La geometrıa elıptica

7/31/2019 La geometrıa elıptica

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La geometrıa elıptica

Hasta ahora hemos estudiado dos ejemplos de geometrıas metricas, es decir,eometrıas donde est´ a denida la distancia entre dos puntos y la perpendiculari-ad entre rectas. Una es la geometrıa de los planos parab´ olicos, que se obtienenliminando una recta de un plano proyectivo; la segunda es la geometrıa hi-erb olica, en la que nos quedamos sólo con los puntos interiores de una c´ onica.a geometrıa elıptica, que vamos a estudiar ahora, es la geometrıa metrica dellano proyectivo completo, considerando a todos los puntos nitos. Ası como laeometrıa hiperb´ olica incumple el axioma E de Euclides porque por un punto

xterior a una recta pasa m´ as de una paralela, la geometrıa elıptica lo incumplen sentido contrario: como bien sabemos, en un plano proyectivo no existenaralelas.

Formalmente, la geometrıa elıptica se puede desarrollar de forma completa-mente análoga a la hiperbólica. El unico cambio es que vamos a tomar comoonica innita una cónica imaginaria, de modo que no de lugar a ninguna di-ision de los puntos del plano. Al igual que en los otros casos, podrıamos denirspacios elıpticos de cualquier dimensi´ on, pero nosotros nos limitaremos al casolano porque es completamente representativo y m´ as simple en la pr actica.

3.1 El plano elıpticoenici´ on 13.1 Un plano elıptico es un plano proyectivo real en el que hemoseleccionado una c onica imaginaria (cónica innita). Diremos que dos rectason perpendiculares si son conjugadas respecto a la cónica innita. Llamare-

mos grupo elıptico o grupo de isometrıas al grupo de las homografıas que janla conica innita. Dos guras son congruentes si existe una isometrıa que

ransforma una en otra.

Vamos a introducir un modelo que nos permita relacionar la geometrıalıptica con la euclıdea. El plano proyectivo es de la forma P( V ), donde V s un espacio vectorial tridimensional real. Existe un sistema de referencia pro-

ectivo respecto al cual la cónica innita tiene ecuaci´ on x2

+ y2

+ z2

= 0. Este



stema de referencia se corresponde con una base de V . Dotamos a V del pro-ucto escalar que en dicha base tiene matriz identidad, es decir, el productoespecto al cual dicha base es ortonormal. M´ as en general, podemos considerar

V como un espacio afın euclıdeo en el que hemos jado un sistema de refe-encia ortonormal de modo que los puntos del plano proyectivo son las rectasue pasan por el origen O y las coordenadas homogeneas de un punto son lasoordenadas en el sistema de referencia jado de uno de los puntos (que no sea) de la recta correspondiente.

Dos puntos de coordenadas X e Y son conjugados respecto de la cónicannita si y s olo si XY t = 0, es decir, si y s olo si vistos como rectas de V sonrtogonales.

Las rectas proyectivas est´ an formadas por los puntos que cumplen unacuaci on ax + by + cz = 0, es decir, son los planos de V que pasan por O.

ambien es claro que un punto y una recta son conjugados si y s´ olo si, vistosomo recta y plano, uno es perpendicular al otro.

Todas estas relaciones se pueden simplicar si escogemos representantes con-retos en V para los puntos proyectivos. Sea S la esfera en V de centro O yadio 1. Cada recta que pasa por O corta a S en dos puntos antıpodas. Enrminos proyectivos, cada punto tiene dos ternas de coordenadas homogeneasujetas a la restricci´ on x2 + y2 + z2 = 1. Podemos, pues, identicar el planoroyectivo con el conjunto de los pares de puntos antıpodas de S . De ahora endelante y salvo que indiquemos lo contrario, cuando hablemos de un punto de S os referiremos a un par de puntos antıpodas considerados como un solo objeto.as rectas proyectivas se corresponden con las intersecciones con S de los planosue pasan por su centro, es decir, son los llamados cırculos m aximos de la esfera,s circunferencias cuyo radio coincide con el de la esfera. Dos circunferencias

on ortogonales (en el sentido de la geometrıa elıptica) si la perpendicular por

origen del plano de una pasa por la otra. En otros terminos, que si tomamosuna como ecuador de la esfera, sus perpendiculares son las circunferencias queasan por los polos. Es fácil ver que esto equivale a que sean ortogonales en elentido del capıtulo 11.

