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LA ESCUELAPITaGóRICA
LA PASIÓN POR EL NÚMERO
LAS CIUDADES Y SUS FILóSOFOS
1 Elea: Parménides 2 Crotona: Escuela Pitagórica 3 Agrigento: Empédocles 4 Leontino: Gorgias 5 Siracusa: Arquímedes 6 Estagira: Aristóteles 7 Abdera: Demócrito; Protágoras 8 Atenas: Sócrates; Platón 9 Clazomene: Anaxágoras 10 Colofón: Jenófanes11 Éfeso: Heráclito 12 Mileto: Tales; Anaximandro; Anaxímenes
MAPA DE GRECIA y sus colonias
Pitágoras, detalle de Pitágoras, detalle de La Escuela de Atenas, La Escuela de Atenas,
de Rafael Sanzio.de Rafael Sanzio.
Filósofo griego nacido en la isla de Samos y muerto en Metaponto. Se le considera
el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos.
La sociedad que lideró estaba regida por códigos secretos que hace que su figura sea
muy misteriosa.La figura de Pitágoras está envuelta en un
halo de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos
que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse, fundadores de las
principales religiones orientales.
EL padre de Pitágoras fue Mnesarchus y su madre Pithais, quien era nativa de Samos.
Mnesarchus fue un mercader proveniente de Tiro. Dice una historia que llevó maíz a Samos, y como
gratitud fue declarado ciudadano de Samos.
PITÁGORAS de Samos…PITÁGORAS de Samos…
Pitágoras se trasladó a Crotona, colonia griega en el sur de Italia, alrededor del 518 a.C. Estas colonias gozaban entonces de
una gran prosperidad, sobresaliendo entre ellas Síbaris, famosa en el mundo griego
por sus riquezas y su vida lujosa. Crotona era su principal rival y vecina. Allí llegó
Pitágoras con un sistema de pensamiento más o menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusiera sus ideas y, según la
tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los jóvenes, al
Senado, a las mujeres y a los niños.
El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversos conductos, está lleno de recomendaciones morales de
gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que
se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona.
… … y de CROTONA.y de CROTONA.
Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol.
Óleo de Fyodor Bronnikov.
Los PITAGÓRICOS…Los PITAGÓRICOS…
PitágorasPitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenía posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y debía observar estrictas reglas de conducta.
Sus máximas pueden sintetizarse como:• que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza
matemática (número=vibración=música=armonía);• que la filosofía (la búsqueda de la sabiduría) puede usarse
para la purificación espiritual;• que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;• que ciertos símbolos son de naturaleza mística;• que todos los miembros de la hermandad deben guardar
absoluta lealtad y preservar el Conocimiento.
… … una Escuela de los Misterios.una Escuela de los Misterios.
“¡Sabrás también que las personas mismas provocan las desgracias para sí por su falta de consciencia (creer es crear)!
¡Y sabrás que eligen libremente sus destinos!No obstante, no hay que perder la esperanza para la salvación de las
personas de esta oscuridad, pues cada humano tiene la Raíz Divina, y la Naturaleza está lista para revelarle los misterios de la
existencia. ¡Si tú también penetras en estos misterios, se cumplirá lo que te estoy predicando a ti!
¡Así que, sana el alma (Reconócete en Lo-Que-Eres)! ¡Esto te revelará el camino hacia la Liberación!
¡Y abstente de comer carne: esto es contra tu naturaleza y te impedirá tu purificación!
¡Así que, si quieres librarte de las cadenas terrenales, sigue esta comprensión superior dada a ti! ¡Que ésta rija tu destino!
¡Y después de transformar completamente el alma, podrás llegar a ser un Dios Inmortal, Quien aplasta con el pie la muerte.”
Con SUS CREENCIAS…Con SUS CREENCIAS…
Versos DoradosVersos Dorados
Entre los distintos símbolos heredados de antiquísimas culturas, el pentáculo merece una especial atención. Muy anterior al cristianismo y a la mayoría de las religiones,
se encuentra directamente enlazado con el culto a la naturaleza y el principio hermético de género. Proviene
de una época en la que la humanidad dividía el mundo en dos grandes mitades: la femenina y la masculina. Sus
dioses y diosas actuaban para mantener el equilibrio de poder. Si se alcanzaba el equilibrio entre lo masculino y lo femenino -el “yin” y el “yang”-, la armonía reinaba en
el mundo; en caso contrario, dominaba el caos.
… … y con SUS SÍMBOLOS.y con SUS SÍMBOLOS.
La ESTRELLA PITAGÓRICALa ESTRELLA PITAGÓRICA
El pentáculo, también llamado pentagrama, pentalfa y pentángulo,fue adoptado como Santo y Seña por la Escuela Pitagórica.
