La Derivada

Moisés Villena Muñoz Cap. 2Cap. 2Cap. 2Cap. 2 LLLLa derivadaa derivadaa derivadaa derivada

13

2 2.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

2.1.1 DEFINICIÓN 2.1.2 NOTACIÓN 2.1.3 FORMA ALTERNATIVA

2.2 DERIVACIÓN 2.2.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. 2.2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 2.2.3 REGLA DE LA CADENA 2.2.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 2.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA(OPCIONAL) 2.2.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS (OPCIONAL)

2.3 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 2.4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

2.4.1 MONOTONIA 2.4.2 MÁXIMOS Y MINIMOS 2.4.3 CONCAVIDAD

OOOOBJETIVOSBJETIVOSBJETIVOSBJETIVOS::::

Se pretende que el estudiante: • Defina derivada. • Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva • Calcule derivadas. • Interprete la derivada como la razón de cambio de una

variable con respecto a otra variable. • Determine intervalos de Crecimiento y de

Decrecimiento. • Determine máximos y mínimos. • Determine intervalos de concavidad. • Elabora gráficas elementales.


14

Desde la antigüedad (épocas de los griegos) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto con los estudios de ISAAC NEWTON (1642-1727) y GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716), preocupados también por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria.

Empecemos primero estudiando el problema geométrico y posteriormente el problema mecánico.

2.1 INTERPRETACION GEOMETRICA

Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica de una función f , en un punto

0x .

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

)()( 0tg0 xxmxfy −=−

Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe el gráfico:

x

y

0x

0y

( )y f x=


15

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( ))(, 00 xfx y

( ))(, 00 hxfhx ++ sería h

xfhxfm

)()( 00sec

−+=

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se

haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

h

xfhxfm

h

)()(lím 00

0tg

−+=

→

A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f .

2.1.1 DEFINICIÓN

La derivadaderivadaderivadaderivada de f en " 0x “, denotada como ( )0´f x ,

está dada por:

0 00

0

( ) ( )(́ ) lím

h

f x h f xf x

h→

+ −=

Siempre que este límite exista.

x

y

0x h+

( )0f x

( )y f x=

0x

( )0f x h+

h

( ) ( )0 0f x h f x+ −

{

{


16

2.1.2 NOTACIÓN.

Existen otras notaciones para la derivada:

ý , dy

dx.

En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

0

( ) ( )(́ ) lím

h

f x h f xf x

h→

+ −=

2.1.3 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma diferente para la derivada, que para algunos casos resultaría muy útil. Observe el gráfico:

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( ))(, 00 xfx y ( ))(, xfx

sería: 0

0sec

)()(

xx

xfxfm

−

−= . Entonces la pendiente de la recta tangente, que es

la derivada de f , sería en este caso:

0

0tg 0

0

( ) ( )´( ) lím

x x

f x f xm f x

x x→

−= =

−

x

y

x

( )0f x

( )y f x=

0x

( )f x

0x x−

( ) ( )0f x f x−

{

{


17

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1

Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1f x x= + SOLUCIÓN:

( ) [ ]

0

0

0

0

0

( ) ( )´( ) lím

2 1 2 1lím

2 2 1 2 1lím

2lím

lím 2

´( ) 2

h

h

h

h

h

f x h f xf x

h

x h x

h

x h x

h

h

h

f x

→

→

→

→

→

+ −=

+ + − + =

+ + − −=

=

=

=

Empleando la forma alternativa:

( ) ( )

( )

( )

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

( ) ( )´( ) lím

2 1 2 1lím

2 1 2 1lím

2 2lím

2lím

lím 2

´( ) 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f x f xf x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f x

→

→

→

→

→

→

−=

−

+ − +=

−

+ − −=

−

−=

−

−=

−

=

=

Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo. 2222

Empleando la definición, hallar la derivada 2( )f x x= SOLUCIÓN:

( )

( )

( )

xxf

hx

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxfxf

h

h

h

h

h

2)´(

2lím

2lím

2lím

lím

)()(lím)´(

0

0

222

0

22

0

0

=

+=

+=

−++=

−+=

−+=

→

→

→

→

→


18

Empleando la forma alternativa:

( )( )

( )

0

0

0

0

00

0

2 2

0

0

0 0

0

0

0 0

0 0

( ) ( )(́ ) lím

lím

lím

lím

(́ ) 2

x x

x x

x x

x x

f x f xf x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

f x x

→

→

→

→

−=

−

−=

−

− +=

−

= +

= +

=

Ejercicios propuestos 2Ejercicios propuestos 2Ejercicios propuestos 2Ejercicios propuestos 2.1.1.1.1

1. Sea ( ) 2 2 1f x x x= − + .

a) Calcule el valor de (2.5) (2)

0.5

f f−

b) Calcule el valor de (2.3) (2)

0.3

f f−

c) Calcule el valor de (2.1) (2)

0.1

f f−

d) Calcule el valor de ( )´ 2f . Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

2. Hallar ´(3)f , considerando la gráfica:

3. Empleando la definición, determine la derivada de:

a) ( ) 3 2f x x= +

b) ( ) 2 1f x x= − +

c) 2( ) 2 3f x x x= + −

d) 2( ) 2 1f x x x= − + −

e) 3( ) 2f x x=

( )y f x=


19

2.2 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas.

2.2.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN

Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes:

1. ( ) 0 ;d

k k Rdx

= ∀ ∈ (DerivadaDerivadaDerivadaDerivada de una constantede una constantede una constantede una constante)

2. ( ) 1d

xdx

=

3. ( )1( )n ndx n x

dx

−=

4. ( )x xde e

dx=

5. ( ) lnx xda a a

dx=

6. 1(ln )

dx

dx x=

7. 1(log )

lna

dx

dx x a=

8. (sen ) cosd

x xdx

=

9. (cos ) send

x xdx

= −

10. 2(tan ) secd

x xdx

=

11. 2( t ) cscd

co x xdx

= −

12. (sec ) sec tgd

x x xdx

=

13. (csc ) csc cotd

x x gxdx

= −

La demostración de estas fórmulas se la dejamos para el lector, de necesitar hacerlas.