Consideremos ahora una isometrıa elıptica f . Podemos verla tambien comon automorsmo de V (visto como espacio vectorial). Sean X e Y las coordena-as de dos puntos y sean X e Y las coordenadas de sus imágenes. Puesto que

ha de conservar la polaridad de la c´ onica innita, los puntos ser´ an conjugadosy solo si lo son sus imagenes, es decir, XY t = 0 es equivalente a X Y t = 0.sto signica que f conserva la ortogonalidad en V , luego es una semejanza,

uego f = kg, donde k es un numero real no nulo y g es una isometrıa lineale V . Ahora bien, es claro que f y g inducen la misma homografıa en el plano



umen: las isometrıas elıpticas son exactamente las homografıas inducidas poras isometrıas lineales de V o, equivalentemente, por las isometrıas de V (vistoomo espacio afın) que jan a O.

enici´ on 13.2 Llamaremos modelo esferico de la geometrıa elıptica al con-unto S formado por los pares de puntos antıpodas de una esfera euclıdea. Lasectas elıpticas son los cırculos m´ aximos. Dos rectas son perpendiculares si loon sus tangentes en los puntos de corte. Una isometrıa elıptica es la restricci´ onS de una isometrıa del espacio euclıdeo que ja al centro de S .

Adem as hemos visto que el polo de una recta en el modelo esferico es el pare polos (en el sentido geogr aco) cuando consideramos a la recta como ecuador.

Las isometrıas del modelo esferico son en particular homografıas, luego con-

ervan angulos en el sentido del capıtulo 11. Podemos, pues, denir el ´ angulontre dos rectas elıpticas en la esfera como el ´ angulo euclıdeo entre sus tan-entes por los puntos de corte y es claro entonces que dos pares de rectas sonongruentes si y s olo si forman el mismo angulo. Veamos que el angulo entreos rectas puede denirse sin hacer referencia al modelo esferico exactamenteomo en la geometrıa hiperb´ olica, es decir,

r1 r 2 =

12 |arg

R(r 1 , r 2 , I 1 , I 2 )| ,

onde I 1 e I 2 son las tangentes a la cónica innita por el punto r 1 ∩ r 2 y elrgumento se toma en ] − π, π [.

En efecto, el angulo denido ası es sin duda invariante por isometrıas. Bastarobar que ambas deniciones coinciden sobre rectas que pasan por el polo norte0, 0, 1). Sus coordenadas homogeneas ser´ an de la forma ( a,b, 0) y (a , b , 0). Sus

angentes por el polo norte ser´ an las intersecciones de los planos ax + by = 0 yx + b y = 0 con el plano z = 1. Ahora bien, podemos identicar el plano z = 1on el plano afın que resulta de eliminar la recta z = 0 en el plano proyectivoe partida. Entonces las tangentes cuyo ´ angulo hemos de medir son las propiasectas iniciales (sin su punto innito). Con m´ as detalle: en este plano afınenemos ahora una estructura euclıdea, de modo que las coordenadas cartesianasx, y ) correspondientes a las coordenadas homogeneas ( x,y, 1) est an asociadas an sistema de referencia ortonormal. Hasta aquı tenemos que el angulo entre lasectas denido en el modelo esferico corresponde con el ´ angulo entre ellas mismasespecto a esta estructura euclıdea. Este ´ angulo puede calcularse por la f´ ormulae Cayley, que es formalmente identica a la que queremos probar. S´ olo hemose asegurarnos de que las tangentes a la c´ onica innita por el punto de corte0 0 1) coinciden con las rectas isótropas por dicho punto pero esto es obvio



uesto que las coordenadas homogeneas de un punto coinciden con las de suolar, vemos que las coordenadas de P ∞ y Q∞ son tambien las de las rectasangentes a la cónica innita por el punto en que se cortan las polares de P y