Hay muchas razones: es el Templo de la Armonía, la Sinfonía del Número, el Anagrama Humano y el Símbolo de la Feminidad. Veamos esto último.
Historia del PENTAGRAMAHistoria del PENTAGRAMAEl pentáculo o pentalpha, es considerado como uno de los
SÍMBOLOS más representativos de la historia. A pesar de que tanto el origen como el significado del pentagrama se encuentran
en la propia esencia geométrica del número 5, algunos han querido encontrar su origen y significado en el patrón de Venus, ya que durante su ciclo de retrogradación de ocho años, Venus
traza también una estrella de cinco puntas.
Al ser Venus la Diosa de la Feminidad, el Péntáculo se asocia como símbolo de la armonía, belleza,
equilibrio, los sentimientos y los afectos.
La elección del pentáculo para denotar ese poder y tales vínculos no es fruto de la casualidad. Se basa en la estrecha asociación
gráfica existente entre el signo y el planeta: Venus, en su desplazamiento cósmico, traza, precisamente, un pentáculo imperfecto cada ocho años. Los astrónomos y sabios de la
antigüedad conocieron este hecho y convirtieron a Venus y su pentáculo en símbolos de perfección y belleza y síntesis de las
propiedades cíclicas del amor sexual.
Venus, el CORAZÓN … Venus, el CORAZÓN …
Venus y la Tierra en conjución solar interiorVenus y la Tierra en conjución solar interior
Cada 584 días, es decir, aproximadamente cada año y siete meses, Venus recorre un trayecto aparente con respecto a la Tierra, que si es delineado,
va trazando la forma de un corazón.
Después de 5 periodos sinódicos (584 días x 5 = 2920 días = 8 años) Venus completa su trayectoria recorriendo el círculo zodiacal y forma una figura de 5 vértices, es decir, una figura pentagonal. Dado que Venus está más cerca del Sol que la Tierra, en determinados momentos su movimiento aparenta “retroceder”, de modo quela representación gráfica de su movimiento respecto a la Tierra se asemeja a una rosa de cinco pétalos, en la que cada pétalo es un corazón de un periodo sinódico. Este movimiento de retroceso aparente de Venus le da a este fenómeno el nombre de Ciclo de Retrogradación de Venus.
… … y la PENTAFLOR.y la PENTAFLOR.
Así que cada 8 años terrestres, la Tierra y Venus se alinean 5 veces en una conjunción solar inferior, señalando 5 puntos que son equidistantes y que
forman los 5 vértices de una estrella de 5 puntas a lo largo del zodiaco.
La Danza de VENUSLa Danza de VENUS
La Sagrada Tetraktys Pitagórica
Esta figura triangular muestra como el número diez es la suma de los cuatro primeros 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1
Es el cuarto Número Triangular.
La Tetraktys es la representación del Número Diez, que tiene el sentido de la totalidad, de
final, de retorno a la unidad finalizando el ciclo de los nueve primeros
números.
Para los pitagóricos se trata de la SantaTetraktys, el más sagrado de todos los números por simbolizar a la
creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella.
Es pues una imagen de la totalidad en movimiento.
Esta figura la tenían por Sagrada. Por ella hacían el juramento transmitido como pitagórico, hecho en nombre de Pitágoras mismo,
pero sin nombrarlo, “por quién transmitió a nuestra alma la tetraktys”.
La tetraktys es el número perfecto y la clave de la doctrina.
La Unidad: Lo Divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado.
La Dualidad: Desdoblamiento del punto, origen de la polaridad masculino-femenino. Dualismo.
La Forma: Como arquetipo de la realidad y de sus tres planos: el espiritual, el mental y el físico.
La Materia: Y sus cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua.
Y con ellos la multiplicidad del universo material.
El conjunto constituye la Década, El Número Perfecto,
la Totalidad del Universo.
Símbolo del UNIVERSO…Símbolo del UNIVERSO…
... ... y de la GEOMETRÍA SAGRADAy de la GEOMETRÍA SAGRADA
EL PUNTOEL PUNTO
LA LÍNEALA LÍNEA
LA SUPERFICIELA SUPERFICIE
EL VOLUMENEL VOLUMEN
DIMENSIONES,DIMENSIONES,
CON EL TIEMPOCON EL TIEMPO
11
22
33
44
10101111El Árbol de la Vida
En sus investigaciones matemáticas, Pitágoras y sus discípulos utilizaban piedrecillas (en latín calculus) o marcas que disponían según determinadas formas geométricas. Así, podían asociar números y formas, cambiar estas y observar lo que ocurría con los respectivos números, relacionar unas formas con otras, unos números con otros, etc. En definitiva, trabajaban con la forma y el número a la vez. Los resultados fueron extraordinarios y permitieron descubrir importantes teoremas y relaciones. A lo largo de la historia ilustres matemáticos como Gauss o Euler también dedicaron su tiempo al estudio de los números figurados.
