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La construction du nombre au cycle 1
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 1
Mes sources
CDROM : Apprentissages mathématiques en maternelle, Joël Briand, Martine Loubet, Marie-Hélène Salin, Hatier, 2004Découvrir le monde avec les mathématiques, Dominique Valentin, Hatier, 2004 (deux tomes)Apprentissages numériques GS, ERMEL, Hatier, 1990Grand N Spécial maternelle, tome 1 et 2, IREM de Grenoble
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 2
Domaines d'activités de la maternelle
Découvrir les formes et les grandeursApprocher les quantités et les nombresSe repérer dans le tempsSe repérer dans l’espace
Programmes 2008
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 3
Document d’accompagnement des programmes 2002
La fréquentation des nombres dans des activités occasionnelles liées à la vie de la classe ou dans les jeux est nécessaire mais ne suffit pas à la construction des compétences numériques visées. Des occasions doivent être ménagées où les enfants ont un problème à résoudre, c’est à dire sont confrontés à une question qu’ils identifient et dont ils cherchent à élaborer une réponse, puis se demandent si la réponse obtenue convient…
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 4
Programmes 2008
Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage.
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 5
Résultats, procédures et techniques
- à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer
Langage et représentations- verbales- symboliques
Définition et Propriétés- utilisées implicitement- explicitées
Problèmesqu'il permet de résoudre
Un apprentissage complexe…pour tout concept d’après G. vergnaud
6Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 7
Les problèmes sur les quantités et les nombresCes problèmes sont choisis pour que les
nombres y apparaissent comme des outils efficaces pour :
• Comparer des quantités• Mémoriser et communiquer des informations
sur les quantités• Réaliser une collection ayant autant, plus ou
moins d’objets qu’une autre collection
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 8
Les problèmes sur les nombres• Repérer des positions dans une liste
ordonnées d’objets
• Anticiper le résultat d’une action sur des quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) ou sur des positions (déplacement en avant ou en arrière)
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 9
Chercher… pour apprendre
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 10
Nombres et mémoire des quantitésUne situation "de référence”
Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.
Exemples de problèmes de la PS à la GS
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 11
– Collections assez nombreuses et proches PS– Placer les bouchons : respect de la contrainte
– Jusqu'à 5 ou 6 bouteilles, bouchons proches PS– Préparer sur un plateau avant de placer
– Jusqu'à 4 bouteilles, bouchons éloignés fin PS, MS– Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une
seule fois)
– Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés fin MS, GS
– Aller chercher en plusieurs fois– Aller chercher avec un plateau en une seule fois
Construire une collection équipotente à une collection donnée
« Les voyageurs » ERMEL GS
MS/GS
Il faut aller chercher juste assez de voyageurs (les bouchons) pour remplir toutes les places de la voiture
12
-Des boîtes pour figurer des voitures, avec un quai-Des places dessinées-Des bouchons
Situation fondamentale du nombre cardinal
Divers habillages pour cette situation à support matériel en MS et GS :Les voitures et les voyageursLes math-œufsERMEL GS
Voitures et garagesLapin et carottesCDROM Apprentissages mathématiques en maternelle
La ferme de MathurinDécouvrir le monde avec les mathématiques
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 13
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 14
Situation fondamentale du nombre cardinal
Divers habillages pour cette situation en début de CP :
– Le robot– Les mosaïques
ERMEL CP– Les ziglotrons
Capmaths CP
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 15
Le nombre mémoire de la quantité une activité à l'articulation Maternelle-CP
D'après Cap maths CP
1. Aller chercher, en une seule fois, juste assez de gomettes pour réparer le ziglotron (MS, GS, CP)
2. Les commander oralement (GS, CP)
3. Les commander par écrit (GS, CP)
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 16
Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut
la prolonger.
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 17
Deux axes de travail• Travailler sur des situations “matérielles ”Réserver le travail sur fiche à l’entraînement en GS
et au CP
• Travailler avec les productions des élèves« La prise d’information sur le comportement des
enfants face aux tâches proposées et sur les compétences qu’ils manifestent dans leur réalisation est donc primordiale pour adapter au mieux les situations proposées. Pour cela, les activités papier-crayon constituent rarement un moyen pertinent. » Document d’accompagnement 2002
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 18
Quatre objectifs importants pour la maternelle
• A quoi servent les nombres ?