Q, luego dicha raz on doble es un n umero complejo de módulo 1 cuyo argumentos el angulo entre dichas polares. Esto nos lleva a la denici´ on siguiente, dondeecogemos tambien la denici´ on de angulo que hemos discutido anteriormente.

enici´ on 13.3 Llamaremos distancia elıptica entre dos puntos P y Q como

d(P, Q ) =12

|arg R (P,Q,P ∞ , Q ∞ )| ,

onde P ∞ y Q∞ son los puntos en que la recta P Q corta a la c onica innita yl argumento se toma en ] − π, π [.

El ´ angulo elıptico entre dos rectas r 1 y r 2 es

r 1 r 2 =12

|arg R (r 1 , r 2 , I 1 , I 2 )| ,

onde I 1 e I 2 son las tangentes a la cónica innita por el punto r 1 ∩ r 2 y elrgumento se toma en ] − π, π [.

Ambas magnitudes pueden variar en [0 , π/ 2[, con el convenio de que sonulas si los puntos o las rectas son iguales. Ambas se conservan por isometrıas.

Hemos probado que la distancia entre dos puntos es el ´ angulo entre sus polares.n el modelo esferico la distancia entre dos puntos P y Q coincide con el angulontre las rectas OP y OQ , donde O es el centro de la esfera. El angulo entreos rectas es el denido en el capıtulo 11.

Tambien es claro que dos pares de puntos/rectas son congruentes si y s´ olo su distancia/´ angulo es el mismo.

Exactamente el mismo argumento que en el caso de la geometrıa hiperb´ olicaos lleva a las formulas:

cos d =xx + yy + zz

x2 + y2 + z2 x 2 + y 2 + z 2,

cos θ =xx + yy + zz

x2

+ y2

+ z2

x2

+ y2

+ z2

,

onde ( x,y,z ) y (x , y , z ) son las coordenadas homogeneas de dos puntos/rec-as. No obstante estas f´ ormulas se siguen inmediatamente del modelo esfericosando las propiedades del producto escalar en V .



eterminan un segmento, sino dos segmentos complementarios. De este modo,uando hablemos de un segmento AB habremos de entender que se trata de unoe los dos segmentos de extremos A y B . Recordemos que habıamos adoptado

convenio de llamar ACB al segmento de extremos A y B que contiene a C .Es facil ver que un segmento y su complementario no son congruentes salvo

ue los extremos disten π/ 2. Por ello no podemos denir la longitud de un seg-ento como la distancia entre sus extremos, ya que en tal caso estarıamos asig-

ando la misma longitud a segmentos complementarios no congruentes. Paraenir adecuadamente la longitud de un segmento nos basaremos en el hechoguiente, que se comprueba sin dicultad en el modelo esferico:

Cada segmento elıptico AB contiene un ´ unico punto C con la pro-piedad de que d(A, C ) = d(C, B ). Lo llamaremos punto medio del

segmento.

Ahora denimos la longitud de un segmento como el doble de la distancia deus extremos a su punto medio. La idea es que en el modelo esferico un segmentos un arco de circunferencia de amplitud menor que π (en realidad es un par decos antıpodas de amplitud menor que π), por lo que la mitad de un segmento

s un arco de amplitud menor que π/ 2 y ası la amplitud de este arco sı coincideon la distancia entre sus extremos, luego la longitud del segmento completo asıenida coincide con su amplitud como arco. Ahora sı podemos armar que dosegmentos son congruentes si y solo si tienen la misma longitud. Es f´ acil probarue la longitud de un segmento y la de su complementario suman π. Podemosxpresar esto diciendo que las rectas tienen longitud π.