20


Si ( ) 4f x = entonces ( )´ 0f x = (FORMULA 1)


Si ( ) 2f x x= entonces ( ) 2 1´ 2 2f x x x−

= = (FORMULA 3)


Si ( ) ( )1

2f x x x= = entonces ( ) ( )12

112

1´

2f x x

x

−= = (FORMULA 3)


Hallar la ecuación de la recta tangente a ( ) 3f x x= en 1x =

SOLUCIÓN: La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:

( )00 xxmyy −=−

El punto sería:

0 1x = y ( )3

0 0( ) 1 1y f x= = =

La pendiente sería:

2

0 1´( ) ´(1) 3 3

tg xm f x f x

== = = =

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: 1 3( 1)y x− = −

( ) 3f x x=


21

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos.

2.2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante,

entonces:

1. ( ( )) (́ )d

kf x kf xdx

= (Múltiplo constante)

2. ( ( ) ( )) (́ ) ´( )d

f x g x f x g xdx

+ = + (Suma)

3. ( ( ) ( )) (́ ) (́ )d

f x g x f x g xdx

− = − (Resta)

4. ( ( ) ( )) (́ ) ( ) ( ) (́ )d

f x g x f x g x f x g xdx

= + (Producto)

5. [ ]

2

( ) (́ ) ( ) ( ) (́ )

( ) ( )

d f x f x g x f x g x

dx g x g x

−=

(Cociente)

Demostración

La justificación de las dos primeras de estas reglas sería: 1.

[ ]

0

0

0

( ) ( )( ( )) lím

( ) ( )lím

( ) ( )lím

(́ )

h

h

h

d kf x h kf xkf x

dx h

k f x h f x

h

f x h f xk

h

kf x

→

→

→

+ −=

+ −=

+ −=

=

2.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) lím

( ) ( ) ( ) ( )lím

( ) ( ) ( ) ( )lím lím

(́ ) (́ )

h

h

h h

f x h g x h f x g xdf x g x

dx h

f x h f x g x h g x

h

f x h f x g x h g x

h h

f x g x

→

→

→ →

+ + + − ++ =

+ − + + −=

+ − + −= +

= +

Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con

reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma:


22

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)

Si ( )13

3

44f x x

x

−= = entonces ( ) ( ) ( )

11 43 3 3

113

4´ 4 4

3

df x x x x

dx

− −− −= = − = −

Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)

Si ( )2

4 3f x xx

= − + entonces

( ) ( ) ( ) ( )1 21´ 4 2 3 4 2 0

2

d d df x x x x

dx dx dx x

− − = − + = + +

Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 (Derivada del producto)

Si ( ) xf x xe= entonces ( ) ( ) ( ) ( )´ 1 1x x x x xd df x x e x e e xe e x

dx dx

= + = + = +


Si ( ) ( )( )2 32 1f x x x= + + entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 3 2 3

3 2 2

4 4 2

4 2

´ 2 1 2 1

2 0 1 2 3 0

2 2 3 6

5 6 2

d df x x x x x

dx dx

x x x x

x x x x

x x x

= + + + + +

= + + + + +

= + + +

= + +

Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

[ ]( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( )d

f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xdx

= + +

¡Generalícela!


Si ( ) lnxf x e senx x= entonces


23

( )´ ln ln ln

1ln cos ln

x x x

x x x

d d df x e senx x e senx x e senx x

dx dx dx

e senx x e x x e senxx

= + +

= + +

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 6666 (Derivada de cociente)

Si ( )2

3

2

1

xf x

x

+=

+ entonces

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3 2 33 2 2

2 23 3

4 4 2 4 2

2 23 3

2 1 2 12 1 2 3

´1 1

2 2 3 6 6 2

1 1

d dx x x x

x x x xdx dxf x

x x

x x x x x x x

x x

+ + − + + + − +

= =+ +

+ − − − − += =

+ +

EjeEjeEjeEjemplo 7mplo 7mplo 7mplo 7

Demuestre que las gráficas de ( ) 2f x senx= y ( ) 2 cosg x x= se intersecan en

ángulo recto en cierto punto tal que 2

0 π≤≤ x

SOLUCIÓN:

La intersección se obtiene igualando xx cos2sen2 = entonces 1tg =x lo cual quiere decir

que 4π=x

Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir 121 −=mm ,

Si ( ) 2 senf x x= entonces ( )´ 2 cosf x x= que reemplazando tenemos:

12

22cos2

41 =

== πm


24

Si ( ) 2 cosg x x= entonces ( )´ 2 seng x x= − que reemplazando tenemos:

12

22sen2

42 −=

−=−= πm

Por tanto: ( )( ) 11121 −=−=mm L.Q.Q.D.

Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 2.2.2.2.2222

1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

a) ( ) 34 2ln 3 xf x x x e= + −

b) ( ) ( )( )3 22 1f x x x= + +

c) ( ) ( )( )cosf x x senx x x= − +

d) ( )2 1x

f xx senx

+=

e) ( )1

xxef x

senx=

+

f) ( ) 21ln

2

xf x x e x=

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 2 2 2f x x x= + + en el

punto ( )1,5 .

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia

( ) 23 4f x x= + y que sea paralela a la recta 3 2 0x y+ + = .

4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )2,5 y que son tangentes a la curva definida

por la ecuación 24y x x= − .

5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por 3 2( ) 2 3 24f x x x x= + − y

que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0712 =+− yx .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.