– Exprimer les quantités pour les mémoriser
– Repérer et exprimer des positions dans une liste
– Traiter des problèmes "arithmétiques"
• Suite orale des nombres : stabilisation
• Dénombrement : différentes méthodes
• Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique
Importance de la "comptine" orale et du dénombrement
L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures…
Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 19
L'acquisition de la comptine : quelques
étapes
Grande variabilité selon les enfants(donc valeurs moyennes)
4 ans et demi : récitation jusqu'à seize
5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante
Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement
ni savoir utiliser
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 20
Niveau d’élaboration et procédureFuson
Le chapelet (undeuxtroisquatre) : pas de signification arithmétiqueLa chaîne insécable : pas de possibilité de commencer au milieuLa chaîne sécable : compter à partir de La chaîne terminale : début d’automatisationLa chaîne bidirectionnelle : dans les deux sens
21Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
Connaître la "comptine"Vers 6 ansA partir de 1 jusqu'à…
A partir de … jusqu'à…
A rebours (décompter)
Utilisation pour dénombrer
A partir de 6-7 ansCompter et décompter n nombres à partir de …
Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 22
DénombrementPlusieurs compétences à développer
Reconnaissance immédiate de petites quantités
Quantités repères : constellations, doigts…
Comptage un par un (3 principes importants) Correspondance nombre – objet
Dernier nombre dit
Indépendance du parcours des objets
EstimationRoland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 23
Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble
1 2 3 4
5
5
Principe cardinal (Rochel Gelman)
=?
24Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
Dénombrement par comptage un à unquelques repères
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 25
47 %37 %5 %11
objets
80 %47 %19 %7 objets
5 ans4 ans3 ans
Les difficultés des élèvesSuite orale non stable, non conventionnelleImportance de l’ordre, de la disposition spatiale, de la nature des objetsNon coordination de la correspondance un à unNon cardinalisationEn général, les élèves de PS ne comprennent pas le comptage !
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 26
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 27
un deux trois quatre cinq
1 2 3 4 5 6 7
• Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée
• Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre
un deux trois quatre cinq
1 2 3 4 5 6 7
Ecris les nombres dictés:(830 – 86 – 700 – 107 – 292 – 660)
Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
28
« On apprend à un enfant que "trois" c'est 3, "cent" c'est 100, "sept" c'est 7. Comment lui faire ensuite comprendre que "trois cent sept" ne s'écrit pas 31007? » « Il faut construire la logique numérique à partir de la langue. » Stella Baruk
29
Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
triple code et « petits nombres »
dehaene
30
trois 3
Marie-Paule D
ussuc-Roland C
harnay- 2011
Le nombre pour mémoriser ou représenter une quantité
31
Des situations d’apprentissage
Dénombrement par comptageJoël Briand
nécessite la mise en œuvre de compétences élémentaires et de savoirs pré-numériques et logiques à coordonner
◦ la collection,◦ l’inclusion, la partition◦ la désignation, la correspondance
terme à termel’énumération.
32Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
Enumération d’une collection (J. Briand)
action de structuration d’une collection qui permet de la parcourir de façon ordonnée et contrôlée.
désigner un à un, et une seule fois tous les objets de la collection, sans en oublier. L’ordre dans lequel on énumère les objets n’a pas d’importance.
33Marie-Paule Dussuc-IUFM Bourg- Avril 2011
Des situations pour la PS
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 34
• Aller chercher juste ce qu’il faut de jetons pour…
Des situations pour la PS
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 35
Les boîtes d’oeufs
• Il faut aller chercher dans son plateau des châtaignes pour remplir la boîte d’œufs sans en prendre trop.
• Le nombre de voyages n’est pas limité
Dominique Valentin
Découvrir le monde avec les mathématiques
Cliquez pour éditer le format du plan de texte
Second niveau de plan
− Troisième niveau de plan
Quatrième niveau de plan
− Cinquième niveau de plan
− Sixième niveau de plan
− Septième niveau de plan
− Huitième niveau de plan
Neuvième niveau de planCliquez pour modifier les styles du texte du masque
Deuxième niveau Troisième niveau
− Quatrième niveau Cinquième niveau
Les autres situationsSur les quantités (à partir de la PS) Comparaison non
numérique Appariement
Sur les nombres Aspect cardinal (dès la MS)
Comparaison Partage
Aspect ordinal (dès la GS)
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 36
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Quatrième niveau de plan
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− Sixième niveau de plan
− Septième niveau de plan
− Huitième niveau de plan
Neuvième niveau de planCliquez pour modifier les styles du texte du masque
Deuxième niveau Troisième niveau
− Quatrième niveau Cinquième niveau
ComparaisonLes boites empilées MS/GSDes boîtes ou assiettes empilées
avec 3 ou 4 ou 5 objets par boîte
Un dé
On jette le dé ; on gagne le contenu de la boîte du dessus si le nombre d’objets est inférieur au nombre de points marqués par le dé
Le même jeu peut avoir lieu avec les boîtes alignées
On peut alors choisir la boîte “gagnée”
ERMEL GS37
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 38
Partage (GS, adaptable en MS… et au CP)
– 25 objets, 6 pochettes– mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette – Puis, contrainte supplémentaire : il doit y
avoir tous les types de pochettes
Replacer un objet à sa position(aspect ordinal)
Respecter le rang GS/CPUne frise modèle constitué d’une suite d’images, placée plus loin.