Una recta no divide al plano en dos partes. Dos rectas no dividen en cuatro ángulos, sino en dos regiones que pode-

mos llamar bil´ ateros. Un bil atero tiene un vertice y dos lados.

os puntos están en el mismo bil atero si existe un segmentoue los une sin cortar a los lados. Una forma f´ acil de probarstos hechos es observar que los biláteros son simplemente losemiplanos que determina una recta en el espacio afın quesulta de tomar a la otra como recta innita. Podemos asignar una medida al

ngulo de cada bilátero del mismo modo que hemos hecho con los segmentos.a suma de los angulos de dos bil ateros complementarios es π.

Consideremos tres puntos no colineales A, B , C . To-memos AB como recta innita. Entonces los bil´ ateros devertice A y lados AB y AC se convierten en los dos semipla-nos determinados por AC . La recta BC es secante a AC ,luego divide al plano en cuatro ´ angulos. Dos puntos est´ an



i´ angulos de vertices A, B , C . Es claro por las deniciones que dos puntosst an en el mismo tri angulo de vertices A, B , C si y solo si estan en el mismoilatero de vertice A y lados AB , AC , en el mismo bilatero de vertice B y ladosA , BC y en el mismo bil atero de vertice C y lados CA y CB . Llamaremos

A, B y C para un triángulo dado T a los bilateros de vertices A, B , C queontienen a T , y los llamaremos ´ angulos de T

Sea T un tri angulo de vertices A, B , C . Podemos tomar una recta que paseor A pero no este contenida en A. Si la convertimos en recta innita las rectas

AB y AC se vuelven paralelas y T se convierte en el conjunto de los puntosomprendidos entre ambas y que est´ an en uno de los semiplanos determinadosor BC . Vemos entonces que de los dos segmentos que B y C determinan enC , uno est a contenido en el angulo A y el otro es exterior a el.

En general, llamaremos lado opuesto al vertice A al segmento de BC conte-

ido en A. Lo mismo vale para los otros vertices. Dado un tri´ angulo T , cada unoe los otros tres triángulos con sus mismos vertices comparte con T un angulosu lado opuesto. Los otros dos lados y ángulos son los complementarios de los

e T .Si, al igual que antes, representamos a un tri´ angulo T como el conjunto de

untos anes comprendidos entre dos rectas paralelas y situados en un mismoemiplano respecto a una tercera recta r , veremos claramente que existe unaecta que no corta a ninguno de sus lados (ni pasa por sus vertices). Bastaomar una recta paralela a r en el semiplano opuesto a T . Tenemos, pues, queempre existe una recta que no corta a ninguno de los lados de un tri´ angulo. Si

omamos esta recta como innita T se convierte en un triángulo afın ordinario.De aquı podemos traducir al plano elıptico algunos teoremas sobre la ordenaci´ on

neal. Por ejemplo, una recta no puede cortar a los tres lados de un tri´ angulo.in embargo, el hecho de que exista una recta que no corta a los vertices y ladose un tri angulo implica que corta a los complementarios de los lados, luego estos

egmentos no son los lados de ningún tri angulo.Esto muestra que tres segmentos pueden conectar tres

untos y pese a ello no ser los lados de ningún tri angulo.on m as detalle: digamos que un tri´ angulo tiene lados a,c y llamemos − a, − b, − c a los complementarios. Enton-

es los otros tri angulos tienen lados ( a, − b,− c), (− a,b, − c)(− a, − b, c). Las otras cuatro combinaciones son imposi-

les. Vemos entonces que si en una combinaci´ on posible deegmentos cambiamos uno por su complementario obtenemos una combinaci´ onmposible y viceversa.

orema 13.4 Un lado de un tri´ angulo es menor que la suma de los otros dos.

D t i ´ C id t i´ l l ti ABC S



O

A B

C

D

Sea D el punto sobre AB que hace AOD = AOC . Sea el punto sobre la semirrecta

−−→OC tal que OC = OD .

ntonces AOC = AOD , pues tienen dos lados iguales y elngulo entre ellos, luego AC = AD .

