

si esta misma crítica se ajustó siempre a la realidad musical o si discurrió por senderos

teóricos cada vez más alejados de ella; y sería menester, además, contar con más frag-

mentos musicales contemporáneos a Ptolomeo y a la vez de regiones diferentes.

Añadamos que, aunque hemos hablado de la posibilidad de que nuestro autor

utilizase el argumento teórico de los ei)/dh tou= dia\ pasw=n para justificar su doctrina mo-

dal en el plano racional, sin embargo su apelación postrera a la práctica musical como

confirmación sensitiva de su sistema es coherente con aquel argumento: en primer lu-

gar, las a(rmogai/ instrumentales son analizables en última instancia como constructos

que parten de las formas de octava; en segundo lugar, éstas son referidas lógicamente a

instrumentos cordados: el auló es un instrumento que aparece en la Harmónica asociado

a la investigación acústica solamente, no en los capítulos dedicados a la práctica real (la

lira aparece en III 1 en un contexto en el que se quiere transformar el canon para llevar a

él la capacidad de la lira de quince cuerdas). Y la modalidad es más fácil de entender

con instrumentos cordados que con aulós299.

La Harmónica de Ptolomeo (como ya señaló Winnington-Ingram) es un testigo

fundamental a favor de una cierta consideración modal de la música griega. Ello no de-

muestra, claro está, que siempre haya sido así, aun a pesar de los críticos que estiman

que las tonalidades aristoxénicas sólo eran un esquema teórico300. Pero desde nuestro

punto de vista, Ptolomeo es una fuente de confianza de la música de su época.

5.4. Pervivencia y recepción.

5.4.1. La Edad Antigua.

Que la Harmónica de Ptolomeo fue leída ya en época antigua es algo seguro por

algunos –pocos– testimonios que la mencionan. El primer pasaje en el que encontramos

una referencia directa al tratado está contenido en los escritos reunidos bajo el título

general de Excerpta ex Nicomacho301 (tou= au)tou= Nikoma/xou en Bernensis gr.116)302,

299 En Harm. 113.17 se hace mención del auló en otro contexto totalmente diferente al anterior, sin la intención de examinar racionalmente lo producido en él.

300 I. Henderson, “Ancient Greek Music” (ap. E. Wellesz, Ancient and Oriental Music, London 1957), pp.347-58.

301 MSG pp.225 ss. y Luisa Zanoncelli, op.cit., pp.210-229. Se consideran excerpta de una obra perdida de Nicómaco (cf. C. Bower “Boethius and Nicomachus”, Fundamentals of Music, 8 n.20; contra, A. C. Bowen y W. R. Bowen, “The Translator as Interpreter: Euclid’s Sectio canonis and Ptolemy’s Har-