2.2.3 Regla de la Cadena

Sea ( )y f u= y ( )u g x= . Si g es diferenciable

en " 0x " y f diferenciable en " ( )0g x " entonces la

función compuesta ( )( ) ( )( )f g x f g x=o es

diferenciable en "0x " y

( ) [ ]0

0 0( )( ( ) ´( ) (́ )x x

g xd

f g x f g xdx =

=

O lo que es lo mismo


25

( )u g x

dy dy du

dx du dx =

=


Si ( )202 2+= xy haciendo 2)( 2+== xxgu tenemos ( ) 20uufy == de donde

1920udu

dy= y x

dx

du2= .

Por tanto ( )( )xudx

du

du

dy

dx

dy220 19

== que al reemplazar "u " resulta

( )( )( ) ( )192192 2402220 +=+= xxxxdx

dy

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de

variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica, esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.


Si ( ) ( )3 3

u

f x sen x x= −14243

entonces

( ) ( ) ( ) ( )3

3 3 2

3

´ 3 cos 3 3 3u x x

d df x senu x x x x x

du dx= −

= − = − −


Si ( )

303 2

2

3

1

u

x x xf x

x

+ +=

− 1442443

entonces

( )

( )( ) ( )( )

( )

293 2 3 2

2 2

29 3 2 3 23 2

22 2

3 3´ 30

1 1

3 6 1 1 3 2330

1 1

x

x x x x x xf x D

x x

x x x x x x xx x x

x x

+ + + +=

− −

+ + − − + + + + = − −


26

Para el caso de funciones de la forma ( ))(( xhgfy = haciendo que

)(xhv = tenemos ( ))(vgfy = y ahora haciendo que )(vgu = tenemos

( )ufy = ; entonces dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy= .

O más simplemente ( )[ ][ ][ ])´()(´())((´´ xhxhgxhgfy =

EjemploEjemploEjemploEjemplo 4444

Si ( ) ( ) ( ){

4

4 2 2cos 3 cos 3

v

u

f x x x = = 14243

entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

32 2

32 2 2

32 2

´ 4 cos 3 cos 3

4 cos 3 sen 3 3

4 cos 3 sen 3 6

df x x x

dx

dx x x

dx

x x x

=

= −

= −

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas

quedarían:

Sea )(xuu = , entonces:

1. ( )1( ) ń ndu n u u

dx

−=

2. ( ) ú ude e u

dx=

3. ( )( ) ln ú uda a a u

dx=

4. 1(ln ) ´

du u

dx u=

5. 1(log ) ´

lna

du u

dx u a=

6. ( )(sen ) cos ´d

u u udx

=

7. ( )(cos ) sen ´d

u u udx

= −

8. ( )2(tan ) sec ´d

u u udx

=

9. ( )2( t ) csc ´d

Co u u udx

= −


27

10. ( )(sec ) sec tg ´d

u u u udx

=

11. ( )(csc ) csc cot ´d

u u gu udx

= −

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos 2.2.2.2.3333

1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

a) ( ) 2 2 1f x x x= − +

b) ( )1

2 3f x

x=

−

c) ( )x x

x x

e ef x

e e

−

−

−=

+

d) ( )2

2

1

1

xf x

x

−=

+

e) ( )3

cos2

senxf x

x

=

f) ( ) ( )ln ln 1f x x= +

g) ( )2

2 2

1 1ln

4 4 4

xf x

x x

= −

− −

2.2.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea ( )y f x= una función " n " veces derivable,

entonces:

La primeraprimeraprimeraprimera derivadaderivadaderivadaderivada es:

0

( ) ( )´ (́ ) lím

h

dy f x h f xy f x

dx h→

+ −= = =

La segunda derivadasegunda derivadasegunda derivadasegunda derivada es:

( )2

2 0

(́ ) (́ )´ ´́ ´́ ( ) lím

h

d d y f x h f xy y f x

dx dx h→

+ −= = = =

La tercera derivadatercera derivadatercera derivadatercera derivada es:

( )3

3 0

´́ ( ) ´́ ( )´´ ´́ ´ ´´́ ( ) lím

h

d d y f x h f xy y f x

dx dx h→

+ −= = = =

En fin, La ésiman − derivadaderivadaderivadaderivada es:


28

1 1

0

( ) ( )( ) lím

n n nn n

n h

d y f x h f xy f x

dx h

− −

→

+ −= = =


Sea ( ) 4 25 3 4f x x x= − + . Hallar ( )´́f x

SOLUCIÓN:

La primera derivada sería: ( ) 320 6f x x x= −

Entonces la segunda derivada sería: ( ) 2´´ 60 6f x x= −

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 2 2 2 2 (Aplicando la Regla de la cadena)

( )1

1 2f x

x=

− Hallar ( )´́f x

SOLUCIÓN:

Aquí tenemos: ( ) ( )11

1 21 2

f x xx

−= = −

−.

La primera derivada sería: (empleando la regla de la cadena)

( ) ( ) ( ) ( )2 2

´ 1 2 2 2 1 2f x x x− −

= − − − = −

Entonces la segunda derivada sería:

( ) ( )( ) ( ) ( )3 3

´´ 2 2 1 2 2 8 1 2f x x x− −

= − − − = −

Ejercicio Propuesto 2.4Ejercicio Propuesto 2.4Ejercicio Propuesto 2.4Ejercicio Propuesto 2.4 1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

a. ( )2

2

2cos

dx

dx

b. 2

2

xdxe

dx

c. 2

2

5

4

d

xdx

−

d. ´3

3

1

1

d x

xdx

+ −

e. [ ]3

3

dxsenx

dx


29

2.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA (OPCIONAL)

Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en forma implícita 0),( =yxF . Suponga que no se pueda ponerla en forma explícita

)(xfy = , que no se pueda despejar y , pero que se desea hallar ý .

Entonces considerando que 0))(,( =xfxF y tomando en cuenta la regla de

la cadena lograríamos lo deseado.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 1111

Sea 122=+ yx hallar ý

SOLUCIÓN: PRIMER MÉTODO.