Ahora, BC > AB − AC = AB − AD = DB . Los

i angulos OBC y OBD tienen dos lados iguales y un ladoesigual BC > DB , luego BOC > BOD = AOB − AOD ,s decir, BOC > AOB − AOC , que en terminos del tri´ angulo elıptico originals AB < AC + CB , como habıa que probar.

ercicio: Probar que un lado de un tri´ angulo elıptico es siempre mayor que laferencia de los otros dos.

orema 13.5 La suma de los lados de un tri´ angulo es menor que 2π .

Demostraci on: Si el tri angulo tiene lados a, b, c, consideramos uno deos tri angulos adyacentes, digamos el de lados π − a, π − b, c. Por el teoremanterior c < π − a + π − b, luego a + b + c < 2π.

Al aplicar la polaridad de la c´ onica innita a las rectas que pasan por el

ertice de un bil´ atero y están contenidas en el obtenemos un segmento. Esacil ver que si el angulo del bil atero mide a lo sumo π/ 2 lo mismo le ocurre alegmento, y en tal caso el ángulo del bil atero coincide con el que forman susados y la longitud del segmento coincide con la distancia entre sus extremos,

adem as sabemos que ambas coinciden. Es decir, la polaridad transformailateros rectos y agudos en segmentos de la misma longitud. Pasando por losomplementarios vemos que tambien es cierto para bil´ ateros obtusos.

En particular la polaridad transforma los tres ´ angulos de un triángulo T n tres segmentos que conectan los polos de sus lados. La longitud de cadaegmento es igual a la amplitud del ´ angulo del que proviene. Sin embargo estosegmentos no son los lados de ningún tri angulo. Para probarlo observamos quen punto P del tri angulo est a contenido en una recta contenida en cada ´ angulo,uego su recta polar pasa por un punto de cada segmento. Por consiguiente,os complementarios de estos segmentos sı son los lados de un tri´ angulo (alomar complementarios tres veces pasamos de una combinaci´ on imposible a

tra posible).enici´ on 13.6 Llamaremos tri´ angulo polar de un tri angulo elıptico T al tri-ngulo que tiene por vertices los polos de las prolongaciones de sus lados y porados los complementarios de los segmentos formados por los polos de las rectasontenidas en sus ángulos



e T son A, B , C y sus lados opuestos son a, b, c. Tomemos un punto Q de laecta BC . Entonces Q estar a en a si y solo si la recta AQ est a en A, si y solo si(AQ) no est a en el lado de T de extremos p(AB ), p(AC ), si y solo si p(Q) nost a en el bilatero de vertice p(BC ), si y solo si p(Q) est a en el complementarioe dicho bil atero.

Con esto es inmediato el teorema siguiente:orema 13.7 Si T es un tri´ angulo elıptico y T es su tri´ angulo polar, entonces

es el tri´ angulo polar de T . Si los ´ angulos de T miden α , β , γ y sus lados miden a , b, c, entonces los lados de T miden π − α , π − β , π − γ y sus ´ angulos miden π − a , π − b, π − c.

Este teorema nos permite extender a la geometrıa elıptica el principio deualidad de la geometrıa proyectiva. Veamos una primera aplicaci´ on:

orema 13.8 La suma de los ´ angulos de un tri´ angulo es mayor que π y menor ue 3π .

Demostraci on: Si los angulos del triángulo son α , β , γ , entonces el teoremanterior aplicado al tri´ angulo polar nos da 0 < π − α + π − β + π − γ < 2π,uego π < α + β + γ < 3π.

ercicio: Probar que un tri´ angulo coincide con su polar si y s´ olo si todos sus ladosangulos miden π/ 2.

3.3 Isometrıas elıpticas

Las isometrıas elıpticas son mucho m´ as simples que las euclıdeas o las hi-erb olicas. Consideremos el modelo esferico. Una isometrıa elıptica est´ a indu-ida por una isometrıa euclıdea que ja a la esfera, y sabemos que en un sistemae referencia adecuado su matriz ha de ser de la forma

cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0

0 0 ± 1.