Los NÚMEROS FIGURADOSLos NÚMEROS FIGURADOS
Los NÚMEROS TRIANGULARESLos NÚMEROS TRIANGULARES
La suma de los n primeros números naturales
En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo
de tres números triangulares. ¿Te atreves con el 100?
Un número natural a se llama cuadrado cuando existe otro número natural n tal que a=n2.
Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25, …
En la figura se observa la generación de cada número cuadrado:
t1 = 1 = 1t1 = 1+3 = 4t1 = 1+3+5 = 9t1 = 1+3+5+7 = 16
Los números cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9Todo número cuadrado es suma de dos triangulares consecutivos. Compruébalo o intenta demostrarlo. También se forma un cuadrado con 8 números triangulares, sumándoles una unidad. Con un dibujo lo puedes lograr fácilmente.
Los NÚMEROS CUADRADOSLos NÚMEROS CUADRADOS
Los NÚMEROS PENTAGONALESLos NÚMEROS PENTAGONALES
Se definen de la misma forma que los cuadrados y los triangulares, como números que forman pentágonos, hexágonos, etc.
La fórmula que siguen los pentagonales 1, 5, 12, ... es n(3n-1)/2Los hexagonales 1, 6, 14, siguen la fórmula n(4n-2)/2 = 2n2 - nEn general, de k lados la fórmula adecuada es (n*(2+(n-1)*(k-2))/2
Es un número figurado tal que las unidades del conjunto que representa se pueden situar ordenadamente en forma de polígono. Pueden ser triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.La expresión general de un número poligonal de k lados y orden n es
o lo que es equivalente siendo Tn-1 el triangular de una dimensión menos. La siguiente imagen demuestra esta propiedad:
Las unidades azules representan a n, y las de los otros tres colores a los números triangulares que terminan de engendrar el pentagonal.
Y los NÚMEROS POLIGONALESY los NÚMEROS POLIGONALES
El número m es un cubo perfecto si y solo si pueden ordenarse m puntos en un
cubo, por ejemplo 3 × 3 × 3 = 27.
La suma de los primeros n cubos perfectos es un n-ésimo número triangular al
cuadrado:
Por ejemplo, la suma de los primeros cinco números cubos perfectos, 13 + 23 + 33 + 43 + 53, es igual a la suma de los
cinco primeros números triangulares 152 que es 225.
Los NÚMEROS CÚBICOSLos NÚMEROS CÚBICOS
La PASIÓN POR EL NÚMEROLa PASIÓN POR EL NÚMERO
"Nutridos (los Pitagóricos) de ella (la matemática), creyeron que su principio fuera el de todas las cosas. Ya
que los números por su naturaleza son los primeros que se presentan en ella, les pareció observar en los números
semejanzas con los seres y con los fenómenos, mucho más que en el fuego, o en la tierra o en el agua y como también
veían en los números las determinaciones y las proporciones de las armonías y como, por otra parte, les
parecía que toda la naturaleza estaba por lo demás hecha a imagen de los números, y que los números son los
primeros en la naturaleza, supusieron que los elementos de los números fuesen los elementos de todos los seres y que el universo entero fuese armonía y número. Y todas
las concordancias que podían demostrar en los números y en las armonías con las condiciones y partes del universo y
con su ordenación total, las recogieron y coordinaron."
Aristóteles.
““TODO es NÚMERO”TODO es NÚMERO”
1 x 1 = 11 x 1 = 1
11 x 11 = 12111 x 11 = 121
111 x 111 = 12 321111 x 111 = 12 321
1111 x 1111 = 1 234 3211111 x 1111 = 1 234 321
11111 x 11111 = 123 454 32111111 x 11111 = 123 454 321
111111 x 111111 = 12 345 654 321111111 x 111111 = 12 345 654 321
1111111 x 1111111 = 1 234 567 654 3211111111 x 1111111 = 1 234 567 654 321
11111111 x 11111111 = 123 456 787 654 32111111111 x 11111111 = 123 456 787 654 321
111111111 x 111111111 = 12 345 678 987 654 321111111111 x 111111111 = 12 345 678 987 654 321
“Todas las cosas están también conformadas según los números”
ARITMÉTICA GEOMETRÍAARITMÉTICA GEOMETRÍA
Para descubrir la UNIDAD, la MULTIPLICIDAD y la SUPER_SIMETRíAPara descubrir la UNIDAD, la MULTIPLICIDAD y la SUPER_SIMETRíA
En cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos se traza una diagonal y por los otros dos vértices del cuadrado se trazan segmentos paralelos a la hipotenusa, determinándose así cuatro partes en cada uno de los cuadrados, que agrupadas convenientemente forman el cuadrado sobre la hipotenusa.
ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZASROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS
El Teorema más famoso: aEl Teorema más famoso: a22 = b = b22 + + cc22
De la MATHEMATICA…De la MATHEMATICA…La palabra matemáticas proviene del término griego
Mathema, que significa CONOCIMIENTO. Los pitagóricos dividieron esta ciencia en cuatro secciones: aritmética,
geometría, astronomía y música, que constituían la esencia del conocimiento.
… … a las 7 Artes Liberales.a las 7 Artes Liberales. En la Antigüedad, estas cuatro disciplinas conformaron el
Quatrivium, que junto con las tres disciplinas que dan elocuencia, el Trivium, conformaban el programa de estudios de las Siete
Artes Liberales (practicadas por los hombres libres)
“Las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los
números “
La Escala DiatónicaLa Escala Diatónica
22
11
4
3
211
1
12
3
2
Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis).
Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media
aritmética de 1 y 2) producían al hacerlas vibrar combinaciones de sonidos agradables (armónicos) y construyó una escala a partir de
estas proporciones:
3 : 4 es la media aritmética de 1 y 1/2 :
2 : 3 es la media armónica de 1 y 1/2 :
Proporciones 1/1 1/2 2/3 3/4
Sonido Unísono Octava Quinta Cuarta
Hoy los llamamos octava, quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
La Escala PitagóricaLa Escala Pitagórica
222
1 2 xxx
x
Las tres medias (armónica, geométrica y aritmética) forman una progresión geométrica. Pero, ¿qué le pasó a la media geométrica?
¿Fue rechazada por su inconmensurabilidad?
¡Correspondía exactamente al Fa sostenido de la escala cromática!En su lugar, usaron la quinta repetidas veces (ciclo de quintas). Cada vez que sobrepasaban la octava, multiplicaban por 2 la longitud de la
cuerda para retroceder a la octava original.
SOL (por 2:3) > RE (por 2:3) > LA (por 2:3) > MI (por 2:3) > SI
Las longitudes de las cuerdas correspondientes quedan así:
do re mi fa sol la si do
1 8:9 64:81 h 3:4 2:3 16:27128:24
3h 1:2
La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 9:8 (tono), salvo en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono).
La pauta entre tonos y hemitonos es 2-h-3-h.
El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar un tono. Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.
La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente
hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi ) a 7 octavas.
(3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136... A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.
Esta diferencia (que acumulada a lo largo de las octavas produce la coma pitagórica) condiciona la escala "según la nota en que se empiece"
(tonalidad). Por ello, se crean varios modos distintos. Los más importantes, el modo mayor (a partir de do, 2-h-3-h)
y el modo menor (a partir de la, 1-h-2-h-2).
Número y ArmoníaNúmero y Armonía
“Dame una cuerda y te explicaré el universo”, proclamó Pitágoras: la vibración es función proporcional del segmento de cuerda… Música, matemáticas, geometría… “El Universo es Vibración, emanada del tictac de la polaridad
originaria, y tu Corazón también vibra” Tu armonía interna responde a proporciones matemáticas, igual que el cosmos. Restablécela y la energía
fluirá: conectarás con tu emoción y sonarás como un instrumento afinado…”
LA Música de las EsferasLA Música de las Esferas
PITÁGORAS
El Teorema El Teorema dede
La demostración de
aa22 =
b =
b2 2 +
c+
c22
Ternas PitagóricasTernas Pitagóricas
(a, b, c) es una terna pitagórica si a2 = b2 + c2
Encontremos las infinitas ternas pitagóricas que hay:
1. Nos centraremos en las básicas suponiendo que m.c.d.(a,b,c)=1 y demostremos que b y c (catetos) tienen distinta paridad:• Las dos pares a par . ¡Absurdo!• Las dos impares a par. Sean b=2n+1, c=2m+1 b2 + c2 = 4(n2 + n +m2 +m) +2 = a2
es decir, a2 sería un múltiplo de 4 con residuo 2. Absurdo
• Supongamos, por conveniencia, que b es par y c impar. Entonces,
c2=a2–b2 =(a+b)(a-b) / m.c.b.{(a+b),(a-b)}=1 En efecto, si tuvieran algún factor común,
Ternas PitagóricasTernas Pitagóricas
a+b+a-b= 2b a+b-(a-b)=2a También tendrían un factor común, y como (a+b)(a-b)= c2, entonces 2b, 2a y c2 (impar) tendrían un factor común.
¡Absurdo!
• Sea a+b=m2
y a-b=n2
a = (m2 +n2)/2 b = (m2 –n2)/2 c = m.n c2 = (a+b)(a-b)=m2 . n2
Con m y n impares tales que m.c.d.(m,n)=1