Como es posible despejar y , tenemos 21 xy −±=

Entonces:

( ) ( )

y

x

x

x

xxy

−=

−±

−=

−−±=−

2

2

21

1

21´2

1

SEGUNDO MÉTODO.

Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ] 1)(22

=+ xfx y tomar derivada a

ambos miembros de la igualdad: [ ]( ) ( )

22 ( ) 1

2 2 ( ) (́ ) 0

d dx f x

dx dx

x f x f x

+ =

+ =

que es lo mismo que: 0´22 =+ yyx

despejando ý resulta: 21

´x

x

y

xy

−±

−=−=

Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.


Suponga que la ecuación fuese 122−=+ yx

Sin embargo obtener ý sería de la misma forma que el ejemplo anterior.

Sin embargo, vamos a suponer que siempre que tengamos que

derivar estaremos ante ecuaciones que sí representan lugar geométrico.


Hallar ý para 323 274 yxyx =+

SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:


30

( ) ( )

( )

3 2 3

2 2 2

2 2 2

4 7 2

12 7 7 2 ´ 6 ´

12 7 14 ´ 6 ´

d dx xy y

dx dx

x y x yy y y

x y xyy y y

+ =

+ + =

+ + =

Despejando ý resulta: xyy

yxy

146

712´

2

22

−

+=

EjEjEjEjemplo 4emplo 4emplo 4emplo 4

Hallar ý para ( ) 123ln 222−=++ xyyxx

SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( )( ) ( )2 2 2

2

2

ln 3 2 1

11 2 ´ 6 ´ 4

2 ´1 6 ´ 4

d dx x y y x

dx dx

xy x y yy xx y

yyy x

x y

+ + = −

+ + + =

+ + + =

Despejando ý resulta:

y

x

y

xy

1

2

6

14´

+

−−=

EjeEjeEjeEjemplo 5mplo 5mplo 5mplo 5

Hallar ý para ( ) yxxyxy ++=22cos

SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

12

2 2

2 2 12

2 2 2

cos

sen 1 2 ´ 2 ´ 1 1 ´

´sen 2 ´sen 2 ´

2 2

d dxy y x x y

dx dx

xy y x yy yy x y x x y y

x xyy xy xyy xy yy x y

x y x y

−

= + +

− + = + + + + +

− − = + + + ++ +

Despejando ý resulta:

( )

( )2

22

sen22

2

2sen

´

xyxyyx

xy

yx

xyxxyy

y

++

+

+−+−−

=

EjEjEjEjercicios Propuestos 2.ercicios Propuestos 2.ercicios Propuestos 2.ercicios Propuestos 2.5555 (OPCIONAL)

1. Encontrar dx

dy para:

a. 132

32

=+ yx c. ln 0xy

e y+ =


31

b. ( )ln 1xy y+ =

d. sec tany y xy+ =

e. ( )ln 5xy y+ =

2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 53 33=++ yxyx en el punto

( )1,1

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) 22322 8 yxyx =+ en el punto ( )1,1 −

4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( )[ ] 212

=++− yxsenxy π

en el punto )1,1(

5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 22

3

2

3

=+ yx que es paralela a

la recta 06 =++ yx

6. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ) ( )2222 41 yyyx −+= en el punto ( )2,0 − .

7. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación ( ) ( )yxyx += sen32cos en el

punto ( )0,0 .

8. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación xyyx 232=+ donde la recta tangente

a f sea horizontal.

2.2.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS (OPCIONAL)

2.2.6.1 Teorema de existencia de la función inversa.

Si f es una función estrictamente monótona en su

dominio entonces f tiene una inversa.

El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de

la función inversa.

2.2.6.2 Teorema de la derivada de la función inversa.

Sea f una función derivable y estrictamente

monótona en un intervalo I . Si 0)´( ≠xf en cierto

" x " en I , entonces 1−f es derivable en el punto

correspondiente " y ", y

( ))´(

11

xfyf

dx

d=

−


32

Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de

la recta tangente a f (1

m ) y la pendiente de la recta tangente a 1−f (

2m ) se

relacionan de la forma 1

2

1

mm = . Y que se puede encontrar la derivada de

la inversa 1−f , trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,

sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de 1−f .

2.2.6.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas

( )2

1arcsen ; 1 1

1

dx x

dx x= − < <

−

( )2

1arccos ; 1 1

1

dx x

dx x= − − < <

−

( ) 2

1arctan

1

dx

dx x=

+

( )2

1sec ; 1

1

darc x x

dx x x= >

−

Generalizando para una función )(xuu =

( )2

1arcsen ´ ; 1 1

1

du u u

dx u= − < <

−

( )2

1arccos ´ ; 1 1

1

du u u

dx u= − − < <

−

( ) 2

1arctan ´

1

du u

dx u=

+


33

( )2

1sec ´ ; 1

1

darc u u u

dx u u= >

−

Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 2.2.2.2.6666 (OPCIONAL)

Calcular dx

dy, para :

a. ( ) ( )arctan xf x e=

b. ( ) ( )arctan senxf x e=

c. ( )f x x arcsenx=

d. ( ) arctan2

xf x x

=

2.3 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Suponga que se tiene )(tfy = , una función del tiempo; suponga

ahora que se da una variación en t , denotada como t∆ , esto provoca una

variación en la función, denotada como y∆ . La variación de la función

sería:

)()( tfttfy −∆+=∆

Se considera la variación media de la función como:

t

tfttf

t

y

∆

−∆+=

∆

∆ )()(

Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio instantáneo de la función, es decir:

t

tfttflim

t

ylim

tt ∆

−∆+=

∆

∆

→∆→∆

)()(

00

Observe que la última expresión es la derivada de la función )(tf ;

entonces, la derivada )´(tf expresa el cambio instantáneo que

experimenta la función.


34

2.3.1 DEFINICIÓN.

Sea )(tfy = .