Si multiplicamos todos los coecientes por − 1 obtenemos otra isometrıauclıdea que induce la misma isometrıa elıptica (pues estamos componiendolaon la isometrıa que intercambia los puntos antıpodas). Por consiguiente po-emos suponer que la ultima entrada es un +1. En denitiva, cada isometrıa´ ´ d d ´ R 3



orema 13.9 Si f es una isometrıa del plano elıptico distinta de la identi-ad, existen un punto O y una recta r unıvocamente determinados, a los que amaremos centro y eje de f de modo que los ´ unicos puntos jados por f son

y quiz´ a los puntos de r , y las ´ unicas rectas jadas por f son r y quiz´ a las ectas que pasan por O. Adem´ as r es la recta polar de O.

Por razones obvias las isometrıas elıpticas se llaman tambien giros.

3.4 Trigonometrıa elıptica

A

B

C

P M

O

c

a

bh c

La trigonometrıa elıptica es completamente an´ aloga a la hiperbólica. Con-deremos un triángulo de vertices A, B , C , lados a, b, c y angulos α , β , γ ,

elacionados como es habitual. Comenzaremos demostrando el teorema del co-eno.

Supongamos primeramente que α y b son agu-os. Sea P la proyecci on ortogonal de C sobre ellano AOB y sea M su proyecci on ortogonal sobreA. El plano CP M es perpendicular a OA, pues

ontiene las rectas CP y CM , ambas perpendi-

ulares a OA. Por consiguiente, las rectas MP MC son paralelas a las tangentes a la esferaor M contenidas en los planos OAB y OAC res-ectivamente, es decir, CMP = α. Claramentee tiene ademas que OM = cos b, MC = sen b,

MP = sen bcos α , P C = sen bsen α .

Consideremos la suma de vectores−−→OM +

−−→MP +

−−→P C =

−−→OC y proyectemosla

rtogonalmente sobre la recta OB . Si llamamos p a la proyecci on es facil com-robar que

p(−−→OM ) = cos bcos c,

p(−−→MP ) = sen b cos α cos(π/ 2 − c) = sen b sen c cos α,

p(−−→P C ) = 0 ,

p(−−→OC ) = cos a.

Por lo tantocos a = cos bcos c + sen bsen c cos α. (13.1)

Si / 2 bi l id d−−→MP bi´ bi l i



Volviendo al caso en que α y b son agudos, consideremos ahora la proyecci´ onobre el eje perpendicular al plano AOB . Entonces

p(−−→OM ) = 0 ,

p(−−→MP ) = 0 ,

p(−−→P C ) = sen bsen α, p(

−−→OC ) = sen h c ,

onde h c es la altura del triángulo que une C con c. Tenemos, pues,

sen h c = sen bsen α,

como antes se comprueba que esta relaci´ on es valida en el caso general.plicandola a β obtenemos sen h c = sen a sen β . Despejando sen h c e igualandobtenemos el teorema de los senos. Ası pues,

sen asen α

=sen bsen β

=sen csen γ

. (13.2)

Las formulas (13.1) y (13.2) se conocen como f´ ormulas de Bessel .

La formula (13.1) muestra que si dos tri´ angulos tienen los lados igualesntonces tambien tienen los ´ angulos iguales, y de aquı se sigue fácilmente queon congruentes. Por dualidad, si dos tri´ angulos tienen los angulos igualesmbien son congruentes. De hecho, aplicando la f´ ormula (13.1) al triánguloolar obtenemos el teorema del coseno para un lado:

cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a. (13.3)

Dejamos a cargo del lector la comprobaci´ on de que todas las f ormulas detrigonometrıa hiperb´ olica son validas para tri´ angulos elıpticos cuando las

azones hiperbólicas se sustituyen por las correspondientes circulares. Todass comprobaciones son fáciles a partir de las fórmulas que ya tenemos. Poremplo, el teorema del coseno cuando α = π/ 2 se convierte en el teorema deit agoras elıptico:

cos a = cos bcos c.

Cada relación tiene una dual, resultante de aplicarla al tri´ angulo polar. Poremplo, todo triángulo rectilátero (con un lado recto, digamos a) cumple

cos α = − cos β cos γ

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