La dificultad que conlleva el combinar los significados de … · de los números naturales. ... realizar repartos equitativos Ej. 1: Dividir en cuatro grupos iguales 12 fichas Ej

FRACCIONES: INTERPRETACIONES ESCOLARES1

DIFERENTES INTERPRETACIONES:

PARTE-TODO y MEDIDA COCIENTE RAZÓN OPERADOR

1: Ideas extraídas del capítulo de Llinares y Sánchez

(1988) «Fracciones». Sïntesis: Madrid

A. Fernández, Dpto. Didáctica Matemáticas 1

La dificultad que conlleva el combinar los significados de «numerador» (a) y «denominador» (b) para generar un significado conjunto para a/b, lleva a la consideración de:

RELACIÓN PARTE-TODO Y MEDIDA

Se presenta esta situación cuando un «TODO» se divide en «partes congruentes», y la fracción a/b indica:

«La relación que existe entre un número de partes y el número total de partes en que se ha dividido el todo». El todo recibe el nombre de unidad. A. Fernández. Dpto.

Didáctica Matemáticas 2


Se apoya en: La habilidad de dividir una cantidad continua o un conjunto discreto en partes o subgrupos del mismo tamaño. 3/5 5/8 3/5

A. Fernández Dpto. Didáctica Matemáticas 3


Se apoya en: La habilidad de dividir una cantidad continua o un conjunto discreto en partes o subgrupos del mismo tamaño (congruentes).



Fracciones impropias o números mixtos: número mixto: 1 3/4 ¡Cuidado cuando la fracción es > 1 !


7/4

(siete cuartos)


Observación: en el contexto discreto… - Los subconjuntos que resultan al

dividir el todo en varias partes pueden estar también formados cada uno por varios objetos.

En este caso, 2/5 representa la relación entre las 5 partes en las que está dividido el todo y las 2 partes señaladas.

A. Fernández. Dpto. Didáctica Matemáticas 6



Otras habilidades que se necesitan previamente: • Tener interiorizada la noción de

inclusión de clases

• la identificación de la unidad (qué todo se considera como unidad en cada caso)

• la de realizar divisiones (conservándose la cantidad del todo aún cuando se divide)

• Manejar la idea de área (en el caso de las representaciones continuas)


Fracciones Decimales: En la interpretación parte-todo, cuando el todo se divide en 10, 100, 1000, etc:

1/10 (una décima)

El cuadrado pequeño representa 1/100 (una centésima)



Fracciones como ptos de la recta: En la interpretación parte-todo, podemos asociar la fracción a/b con un punto de la recta numérica. Para ello se considera la recta numérica en la que cada segmento unidad se ha dividido en b partes congruentes. - Así se asocia una fracción a un nº abstracto (y a un pto de la recta)



Fracciones como ptos de la recta: - Ventajas: hace que las fracciones

impropias aparezcan de forma natural (porque se ven más “todos” a la vez).

facilita la inclusión de los

números racionales en el conjunto de los números naturales.

tiene conexiones con las medidas

(escalas).



Fracciones como ptos de la recta: - Inconvenientes: Problemas para identificar el

segmento unidad.

Problemas cuando el segmento unidad se divide en un “múltiplo” del denominador.

Observación: Sirve también en el contexto de la interpretación de medida…

A. Fernández . Dpto. Didáctica Matemáticas 11


La fracción como medida: Se identifica una unidad de medida, que admite subdivisiones congruentes. La tarea de medir significa: asignar un número a una «región» (en el sentido general). Para ello hay que contar el número de veces que la unidad (o subunidades) está contenida en la región. Aquí las partes vienen dadas en el propio sistema de medida.



La fracción como medida: Se identifica una unidad de medida, que admite subdivisiones congruentes. Ejemplo en un contexto escolar



La fracción a/b aparece cuando se desea medir una determinada magnitud, en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces en la magnitud que se quiere medir.

Para obtener la medida exacta se deben:

- Medir utilizando múltiplos y submúltiplos de la unidad.

- Realizar comparaciones con la unidad.

Obs.- La conceptualización de fracción como medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fracción a/b es a veces 1/b.