La razón razón razón razón o rapidez o rapidez o rapidez o rapidez de cambiode cambiode cambiode cambio de y con respecto a t , se

define como:

0

( ) ( )(́ ) lim

t

f t t f tf t

t∆ →

+ ∆ −=

∆


Suponga que el espacio recorrido por un móvil esta dado por 2( ) 2 3 1s t t t= + + Km., t

horas después de iniciado su movimiento. • El espacio recorrido a las 2 horas es:

( ) ( )2

(2) 2 2 3 2 1 15s = + + = Km

• El espacio recorrido a las 2.2 horas es:

( ) ( )2

(2.2) 2 2.2 3 2.2 1 17.28s = + + = Km

Calculemos ahora la variación del espacio sobre la variación del tiempo (velocidad media).

( ) ( )2.2 2 17.28 15

11.42.2 2 0.2

s ss km

t h

−∆ −= = =

∆ −

• El espacio recorrido a las 2.1 horas es: ( ) ( )2

(2.1) 2 2.1 3 2.1 1 16.12s = + + = Km.

Ahora ( ) ( )2.1 2 16.12 15

11.22.1 2 0.1

s ss km

t h

−∆ −= = =

∆ −

• El espacio recorrido a las 2.05 horas es:

( ) ( )2

(2.05) 2 2.05 3 2.05 1 15.555s = + + = Km.

Ahora ( ) ( )2.05 2 15.555 15

11.12.05 2 0.05

s ss km

t h

−∆ −= = =

∆ −

Se observa que la velocidad media converge a 11km

h que sería la velocidad instantánea.

• Por otro lado, la derivada del espacio con respecto al tiempo:

2(́ ) 2 3 1ds

s t t tdt

= = + +

En 2t h= , sería: ( )´(2) 4 2 3 11km

sh

= + =


Las estadísticas indican que " t " años después de 1999, el impuesto predial estaba dado por 2( ) 10 70 500I t t t= + + dólares. ¿A qué razón aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 2005?.


35

SOLUCIÓN: La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de )(tI , es decir:

(́ ) 20 70I t t= + dólares por año desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto:

( )(́6) 20 6 70

190

I = +

=

Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 190 dólares por año.


Un estudio indica que la demanda de cierto artículo estará dada por 2

4000)(

ppD =

artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por 32)( 2

++= tttp dólares por artículo. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? SOLUCIÓN

El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será; [ ])(pDdt

d

Como la demanda D es función de precio p , debemos aplicar la regla de la cadena para obtener la

derivada de la demanda con respecto al tiempo t , es decir:

[ ]

( )148000

)(

3+

−=

=

tp

dt

dp

dp

dDpD

dt

d

Después de 10 semanas el precio de los artículos será: ( ) 213310102)10(2

=++=p dólares por

artículos. Entonces:

[ ] ( )

( )

semana

semanaartículos

tp

pDdt

d

/23.7

1)10(4213

8000

148000

)(

3

3

−=

+

−=

+

−=

En 10 semanas, la demanda semanal estará disminuyendo a una razón de 7.23

Problemas Propuestos Problemas Propuestos Problemas Propuestos Problemas Propuestos 2.72.72.72.7

1. Dentro de " t " segundos, el espacio recorrido por un móvil está dado por 3( ) 6 5 8s t t t= + + metros

a) Encuentre la velocidad instantánea a los 5 segundos.

b) Determine la aceleración del móvil a los 5 segundos (2

2

dv d s

dt dta = = )


36

2. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por 20101.0)( 2++= tttU miles de dólares, " t "

años después de su formación en 2001. ¿A qué razón crecieron las utilidades anuales de la compañía, con respecto al tiempo, en el 2005?.

3. Dentro de " t " AÑOS la población de cierta ciudad está dada ( )

2

64( ) 8

1p t

t= −

+ miles de habitantes. Un

estudio ambiental revela que la contaminación estará dada por 2( ) 2 4C p p p= + + UNIDADES cuando la

población sea p MILES DE HABITANTES, ¿a qué RAZÓN VARIARÁ la contaminación después de 3 años?

2.4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

2.4.1 MONOTONIA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de Decrecimiento de una función. Empecemos primero recordando las definiciones de función estrictamente creciente y estrictamente decreciente.

2.4.1.1 Definición

Sea ƒ definida en un intervalo [ ]ba, . Entonces:

1. ƒ es estrictamenteestrictamenteestrictamenteestrictamente crecientecrecientecrecientecreciente en [ ]ba, , si

[ ]baxx ,,21∈∀ se cumple que

)()(2121xfxfxx <→<

2. ƒ es estrictamente decrecienteestrictamente decrecienteestrictamente decrecienteestrictamente decreciente en [ ]ba, , si

[ ]baxx ,,21∈∀ se cumple que

)()(2121xfxfxx >→<


37

Pero para saber en que intervalo la función crece y en que intervalo la función decrece hacemos uso de siguiente teorema. 2.4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una función continua en un intervalo [ ]ba, y

diferenciable en todo punto interior de [ ]ba, .

Entonces:

1. Si [ ]baxxf ,,0)´( ∈∀> entonces ƒ es crecientecrecientecrecientecreciente

en [ ]ba,

2. Si [ ]baxxf ,,0)´( ∈∀< entonces ƒ es decrecientedecrecientedecrecientedecreciente

en [ ]ba, .

DEMOSTRACIÓN. (OPCIONAL)

Se demostrará el primer inciso del teorema.

Suponga que 0)´( >xf entonces 0)()(

0

0

0

>−

−

→ xx

xfxflím

xx; es decir 0

)()(

0

0 >−

−

xx

xfxf.

Suponga ahora que xx <0 , entonces )()( 0 xfxf < , lo cual indica que f es creciente.

Para el caso 0)´( <xf , la demostración es análoga.