L’élève dispose d’une frise vide, sans images, et d’une image,
il doit la replacer sur la frise vide au même endroit que sur la frise modèle.CDROM Apprentissages mathématiques en maternelle
Marie-Paule D
ussuc-Roland C
harnay- 2011
39
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 40
Approche du calcul de la GS au CP
Problèmes "arithmétiques" sans calcul en GS
Les problèmes d'abord
"Calcul" en GS ?
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 41
Quels résultats, quelles procédures ?
à mémoriserà savoir élaborer
Comment ?
Quel langage ?verbal
SymboliqueComment dire ?
Quelles explications ?Pourquoi ?
Quels problèmes ?Pour quoi faire ?
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Second niveau de plan
− Troisième niveau de plan
Quatrième niveau de plan
− Cinquième niveau de plan
− Sixième niveau de plan
− Septième niveau de plan
− Huitième niveau de plan
Neuvième niveau de planCliquez pour modifier les styles du texte du masque
Deuxième niveau Troisième niveau
− Quatrième niveau Cinquième niveau
Quels problèmes en GS ?Sur les quantités
Résultat d’une augmentation ou d’une diminution
Valeur de la transformation
Etat avant transformation
Résultat d’une réunion
Complément
Résultat d’un partage
Positions sur une piste
Position après un déplacement (en avant ou en arrière)
Valeur du déplacement
Position avant déplacement
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 42
Quelles procédures pour ces problèmes?
1- procédures qui relèvent du comptageElles s’appuient soit sur « une figuration réalisée » de la situation (recours aux doigts)sur une figuration mentale de la situation (l’élève visualise les collections, dans sa tête)Ce sont le recomptage, surcomptage, décomptagesur les écritures chiffrées et la bande numérique, c’est le double comptage
43
44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
un deuxtroisquatrecinq six sept
Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011
Double comptage sur la bande numérique
Pour : « 6 et 7 »
2- procédures qui relèvent plutôt du calculL’élève visualise des collections types (de doigts), lié souvent à de la perception globaleL’élève utilise des résultats mémorisés « je sais que deux et deux ça fait quatre »
Marie-Paule Dussuc - avril 2011- IUFM Bourg 45
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 46
Problème de réunion
GS/CP– cartes portant des points dessinés de 1 à 5– on montre une carte, on dit le nombre de points, on la
retourne – on recommence avec l'autre carte, en la plaçant tout à côté
de la première– quel est le nombre de points cachés ?
Validation en retournant les cartes
Résultat d’une réunion
Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011 47
Le bon panier (CDROM Hatier)
L'enfant qui entre au CP…
… a déjà une longue pratique de "l'addition" et de la "soustraction" et a développé diverses stratégies pour résoudre les problèmes qui lui ont été proposés…
… sans disposer du langage symbolique (+, -, =) et sans nécessairement avoir mémorisé de résultat.
A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul, mais c’est le CP qui installera le symbolisme et les techniques (programmes 2008)Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 48
ANTICIPER / VALIDER aspect essentiel de ce type de situation
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 49
ManipulerFavorise
l’appropriation de la situation et du problème
Anticiper
Incite à l'expérience mentale
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
Il est important que chaque élève puissent faire plusieurs essais
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 50
Deux autres aspects importantsLes interactions entre élèves : imitation, aide, confrontation, observationLes interactions avec l’enseignant : verbalisation, sollicitation
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 51
L’ adaptation des situationsNécessité d’évaluer les connaissances de chaque élève :La comptine numériqueLe dénombrementLa constitution d’une collection de cardinal donnéLe successeur d’une nombreLa lecture des nombres
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 52
Des enjeux communs pour toute l'école primaire
Roland Charnay et Marie-Paule Dussuc-2011 53
• Acquérir des outils, des connaissances
• Etre capable de les utiliser, en autonomie
• Etre capable d'initiative pour aborder une question nouvelle, seul ou avec d'autres
• Rôle central de la résolution de problèmes
Trois axes de travailTravailler sur des situations « matérielles »Au cycle 1, quelques fiches peuvent être conçues
en lien étroit avec la situation vécue
Travailler en s’appuyant sur les productions des élèves
Favoriser et utiliser la diversité des procédures, et des approches
Aspect de la différenciationMarie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011
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Merci de votre attentionMarie-Paule Dussuc Mai 2011
Marie-Paule Dussuc-Roland Charnay- 2011 55