LA FRACCIÓN COMO COCIENTE

Se presenta esta situación cuando la fracción a/b indica:

«Una división indicada de dos

números naturales» En esta interpretación subyace la idea de: Reparto equitativo A. Fernández. Dpto.



a/b División indicada

Reparto equitativo: División-reparto “Repartir de forma equitativa tres barras de chocolate entre cinco niños” 1/5 1/5 1/5

3/5 A. Fernández. Dpto.



a/b División indicada

Reparto equitativo: División-reparto



a/b División indicada Reparto equitativo: División-medida “Tenemos tres pizzas. A cada niño le ha correspondido los ¾ de una pizza. ¿A cuántos niños hemos podido dar pizza?


LA FRACCIÓN COMO RAZÓN

a/b se considera: “Un índice comparativo entre dos cantidades de magnitud’

◦ Puede ser:

PARTE-PARTE Se comparan dos partes que conforman un todo

Ejemplos:

“La relación entre el número de bolas rojas y verdes es de tres quintos (3/5)”

“la relación entre el número de triángulos y rectángulos es de tres cuartos (3/4)”

A. Fernández Dpto. Didáctica Matemáticas 19

LA FRACCIÓN COMO RAZÓN

a/b se considera: “Un índice comparativo entre dos cantidades de magnitud’

◦ Puede ser:

TODO-TODO

No existe un „todo‟, sino que la comparación puede ser bidireccional

Ejemplo:

„la escala en los dibujos de este mapa es 1:20000‟.


LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

a/b se considera: “Una transformación, algo que actúa sobre una situación y la modifica’


1/3

1/2

2/3 1/3

1/2

1/6

MECANISMOS CONSTRUCTIVOS

(Kieren, 1988)

entendidos como


Los aspectos del conocimiento que se deben poseer para resolver una tarea en la que esté involucrada la noción de fracción.

IDEA DE:

Unidad Partes equivalentes Reparto equitativo

LA IDEA DE UNIDAD

«El desarrollo de la idea de unidad se pone de manifiesto en tareas de reconstruir la unidad».

Contexto continuo: Ej.1: “Si es 2/3 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?” Ej. 2: “ es 4/3 de la figura. ¿Cuál es la figura? Contexto discreto: Ej.3: “Si son 2/3 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?


EQUIVALENCIA

Equivalencia en el sentido de misma cantidad:

En contextos continuos:

En contextos discretos:


Repartir en grupos iguales 3/5 = 6/10

LA IDEA DE FRACCIONES EQUIVALENTES

Se apoya en la idea de realizar diferentes divisiones que dan lugar a la misma relación entre la parte y el todo.

En contextos continuos:

2/3 4/6

2/5 4/10

0 ½ 1 2/4 En contextos discretos:


3/5 = 6/10

LA IDEA DE REPARTO EQUITATIVO

La actividad de realizar

divisiones múltiples debe emparejarse con la actividad de realizar repartos equitativos

Ej. 1: Dividir en cuatro grupos iguales 12 fichas Ej. 2: Repartir equitativamente dos tabletas de chocolate entre tres niños.

A. Fernández,. Dpto. Didáctica Matemáticas 26

CITAS PERCEPTUALES Behr et al, 1983


entendidas como

La información visual procedente de las figuras, modelos o diagramas que acompañan a las tareas escolares.

pueden ser

consistentes inconsistentes

“Sombrear ½ de ….”

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA

A. Fernández

Se presenta la necesidad de plantear los

procesos de enseñanza de las fracciones

desde todas las perspectivas e

interpretaciones posibles

Los procesos de enseñanza que se

desarrollen deben guardar un equilibrio

entre:

• El significado de las fracciones en

contextos prácticos, y

• El significado de las fracciones en

situaciones más abstractas

La habilidad para hacer traslaciones

dentro y entre los distintos modos de

representación posibilita la adquisición

y uso de los conceptos

A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA:

SUGERENCIAS PARA UNA

SECUENCIA DE ENSEÑANZA

• Empezar con situaciones cotidianas en las que se conecte con

la idea de fracción (conocimiento informal de los niños).

1 EN RELACIÓN A LA UNIDAD:

* identificar el número de unidades.

* identificar cantidades mayores o menores de la unidad.

2 PARTES DE LA UNIDAD USANDO MATERIALES CONCRETOS:

* identificar el número de partes de una unidad.