Analice la monotonía de 542)( 2+−= xxxf

SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 44)´( −= xxf

El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo

tiene valores negativos, para lo cual factorizamos )1(4)´( −= xxf ; se observa que:


38

x )´(xf f

1<x Negativa (-) decrece

1>x Positiva(+) crece


Analice la monotonía de 3 2( ) 3 3f x x x= − + SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada 2(́ ) 3 6f x x x= −

En la forma factorizada ( )(́ ) 3 2f x x x= − se observa que:

x )´(xf f

0<x Positiva (+) crece

0 2x< < Negativa (-) decrece

2x > Positiva (+) crece

Ejercicios Propuestos 2.8Ejercicios Propuestos 2.8Ejercicios Propuestos 2.8Ejercicios Propuestos 2.8 1. Determine los intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento:

1. 171243)( 234+−−= xxxxf

2. 5

34( )

5 3

xf x x= −

3. 31( ) 4 2

3f x x x= − +

4. 51233)( 23−+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

2.4.2 MÁXIMOS Y MINIMOS

Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada

2.4.2.1 DEFINICIÓN

Sea :f I R R⊆ a . Suponga “0x ” pertenece al

intervalo I . Entonces:

1. 0( )f x es el valor máximo de máximo de máximo de máximo de f en I , si

0( ) ( )f x f x≥ , x I∀ ∈ . (El mayor de todos)

2. 0( )f x es el valor mímímímínimonimonimonimo de de de de f en I , si

0( ) ( )f x f x≤ , x I∀ ∈ . (El menor de todos)

Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.


39

Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos.

2.4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos

Si f es una función continua definida en un intervalo

[ ]ba, entonces f alcanza un valor máximo y un

valor mínimo en [ ]ba, .

Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante ¿cómo obtenerlos?

Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos.

2.4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.

Sea f una función definida en un intervalo [ ]ba,

que contiene a “0x ”.

Entonces “0x ” es llamado Punto CPunto CPunto CPunto Críticoríticoríticorítico si es:

• Un punto extremo del intervalo, es decir ax =0

,

bx =0

. Estos serán denominados Puntos Críticos

de FronteraFronteraFronteraFrontera.

O bien,

• Un punto donde la derivada es igual a cero; es

decir 0)´(0

=xf . Estos serán denominados Puntos

Críticos EstacionarioEstacionarioEstacionarioEstacionarios. s. s. s. (En estos puntos la recta tangente es horizontal).

O bien,

• Un punto donde la derivada no existe; es

decir )´(0xf no está definida. Estos serán


40

denominados Puntos Críticos SingularesSingularesSingularesSingulares. ((((En estos puntos la grafica tiene unos picos. Por ejemplo y x= , tiene un

punto crítico singular (pico) en 0x = )

2.4.2.4 TEOREMA

Sea f una función definida en un intervalo [ ]ba,

que contiene a “0x ”. Si )(

0xf es un valor valor valor valor extremoextremoextremoextremo

entonces “0x ” es un Punto CríticoPunto CríticoPunto CríticoPunto Crítico.

Para el caso de puntos críticos de fronteras, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares.

DEMOSTRACIÓN. (OPCIONAL)

Sea )( 0xf un valor máximo; es decir ( ) )(0 xfxf ≥ , entonces: 0)()( 0 ≤− xfxf

Si 0xx > , dividiendo por 0xx − tenemos 0)()(

0

0≤

−

−

xx

xfxf

Ahora obteniendo límite 0)()(

00 0

0

++→→

≤−

−

xxxx

límxx

xfxflím resulta 0)´( 0 ≤

+xf .

Para 0xx < , tenemos, obteniendo límite 0)()(

00 0

0

−−→→

≥−

−

xxxx

límxx

xfxflím resulta 0)´( 0 ≥

−xf

Suponga que f es derivable en 0x , entonces 0)´( 0 =xf ; es decir 0x es un punto crítico estacionario.

Suponga que f no es derivable en 0x , entonces )´( 0xf no existe; es decir 0x es un punto crítico singular.

La demostración sería análoga para el caso de que )( 0xf sea un valor mínimo.

Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.


41

Además, el teorema anterior nos hace concluir de algunas formas:

• Si “ 0x ” no es un punto crítico entonces no será extremo.

• Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos

• Es suficiente que )( 0xf sea un extremo para que “ 0x ” sea un

punto crítico.

• Que “ 0x ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero

no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.


Determinar los extremos para 542)( 2+−= xxxf en [ ]3,0

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: 00 =x y 30 =x

2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada 44)´( −= xxf

Ahora 0)1(4

0)´(

=−

=

x

xf, entonces sería: 10 =x .


42

3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Observando la

derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo R .

Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3)1(

11534323

5504020

2

2

=

=+−=

=+−=

f

f

f

Por inspección, se determina que:

En 30 =x se encuentra el Valor Máximo f .

Y en 10 =x se encuentra el Valor Mínimo de f .


Determinar los extremos para 3 2( ) 3 3f x x x= − + en [ ]2,3−

SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos.

1. Puntos críticos de Frontera: ´0 2x = − y 0 3x =

2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada 2(́ ) 3 6f x x x= − , tenemos:

2

´( ) 0

3 6 0

3 ( 2) 0

f x

x x

x x

=

− =

− =

Entonces serían: 00 =x y 02x = .

3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función:

( ) ( ) ( )

( )

3 2

3 2

3 2

2 2 3 2 3 8 12 3 17

3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3

(0) 3

(2) (2) 3(2) 3 1

f

f

f

f

− = − − − + = − − + = −

= − + = − + =

=

= − + = −

De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en 0 3x = como en 0 0x = ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en

0 2x = − .


43

Ejercicios Propuestos 2.9Ejercicios Propuestos 2.9Ejercicios Propuestos 2.9Ejercicios Propuestos 2.9

1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :

1. 171243)( 234+−−= xxxxf en [ ]2,3−

2. 5

34( )

5 3

xf x x= − en [ ]3,3−

3. 31( ) 4 2

3f x x x= − + en [ ]5,3−

4. 51233)( 23−+−= xxxxf en [ ]1,1−

5. ( ) ( )42 1−= xxf en [ ]2,2−

6. ( )43 1)( −= xxf en [ ]1,2−

Hasta el momento nos habíamos preocupados de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfecho con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos.

2.4.4 Máximos y Mínimos Locales O Relativos

Sea f una función de variable real. Sea “ 0x ” un

punto del dominio de f ; se dice que:

1. )(0xf es un valor máximo localvalor máximo localvalor máximo localvalor máximo local de f , si existe un

intervalo ( )ba, en el dominio de f que contiene a

“0x ” tal que )(

0xf es el valor máximo de f en

( )ba, .

2. )(0xf es un valor mvalor mvalor mvalor mínimoínimoínimoínimo locallocallocallocal de f , si existe un

intervalo ( )ba, en el dominio de f que contiene a

“0x ” tal que )(

0xf es el valor mínimo de f en

( )ba, .

3. )(0xf es un valor extremo localextremo localextremo localextremo local de f , si es un

máximo o un mínimo local.

Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos.


44

Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.

2.4.4.1 Teorema: Criterio de la primera derivada.

Sea f continua en ( )ba, que contiene al punto

crítico “0x ”. Entonces:

1. Si ( )0

,,0)´( xaxxf ∈∀> y ( )bxxxf ,,0)´(0

∈∀<

entonces )( 0xf es un valor máximo localvalor máximo localvalor máximo localvalor máximo local de f .

2. Si ( )0

,,0)´( xaxxf ∈∀< y ( )bxxxf ,,0)´(0

∈∀>

entonces )(0xf es un valor mvalor mvalor mvalor mínimoínimoínimoínimo locallocallocallocal de f .

3. Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de

“0x ” entonces )(

0xf NONONONO es un valor extremo de

f .

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Para 3 2( ) 3 3f x x x= − +

Analizando la primera derivada ( )(́ ) 3 2f x x x= − se observó que:

x )´(xf f

0<x Positiva (+) crece

0 2x< < Negativa (-) decrece

2x > Positiva (+) crece

Entonces:


45

1. Como antes de 0x = la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3f = es un máximo local.

2. Como antes de 2x = la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1f = − es un mínimo local.

Ejercicios Propuestos 2.10Ejercicios Propuestos 2.10Ejercicios Propuestos 2.10Ejercicios Propuestos 2.10 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales:

1. 171243)( 234+−−= xxxxf

2. 5

34( )

5 3

xf x x= −

3. 31( ) 4 2

3f x x x= − +

4. 51233)( 23−+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

Ahora consideremos problemas prácticos.


Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de $100 cada uno y estima que si se venden a " x " DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán 50 x− ARTÍCULOS POR DÍA. ¿A qué PRECIO debe el fabricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? SOLUCIÓN: La función utilidad sería

( ) ( )

2

2

50 100 50

50 5000 100

150 5000

U Ingresos Costos

x x x

U x x x

U x x

= −

= − − −

= − − +

= − + −

Obtengamos los puntos críticos. ´ 2 150 0 75U x x= − + = ⇒ = El fabricante debe vender los artículos a $75 para obtener la máxima utilidad.


Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva 23y x= − . Determínese las dimensiones del triángulo de área

máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:


46

El área de triángulo se la calcula con la fórmula 2

hbA

×=

Se observa que 23h y x= = − y que xb 2=

Reemplazando, obtenemos el área en función de una sola variable:

( ) ( )2

3

2 3

2

3 2

x xA

A x x

−=

= −

Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:

23 6dA

xdx

= −

Ahora, 2

0

3 6 0

dA

dx

x

=

− =

por tanto, despejando resulta2

2x = ±

Las dimensiones del triangula de área máxima sería:

2

2 2 22

b x= = = y ( )2

23 3 2 1h y x= = − = − =

por consiguiente: ( )( )

2

máx

2 1 2

2 2 2

b hA u

×= = =

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3333

Se tiene un sólido en forma de cono circular recto de radio 3 cm. y altura 12 cm. De este cono se desea obtener un cilindro circular recto de volumen máximo. Encuentre sus dimensiones. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos:

El volumen del cilindro se lo calcula con la fórmula hrV 2π=

Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos:


47

Reemplazando, tenemos: ( )2 2 2 312 4 12 4V r h r r r rπ π π π= = − = −

Entonces: 224 12dV

r rdr

π π= −

y para el óptimo:

( )

2

0

24 12 0

12 2 0

0 2

dV

dr

r r

r r

r r

π π

π

=

− =

− =

= ∨ =

Escogemos 2r = cm.

Por lo tanto: ( )12 4 12 4 2 4h r= − = − = cm.

Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.11111111

1. Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de x unidades de cierto artículo es:

( ) 2 100 200I x x x= − + . ¿En qué nivel de ventas el ingreso es máximo?

2. Un estudio de eficiencia en una imprenta indica que un empleado que llega a las 8h00 compaginará

( ) 3 2318

2Q t t t t= − + + páginas/ hora. ¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia

máxima?

3. En una página de un libro debe haber 150 2cm de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible.

4. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 3250 cmπ . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta 2

centavos el 2cm . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente?

5. Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 32000 cmπ . Para

elaborar la base se dispone de un material que cuesta 4 centavos el 2cm y el material usado para

la superficie lateral cuesta 2 centavos el 2cm . Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especificaciones dadas de tal forma que el costo de fabricación sea mínimo.

Del gráfico observamos que: 12

3 12

r h−=

Entonces: 4 12

12 4

r h

h r

= −

= −


48

Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las dos funciones anteriores, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo.


Trazar la gráfica de 542)( 2+−= xxxf en [ ]3,0 .

SOLUCIÓN: Se ha obtenido 10 =x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de

este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:

Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección.

Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.