* identificar partes del mismo tamaño (equivalencia en el sentido de

cantidad).

* dividir una unidad en partes iguales (contexto continuo).

* dividir en grupos iguales (contexto discreto).

3 NOMBRES PARA PARTES DE LA UNIDAD:

* establecer el nombre de las fracciones.

* usar las fracciones para contestar a ¿cuántos?.

* identificar fracciones iguales a uno.

4 ESCRIBIR FRACCIONES PARA REPRESENTAR PARTES DE LA

UNIDAD:

* diferentes modos de representación y traslaciones entre ellos: forma

oral, forma escrita, materiales concretos.

5 REPRESENTAR FRACCIONES CON DIBUJOS:

* transición de objetos a diagramas.

* repetición de los pasos anteriores pero con diagramas.

6 AMPLIAR LA NOCIÓN DE FRACCIÓN:

* fracciones mayores que uno.

* números mixtos.

* comparación de fracciones.

* fracciones equivalentes.

A. Fernández

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA: Familia de Tareas

A) Dados U y f (<1 o > 1). Hallar R

B) Dada U y R. Hallar f (<1, >1)

C) Dada R y f (<1, >1). Hallar U

U R f

A. Fernández


A) Dados U y f (<1 o > 1). Hallar R

Ejemplos:

•En contexto continuo:

Ej.1: Sombrea ½ de

Ej. 2: Tomada como unidad la regleta

rosa. ¿Qué regleta es 1/2 de la unidad?

•En contexto discreto:

Ej.3: Encontrar 2/3 de

Ej.4: Encontrar 3/2 de 6 fichas

A. Fernández


B) Dada U y R. Hallar f (<1, >1)

Ejemplos:

• En contexto continuo:

Ej.1: ¿Qué fracción del total

representa la parte coloreada ?

Ej. 2: Si la regleta marrón es la

unidad, ¿Cuánto mide la regleta

rosa?. ¿Y la verde oscura?

• En contexto discreto:

Ej.3: ¿Qué cantidad del total

representan las fichas coloreadas


C) Dada R y f (<1, >1). Hallar U

Ejemplos:

• En contexto continuo:

Ej.1:“Si es 3/4 de la unidad.

¿Cuál es la unidad?”

Ej. 2: La regleta azul mide 3/2 de otra

regleta de las que constituyen el juego de

regletas ¿De qué regleta se trata?

• En contexto discreto:

Ej.3: ¿Las fichas verdes representan

4/3 del total de fichas de un juego.

¿Cuántas fichas intervienen en dicho

juego?

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA: Procedimientos de Equivalencia y Orden • Equivalencia de fracciones:

«Varios nombres para la misma relación». La relación entre la parte y el todo puede venir descrita por parejas de números distintas:

• En un contexto continuo: hay que establecer nuevas divisiones en el todo o ignorar parte de las que existen

• En un contexto discreto: hay que realizar nuevas reordenaciones de los elementos (física o mentalmente)

• Orden en las fracciones: – Reducir a fracciones equivalentes

– Apoyarnos en el nº de fracciones unitarias

A. Fernández

Ejemplo de tarea: Dada la fracción 9/12, encontrar una fracción equivalente con numerador 6 (9/12= 6/?): a) Utiliza folios para describir el proceso seguido b) Utiliza fichas para describir el proceso seguido

LAS FRACCIONES EN UN CONTEXTO DE ENSEÑANZA: Operaciones con fracciones • Primeros pasos: Utilizando como apoyo las

fracciones unitarias y la secuencia de contar

• Uso de la recta numérica

A. Fernández

Ejemplos de tareas: SUMA: Modelar la operación 2/3 + 4/6 con distintos materiales . Especifica las relaciones entre las acciones con material y los pasos en la representación simbólica PRODUCTO: Dada la expresión numérica 1/2 x 2/5 Modela con folios cada uno de los pasos dados en el nivel de símbolos para obtener el producto COCIENTE: Modelar ¾ : ½ (Podría verse como «¿Cuántas veces cabe la mitad de la unidad en ¾ de la unidad?»

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La dificultad que conlleva el combinar los significados de … · de los números naturales. ... realizar repartos equitativos Ej. 1: Dividir en cuatro grupos iguales 12 fichas Ej