Graficar 3 2( ) 3 3f x x x= − + en [ ]2,3−

SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 00 =x y 0 2x = , también se determinó que

antes de 00 =x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto

0 2x = ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:

•

•

•

542)( 2+−= xxxf

( )3,1

( )5,0

( )11,3


49

Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficiente para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios.

EjemploEjemploEjemploEjemplo.

Graficar 4

5( )f x x=

SOLUCIÓN:

Analizando la derivada 15

5

4 4´( )

5 5f x x

x

−= = , tenemos:

Punto Crítico Singular: 00 =x

x )´(xf f

0<x Negativa (-) decrece 0>x Positiva (+) crece

Por tanto, se puede decir que su gráfica es:

.máxy

míny

3 2( ) 3 3f x x x= − +

45y x=


50

Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos:

2.4.3 CONCAVIDAD 2.4.3.1 Teorema de concavidad

Sea f una función dos veces derivable sobre un

intervalo abierto I. Entonces:

1. Si Ixxf ∈∀> ,0)´´( entonces f es cóncava cóncava cóncava cóncava

hacia arribahacia arribahacia arribahacia arriba en I.

2. Si Ixxf ∈∀< ,0)´´( entonces f es cóncava cóncava cóncava cóncava

hacia abajohacia abajohacia abajohacia abajo en I.


Analizar la concavidad de 4

3( )f x x= SOLUCIÓN:

Como la primera derivada de f es 15

4´( )

5f x x

−= entonces la segunda derivada es

65

5 6

4 4´ (́ )

25 25f x x

x

−= − = −

Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:

x )´´(xf f

0<x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 0>x Negativa (-) Cóncava hacia abajo

Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.


51

Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 2.4.3.2 Puntos de Inflexión

Sea f continua en “0x ”, llamamos a ( ))(,

00xfx un

punto de inflexiónpunto de inflexiónpunto de inflexiónpunto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava

hacia arriba a un lado de “0x ” y cóncava hacia abajo

al otro lado.

Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva.


Analizar la concavidad de 3 2( ) 3 3f x x x= − + SOLUCIÓN:

Como la primera derivada de f es 2´( ) 3 6f x x x= − entonces la segunda derivada es

´ (́ ) 6 6 6( 1)f x x x= − = −

x )´´(xf f

1x < Negativa (-) Cóncava hacia abajo

1x > Positiva (+) Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función.

3 2( ) 3 3f x x x= − +


52

Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, este es el punto de inflexión.

Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.Ejercicios Propuestos 2.12121212 Determine los intervalos de concavidad:

1. 171243)( 234+−−= xxxxf

2. 5

34( )

5 3

xf x x= −

3. 31( ) 4 2

3f x x x= − +

4. 51233)( 23−+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio.

2.4.4.2 Teorema: Criterio de la segunda derivada

Supóngase que ´f y ´´f existen en ( )ba, que

contiene a “0x ” y que 0)´(

0=xf .

1. Si 0´ (́ ) 0f x < entonces )(0xf es un valor

máximo localmáximo localmáximo localmáximo local de f .

2. Si 0´ (́ ) 0f x > entonces )(0xf es un valor

mínimomínimomínimomínimo locallocallocallocal de f .

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Determinar los extremos Aplicando el criterio de la segunda derivada para 3 2( ) 3 3f x x x= − +

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios.

Puntos críticos Estacionarios: 0=x y 2x = . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:

´ (́ ) 6 6f x x= −

a) ´́ (0) 6(0) 6 6 0f = − = − < (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.

b) ( )´́ (2) 6 2 6 6 0f = − = > (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.

Ejercicios Propuestos 2.13Ejercicios Propuestos 2.13Ejercicios Propuestos 2.13Ejercicios Propuestos 2.13 Emplee una calculadora para obtener las gráficas de:

1. 171243)( 234+−−= xxxxf 4. 51233)( 23

−+−= xxxxf


53

2. 5

34( )

5 3

xf x x= −

3. 31( ) 4 2

3f x x x= − +

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

MisceláneosMisceláneosMisceláneosMisceláneos 1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.

a) La ecuación de la recta tangente a la curva 3xy = en el punto ( )1,1 es ( )131 −=− xy .

b) La expresión

2

1sen

2

π→ −

−

π x

xlimx

es la derivada de xxf sen)( = cuando 2π=x .

c) La función 356)( 3−+= xxxf no tiene rectas tangentes con pendiente 4.

d) Si tenemos las curvas baxxxf ++=2)( y cxxxg +=

3)( . Entonces no existen valores

IRcba ∈,, , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto )2,2( .

e) Si f y g son funciones de R en R tales que ´´ gf = entonces gf =

2. Determine a, b y c conociendo que las curvas baxxy ++=2 y 2xcxy −= tienen una recta tangente

común en el punto )0,1( .

3. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 1ln =+ yxy ; en el punto )1,1( .

4. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es

66)( 2+−= xxxf , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la

parábola.

5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´f es:

Suponga que 1)1( −=−f , ( 3) 3f − = , (2) 4f = −

6. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´f es:

x

y

1−23−

22−

5

5−


54

Suponga que 0)0( =f , ( )( 2) 2 4f f− = =

7. Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro

extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua.

8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a

una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde?

9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?

10. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicas y cuyo fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura:

Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie.

11. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus

otros dos vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: 0,8 2>−= yxy .

12. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro.

x

2x

1' Pared

E d i f i c i

o

Escalera

Piso

20

50

15 25

4


55

13. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo T�minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

14. Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra

la figura.

15. Hallar el valor del área máxima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W.

16. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el

mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.

17. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm.

18. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.

19. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el

gráfico de ( ) ( ) 12 4−

+= xxf y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.

θ θ

10 km

2 km Bosque

Excursionista Cabaña

Carretera

θ

π/2 1

W

L

θ

y

x


56

20. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un

granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área?

21. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al

suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min.

a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su distancia más corta?

22. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en

un punto P de modo que AMAP3

2=

A B

P M

C

GRANERO

CORRAL


57

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La Derivada